Şekil 1: Direnç-bobin seri devresi. gerilim düşümü ile akımdan 90 o ileri fazlı olan bobin uçlarındaki U L gerilim düşümüdür.

Transkript

1 1 TEME DEVEEİN KAMAŞIK SAYIAA ÇÖÜMÜ 1. Direnç Bbin Seri Devresi: (- Seri Devresi Direnç ve bbinin seri bağlı lduğu Şekil 1 deki devreyi alalım. Burada devre gerilimi birbirine dik lan iki bileşene ayrılabilir. Bunlar akımla aynı fazla lan direnç uçlarındaki Şekil 1: Direnç-bbin seri devresi gerilim düşümü ile akımdan 90 ileri fazlı lan bbin uçlarındaki gerilim düşümüdür. Şekil : Şekil 1 deki devrenin vektör diyagramları Şekil 1 deki devrenin vektör diyagramı Şekil a da verilmiştir. Seri devrelerde bütün elemanların akımı aynı lduğu için, I akımı başlangıç ekseninde alınmış, buna göre gerilim vektörleri çizilmiştir. Akım vektörünün bulunduğu başlangıç ekseni, gerçel eksenin pzitif bölgesidir. Buna göre gerilim düşümü de gerçel eksen üzerindedir. gerilim düşümü ise pzitif sanal eksen üzerindedir. Şu halde sanal eksen üzerindeki vektörünü J ile göstermeliyiz. Şekil b den devre geriliminin dik bileşenler şeklindeki gösterilişi,

2 + j larak yazılır. Bunun kutupsal gösterilişi ise, + 1 dir. Şekil c deki empedans üçgeni + j frmülünün akıma bölünmesi ile elde edilmiştir. Buna göre empedansın dik bileşenler şeklindeki gösterilişi, + j ve kutupsal şekildeki gösterilişi de, + 1 dir., ve den luşan empedans üçgeni,, ve den luşan gerilim üçgeninin benzeridir. Böyle devrelerde empedansın, direnç ile endüktif reaksın vektörel tplamı lduğunu biliyruz. Yine empedans üçgeninden şu ifadeler yazılabilir. ϕ sin sin ϕ cş ϕ ϕ cs Yukarıdaki frmüllerde arc anlamındadır. Bu açıklama, sin ve cs ifadeleri için de geçerlidir. ifadesi, jantı / lan açı Eğer gerilimi başlangıç ekseninde göstermek gerekirse şekil d deki vektör diyagramı çizilir. Bu vektör diyagramı, şekil a daki vektör diyagramının saat ibresinin hareketi yönünde ip açısı kadar döndürülmesi ile elde edilmiştir. Böylece her iki vektör diyagramı da birbirinin aynıdır. Şekil d de görüldüğü gibi devre akımı iki bileşenden meydana gelmiş gibi düşünülebilir. Bileşenlerden biri gerilimle aynı fazlı, diğeri ise gerilimden 90 geridedir. Bu şekilde lduğu gibi gerilimin başlangıç ekseninde alınması halinde devre akımının dik bileşenler şeklindeki gösterilişi, I I (csϕ - jsin ϕ ve kutupsal şekildeki gösterilişi de, I I / ϕ

3 3 dir. Frmüldeki parantez açılarak tekrar yazıldığında meydana gelen I csϕ terimi, akımın gerilimle aynı fazlı lan bileşeni (aktif bileşen ve I sin ϕ terimi de akımın gerilime dik lan bileşenidir (reaktif bileşen. Şu halde frmülden görüldüğü gibi seri - devresinde, empedansın hesaplanmasında nin önüne j harfi getirilmelidir. Böylece empedans vektörünün veya karmaşık sayısının gerçel kısmı, sanal kısmı ise lmaktadır. Empedansın mutlak değerini yani kaç hm lduğunu dğrudan dğruya görebilmek için kutupsal şekil kullanılmalıdır. Bu frmülde empedansın fazı da belirtilmektedir. Fazı dikkate alınmazsa, empedans karmaşık sayıları kullanmadan yapılan hesaplama ile aynıdır. Empedansın fazı, aynı zamanda devrenin faz açısıdır. Yani devre gerilimi ile devre akımı arasındaki açıdır. Örnek 1: Çözüm : 30 luk bir direnç ile 50 luk bir endüktif reaks 30 V lık alternatif gerilime seri larak bağlanmışlardır. Şunları bulunuz: a Empedans, b Akım, c Gerilim düşümleri. a + j 30 + J50 veya ,3/ 59 Şu halde empedans 58,3 ve fazı da 59 dir. b I j j j j50 30 j ,03 j3,38 A Dik bileşenler şeklindeki bu akımı kutupsal şekle çevirelim: I,03 + 3,38 1 3,38 3,95/ 59,03 aynı snuç bulunur. Buradan devre akımının 3,95 A lduğu görülür. A

