ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Suat Ögün ŞENDUR KUMLU ZEMĐNLERDE SAINT-VENANT ĐLKESĐNĐN GEÇERLĐLĐĞĐ ĐNŞAAT MÜHENDĐSLĐĞĐ ANABĐLĐM DALI ADANA, 009

2 ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ KUMLU ZEMĐNLERDE SAINT-VENANT ĐLKESĐNĐN GEÇERLĐLĐĞĐ Suat Ögün ŞENDUR YÜKSEK LĐSANS TEZĐ ĐNŞAAT MÜHENDĐSLĐĞĐ ANABĐLĐM DALI Bu te../.../009 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu Đle Kabul Edilmiştir. Đma:... Đma:. Đma:. Prof.Dr.M.Arslan TEKĐNSOY Prof.Dr.Mustafa LAMAN Doç.Dr.Cafer KAYADELEN DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu te Enstitümü Đnşaat Mühendisliği Anabilim Dalında haırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. Đlhami YEĞĐNGĐL Enstitü Müdürü Đma ve Mühür Not: Bu tede kullanılan ögün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çielge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ KUMLU ZEMĐNLERDE SAINT-VENANT ĐLKESĐNĐN GEÇERLĐLĐĞĐ Suat Ögün ŞENDUR ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ĐNŞAAT MÜHENDĐSLĐĞĐ ANABĐLĐM DALI Danışman: Prof. Dr. M. Arslan TEKĐNSOY Yıl: 009, Sayfa 65 Jüri: Prof. Dr. Mehmet Arslan TEKĐNSOY Prof. Dr. Mustafa LAMAN Doç. Dr. Cafer KAYADELEN Zemin mekaniğinde hılı sonuç vermesi, kullanışlı olması ve geoteknik problemlerinde güvenilir olması sebebiyle elastiste teorisine sıkça başvurulur. Elastiste teorisinin mühendislik problemlerine uygulanmasının örneklerinden bir tanesi de Saint-Venant prensibidir. Bu çalışmada model deneyler yapılarak düşey gerilme analii, emin tabanındaki gerilme dağılımı ve Saint-Venant prensibinin kumlu eminlerde geçerliliği araştırılmıştır. Deneylerde ölçüm için strain gauge (gerinim pulu) kullanılmıştır. Yük dairesel bir temele üniform olarak uygulanmıştır. Ayrıca bulunan sonuçlar teorik sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Anahtar kelimeler: Saint-Venant prensibi, gerilme dağılımı, strain gauge, dairesel temel I

4 ABSTRACT MSc THESIS THE VALIDITY OF SAINT-VENANT S PRINCIPLE IN SANDY SOILS Suat Ögün ŞENDUR DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF CUKUROVA Supervisor: Prof. Dr. Mehmet Arslan TEKĐNSOY Year: 009, Pages 65 Jury: Prof. Dr. Mehmet Arslan TEKĐNSOY Prof. Dr. Mustafa LAMAN Assoc.Prof. Cafer KAYADELEN In soil mechanics, to give you quick results, to be useful and reliable due to geotechnical problems often are referred to the theory of elasticity. One of the example that implementation of the theory of elasticity to engineering problems is Saint-Venant s principle. In this study, model experiments can be made vertical stress analysis, stress distribution in the ground floor and the Saint-Venant principle in the validity of the sandy soil was investigated. In experiments for measuring strain gauge (stamp strain) were used. Loading applied as a uniform circular load basis. In addition, the results are compared with theoretical results. Key Words: Saint-Venant s principle, stres distribution, strain gauge, circular foundation II

5 TEŞEKKÜR Te çalışmalarım boyunca bilgisini benden esirgemeyen, yol gösteren değerli hocam Prof. Dr. Mehmet Arslan TEKĐNSOY a teşekkürlerimi sunarım. Deney çalışmamda bana yardımcı olan Doç. Dr. Ögür ANIL, Yrd. Doç. Dr. Mehmet Emin KARA ve Yrd. Doç. Dr. Taha TAŞKIRAN a ayrıca teşekkür ederim. Çalışmalarım sırasında bana yardımcı olan ve aman ayıran Prof. Dr. Mustafa LAMAN, bölüm hocalarım ve Araştırma Görevlisi Salih KESKĐN e teşekkür ederim. Deneyim için gerekli ekipmanı ve malemeyi sağlayan Yüksel Kaya ve Yüksel Makine çalışanlarına teşekkür ederim. Sadece te döneminde değil hayatım boyunca maddi ve manevi her türlü desteğini hiçbir karşılık beklemeden sunan sevgili anneme, babama ve kardeşim Anıl ŞENDUR a, dostlarım Đlyas TANGÜLER ve ailesine, Dile YANG a Abdullah ÇIBIK a, Erkan PINAR a, Osman KILIÇ a, Öge SAPMAZ a, Oan BARAN a, Ögün ERDEM e ve diğer bütün dostlarıma teşekkür ederim. III

6 ĐÇĐNDEKĐLER SAYFA ÖZ...I ABSTRACT...II TEŞEKKÜR...III ĐÇĐNDEKĐLER...IV ÇĐZELGELER DĐZĐNĐ...VI ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ...VII SĐMGELER VE KISALTMALAR...IX 1.GĐRĐŞ...1. ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Taban Basıncı. 4.. Đlave Yüklerden Dolayı Oluşan Düşey Gerilmeler Zemin Đçinde Oluşan Yatay Gerilmeler Tekil Yükleme Durumunda Zeminde Oluşan Đlave Gerilmeler Üniform Yüklü Dairesel Alan Saint-Venant Prensibinin Yükleme Durumlarına Uygulanması Tekil Yükleme Halka Yükleme Konik Dairesel Yükleme Üniform Dairesel Yük MATERYAL VE METOD Deney Düeneği Deney Hücresi Gerinim Pulu (Strain Gauge) Gerinim Ölçümü Strain Gauge Uygulaması Zemin Öellikleri Deneyin yapılışı Deney Programı BULGULAR VE TARTIŞMA...34 IV

7 4.1. γ k = 15,09 kn/m 3 Đçin Düşey Gerilme Analii γ k = 18,86 kn/m 3 Đçin Düşey Gerilme Analii γ k = 15,09 kn/m 3 Đçin Teorik Ve Deneysel Sonuçların Karşılaştırılması γ k = 18,86 kn/m 3 Đçin Teorik Ve Deneysel Sonuçların Karşılaştırılması SONUÇLAR VE ÖNERĐLER Sonuçlar Öneriler KAYNAKLAR...6 ÖZGEÇMĐŞ...65 V

8 ÇĐZELGELER DĐZĐNĐ SAYFA Çielge 4.1. q =,999 * 10-3 N/mm Yüklemesiyle Gerilme Ve Derinlik Değişimleri (γ k = 15,09 kn/m 3 ) Çielge 4.. Çielge 4. q= 5,998 * 10-3 N/mm Yüklemesiyle Gerilme Ve Derinlik Değişimleri (γ k = 15,09 kn/m 3 )...41 Çielge 4.3. q = 8,998 * 10-3 N/mm Yüklemesiyle Gerilme Ve Derinlik Değişimleri (γ k = 15,09 kn/m 3 ). 4 Çielge 4.4. q =,999 * 10-3 N/mm Yüklemesiyle Gerilme Ve Derinlik Değişimleri (γ k = 18,86 kn/mm 3 )...43 Çielge 4.5. Çielge 4.5. q = 5,998 * 10-3 N/mm Yüklemesiyle Gerilme Ve Derinlik Değişimleri (γ k = 18,86 kn/mm 3 )..44 Çielge 4.6. q = 8,998 * 10-3 N/mm Yüklemesiyle Gerilme Ve Derinlik Değişimleri (γ k = 18,86 kn/mm 3 )..45 Çielge 4.7. Çielge 4.7. q = 11,997 N/mm Yüklemesiyle Gerilme Ve Derinlik Değişimleri (γ k = 18,86 kn/mm 3 ) 46 Çielge 4.8. = 1 cm Derinlikte Teorik Ve Deney Sonuçlarının Karşılaştırılması (γ k = 15,09 kn/m 3 ).47 Çielge 4.9. = cm Derinlikte Teorik Ve Deney Sonuçlarının Karşılaştırılması (γ k = 15,09 kn/m 3 ) Çielge = 3 cm Derinlikte Teorik Ve Deney Sonuçlarının Karşılaştırılması (γ k = 15,09 kn/m 3 ).49 Çielge = 4 cm Derinlikte Teorik Ve Deney Sonuçlarının Karşılaştırılması (γ k = 15,09 kn/m 3 ) Çielge 4.1. = 1 cm Derinlikte Kompasite Etkisinin Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması (γ k = 15,09 kn/m 3 )...51 Çielge = cm Derinlikte Kompasite Etkisinin Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması (γ k = 15,09 kn/m 3 ).. 5 Çielge = 3 cm Derinlikte Kompasite Etkisinin Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması (γ k = 15,09 kn/m 3 )..53 VI

