BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ BİYOMEDİKAL MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Transkript

1 BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ BİYOMEDİKAL MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BME43 BİYOMEDİKAL İŞARET İŞLEME I LABORATUVAR DERSİ Deneyin Adı: Güç Sektral Yoğunluğu DENEY 7 Deneyin Amacı: Güç Sektral Yoğunluğu Tesiti ve MATLAB ortamında incelenmesi Ön Bilgiler: Güç sektral analizinin temeli durağan rastgele bir sistemin sonlu uzunluktaki bir sinyalin frekans bandı üzerindeki güç dağılımını tahmin etme işlemlerine dayanmaktadır. Elektromanyetik, haberleşme, tı, ekonomi, meteoroloji, astronomi, radar ve sonar sistemlerinde güç sektral analiz işlemleri sıklıkla kullanılmaktadır. Sektral analiz işlemlerinde iki temel yaklaşım söz konusudur. Bunlar arametrik ve arametrik olmayan yöntemler olarak adlandırılmaktadır. Parametrik olmayan yöntemler güç sektral yoğunluğunun temel tanımlarını kullanan ve sinyal üzerinde varsayım ortaya koymayan yaklaşımlardır. Buna karşın, arametrik yöntemler sinyal için varsayılan bir model ortaya koyu, bu model için arametreler oluşturmaktadır. Eğer sinyal önerilen model için gereken özellikleri sağlıyorsa arametrik yöntemler daha iyi erformans gösterirler. Eğer böyle bir uyum söz konusu değilse arametrik olmayan yöntemler tercih edilmelidir. Parametrik yöntemler uzun dönem kayıtlarında tercih edilmemektedir. Güç sektral yoğunluğu Güç sektral yoğunluğu (GSY), sinyalin frekans bandı üzerindeki güç dağılımı olarak düşünülebilir. Bir sinyalin gücü karesi alınarak hesalanmaktadır. Fouirer dönüşümü olmayan bir sinyalin güç sektral yoğunluğu sinyalin oto ilinti (R(t)) fonksiyonunun Fouirer dönüşümü alınarak hesalanmaktadır. Eşitlik 3.11'de güç sektral yoğunluk denklemi bulunmaktadır. 1

2 ( if ) ( ) ( ) ( ( )) S f R e d F R (3.11) Güç sektral yoğunluğunun sektral analiz yöntemleri ile ilintisi açısından tanımlamaları yaılmıştır. Güç sektral yoğunluğu, kovaryans dizisinin ( r(k) ) kısa zamanlı Fouirer dönüşümü olarak tanımlanmaktadır ( ). w r(k) e jwk (3.1) k GSY'nin ikinci tanımı, birinci tanımın varsayım altındaki ifadesi olarak gösterilmektedir ve eşitlik 3.13'de tanımlanmaktadır. N 1 jwn w lim E x( n) e n N n1 Parametrik olmayan yöntemler Parametrik olmayan GSY bulma yöntemleri korrelogram ve eriodogram olarak ikiye ayrılmaktadır. Korelogram GSY'nin birinci tanımından, eridogram ise ikinci tanımından türetilmektedir. Eğer sinyal genişliği yeterli düzeyde ise bu yöntemle yüksek çözünürlükte sektral analiz yaabilmektedir. Bu yöntemlerin varyansları oldukça yüksektir ve sinyal uzunluklarının artmasından etkilenmemektedir. Bu durum arametrik olmayan GSY bulma yöntemlerinin daha zayıf karakteristik göstermesine sebe olmaktadır. Bunların en bilinenleri, BlackmanTukey, Barlett ve Welch yöntemleridir. Periodogram, GSY'nin ikinci tanımına dayanmaktadır. Olasılığın azalması ve sonsuz tolamların bir noktadan kesilmesi ile ifade edilmektedir ve eşitlik 3.14'de gösterilmektedir. w N jwk x(n) e (3.14) n1

