Politeknik Dergisi, 2015; 18 (2) : Journal of Polytechnic, 2015; 18 (2) : 63-71

Transkript

1 Politknik Dgisi, 5; 8 ( : 63-7 Jonal of Polytchnic, 5; 8 ( : 63-7 Radyal Yönd Basınç Uyglanan Fonksiyonl Dclndiilmiş Malzmdn Yapılmış Uzn Tüpld Von Miss itin Gö Akmanın Başlaması Tolga AIŞ, Ömü EREN * Atılım Ünivsitsi Mühndislik Fakültsi İnşaat Mühndisliği Bölümü İnck 6836, ANARA SUFEN Poj Yazılım Müh. İnş. v Tic. Ltd. Şti. Bağlıca Etimsgt, ANARA (Gliş / Rcivd : 7.4 ; al / Accptd : 8.5 ÖZ İç ya da dış yüzydn adyal yönd asınçlandıılmış, fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış çlaı saitlnmiş zn i tüpün lastik davanışı analitik olaak inclnmişti. Tüpün lastisit modülünün v akma dayanımının adyal koodinat oynca lin olmayan fomda dğiştikli vasayılmıştı. Von Miss akma kiti kllanılaak, fonksiyonl dclndim paamtlinin tüptki plastik akmanın aşlangıcına tkili inclnmiş, akmanın paamtl ağlı olaak h iki asınç dm için d önc iç yüzydn, önc dış yüzydn, ya da h iki yüzydn d aynı anda aşlayailcği gözlnmişti. Anahta liml: Gilm analizi; fonksiyonl dclndiilmiş malzml; von Miss kiti. Yilding of Radially Pssizd Fnctionally Gadd Long Ts Basd on Von Miss ition ABSTRAT Th lastic havio of fnctionally gadd long ts with axially constaind nds sjct to ith intnal o xtnal pss is invstigatd analytically. Th modls of lasticity and th yild limit of th t matial a assmd to vay adially in nonlina foms. Making s of von Miss yild cition, th ffct of gading paamts on th yilding havio of th t is invstigatd and it is osvd that fo oth pss cass, th plastic flow may commnc at th inn sfac, at th ot sfac o simltanosly at oth sfacs dpnding on th fnctionally gading paamts. ywods: Stss analysis; fnctionally gadd matials; von Miss cition.. GİRİŞ (INTRODUTION Fonksiyonl dclndiilmiş malzmldn yapılmış lmanlaın önmli azı mkanik özllikli lmanlaın oytlaı oynca dğişili. Aynı yüklm v sını koşllaı altında, tip malzmldn yapılmış tml lmanlaın mkanik dayanımının homojn malzmdn yapılmış olanladan daha yüksk oldğ ilinmktdi. B ndnl fonksiyonl dclndiilmiş malzmldn yapılmış lmanlaın ütimi v kllanımı son yıllada gidk atmıştı. B tip malzmld samik-mtal kaışımlaın kllanılmasının yanında, çalışmada l alınan polmd oldğ gii mtal malzml d yaygın olaak kllanılmaktadı []. Homojn malzmdn yapılmış tüplin asınç altındaki lastik v lastik-plastik davanışlaı çşitli çalışmalada inclnmişti [-6]. Fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış tüp v şaft gii tml lmanlaın çşitli yüklm koşllaı altında lastik v lastik plastik davanışlaını analitik olaak l alan çalışmala da * Soml Yaza (osponding Atho -posta: tolga.atis@atilim.d.t Digital Ojct Idntifi (DOI :.339/5.8., 63-7 litatüd y almaktadı [7-4]. Yapılmış diğ çalışmaladan faklı olaak, ada asınç altındaki fonksiyonl dclndiilmiş zn tüpld dclndim paamtlinin plastik akma dmlaına tkili inclnmişti. Ayıca daha önc analitik olaak inclnmyn adyal dış asınç tkisindki fonksiyonl dclndiilmiş tüpldki akma dm da çalışmanın konlaı aasında y