9 Çielge = 4 cm Derinlikte Kompasite Etkisinin Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması (γ k = 15,09 kn/m 3 ).54 Çielge = cm Derinlikte Teorik Ve Deney Sonuçlarının Karşılaştırılması (γ k = 18,89 kn/m 3 ) 55 Çielge = 4 cm Derinlikte Teorik Ve Deney Sonuçlarının Karşılaştırılması (γ k = 18,89 kn/m 3 ) 56 Çielge = cm Derinlikte Kompasite Etkisinin Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması (γ k = 18,89 kn/m 3 ). 57 Çielge = 4 cm Derinlikte Kompasite Etkisinin Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması (γ k = 18,89 kn/m 3 )..58 VII

10 ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ SAYFA Şekil 1.1. Statik Olarak Eşdeğer Yüklemeler Altında Çubuk.. Şekil.1. Rijit Bir Temel Altında Taban Basıncı Dağılımı (Ödoğru ve ark.,1996)..4 Şekil.. Zeminde Mevcut Ve Đlave Düşey Gerilmeler (Uuner, 1998).5 Şekil.3. Tekil Yük Đçin Đobarlar (Uuner, 1998)..6 Şekil.4 Tekil Yük Altında, Yatay Doğrultuda Gerilme Dağılımı (Uuner, 1998) 6 Şekil.5. Tekil Yükten Dolayı Düşey Doğrultuda Oluşan Gerilme Dağılımı (Uuner, 1998).. 7 Şekil.6. Düşey Gerilme Artışları Đçin Basitleştirilmiş Yaklaşım (Öaydın, 1989)...8 Şekil.7. Zemin Đçinde Tekil Yükten Dolayı Oluşan Gerilmeler (Das, 001)..11 Şekil.8. Westergaard Çöümüne Göre Tekil Yükten Dolayı Oluşan Düşey Gerilmeler (Das, 001)...13 Şekil.9. Tekil Yük Đçin Kelvin Problemi (Poulus ve Davis, 1974)..15 Şekil.10. Tekil Yük Đçin Cerruti Problemi (Poulus ve Davis, 1974)...16 Şekil.11. Uniform Yüklü Dairesel Alanın Merkei Altındaki Gerilme Dağılımı (Ödoğru ve ark, 1996) Şekil.1. Tekil Yükleme Đçin Ekseni Boyunca u Yer Değiştirmesi (Davis ve Selvadurai, 1996) Şekil.13. Halka yükleme için ekseni boyunca u yer değiştirmesi (Davis ve Selvadurai, 1996) 4 Şekil.14. Konik dairesel yükleme için ekseni boyunca u yer değiştirmesi (Davis ve Selvadurai, 1996) 6 Şekil 3.1. Deney Düeneğinin Yandan Görünüşü.8 Şekil 3.. Deney Düeneği Şekil 3.3. Gerinimin Tanımı...30 Şekil 3.4. Wheatstone Köprüsü Şekil 3.5. Sonuç Okuma Düeneği...34 Şekil 3.6. ADU 34 Şekil 3.7. Strain Gauge lerin ring altına yerleştirilmesi Şekil 3.8. Strain Gauge lerin düeneğe yapıştırılması...35 VIII

11 Şekil 3.9. Dairesel temelin numune üerine yerleştirilmesi...36 Şekil Numune Üerine Đlk Yükleme.37 Şekil Numune üerindeki son yükleme durumu 38 Şekil 4.1 Strain Gauge Numaralandırılması...39 Şekil 4.. q =,999 * 10-3 N/mm Yüklemesinde Gerilme Dağılımının Derinlik ile Değişim Grafiği (γ k = 15,09 kn/m 3 )...40 Şekil 4.3. q= 5,998 * 10-3 N/mm Yüklemesinde Gerilme Dağılımının Derinlik ile Değişim Grafiği (γ k = 15,09 kn/m 3 )...41 Şekil 4.4. q = 8,998 * 10-3 N/mm Yüklemesinde Gerilme Dağılımının Derinlik ile Değişim Grafiği (γ k = 15,09 kn/m 3 )... 4 Şekil 4.5 q =,999 * 10-3 N/mm Yüklemesinde Gerilme Dağılımının Derinlik ile Değişim Grafiği (γ k = 18,86 kn/mm 3 ) Şekil 4.6. q = 5,998 * 10-3 N/mm Yüklemesinde Gerilme Dağılımının Derinlik ile Değişim Grafiği (γ k = 18,86 kn/mm 3 )...44 Şekil 4.7. q = 8,998 * 10-3 N/mm Yüklemesinde Gerilme Dağılımının Derinlik ile Değişim Grafiği (γ k = 18,86 kn/mm 3 )...45 Şekil 4.8. q = 11,997 N/mm Yüklemesinde Gerilme Dağılımının Derinlik ile Değişim Grafiği (γ k = 18,86 kn/mm 3 ). 46 Şekil 4.9. = 1 cm Derinlikte Deney ve Teorik Çöümlerin Karşılaştırılması Grafiği (γ k = 15,09 kn/m 3 ) Şekil 4.10 = cm Derinlikte Deney ve Teorik Çöümlerin Karşılaştırılması Grafiği (γ k = 15,09 kn/m 3 ) 48 Şekil = 3 cm Derinlikte Deney ve Teorik Çöümlerin Karşılaştırılması Grafiği (γ k = 15,09 kn/m 3 )..49 Şekil 4.1 = 4 cm Derinlikte Deney ve Teorik Çöümlerin Karşılaştırılması Grafiği (γ k = 15,09 kn/m 3 ).. 50 Şekil Şekil = 1 cm Derinlikte Kompasite Etkisinin Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması Grafiği (γ k = 15,09 kn/m 3 )...51 Şekil = cm Derinlikte Kompasite Etkisinin Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması Grafiği (γ k = 15,09 kn/m 3 )...5 IX

12 Şekil = 3 cm Derinlikte Kompasite Etkisinin Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması Grafiği (γ k = 15,09 kn/m 3 ).53 Şekil = 4 cm Derinlikte Kompasite Etkisinin Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması Grafiği (γ k = 15,09 kn/m 3 ) Şekil = cm Derinlikte Deney ve Teorik Çöümlerin Karşılaştırılması Grafiği (γ k = 18,89 kn/m 3 ) Şekil = 4 cm Derinlikte Deney ve Teorik Çöümlerin Karşılaştırılması Grafiği (γ k = 18,89 kn/m 3 ).56 Şekil = cm Derinlikte Kompasite Etkisinin Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması Grafiği (γ k = 18,89 kn/m 3 ). 57 Şekil 4.0. = 4 cm Derinlikte Kompasite Etkisinin Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması Grafiği (γ k = 18,89 kn/m 3 ) X

13 SĐMGELER VE KISALTMALAR A : alan AKO : aşırı konsolidasyon oranı B : temel genişliği H : ring yüksekliği I : Boussinesq e göre dairesel yük için etki faktörü I p I w I w K 0 : Boussinesq e göre tekil yük için etki faktörü : Westergaard a göre tekil yük için etki faktörü : Westergaard a göre dairesel yük için etki faktörü : toprak basıncı katsayısı m, n, k : boyutsu katsayılar Q : tekil yük E : elastiste modülü q : yayılı yük r : yarıçap R : direnç x : x yönündeki yatay mesafe y : y yönündeki yatay mesafe : derinlik L : boy D : kalınlık V : gerilim ε : gerinim u GF GAIN σ r σ x σ y σ : düşey yönde deformasyon : gage faktörü : kaanç faktörü : ilave radyal gerilme : x yönündeki ilave yatay gerilme : y yönündeki ilave yatay gerilme : Đlave düşey gerilme XI

14 γ : birim hacim ağırlık γ k : kuru birim hacim ağırlık µ : poisson oranı σ x σ : yatay gerilme : düşey gerilme XII

