İstatistik I Ders Notları

Transkript

1 İstatistik I Ders Notları Sürekli Rassal Değişkenler Hüseyin Taştan Kasım 2, 26 İçindekiler Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri 2 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 Birikimli Olasılık Fonksiyonu 6 4 Beklenen Değer ve Varyans 5 Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 6 Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 4 7 Bağımsızlık 5 8 Koşullu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 6 9 Birikimli Ortak Olasılık Fonksiyonu 6 Yrd. Doç. Dr., Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü. Mail: Hüseyin Taştan İktisat Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi Yıldız Kampüsü, Beşiktaş, İstanbul Turkey tastan@yildiz.edu.tr Web-site: tastan/index.html c 25-6, Hüseyin Taştan

2 Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri Bir sürekli (continuous) rassal değişken reel sayılar doğrusu üzerinde herhangi bir değeri alabilir. Buna göre bir X rassal değişkeninin alabileceği değerler sadece tam sayıları değil gibi noktadan sonraki dijitleri keyfi olarak (sonsuz uzunlukta) yazılabilen sayıları da kapsar. Reel sayıların özellikleri gereği birbirine ne kadar yakın olursa olsun iki reel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel ve irrasyonel sayı bulunur. Öyleyse X sürekli rassal değişkeni sonsuz sayıda değerden birini alabilir ve herhangi bir reel sayıya eşit olma olasılığı sıfırdır. Kesikli rassal değişkenlerden farklı olarak, sürekli rassal değişkenlerin bir değere eşit olma olasılıkları değil, belli bir aralık içine düşme olasılıkları hesaplanır. Konuyu daha iyi kavramak için şöyle bir örnek düşünelim. X rassal değişkeni aynı özelliklere sahip mp çalarların oluşturduğu anakütleden rassal olarak seçilen birinin fiyatı olsun. Fiyatın (X) belli bir aralıkta, örneğin 85.75YTL ile YTL arasında, alabileceği değerler belirlidir. Teknik olarak bunların teker teker sıralanması (bir kesikli rassal değişken gibi) mümkündür. Ancak, kesikli rassal değişkenler için geliştirilen yöntemler, X in alabileceği değerler çok sayıda olduğundan, uygulanabilir değildir. Bir başka örnek daha verebiliriz. Belli bir kentte yerleşik hanehalkları arasında rassal olarak 2 tanesini seçtiğimizi düşünelim. X ilgili hanehalkının toplam yıllık geliri olsun. Fiyat örneğinde olduğu gibi, gelir düzeyi de belli bir aralıkta herhangi bir değeri alabilir. Ancak, X in tam olarak belli bir değere, örneğin YTL ye eşit olma olasılığı sıfır kabul edilebilir. Gelirin belli bir aralıkta, örneğin 6YTL ile 7YTL arasında olma olasılığından bahsedebiliriz. İktisadi değişkenlerin önemli bir kısmı sürekli rassal değişken kategorisine girer. Örnekleri çoğaltmak mümkündür: IMKB endeksinin belli bir gündeki kapanış değeri, belli bir aydaki fiyatlar genel düzeyi (e.g., TÜFE), yılın ilk üç aylık döneminde gerçekleşen ihracat tutarı vb. 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu X sürekli rassal değişkeni için tanım gereği P (X = x) = olduğunu ve olasılıkların ancak belli bir aralık için hesaplanabileceğini öğrendik. Kesikli rassal değişkenler için geliştirdiğimiz yöntemleri bürekli rassal değişkenlerin dağılım özelliklerini incelemekte kullanamayız. 2

