İSTATİSTİK DERS NOTLARI

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İSTATİSTİK DERS NOTLARI"

Su Öncel
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı

2 Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü İnşaat Mühendisliği Bölümü Bölüm 4 Olasılık Dağılım Fonksiyonları-I Giriş Kesikli Dağılım Fonksiyonları

3 Giriş f ( x) dx 1 koşulunu sağlayan herhangi bir f(x) fonksiyonu o.y.f olmaya adaydır. Ancak pratikte bazı özel fonksiyonların değişkenlerin dağılımlarını temsil ettikleri görülebilmektedir. Bu özel fonksiyonlar problemden probleme değişkenlik gösterirler. Probleme uygun fonksiyon seçiminden sonra fonksiyonun parametre tahminleri elde edilerek fonksiyonun yapısı belirlenebilir. Bazı Olasılık Dağılım Fonksiyonları Kesikli Dağılım Fonksiyonları -Üniform Dağılım -Bernoulli (Binom) Dağılımı -Poisson Dağılımı Sürekli Dağılım Fonksiyonları -Normal Dağılım -Lognormal Dağılım -Gamma Dağılımı -Gumbel Dağılımı

4 Üniform Dağılım Eş olasılıklı dağılımdır. Örnek 1: Bir torbada üzerinde 1 den 10 a kadar yazılı 10 top bulunmaktadır. Torbadan çekilen her top torbaya tekrar atıldığına göre a) 3 no lu topun çekilme olasılığı nedir? b) 3 ten daha büyük bir sayı çekilme olasılığı nedir? c) Bu olayın beklenen değeri ve varyansı nedir? a) Her topun çekilme olasılığı aynıdır 1/10 b) 3 ten büyük 7 adet sayı olduğundan P (x>3)= 7*(1/10)=0.7 c) E(x)=µ= ( )/10=5.5 Var (x) = [ (1-5.5) 2 + (2-5.5) 2 + +(10-5.5) 2 ]/10=8.25

5 Bernoulli Denemeleri Rastgele bir değişken için her gözlemde iki olaydan sadece birinin meydana gelmesi durumu mevcutsa ya da diğer bir deyişle başarı ve başarısızlık olmak üzere iki sonuçla ilgileniliyorsa bu problem Bernoulli denemeleri ile çözümlenebilir. n elemanlı örnekte olasılığı p olan başarı olayının x kez görülmesi olasılığı: Bernoulli (Binom) Dağılımı

6 Örnek 2: Bir madeni para 4 kez yazı-tura atışı yapılıyor. a) Hiç tura gelmemesi olasılığını bulunuz. b) Bir kez tura gelmesi olasılığını bulunuz. c) En az iki kez tura gelmesi olasılığını bulunuz. a) Yazı-tura atışı olayında iki durum bulunmaktadır. tura gelmesi : başarı, yazı gelmesi : başarısızlık olarak tanımlansın. p=1/2 q=1/2 Binom dağılımı 4 4! P( X x) x x!(4 x)! x 4 x x 4 x 4! PX ( 0) /16 (hiç tura gelmemesiolasılığı) 0!(4 0)! 4! b) PX ( 1) / 4 (bir kez tura gelmesi olasılığı) 1!(4 1)! c) P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1) 1 (1/16 1/ 4) 11/16

7 Örnek 3: Bir müteahhit firma geçmiş yıllarda katıldığı 20 ihalenin 4 ünü kazanmıştır. a) Bu firmanın önümüzdeki yıl teklif vermeyi planladığı 5 ihaleden en çok 3 ünü kazanması olasılığı nedir? b) Firmanın kazanmayı beklediği ihale adedi nedir? a) Bu olayda iki durum bulunmaktadır. Binom dağılımı ile çözüm yapılabilir. İhaleyi kazanma: başarı, ihaleyi kaybetme : başarısızlık olarak tanımlansın. p=4/20=0.20 q=1-p=1-0.20=0.80 b) P( X 3) P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3) PX 5! 0!(5 0)! ( 0) PX 5! 1!(5 1)! ( 1) PX 5! 2!(5 2)! ( 2) PX 5! 3!(5 3)! ( 3) E( X) np 5* adet ihale PX ( 3)

Poisson Dağılımı Bağımsız denemelerin sayısı artarsa (n ), başarı olasılığı küçülürse (p 0) ancak başarılı denemelerin beklenen değeri λ=np sabit kalırsa Binom dağılımı yerine Poisson dağılımı tercih

8 Poisson Dağılımı Bağımsız denemelerin sayısı artarsa (n ), başarı olasılığı küçülürse (p 0) ancak başarılı denemelerin beklenen değeri λ=np sabit kalırsa Binom dağılımı yerine Poisson dağılımı tercih edilebilir (λ: ortalama olay sayısı). Bu dağılım Bernoulli dağılımının limit halidir (Bayazıt ve Oğuz, 2013). Siméon-Denis Poisson n elemanlı örnekte olasılığı p olan başarı olayının x kez görülmesi olasılığı:

9 Örnek 4: Bir baraj 100 yılda bir görülen taşkına göre projelendirilmiştir. Barajın 50 yıl kabul edilen ömrü boyunca en az bir defa proje taşkınının aşılması olasılığı nedir? Poisson dağılımına göre PX ( 1)? P( X 1) 1 P( X 0) p 1/ n 50 np 50 * e 0.5 PX ( 0) ! PX ( 1) Binom dağılımına göre 50 PX 0 PX ( 1) ( 0)

10 Kesikli Dağılım Fonksiyonları Binom excel ile çözüm ve kullanılan formüller

11 Kesikli Dağılım Fonksiyonları Poisson excel ile çözüm ve kullanılan formüller NOT: bkz. binom ve poisson hesabı.xlsx

12 Örnek 5: Bir bölgede 70 yıl içinde büyüklüğü 6 dan fazla olan 10 tane deprem gözlenmiştir. Bu bölgede önümüzdeki 30 yıl içinde 6 dan fazla büyüklükteki bir deprem görülmesi olasılığı nedir? 10 p (bir yılda 6'dan fazla büyüklüktedeprem meydana gelmesiolasılığı) 70 n * (30yılda 6'danfaz la büyüklüktebeklenen depremsayısı) e PX ( 0) ! 30 yıl en az bir depremin(6'dan daha fazla büyüklükteki)görülmesi olasılığı P( X 1) 1 P( X 0)

13 Örnek 6 (ÖDEV): Bir trafik ışığında bekleme süresinde kavşağa gelen araçların sayısının ortalama değeri 10 olmak üzere, 15 ten fazla araç geldiğinde kavşak tıkanıyorsa kavşağın tıkanması olasılığı nedir? EXCEL İLE ÇÖZÜNÜZ. (Poisson dağılımı kabulü ile).

Benzer belgeler

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli