GERİLME Cismin kesilmiş alanı üzerinde O

Transkript

1 GERİLME Cismin kesilmiş alanı üzerinde O ile tanımlı noktasına etki eden kuvvet ve momentin kesit alana etki eden gerçek yayılı yüklerin bileşke etkisini temsil ettiği ifade edilmişti. Cisimlerin mukavemeti çalışmalarında, bu dağılımın elde edilmesi birinci derece öneme sahiptir. Bu problemi çözmek için gerilme kavramının tesis edilmesi gerekir.

2 GERİLME Kesilmiş alanı, şekil görülen A gibi küçük alt alanlara parçalamakla başlayacağız. A alanını daha küçük çok daha küçük boyutlara bölerken malzeme özellikleriyle ilgili iki kabul yapmamız gerekir. Malzemeyi sürekli ortam yani düzgün dağılımlı veya boşluksuz kabul edeceğiz. A alanına etki eden sonlu ancak çok küçük F kuvveti şekilde gösterilmiştir. Diğerleri gibi bu kuvvette tek bir doğrultuya sahip olmakla birlikte detaylı inceleme yapabilmek için onu sırasıyla alana teğet, teğet ve normal Fx, Fy ve Fz bileşenleriyle değiştireceğiz. A sıfıra yaklaşırken F ve bileşenleri de sıfıra yaklaşır; her halükarda kuvvetin alana oranı sonlu bir limite yaklaşacaktır. Bu oran gerilme olarak adlandırılır ve ifade edildiği gibi bir noktadan geçen belirli alana etki eden iç kuvvet yoğunluğu olarak tanımlanır.

3 GERİLME Normal Gerilme. A ya dik olarak etki eden kuvvet yoğunluğu normal gerilme olarak tanımlanır ve (sigma) ile sembolize edilir. Fz alana dik olduğundan F z σ z = lim A 0 A Eğer normal kuvvet veya gerilme, şekilde görüldüğü gibi, A alanına çeki uyguluyorsa çekme gerilmesi, buna karşı bası uyguluyorsa basma gerilmesi olarak adlandırılır.

4 GERİLME Kayma Gerilmesi. A ya paralel olarak etki eden kuvvet yoğunluğu kayma gerilmesi olarak tanımlanır ve (tau) ile sembolize edilir. Burada, kayma gerilmesi bileşenleri olacağından F x τ zx = lim A 0 A F y τ zy = lim A 0 A Bu notasyonda, alt indis z alan A nın doğrultusunu tanımlarken x ve y her bir kayma gerilmesinin etki ettiği eksenleri göstermektedir.

5 GERİLME Birimler. Gerilme, birim alandaki kuvveti tanımladığından Uluslararası standart veya SI birim sisteminde, hem normal hem de kayma gerilme bileşenlerinin büyüklükleri temel birimlerle metre karedeki Newton cinsinden kuvvet (N/m 2 ) olarak belirlenir. Pascal (1Pa =1N/m 2 ) olarak adlandırılan bu birim oldukça küçük bir büyüklüğü ifade ettiğinden mühendislik çalışmalarında k ön eki ile sembolize edilen kilo- (10 3 ), M ile sembolize edilen Mega- (10 6 ) ve G ile sembolize edilen Giga- (10 9 ) gibi daha gerçekçi gerilme büyüklükleri ifade edilirken ön ekleriyle birlikte kullanılır.

6 Eksenel Yüklü Çubukta Ortalama Normal Gerilme Bu bölümde, şekilde gösterildiği gibi eksenel yüklü çubuğun kesit alanına etki eden ortalama gerilme dağılımını belirleyeceğiz. Uzunluğu boyunca bütün kesitleri aynı olduğu için bu çubuk prizmatiktir. Çubuğun malzemesi hem homojen hem de izotropik olması durumunda, çubuğa kesit alanın merkezinden geçen P yükü uygulandığında, gösterildiği gibi uzunluğunun merkez bölgesi boyunca düzgün olarak şekil değiştirecektir.