3 X sürekli bir rassal değişken ve x bu değişkenin alabileceği herhangi bir değer olsun (bu noktada reel sayılar doğrusu X in örneklem uzayı olarak kabul edilebilir). X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf, probability density function, pdf) ya da kısaca yoğunluk fonksiyonu, f(x), aşağıdaki özellikleri taşıyan bir fonksiyondur:. 2. f(x), < x < P ( < X < ) = + f(x)dx = Birinci özelliğe göre X in alabileceği tüm değerler için yoğunluk fonksiyonu değerleri, tıpkı kesikli ressal değişkenler için olasılık fonksiyonu değerleri gibi, negatif olamaz. İkinci özellik alt ve üst sınırları X in değerler aralığı olan integralin e eşit olduğunu söylemektedir. Başka bir deyişle, f(x) eğrisinin altında kalan alan bire eşittir (bkz. Şekil ). a < b olmak üzere, a ve b, < a < b < özelliğini sağlayan herhangi iki reel sayı ise, X in bu değerler arasında kalma olasılığı alt sınırı a, üst sınırı b olan belirli integralin değerine eşittir. Yani, X in a ile b arasında olma olasılığı f(x) in altında kalan ve sınırları a ile b tarafından belirlenmiş bölgenin alanına eşittir. P (a < X < b) = b a f(x)dx Tekil noktaların olasılıkları sıfır kabul edilebileceğinden P (a < X < b) = P (a X b) yazılabilir. Şekil de bu alan belirtilmiştir. Örnek 2. Uniform (Tekdüze) Dağılım için oyf: Bir torbaya üzerinde dan 9 a kadar rakamlar olan toplar koyduğumuzu ve rassal olarak bir tanesini çektiğimizi düşünelim. Çektiğimiz rakam dan sonraki ilk basamaktaki sayı olsun. Örneğin çektiğimiz topun üzerinde 8 rakamı varsa bulduğumuz rakam.8 olacaktır. Çektiğimiz topu yerine koyalım ve tekrar bir sayı çekelim. Bu da sıfırdan sonraki ikinci dijit olsun. Örneğin.84. Benzer şekilde daha sonra çekeceğimiz sayılarda sırayla sıfırdan sonraki basamaklarda yerlerini alsınlar, örneğin , vb. Bu deneyi çok sayıda tekrarlarsak ile arasında bir rassal sayı elde ederiz. Bu rassal değişkene X diyelim. Bu deneyin örneklem uzayı ile arasındaki tüm reel sayılar kümesidir, yani x [, ].

4 f(x) P(a<X<b) = b a f(x)dx a b x Şekil : Bir olasılık yoğunluk fonksiyonu Bu deneyde tanımlanan X rassal değişkeninin sürekli olduğu açıktır. Şu olasılığı bulmak istediğimizi düşünelim P ( X x) =? Bunu bulmak için sıfırdan sonra sadece iki basamak seçtiğimizi düşünelim, mesela x =.5. İlgilendiğimiz olasılık P ( X.5) =? dır. X in.5 den küçük ya da eşit olma olasılıyla ilgilendiğimize göre öncelikle deneyin örneklem uzayındaki noktaları belirlememiz gerekir. Örneklem uzayında (çekebileceğimiz tüm sayılar kümesi). dan.99 a kadar nokta (rakam) vardır. İlk çektiğimiz sayı ten küçük ise (, ya da 2) ikinci çektiğimiz sayının bir önemi olmaz çünkü sayı.5 den küçük olacaktır. Bunu yapmanın toplam = farklı yolu vardır. İlk basamaktaki rakam olduğunda ise.5 e eşit ya da daha küçük bir sayı elde etmenin toplam 6 = 6 yolu vardır. Öyleyse X x olayı toplam + 6 = 6 farklı yoldan gerçekleşebilir, dolayısıyla ilgilendimiz olasılık P ( X.5) = 6/ =.6 dır. Benzer biçimde 5 rakam çektiğimizde ilgili olasılık P ( X.5847) =.5848, rakam çektiğimizde ise P ( X ) = olur. Basamak sayısı sonsuza giderken x ile P ( X x) arasındaki fark kapanır ve limitte bu fark sıfır olur. Öyleyse P ( X x) = x yazılabilir. 4