4 4 c I (3,95/ ,5/ 59 V I(j (3,95/ 59 (j50 burada, j50 50 / 90 lduğundan, (3,95/ ,5/ 31 V (50/ 90 Şu halde, direnç uçlarındaki gerilim düşümü 118,5 V ve endüktif reaks uçlarındaki gerilim düşümü de 197,5 V tur. Örnek : Bir bbine uygulanan gerilim 100/ 0 V ve geçen akım 5/ 30 A dır. Bu bbinin direncini ve reaksını bulunuz. Çözüm: lur. 100/ 0 I 5/ 30 0/ 30 Kutupsal şekildeki bu empedansı dik bileşenler şekline çevirelim. 0 (cs 30 + jsin30 17,3 + j10 Empedansın gerçel kısmı bbin direncini, sanal kısmı da bbin reaksını vereceğinden, 17,3 10

5 5 - SEİ DEVESİ POBEMEİ 1 Bir devrenin gerilimi bulunuz. 100/ 0 V. ve akımı 5 / 30 A. dir. Bu devrenin empedansını 100/ 0 I 5/ 30 0/ 30 Bir bbinin empedansı 48 / 6 dur. Bu bbinin direncini ve reaksını bulunuz. 48.s6 + J.48.Sin J lur. 3 Devrenin empedansını bulunuz? 4 + J luk bir direnç ile endüksı 0, H. lan bir bbin 5 Hz. 10 V.luk bir kaynağa seri bağlanmıştır. Karmaşık sayıları kullanarak devrenin empedansını ve akımını bulunuz?.π.f.. 3, , 34,54 +J 40 + J34,54 34, ,54 5,8/ 40,8 I 10/ 0 5,8/ 40,8,7/ 40,8 Amper 5 Direnci 1 endüksı 0,05 H lan bir bbin ile direnci 14 ve endüksı 0,03 H lan başka bir bbin seri bağlanmıştır. Devre gerilimi 0 V ve frekansı 50 Hz lduğuna göre, empedansı ve akımı karmaşık sayıları kullanarak bulunuz? 1.π.f. 1. 3, ,05 15,7.π.f.. 3, ,03 9, ,7 + 9,4 5,1 15,7 +J 6 + J5,1 5, ,1 36,15/ 44 I 0/ 0 36,15/ 44 6,8/ 44 Amper

6 6. Direnç Kndansatör Seri Devresi: (- Seri Devresi Direnç ve kndansatörün seri bağlı lduğu Şekil 3 deki devrede, uygulanan gerilimin iki bileşeni vardır. Bunlar akımla aynı fazlı lan direnç uçlarındaki gerilim ile, akımdan 90 Şekil 3. Direnç Kndansatör Seri Devresi geri fazlı lan kndansatör uçlarındaki gerilimdir. Şekil 4a daki vektör diyagramı bu ilişkiyi Şekil 4: Şekil 3 deki devrenin vektör diyagramları göstermektedir. Bu vektör diyagramında her eleman için rtak akım başlangıç ekseninde alınmıştır. gerilim düşümü vektörü pzitif gerçel eksen üzerinde lduğundan devre geriliminin gerçel kısmını luşturur. gerilim düşümü vektörü de negatif sanal eksen üzerinde lduğundan, devre geriliminin sanal kısmını luşturur (Şekil 4b. Buna göre devre gerilimi de dik bileşenler şeklinde, j ve kutupsal şekilde ise,