7 Eksenel Yüklü Çubukta Ortalama Normal Gerilme Homojen malzeme hacmin her yerinde aynı fiziksel ve mekanik özelliklere sahip iken izotrop malzeme ise her doğrultuda aynı özelliklere sahiptir. Çoğu mühendislik malzemelerine burada olduğu gibi yaklaşım uygulanarak hem homojen hem izotrop kabul edilebilir. Ahşapta olduğu gibi anizotrop malzemeler farklı doğrultularda farklı özelliklere sahip olmakla birlikte, anizotropi çubuk ekseni boyunca yönlenmişse, eksenel P yüküne maruz çubuk yine düzgün deforme olacaktır.

8 Eksenel Yüklü Çubukta Ortalama Normal Gerilme Çubuk boyunca kesim yaparsak çubuğu iki parçaya böleriz. Bunun sonucu olarak, denge şartı kesitteki bileşke normal kuvvetin P ye denk olmasını gerektirir. Malzeme düzgün deforme olduğundan kesit sabit normal gerilme dağılımına maruz olması gerekir. Sonuç olarak, kesit alandaki her bir küçük A alanı F= A kuvvetine maruzdur. Bütün kesit üzerine etki eden bu kuvvetlerin toplamı, kesitteki bileşke iç kuvvet P ye eşit olmalıdır. Eğer A da olduğunu kabul edersek bu durumda F df olacaktır.

9 Eksenel Yüklü Çubukta Ortalama Normal Gerilme + F = F ; df = σ da P = σa σ = Burada, σ = Kesit alandaki herhangi bir noktadaki ortalama normal gerilme P = Kesit alanın merkezi boyunca etki eden bileşke normal iç kuvvet. P kesim metodu ve denge denklemleri kullanılarak belirlenir. A = Gerilmenin belirleneceği çubuğun kesit alanı İç yük P, çubuk kesitinin ağırlık merkezinden geçtiği için düzgün gerilme dağılımı x ve y eksenleri etrafında sıfır moment meydana getirecektir.

10 Eksenel Yüklü Çubukta Ortalama Normal Gerilme Denge. Eksenel yüklü çubuğun kesitinin her bir noktasındaki küçük hacim eleman üzerinde sadece normal gerilme oluşacağı aşikârdır. Hacim elemanın dengesi göz önüne alınır ve kuvvetlere denge denklemleri uygulanırsa, F z = 0; σ A σ A = 0 σ = σ Bir başka ifadeyle, eleman üzerindeki iki normal gerilme bileşeni eşit büyüklükte fakat zıt yönde olmalıdır. Bu tek eksenli gerilme olarak tanımlanır. Bileşke iç kuvvet P nin büyüklüğü grafik olarak, gerilme diyagramı altındaki hacme eşittir. Yani, P= A (Hacim=Taban Yükseklik). Buna ilaveten, moment dengesinin sonucu olarak bu bileşke hacmin ağırlık merkezinden geçer.

11 Eksenel Yüklü Çubukta Ortalama Normal Gerilme

12 Eksenel Yüklü Çubukta Ortalama Normal Gerilme Analizde, hem iç kuvvet P hem de kesit alan A çubuğun ekseni boyunca sabit olduğu için çubuğun uzunluğu boyunca normal gerilme = P/A da sabittir. Bununla birlikte, çubuk ekseni boyunca birden fazla dış yüke maruz kalabilir veya kesitinde değişim meydana gelebilir. Yani, çubuktaki normal gerilme bir kesitten diğerine değişebilir. Eğer maksimum ortalama normal gerilme belirlenecekse, P/A oranının nerede maksimum olacağının belirlenmesi gerekir. Bunu yapmak için çubuk boyunca farklı kesitlerdeki iç kuvvet P belirlenmelidir. Bu gibi durumlarda, eksenel veya normal kuvvet diyagramı çizilerek bu değişimin gösterilmesi faydalı olabilir. Özel olarak da, bu diyagram normal kuvvet P nin kiriş uzunluğu boyunca x bağlı pozisyonunun grafiğidir. İşaret kabulüne uygun olarak elemanda çekmeye sebep olan P pozitif, basınca sebep olan P ise negatiftir.

