BURULMA (TORSİON) Dairesel Kesitli Çubukların (Millerin) Burulması MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor

Transkript

1 3 BURULMA (TORSİON) Dairesel Kesitli Çubukların (Millerin) Burulması MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 1

2 3. Burulma Genel Bilgiler Burulma (Torsion): Dairesel Kesitli Millerde Gerilme ve Şekil Değiştirmeler Endüstriyel uygulamalarda en çok rastlanan yükleme tiplerinden birisi dairesel kesitli millere gelen burulma Hasar şekilleri Sünek malzeme Gevrek malzeme momentleridir. Burulma momenti vektörü sağ el kaidesine göre çubuk ekseni doğrultusundadır. Bu konuda ilk amacımız burulma momenti sebebiyle mil kesitinde (dairesel kesittte) oluşan gerilmelerin dağılımını bulmak ve herbir noktadaki değerini hesaplamaktır MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor

3 3. Burulma Genel Bilgiler Aslında çamaşır sıkmak, teknik anlamda çamaşıra her iki ucundan burulma momenti uygulamak demektir MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 3

4 3.1 Millerin burulması için yapılan kabuller Dairesel kesitli çubuk elemanlara mil (ingilizcesi: shaft) denir. Gözlemlere dayanarak, burulmaya maruz bir milde, elastik sınırlar içerisinde aşağıdaki kabullerin yapılabilir: 1- Dönme veya başka ifade ile burulma açısı ( f ) uygulanan tork değeri ve uzunlukla doğru orantılı olarak değişir. - Tüm düzlem dairesel kesitler düzlem kalır ve şekli değişmez. Kesitlerde herhangi bir çarpılma olmaz. (Dairesel kesitli olmayan elemanlarda çarpılma oluşur) 3- Kesit üzerine çizilen (markalanan) bir çap çizgisi burulma sonrası yine düz kalır. Bu kabüllerden yola çıkarak, dairesel kesitli bir çubuk elemanda elastik yüklemede, burulma sonrası oluşan gerilme dağılımları ve şekil değiştirmeler hesaplanabilir. ( Dairesel kesitli olmayan parçalarda bu kabüller yapılamaz. Bu tip elemanlarda burulma sırasındaki gerilme ve şekil değiştirmelerin hesap yaklaşımları ve formülleri tamamen farklıdır. Bu konu ders kapsamımızın dışındadır.) 1-

5 3. Gerilme ve Şekil Değiştirme Hesabı: Bir mil her iki ucundan elastik sınırlar içinde burulma momentine maruz olsun. Denge halindeki milin hayali bazda ayırdığımız her bir parçası da iç ve dış kuvvetlerin etkisi ile dengededir (ayırma prensibi) df : da diferansiyel elemanına düşen iç kuvvet ρdf: df kuvvetlerinin merkeze göre momentlerinin toplamı : iç momente eşittir. T iç T df da MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 5

6 3. Gerilme ve Şekil Değiştirme Hesabı -devam: A Kayma şekil değiştirmesi dönme açısı ve radyüsle orantılıdır f AA' yay uzunlugu L f f G G.. L f f T da. G.. da G.. da L L : : kesitin polar atalet momenti T G. f. L (Hooke Bağıntısı). da L A f T. L G. G. T. L. L G. T (D 3.1) (D 3.) D 3.1 ve D3. denklemleri elastik yükleme ve miller için geçerlidir. T : burulma momenti (tork) (N.mm) τ : kayma gerilmesi (N/mm ) f: burulma (dönme) açısı (radyan) : dairesel kesitin polar atalet momenti (mm ) G: Malzeme Rijitlik modülü (MPa) İçi dolu mil 1 1 c. d c c d d 3 İçi boş mil 1-6

7 3.3 Dairesel kesitteki kayma gerilmesi dağılımı: Kesit merkezinden kadar uzak bir noktada kayma gerilmesi D 3. denkleminden : Bir kesitteki T ve değeri T sabittir. Değişen sadece merkezden olan uzaklık ( değeridir. r a T max Tr Buna göre: c merkezden aynı uzaklıktaki yani aynı çember üzerindeki noktalardaki (örn: a, b, c noktalarındaki) gerilmeler birbirlerine eşittir. b. -Dışa doğru gidildikçe artacağı için, gerilmeler de (doğrusal olarak) artar. 3. Maksimum gerilme en dış çemberde ortaya çıkar. Zira dış çemberde max = r dir.. Merkezde ise 0 olduğu için gerilme sıfırdır. max max. Kayma gerilmeleri çemberin o noktadaki teğeti doğrultusundadır. Bazen r yerine c kullanılabiliyor MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 7 T T.c

