BÖLÜM XIV FREKANS SEÇİCİ DEVRELERE GİRİŞ

Transkript

1 BÖLÜM XIV FREKANS SEÇİCİ DEVRELERE GİRİŞ Önceki bölümlerde yapılan sinüzoidal devre analizlerimizde kaynak frekansı sabit tutulmuştu. Bu bölümde ise değişen kaynak frekansının devre akımlarını ve gerilimleri nasıl etkilediğini analiz edeceğiz. Bu analizin neticesinde, bir devrenin frekans cevabı elde edilecektir. Devre elemanlarının ve değerlerinin dikkatli bir şekilde seçimi ve diğer elemanlarla bağlantıları bize devre çıkışında yalnızca istenen frekans aralığında kalan giriş sinyallerini geçirme olanağı sağlayacaktır. Bu devreler frekans seçici devreler olarak adlandırılır. Örneğin, telefon, 1

2 radyo, televizyon ve uydular gibi elektrik sinyalleri ile iletişim kuran birçok aygıt frekans seçici devreler kullanır. Frekans seçici devreler belirli giriş sinyallerini süzme özelliğinden dolayı aynı zamanda filtre olarak da adlandırılırlar. Filtreler, belirli bir frekans bandı dışında frekans içeriğine sahip her hangi bir giriş sinyalini zayıflatır (etkisini azaltır veya söndürür). Şekil 14.1 Filtrenin çıkış sinyali üzerindeki etkisi çıkış sinyaliyle sonuçlanır.

3 Bu bölümde 4 ana filtre devresi incelenecektir. Bunlar, alçak geçiren, yüksek geçiren, bant geçiren ve bant durduran filtre devreleridir. Ayrıca belirtmek gerekir ki; Şekil 14. de verilen devreye ait giriş ve çıkışın gerilim olduğu durumlar ele alınacaktır. Böylece analiz edilecek devrelere ait transfer fonksiyonumuz H() s V () s V() s olacaktır. Fakat bazı uygulamalarda akımda istenilen giriş ve çıkış sinyali olabilir. o i Şekil 14. Giriş ve çıkışın gerilim olduğu bir devre yapısı 3

4 Girişten çıkışa gönderilen sinyaller geçirme bandı olarak isimlendirilen frekans bandı aralığına düşer. Bu bandın dışında kalan giriş gerilimleri ise devre tarafından sönümlenir. Böylece devrenin çıkış uçlarına ulaşması engellenmiş olur. Bir devrenin geçirme bandında olmayan frekanslar devrenin durdurma bandı kısmında yer alır. Frekans seçici devreler yani filtreler durdurma bandının bulunduğu yere göre sınıflandırılır. Şekil 14.3 ideal dört ana filtre devresine ait filtre cevabı yer almaktadır. Bu grafiklerden biri H ( jw ) nın frekansa göre değişimi olup genlik cevabıdır. Diğeri ise ( jw) nın frekansa göre değişimidir ve faz cevabıdır. 4

5 Şekil 14.3 Dört çeşit filtre devresinin ideal filtre cevapları. (a) İdeal alçak geçiren filtre. (b) İdeal yüksek geçiren filtre. (c) İdeal bant geçiren filtre. (d) İdeal bant durduran filtre 5

6 14.1 Alçak Geçiren Filtreler Burada seri RL ve RC devrelerini inceleyeceğiz ve bu devrelerin hangi özelliklerinin kesim frekansını belirlediğini öğreneceğiz Seri RL Devresi Şekil 14.4 de seri RL devresi yer almaktadır. Bilindiği üzere bir bobinin empedansı j L dir. 6 Şekil 14.4 (a) Seri RL alçak geçiren filtre. (b) 0 da devrenin eşdeğeri. (c) da devrenin eşdeğeri.

