Şekil 1 : Problemin Tanımı

Transkript

1 Silindir Üzerinde Inviscid Akışta Hız Profilinin ANSYS ile Analizi : Problem Tanımı : Yarıçapı a = 0.25m olan silindir üzerinden hızı U = 1.0 olan hava geçirilmektedir. Akışın sıkıştırılamaz (incompressible), kararlı (steady), girdapsız (irrotational) ve Vizkozitesiz (Inviscid) olduğunu varsayarak orta kısımdaki hız profilini Fluent de çizdiriniz ve Analitik çözümle karşılaştırınız. 1. Problemin Analitik Çözümü : 1 (r ρ V ) + 1 (ρ V ) r r r θ Şekil 1 : Problemin Tanımı Analitik (kesin) çözümler, genel olarak, faydalıdır ve bazı spesifik sistemlerin davranışının anlaşılmasında mükemmel rol oynarlar. Ancak, sınırlı sayıda problem için çözüm sunabilirler. Genel olarak, doğrusal olarak ele alınabilecek, ya da basit bir geometri ile tanımlanabilecek, ya da düşük boyutlu problemler için uygundurlar. Fakat, günlük hayat problemleri karmaşık, doğrusal olmayan ve yüksek boyutlu geometri ve davranışa sahiptirler. Burada, silindir üzerindeki akış için analitik bağıntılar çıkarılacaktır. Silindirik koordinat sisteminde kütlenin korunumu yazılırsa, ρ t + 1 (r ρ V ) + 1 r r r dır. Akım daimi (steady) ise = 0 dır ve (1) denklemi (ρ V ) + (ρ V ) = 0 (1) θ z + (ρ V ) z = 0 (2)

2 halini alır. Hareketi takiben bir akışkan partikülünün özgül kütlesi değişmiyorsa bu akışkana sıkıştırılamayan (incompressible) akışkan denir ve ρ = sabit dir. (2) denkleminden, 1 (r V ) + 1 r r r (V ) θ + (V ) z = 0 (3) dir. Düzlemsel hareket konumunda ψ = ψ(r, θ) şeklinde bir akım fonksiyonu (stream function) tanımlamak mümkündür. Bu şartlarda (3) denklemi, 1 r (r V ) + 1 (V ) r r θ = 0 (4) olur. (4) denklemini sağlayan hız alanı, ψ = ψ(r, θ) akım fonksiyonuna bağlı olarak: V = 1 ψ r θ, V = ψ r (5) şeklinde tanımlanır. Bir akışkan akımında düzlemdeki girdap vektörünü Ω ile gösterecek olursak: Ω = curl V = x V = V e r V = e r (6) şeklinde tanımlanır. Silindir üzerindeki akışta, hareketin girdapsız olması halinde curl u = 0 olur. Burada curl işlemi, bir vektör alanındaki bir nokta etrafındaki dönme meylini ölçer. curl V = ψ r + 1 r ψ r + 1 ψ r = 0 (7) θ Amacımız Denklem (7) yi çözmektir, daha sonra hız alanı bulunacaktır. Denklem (7) nin ayrılabilir çözümünü bulabiliriz. Bunun için formunda olduğu kabul edilirse, Denklem (7), ψ(r, θ) = R(r)H(θ) (8) R " H + 1 r H R + 1 r R H" = 0 H R " + 1 r R + R r H" = 0 R " + 1 r R = R H" r H (9) halini alır.