8 3. Burulmada Şekil Değiştirme: 3..1 Elastik Bölgede Burulma Açısı (f D 3.1 denkleminden f TL G olarak bulmuştuk. Bu açı mil ekseni (x) etrafında mil kesitlerinin birbirlerine göre dönme miktarını verir. Ve burulmadaki hiperstatik problemler için kullanılır. Bu formül milin öyle bir kısmına uygulanabilir ki; o kısımda - her iki uç kesitte eşit ve zıt T burulma momenti vardır. Arada başka bir moment yoktur. - L boyunca malzeme ve kesit geometrisi aynıdır. - Yandaki şekli inceleyerek f açısını iyice anlamaya çalışınız. G f B / A TL G Kademeli millerde Burulma açısı: - Yukarıdaki şartlardan en az birisi sağlanamıyorsa mil kademelidir ve yine bölgelere ayrılır. Herbir bölgede, L boyunca; T (dış yük), (kesit) ve G (malzeme) sabit olmalıdır. Bunlardan birisi değişirse bölge değişir. f i Ti Li G i i Kademeli mil örneği MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 8

9 3.. (f açısının işareti: İncelediğimiz kesite karşıdan dik olarak baktığımızda kesitteki İç moment (Tiç) yönü saat ibreleri yönünde ise f açısı pozitif ( + ) alınır. Saat ibreleri tersi yönünde ise işareti negatif ( - ) alınır. Aşağıdaki şekilleri dikkatlice inceleyiniz. I I kesimleri Saat ibreleri yönünde Saat ibreleri yönünde MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 9

10 Örnek 3.1: Şekildeki boru için emniyetli kayma gerilmesi değeri 10 MPa olduğuna göre emniyet sınırları içerisinde uygulanabilecek burulma momentini ve bu momente karşılık gelen minimum kayma gerilmesini bulunuz. max T.c c: yarıçap İçi boş kesitin polar atalet momenti: max max min. min. min. max MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 10

11 Örnek 3.: Şekildeki kademeli milin BC kısmının içi boştur ve iç çapı 90 mm, dış çapı 10 mm dir. Diğer kısımların içi dolu ve çapları d dir. Buna göre; a-) AB ve CD kısımları için izin verilebilir (emniyetli) kayma gerilmesi değeri 65 MPa ise «d» minimum ne olmalıdır? b-) BC kısmındaki maksimum ve minimum kayma gerilmelerini bulunuz. Çözüm: A ucundan başlayıp D ye kadar mili bölgelere ayıracağız. Ani Moment (T) ve mil kesiti değiştiğinde () bölge değişir. Buna göre AB, BC ve CD olmak üzere 3 bölge vardır. Şimdi herbir bölgeye ayırma prensibi uygulayacağız, statik dengeden iç momentleri tespit edeceğiz ve bu iç momenti gerilme formülünde yerine koyacağız. AB bölgesi BC bölgesi CD bölgesi MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 11

12 a) max TAB. c T c 38.9mm AB. c c emn. 6 6x10 Nmm 3 c 65MPa d c 77.8mm * CD kısmı içinde, iç moment değeri aynı olduğundan aynı sonuç bulunur. b) max c c 60mm 5mm 1 mm T BC c 86.MPa 6 0x10 N mm60mm mm min T BC c 1 6 0x MPa max min 86. MPa 6.7 MPa MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 1

13 III Örnek 3.3: Şekildeki çelik kademeli milin kayma modülü G=77 GPa olduğuna göre A ucunun toplam dönme (burulma) açısını bulunuz. Çözüm: Statik dengeden ankastre uçtaki tepki momenti TD = 50 knm çıkar. Ancak kesimlerde sağ kısmı alırsak bunu bulmamıza gerek yoktur. II III I Mili 3 bölgeye ayırabiliriz. DC, CB, BA bölgeleri II I Aslında bizden sorulan A düzleminin D düzlemine göre dönme (burulma) açısıdır. ( = AD =? ) Bu ise D den A ya kadar olan bölgelerin birbirlerine göre dönmelerinin toplamına eşittir. Yani; AD = CD + BC + CA C nin D ye göre dönme açısı Şunu farkettiniz mi? Aslında A düzlemi fcd + fbc kadar ötelenir, 50Nm lik burulma momenti etkisiyle fab kadar şekil değiştirir. Bu durumda toplam dönmesi (fad) bu üç açının toplamı kadar olur. Bu şekli dikkatlice inceleyerek düzlemlerin birbirlerine göre dönme açılarını anlamaya çalışın MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 13

14 Şimdi bölgeleri sırayla inceleyip ayırma prensibine göre iç momentleri bulacağız. Unutmayın, formülünde T değeri bölgenin kesiminden elde ettiğimiz iç moment değeridir. 1.Bölge: AB kısmı L1 =00mm Tiç-1 I-I kesimi 1 = AB = π c 1 = π 15 = mm AB = + T iç 1. L 1 G. 1 = T AB. L 1 G. 1 = 50x103 Nmm. 00mm 77000MPa mm = rad I-I kesitine dik ve karşıdan bakıldığında T iç-1 saat ibreleri yönünde olduğundan f pozitiftir..bölge: CB kısmı Statik denge şartı : M x = 0 T BC = 0 T BC = 50Nm L =00mm, = BC = π c = π 30 = 17000mm II -II kesimi BC = + T iç. L G. = T BC. L G. = 50x103 Nmm. 00mm 77000MPa mm = rad MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 1

15 3.Bölge: CD kısmı L3 =600mm 3 = CD = π (c c 1 ) = π (30 ) = 90000mm CD = + T iç 1. L 1 G. 1 = T AB. L 1 G. 1 = 50x103 Nmm. 600mm 77000MPa mm = rad AD = T i. L i G i. i = CD + BC + CA = = 0.03rd AD = 0.003x 180 π =.31o MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 15

16 3.5 Burulmada hiperstatik mil problemleri: Bilinmeyen tepkileri bulmak için statik denklem sayısının yeterli olmadığı burulma problemlerine denir. Önceden bilinen burulma açısından ek denklemler elde edilerek bilinmeyen tepkiler bulunabilir. Bu konuyu örneklerle anlamaya çalışacağız. Örnek 3.: Şekildeki milin (yarısının içi boş) dış çapı mm ve içi boş kısmın iç çapı ise 1 mm dir. Mil A ve B noktalarından sabitlenmiştir. Milin tam ortasına 10 N.m lik bir tork uygulandığında A ve B noktalarında meydana gelen reaksiyon momentlerini bulunuz? Çözüm: Statik dengeden: TAL G 1 B 1 T L G T f f 0 A T 10N m B B ve A ankastre olduğu için, bu kısımlarda dönme olmaz. Dolayısıyla toplam dönme açısı ( B nin A ya göre burulma açısı) sıfırdır. Mili iki bölgeye ayırırız. f B / A C / A fb / C L 1 = L = 15mm T ( 1 ) B T A 1.( c c. c 1 (1) ve () den ) T A T A T B 0.91xT T A 6.8 N m, T N m B A ( ) MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 16

17 Örnek 3.5* Sağ taraftan sabitlenmiş çelik bir mil ile alüminyum bir tüp, şekildeki gibi rijit bir diske bağlanmıştır. Çelik mil ve alüminyum tüp için emniyetli kayma gerilmeleri sırasıyla 10 MPa ve 70 MPa olduğuna göre; disk vasıtasıyla sisteme uygulanabilecek maksimum tork değerini bulunuz. (G Alüm.=7 GPa, G Çelik =77 GPa) Örnek (Soru) 3.6 Şekildeki ankastre boruya emniyet sınırları içinde uygulanabilecek maksimum burulma momenti ( T ) değerini hesaplayınız. ( d = 30mm, emn. = 5MPa) ( Cevap: T = 6.7Nm) Örnek (Soru) 3.7 Şekildeki kademeli milde, AB ve BC kısımlarında oluşan maksimum gerilmeleri hesaplayınız. Cevap: 56.6 MPa, 36.6 MPa ) MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 17

18 Örnek (Soru) 3.8 Şekildeki elektrik motorundan alınan, 500Nm lik tork B ve C dişlileri tarafından 00Nm ve 300Nm olarak iletilmektedir. A yatağı dönmeye izin vermektedir. Bu durumda A ucunun D ye göre dönme miktarını (burulma açısını ) hesaplayınız. Cevap: 3. o Örnek (Soru) 3.9 Alüminyum ve pirinç kısımlarından oluşan, her iki ucu sabit duvara bağlı olan kademeli mile T =1.kNm lik bir tork uygulanıyor. Bu durumda sistemin emniyet kontrolünü yapınız. Verilenler: Emniyet faktörü n=, G alüm. =6GPa, G pirinç. =39GPa akma-alüm.= 10MPa, akma-pirinç.= 160MPa, Cevap: max-alüm = 7.9 MPa (emniyetli); max-pirinç = 36.7 MPa (emniyetli) MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 18