5 Şimdi X in herhangi iki sayı arasında kalma olasılığını bulmaya çalışalım: P (a X b) =?. Örnek olarak P (.5 X.75) olasılığını bulalım. Yukarıda olduğu gibi yerine konarak farklı sayı seçilebilir..5 e eşit ya da büyük ve.75 e eşit ya da küçük sayılar toplam 4 farklı şekilde seçilebilir, öyleyse P (.5 X.75) =.4 olur ( = 4). Sıfırdan sonraki dijit sayısı arttıkça bu olasılık [a, b] doğru parçasının uzunluğuna eşit olur: P (a X b) = b a. Bu sonuç doğru parçasının kendi sınırlarını içerip içermemesinden bağımsızdır. Şu yazılabilir: P (a X b) = P (a < X b) = P (a X < b) = P (a < X < b) = b a Bu deneyden elde edilen X rassal değişkeninin oyf nu nasıl bulabiliriz? Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özelliklerini kullanarak bulmaya çalışalım. f(x) olmalı ve bu aralıkta integral bire eşit olmalı. Yani f(x)dx = Öncelikle her x [, ] için Bunun yanı sıra yukarıda tartıştığımız aralık olasılıkları koşulu da sağlanmalıdır: P (a < X < b) = b a f(x)dx = b a Bu özellikleri sağlayan fonksiyona [, ] aralığında tanımlı uniform ya da tekdüze dağılım denir (kısaca, X U(, )). Uniform dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle yazılabilir:, < x < ise;, değilse. Bunun oyf olma koşullarını sağladığı açıktır. Genel olarak [a, b] aralığında tanımlı uniform dağılıma uyan X rassal değişkeninin, X U(a, b), olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle olur:, a < x < b ise; b a, değilse. Olasılık yoğunluk fonksiyonlarının şeklinden dolayı uniform dağılıma dikdörtgensel dağılım da denir (Feller, 966, An Introduction to Probability Theory and its Applications, II. cilt, s. 2) 5

6 f(x) F(x) b a a b x a b x Şekil 2: Bir uniform rassal değişkenin yoğunluk ve birikimli olasılık fonksiyonları Birikimli Olasılık Fonksiyonu X sürekli rassal değişkeninin birikimli olasılık fonksiyonu (ya da dağılım fonksiyonu), F (x), X in, alabileceği herhangi bir değer olan x i aşmama olasılığını x in bir fonksiyonu olarak verir: F (x) = P (X x) = x f(t)dt Kesikli rassal değişkenler için x j x için tüm olasılıkları toplayarak birikimli olasılıkları buluyorduk. Sürekli rassal değişkenler için de benzer şekilde yukarıdaki integrali değerleyerek birikimli olasılıkları elde edebiliriz. Yoğunluk fonksiyonundan farklı olarak F (x) bize bir olasılık verdiği için her zaman ile arasında bir değer alır. Birikimli olasılık fonksiyonu (bof) ile olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) arasındaki ilişki şöyledir: df (x) dx Yani, oyf, bof nun birinci türevidir. Birikimli olasılık fonksiyonunun özellikleri şunlardır:. F () =, F (+ ) = 6

7 2. P (a < X < b) = F (b) F (a) = b a f(x)dx f(x) F(+ ) F(b) = F(b) F(a) F() = F(a) b a f(x)dx = F(b) F(a) a b x Şekil : Olasılık yoğunluk fonksiyonu ve birikimli olasılıklar Birinci özelliğe göre F (x), x in azalmayan bir fonksiyonudur. x x 2 olmak üzere F (x ) F (x 2 ). İkinci özelliği daha yakından incelemek için X değer aralığını aşağıdaki gibi parçalara ayırıp olasılık kurallarını kullanarak P ( < X < + ) = P ( < X < a) + P (a < X < b) + P (b < X < + ) yazalım. Olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak bu olasılıklar f(x)dx = a f(x)dx + b f(x)dx + a b şeklinde yazılabilir. Birikimli olasılık fonksiyonu kullanılarak + f(x)dx F (+ ) F () = [F (a) F ()] + P (a < X < b) + [F (+ ) F (b)] yazılabileceği açıktır. Bof özelliklerini kullanarak = F (a) + P (a < X < b) + F (b) 7