almaktadı. İç yaıçapı a v dış yaıçapı olan, ksnl simtiy sahip, çlaı aksiyl yönd saitlnmiş, fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış zn i tüpün düzlmsl şkil dğiştidiği v şkil dğiştimlin küçük oldğ vasayılmaktadı. El alınan tüp sistmin ait gomti v yüklm dmlaı Şkil d y almaktadı. Bilindiği gii malzmnin mkanik özlliklini lilyn çşitli paamtl mvctt. Bnlaın aasında malzmdki dfomasyon lilyn n önmli paamtl lastisit modülü ( E v akma dayanımı ( oldğ ilinmktdi. B yüzdn iki paamtnin dğişimlinin tüpün davanışına tkisi 63

2 Tolga AIŞ, Ömü EREN /POLİTENİ DERGİSİ, Politknik Dgisi, 5; 8 ( : 63-7 θ z a (a P ( P (c Şkil. Tüp gomtisi v yüklm dmlaı: (a Gnl göünüş, ( Tüp ksiti, (c İç asınç dm, (d Dış asınç dm (Gomty of th t and loading conditions: (a Gnal viw, ( oss-sction of th t, (c Intnal ps cas, (d Extnal pss cas (d önclikli olaak inclnmişti. Tüpü olştan malzmnin lastisit modülünün v akma dayanımının adyal yönünd sıasıyla E( n, ( E ( m, ( şklind lin olmayan fomda dğiştikli kal dilmişti. B dnklmld E fans lastisit modülü, fans akma gilmsi, adyal koodinat n v m d fonksiyonl dclndim paamtlidi. Boytsz lastisit modülünün oytsz iç yaıçapı a a/. 6 olan tüpt faklı n paamt dğli için adyal koodinat oynca dağılımı Şkil d vilmktdi. Aynı gafik faklı m paamtli kllanılaak akma gilmsi için d çizilili. Söz kons sistm ilk anda gilmsiz olp daha sona iç ya da dış yüzydn asınç yglanmasıyla ilikt içisind adyal, tğtsl v aksiyl yönld gilml olş. B gilmlin hsaı v lastik aalığın lilnmsi çalışmanın tml amacını olştmaktadı. Ykaıda litiln kall altında, lastik gilm dm göz önünd lndlaak, gilm v y dğiştim dağılımlaı kapalı fomda ld dilmişti. Von Miss akma kiti yadımı il plastik dfomasyona yol açan kitik asınç dğli lnmş v tüptki çşitli akma dmlaı dğlndiilmişti. oytsz lastisit modülü (E/Eo n n.5 n n.5 n.7.9 oytsz adyal koodinat (/ E / E Şkil. Boytsz lastisit modülünün ( faklı n paamt dğli için adyal koodinat oynca dağılımı (Vaiation of nondimnsional modls of lasticity ( E / E fo diffnt vals of n 64

3 RADYAL YÖNDE BASINÇ UYGULANAN FONSİYONEL DEREELENDİRİLMİŞ MALZEM Politknik Dgisi, 5; 8 ( : TEMEL DENLEMLER VE ÇÖZÜM (BASI EQUATIONS AND SOLUTION üçük dfomasyonla için iim şkil-y dğiştim dnklmli, gnllştiilmiş Hook kann dnklikli v adyal yönd dng dnklmi sistmin lastik çözümün yönlik tml dnklmli olşt. Timoshnko v Goodi [] notasyon kllanılaak, zn i tüp için gnllştiilmiş Hook kann ( ( ( z ( E( (3 ( ( ( z ( E(, (4 z ( z ( ( ( E(, (5 şklind ifad dili. Düzlmsl şkil dğiştim dmnda z ol v dnklm (5 aksiyl gilm ilşni z için çözüldüğünd ( ( ( ( z, (6 ifadsi ln. B ifad (3 v (4 dnklmlind yin yazılması v şkil-y dğiştim dnkliklinin ( d / d, / kllanılmasıyla aşağıdaki gilm-y dğiştim ağıntılaı ld dili. E( ( ( ( '(, ( ( (7 E( ( ( ( '( ( (, (8 Ykaıdaki gilm ilşnli, aşağıda viln dng dnklmind d d, (9 ylin yazıldığında, gkli sadlştiml yapılaak d d ( ( n( ( n, ( d d difansiyl dnklmi ld dili. B dnklmin gnl çözümü is (= (n/ (n/, ( olaak ln. Bada v intgasyon saitli v 4n 4 n, ( şklinddi. Y dğiştim gnl çözümü ( nol dnklik, (7 v (8 il viln gilm dnkliklind yin yazıldığında adyal, tğtsl v aksiyl gilm ilşnli E ( ( ( E ( ( ( E z ( ( ( n ( n n / ( n ( n / ( ( n ( ( n ( n ( n n / ( n / n /, (3 ( ( n, (4 ( ( n ( n / ( n, (5 ( n olaak lilni. İç yüzydn asınç yglanan i tüp için v intgasyon saitlinin v lilnmsind ( a P ( sını koşllaı kllanılı. Bna gö intgasyon saitli: ( ( a a a ( n / a n P( (, (6 ( ( n ne ( n / ( n P( ( n ( n E, (7 olaak ln. Dış asınç altındaki tüpt is sını koşllaı ( a v ( P şklinddi. B dm için is intgasyon saitli ( a ( n / a ( a ( ( n ne ( n / P( ( n ( n E P( (, (8, (9 olaak ld dili. Diğ taaftan, düzlm şkil dğiştim dm için dviyatoik gilm tnsöü S ij S ij z, ( şklinddi. Bada hidostatik gilm olp, diğ gilml cinsindn z, ( 3 olaak vili. Von Miss akma gilmsi dviyatoik gilm tnsöü 3 S ij cinsindn Y, Y Sij Sij, ( şklind ifad dili [5]. Gkli indis toplamlaı yapılaak, düzlm şkil dğiştim hali için hhangi i Y koodinatındaki von Miss akma gilmsi 65

4 Tolga AIŞ, Ömü EREN /POLİTENİ DERGİSİ, Politknik Dgisi, 5; 8 ( : 63-7, (3 ( ( ( ( ( ( Y ( Y Y Y Y z Y Y z Y olaak ln. B dnklm kllanılaak ld diln akma gilmsinin akma dayanımından üyük oldğ asınçta akma aşla v lastik limit asınç dği Y dnkliğindn hsaplanı. Von Miss akma gilmsi ( nol ifaddki akma dayanımına ölündüğünd v gilm ilşnli için / ( a oytsz üyüklüğü i i kllanıldığında aşağıdaki ifad ld dili: m a ( ( z ( z, (4 Y B dnklmd y alan oytsz gilm dğişkni olaak tanımlanmıştı. Von Miss akma kitin gö oytsz lastik limit asınç dği dnkliğindn hsaplanı. Yapılan çalışmala fonksiyonl dclndiilmiş tüpld h iki asınç dmnda da (iç ya da dış asınç plastik akmanın, fonksiyonl dclndim paamtlin ağlı olaak, önc iç yüzydn, önc dış yüzydn, ya da h iki yüzydn d aynı anda aşlayacağını göstmişti. Akmanın iç yüzydn ( aşlaması için gkli koşl a ( ( ( ( ( (, (5 a a a a a a z z şklinddi. Bada oytsz iç yaıçap a a / olaak ifad dilmişti. Dış yüzydn aşlayan akma için is z z m a ( ( ( ( ( (, (6 / koşl yazılaili (oytsz dış yaıçap:. Aşağıda, fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış tüplin iç v dış asınç altındaki akma davanışlaı inclnmktdi. 3. SAYISAL SONUÇLAR (NUMERIAL RESULTS B ölümd, ld diln sonçla snlkn aşağıdaki oytsz üyüklükl kllanılmıştı: ; i i ; ( a (n / ; (7 E ( ; a (n / İnclnn fonksiyonl dclndiilmiş tüpld kllanılan çliğin mkanik özllikli is E GPa, 43MPa v. 3 şklinddi [3]. 3.. İç Basınç Dm (Intnal Pss as İç yaıçapı a a/. 65 olan i tüpt n. 3 v fonksiyonl dclndim paamtli için m. plastik akma iç yüzydn aşla. Akmaya yol açan oytsz kitik iç asınç (5 nol dnklik kllanılaak P olaak hsaplanı. İntgasyon saitli d (6 v (7 nol dnklml kllanılaak v olaak ln. B kitik asınçta ld diln y dğiştim v gilm dağılımlaı Şkil 3 t vilmişti. Göüldüğü gii iç yüzyd ( a oytsz gilm dğişkni dğini almakta, diğ tüm koodinatlada dn küçük olmaktadı. oytsz gilm v y dğiştim z oytsz adyal koodinat Şkil 3. Elastik limit iç asınç altındaki ( P fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış i tüpt ( a. 65, n. 3 v m. oytsz y dğiştim v gilml (Th distitions of displacmnt and stsss in an FGM t of a. 65, n. 3 and m. at th lastic limit intnal pss P Aynı tüp için n. 3 v m. 9 paamt dğli kllanıldığında is akmanın dış yüzydn aşladığı göülmüştü. B dma ait oytsz kitik iç asınç (6 nol dnklik kllanılaak olaak hsaplanı. İntgasyon saitli is v olaak ld dili. Hsaplanan oytsz gilm v y dğiştim dağılımlaı Şkil 4 t göstilmktdi. B şkild göüldüğü gii tüpün dış yüzyind, d, olmaktadı. P 66

5 RADYAL YÖNDE BASINÇ UYGULANAN FONSİYONEL DEREELENDİRİLMİŞ MALZEM Politknik Dgisi, 5; 8 ( : 63-7 oytsz gilm v y dğiştim.. z oytsz adyal koodinat Şkil 4. Elastik limit iç asınç altındaki ( P fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış i tüpt ( a. 65, n. 3 v m. 9 oytsz y dğiştim v gilml (Th distitions of displacmnt and stsss in an FGM t of a 5, n. 3 and m. 9 at th lastic limit intnal pss P oytsz gilm v y dğiştim.. z oytsz adyal koodinat Şkil 5. Elastik limit iç asınç altındaki ( P. 4 fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış i tüpt ( a 5, n. 5 v m oytsz y dğiştim v gilml (Th distitions of displacmnt and stsss in an FGM t of a 5, n. 5 and m at th lastic limit intnal pss P. 4 Akmanın tüpün h iki yüzyindn aynı anda aşlamasına yol açan paamt dğlini lmak için (5 v (6 dnkliklinin aynı anda çözülmsi gkmktdi. B çözüm için fonksiyonl dclndim paamtlindn iinin ( m vya n ya da lastik limit iç asıncının ( P vilmsi gkmktdi. alan iki ilinmyn (5 v (6 dnkliklinin aynı anda çözümü il lnaili. Önğin a. 65 v n. 5 dğli kllanıldığında söz kons dnkliklin sayısal çözümü sonc m v P. 4 olaak ln. Aynı tüpt P. 4 için (5 v (6 dnkliklinin sayısal çözümündn m v n. 5 olaak ln. Yin aynı şkild m vildiğind çözüm n. 5 v P. 4 olaak ld dili. B dğl kllanılaak hsaplanan oytsz gilm v y dğiştim dağılımlaı Şkil 5 t göstilmktdi. 3 İntgasyon saitli d.5935 v olaak lnmşt. Şkild göüldüğü gii tüpün iç v dış yüzyind olmakta, da akmanın h iki yüzydn d aynı anda aşladığını göstmktdi. Şkil 6 da is fonksiyonl dclndim paamtsi m nin oytsz gilm dğişkni nin dağılımı üzin tkili göstilmişti. Hsaplamalada a. 65 v n. 5 olaak alınmıştı. Son olaak, Şkil 7 d faklı n v m paamtli için oytsz lastik limit iç asıncın faklı oytsz iç yaıçapladaki dğişimi vilmktdi. B şkild n. v m. dğli için çiziln ği homojn tüp davanışını göstmktdi. oytsz gilm dğişkni m. m n.5 m oytsz adyal koodinat m m. Şkil 6. İç asınç altındaki fonksiyonl dclndiilmiş i tüpt ( a. 65, n. 5 oytsz gilm dğişkninin faklı m paamt dğli için adyal koodinat oynca dağılımı (Vaiation of yild vaial in an intnally pssizd FGM t ( a 5, n. 5 sing m as a paamt 67

6 Tolga AIŞ, Ömü EREN /POLİTENİ DERGİSİ, Politknik Dgisi, 5; 8 ( : m 3. n.7 oytsz lastik limit asıncı.5.3. m. n. m n.5 m 3. n m 3. n.5 oytsz gilm v y dğiştim z oytsz iç yaıçap Şkil 7. Dğişik n v m paamt dğli için oytsz lastik limit iç asıncının ( P oytsz iç yaıçapa gö dğişimi (Vaiation of lastic limit intnal pss P with dimnsionlss inn adis sing n and m as paamts 3.. Dış Basınç Dm (Extnal Pss as Bada, iç yaıçapı a. 4 olan dış asınç altındaki fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış olan tüp inclnckti. n. 3 v m. fonksiyonl dclndim paamtli için akma iç yüzydn aşla v oytsz kitik dış asınç (5 dnkliği kllanılaak P olaak hsaplanı. B asınç dği için intgasyon saitli is (8 v (9 dnklmli kllanılaak v.5898 olaak ld dili. B asıncın ndn oldğ oytsz y dğiştim v gilm dağılımlaı Şkil 8 d vilmişti. Göüldüğü gii iç yüzyd ( a oytsz gilm dğişkni dğin sahipti oysz adyal koodinat Şkil 8. Elastik limit dış asınç altındaki ( P fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış i tüpt ( a. 4, n. 3 v m. oytsz y dğiştim v gilml (Th distitions of displacmnt and stsss in an FGM t of a. 4, n. 3 and m. at th lastic limit intnal pss P Aynı tüp için n. 3 v m. 9 dğli kllanıldığında is akmanın önc dış yüzyd aşladığı göülmüştü. B dğl için (6 dnkliği kllanıldığında oytsz kitik dış asınç P olaak hsaplanı. Intgasyon saitli d v olaak ln. Hsaplanan dğişknl için ld diln oytsz gilm v y dğiştim dağılımlaı Şkil 9 da göstilmktdi. Göüldüğü gii tüpün dış yüzyind, d, olmaktadı. 68

7 RADYAL YÖNDE BASINÇ UYGULANAN FONSİYONEL DEREELENDİRİLMİŞ MALZEM Politknik Dgisi, 5; 8 ( : oytsz gilm v y dğiştim z oytsz gilm v y dğiştim z Şkil 9. Elastik limit dış asınç altındaki ( P fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış i tüpt ( a. 4, n. 3 v m. 9 oytsz y dğiştim v gilml (Th distitions of displacmnt and stsss in an FGM t of a. 4, n. 3 and m. 9 at th lastic limit intnal pss P Akmanın h iki yüzydn d aynı anda aşlaması için, iç asınç dmnda oldğ gii, (5 v (6 nol dnkliklin aynı anda çözülmsi gkmktdi. B dnklikl P. 4 dış asınç dği için oytsz adyal koodinat çözüldüğünd kitik fonksiyonl dclndim paamtli n v m olaak ln. B dğl için intgasyon saitli d v 5968 olaak hsaplanı. B paamt v asınç dğli için oytsz y dğiştim v gilm dağılımlaı Şkil da vilmişti. Şkil inclndiğind oytsz gilm dğişkninin iç v dış yüzyd şit oldğ göülili. Şkil d is fonksiyonl dclndim paamtsi m nin oytsz gilm dğişkni dağılımı üzin tkili göstilmişti. Hsaplamalada n. olaak alınmıştı. Son a v 4349 olaak faklı n v m paamtli için oytsz lastik limit dış asıncın faklı oytsz iç yaıçapladaki dğişimi Şkil d vilmktdi. Söz kons şkild n. v m. dğli için çiziln ği homojn tüp davanışını göstmktdi oytsz adyal koodinat Şkil. Elastik limit dış asınç altındaki ( P. 4 fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış i tüpt ( a. 4, n v m oytsz y dğiştim v gilml (Th distitions of displacmnt and stsss in an FGM t of a. 4, n 349 and m at th lastic limit intnal pss P. 4. oytsz gilm dğişkni. m n 349 m. m. m 3. m oytsz adyal koodinat Şkil. Dış asınç altındaki fonksiyonl dclndiilmiş i tüpt ( a. 4, n oytsz gilm dğişkninin faklı m paamt dğli için adyal koodinat oynca dağılımı (Vaiation of yild vaial in an intnally pssizd FGM t ( a. 4, n sing m as a paamt 69

8 Tolga AIŞ, Ömü EREN /POLİTENİ DERGİSİ, Politknik Dgisi, 5; 8 ( : SONUÇ (ONLUSION B çalışmada fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış asınç altındaki zn tüplin akma davanışı inclnmişti. B tip tüpldki akma davanışının homojn malzmdn imal dilmiş tüpldn faklı oldğ lilnmişti. Yapılan analizld, sçiln paamt dğlin gö iç vya dış adyal asınç dm için akmanın tüpün faklı ölglindn aşlayailcği lilnmişti. Söz kons akma dmlaı ayı ayı l alınmış v faklı tüp gomtili için akmaya yol açacak lastik limit aınç dği analitik olaak hsaplanmıştı. Şkil. Dğişik n v m paamt dğli için oytsz lastik limit dış asıncının ( P oytsz iç yaıçapa gö dğişimi (Vaiation of lastic limit xtnal pss P with dimnsionlss inn adis sing n and m as paamts 5. SEMBOLLER LİSTESİ (LIST OF SYMBOLS,, z silindiik koodinatla a, tüpün iç v dış yaıçapı i E E i oytsz lastik limit asıncı m 3. n m. n. m 3. n intgasyon saitli lastisit modülü fans lastisit modülü Poisson oanı adyal ydğiştim m n.5 oytsz iç yaıçap şkil dğiştim ilşnli m 3. n.5 i gilm ilşnli, y aşlangıç v daha sonaki akma gilmsi n, m fonksiyonl dclndim paamtli oytsz gilm dğişkni fans akma gilmsi P asınç 6. AYNALAR (REFERENES. Alagöz H., Gülgç M. v onz A., Fonksiyonl dclndiilmiş malzml v kllanım alanlaı Mühndis v Makin, 53, (4.. Timoshnko S.P. v Goodi J.N., Thoy of Elasticity, 3. askı, McGaw Hill, Nw Yok, ( Uğal A.. v Fnst S.., Advancd Stngth and Applid Elasticity, 3. askı, Pntic Hall Intnational, Londa, ( Bosi A.P., Schmidt R.J. v Sidottom O.M., Advancd Mchanics of Matials, 5. askı, Wily, Nw Yok, ( Pak A.P., "Atofttag of opn-nd ts - Psss, stsss, stains, and cod compaisons", Jonal of Pss Vssl Tchnology - Tansactions of th ASME, 3: 7-8, (. 6. Py J. v Aodi J., "Elasto-plastic stsss in thick walld cylinds", Jonal of Pss Vssl Tchnology - Tansactions of th ASME, 5: 48-5, (3. 7. Oata Y. v Noda N., Stady thmal stsss in a hollow cicla cylind and a hollow sph of a fnctionally gadd matial, Jonal of Thmal Stsss, 7: , ( Rddy J.N. v hin.d., Thmomchanical analysis of fnctionally gadd cylinds and plats, Jonal of Thmal Stsss, : , ( Zimmman R.W. v Ltz M.P., Thmal stsss and thmal xpansion in a nifomly hatd fnctionally gadd cylind, Jonal of Thmal Stsss, : 77-88, (999.. Jaai M., Sohapo S. v Eslami M.R., Mchanical and thmal stsss in a fnctionally gadd hollow cylind d to adially symmtic loads, Intnational Jonal of Pss Vssls and Piping, 79: , (.. Akis T., Isı tkisi altındaki fonksiyonl dclndiilmiş malzmdn yapılmış zn tüpld plastik akmanın aşlaması, Gazi Ünivsitsi Müh. Mim. Fak. Dgisi, : , (7.. Easlan A.N., Stsss in FGM pss ts nd non-nifom tmpat distition, 7

9 RADYAL YÖNDE BASINÇ UYGULANAN FONSİYONEL DEREELENDİRİLMİŞ MALZEM Politknik Dgisi, 5; 8 ( : 63-7 Stctal Engining and Mchanics, 6: , (7. 3. Akis T., Elastoplastic analysis of fnctionally gadd sphical pss vssls, omptational Matials Scinc, 46: , (9. 4. Topal S. v Glgc M., Thmal stss analysis of an FGM cylind nd th ffct of convction and adially vaying tmpat distition Matials Scinc Fom, 63-63: 3-8, (. 5. Hill R., Th Mathmatical Thoy of Plasticity, landon Pss, Oxfod, (95. 7