TÜNEL ÜST YAPI ETKİLEŞİM PROBLEMLERİNİN SINIR ELEMANLAR YÖNTEMİYLE İNCELENMESİ

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TÜNEL ÜST YAPI ETKİLEŞİM PROBLEMLERİNİN SINIR ELEMANLAR YÖNTEMİYLE İNCELENMESİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Hasan Nuri KIĞILI Anabilim Dalı : İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ Programı : YAPI MÜHENDİSLİĞİ ŞUBAT 006

2 ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ TÜNEL ÜST YAPI ETKĠLEġĠM PROBLEMLERĠNĠN SINIR ELEMANLAR YÖNTEMĠYLE ĠNCELENMESĠ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠnĢ. Müh. Hasan Nuri KIĞILI ( ) Tezin Enstitüe Verildiği Tarih : 19 Aralık 005 Tezin Savunulduğu Tarih : ġubat 006 Tez DanıĢmanı : Diğer Jüri Üeleri Öğr. Gör. Dr. Bahattin KĠMENÇE Prof.Dr. Ertaç ERGÜVEN (Ġ.T.Ü.) Doç.Dr. Ġrfan COġKUN (Y.T.Ü.) ġubat 006

3 ÖNSÖZ Tezimin her aşamasında bilgi ve tecrübesi ile beni önlendiren ve ardımlarını esirgemeen değerli hocam Saın Öğr. Gör. Dr. Bahattin KİMENÇE e sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Haatım bounca maddi ve manevi desteklerile her zaman anımda olan aileme bu çalışma süresince gösterdiği anlaış ve sabırlarından ötürü çok teşekkür ederim. Aralık 005 Hasan Nuri KIĞILI ii

4 İÇİNDEKİLER KISALTMALAR TABLO LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY v vı vıı ı ı 1. GİRİŞ 1. ELASTİK DENKLEMLER 4.1. Gerilme ve Şekil Değiştirme Hali 4.. Gerilme ve Şekil Değiştirme Bağıntıları Düzlem Gerilme 7... Düzlem Şekil Değiştirme 7.3. Koordinat Dönüşümü 8 3. İNDİREKT SINIR ELEMANLAR YÖNTEMİ Sınır Elemanlar Yöntemi Temel Çözümler Sonsuz Düzlem İzotrop Ortamda Temel Çözümler Yarı-Sonsuz Düzlem İzotrop Ortamda Temel Çözümler İndirekt Sınır Elemanlar Yöntemi Fiktif Gerilme Yöntemi Yer Değiştirme Süreksizliği Yöntemi Normal Doğrultudaki Yer Değiştirme Süreksizliği Kama Yer Değiştirme Süreksizliği 3.4. İki Malzemeli Bölgede İndirekt Sınır Elemanlar 4 4. SAYISAL HESAP YÖNTEMİ 7 5. SAYISAL UYGULAMALAR Bilgisaar Programı Bilgisaar Programının Akış Şeması Program Girişi İçin Teknik Terimler Sınır Koşullarının Tanımı İç Bölgede Hesaplanacak Noktaların Belirlenmesi Simetri Saısal Örnekler Yaılı Yükün Zemin Yüzeine Olan Etkisi 35 iii

5 5... Kiriş Ortasındaki Tekil Yükün Zemin Yüzeine Etkisi İç Basınç Etkisindeki Tünel İle Zeminin Etkileşimi Zemin Yüzeindeki Yüksek Duvar İle Tünelin Etkileşimi Düşe Yaılı Yük Etkien Yapı İle Tünelin Etkileşimi Yata Yaılı Yük Etkien Yapı İle Tünelin Etkileşimi SONUÇLAR 55 KAYNAKLAR 57 ÖZGEÇMİŞ 60 iv

6 KISALTMALAR BEM DDM FEM FSM ZYE : Sınır Elemanlar Yöntemi : Yer Değiştirme Süreksizliği Yöntemi : Sonlu Elemanlar Yöntemi : Fiktif Gerilme Yöntemi : Zemin Yapı Etkileşimi v

7 TABLO LİSTESİ Safa No Tablo 5.1. Bilgisaar programının akış şeması Tablo 5.. Sınır eleman saısı ve sınır şartları Tablo 5.3. Sınır eleman saısı ve sınır şartları Tablo 5.4. Sınır eleman saısı ve sınır şartları Tablo 5.5. Tünel Yüzeindeki Yer Değiştirme ve Gerilmeler 4 Tablo 5.6. Sınır eleman saısı ve sınır şartları Tablo 5.7. Tünel Yüzeindeki Yer Değiştirme ve Gerilmeler 44 Tablo 5.8. Tünel Yüzeindeki Yer Değiştirme ve Gerilmeler 48 Tablo 5.9. Tünel Yüzeindeki Yer Değiştirme ve Gerilmeler 50 Tablo Sınır eleman saısı ve sınır şartları vi

8 ŞEKİL LİSTESİ Safa No Şekil.1 : Üç boutlu gerilmeler... 6 Şekil. : Gerilme dönüşümü... 8 Şekil 3.1 : Sonsuz düzlemde tekil kuvvetler Şekil 3. : Yarı-Sonsuz düzlemde tekil kuvvetler. 13 Şekil 3.3 : Kelvin çözümünün integrali Şekil 3.4 : Bir elemanın uç noktalarındaki açılar Şekil 3.5 : Yer değiştirme süreksizlikleri Şekil 3.6 : Zıt önlü iki kuvvet etkisindeki eleman... 0 Şekil 3.7 : Düşe doğrultuda eksenel şekil değiştirme için gerilme durumu... 1 Şekil 3.8 : Kama şekil değiştirmesi için gerilme durumu... 3 Şekil 3.9 : İki malzemeli bölge... 5 Şekil 3.10 : İki malzemeli bölgede sınır koşulları... 6 Şekil 4.1 : Sonsuz düzlemde kapalı bölge.. 7 Şekil 4. : = * ve = * doğrularının simetri koşulları.. 31 Şekil 5.1 : KSYM parametresini kullanarak simetri koşullarının belirtilmesi Şekil 5. : Zemin Yüzeindeki Yaılı Yük Şekil 5.3 : Sınır eleman bölgeleri Şekil 5.4 : Yaılı Yükün Zemin Yüzeinde Oluşturduğu Düşe Yer Değiştirme 36 Şekil 5.5 : Yaılı Yükün Zemin Yüzeinde Oluşturduğu Düşe Gerilme Şekil 5.6 : Zemine Oturan Kirişe Etkien Tekil Yük Şekil 5.7 : Sınır eleman bölgeleri Şekil 5.8 : Kiriş ortasındaki tekil ükün zeminde oluşturduğu er değiştirmeler 38 Şekil 5.9 : Zemin Yüzeindeki Düşe Yer Değiştirme Şekil 5.10 : Zemin Yüzeindeki Düşe Gerilme Şekil 5.11 : n=1 için Zemin Yüzeindeki Düşe Yer Değiştirmelerin Karşılaştırması Şekil 5.1 : n=10 için Zemin Yüzeindeki Düşe Yer Değiştirmelerin Karşılaştırması Şekil 5.13 : n=1 için Zemin Yüzeindeki Düşe Gerilmelerin Karşılaştırması Şekil 5.14 : n=10 için Zemin Yüzeindeki Düşe Gerilmelerin Karşılaştırması Şekil 5.15 : İç Basınç Etkisindeki tünel Şekil 5.16 : Sınır eleman bölgeleri Şekil 5.17 : Radal basıncın oluşturduğu düşe gerilme... 4 Şekil 5.18 : Zemin üzeindeki düşe er değiştirme Şekil 5.19 : Zemin üzeindeki duvar ve tünel etkileşimi Şekil 5.0 : İç Basıncın Zeminde Oluşturduğu Düşe Yer Değiştirmeler Şekil 5.1 : Sınır eleman bölgeleri Şekil 5. : Zemin Yüzeindeki Düşe Yer Değiştirme vii

9 Şekil 5.3 : Düşe Yaılı Yük Etkien Yapı İle Tünelin Etkileşimi Şekil 5.4 : Yaılı Yükün Zemin Yüzeinde Oluşturduğu Düşe Yer Değiştirme 46 Şekil 5.5 : Düşe Yaılı Yükten Dolaı Zeminde Oluşan Düşe Yer Değiştirmeler Şekil 5.6 :Yaılı Yükün Zemin Yüzeinde Oluşturduğu Düşe Gerilme Şekil 5.7 : c/r Oranına Göre Zemin Yüzeindeki Düşe Yer Değiştirme Şekil 5.8 : c/r Oranına Göre Zemin Yüzeindeki Düşe Gerilme Şekil 5.9 : L/r Oranına Göre Zemin Yüzeindeki Düşe Yer Değiştirme Şekil 5.30 : L/r Oranına Göre Zemin Yüzeindeki Düşe Gerilme Şekil 5.31 : Yata Yaılı Yük Etkien Yapı İle Tünelin Etkileşimi Şekil 5.3 : Yata aılı ükten dolaı zeminde oluşan ata er değiştirmeler Şekil 5.33 : Yata Yükten Dolaı Zemin Yüzeinde Oluşan Yata Yer Değiştir.. 50 Şekil 5.34 : Sınır eleman bölgeleri Şekil 5.35 : c/r Oranına Göre Zemin Yüzeinde Yata Yer Değiştirme... 5 Şekil 5.36 : c/r Oranına Göre Zemin Yüzeinde Yata Gerilme... 5 Şekil 5.37 : c/r Oranına Göre Zemin Yüzeinde Düşe Yer Değiştirme... 5 Şekil 5.38 : c/r Oranına Göre Zemin Yüzeinde Düşe Gerilme Şekil 5.39 : L/r Oranına Göre Zemin Yüzeindeki Yata Yer Değiştirme Şekil 5.40 : L/r Oranına Göre Zemin Yüzeindeki Yata Gerilme Şekil 5.41 : L/r Oranına Göre Zemin Yüzeindeki Düşe Yer Değiştirme Şekil 5.4 : L/r Oranına Göre Zemin Yüzeindeki Düşe Gerilme viii

10 SEMBOL LİSTESİ,, : Sistem matrisleri a : Doğrusal sınır eleman uzunluğu, : Gerilme vea er değiştirmenin sınır değerleri A ss i b s D i B ss i b n E F, F F j f k G g C ss : Yer değiştirme süreksizlikleri (i =, ) : Elastisite modülü : Tekil kuvvetler : Dipol gerilmesi : Tesir fonksionları (i, j, k =, ) : Kama modülü : Tesir fonksionları (i, j =, ) P, Q : Üniform aılı ük : Gerilme tesir fonksionları (i, j, k =, ) S k s, n : Elemanın teğetsel ve normal koordinatları : Yüze gerilmeleri için tesir fonksionları T ik t i U : Yüze gerilmeleri : Yer değiştirme tesir fonksionları (i, j =, ) u, u : Yer değiştirme bileşenleri P : Alan noktası, : Global koordinatlar, : Lokal koordinatlar : Global koordinatlar ile lokal koordinatlar arasındaki açı : Gerilme bileşenleri (i, j =, ) 1, : Asal gerilmeler : Kama gerilmesi bileşenleri (i, j =,, z) : Şekil değiştirme bileşenleri (i, j =,, z) : Fiktif değerler : Uzama miktarı : Kronecker deltası Q Г : Kanak noktası : Çatlağın ata ile aptığı açı : Eleman kalınlığı : Poisson oranı : Sınır eleman bölgesi i

11 TÜNEL ÜST YAPI ETKİLEŞİM PROBLEMLERİNİN SINIR ELEMANLAR YÖNTEMİYLE İNCELENMESİ ÖZET Birçok mühendislik probleminin çözümünde, saısal hesap öntemlerinden sınır elemanlar öntemi (BEM) kullanılmaktadır. Sınır elemanlar önteminde iki boutlu problemler için bölgenin sınırındaki kapalı eğride arıklaştırma apılarak problemin çözümü elde edilmektedir. Sınır elemanlar önteminde bölgedeki arıklaştırma direkt vea indirekt olarak iki arı aklaşımla apılmaktadır. Direkt sınır elemanlar önteminde sınırdaki bilinmeenler doğrudan elde edilir. İndirekt sınır elemanlar önteminde ise önce sınırdaki fiktif değerler elde edilir, daha sonra bu fiktif değerler ardımıla diğer bilinmeenler hesaplanır. Sınırdaki bu fiktif değerler ise temel bilinmeenler bakımından incelenebilir. Buna göre sınırdaki bilinmeenler er değiştirme süreksizlikleridir, bu nedenle elde edilen fiktif değerler erine er değiştirme süreksizlikleri alınır. Tünel problemi, genellikle elastisite problemi kanaklarında sonsuz vea arı - sonsuz düzlemlerde boşluk problemi olarak incelenmiştir. Bu boşluklarda genellikle dairesel kesitli vea geometrisi belirli basit bölgelerdir. Son ıllarda gerek bilgisaar teknolojisinin gelişimi gerekse saısal hesap öntemlerinin gelişiminden dolaı, her hangi bir kesit vea herhangi bir bölge göz önüne alınabilmektedir. Zemindeki boşlukların üst apı ile birlikte etkileşim problemini modellemek oldukça zordur. Çünkü zemin ve üst apı hem malzeme açısından farklı, hem de davranış açısından farklı özellik göstermektedir. Bu üzden etkileşim problemi üzerine çalışmaların son ıllarda arttığı gözlenmektedir. Tünel üst apı etkileşiminde en büük problem, er üzeindeki oturmadan dolaı oluşan problemdir. Bu nedenle bu çalışmada erüzüne akın tünellerden dolaı üzedeki er değiştirmeler elde edilerek, bu er değiştirmelerden dolaı üst apıda oluşacak zorlamalar incelenecektir. Bunun için sınır elemanlar metodu kullanılarak elde edilen sonuçlar, sonlu elemanlar ile elde edilen sonuçlar ile karşılaştırılacaktır. Arıca literatürden alınan ve erinde ölçülerek elde edilen değerlerle karşılaştırılarak optimum çözümler önerilecektir. Çalışma bounca Microsoft Word, Microsoft Ecel, C++ dilile azılmış olan hesap programı ve ANSYS 5.5 programları kullanılmıştır.

12 ANALYSIS BETWEEN TUNNEL AND STRUCTURE INTERACTION PROBLEMS VIA BOUNDARY ELEMENT METHOD SUMMARY For the solution of man engineering problems, among the numerical calculation methods, the boundar element method (BEM) is used. In the boundar element method, for problems including two dimensions, the solution is acquired b discretization on the closed contour located in the boundar of the region. In the Boundar Element Method, the region is discretized b two was which are either direct or indirect. In direct boundar element method, the unknown values on the boundar are obtained directl. On the other hand, in indirect boundar element method, first the fictitious values on the boundar are acquired and then with the help of these fictitious values, the other unknowns are calculated. These fictitious values on the boundaries can be analzed with regard to the basic unknowns. According to that, the unknowns on the boundaries are the displacement discontinuities; therefore, instead of the fictitious values that were obtained, the displacement discontinuities are worked on. In elasticit problem resources, tunnel problems are in general analzed as cavit problems on infinite or semi-infinite planes. These cavities are generall circular sectioned or geometricall determined simple regions. In recent ears, computer technolog and numerical calculation methods were drasticall developed, so that it has been a lot easier to analze an section or region with the help of these sources. It is reall hard to model problems that are interacted in between cavities and tunnel structure. Because, soil and structure are different in terms of material and behavior. As a result, studies on interaction problems have been increased. Tunneling through soils results in ground loss, causing surface settlements and transverse movements. It is important to estimate the effects upon the eisting structure, where the tunnel drive passes below. However, the free ground deformations should not simpl be imposed upon a structure, because the structure contributes to stiffening of the ground. A computational soil-structure interaction analsis is required to obtain detailed stress deformation response. First, boundar element method is used to estimate ground movements due to a tunnel in free ground, and the results are compared with the results of finite element method and measured settlements. The programs used in this stud are as follows: Microsoft Word Microsoft Ecel The calculation program written in C++ ANSYS 5.5 i

13 1. GİRİŞ Elastostatikte genel problem, herhangi bir cisimde, bilinen sınır koģulları altında cisimdeki gerilmeler ve er değiģtirmelerin hesabıdır. Bu büüklüklerin hesaplanması, cismin diferansiel denge denkleminin, sınır koģullarını ve ugunluk koģullarını sağlaacak Ģekilde çözülmesile mümkündür. Bazı durumlarda analitik çözümler bulmak oldukça zordur. Buna karģın saısal hesap öntemleri geliģmiģtir. Saısal hesap öntemlerinden bazıları ise, sonlu farklar öntemi, sonlu elemanlar öntemi ve sınır elemanlar öntemi (BEM) olarak sıralanabilir. Son ıllarda ise sınır elemanlar önteminin kullanımının agınlaģtığı görülmektedir. Pratikte birçok mühendislik problemlerinin çözümünde, sınır elemanlar önteminden sıkça fadalanılmaktadır. [1-11]. Saısal öntemlerin hepsi aklaģık öntemlerdir. SadeleĢtirilmiĢ denklemler saısal olarak çözülebilir. Bu, sonlu elemanlar öntemi ve sınır elemanlar önteminin temelini oluģturur. Düzenli bölgelerde analitik (kapalı) çözümler bulmak mümkündür. Fakat bölge düzensiz ise saısal çözüm apmak daha ugun olabilir. Sonlu elemanlar öntemi, elastisite denklemlerinin çözümü için elastik bölgenin tümü üzerinde bir integrason gerektirir. Sınır elemanlar önteminde ise arıklaģtırma bölgenin sınırlarında apılmaktadır. ArıklaĢtırmanın sınırda apılması ile problemin çözüm bölgesi bir mertebe azalır. Üç boutlu problemler için bölgenin üzeinde, iki boutlu problemler için ise bölgenin sınırındaki kapalı eğride arıklaģtırma apılarak problemin çözümü elde edilmektedir. Sınır eleman denklemlerinin elde edilmesinde genelde iki farklı teknik kullanılmaktadır [9]. Bu teknikler direkt sınır eleman öntemi ve indirekt sınır eleman öntemidir. Direkt öntemde Betti karģıtlık teoremi kullanılarak sınırdaki gerilmeler ve er değiģtirmeler hesaplanır. Ġndirekt öntemde ise verilen sınır koģulları altında önce sınırda fiktif değerler hesaplanır, daha sonra bu fiktif değerler kullanılarak sınırda ve bölgedeki bilinmeenler hesaplanır. Ġndirekt öntem, fiktif gerilme öntemi (FSM) ve er değiģtirme süreksizliği öntemi (DDM) olmak üzere iki kısımda incelenir [1-31]. Fiktif gerilme önteminde temel bilinmeenler fiktif 1

