ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

Transkript

1 ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN

2 ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz, yayınlanamaz, depolanamaz. Bu kitaptaki bilgilerin her türlü sorumluluğu yazara aittir. Eser Sahibi Yasin ŞAHİN ISBN: Aybil Basımevi Sertifika No: Baskı & Cilt: Aybil Dijital Baskı Reklam Mühendislik Turizm Sanayi ve Ticaret Limited Şirketi Ferhuniye Mh. Sultanşah Cd. No:30/A KONYA Tel: Fax: KONYA KASIM 016

3 İÇİNDEKİLER Noktanın Analitik İncelenmesi... 1 Test Çözümler... 8 Konu Tarama Testi Çözümler Doğrunun Analitik İncelenmesi... 1 Test Çözümler... 1 Test Çözümler... 6 Konu Tarama Testi Çözümler Analitik Düzlemde Simetri... 3 Test Çözümler... 0 Konu Tarama Testi Çözümler... Analitik Düzlemde Eşitsizlikler... 5 Test Çözümler Konu Tarama Testi... 5 Çözümler Çemberin Analitik İncelenmesi... 5 Test Çözümler Test Çözümler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Elips... 8 Test Çözümler Test Çözümler... 9 Konu Tarama Testi Çözümler Hiperbol Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler... 11

4 Parabol Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler... 1 Kutupsal Koordinatlar Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Düzlemde Vektörler Test Çözümler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Uzayda Vektörler... 1 Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Uzayda Doğru Denklemleri Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Uzayda Düzlem Denklemleri Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Uzayda Simetri Koordinat Dönüşümleri Genel Konik Denklemleri Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Yüzeyler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Genel Tarama Sınavı Çözümler... 03

5 ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Arkadaşlar, ÖABT soruları akademik konulardan ve okul müfredatındaki temel konulardan oluşmaktadır. Hepimizin amacı bu sınavda başarılı olmak ve istediğimiz bir okula atanmaktır. Yeni sınav sisteminde bu amaca ulaşmak için lisans öğreniminiz süresince öğrendiklerinizi pekiştirmeniz, çıkacak soru tiplerine uygun çok sayıda ve sistemli soru çözmeniz ayrıca sık sık tekrar yapmanız gerekmektedir. Analitik Geometri Konu Anlatımlı Çözümlü Soru Bankası Kitabı, yukarıdaki belirlemeye uygun olarak değişen sınav sistemine göre, sizleri ÖABT sınavına en iyi biçimde hazırlamak amacıyla düşünülmüştür. Bu kitabın hazırlanmasında çok emek sarf edildiğinden, kitabı kısmen ya da tamamen çoğaltanlara hakkımı helâl etmiyorum. Faydalanacak tüm öğretmen arkadaşlara başarılar diler, bugünlere gelmemde büyük pay sahibi olan sevgili eşime ve dostlarıma şükranlarımı sunarım. Yasin ŞAHİN

6 Analitik Geometri Yüzeyler Küre 1 r D E F G Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerine küre denir. Analitik uzayda merkezi M(a, b, c) ve yarıçapı r olan kürenin denklemi PM (x a) (y b) (z c) r (x - a) + (y - b) + (z - c) = r dir. Bu ifade açılır ve düzenlenirse, x + y + z - ax - by - cz + a + b + c - r = 0 D = -a, E = -b, F = -c ve G = a + b + c - r alınırsa küre denklemi, x + y + z + Dx + Ey + Fz + G = 0 biçiminde olur. D -a = D ise a E -b = E ise b F -c = F ise c olduğundan küre merkezinin koordinatları D E F M,, dir. G = a + b + c - r D E F r G biçimindedir. = D + E + F - G olmak üzere, i) < 0 ise denklem küre belirtmez. ii) = 0 ise denklem nokta belirtir. iii) > 0 ise denklem küre belirtir. Not: olan silindirin parametrik denklemi x = f(t) + ka y = g(t) + kb z = h(t) + kc elde edilir. k değerleri eşitlendiğinde xf(t) yg(t) zh(t) a b c biçiminde silindirin doğrusal denklemi bulunur. Parametrik denklemde t ve k yok edilerek elde edilen F(x, y, z) = 0 denklemine de silindirin kartez- olacağından kürenin yarıçapı yen denklemi denir. Merkezi orijin ve yarıçapı r birim olan kürenin denklemi x + y + z = r dir. Silindir Uzayda sabit bir doğruya paralel kalarak ve sabit bir eğriye dayanarak hareket eden bir doğrunun oluşturduğu yüzeye silindir denir. Dayanak eğrisi (f(t), g(t), h(t)) ve doğrultmanı v = (a, b, c) 18