15 1. GĐRĐŞ Suat Ögün ŞENDUR 1. GĐRĐŞ Yapı yükleri, emin yüeyine temellerle aktarıldığında, emin içerisinde oluşan ilave gerilmelerden dolayı öellikle yükün etkidiği bölgeye yakın kısımlarda fala olmak üere şekil değiştirmeler meydana gelir. Oluşan gerilmelerin şiddetinin ve dağılımının bilinmesi, bir çok problemin çöümü ve projelerin tasarımında oldukça önemlidir. Gerilme değerlerlerine dayanılarak oturmalar daha gerçekçi hesaplanır (Uuner, 1998). Zeminin karmaşık yapısından dolayı, emin içerisinde gerçekçi gerilmedeformasyon analileri yapmak oldukça ordur. Bu nedenle yaklaşık olmasına rağmen, genellikle elatiste teorisi kullanılır. Elastiste teorisi kullanılırken şu kabuller yapılır: 1. Zemin, elastik olup, gerilme-deformasyon ilişkisi lineerdir.. Zemin ortamı homojendir. Diğer bir deyişle, elastik sabitler, alstiste modülü, E ve poisson oranı, µ her noktada aynıdır. 3. Zemin ortamı iotropiktir. Yani öellikleri bir noktada, her yönde aynıdır. 4. Zemin ortamı yarı sonsudur. Yani, bir dülemin altında, her yönde, sonsu uunlukta uanır (Uuner, 1998). Elastiste teorisinden yararlanarak elde edilen bu çöümlerde, düşey gerilme dağılımları eminin maleme öelliklerinden bağımsıdır. Ayrıca eminin türü ve sıkılık gibi parametreleri dikkate alınmamakta, her cins emin için aynı gerilme dağılımları elde edilmektedir (Sağlamer, 1973). Zemin yüüne uygulanan düşey yükler altında meydana gelen yatay gerilmeler ve bunların derinlikle değişimi de yine elastiste teorisi kullanılarak bulunmaya çalışılmaktadır. Bu çöümlerde düşey gerilmelerden farklı olarak yatay gerilmeler, eminin elatiste modülü ve poisson oranına bağımlı olmaktadır. Bu durumda, bu eminin parametre değerlerinin gerçekçi olarak saptanması başlı başına bir problem oluşturmaktadır (Öaydın, 1989). Oysa ki eminler için gerilme analiinde, emin cinsinin ve onun aktaracağı gerilmelerin önemi büyüktür. Bu yüden, eminlerde ilave yüklerden dolayı oluşan 1

16 1. GĐRĐŞ Suat Ögün ŞENDUR düşey ve yatay gerilme değerlerinin deneysel yollarla bulunması ve bulunan değerlerin teorik çöümler ile karşılaştırılması orunluluğu vardır. Zemin tabakalarının kendi ağırlıkları ve uygulanan dış yükler, emin içinde gerilmeler oluştururlar. Oluşan gerilme dağılımının bilinmesi, birçok problemin çöümü ve projelerin tasarımında oldukça önemlidir. Bu gerilmelerin gerçek dağılımının saptanabilmesi için uygulanan yükün şiddetinin, yükün uygulandığı alanın boyutlarının ve emin öelliklerinin bilinmesi gerekir (Uuner, 1998). Saint-Venant prensibi elastiste çöümlerinin kullanılışını önemli ölçüde genişletir. Bu prensip, küçük bir alan boyunca uygulanan statik eşdeğer iki yükleme nedeni ile olan gerilmeler, sadece yüklemelerin uygulandığı alanın yakın civarında önemli ölçüde farklıdır. Yüklemelerin uygulandığı alanın lineer boyutlarıyla kıyaslamada, büyük olan mesafelerde, bu iki yükleme nedeniyle olan etkiler aynıdır. F (a) (b) F Şekil 1.1. Statik Olarak Eşdeğer Yüklemeler Altında Çubuk ŞekiL 1.1 (a) da gösterildiği gibi F bileşke kuvvetini ortaya çıkaran uniform P çekme gerilmesine maru ince çubuğu gö önüne alalım. σ = P (1.1) X τ X Y = τ Y Z = τ Z X = σ Y = σ Z = 0 (1.) Gerilme bileşenleri sınır şartlarıyla beraber, alan denklemlerini sağladığına göre, problemin tam çöümü elde edilir (Timoshenko ve Goodier, 1956).

17 1. GĐRĐŞ Suat Ögün ŞENDUR Bu çalışmada kumlu eminlerde ilave yüklerden dolayı oluşan gerilmeler ve bunların deneysel modellemesi yapılarak, tabandaki gerilme dağılımı, farklı derinliklerde ve farklı yüklerde incelenmiştir. Çıkan sonuçlar için Saint-Venant prensibinin geçerliliği kontrol edilmiştir. Deneylerde gerilme değerlerini elde etmek için strain gauge kullanılmıştır. Bulunan sonuçlar teorik çalışmalarla karşılaştırılmıştır. Zemin davranışına en yakın sonuç veren teorik çöüm araştırılmıştır. 3

18 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR. ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR.1. Taban Basıncı Temelle eminin temas yüeyinde oluşan gerilmeye taban basıncı denir. Temel tamamen bükülebilir ise, uniform yükten dolayı, herhangi bir cins emindeki taban basıncı uniform olur. Uygulamada bu ideal durum gerçekleşme. Birçok yapı temeli, eminin rijitliğine oranla çok daha rijittir. Rijitlik arttıkça taban basıncı da uniform dağılımdan uaklaşır. Kum ve kil eminlere oturan rijit temellerin altında taban basıncı dağılışı birbirinden çok farklıdır. Şekil.1 de görüldüğü gibi, kum emin üerine oturan B genişliğindeki rijit bir temelde, maksimum taban basıncı temelin ortasındadır. Kil emin üerine oturan rijit bir temelde ise maksimum taban basıncı kenarlarda oluşur (Ödoğru ve ark, 1996). Şekil.1. Rijit Bir Temel Altında Taban Basıncı Dağılımı (Ödoğru ve ark.,1996).. Đlave Yüklerden Dolayı Oluşan Düşey Gerilmeler Zemin yüünde uygulanan bir yükten dolayı emin kütlesi içindeki noktalarda gerilme artışları meydana geleceği açıktır. Şekil. de gerilmelerin emin yüünden itibaren derinlikle dağılımı gösterilmiştir. Yine şekil. den görülebileceği gibi, derinlik arttıkça gerilmelerin şiddeti aalmaktadır. Bu gerilmelerin gerçek dağılımını 4

19 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR ve değerlerini belirleyebilmek için uygulanan yükün şiddeti, yük uygulanan alanın boyutları ile biçimi ve emin öelliklerinin bilinmesi gerekir (Öaydın, 1989). Şekil.. Zeminde Mevcut Ve Đlave Düşey Gerilmeler (Uuner, 1998) Zemin yüklerinden dolayı, eminde oluşan düşey gerilme dağılımlarının gösterilmesinde kullanılan baı yöntemler vardır, bunlar aşağıda açıklanmaktadır. Đobar (basınç soğanı), eşit düşey gerilme noktalarını birleştiren eğri olup, şekil.3 te tekil yükten oluşan iobarlar görülmektedir. Yatay bir dülemde veya doğrultuda düşey gerilme dağılışı, herhangi bir derinlikteki yatay bir dülem veya doğrultuda, üerindeki düşey gerilme dağılımı grafik olarak gösterilebilir. Şekil.4 te, Q tekil yükünün altında ( = sabit) bir yatay doğrultudaki gerilme dağılımı görülmektedir. 5

20 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR Şekil.3. Tekil Yük Đçin Đobarlar (Uuner, 1998) Şekil.4 Tekil Yük Altında, Yatay Doğrultuda Gerilme Dağılımı (Uuner, 1998) Düşey bir dülemde veya doğrultudaki düşey gerilme dağılışı, herhangi bir r = sabit uaklıktaki bir dülem veya doğrultudaki düşey gerilme dağılımı da grafik olarak gösterilebilir. Şekil.5 te tekil yükten dolayı, r = sabit uaklıktaki düşey doğrultular boyunca, düşey gerilme dağılımı görülmektedir. 6