14 gerilmeler, er değiģtirme süreksizliği önteminde temel bilinmeenler er değiģtirme süreksizlikleridir. Ġki öntemde de Kelvin temel çözümleri kullanılarak sonsuz vea arı-sonsuz düzlemdeki sınır eleman denklemleri elde edilebilmektedir. Zemin Yapı EtkileĢimi (ZYE) problemlerinde apının davranıģı ve zeminin çevresi birbirine bağlıdır ve çözüm apı ve zeminin her ikisinin de ugun bir Ģekilde analiz edilmesini gerektirir. Ugulamada ise bir çok ZYE problemlerinin analizinde geleneksel teknikler kullanılır ki bu tekniklerde apının rit vea lineer elastik olduğu kabul edilerek zemine arı ampirik bir basınçla aıldığı varsaılır. BaĢka bir gerçeğe akın olmaan öntemde ise apı ve zemin tek bir birleģik parça gibi davrandıkları düģünülerek; etkileģimin derecesi apının ve çevre zeminin bağıl esnekliğine bağlı olduğu görülür. Birçok ZYE problemleri saısal öntemler kullanılarak analiz edilir; en etkili olan ise sonlu elemanlar öntemidir. Sofistike ve çok önlü olmasına rağmen sonlu elemanlar öntemi bazen biraz hantal kalabilior, mühendisler de daha basit modelleri kullanmaı tercih ediorlar. Sınır eleman önteminin problemin boutunda aptığı azaltma nedenile ZYE analizlerinde kullanılmasının cazip duruma geldiği C.V.Gira Vallabhan [33] ın çalıģmalarında da görülmektedir. Günümüzde, büük Ģehirlerde ulaģımın eraltı ollarıla sağlanması ihtiacı giderek artmaktadır. Bu nedenle Ģehirlerde mevcut apıların vea ileride apılacak olan apıların altından tünel hatları projelendirilmektedir. Bu projeler apılırken, tünelin üst apıa olan akınlığı önemle üzerinde durulması gereken bir konudur. Zemin içerisinde apılan tünellerden dolaı kabedilen toprak, üze göçmelerine ve anal hareketlere neden olur. Mevcut apıların altından geçecek tünellerde, apıların üzerinde oluģacak etkilerin hesaplanmasının önem kazandığı A.R.Selb,1999 [34] nin çalıģmalarında da görülmektedir. Çünkü mevcut bir sistemin altında açılacak olan bir boģluk, mevcut apıa zarar verebilir. Bunun önlenebilmesi için apı ve tünelin bir arada göz önüne alınarak etkileģimi incelenmelidir. Bu çalıģmanın amacı, bu problemi inceleerek, tünelin ve üst apının birbirlerine olan etkisini araģtırmak ve ugun çözümler önermektir. Bölüm de elastisite teorisinde izotrop ortam için iki boutlu elastostatik problemlerde temel denklemler incelenmiģtir.