7 Düşük frekanslarda, direncin empedansı ile karşılaştırıldığında bobinin empedansı çok düşüktür ve bobin uygulamada kısa devre özelliği gösterir. Yüksek frekanslarda, direncin empedansı ile karşılaştırıldığında bobinin empedansı çok büyüktür ve bobin uygulamada açık devre özelliği gösterir. Yandaki şekilde bir seri RL devresine ait genlik ve faz cevabı yer almaktadır. Burada c filtre kesim frekansıdır. Bu frekansın tanımlanması 7

8 gerekmektedir. Kesim frekansı bilindiği üzere transfer fonksiyonun maksimum genliğinin 1 katı olduğu frekanstır. 1 H ( jc ) Hmax (1) Daha önceden bildiğimiz üzere bir devreden yüke aktarılan ortalama güç, V Y ile orantılıdır, burada V Y yük üzerindeki gerilim düşümüdür: 1 V P Y () R Yük geriliminin genliğinin maksimum olduğu durumda ise V Y max 1 P (3) R 8

9 Sinüzoidal gerilim kaynağı V ( j ) nın frekansını değiştirerek çıkış i geriliminin maksimum olduğu anda devrenin transfer fonksiyonun genliği de maksimumdur. V H V (4) Ymax max Kesim frekansında ise: V ( j ) H( j ) V Y c c i i 1 1 Hmax Vi V Y max Denklem (5) kullanılarak kesim frekansındaki ortalama güç: P max P( jc ). (6) (5) 9

10 Denklem (6), kesim frekansında devre tarafından aktarılan ortalama gücün maksimum ortalama gücün yarısı olduğunu gösterir. Bu yüzden güç frekansı olarak da adlandırılır. c, yarı Kesim frekansı tanımladığına göre artık RL devresini analiz edebiliriz. Öncelikle seri RL devresini, başlangıç koşullarını sıfır kabul ederek aşağıdaki gibi s-düzleminde eşdeğerini oluşturmamız gerekir. 10

11 Ardından oluşturulan bu devre için transfer fonksiyonu ise aşağıdaki gibi elde edilir. H() s s R L RL (7) Devrenin frekans tepkisini bulabilmek için s j değişimi yaparız: H( j) R L j R L (8) Böylece transfer fonksiyonun genliği ve fazı aşağıdaki gibi tanımlanır. H( j) RL RL (9) 11

12 1 L ( j) tan R (10) Denklem (9) da, 0 olduğunda H( j0) 1 dır. Buda giriş geriliminin çıkış uçlarına gerilim genliğinde bir değişim olmadan doğrudan aktardığı anlamına gelir. Faz açısı 0 derecedir ve frekans arttıkça negatiftir. Denklem (9) da, frekans arttığında H( j ) azalır. Hatta olduğunda H( j) 0 dır. Bu durumda giriş gerilimi, çıkış uçlarına genliği sönümlenerek aktarıldığı anlamına gelir. Faz açısı -90 derece sınırına ulaşır. 1

13 Ayrıca Denklem (9) u kullanarak kesim frekansı c yi hesaplayabiliriz. 1 H( jc ) 1 c RL RL (11) Denklem (11) den c yi aşağıdaki gibi elde ederiz. R c (1) L Denklem (1) sayesinde kesim frekansı c değeri, R ve L değerlerinin uygun bir şekilde seçimiyle ayarlanabilir. Böylece gerek duyulan her hangi bir kesim frekansında alçak geçiren bir filtre tasarımı gerçekleştirebiliriz. 13

14 Örnek 14.1 (Alçak Geçiren Filtre Tasarımı): Elektrokardiyoloji kalp tarafından üretilen elektrik sinyallerinin incelendiği bir alandır. Bu sinyaller kalbin ritmik atışının devamlılığını sağlar ve elektrokardiyograf denen cihaz vasıtasıyla ölçülür. Bu cihazın, frekansları 1 Hz civarında olan periyodik sinyalleri (normal kalp hızı dakikada 7 atımdır) tespit etme kabiliyetine sahip olması gerekir. Elektrokardiyograf cihazı, etraftaki elektrik ortamından oluşan ve temel frekansı elektriksel gücün sağlandığı frekans olan 60 Hz deki sinüzoidal gürültü varlığında çalışmaktadır. a) Öyle bir seri RL devresi tasarlayınız ki sonuçta tasarlanan devre elektrokardiyograf cihazında 10 Hz üzerindeki her gürültüyü 14

15 filtrelemekte ve kalpten 1 Hz veya yakınındaki elektrik sinyallerini geçirmekte kullanılabilsin. b) Filtrenin çıkışı ne kadar iyileştirdiğini görmek için çıkış genliğini 1, 10 ve 60 Hz de hesaplayınız. Çözüm: a) Buradaki problem, 10 Hz lik kesim frekansına sahip bir seri RL alçak geçiren filtre tasarlamaktır. R Kesim frekansı denklemi c den R ve L nin c yi oluşturmak için L bağımsız olarak seçilemeyeceğini biliyoruz. Bundan dolayı L için genelde pratikte bulanabilir bir değer olan 100 mh yi seçelim. İstenen 15

16 kesim frekansını elde etmede gerekli olan R değerini hesaplamak için önce kesim frekansını Hertz den radyan/saniye ye çevirmemiz gerekir: c (10) 0 rad / s. Daha sonra gerekli olan R değeri bulunacak olur ise: R 3 cl(0 )(10010 ) 6.8 olarak buluruz. b) Çıkış gerilimi V o ın genliği Vo H( j) Vi eşitliğini kullanarak hesaplayabiliriz: R L 0 V ( ) V V ( RL) 400 o i i. Yukarıdaki çıkış gerilimi hesaplanmıştır. V o ; 1, 10 ve 60 Hz için aşağıdaki tabloda 16

17 Frekans (Hz) V i (Volt) V o (Volt) Yukarıdaki tablodan görüldüğü üzere, tasarlanan filtre kesim frekansında, çıkış geriliminin genliğini geçiş bandının birim genliğinden 1 oranında azaltılmıştır. 60 Hz de ise çıkış geriliminin büyüklüğü yaklaşık 6 kat azaltılarak elektrokardiyograf cihazının etkilendiği frekans bileşenleri yok edilmiştir. 17

18 14.1. Seri RC Devresi Şekil 14.5 de verilen seri RC devresi aynı zamanda alçak geçiren bir filtre özelliği gösterir. Bir önceki yaptığımız analizler gibi bu devreyi de kolaylıkla analiz Şekil 14.5 Seri RC alçak geçiren filtre edebiliriz. Burada devrenin çıkışının kapasitör üzerinden tanımlandığına dikkat edelim. Önceki yaptığımız analiz gibi RC devresinin davranışını tanımlamak için 3 frekans bölgesi kullanırız: 18

19 1) Sıfır frekansı ( 0): Kapasitörün empedansı sonsuzdur ve kapasitör açık devre davranışı sergiler. Böylece giriş ve çıkış gerilimleri eşittir. ) Sıfırdan artan frekanslar: Kapasitörün empedansı direncinkine göre azalır, çıkış gerilimi de direnç ve kapasitör empedansları arasında paylaşılır. Böylece çıkış gerilimi kaynak geriliminden daha düşüktür. 3) Sonsuz frekans ( ): Kapasitörün empedansı sıfırdır ve kapasitör kısa devre davranışı sergiler. Böylece çıkış gerilimi sıfır olur. Çıkış geriliminin frekansın bir fonksiyonu olarak nasıl değiştiğinin analizi yapıldığında, seri RC devresi bir alçak geçiren filtre işlevi görür. Örnek 14. de bu devrenin nicel analizi yapılacaktır. 19

20 Örnek 14. (Alçak Geçiren Seri RC Filtre Tasarımı): Şekildeki seri RC devresi için: a) Kaynak gerilimi ile çıkış gerilimi arasındaki transfer fonksiyonunu ifade ediniz. b) Seri RC devrede kesim frekansı için bir eşitlik belirleyiniz. c) Devre 3 khz kesim frekansına sahip olabilmesi için R ve C değerlerini belirleyiniz. 0

21 Çözüm: a) Öncelikle devre yandaki şekilde sunulduğu gibi s-düzleminde ifade edilir. Böylece devrenin transfer fonksiyonu: 1 RC H() s s 1 RC olarak elde edilir. Ardından s j aşağıdaki gibi buluruz. yı yerine yazarak transfer fonksiyonun genliğini 1

22 H( j) 1 RC 1 RC b) Bildiğimiz üzere c de. 1 H( j) H max dır. Alçak geçiren filtre için Hmax H( j0) 1 dir. Böylece R, C ve c arasındaki ilişki aşağıdaki gibi tanımlanır. 1 1 H( jc ) (1) RC 1 c RC

23 Yukarıdaki eşitlikten c elde edilir ise: 1 c olarak bulunur. RC c) Yukarıda elde edilen kesim frekansı denkleminden R ve C nin birbirinden bağımsız hesaplanamayacağını görmekteyiz. C 1 F seçelim. Böylece R yi aşağıdaki gibi kolaylıkla bulabiliriz. 1 1 R C c 3 6 ( )(3 10 )(1 10 ) Not: Unutmayalım ki C değerinin seçilmesinin temel sebebi mevcut kapasitör değerleri direnç veya bobin değerlerinden daha azdır. 3

24 Frekans Bölgesini Zaman Bölgesiyle İlişkilendirmek Ayrıca birinci dereceden RL ve RC devreleri için önemli bir değişken zaman tepkisini analiz etmemizi sağlayan zaman sabiti dur. RL devresi için zaman sabiti LR iken, RC devresi için zaman sabiti R C değerine sahiptir. Böylece hem RC hem de RL devresi için zaman sabiti aslında kesim frekansı ile ilişkilendirilebilir. Bu ilişki: 1 (10) c olarak tanımlanır. 4

25 Özet (Alçak Geçiren Filtreler) c H() s s c 5

26 14. Yüksek Geçiren Filtreler Bu bölümde yüksek geçiren filtre davranışı gösteren iki adet devreyi inceleyeceğiz. Bunlar sırasıyla seri RC ve RL devreleridir. Böylece çıkış geriliminin tanımlandığı yere göre aynı devrenin hem alçak hem de yüksek geçiren bir filtre gibi davrandığını analiz etmiş olacağız. Ayrıca bir önceki analizlerimizde gibi benzer çözüm yolları kullanacağız. 6

27 14..1 Seri RC Devresi Şekil 14.6 da seri RC devresi yer almaktadır. Alçak geçirenin aksine çıkış gerilimi kapasitör üzerinden değil direnç üzerinden alınmıştır. 1) Sıfır frekansı ( 0): Kapasitörün empedansı sonsuzdur ve kapasitör açık devre davranışı sergiler. Böylece direnç üzerinden akım geçmez. Bu yüzden direnç üzerinde gerilim yoktur ve devre 7 Şekil 14.6 (a) Seri RC yüksek geçiren filtre. (b) 0 da devrenin eşdeğeri. (c) da devrenin eşdeğeri.

28 alçak frekanslı kaynak gerilimini çıkışa ulaştırmadan filtreler. ) Sıfırdan artan frekanslar: Kapasitörün empedansı direcinkine göre azalır, çıkış gerilimi de direnç ve kapasitör empedansları arasında paylaşılır. Böylece çıkış gerilimin genliği artmaya başlar. 3) Sonsuz frekans ( ): Kapasitörün empedansı sıfırdır ve kapasitör kısa devre davranışı sergiler. Böylece kapasitör üzerinde gerilim yoktur. Bütün gerilim direnç üzerinde görünür ve faz farkı sıfırdır. 4) Frekans azaldıkça ve kapasitörün empedansı arttıkça, kapasitörde gerilim ve akım arasında faz farkı meydana gelir. Çıkış geriliminin faz açısı kaynak geriliminin önündedir. Hatta 0 da bu faz açısı 90 ye ulaşır. 8

29 Sonuç olarak seri RC devresi alacak geçiren filtre davranışı sergiler. Şimdi ise bu devrenin nicel analizini yapacağız. Öncelikle RC devresi s-düzleminde aşağıdaki gibi elde edilir. Böylece devreye ait transfer fonksiyonun genliği ve fazı aşağıdaki gibi bulunur. 9

30 H() s H( j) H( j) s s 1 RC j j 1 RC 1 RC 1, ( j) 90 tan RC (11) (1). (13) Bir önceki tanımlanan c de kullanılarak, kesim frekansı c: 1 H ( j) Hmax ve H( j) 1 eşitlikleri 30

31 1 c 1 c RC (14) 1 c (15) RC olarak elde edilir. Görüldüğü üzere hem alçak hem de yüksek geçiren seri RC devrelerinin kesim frekansları aynıdır. Şimdi ise yüksek geçiren seri RL filtresini bir örnek üzerinde tasarlayalım. 31

32 Örnek 14.3 (Yüksek Geçiren Seri RL Filtre Tasarımı): Şekilde yer alan seri RL devresinin bir yüksek geçiren filtre gibi davrandığını inceleyiniz. a) Transfer fonksiyonunu tanımlayınız. b) Transfer fonksiyonunu kullanarak seri RL devresinin kesim frekansını belirleyiniz. c) Devrenin 15 khz kesim frekansına sahip olabilmesi için R ve L değerlerini belirleyiniz. 3

33 Çözüm: a) Öncelikle devre, aşağıdaki gibi s-düzleminde elde edilir. Ardından devreye ait transfer fonksiyonu: H() s s s RL olarak bulunur. Bu transfer fonksiyonu, frekans düzleminde ise: 33

34 H( j) j j R L olarak ifade edilir. b) Kesim frekansı denklemini bulabilmek için öncelikle yukarıda elde edile transfer fonksiyonun genliği aşağıdaki gibi hesaplanır. H( j) Bilindiği üzere kesim frekansı c: 1 c c RL c de RL, c 1 H( j) H max ve H( j) 1 dir. Böylece, R. L 34

35 c) R ve L seçimi bir birinden bağımsız değildir. R için keyfi 500 seçilir ise L aşağıdaki gibi bulunmuş olur. R 500 L 5.31mH 3 ( )(15 10 ). c 35

36 Özet (Yüksek Geçiren Filtreler) H() s s s c 36

37 14.3 Bant Geçiren Filtreler Bant geçiren filtreler bir frekans bandındaki gerilimleri çıkışa aktarırken, bu frekans bandı dışındaki gerilimleri sönümleyen filtrelerdir. Bu filtreler önceki kısımlardaki alçak ve yüksek geçiren filtrelerden daha karmaşıktır. Bu filtre tasarımlarına geçmeden önce merkez frekansı, bant genişliği ve kalite faktörü gibi bazı önemli parametrelerin tanımlanması gerekir. 37

38 Merkez Frekansı, Bant Genişliği ve Kalite Faktörü Merkez frekansı ( 0 ): Merkez frekansının diğer adı rezonans frekansıdır. Bir devre rezonans frekansında çalıştırıldığında, devre rezonanstadır denir. Çünkü transfer fonksiyonunun frekansı devrenin doğal frekansıyla aynıdır. Bant geçiren filtreler için transfer fonksiyonunun genliği merkez frekansında en yüksektir ( H max H( j0 )). Bant Genişliği ( ): Alt kesim ve üst kesim frekansının arasında kalan frekanslardır. Kalite faktörü: Merkez frekansının bant genişliğine oranıdır. Kalite faktörü, geçirme bandının genişliğinin frekans eksenindeki yerinden bağımsız olarak 38

39 bir ölçütünü verir. Ayrıca, frekanstan bağımsız olarak genlik grafiğinin şeklini tanımlar. Bant geçiren filtreyi tanımlayan beş tane özellik olmasına rağmen (,,, ve Q) beş taneden sadece ikisi bağımsız olarak tanımlanabilir. c1 c 0 Yani, bu özelliklerden iki tanesi için çözüm yapabildiğimizde, diğer üçü aralarındaki bağımlı ilişkilerden hesaplanabilmektedir. Sonraki bölümde bant geçiren filtre gibi işlev gören seri RLC devresini inceleyeceğiz. 39

40 14.3. Seri RLC Devresi Şekil 14.7(a) bir seri RLC devresini göstermektedir. Burada kaynak frekansının değişmesinin çıkış gerilimi üzerindeki etkisini inceleyeceğiz. 0 da, kapasitör açık devre ve bobin kısa devre gibi davranır. Kapasitörün empedansı, devre akımın dirence 40 Şekil 14.7 (a) Bant geçiren seri RLC filtre (b) 0 için eşdeğer devre (c) için eşdeğer devre

41 ulaşmasını engeller ve sonuçta çıkış gerilimi sıfırdır. da, kapasitör kısa devre ve bobin açık devre gibi davranır. İndüktör akımın dirence ulaşmasını engeller ve sonuçta çıkış gerilimi sıfırdır. 0 ve arasındaki frekans bölgesinde ne olur? Bu iki uç nokta arasında, kapasitör ve bobinin ikisi de sonlu empedanslara sahiptirler. Hatırlanacağı üzere, kapasitör negatif bobin pozitif empedansa sahip olduğunda, 0 da bu empedanslar birbirini yok ederek çıkış geriliminin kaynak gerilimine eşit olmasını sağlar. 0 ın iki yanında da çıkış gerilimi kaynak geriliminden küçüktür. 41

42 Şekil 14.8 Yukarıdaki bant geçiren seri RLC filtre için frekans tepkisi grafiği Şekil 14.8 de dikkat edilirse, ideal bant geçiren filtrenin gerilim cevabı ile seri RLC devresinin transfer fonksiyonunun gerilim cevabı üst üste gösterilmiştir. Kaynak ve çıkış geriliminin aynı olduğu frekansta faz açıları da aynıdır. Frekans azaldıkça, kapasitörün faz açısına katkısı bobininkinden daha fazla olur. Düşük frekanslarda, kapasitör pozitif faz açısına sahip olduğundan çıkıştaki toplam faz açısı pozitiftir. 4

43 Şimdi ise bant geçiren seri RLC devresinin nicel analizini gerçekleştireceğiz. Şekildeki devre için transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır: H() s ( R / Ls ) ( / ) (1/ ) s R L s LC Yukarıdaki eşitlikte s H( j) j koyarsak; ( R / L) (1 / LC) ( R / L) (16) (17) 43

44 1 ( R/ L) ( j) 90 tan (1 / LC) (18) Şimdi bant geçiren RLC filtreyi niteleyen beş özelliği hesaplayalım. Seri RLC devresinde, kaynak gerilimi merkez yani rezonans frekansına ulaştığında kapasitör ve bobin empedanslarının toplamı sıfırdır. Bu durum kullanarak öncelikle merkez frekansı aşağıdaki gibi hesaplanır. 1 1 j L 0 (Merkez frekansı) (19) j C LC Daha sonra ise kesim frekansları c1 ve c yi hesaplanır. Kesim frekanslarında, transfer fonksiyonun genliğinin, (1 / ) Hmax (1 / ) H( j0 ) olduğu unutulmamalıdır. Böylece transfer fonksiyonun maksimum genliği: 44

45 H H( j ) max 0 ( R/ L) 0 0 0R L (1 / LC) / 1/ LC ( R / L) (1/ LC) 1/ LC 1/ LCR / L 1 (0) Yukarıdaki denklemin, sol tarafı kesim frekansı c için çözüm yapılır ise: 1 ( R/ L) 1 (1 / )H max a yani 1/ ye eşitlenir ve c (1 / LC) / ( cl/ R) (1/ crc) 1 c cr L () Yukarıdaki denklemin her iki tarafının paydalarını eşitler ve düzenlersek aşağıdaki ikinci dereceden eşitlik elde edilir. 45

46 L 1 (3) 1 c cl cr 1/ C 0 R crc Denklem (3) çözülürse alt ve üst kesim frekansları aşağıdaki gibi elde edilir: c1 R R 1 L L LC (4) c R R 1 L L LC Bant genişliği iki kesim frekansı arasındaki fark olarak tanımlandığından; (5) R R 1 R R 1 R c c 1 L L LC L L LC L (6) 46

47 Kalite faktörü, merkez frekansının bant genişliğine oranı olarak tanımlandığından; 1/ LC L Q 0 / (7) R/ L CR Önceden belirtildiği gibi, bir tasarımda bu özelliklerden sadece ikisi birbirinden bağımsız olarak belirlenebilir. Kalite faktörü, merkez frekansı ve bant genişliği cinsinden belirlendiğini görmüş olduk. Ayrıca kesim frekansları denklemlerini, merkez frekansı ve bant genişliği cinsinden ifade edebiliriz. c1 0 (8) 47

48 c 0 (9) Ayrıca aynı denklemler, kalite faktörü ve merkez frekansı cinsinden de elde edilebilir Q Q c1 0 (30) Q Q c 0 (31) 48