13 ÖRNEK 80 kg lamba şekil (a) görüldüğü gibi AB ve BC çubuklarıyla taşınmaktadır. AB çubuğunun çapı 10 mm ve BC çubuğunun çapı 8 mm ise her bir çubukta oluşan ortalama normal gerilmeyi hesaplayınız. İç kuvvetler: Öncelikle her bir çubuktaki eksenel kuvvetler belirlenir. Lambanın serbest cisim diyagramı şekilde (b) gösterilmiştir. Denge denklemlerinden, F x = 0; F y = 0; F BC 4 5 F BA cos60 = 0 F BC F BA sin N = 0 F BC = N, F BA = N

14 ÖRNEK F BC = N F BA = N Ortalama Normal Gerilme σ BC = F BC A BC σ BA = F BA A BA = N = MPa π( m) N = MPa π( m) 2

15 ÖRNEK NOT: AB çubuğunun kesitine etki eden ortalama normal gerilme dağılımı şekil (c) de ve kesit üzerindeki bir noktada gerilme durumu birim hacim elemanda şekil (d) görülmektedir.

16 ÖRNEK Şekil (a) daki çubuk sabit 35 mm genişliğe ve 10 mm kalınlığa sahiptir. Görülen yüklere maruz çubukta oluşan maksimum ortalama normal gerilmeyi belirleyiniz.

17 ÖRNEK İç Yükler: AB, BC ve CD bölgelerinde eksenel iç kuvvetler farklı büyüklükte ancak sabit değere sahiptirler. Kesim metodu kullanılarak bu yükler şekil (b) de belirlenmiştir.

18 ÖRNEK Bileşke normal iç kuvvetlerin gösterildiği bu sonuçlar grafik olarak gösterilmiştir Şekil (c). İncelenirse, en büyük iç kuvvet BC bölgesinde olup büyüklüğü P BC = 30 kn dur. Çubuğun kesit alanı sabit olduğundan en büyük ortalama normal gerilme çubuğun bu bölgesinde oluşur. σ BC = F BC A 30(103) N 35 mm 10 mm σ BC = MPa

19 Ortalama Kayma Gerilmesi Bu gerilmenin nasıl oluştuğunu göstermek için şekil (a) daki çubuğa uygulanan F kuvvetinin etkilerini ele alalım. Eğer mesnetler rijit ve F kuvveti de yeterince büyükse, kuvvet çubuğun şekil değişimine ve AB ile CD düzlemleri boyunca kayarak hasar (kırılma) oluşumuna sebep olacaktır. Çubuğun mesnetli orta kısmının serbest cisim diyagramı, Şekil (b) parçayı dengede tutabilmek için her bir kesite V=F/2 kesme kuvveti uygulanması gerektiğini gösterir. τ ort

20 Ortalama Kayma Gerilmesi Kesme kuvveti tarafından oluşturulan her bir kesilmiş alana yayılı ortalama kayma gerilmesi şu ifadeyle tanımlanır. τ ort = V A Burada, ort = Kesit üzerindeki her noktada aynı olduğu kabul edilen ortalama kayma gerilmesi V= Denge denklemlerinden elde edilmiş kesitteki iç kesme kuvveti A= Kesit alanı τ ort

21 Bu traktörün parçasının mafsal bağlı olarak birleştirilmesinde kullanılan A pimi, B ve C deki pimin iki yüzeyinde kayma gerilmesi oluşturduğu için çift kesmeye maruzdur.

22 İzin Verilen Tasarım Gerilmesi (Emniyetli Gerilme) Makine veya yapı elemanının güvenliğini garanti etmek için uygulanan yükün yapının tam yükte taşıyabileceğinden daha küçük bir yükle sınırlandırılması gerekir. Bunun yapılması için çok sayıda sebep vardır. Yapının veya makinanın planlanan boyutları, parça bileşenlerinin üretimdeki veya montajdaki hatalardan dolayı tam doğru olmayabilir. Tasarımda dikkat alınmayan bilinmeyen titreşimler, darbe veya kazara yükler oluşabilir. Atmosferik korozyon, çürüme veya hava şartları servis süresince malzemenin bozulmasına yol açabilir. Yapı elemanı için izin verilen yükün belirlenmesinin bir yöntemi de emniyet katsayısı olarak adlandırılan rakam kullanılmasıdır. Hasar (akma) oluşturacak F ha yükün izin verilen (emniyetli) F em yüke oranına emniyet katsayısı denir. Burada, F ha malzeme için yapılan testlerden bulunur. Yukarıda bahsedilen bütün belirsizlikler göz önüne alınarak elemanın benzer geometri ve yükleme şartları altında kullanılması durumunda tecrübelere dayanılarak emniyet katsayısı seçilir. Matematiksel olarak, EK = F ha / F em