3 Denklem (9) un sol tarafı r nin fonksiyonu ve sağ tarafı θ nın fonksiyonudur. Bunların birbirine eşit olabilmesi için iki tarafında sabit olması gerekir. Bu sabiti denklem (9) da λ şeklinde belirtecek olursak, r R (R" + 1 r R ) = H" H = λ (10) elde edilir. Denklem(10) u iki ayrı denklem şeklinde yazacak olursak, R " + 1 r R λ R = 0 (11) r H " + λ H = 0 (12) Denklem (11) ve (12) nin (birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin) λ 0 için çözümleri, ψ(r, θ) a, θ da süreklidir. λ = n olmak üzere, Denklem (7) nin genel 2π periodic çözümü, R(r) = a r + b r (13) H(θ) = A cos λθ + B sin λθ (14) ψ(r, θ) = ψ(r, θ + 2nπ) (15) ψ(r, θ) = (a r + b r )(A cos nθ + B sin nθ) (16) dir. Silindir üzerindeki akış için iki adet sınır koşulumuz vardır. (1) r = da akış yataydır. Bu durumda, Kartezyen koordinat sisteminde V = (,) i (,) j = U i + 0 j şeklinde ifade edilir. Buradan, ψ = U y = U r sin θ (17) dır. (2) Silindir yüzeyinden akışkan geçemez. Bu aşağıdaki biçimde ifade edilir: ψ θ = 0 (18) Bizim amacımız Denklem (16) yı, sınır koşullarına bağlı olarak (Denklem 17-18) çözmektir. Denklem (16) n=1 için açılırsa, ψ(r, θ) = (a r + b r ) (A cos θ + B sin θ) + (a r + b r )(A cos nθ + B sin nθ) (19)

4 Sınır koşulu (17), Denklem(19) a uygulanırsa, a B = U A = 0 a = b = 0, n 2 Böylece Denklem (19), ψ(r, θ) = (a r + b r ) B sin θ ψ(r, θ) = a B r sin θ + b r B sin θ ψ(r, θ) = U r sin θ + b r U a sin θ ψ(r, θ) = U r + b 1 sin θ (20) a r halini alır. Sınır koşulu (18), Denklem(20) ye uygulanırsa, ψ θ = U r + b 1 a r cos θ = U a + b 1 cos θ = 0 a a Böylece Denklem(16) ı çözülür ve Denklem (21), b a = a ψ(r, θ) = U r a r sin θ (21) halini alır. Bu düzlemsel polar koordinatdaki Denklem (21) ifadesi, kartezyen koordinatda ifade edilecek olursa: a ψ(x, y) = U y 1 x (22) + y Buna bağlı olarak kartezyen koordinatda hız alanı aşağıdaki biçimde elde edilir. U = ψ(x, y) y = U 1 a r cos 2θ (23) U = ψ(x, y) x = U a r sin 2θ (24)

5 Şekil 2: Silindir üzerindeki akışta, θ = 90 için hız profili ve θ = 0 için durma (stagnation) noktaları 2. Problemin Ansys Fluent de Analizi: Ansys Workbench programı çalıştırılır, Fluid Flow (FLUENT) analiz sistemi, proje şemasına sürüklenir bırakılır. Analiz adı olarak "Silindir Üzerinden Inviscid Akış" girilir. 1- Geometri nin oluşturulması : Analiz tipi olarak 2 boyutta çalışacağımız için, 2D seçilir ve Geometry sekmesine çift tıklanır. Gelen pencerede Meter ölçü birimi seçilir ve OK a tıklanır.

6 Tree Outline sekmesinde XY Plane seçilir, yine aynı pencerede Sketching sekmesi seçilir. Grafik ekranında ise +Z yönü tıklanarak, XY Plane e ön taraftan bakılır. Orijinde (P harfinin görünmesi gerekir.) çember çizilir. Daha sonra merkezdeki çemberi içine alacak biçimde dikdörtgen çizilir. Sketching Toolboxes dan Dimensions sekmesi seçilir.

7 Ve aşağıdaki gibi ölçülendirme yapılır. Eksenler arası mesafe için Horizontal ve Vertical kullanılır.

8 kullanılarak X ekseninde çemberi ve dikdörtgeni kapsayacak biçimde yatay çizgi çizilir. Sketching Toolboxes dan Modify sekmesi seçilir ve kullanılarak aşağıdaki şekil elde edilir. Fluent te problemin çözümünde simetri özelliği kullanılacaktır böylece eleman sayımız azaltılmıştır. Sketch1 den yüzey oluşturmak için, üst menüden Concept -> Surfaces from Sketches tıklanır.

9 Sketch1, Base object (temel nesne) olarak seçilir ve Apply a basılır. Generate e (Menü de) tıklanarak yüzey oluşturulur. Menu den Save tuşuna basılır ve Design Geometry penceresi kapatılır.

10 3- Meshin Oluşturulması : Proje Şemasından, Mesh e çift tıklanır. Mesh e sağ tıklanır ve Insert -> Method seçilir. Geometry olarak tüm yüzey seçilir ve Apply a basılır. Method olarak Triangles seçilir. Menü den Update e basılarak ve Outline daki Mesh e tıklanarak oluşturulan Mesh görüntülenir.