7 .Analitik Geometri Yüzeyler Örnek: Dayanak eğrisi (t, t, 0) : t R ve doğrultmanı da V = (0, 0, 1) olan silindirin denklemini yazalım. x = t + 0.k = t y = t + 0.k = t z = k = k x = t ve y = t denklemlerinden y = x elde edilir. Koni Sabit bir eğriye dayanarak hareket eden ve eğri düzleminde olmayan sabit bir noktadan geçen doğrunun oluşturduğu yüzeye koni denir. Sabit noktaya koninin tepe noktası, sabit eğriye koninin dayanak eğrisi ve hareket ederek koniyi meydana getiren doğruya da koninin ana doğrusu denir. Dayanak eğrisi (f(t), g(t), h(t)) ve tepe noktası T(x,y,z ) olan koninin parametrik denklemi x (1k)f(t) kx 1 y (1k)g(t) ky 1 z (1k)h(t) kz 1 dir. Bu denklem sisteminde t ve k yok edilerek f(x, y, z) = 0 şeklinde koninin kartezyen denklemi elde edilir. Örnek: Dayanak eğrisi (cost, sint, 0) : t R ve tepe noktası T(0, 0, 1) olan koninin denklemini yazalım. x = (1 - k) cost + k.0 = (1 - k) cost y = (1 - k) sint + k.0 = (1 - k) sint z = (1 - k) 0 + k.1 = k x y 1k 1k z = k olduğundan bulunur. x y 1z 1z x + y = (z - 1) Dönel Yüzeyler 1 1 Düzlemsel bir eğrinin aynı düzlemde bulunan bir doğru tarafından döndürülmesiyle oluşan yüzeye dönel yüzey denir. x = f(z) eğrisinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin denklemi x f y z y = f(x) eğrisinin y ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin denklemi y f x z z = f(x) eğrisinin z ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin denklemi z f x y Örnek: (t, 0, t) t R eğrisinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen dönel yüzeyin denklemini bulalım. x = t, x = z y = 0, z = t x y z x y z 185

8 Analitik Geometri Yüzeyler Test 0 1. Dayanak eğrisi (0,cos t,3 sin t) t R. Dayanak eğrisi (t,t,t) t R ve doğrultmanı V = (3, 0, 0) olan silindirin x y x y A) 1 B) y z 1 D) y 9z 1 9 E) y z 6. Dayanak eğrisi x = y = z doğrusu ve doğrultmanı da V = (, 0, 1) olan silindirin x y A) z B) z = x + y z = x + y D) z = x + y 3. Dayanak eğrisi E) z = 3x - y y x 1 elipsi ve doğ- rultmanı da V = (1, 0, 1) olan silindirin y A) x z 1 B) (x z) 1 (y z) y x 1 D) (x z) 1 (y z) E) x 1 x y1 z olan ve doğrusunu da 1 3 doğrultman kabul eden silindirin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? 3x y x y A) z B) z x y x 3y z D) z 3 5. Dayanak eğrisi x 3y E) z (,cost,sint) t R ve tepe noktası T(0, 0, 0) olan koninin A) x (y z ) B) z (y z ) x y z D) y z 6. Dayanak eğrisi E) x z y (x,y,z x y 1, z 10 x y ve tepe noktası T(0, 0, 0) olan koninin A) z x y B) z (x y ) z 3(x y ) D) E) z 9(x y ) z (x y ) 186

9 .Analitik Geometri Yüzeyler Test 0 7. Dayanak eğrisi bir reel sayı olmak üzere, 3t, t, :,t R ve tepe noktası T(0, 0, 0) olan koninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x x yz B) x 3yz D) x E) x 9yz 8. (0, t, 1t ) t R yz yz eğrisinin z ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) z 1x y B) z 1 y z x y D) z x y 9. (t, t, 0) t R E) z 1x y eğrisinin y ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y x B) y 1x z y x z D) E) y x z y (x z ) 10. (x,y,z) y 0, z x eğrisinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y x z B) z x y x (y z ) D) x y z x y 1 E) x y z eğrisinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel yüzeyin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x y z 1 B) x y z 1 D) x y z 1 x y z 1 E) x y 1 x 3y 0 eğrisinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel yüzeyin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x z y B) x z 3y D) E) x y z x z 3(y z ) (x ) 9(y z ) 187

10 Analitik Geometri Yüzeyler Test Merkezi orijin olan ve P(-, 0, 3) noktasından geçen kürenin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x + y +z = 5 B) x + y + z = 8 x + y + z = 9 D) x + y + z = 10 E) x + y + z = (x + 1) + y + (z - ) = 16 (x - ) + (y - ) + (z + 10) = 5 kürelerinin birbirine en yakın iki noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) B) 3 D) 5 E) Denklemi x + y + z - x - 6y + 8z + 0 = 0 olan kürenin yarıçap uzunluğu kaç birimdir? A) 1 B) 3 D) E) Uzayda x + y + z - 6x - y - 1 = 0 denklemi ile verilen kürenin yüzey alanı kaç br dir? A) B) A(, -10, 3) noktasının D) 100 E) 1 x + y + z + x - y -6z + 5 = 0 küresine olan en kısa uzaklığı kaç birimdir? A) 7 B) 8 9 D) 10 E)

11 Analitik Geometri Çözümler Test 0 1. x ft k.a x 0 k.3 5. x 1k. k.0 y g t k.b y costk.0 z h t k.c z 3sintk.0 y z 1 9 x f t k.a x t k.. y g t k.b y t k.0 z h t k.c z tk.1 z yk zy k x y zy x yzy x y x zy z 3. x cost y sint z 0 cos t, sin t, 0 t x costk.1 y sintk.0 z 0k.1 xz cost y y xz 1 sin t. t,t,t t v 1,3, x tk. 1 x z y tk.3 y 3k 3 z tk. 3y x z 9k 3y x z 9 y z Cevap C Cevap A Cevap B 0 6yx8z 3y x z Cevap D y 1k costk.0 z 1k sintk.0 x y z 1k y z y z x 6. cos t, sin t, y 1k.sintk.0 z x y z 1k.3k.0 9 x 1 k.cost k.0 x y 1 k 9x 9y z x 3t y t x 3yz z x 0 y t z 1y, z f x y z 1t x t 1 x y 1x y y t y x, y x z z 0 y x z Cevap A Cevap E Cevap C Cevap A Cevap C 189

12 Analitik Geometri Çözümler Test y 0 z x x y z z x x y 1 x 1y x y z 1y 1y x x x f y z, x x 3y 0 1 y z 1 y z x x y z 1 x 3yx 3y x 9y z x 3 y z x 3 y z x 3 y z r 0 3 r x y z 13 Cevap D Cevap B Cevap E 17. Cevap E m 1,0,,r m,, 10.r 5 m.m 1 13 x xy 6y9z 8z16 9 x y3 z 9 r 3 x 6x9y yz 5 x3 y z 5 yüzey alanı r x x1y yz 6z9 9 m1,,3,r 3 x1 y z3 9 Cevap C Cevap C Cevap D Cevap D 190

13 .Analitik Geometri Yüzeyler Konu Tarama Testi Uzayda x + y + z - x + y - 6z + 5 = 0 denklemi ile verilen kürenin yüzey alanı kaç br 3 dir? A) B) 9 18 D) 7 E) 36. x + y + z - x -6y + 6 = 0 küresinin A(-1, 1, 1) noktasına olan uzaklığı en çok kaç birimdir? A) B) 3 D) 5 E) 6 3. Dayanak eğrisi (0,t, t ): t R ve doğrultmanı da V = (1, 0, 0) olan silindirin A) y z B) z y y x D). Dayanak eğrisi x z E) z x (cos t, sin t, 0 : t R ve doğrultmanı da V = (0, 0, ) olan silindirin y A) x 1 B) x y 1 x y 1 D) x y 1 E) x y 1 5. Dayanak eğrisi (x,y,z):x z, y 5 x z ve tepe noktası (0, 0, 0) olan koninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) z x y B) x z y y (x z ) D) y x z 6. Dayanak eğrisi E) y 9(x z ) (0,sin t, cos t): t R ve tepe noktası T(1, 0, 0) olan koninin A) x y z B) y z (x ) x y z D) (x 1) y z E) (x 1) y z 7. (t,0,t) t R eğrisinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x y z B) x y z x y z 1 D) y x z 8. 3y + z = 1 E) z x y eğrisinin y ekseni etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel yüzeyin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x 3y z B) x y 3z x y z 1 D) E) x y z 1 x 3y z 1 191

14 Analitik Geometri Çözümler Konu Tarama Testi x x1y yz 6z9 9 m1,,3.r 3 x1 y z3 9 yüzey alanı r.9 36 x x1y 6y9z m1,3,0,r x1 y3 z MA 5 3. x 0 k.1. y tk.0 z t k.0 z y x costk.0 y y sintk.0 x 1 z 0k. Cevap E Cevap D Cevap B Cevap A x 1k costk.0 x z z 1k sintk.0 y y 1k 1k.0 x z y Cevap B x 1k 0k.1 y 1k sintk.0 y z 1k z 1k costk.0 y z x1 x t x f y z y 0 x z x y z z t 1z 1z 3y 1z y y 3 3 y 1 x z 3 1x z y 3 3y x z 1 Cevap E Cevap A Cevap D 19