7 7 + + ( larak gösterilir. Şekil 4c de görülen empedans üçgeni, Şekil 4b deki gerilimlerin luşturduğu üçgen ile benzerdir. j Empedansın kutupsal şekildeki gösterilişi ise, dir. + + ( Empedansın gerçel kısmını yine direnç luştururken, sanal kısmını da kapasitif reaks luşturmaktadır. Şu halde karmaşık sayılar kndansatörlü bir devreye uygulanırken nin önüne j getirilmelidir. Şekil 4c deki empedans üçgeninden aşağıdakiler yazılabilir: ϕ sin sin ϕ cş ϕ ϕ cs Şekil 4b deki vektör diyagramı saat ibresi hareketinin ters yönünde ϕ kadar döndürülürse, Şekil 4d deki vektör diyagramı elde edilir. Burada devre gerilimi başlangıç eksenine gelmiştir. Söz knusu lan bu iki vektör diyagramı da aynı devreyi temsil etmektedir. Geriliminden ϕ kadar ileri fazlı lan akım vektörünün iki bileşenden luştuğu düşünülebilir. Bunlar gerilimle aynı fazlı lan I cs ϕ bileşeni ile, gerilim vektörüne dik lan ji sin ϕ bileşenidir. Buna göre akımın dik bileşenler şeklindeki gösterilişi, dir. Örnek 3: I I (csϕ - jsin ϕ 40 luk bir direnç ile 60 µ F lık bir kndansatör seri bağlıdır. Devre gerilimi 0 V ve frekansı 50 Hz dir. Şunları bulunuz: a Empedans, b Devre akımı Çözüm: a 53, 1 ω.,

8 8 40 j53,1 veya, ,1 + 66,5 / 53 0 ( 53,1 40 b I 0 40 J53, j53, j J53, j53,1 4419,6 1,999 + j,64 A veya I 1,99 +,64 +,64 1,99 0 3,31/ 53 Empedansın kutupsal şekli kullanılarak da aynı snuç elde edilir. Şöyleki: Örnek 4: I 0 66,5/ 53 3,31/ 53 Şekil 5 deki devrenin akımını ve güç katsayısını bulunuz. A Çözüm: Devrenin empedansı Şekil 5. j 4 j j1 4 j3 veya ( 3 5/ 35,8 4 ve devrenin akımı,

9 9 I 100 / 0 5/ 36,8 0/ 36,8 dir. Devrenin faz açısı, empedansın fazına eşit lduğundan, ϕ 36,8 dir. Buradan, s ϕ cs 36,8 0,8 kap. bulunur. A - SEİ DEVESİ POBEMEİ 1 Devre empedansını bulunuz? J4 3 luk bir direnç ile 3 µf lık bir kndansatör 440 V. ve 50 Hz. lik kaynağa seri larak bağlıdır. Karmaşık sayıları kullanarak, devrenin empedansını ve akımını bulunuz? 1 1 c 99,5 3 J99,5. π.f..3, ( ( 3 + ( 99,5 ( 99, ,5/ 7,17 440/ 0 I 104/ 7,17 4,1/ 7,17 Amper 3 40 luk bir direnç ile kapasitif reaksı 30 lan bir kndansatör 0 V 50 Hz lik kaynağa seri larak bağlıdır. Karmaşık sayıları kullanarak, devrenin empedansını, akımını ve elemanlar üzerinde düşen gerilim düşümlerini bulunuz? 40 J30 + ( ( ( / 36,86 0/ 0 I 50/ 36,86 4,4/ 36,86 Amper I. ( 4,4/ 36, / 36,86 Vlt. I. ( 4,4/ 36,86.(30/ 90 13/ 53,14 Vlt.