21 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR Şekil.5. Tekil Yükten Dolayı Düşey Doğrultuda Oluşan Gerilme Dağılımı (Uuner, 1998) Yüklenmiş bir alanın altında meydana gelen gerilme artışlarını yaklaşık olarak saptamak için, yüklemeden etkilenen bölgenin sınırları hakkında baı varsayımlarda bulunulması gerekir. Şekil.6 da etkilenen bölgenin sınırlarını gösteren doğruların eğimi, (düşey) : 1 (yatay) olduğu kabul edilmiştir. Bu doğruların yatayla yaptığı açının sabit bir değer olacağı (60 o gibi) şeklinde varsayımlar da yapılır. Uygulanan yükten etkilenen bölgenin yanal sınırları hakkında bir kabul yapıldıktan sonra, ikinci bir basitleştirici varsayım olarak, herhangi bir derinliğinde düşey gerilme dağılımının bu dülem boyunca uniform olacağı kabul edilebilir. Bu koşullar altında, q yayılı yükü ile yüklü B.L alanının derinliği altındaki düşey gerilme artışı aşağıdaki gibi bulunur. qbl σ = (.1) ( B + )( L + ) Bu denklemde L temelin uun kenarının boyutunu, B temelin genişliğini, q yayılı yükü, ise derinliği göstermektedir (Öaydın, 1989). 7

22 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR Şekil.6. Düşey Gerilme Artışları Đçin Basitleştirilmiş Yaklaşım (Öaydın, 1989) Zeminlerde oluşan düşey gerilmelerin tahmini ve tespiti için birçok laboratuar düenekleri ve deney teknikleri geliştirilmiş, ayrıca eminin elastik bir maleme gibi davrandığı kabul edilip, elastisite teorisinden yararlanılarak, çok sayıda teorik çalışma yapılmıştır. Teraghi (190) tarafından yapılan çalışma, eminlerde oluşan gerilmelerin belirlenmesi amacıyla yapılan ilk deneysel çalışmalardan biri olarak kabul edilmektedir. Bu çalışmada, kum ve kil numunelerde düşey yüklerden dolayı oluşan gerilmeler, oluşturulan deney düeneğiyle ölçülmüştür. Scheidig ve Kögler (196) tarafından kumlu eminlerde basınç dağılımına ait laboratuar model deneyleri yapılmıştır. Bu çalışmada, bir kum dolgusunun yüeyine bir yük konulmuş ve bu yükün belli derinliklerde bulunan yatay dülemlerin çeşitli noktalarında meydana getirdiği basınçlar, bu noktalara yerleştirilmiş bulunan ölçme aletleri yardımıyla ölçülmüştür. Kjellman (1936), üç eksenli deney aletine beneyen bir deney aleti yaparak kumlu eminlerde meydana gelen gerilmeleri ölçmüştür. Sağlamer (197), kumlu eminlerde düşey ve yatay gerilmeleri ölçmek amacıyla bir düenek geliştirmiştir. Gerilmeleri ölçmek için üç adet transducer kullanılmış ve yüksek gerilmeler altında ölçümler yapılmıştır. 8

23 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR Hanna ve Ghaly (199) yaptıkları deneysel çalışmada, kumlu eminlerde yatay ve düşey gerilmeleri, gerilme transducerleri kullanarak ölçmüşlerdir. Çalışmada, sıkılığın artmasına bağlı olarak deneysel ve teorik K0 değerlerinin aaldığı, deneysel olarak ölçülen ilave gerilmelerin teorik değerlerden oldukça büyük olduğu görülmektedir. Cho ve Vipulanandan (1998) yaptıkları deneysel çalışmada, kumlu eminlerde gerilme dağılımını belirlemek amacıyla, basınç transducerleri kullanmış ve ölçümler gerçekleştirmişlerdir. Deneyler 4 inch uunluk, 0 inch genişlik ve 36 inch yüksekliğinde metal bir kasa içerisinde yapılmıştır. Çalışmada çapı 3.5 inch, kalınlığı 1 inch olan diyafram tipi transducerler kullanılmıştır. Deneyde kullanılan kum, sıkılık derecesi Dr = 70% olacak şekilde, kasa içerisine yerleştirilmiş ve rijit bir plaka ile yük uygulanmıştır. Sonuçlardan, deneysel ölçümlerin teorik hesapla uyum içinde olduğu görülmüştür. Hanna ve Soliman-Saad (001), basınç transducerleri kullanarak kumlu eminlerde yatay ve düşey gerilmeleri ölçmüş ve kompaksiyonun gerilme değerlerine etkisini incelemişlerdir. Bu amaçla metal bir kasa içerisine, çeşitli derinliklere transducerler konmuş ve kum numunelerde oluşan gerilmeler, değişik sıkılıklarda ölçülmüştür. Çalışmada teorik değerlerin, deneysel yolla ölçülen gerilme değerlerine çok yakın olmadığı görülmüştür. Çalışmada elde edilen önemli sonuçlardan birisi de, kum numunelerin sıkılığının arttırılmasıyla, K0 değerlerinin, Jaky (1948) formülüne göre aalırken, deneysel ölçümlere göre artmasıdır..3. Zemin Đçinde Oluşan Yatay Gerilmeler Gerek eminin kendi ağırlığından dolayı, gerekse uygulanan dış yüklerin etkisi altında eminde yatay gerilmeler de oluşmaktadır. Zemin mekaniğinde yatay gerilmeler, düşey gerilmelerin belli bir oranı olarak tanımlanmıştır. Yatay yönde herhangi bir deformasyonun olması durumunda bu oran sükunetteki emin basınç katsayısı K 0 adını alır. Bu durumda yatay basınç aşağıdaki gibi ifade edilir: 9

24 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR σ x = K 0 σ (.) Sükunetteki emin basınç katsayısının bulunmasında baı teorik ve ampirik ifadeler kullanılmaktadır. Bu yöntemlerin kullanılabilmesi için, eminin kayma mukavemeti açısı, ø, plastisite indisi I p ve aşırı konsolidasyon oranı, AKO gibi ilave emin parametrelerine ihtiyaç duyulmaktadır (Tekinsoy ve Laman, 000). Zemin yüüne uygulanan dış yüklerin de emin içinde ilave yatay gerilmeler oluşturacağı açıktır. Uygulanan dış yükler altında meydana gelen yatay gerilmeler ve bunların derinlikle değişimi elastiste teorisi kullanılarak bulunmaktadır..4. Tekil Yükleme Durumunda Zeminde Oluşan Đlave Gerilmeler Boussinesq (1883), lineer, elastik, homojen, iotrop, yarı sonsu ortamda, yüeye etkiyen bir tekil yükten dolayı oluşan gerilme problemini çömüştür (Şekil.7). Bu problem emin mekaniğinde en çok kullanılan problemlerden biridir. Zeminlerde gerilme artımlarının tahmini bir Boussinesq problemi olarak ele alınmaktadır (Tekinsoy ve Laman, 000). Bu çöüme göre, Q 3 x x y y σ x = (1 µ ) (.3) π R Rr ( R + ) R r Q 3 y y x x σ y = (1 µ ) (.4) π R Rr ( R + ) R r 3 3 3Q 3Q σ = = 5 5 / πr π ( r + ) (.5) ifadeleri bulunmuştur. 10

25 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR Şekil.7. Zemin Đçinde Tekil Yükten Dolayı Oluşan Gerilmeler (Das, 001) Burada, x, y, sırasıyla yatay ve düşey mesafeler, Q uygulanan tekil yük, r + = x + y, R = x + y, µ ise, poisson oranıdır. (.3) ve (.4) deki yatay gerilme ifadelerinde poisson oranı yer almasına rağmen (.5) de bu sabit yer almamaktadır. Bunun nedeni, düşey gerilme ifadesi ifade edilirken elastiste modülü ve poisson oranının yarı sonsu uay boyunca sabit olduğu kabulünün yapılmasıdır. Bu durumda düşey gerilmeler sadece yükün şiddetine ve geometrik ifadelere bağlı olarak değişmektedir. (.5) ifadesi aşağıdaki gibi düenlenirse, Q 3 1 σ = 5 / [ ] (.6) π ( r / ) + 1 bulunur. Đfadede etki vektörü olarak adlandırılan, r/ oranına bağlı I P I P = 3 π 1 [( r / ) + 1] 5 / (.7) 11

26 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR büyüklüğü dikkate alınırsa, gerilmenin değeri basit olarak Q σ = I P (.8) şeklinde ifade edilebilir. Zemin tabakalarının doğal durumlarında, yatay dülemlerde oluşan şekil değiştirmelerden dolayı, düşey doğrultudaki şekil değiştirmeler oldukça sınırlıdır. Westergaard (1938) yatay şekil değiştirmelerin sıfır olduğu elastik bir ortamda, Q yükünden oluşan, derinliğindeki A noktasında oluşan (Şekil.8) düşey gerilme için, Q 1 σ = (.9) π [ 1 + ( r / ) ] 3 / bağıntısını önermiştir. Burada, I W = / π r 3 / (.10) değeri yerine konularak, q σ = I W (.11) ifadesi elde edilir. 1