15 Bölüm 3 de izotrop ortamda indirekt sınır eleman öntemlerinden Fiktif gerilme öntemi (FSM) ve Yer değiģtirme süreksizliği öntemleri (DDM) genel olarak incelenmiģ olup temel çözümler kullanılarak sınır eleman denklemleri elde edilmiģtir. Zeminin ve apının malzeme açısından farklı özellikler göstermesi nedenile iki malzemeli bölgede indirekt sınır eleman öntemi denklemleri incelenmiģtir. Bölüm 4 de çalıģma süresince izlenecek saısal hesap öntemi incelenmiģ ve kullanılacak denklemler ele alınmıģtır. Bölüm 5 de bilgisaar programının akıģ Ģeması verilmiģ, program giriģi için teknik terimler ve simetri koģulları incelenmiģtir. Saısal ugulamalarda, zemin üzeine etkien aılı ükün üzede oluģturduğu etki, kiriģ ortasındaki tekil ükün zemine olan etkisi, iç basınç etkisindeki tünel ile zeminin etkileģimi, zemin üzeindeki üksek duvar apısı ile iç basınç etkisindeki tünelin etkileģimi, üzerinde düģe aılı ük bulunan apı ile tünelin etkileģimi, tek tarafından ata aılı üke maruz apı ile tünelin etkileģimi problemleri incelenmiģtir. Zemin üzeindeki gerilme ve er değiģtirmeler hesaplanmıģ, elde edilen sonuçlar grafikler ile karģılaģtırılmıģtır. 3

16 . ELASTİK DENKLEMLER.1. Gerilme ve Şekil Değiştirme Hali Gerilme ve Ģekil değiģtirme en genel halde 9 bileģenli tansörle belirtilebilirler. Bu gerilmelerin bileģenleri Ģekil.1 de gösterilmiģ olup matris formunda z z z z z, z z z z (.1) Ģeklinde azılabilir. Ġndis notasonunda gerilme tansörü olarak gösterilir. Burada i ve j, ve z eksenlerini vea baģka bir gösterim Ģeklile 1, ve 3 ü gösterir. Gerilme tansörü bileģenlerinin moment dengesi koģulundan ji simetrik olduğu elde edilir. Bir elastik cisimde problem, cismin üzerine etkien dıģ ük vea cisim kuvveti etkisi altında gerilmeler vea er değiģtirmelerin bulunmasıdır. Bu durum için elastik cisimde denge denklemleri z z 0 z z 0 (.) z z zz z z 0 Ģeklinde azılabilir. Ġndis notasonu olarak, j i 0 (.3) 4

17 Hooke kanunları ji G[ kk ] 1 (.4) burada kronecker deltası 1 0 i j i j (.5) Ģeklindedir. Görüldüğü gibi üç boutlu elemanın dokuz bileģeninden altısı bağımsızdır. ġekil değiģtirme bileģenleri de anı bileģen saısına sahiptir ve z z z z z, z z z z (.6) tansör formunda gösterilir... Gerilme ve Şekil Değiştirme Bağıntıları Elastik malzeme düzgün bir kesit alanına ait değilse, bu takdirde gerilme ve Ģekil değiģtirme tanımları, ugun diferansiellerin değerlerinin sınırlanmasıla (sonsuz küçük bir bölge üzerinden) er değiģtirmelidir. Üç boutlularda, normal Ģekil değiģtirmenin kama gerilmesine tekabül eden,, z bileģenleri vardır. Dolaısıla, eğer u, önündeki er değiģtirme ise ve v de önündeki er değiģtirme ise, u, v, 1 v u (.7) denklemine ulaģılır. ġekil.1 de gerilmenin 9 bileģeni görülmektedir. Tansörel miktarlar olduklarından, tüm gerilme ve Ģekil değiģtirmeleri alt-indis ile azmak doğru olacaktır. Buna rağmen, kullanılan genel kısa formlar, vb. dir. Burada 5

18 z z, z z, (.8) dir. Şekil.1 Üç boutlu gerilmeler Hooke Yasası E z 1 1 1, E 1 1 E, z 1 1 z E 1 z (.9) E z 1 1 z 1, z E 1 z a da 1 E z, z 1 E z 1 E z, z 1 E z (.10) 1 E 1 E z z, Ģeklinde azılabilir. Yine de, bir problemin tamamen 3 boutlu analizi genellikle daha zordur ve bu üzden boutlu analiz sıklıkla kullanılır. 6

19 ..1. Düzlem Gerilme Kalınlık bounca rastlanan gerilmenin diğer gerilmelerle karģılaģtırıldığında önemsiz kaldığını varsaar ( 0). Bu varsaım, ince bir materal levhasında aklaģık olarak doğrudur. BasitleĢtirilmiĢ Hooke Yasası z z z 1 E, 1 E (.11) olarak verilmiģtir, hesaplanması değiģmez. Eğer z önündeki Ģekil değiģtirme gerekiorsa, z E (.1) bağıntısı ile bulunur.... Düzlem Şekil Değiştirme Kalınlık bounca rastlanan Ģekil değiģtirmenin diğer Ģekil değiģtirmelerle ( z z z 0 ) ile karģılaģtırıldığında önemsiz kaldığını varsaar. Bu varsaım, uzun silindirde aklaģık olarak doğrudur. BasitleĢtirilmiĢ Hooke Yasası 1 E 1, 1 E 1 (.13) haline gelir, E 1 ile ve ine değiģmez. Düzlem Ģekil değiģtirme hesaplamaları, eğer E,, 1 ile değiģtirilirse doğrudan düzlem gerilme hesaplamalarından elde edilebilir. Düzlem Ģekil değiģtirmedeki gerilmeler 0 (.14) z z z Ģeklinde elde edilirler. 7

20 .3. Koordinat Dönüşümü Çoğu zaman, gerilmeleri belirli bir önde arıģtırmak (örneğin simetriden fadalanmak için) fadalı olmaktadır. Eğer Ģekildeki eksenlerin erine eni bir eksen takımında gerilmelere gereksinim varsa (ġekil.), açısında,,,, Şekil. Gerilme dönüģümü u u cos u sin u u sin u cos (.15) cos sin cos sin sin sin cos cos (.16) ( )sin cos (cos sin ) bağıntılarına ulaģılır. Eğer eni eksenlerdeki kama gerilmesi 0 olarak seçilmiģse, o zaman her birinin sağ açısındaki, ani asal önlerdeki değeri olur. Bu önlerdeki normal gerilmeler asal gerilmelerdir ve 1 1 (.17) 1 8

21 Ģeklinde ifade edilirler. Üç boutlu bir problem için 3 asal gerilme olacaktır ve bunlar genellikle büükten küçüğe doğru 1 3 Ģeklinde sıralanırlar. Düzlem Ģekil değiģtirme problemlerinde, kalınlık bounca olan gerilmeleri asal gerilmelere dâhil etmek önemlidir. 9

22 3. İNDİREKT SINIR ELEMANLAR YÖNTEMİ 3.1. Sınır Elemanlar Yöntemi Sınır eleman denklemleri, ikinci Green teoremi kullanılarak vea mekaniğin temel ilkelerinden örneğin virtüel iģ ilkesini kullanarak direkt vea indirekt formülasonlarla elde edilebilir. Bu ilkelerin ardımıla ve temel çözümlerin de göz önünde tutulmasıla bölgede tam olarak gerçeklenen, sınırda ise integral denklem anlamında gerçeklenen bir sınır integral denklemi elde edilir. Problemin çözümünde integrason formülasonu temel alınmıģ olduğundan bu öntemde, problemin çözüm bölgesi bir mertebe azalır, ani üç boutlu problemler için bölgenin üzeinde, iki boutlu problemler için ise bölgenin sınırındaki kapalı eğride arıklaģtırma apılarak problemin çözümü elde edilmektedir. ArıklaĢtırma iģleminde kullanılan sınırdaki elemanlar sabit, lineer, parabolik, kübik, v.b. seçilebilir. Eğer hesaplanacak iç nokta saısı fazla ise sınır elemanlar öntemi erine sonlu elemanlar vea sonlu farklar öntemi daha ugun olabilir. Bazı durumlar için sınır elemanlar öntemile sonlu elemanlar öntemi beraber kullanılabilir. Bu çalıģmada iki boutlu problemler için sınır elemanlar öntemlerinden olan indirekt sınır eleman öntemi kullanılmıģ olup aģağıda incelenmiģtir. 3.. Temel Çözümler Sınır elemanlar öntemi, genel anlamda, sınır integral denklem sisteminin bölgenin sınırında arıklaģtırılmasından (sınır elemanlar kullanarak) elde edilen denklem sisteminin çözümünden ibarettir. Burada problemin diferansiel denkleminin homojen çözümüne karģı gelen ve temel çözüm olarak adlandırılan bir çözüme gereksinim vardır. Bu çözüm üç boutlu cisimlerde Kelvin çözümü, arım uza problemlerinde Kelvin a da Mindlin çözümü olabilir. Ġki boutlu problemlerde ise Flamant çözümü, Kelvin çözümü vea Melan çözümü kullanılabilir. 10