8 yazabiliriz Buradan da P (a < X < b) = F (b) F (a) olur (Bkz. Şekil ). Örnek. Uniform (Tekdüze) Dağılım için bof: Örnek 2. de [, ] aralığında uniform dağılıma uyan X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmuştuk. Şimdi yine X U(, ) için birikimli olasılık fonksiyonunu bulalım. Aslında Örnek 2. de uniform dağılım için bof bulunmuştu, yani P ( X x) = x olduğunu göstermiştik. Öyleyse X için bof şöyle yazılabilir:, x < için; F (x) = x, x için;, x > için. Şimdi herhangi bir [a, b] aralığında tanımlı bir uniform dağılım için bof nu bulalım. Bof nun tanımından hareketle F (x) = P (X x) x = a b a dt x t = b a a = x a b a, a x b aralığı için yazılabilir. Öyleyse X U(a, b) nin bof nu şöyle olur:, x < a için; F (x) = x a, a x b için; b a, x > b için. Örnek.2 Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim. e x, < x < ise;, değilse. (a) Bunun bir oyf olduğunu gösterin. (b) Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin. 8

9 (c) P (X > ) olasılığını hesaplayın. (d) Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun. CEVAP: (a) Sorunun ilk bölümünde bu fonksiyonun bir oyf olup olmadığını göstermemiz istenmektedir. Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp sağlamadığına bakalım: (a) (i) İlk olarak, f(x) koşulunun < x < aralığındaki her x değeri için sağlandığı açıktır. (b) (ii) Ayrıca, x in değerler aralığında oyf nin integralinin olması gerekir. e x dx = e x = e ( e ) = + = e = lim x e x = olarak düşünülmelidir. Bu koşul da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf dir. (b) Şekil 4 bu oyf nin grafiğini göstermektedir. P (X > ) olasılığı grafikte gösterilmiştir. (c) P (X > ) = e x dx = e x = e.6787 (d) F (x) = x e t dt = e t x = e x + e = e x 9

10 Buradan birikimli olasılık fonksiyonu, x < ; F (x) = e x, < x <. olarak bulunur. Bu bof nun grafiği Şekil 4 de çizilmiştir. ( x ) oyf: f( x) =e x F ( x ) bof: f( x) = e x P( X > ) = e x dx x x Şekil 4: e x in oyf ve bof si 4 Beklenen Değer ve Varyans Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) olan, < x < aralığında tanımlı bir X sürekli rassal değişkeninin beklenen değeri E(X) µ X = xf(x)dx

11 dir. Bu tanımda E(X) ile µ X arasındaki denklik özelliğine dikkat edilmelidir. E(X), X in anakütlesindeki merkezi ifade etmektedir. Bunun örneklem ortalaması ile karıştırılmaması gerekir. Anakütlenin yoğunluk fonksiyonu bilinen bir rassal değişkenin beklenen değeri, eğer varsa, bulunabilir. değeri Bu tanım X in herhangi bir fonksiyonu için, g(x), genelleştirilebilir. g(x) in beklenen olarak yazılır. E (g(x)) = g(x)f(x)dx Örnek 4. Şimdi daha önceden oyf ve bof nu bulduğumuz X U(, ) değişkeninin beklenen değerini bulalım. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun, < x < ise;, değilse. olduğunu biliyoruz. Beklenen değerin tanımını kullanarak E(X) = xdx = 2 bulunur. Benzer şekilde X U(a, b) nin beklenen değeri olur. b x E(X) = a b a dx [ ] b 2 a 2 = b a 2 (b a)(b + a) = 2(b a) = a + b 2 Şimdi X U(a, b) rassal değişkeni için tanımlanan g(x) = x 2 fonksiyonunun beklenen değerini bulalım. b E[g(x)] = x 2 a b a = b a (b a) = (b a)(b2 + ab + a 2 ) (b a) = a2 + ab + b 2 = E[X 2 ].

12 X sürekli rassal değişkeninin varyansı X in beklenen değerinden (ya da anakütle ortalamasından) farkının karesinin beklenen değerine eşittir. Yani g(x) = (x E(X)) 2 = (x µ X ) 2 olarak tanımladığımızı düşünürsek X in varyansı olarak yazılır. V ar(x) = σ 2 X = (x E(X)) 2 f(x)dx İntegral özellikleri kullanılarak V ar(x) aşağıdaki gibi yazılabilir: V ar(x) = E [ (X E(X)) 2] = = = (x E(X)) 2 f(x)dx x 2 f(x)dx + (E(X)) 2 f(x)dx 2E(X) ( x 2 f(x)dx = E(X 2 ) (E(X)) 2 xf(x)dx ) 2 Burada f(x)dx = ve xf(x)dx = E(X) özelliklerini kullandık. xf(x)dx Örnek 4.2 X U(a, b) için beklenen değeri bulmuştuk. Şimdi yukarıdaki ilişkiyi kullanarak varyansını bulalım. V ar(x) = E[(X E(X)) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2 = (a2 + ab + b 2 ) (b a)2 = 2 (a + b)2 4 5 Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu X ve Y sürekli iki rassal değişken olsun. Bunların ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu (ooyf), f(x, y), aşağıdaki özellikleri sağlayan bir fonksiyondur:. f(x, y), < x <, < y < için, 2. f(x, y)dxdy =. X ve Y sürekli rassal değişkenlerinin (a < X < b, c < Y < d) ile tanımlanan bölgenin içinde olma olasılıkları P (a < X < b, c < Y < d) = ile bulunur. 2 d b c a f(x, y)dxdy

13 Birinci özelliğe göre yoğunluk fonksiyonunun değerleri negatif olamaz. İkinci özellik rassal değişken çiftinin tanım aralığında integralin bire eşit olduğunu belirtmektedir. Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu ile tanımlanan yüzeyin altında kalan hacmin bire eşit olması gerekir. Üçüncü özellik bu yüzey altında tanımlanan herhangi bir bölgenin olasılığının, bu düzlem parçasıyla fonksiyonun yüzeyi arasında kalan hacmine eşit olduğunu belirtmektedir. f(x,y) y.5.5 x Şekil 5: f(x, y) = xye (x2 +y 2), x >, y >, için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu Örnek 5. Aşağıda verilen iki değişkenli fonksiyonun bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olmasını sağlayacak k sabit sayısını bulun. Elde ettiğiniz ooyf nu kullanarak P ( < X < 2, < Y < 2) olasılığını bulun. k(x + y), < x <, < y < 2 ise; f(x, y) =, değilse. Öncelikle f(x, y) > koşulunun sağlanabilmesi için k > olmalı. İkinci koşuldan

14 hareketle 2 k(x + y)dxdy = 2 ( ) = k 2 + y dy = k = k = ( ) 2 y + y2 2 2 k = bulunur. Öyleyse ooyf f(x, y) = (x + y), < x <, < y < 2 ise;, değilse. olarak yazılabilir. İstenen olasılık ooyf nun altındaki hacim olarak bulunur: P ( < X < 2 ) 2, < Y < 2 2 = (x + y) dxdy = 2 ( 8 + ) 2 y dy = ( ) 8 y + y2 2 4 = Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu İki değişkenli bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan hareketle marjinal (tekil ya da yanal) olasılık yoğunluk fonksiyonları aşağıdaki gibi bulunur: f(y) = f(x, y)dy f(x, y)dx Örnek 6. Örnek 5. deki ooyf nu kullanarak X ve Y rassal değişkenlerinin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulalım. 2 (x + y)dy = ) (xy + y2 2 2 = 2 (x + ) 4