27 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR Şekil.8. Westergaard Çöümüne Göre Tekil Yükten Dolayı Oluşan Düşey Gerilmeler (Das, 001) Tekinsoy (1995) tarafından her türlü emin için kullanılabilecek yeni bünye denklemleri bulunmuş ve bu denklemlerin eminlerin gerilme artımı probleminde kullanılabileceği gösterilmiştir. Yeni bünye denklemleri yardımıyla Boussinesq tarafından verilen gerilme dağılımına ait açmalar ortadan kaldırılarak, gerilme ve oturma hesapları maleme sabitine bağlanmıştır. Tekil kuvvet için verilen gerilme ifadeleri aşağıdaki gibidir. σ x = 4 K 0 P x π ( 4 K 0 x + ) (.1) σ = 4 K 0 P π ( 4 K 0 x + ) 3 (.13) 13

28 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR τ x = 4 K 0 P x π ( 4 K 0 x + ) (.14) Burada K 0, eminin cinsine bağlı, sükunetteki basınç katsayısıdır ve Ø eminin içsel sürtünme açısı olmak üere, K0 = 1 sinφ (.15) ile hesaplanır. Tekinsoy ve ark. (009) tarafından yapılan araştırmalarda ise, emin yoğunluğunun kütle aktarımı sırasında önemli bir işlevi olduğu öne sürülmüştür. Bunun sonucu olarak kompasite, C, ve gerilme arasında da önemli bir ilişki olduğu varsayılmıştır. Kompasite, k C = γ (.16) γ S olduğuna göre daha, daha önce Tekinsoy (1995) tarafından tanımlanan (.14) denklemi, σ = γ γ k s 4 K 0 P π ( 4 K 0 x + ) 3 (.17) haline gelir. Böylece emin öellikleri, gerilme ifadesinin içinde, daha önemli değişkenler haline gelmiştir. Sonsu ortamda bir yüeyde tekil yükten dolayı oluşan düşey gerilmelerin hesaplanabilmesi için, Kelvin problemi olarak bilinen çöümde ise, 14

29 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR σ = + 8 π (1 ) Q 3 (1 µ ) 5 3 υ R R (.18) bağıntısı kullanılabilir (Şekil.9). Yatay radyal gerilmeler ise, Q 3 r σ r = (1 µ ) 3 8 π (1 υ ) R (.19) R şeklinde ifade edilir (Poulus ve Davis, 1974). Şekil.9. Tekil Yük Đçin Kelvin Problemi (Poulus ve Davis, 1974) Şekil.10 da ise yarı sonsu ortamda, Cerruti probleminde, tekil yükten dolayı oluşan, yatay ve düşey gerilmeler verilmiştir (Poulus ve Davis, 1974). 3 Qx σ = (.0) 5 π R bağıntısı ile düşey gerilmeler hesaplanabilir. Yatayda ise bağıntı, σ x = Qx π R 3 3 x R + 1 µ ( R + ) R y Ry R + (.1) 15

30 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR ile hesaplanır (Poulus ve Davis, 1974). Şekil.10. Tekil Yük Đçin Cerruti Problemi (Poulus ve Davis, 1974) Yapılarda yükler emine temel vasıtasıyla aktarıldığı için, tekil yük için elde edilen gerilme dağılımları gerçekçi olmamaktadır (Öaydın, 1989). Fakat tekil yük çöümlerinin integrali alınarak, yayılı yüklerin eminlerde yol açacağı, gerilme dağılımlarını bulmak mümkün olmaktadır. Zeminler genellikle yarı sonsu uay olarak ele alındıklarından, Boussinesq probleminde bulunan düşey gerilme d σ ve yarı uayın sınırına etki eden yük de dq olarak alınır. Bu diferansiyeller gerilme ifadelerinde yerlerine konulup, yükleme şekline bağlı olarak integralleri alındığında, gerilme dağılımları bulunmuş olur. Tekil kuvvet ifadelerinde Q yerine konulan dq diferansiyel yük ifadesine Green fonksiyonu adı verilir (Tekinsoy ve Laman, 000)..5. Üniform Yüklü Dairesel Alan Daha önce bulunan Boussinesq problemindeki düşey gerilme ifadesinde, Q yerine dq ve σ yerinede d σ alınarak, Green fonksiyonu aşağıdaki gibi verilebilir. 3 3 dq d σ = (.) π ( r + ) 16

31 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR Üerinde yayılı yük taşıyan alan dairesel olduğu için, A υ = π 0 r d r (.3) alınması gerekir. Bu dairesel alanın birim alanına gelen uniform yük q ise, şiddeti değişmeyeceği için da elemanter alanına gelen dq yükü dq = π qrdr (.4) olacaktır. Bu değer yukarıdaki ifadede yerine konulursa, aşağıdaki eşitlik toplam gerilme için yaılabilir. r = r R 3 3. π qrdr σ = (.5) / π 5 ( x ) = 0 + r = r R 3 rdr σ = 3 q (.6) 5 ( x ) = 0 + / Burada integral sınırlarında görülen R değeri, yükün yayılı olduğu dairesel alanın yarıçapını göstermektedir (Şekil.11). Yukarıdaki integralde r + =u dönüşümü yapılırsa, rdr = du / değeri yerine konularak σ = q ( r + ) 3 3 / r = R r = 0 (.7) 17

32 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR 3 ( ) σ = q 1 (.8) 3 / R + sonucu çıkar. Bulunan σ gerilmesi, dairesel alanın merkei altındaki düşey gerilme dağılımını göstermektedir. Dikkat edilirse R=0 iken σ =0 ve =0 iken σ =q basıncını verir. Bu ifade de paydadaki terim paranteine alınır ve R/ oranına göre düenlenirse, σ qi (.9) = I = (.30) R 1 + gerilme dağılımı I tekil faktörüne bağlı olarak gösterilmiş olmaktadır (Keskin, 003). Şekil.11. Uniform Yüklü Dairesel Alanın Merkei Altındaki Gerilme Dağılımı (Ödoğru ve ark, 1996) 18

33 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR Uniform dairesel yükten dolayı emin içinde oluşan düşey gerilme Westergaard (1938) tarafından aşağıdaki gibi ifade edilmektedir. k σ = q 1 1 / [ ( ) ] (.31) k + r / Burada k geometriye bağlı bir katsayıdır (Keskin, 003). Denklem.13, dairesel ve uniform yüklü fleksibl bir alanın altındaki gerilmeyi hesaplamak için düenlenirse, σ = q 1 3 ( 4 K R + ) 0 3 / (.3) ifadesi bulunur. Burada R, yayılı yükün yarıçapıdır (Tekinsoy, 1995)..6. Saint-Venant Prensibinin Yükleme Durumlarına Uygulanması 1855 yılında, Saint-Venant, klasik elastisite teorisinin mühendisliğin ilgilendiği problemlere uygulanmasının iyi sonuçlar verdiğini varsayan bir prensip ortaya atmıştır. Bu prensip öncelikle, Saint-Venant ın bilinen silindirik ve primatik cisimlerdeki uama, eğilme ve burulma ile ilgili çalışmalarında ifade edilmiştir. Prensibin ilk evrensel yorumlanışı Boussinesq (1885) tarafından yapılmıştır. Boussinesq, elastik bir cisme uygulanan dış yükler altında dengede olan bir sistemde, verilen tabakada uygulama yüeyi boyunca, tabakadan çapla orantılı olarak yeterli uaklıkta, ihmal edilebilir büyüklükte deformasyonlar ortaya çıktığını öne sürmüştür. Love (197) bunu şu şekilde yorumlamıştır: Bu prensibe göre, cisimde, yüeyinin küçük bir bölümüne, sıfır kuvveti ve sıfır kuvvet çifti ile statik olarak eşdeğer olan kuvvet sistemlerinin uygulanması ile oluşan şekil değiştirmeler, o bölümün lineer boyutlarıyla karşılaştırıldığında oldukça büyük uaklıklarda ihmal 19