49 Örnek 14.4 (Paralel RLC Band Durduran Filtre Tasarımı): Şekildeki RLC devresi için a) Transfer fonksiyonu H () s i bulunuz. b) Merkez frekansı 0 ı hesaplayınız. c) Alt kesim ve üst kesim frekansları c1 ve c, bant genişliği, kalite faktörü Q yı hesaplayınız. d) 5 F lık kondansatörü kullanarak, 5 khz merkez frekansı ve 00 Hz lik bant genişliğine sahip bant geçiren filtre için R ve L değerlerini hesaplayınız. 49

50 Çözüm: Z a) Verilen devrenin s domenindeki karşılığı yandaki gibidir. Burada, eq () s sl L C 1 sc (3) hesaplandıktan sonra devreye ait transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilebilir: H() s s s RC s RC 1 LC (33) 50

51 b) Merkez frekansını bulmak için, transfer fonksiyonun maksimum olduğu nokta hesaplanmalıdır. H () s te s j koyulursa; H( j) RC 1 1 LC RC 1 1RC L R Bu transfer fonksiyonunun genliği aşağıdaki terim sıfır olduğunda maksimumdur: (34) 1 LC 0 (35) 51

52 Böylece, 1 0 (36) LC ve H H( j ) 1 (37) max 0 c) Kesim frekanslarında transfer fonksiyonun genliği 1 H max 1 dir. Genlik denkleminin sol tarafına bu sabit koyularak ve daha sonra sadeleştirmelerden sonra crc 1 L c R 1 (38) 5

53 bulunur. Bu eşitliğin sol tarafının bir daha karesi alınırsa, kesim frekansları için dört çözümlü iki adet ikinci dereceden eşitlik elde ederiz. Köklerin sadece iki tanesi pozitiftir ve fiziksel olarak anlamlıdır: c1 c RC RC LC RC RC LC (39) (40) Bant genişliği alt ve üst kesim frekansları kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanabilir: c c 1 1( RC). (41) Son olarak, kalite çarpanı 53

54 Q RC 0 (4) L bulunur. Bant geçiren filtre için kesim frekanslarını merkez frekansı ve bant genişliği cinsinden aşağıdaki gibi bulunur: c 0 (43) c1 0 (44) d) R değeri 5 F lık kapasitör ve c şıkkındaki bant genişliği ifadesi kullanarak aşağıdaki gibi hesaplanabilir: 54

55 R (45) C c şıkkındaki kapasitör değeri ve merkez frekansı eşitliğini kullanarak indüktör değeri hesaplanabilir. 1 1 L 0.64H 6 0C bulunur. (46) 55

56 Özet (Bant Geçiren Filtre) H() s s s s o 56

57 Bant Durduran Filtreler Bant durduran filtreler, iki kesim frekansı arasındaki bandın dışında olan (geçirme bandı) kaynak gerilimlerini geçirir ve iki kesim frekansı arasındaki frekanslarda olan (durdurma bandı) kaynak gerilimlerini çıkışa ulaşmadan zayıflatır. Bant durduran filtreler, bant geçiren filtrelerle aynı değişkenler ile nitelenirler. Bunlar, iki adet kesim frekansı, merkez frekansı, bant genişliği ve kalite faktörüdür. 57

58 Seri RLC Devresi Şekil (a) da seri RLC yer almaktadır. Devre elemanları ve bağlantıları her ne kadar bant geçiren seri RLC filtreninkiyle aynı olsa da, bu devre önemli bir farka sahiptir. Görüldüğü üzere, devrenin çıkış gerilimi bobin ve kapasitör üzerinde tanımlanmıştır. 0 da, bobinin kısa devre, kapasitörün ise açık devre gibi Şekil (a) Bant durduran seri RLC filtre (b) 0 eşdeğer devre için eşdeğer devre (c) için 58

59 davrandığını biliyoruz. Fakat da bu davranışlar değişir. Hem 0 hem de için devrenin çıkış gerilimi açık devredir. Bu yüzden çıkış ve giriş gerilimleri aynı genliğe sahiptir. Bu bant durduran seri RLC devre, biri düşük kesim frekansının altında, diğeri de yüksek kesim frekansının üstünde olmak üzere iki geçirme bandına sahiptir. İki geçirme bandının arasında, kapasitör ve bobinin sonlu değerde fakat zıt işaretli empedansları vardır. Frekans sıfırdan arttırıldığında bobinin empedansı artar ve kapasitörünki ise azalır. Böylece girişle çıkış arasındaki faz farkı 1/ C L ye yaklaşırken 90 ye yaklaşır. L, 1/ C 59