3 Korrelogram, GSY'nin birinci tanımına dayanmaktadır ve eşitlik 3.15'te gösterilmektedir. Burada otovaryans dizisi çıkarımını ifade etmektedir. c w N1 jwk r(k) e (3.15) k( N1) Welch yöntemi Bu yöntemi anlayabilmek için öncelikle temelinde yer alan Barlett yöntemi ifade edilmelidir. Barlett yöntemi, ortalama eriodogram alma yöntemi olarak tanımlanmaktadır. Standart eriodogramlara karşın, Barlett yönteminde çözünürlüğü düşürülerek eriodogramın varyansını azaltılmaktadır. Fizik, mühendislik ve matematikte çok kullanılan bu yöntem ile bindirme(overla) işlemi olmaksızın n uzunluğundaki birden fazla sinyal enceresinin güç sektrumu alınır. Tüm sinyal üzerinde aynı frekansa karşılık gelen güç bileşenlerinin ortalamaları alınarak sektral yoğunluk çıkarımı yaılır. Her bir encerenin kesik zamanlı Fouirer dönüşümü alınır. Welch yöntemi ise Barlett yönteminin geliştirilmesi ile ortaya konmuştur. Burada ise encerelemenin yanında, her encere üzerinde belirli oranda bindirme işlemi yaılır. Bu bindirme işlemi encere fonksiyonunun sinyalin merkezinden kenarlarına doğru ilerledikçe meydana getirdiği kayıların giderilmesi için yaılmaktadır [5]. Parametrik yöntemler Büyük sinyal uzunluklarında arametrik olmayan yöntemler iyi erformans sağlarken,sinyal uzunluğu sınırlandırıldığında aynı erformans sağlanmamaktadır. Sinyal { x(1)... x(n)} GSY için model varsayımı (ϕ (w)) Parametre Çıkarımı [ {x(1)...x(n)} ] kullanımı ile GSY çıkarımı ( w) ( w, ) Şekil 3.3 Parametrik yöntem yaklaşımı 3

4 Parametrik yöntemler otoregresyon temeline dayandığından otoregresif bir model seçimi ve sinyal morfolojisinin bu modele uygunluğu analiz edilmelidir. Otoregresif güç sektrumunun (AR) temel avantajı sinyal hakkında ön bilgi gerektirmeden karakteristiğini ifade eden sektruma erişilebilmesidir. AR modellemede sinyal dizisi s(n), birim varyansa sahi birim gürültü ile sürülen tam kutu filtrenin çıkışı olarak düşünülmektedir. Böylece s(n) kendinden önceki verilerin ve önceki verilerden bağımsız kabul edilen beyaz gürültü bileşenlerinin (e(n)) bir fonksiyonu olarak ifade edilir. Sinyal eşitlik 3.16'daki gibi ifade edilir. s n a(k)s(n k) e(k) (3.16) k1 Eğer "" modelleme derecesi olarak alınırsa, AR güç sektrumu eşitlik 3.17'deki gibi olur. Pf ( ) j fk 1 a( k) e k 1 (3.17) Burada σ ifadesi beyaz gürültü varyansı olu sabit bir değerdir. AR sektrum kestirimi özilinti (autocorrelation) veya ortak değişinti (covariance) matrislerinin çözümlerine dayanmaktadır [6]. Yule- Walker yöntemi Bu güç sektral analiz yöntemi AR modelleme temeline dayalı bir yaklaşım olarak bilinmektedir. Bu yöntemde AR arametreleri, sinyalin özilinti fonksiyonu çıkarımından elde edilir ve ileri yönde çıkarım hatasının minimize edilmesi ile çözüme gidilir. Buna bağlı olarak ortaya çıkan çözüm matrisi eşitlik 3.18'de yer almaktadır [7]. 4

5 * * r(1) r() r( ) r 1 r * r() r(1) r( 1) r r 3 r( ) r() r(1) r r 1 (3.18) AR tabanlı Yule Walker yöntemi ile GSY analizi için öncelikle otokorvaryans hesabı yaılmaktadır. Bunun için eşitlik 3.19'daki denklem kullanılmaktadır. Denklemde y sinyal örnekleri, N örnek sayısı cinsinden sinyal uzunluğu, k ise oto-kovaryans indeks olarak tanımlanmaktadır. N 1 r( k) y( t) y * ( t k) N k t 1 k 0 k N1 (3.19) Yule Walker yönteminde, GSY eşitlik 3.18'den türetilen AR arametrelerinin eşitlik 3.0'deki denklemde kullanılması ile elde edilmektedir. Denklemde f s örnekleme frekans, f ise fiziksel frekans olarak tanımlanmaktadır [41]. P AR f 1 fs k 1 1 a( k) e jkf / fs (3.0) Bu çalışmada KAHD sinyali GSY analizi öncesi alçak geçiren interolasyon yöntemi kullanılarak Hz ile yeniden örneklenmiştir ve sinyalden ortalama değeri çıkarılmıştır. Kaynak: Bayrak, T., Uyku Anesi Parametrelerinin Cerrahi Tedavi Öncesi Ve Sonrasında Değerlendirilmesi, Başkent Üniversitesi Biyomedikal Mühendisliği Bölümü Yüksek Lisans Tezi, 01 5

6 Ön Çalışma: 1- Teorik bilgide yer alan Welch, Burg, Yule-Walker Güç Sektral Yoğunluğu Tesit Yöntemlerini Matlab ortamında araştırınız. (Signal Processing Toolbox, welch, yulear, burg, sectrogram) - Bir sinyalin otokorelasyon fonksiyonunun Fouirer Dönüşümü aynı zamanda güç sektral yoğunluğu anlamına gelmektedir. Matlab ortamında araştırınız. 6