11 Oluşturduğumuz Mesh imize iyileştirme ekliyeceğiz, böylece daha sık bir mesh yapısını elde edeceğiz. Mesh -> Insert -> Refinement tıklanır. Details of Refinement penceresinde Geometry olarak tüm yüzey seçilir ve Apply a basılır. Refinement değeri 1 olacak biçimde Menu den Update e basılır. Oluşan Mesh yapısı aşağıdaki gibidir.

12 Details of Mesh penceresinden, Relevance Center olarak Fine seçilir ve Smoothing olarak High seçilir. Menu den Update e basılır. Oluşan Mesh yapısı aşağıdaki gibidir. Mesh yapımız ile ilgili bilgilere Details of Mesh penceresi altındaki Statistics sekmesini genişleterek ulaşabiliriz. Not: Yukarıdaki resimde de görüldüğü gibi Eleman sayımız dir. Eleman sayısı, geometrinin farklı şekilde oluşturulmasına göre değişebilmektedir.

13 Problemimizin çözümünde kullanacağımız sınır koşullarının belirtilebilmesi için, kenarların isimlendirilmesi gerekir. Giriş kısmının isimlendirilmesi için, sol dik kenar kenar seçici kullanılarak sağ tıklanır, Create Named Selection seçilir ve inlet değeri girilir. Diğer kenarlar ise aşağıdaki biçimde isimlendirilir. Burada önemli olan C ile gösterilen ve symmetry olarak isimlendirilen kenarların Ctrl ile iki tanesi seçildikten sonra Create Named Selection ın tıklanmasıdır. Menü den Update e basılarak Mesh penceresinden çıkılır.

14 4- Setup : Proje Şemasından, Setup a çift tıklanır. Problem Setup -> Models seçilir ve Viscous-Laminar çift tıklanarak, Inviscid seçilir. Not : Inviscid akış, ideal akışkanın akışıdır, vizkozitesi yok kabul edilir. Inviscid akış kabulü yapılarak, akışkanlar mekaniğinde bazı problemler kolayca çözülebilir. Boundary Conditions -> Inlet, Edit tıklanarak Velocity Magnitude olarak 1 m/s hız değeri girilir.

15 Problemimize Solution Methods kısmında, Momentum denkleminin 2.mertebeden olacağını gireceğiz. Problemimize başlangıç değerlerinin atanması için, Solution Initialization sekmesinde inlet seçilerek X = 1 m/s olarak girilir. Initialize butonuna basılarak, problemimize başlangıç değerleri girilir.

16 Run Calculation sekmesinden, Number of Iterations değeri olarak 1000 girilir ve Calculate e tıklanır. 87 tekrarlamada (iteration) çözüme ulaşılır.

17 5-Sonuçlar : Amacımız orta kısımdaki hız profilini çizdirmektir. Üst menüden Surface seçilir ve Line/Rake tıklanır. Gelen pencereye aşağıdaki gibi bilgi girişi yapılır.

18 Oluşturduğumuz mid-line çizgisini görüntülemek için General sekmesinden Display e tıklanır ve Surfaces dan aşağıdaki biçimde seçim yapılarak Display e tıklanır. Results sekmesinden Plots seçilir ve XY Plot tıklanarak gelen pencerede aşağıdaki gibi giriş yapılır ve Plot a tıklanır.

19 Elde edilen grafik aşağıdaki gibidir : 3. Problemin Analitik Çözümünün ve Ansys Fluent de Analizinin Karşılaştırılması: Yukarıdaki Solution XY Plot penceresi kapatılmadan, Analitik çözümle karşılaştırma yapabilmek için, Load File tıklanır ve analytic.xy seçilir.

20 Plot düğmesine basılarak analitik çözümle Fluent de yapılan çözüm karşılaştırılabilir. Not : Analitik ve Fluent de yapılan çözümün neredeyse çakışık olduğu görüldüğünden, Mesh de iyileştirme yapılmamıştır. Kaynaklar :

21 Analytic.xy (title "Velocity Magnitude") (labels "Analytical Velocity Magnitude" "Position") ((xy/key/label "Analytical Solution") )