34 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR edilebilir büyüklüktedir. Von Mises (1945) in de belirttiği gibi, bu ifadelerin cisme uygulanan kuvvetlerin her koşulda, denge haline gelene kadarki durumunun aydınlatılmaya ihtiyacı vardır. Bu dikkate değer durumda, yükleme düleminde verilen şekil değiştirmeler, uygulanan kuvvetlerin dengede olup olmadığına bakılmaksıın, yükleme alanlarından uakta yeterince küçük değerler alır. Buna ek olarak; elastik bir cismin sabit bir noktasındaki gerilmeler ve şekil değiştirmeler, kütle kuvvetlerinin yokluğunda, uygulanan yüklemelerin büyüklüğüne bağlı olarak keyfi değerler alabilir. Bütün bu önkoşullara rağmen Saint-Venant prensibinin, sadece birkaç fiiksel probleme elastisite teorisinin uygulanabilmesi haricinde, çok fala öneme sahip olabilir. Bu prensip yapısal mekanik ve gerilme analiinde sadece önemli bir rol alma aynı amanda baı çok sayılı problemlerdeki temel orlukların ihmal edilmesinin doğrulamasını sağlamak için de kullanılabilir (Selvadurai, 1979). Uun amandan beri; bir çok araştırmacı bu prensibin doğrulanması ve limitlerinin belirlenmesi üerine çalışmıştır. Saint-Venant prensibi üerine en kapsamlı çalışma Gurtin (197) tarafından yapılmıştır. Saint-Venant prensibinin anlatımı, herkesin kabul edeceği gibi, tamamlanmamış ve matematiksel titiliği olmasa da, aşağıdaki bir çok uygulanabilir kabuller içermektedir (Selvadurai, 1979). Homojen, iotropik, elastik cismin küçük bir bölgesine dağılan Σ kuvvetlerini dikkate alalım. Bu kuvvetler öncelikle Σ nin komşusu olan maleme tarafından karşılanır. Bu yükleme sonucunda oluşan gerilmeler, Σ yükleme bölgesinden uaklaştıkça hıla aalacaktır ve Σ boyutlarıyla karşılaştırıldığında uak mesafelerde ihmal edilebilir olmaktadır. Şimdi varsayalım ki Σ ı etkileyen bu kuvvetler, aynı Σ bölgesindeki statik olarak eşdeğer dağılımı tarafından değiştirilir. Statik olarak eşdeğerlik terimi aynı kuvvet ve moment sonuçlarına sahip iki kuvvet dağılımı içerir. Saint-Venant prensibi, aslında aynı olan Σ boyutlarıyla karşılaştırıldığında uak mesafelerde, Σ üerindeki kuvvetlerin iki farklı dağılımının etkilerini anlamamıı sağlar. Şimdi de elastik yarı uaydaki yükleme ile ilişkili geomekanik problemlere başvurarak prensibin geçerliliğini araştıralım. Yüeyine P normal kuvveti uygulanan iotropik elastik yarı uaydaki sistemde klasik Boussinesq problemini ele alalım. Bu problemin tam çöümü şöyledir (Davis ve Selvadurai, 1996): 0

35 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR (i) yarı-uay ortamındaki yüeyde bütün gerekli sınır koşullarını karşılar, (ii) r ve nin her ikisi sonsua giderken sıfıra düşen gerilme ve yer değiştirme alanlarındaki artışı verir, ve (iii) orijinde ortalanmış herhangi bir yarımküresel yüeydeki veya = sabit olan herhangi bir dülemdeki bileşke kuvvetlere sahiptir. Saint-Venant prensibini bu probleme uygulamak için, P kuvvetinin civarında onunla statik olarak eşdeğer dağılımını veren bir bileşke P kuvveti temsil etmemi gerekmektedir. Burada civar kelimesi, nokta kuvvetin onunla temsil edilen bir doğal uunluk parametresine sahip olana kadar, klasik Boussinesq probleminde or yorumlanmaktadır. Bu belirsiliği ortadan kaldırmak için, bir uunluk parametresi ile tanımlanmış, statik olarak eşdeğer dağılımı dikkate almak gerekir. Burada önemli nokta kaç statik eşdeğer dağılım tanımlamamı gerektiğidir. Bunun için sonsu sayıda olasılık bulunmaktadır. Analii kontrol edilebilir seviyede tutmak için, bileşke kuvvetin dört değişik temsilini dikkate almamı yeterlidir. Varsayılan dağılımlar ile asimetrik bileşke yükleme arasında statik eşdeğerlilik, varsayılan dağılımların asimetrik olması gerekliliği anlamına gelir. Bunu akılda tutarak, aşağıdaki durumları seçebiliri (Davis ve Selvadurai, 1996): yükleme, (i) a yarıçaplı ve P / π a şiddetinde ring yüklemesi, (ii) a yarıçaplı ve pik gerilme değeri (iii) a yarıçaplı ve 3 / a P π olan konik dairesel P / π a şiddetinde uniform dairesel yükleme, (iv) a yarıçaplı ve P / π a ( a r ) şiddetinde rijit dairesel yükleme. Bütün bu yüklemeler, P büyüklüğündeki toplam asimetrik yüklemeye katkıda bulunarak çok kolay doğrulanabilir. Geriye doğrulanması gereken, yarı sonsu uayda yüeydeki yüklemenin bütün dağılımı, r, ile yaklaşık olarak aynı sonucu vermesi durumudur. Herkesin kabul ettiği gibi, gerilme ve deplasmanlardaki değişiklikleri kabaca incelenirse, asimetrik yükleme konfigürasyonu ile belirtilen bütün yer değiştirme (u r, u ) ve gerilme bileşenlerinin (σ rr, σ θθ, σ, σ r ) dikkate alınması gerekmektedir. Yükleme etkilerinin dikey doğrultuda temel işlem boyunca hareketini anlamak için, her bölümün sonunda 1

36 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR ekseni boyunca u yer değiştirmesini gösteren şekiller bulunmaktadır (Davis ve Selvadurai, 1996)..6.1 Tekil Yükleme Boussinesq probleminin u için yapılan çöümünden, u ( r, ) P(1 υ ) 4 π G ( r + + (1 υ )( r = 1 / 3 / ) + ) (.33) elde edilir..6 denklemi içerisinde bir uunluk parametresi, a, tanımlanırsa denklem, P a u ( (1 υ ) (3 υ ) r, ) = + 1 / 4πGa ( r + ) (1 υ ) a (.34) şeklini alır. Bu durumda, P(1 υ ) (3 υ ) a [ u 0, ) ] = ( tekil. yük 4πGa (1 υ ) (.35) bulunur. Bulunan bu ifadenin en açık hali ise son olarak şu şekilde olur: iken [ u ( 0, )] 0 olur (Davis ve Selvadurai, 1996). tekil yük

37 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR Şekil.1. Tekil Yükleme Đçin Ekseni Boyunca u Yer Değiştirmesi (Davis ve Selvadurai, 1996).6.. Halka Yükleme Halka yüklemedeki ekseni boyunca yer değiştirme, Boussinesq probleminin tekil yük için çöümü kullanılarak bulunabilir. Halka yükleme elemanının uunluğu adθ için, ilave yer değiştirme eksen boyunca, P (1 υ ) d u (0, ) = a d θ 1 / π a 4 π G ( a + ) + (1 υ )( a + ) 3 / (.36) ifadesi ile bulunur. Halka yükleme sonucu tamamlanmış yer değiştirme (.36) denklemenin θ ( 0,π ) için entegrasyonu ile bulunur. [ u (0, )] 1 / h a lk a. y ü k le m e P (1 υ ) a = π G a ( a + ) a + (1 υ )( a + ) 3/ (.37) (.37) denkleminin terimlerini 1/ nin kuvvetleri olarak genişletilirse, 3

38 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR ( a a + ) 1 / = a 1 a (.38) ( a a + ) 3 / = a 3 a (.39) elde edilir. Bu yüden a giderken (.38) ve (.39) denklemlerinin baskın varyasyonları (a/) ifadesine benemektedir. (.37) denklemindeki baskın terimleri bu varyasyonlar ile değiştirilirse, P (1 υ ) (3 υ ) a [ u 0, )] = ( halka. yükleme 4πGa (1 υ ) (.40) ifadesi bulunur (Davis ve Selvadurai, 1996). Şekil.13. Halka yükleme için ekseni boyunca u yer değiştirmesi (Davis ve Selvadurai, 1996) 4

39 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR.6.3. Konik Dairesel Yükleme Konik dairesel yükleme sonucu oluşan eksen boyunca yer değiştirme, Boussinesq probleminin tekil yükleme için çöümünün entegrasyonu alınarak bulunur. Konik yükleme sonucu oluşan dağılım aşağıdaki gibidir: 3 P r σ ( r,0) = 1 (.41) πa a Konik yüklemenin rdr dθ alanı için, ekseni boyunca ilave yer değiştirme, 3 P r (1 υ ) du ( r, 0) = 1 rdrd θ 1/ π a a 4 π G ( r + ) + 3/ (1 υ)( r + ) (.4) olur. Bu durumda ekseni boyunca verilen toplam yer değiştirme dağılımı, a 6 P (1 υ ) u = r k o n ik. y ü k le m e π G a [ ( 0, ) ] 4 0 r + ( r + ) (1 υ )( r + ) 1/ 3 / dr (.43) halini alır. (.43) denklemindeki integral çöülürse 5

40 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR [ u (0, ) ] konik. yükleme 1/ 6 P(1 υ ) ( a + ) 1 υ = 4π Ga a a 1 υ υ ln a + a + (1 υ ) a a (.44) oluşur. (/a) oranı arttıkça (.44) denklemi, ( 1/ a + ) ifadesini genişleterek ve (a/) ifadesinin logaritmik kuvvetlerini alarak tekrar düenlendiğinde, a 1 + a 1 / = ln a + a + a + = 1 a a a +... (.45) (.46) gibi iki adet denklem elde edebiliri. (.45) ve (.46) eşitliklerini (.44) denkleminde yerine koyulursa, P (1 υ ) (3 υ ) a [ u 0, )] = ( konik. yükleme 4πGa (1 υ ) (.47) ifadesi elde edilir (Davis ve Selvadurai, 1996). Şekil.14. Konik dairesel yükleme için ekseni boyunca u yer değiştirmesi (Davis ve Selvadurai, 1996). 6

41 . ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Suat Ögün ŞENDUR.6.4. Uniform Dairesel Yük Daha önce yapılan analiiler dikkate alınarak, uniform dairesel yükün deformasyon dağılımı aşağıdaki gibi olur. P(1 υ ) a + (0, ) = 4 uniform. dairesel. yükleme 4π Ga a a [ u ] 1 + (1 υ )( a + ) 1/ (.48) Denklem düenlenirse, P (1 υ ) (3 υ ) a [ u 0, ) ] = ( uniform. dairesel. yükleme 4πGa (1 υ ) (.49) ifadesi elde edilir. 7

42 3. MATERYAL VE METOD Suat Ögün ŞENDUR 3. MATERYAL VE METOD Bu bölümde araştırmada kullanılan aletler ve deney düeneği hakkında bilgiler sunulacaktır Deney Düeneği Deneysel çalışmada kum eminler üerinde yapılan model deneyler sonucunda, emin içinde oluşan ilave düşey gerilmelerin oluşturduğu dağılım incelenmiştir. Çalışmada hücre olarak dairesel bir ring, gerilmeleri ölçmek için strain gauge kullanılmıştır Deney Hücresi Deneyde kullanılmak için klasik ödometre ringinden yola çıkılarak 10 cm çapında ve 4 cm yüksekliğinde bir ring tasarlanmıştır. Yan yüeyleri çelikten olup gerilme ölçülen alt yüeyde güçlü ve dayanaklı bir plastik olan derlin malemesi kullanılmıştır (Şekil 3.1). H = 4 cm Kum Strain gauge R = 10 cm Şekil 3.1. Deney Düeneğinin Yandan Görünüşü 8

43 3. MATERYAL VE METOD Suat Ögün ŞENDUR Şekil 3. Deney Düeneği Gerinim Pulu (Strain Gauge) Herhangi bir maleme üerinde, yüklemelerden dolayı meydana gelen gerilmeler doğrudan ölçülememektedir. Fakat gerilmeler, malemenin diğer ölçülebilir parametrelerinden hesaplanabilmektedir. Örneğin deformasyonlar ölçülebilirse gerilmeleri hesaplamak mümkün olmaktadır. Bu nedenle gerilme ölçümünde önce deformasyonlar ölçülmüştür (Kayadelen, 005). Gerinim ölçmek için gerinim pulu sıkça kullanılır. Gerinim pulu, elastik bir taşıyıcı üerinde bulunan, birbirine paralel bağlantılı, ince tellerden oluşmuştur. Gerinim pulu, gerinimi ölçülecek maddenin yüeyine yapıştırılır. Maddeye uygulanan yükle doğru orantılı olarak gerinim pulu uayacak yada kısalacaktır. Pul üerindeki tellerin de aynı şekilde uunluğu değişecek ve direnci orantılı olarak aalıp artacaktır. Gerinim pullarının dirençleri, gerilimle doğrusal olarak değişir. Pullar, genellikle 10Ω ya da 350Ω ohm gibi standart değerlerde üretilir. Gerinim, bir kütlenin, uygulanan yük nedeni ile deforme olmasıdır. Gerinim, D kalınlığında ve L uunluğundaki bir kütlenin, L kadar uamasının boyuna olan oranı olarak tanımlanır (Şekil 3.3). 9

44 3. MATERYAL VE METOD Suat Ögün ŞENDUR D F, Kuvvet L L Şekil 3.3. Gerinimin Tanımı Poitif gerinim çekme, negatif gerinim ise basma olarak adlandırılır. Gerinim bir oran olmasından dolayı birimi yoktur. Ancak kimi uygulamalarda mm/mm cinsinden yaılır. Öte yandan, gerinim çok küçük olduğu için mikro gerinim (µε) olarak ifade edilir. Her bir strain gage, üretici firma tarafından belirlenmiş olan, şekil değiştirme ile direnç arasında uygunluğu sağlayan ve gage faktörü (GF) denilen, hassasiyet faktörüne sahiptir. GF R R = (3.1) L L değişimi, Burada; R R L L adlandırılmaktadır. : Strain gage in deforme olmadan önceki direnci, : Şekil değiştirme nedeniyle strain gage üerinde oluşan direnç = ε : Şekil değiştirme (Birim deformasyon), olarak Metalik strain gage ler için gage faktörü (GF) genel olarak civarındadır. Gerinim pullarının sıcaklığa göre de değerleri değişebilir. Üretici firmalar her ne kadar pulları sıcaklık değişimlerine karşı kompane etmişlerse bile yine de 10 C değişimde, pulların direnci tipik olarak milyonda 3 (ppm) değişir. Bu da 1000 Ω luk 30

45 3. MATERYAL VE METOD Suat Ögün ŞENDUR ve gerinim faktörü GF= olan bir pulun 11.5 µε/c o hata yapmasına yol açar. Bu yüden, gerinim pulları kullanılırken, sıcaklık kompanasyonu yapılması önemlidir Gerinim Ölçümü 10 Ω luk bir gerinim pulunun (GF = ) 500µε lik bir gerinim altında direnç değeri ( ) = %0.1yani 0.1 Ω değişecektir. Bu denli küçük bir direnç değişimini ölçebilmek için wheatstone köprüsü kullanılır (Şekil 3.4). Şekil 3.4 Wheatstone Köprüsü Wheatstone köprüsü, statik veya dinamik elektriksel direnç ölçmek için kullanılan bir köprü devresidir. Şekil 3.4 teki devrede, R x ölçülmek istenen dirençtir; R 1, R ve R 3 direnci bilinen reistanslardır ve R direnci ayarlanabilir. Eğer bilinen iki koldaki iki direncin oranı, ( R R1 ( R x R3 ) bilinmeyen iki koldaki direncin oranına ) eşitse, o aman iki orta nokta (B ve D) arasındaki voltaj sıfır olacaktır ve V g galvanometresinden hiç akım geçmeyecektir. Bu koşula ulaşana kadar R değişir. Bu noktaya ulaşıldığında, kesinlik en üst seviyeye ulaşır. Bu yüden, eğer R 1, R ve R 3 yüksek kesinlikli olarak biliniyorsa, o aman ölçülebilir. saptanır. R x de yüksek kesinlikle R x direncindeki çok küçük değişiklikler bile dengeyi boar ve kolaylıkla 31