23 İzin Verilen Tasarım Gerilmesi (Emniyetli Gerilme) Eğer elemana uygulanan yük, doğrudan gerilme =P/A veya ort =V/A da kullanıldığı gibi ilişkiliyse, emniyet katsayısı, ha (veya ha ) hasar gerilmesinin emniyetli gerilmeye em (veya em ) oranı olarak belirlenir.*burada alan A sadeleştirilirse, E.K = ha / em veya E.K = ha / em Bu denklemlerin herhangi birinde, potansiyel hasarın önüne geçmek için emniyet katsayısı 1 den büyük olmalıdır. Emniyet katsayısı için seçilen özel değerler, makine veya yapı elemanının kullanım amacına ve kullanılan malzeme tipine bağlıdır. Örneğin, havacılık veya uzay aracı parçalarında aracın ağırlığını azaltmak için emniyet katsayısı 1 e yakın seçilir. Nükleer güç santralinde, malzeme davranışları veya yüklemedeki belirsizliklerden dolayı bazı parçalar için emniyet katsayısı 3 e kadar yüksek olabilir. Birçok durumda, belirli bir durum için emniyet katsayısı veya emniyet gerilmesi tasarım yönetmeliklerinde bulunur. Boyutlar böyle elde edilirse veya emniyetli gerilme sınırı esas alınarak boyutlar belirlenmişse emniyetli tasarım olarak adlandırılır. Bu metot, bir taraftan kamu ve çevre güvenliğini diğer taraftan ekonomik değerlendirme dengesini birlikte sağlar.

24 Basit Bağlantılar Malzeme davranışıyla ilgili basitleştirme kabullerinin yapılmasıyla =P/A ve ort =V/A denklemleri basit bağlantı ve makine elemanlarının tasarım ve boyutlarının belirlenmesinde sıklıkla kullanılır. Özellikle eleman kesiti normal kuvvete maruz ise, kesitte ihtiyaç duyulan alan aşağıdaki ifadeden belirlenir. A=P / em Diğer taraftan, eğer kesit ortalama kesme kuvvetine maruzsa, gerekli kesit alan aşağıdaki ifadeden belirlenir. A=P / em

25 Basit Bağlantılar ( yat ) em Düzgün kabul edilen normal gerilme dağılımı A=P /( yat ) em B kolon kaidesi plakasının alanı betonun emniyetli yatak gerilmesinden belirlenir.

26 Basit Bağlantılar Beton içindeki çubuğun gömülü l uzunluğu yapıştırıcı bağın emniyetli kayma dayanımı kullanılarak belirlenir. l Düzgün kabul edilen kayma gerilme dağılımı l = P τ em πd

27 Basit Bağlantılar τ em Düzgün kabul edilen kayma gerilme dağılımı A = P τ em

28 Basit Bağlantılar Çelik ve ahşap bağlantılar tek kayma bağlantı örnek olarak gösterilmiştir. Çelik ve ahşap bağlantılar çift kayma bağlantısına örnek olarak gösterilmiştir.

29 Kavramsal Çalışmalar Yüksek topuklu ayakkabılar yumuşak veya muşamba zemine genellikle zarar verir. Her bir topuğun altındaki yatak gerilmesine dikkat ediniz. Cıvatanın bu kırılma şekli tek kesme hasarına örnektir. Cıvatanın a-a kesiti gibi orta bir yeri boyunca değil de plakalar arasından kırılma oluşur.

30 Problemler

31 Problemler

32 Problemler

33 Problemler

34 Problemler

35 Problemler

36 Problemler