15 Böylelikle X için moyf nu şöyle yazılır: 2(x + ), < x < ise;, degilse. Benzer şekilde Y nin moyf nu g(y) = (y + ), < y < 2 ise; 2, degilse. olur. Alıştırma olarak bu fonksiyonların moyf özelliklerini taşıdıklarını gösteriniz. 7 Bağımsızlık Eğer ortak olasılık yoğunluk fonksiyonları f(x, y) = f(x) g(y) olarak yazılabiliyorsa X ve Y rassal değişkenleri istatistik bakımından bağımsızdır denir. Genel olarak X, X 2,..., X n rassal değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı olarak yazılabiliyorsa f(x, x 2,..., x n ) = f (x ) f 2 (x 2 ),..., f n (x n ) n = f j (x j ) j= bu rassal değişkenler birbirinden bağımsızdır denir. Bu özellik kullanılarak Maksimum Olabilirlik (Maximum Likelihood) tahmin edicileri türetilebilmektedir. Bu konuya İstatistik II dersinde Tahmin Yöntemleri başlığı altında değineceğiz. Örnek 7. Örnek 6. deki ortak oyf ve marjinal oyf nı kullanarak X ve Y nin bağımsız olup olmadığını bulalım. f(x)g(x) = 2 (x + ) (y + 2 ) f(x, y) olduğundan X ve Y rassal değişkenleri bağımsız değildir. 5

16 Örnek 7.2 Aşağıda verilen ooyf nu kullanarak moyf nı bularak bağımsız olup olmadıklarına karar verelim. f(x, y) = Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları Buradan, < x < 4, < y < 4 ise; 9, degilse. g(y) = dy = 9 dx = f(x, y) = 9 = f(x)g(y) = ( ) ( ) koşulu sağlandığı için X ve Y rassal değişkenleri bağımsızdır. 8 Koşullu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu A ve B herhangi iki olay olsun. Hatırlarsak A verilmişken B nin koşullu olasılığı aşağıdaki gibi bulunabiliyordu: P (B A) = P (A B) P (A) Benzer şekilde Y = y verilmişken X in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x y) = f(x, y) g(y) ile bulunur. 9 Birikimli Ortak Olasılık Fonksiyonu F (x, x 2,..., x k ) = F (x, y) = y xk xk x f(t, s)dtds x... f(t, t 2,..., t k )dt dt 2,..., dt k 6

17 Alıştırmalar Aşağıdaki fonksiyon veriliyor. k(x + ), < x < 2 (a) Bunun bir oyf olmasını sağlayan k sabitini bulun. (b) Bulduğunuz oyf nu kullanarak X in beklenen değerini ve varyansını bulun. (c) bof, F (x) i bulun. (d) bof nu kullanarak P ( < X < ) olasılığını bulun x olmak üzere x veriliyor. (a) Bunun bir oyf olduğunu gösterin. (b) F (x) i bulun. (c) P ( X > ) olasılığını bulun. 2 (d) E(X) i bulun. İktisat bölümü öğrencilerinin evlerinden okula gelme süreleri dakika ile 45 dakika arasında uniform dağılıma uymaktadır. Buna göre, rassal seçilmiş bir öğrencinin yolda geçirdiği sürenin (a) 2 dk dan az (b) 2 dk ile dk arasında (c) dk dan fazla olma olasılıklarını bulun. 4 X in oyf nun aşağıdaki gibi olduğunu düşünelim: x, < x < 2 ise; 2, değilse. (a) P (X < t) = 2 (b) P (X < t) = 4 olmasını sağlayan t sayısını bulun. olmasını sağlayan t sayısını bulun. 5 X rassal değişkeni [ 2, 2] aralığında uniform dağılmaktadır. (a) P ( < X < ) olasılığını bulun. 7

18 (b) P (X < t) =.5 olabilmesi için t ne olmalıdır? 6 X rassal değişkeninin oyf nu aşağıdaki gibidir: ( 2 x2 ), < x < ise;, değilse. (a) Bunun bir oyf olduğunu gösterin. (b) Şu olasılıkları bulun: P (X > 2 ), P ( 4 < X < 4 ), P (X < 4 ) 8