46 3. MATERYAL VE METOD Suat Ögün ŞENDUR Wheatstone köprüsü dört dirençten oluşmuştur. Köprü bir Vi ika gerilimiyle uyarılır. Köprünün orta bacaklarındaki gerilim farlı V G : R3 R V G = Vi R R R R (3.) olarak hesaplanabilir. Eğer R1/R = R3/R4 olursa V G gerilimi sıfır olur. Bu halde köprü dengededir. Eğer dengelenmiş köprünün herhangi bir bacağında direnç değişimi olursa köprü dengesi boulur ve direnç değişimiyle orantılı olarak bir gerilim farkı oluşur. Şekil 3.3 teki köprünün R4 direnci yerine bir gerinim pulu takılır ve R1=R, R3=Rg olacak şekilde direnç değerleri değiştirilirse köprü çıkışında gerinilme oranı için, orantılı bir gerilim farkı elde edilir. Rg değerindeki pulun direnç değişimi R = Rg x GF x ε olacaktır. Buna göre çeyrek köprü şeklinde bağlanmış olan gerinim pulunun çıkışta oluşturacağı gerinim farkı, ε cinsinden yaılırsa : GF ε 1 V G = Vi 4 ε GF 1 + (Volts) (3.3) olacaktır. Burada çıkış geriliminin erinilme oranı doğrusal değildir. Öte yandan köprü çıkışı bir fark yükselteci devresiyle yükseltilir. mv mertebesinde olan köprü çıkış gerilimi Volt mertebesine yükseltilmiştir. Bu durumda, yukarıdaki denkleme bir de analog sinyal işleme devresinden gelecek, kaanç faktörünü (GAIN) eklemek gerekir. GF ε 1 V G = Vi GAIN 4 ε GF 1 + (Volts) (3.4) 3

47 3. MATERYAL VE METOD Suat Ögün ŞENDUR Birçok mühendislik ölçümü çalışmasında kalibrasyon ve referans alma orluğu olduğu için tek puldan gelen bilginin doğru olarak gerinim bilgisine çevrilebilmesi için pulun gerinim oranı (GF), köprü ika gerilimi (Vi) ve analog sinyal işleme devresi kaanç faktörünün tam olarak bilinmesi gerekir. Tipik olarak GF =, Vi = 5Volt ve GAIN = 500 alınırsa ε V G = 150 (Volts) (3.5) 1 + ε olarak hesaplanır. Bu sayede çıkış voltajı ölçülerek, herhangi bir kalibrasyon yapılmaksıın pul üerindeki gerinim hesaplanabilir. Yukarıdaki denklemden elde edilen gerinim değerini µε cinsinden elde etmek için sonucu 1x10 6 ile çarpmak gerekir. Bulunan birimsi ε değerleri kullanılan malemenin E, elastiste modülü ile çarpılıp gerilme değerine geçilebilmektedir Strain Gauge Uygulaması Strain gauge tabanda gerilme dağılımının belirlenebilmesi için, derlin üerine belirli mesafelerde yapıştırılmıştır (Şekil 3.7). Yapıştırma işleminden önce malemenin yüeyi dikkatlice temilenmiştir. Yapıştırma işlemi, kuvvetli yapıştırıcılar ile gerçekleştirildiğinden, daha dayanıksı malemeleri eritebileceği için, derlin malemesi seçilmiştir. Derlin malemesinin elastiste modülü 8000 kn/mm dir. Strain gaugle; ring tabanına bir tanesi merkede, diğer ikisi merkein her iki tarafında, merkeden,5 cm uakta olacak şekilde yapıştırılmıştır. Deney süresince sonuçların okunması ve kaydedilmesi için, 8 kanal girişli ADU (Autonomous Data Acquistion Unıt) isimli, bir veri kayıt (data logger) cihaı kullanılmıştır (Şekil 3.6). Veri kayıt cihaı; bilgisayar ortamına gelen sinyalleri, TDG firmasına ait olan bir program ile sayısal olarak kaydedilmiştir (Şekil 3.5). 33

48 3. MATERYAL VE METOD Suat Ögün ŞENDUR Şekil 3.5 Sonuç Okuma Düeneği Şekil 3.6 ADU 34

49 3. MATERYAL VE METOD Suat Ögün ŞENDUR Strain gauge,5 cm,5 cm,5 cm,5 cm R = 10 cm Şekil 3.7 Strain Gauge lerin ring altına yerleştirilmesi Şekil 3.8. Strain Gauge lerin düeneğe yapıştırılması 3.. Zemin Öellikleri Deneyde kullanmak için uniform kum haırlanmıştır mm (No: 0) elekten geçirilip 0.59 mm (No: 30) elek üerinde kalan temi, kuru ve serbestçe akabilen, çimentolaşmamış temi kum labaratuar ortamında haırlanmıştır. 35

50 3. MATERYAL VE METOD Suat Ögün ŞENDUR Numune üerinde yapılan deneylerde kumun dane birim hacim ağırlığı, γ s = 0,65 kn/m 3 bulunmuştur. Haırlanan iki sıkılık oranında yapılan kesme kutusu deneylerinde, her sıkılık oranı için içsel sürtünme açısı, Ø, elde edilmiştir. γ k = 15,09 kn/m 3 için Ø = 36 o, γ k = 18,86 kn/m 3 için Ø = 46 o sonuçları bulunmuştur (Keskin, 009) Deneyin Yapılışı 1. Kum numune; kasa içerisine belirli bir yükseklikten serbest bir biçimde dökülerek ölçeklendirilen yüksekliklere kadar yerleştirilmiştir. γ k = 15,09 kn/m 3 sıkılık elde edilmiştir. Đkinci aşamada kum, belirli mesafelerden düşürülen belirli yüklerle sıkıştırılarak ( sıkılık γ k = 18,86 kn/m 3 ) aynı deneyler tekrarlanmıştır.. Kum yerleştirildikten sonra, cm çaplı dairesel temel, emin üerine, ringin merkeine gelmesine dikkat edilerek yerleştirilmiştir (Şekil 3.8) Şekil 3.9. Dairesel temelin numune üerine yerleştirilmesi 36

51 3. MATERYAL VE METOD Suat Ögün ŞENDUR 3. Yük dairesel temel üerine yerleştirilmiş ve okuyucudan değerler alınmıştır. Yüklemeye eminde göçme meydana gelene kadar devam edilmiştir (Şekil 3.9). Şekil Numune Üerine Đlk Yükleme 4. Bu işlemler belirli derinliklerde (1 cm, cm, 3 cm, 4cm) ve her iki sıkılıkta tekrarlanmıştır. 37

52 3. MATERYAL VE METOD Suat Ögün ŞENDUR Şekil Numune üerindeki son yükleme durumu 3.4. Deney Programı Zeminlerde; gerilmelerin derinlikle değişimi dikkate alınarak, Saint-Venant prensibinin geçerliliği incelenmiştir. Bu nedenle deney farklı derinliklerde tekrarlanmış, merkede ve taban kenarlarına yakın yerlerde sonuçlar alınmış ve bu değerler teorik sonuçlar ile karşılaştırılmıştır. 38

53 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Suat Ögün ŞENDUR 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Bu bölümde deneylerde bulunan sonuçlar verilmiş, teorik olarak bulunan sonuçlar ile karşılaştırılmıştır γ k = 15,09 kn/m 3 Đçin Düşey Gerilme Analii Zemin γ k = 15,09 kn/m 3 olacak şekilde ringe yerleştirilmiş ve değişik yüklerle yüklenip, emin tabanındaki gerilmeler, farklı derinliklerde incelenmiştir. Sonuçlar Boussinesq, Westergaard ve Tekinsoy un çöümleriyle karşılaştırılmıştır. Strain gauge numaralandırılması Şekil 4.1 deki gibi yapılmıştır. 1 3 Strain Gauge Şekil 4.1 Strain Gauge Numaralandırılması Aşağıda çielge ve grafiklerde, sonuçlar sırasıyla, artan yük değerlerine bağlı olarak gösterilmiştir. 39

54 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Suat Ögün ŞENDUR Çielge 4.1. q =,999 * 10-3 N/mm Yüklemesiyle Gerilme Ve Derinlik Değişimleri (γ k = 15,09 kn/m 3 ) ε (mm/mm) (*10-3 ) σ (N/mm ) (*10-3 ) Derinlik 1 Nolu SG Nolu SG 3 Nolu SG 1 Nolu SG Nolu SG3 Nolu SG = 1 cm 11, , , , , , = cm 9, , , , , , = 3 cm 5, ,96056, , , , = 4 cm 5, ,6016, , ,3503 0, Şekil 4.. q =,999 * 10-3 N/mm Yüklemesinde Gerilme Dağılımının Derinlik ile Değişim Grafiği (γ k = 15,09 kn/m 3 ) 40