60 yi aştığında, faz kayması 90 ye zıplar, sonra da arttırılmaya devam ederse sıfıra yaklaşır. Geçirme bantları arasındaki bir frekansta, bobin ve kapasitörün empedansları eşit fakat zıt işaretlidir. Bu frekansta, kapasitör ve bobinin seri eşdeğeri kısa devredir, o halde çıkış geriliminin genliği sıfır olmalıdır. Bu frekans, bant durduran seri RLC filtrenin merkez frekansıdır. Şekil 14.10, bant durduran seri RLC filtrenin frekans tepkisini göstermektedir. 60

61 Şekil Bant durduran seri RLC devrenin frekans tepkisi grafiği 61

62 Şekil den görüldüğü gibi s-düzlemine dönüşüm yapıldıktan sonra transfer fonksiyonu eşitliğini oluşturmak için gerilim bölücü kullanırız: H() s 1 1 sl s sc LC 1 R 1 sc L LC R sl s s (47) burada s yerine j koyup transfer fonksiyonunun genliğini ve faz açısı için aşağıdaki eşitlikler elde edilir. Şekil Bant durduran seri RLC devrenin s bölgesi eşdeğeri 6

63 H( j) 1 LC 1 R LC L (48) ( j) tan R L 1 1 LC (49) Bant durduran filtre için merkez frekansı, kapasitör ve bobinin empedanslarının toplamının sıfır olduğu frekanstır. Bant geçiren filtrede merkez frekansındaki genlik en yüksekti fakat bant durduran filtrede bu genlik en düşüktür. 63

64 0 1 LC (50) Denklem (35) i, (33) de yerine koyarsak, H( j0 ) 0 olur. Bant geçiren seri RLC devresinde olduğu gibi kesim frekansları, bant genişliği ve kalite faktörü ifadeleri bant durduran filtreler için de elde edilebilir. Bant durduran filtreler için H max H( j0) H( j ) ve bant geçiren seri RLC filtre için Hmax 1 dir. Böylece kesim frekansları aşağıdaki gibi ifade edilir. c1 R R 1 L L LC (51) c R R 1 L L LC (5) 64

65 Bant genişliği ifadesini tanımlamak için kesim frekanslarını kullanırız. R / L (53) Merkez frekansı ve bant genişliği cinsinden kalite faktörü Q aşağıdaki gibi tanımlanır. L Q (54) R C Kesim frekansları bant genişliği ve merkez frekansı cinsinden tanımlanabilir. c1 0 (55) 65

66 c 0 (56) Kesim frekanslarını, kalite faktörü ve merkez frekansı cinsinden ifade edebiliriz Q Q c1 0 (57) Q Q c 0 (58) 66

67 Örnek 14.4: daki seri RLC devresini kullanarak 50 Hz bant genişliğine ve 750 Hz merkez frekansına sahip olacak bant durduran filtre için devre elemanlarının değerlerini hesaplayınız. 100 nf lık bir kondansatör kullanarak R, L,, ve Q değerlerini hesaplayınız. c1 c Çözüm: Öncelikle kalite faktörü aşağıdaki gibi hesaplanabilir. Q 0 3 Eşitlik 50 kullanılarak L yi hesaplamak için, öncelikle 0 rad/s ye çevrilmelidir. 1 1 L C (750) (10010 ) mH 67

68 Daha sonra, bant genişliği denkleminden R hesaplanabilir. R 3 L (750)(45010 ) 707 Kesim frekansları bant genişliği ve merkez frekansı kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanabilir: c rad/s c rad/s Buradan, kesim frekansları Hz ve Hz bulunur. Farkları Hz istenen bant genişliğini sağlar. 68

69 Alt kesim ve üst kesim frekanslarının geometrik ortalamaları (635.3)(885.3) 750 Hz değeri de istenen merkez frekansını sağlar. 69

70 Özet (Bant Durduran Filtre) s o H() s s s o 70

71 Kaynak J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall. 71