10 10 3. Direnç Bbin Kndansatör Seri Devresi: (-- Seri Devresi Yukarıda görüldüğü gibi alternatif akım devrelerinin hesaplanmasında endüktif reaksın önüne j ve kapasitif reaksın önüne de j getirilmekte idi. Yani direnç gerçel bir sayı ile gösterildiği halde, endüktif ve kapasitif reakslar sanal sayı ile gösterilmektedir. Şekil 6 daki seri devrenin empedansı, seri elemanların tplamı lacağından, veya + j + j Şekil 6: Diren-bbin-kndansatör seri devresi + j ( dir. Empedansın dik bileşenler şeklindeki bu gösterilişi kutupsal şekle çevrildiğinde, + j( lur. Bu frmüllerden de görüldüğü gibi, > ise devre endüktif özellik ve > ise devre kapasitif özellik gösterir. Empedansın fazı yine devrenin faz açısına eşittir. Yani devre akımı ile gerilimi arasındaki açı, ϕ dir. Burada, > ise açı pzitif ve > ise açı negatiftir. Şekil 6 daki devrenin ergilim düşümleri de, I I(j lur. I( j

11 11 Örnek 5: Şekil 7 deki devrenin; a Empedansı b Akımını, c Gerilim düşümlerini bulunuz ve vektör diyagramını çiziniz. Şekil 7. Çözüm: a + j j 10 + j40 j60 10 j0 veya ( 0 10,37 / 63,4 I 0/ 0,37/ 63,4 9,85 / 63,4 A I (9,85/ 63,4 98,5 / 63,4 V I(j.10 (9,85/ 63,4.(40/ / 153,4 V I( j 591 / 6,6 V (9,85/ 63,4.(60/ 90 Devrenin vektör diyagramı yukarıda bulunan değerlere göre Şekil 8 de çizilmiştir. Dikkat edilirse, ve gerilim düşümleri, devre geriliminden daha büyüktür. Böyle

12 1 devrelerde bu yüksek gerilimler insanlar ve kullanılan cihazlar için tehlikeli labilirler. Devreye uygun değerde seri direnç bağlanarak ve gerilimleri küçültülebilir. Şekil 8: Şekil 7 deki devrenin vektör diyagramı -- SEİ DEVESİ POBEMEİ 1 5 luk bir direnç, 0, H lik bir bbin ve 60µF lık bir kndansatör seri larak bağlanmıştır. Devreye uygulanan gerilim 0 V 50 Hz dir. Karmaşık sayıları kullanarak devrenin empedansını, akımını ve elemanlar üzerinde düşen gerilim düşümlerini bulunuz..π.f.. 3, , 6, π.f..3, ( - J 5 + J(6, J9,8 9, ,8 6,85/ 1,4 I 0/ 0 6,85/ 1,4 8,19/ 1,4 Amper I. (8,19/ 1,4.5 04,75/ 1, 4 Vlt I. (8,19/ 1,4.(6,8/ ,33/ 68, 6 Vlt

13 13 I. (3,5/ 0.(/ 90 77/ 90 Vlt 18, 9 ve lan seri bir devrenin akımı 3,5 Amperdir. Devre gerilimini ve elemanlar üzerinde düşen gerilimi bulunuz? +J -J 18 + J9 J 18 J ( 13 13,/ 35,83 18 I. (3,5/ 0.(,/ 35,83 77,7/ 35,83 Vlt I. (3,5/ 0.(9/ 90 31,5/ 90 Vlt I. (3,5/ 0.(/ 90 77/ 90 Vlt 3 Devre empedansını bulunuz? +J -J 1 + J J3 1 + J1 ÖDEV 1 Şekildeki devrenin empedansını bulunuz? 4 luk bir dirençle, endüktif reaksı 3 lan bir bbin seri bağlanmıştır. Devre gerilimi 10 / 0 Vlt 50 Hz lduğuna göre; devre akımını, empedansı, elaman üzerinde düşen gerilim düşümlerini bulunuz? 3 6 luk bir direnç, 14 luk bir bbin ve 6 luk bir kndansatör 100 / Vltluk bir kaynağa seri bağlanmışlardır. Devrenin empedansını, devre akımını, elemanlar üzerinde düşen gerilim düşümlerini bulunuz? 0