23 3..1. Sonsuz Düzlem İzotrop Ortamda Temel Çözümler Sonsuz düzlemde bir Q noktasına etkien F kuvvetinin sebep olduğu herhangi bir P noktasındaki er değiģtirme bileģenleri u (P) U (P,Q)F (Q) i j (3.1) bağıntısıla elde edilebilir (ġekil 3.1). Burada U (P,Q), j önünde Q noktasındaki birim ükten dolaı, i önünde P noktasındaki er değiģtirme olmak üzere, düzlem Ģekil değiģtirme için Kelvin tarafından [6] 1 U (P,Q) (3 4)ln r r,i r, j (3.) 8(1 )G bağıntısıla verilmiģtir. Burada 1, 0, i j i j Kronecker deltası (3.3) r r r, i i / r i P i Q i (3.4) değerlerine eģittir. u P F Q G, Şekil 3.1 Sonsuz düzlemde tekil kuvvetler (3.) denklemi (,) dik kartezen koordinatlarda açık olarak U 1 r G ( 3 4 )ln 8 ( 1 ) r 11

24 U 1 G 8 ( 1 ) r U U (3.5) U 1 (3 4)ln r 8(1 )G r Ģeklinde azılabilir. Benzer Ģekilde herhangi bir P noktasındaki gerilme bileģenleri için, (3.1) denklemi kullanılarak ( P) Sk (P, Q)Fk (Q) (3.6) Ģeklinde elde edilirler. Cismin sınırında P noktasının dıģ normali n j (P) olmak üzere üze gerilmeleri t (P) i (P, Q)n j (P) (3.7) vea baģka bir gösterimle t (P) T i ik (P, Q)F k (Q) Ģeklinde elde edilir. Burada fonksionları ise U P,Q T ik (P,Q) S k (P, Q)n tesir fonksionları kullanılarak j (P) olup, S k P,Q (3.8) tesir S k 1 1 (P,Q) (1 )(r, jki r,i kj r,k ) r,ir, jr,k (3.9) 4(1 ) r Ģeklinde elde edilirler. Bu fonksionlar (,) kartezen koordinatlarda açık olarak S 1 ( 1 ) 4( 1 ) r ( ) 4 r S 1 4( 1 ) r ( ) 4 r S 1 4( 1 ) r ( ) 4 r (3.10) 1

25 S 1 ( 1 ) 4( 1 ) r ( ) 4 r S 1 1 4( 1 ) ( ) r 4 r S 1 1 4( 1 ) ( ) r 4 r Ģeklinde azılabilir Yarı-Sonsuz Düzlem İzotrop Ortamda Temel Çözümler Yarı-sonsuz düzlemde temel çözümler, homojen izotrop ortam için Melan tarafından verilmiģtir (ġekil 3.) [6]. -b Q X Y +b +a Q F r R P G, Şekil 3. Yarı-sonsuz düzlemde tekil kuvvetler. 13

26 Melan çözümü, Kelvin çözümü + Tamamlaıcı çözüm olmak üzere iki temel çözümün toplamı Ģeklinde göz önüne alınabilir. Kelvin çözümü sonsuz düzlemdeki çözümdür (ġekil 3. de kuvvetin Q noktasında olması durumunda sonsuz düzlem çözümüdür). Tamamlaıcı çözüm ise kuvvetin Q noktası erine, bu noktanın görüntüsü olan Q noktasında olması durumundaki çözümdür. Bu nedenle arısonsuz düzlem çözümleri k u u u c k c (3.11) olarak azılabilir. Burada u k, k sonsuz düzlemde Kelvin çözümleri, u c, c arısonsuz düzlem için tamamlaıcı çözümlerdir. Tamamlaıcı çözümler, =0 serbest üzeinde =0 ve =0 koģullarını gerçekleecek Ģekilde sonsuz düzlem temel çözümlerine ilave edilen çözümler olup (,) dik kartezen koordinatlarda [6] c U Ku 8( 1 ) ( 3 4 ) ln R ( 3 4 ) Y b 4bY 4 R R U c K u ( 3 4 )( b) X 4bXY 4( 1 )( 1 ) 4 R R (3.1) U c K u ( 3 4 )( b) X 4bXY 4( 1 )( 1 ) 4 R R c U Ku 8( 1 ) ( 3 4 ) ln R ( 3 4 ) X b 4bX 4 R R S c K s ( 3 b )( 1 ) Y( Y b ) X ( 1 ) 16bX Y 4 6 R R R 14

27 S c ( 1 ) b b Y( 1 ) 16bY KsX 4 6 R R R S K b Y X b bx X bx Y c ( 3 )( 1 ) ( ) ( 1 ) 16 s 4 6 R R R S c (1 ) c 6c Y(1 ) 16cX K sx 4 R R R 6 (3.13) S c K s ( 3 b )( 1 ) ( b X Y Y bx Y ) ( 1 ) R R R S c 3( 1 ) X 4b b Y( 1 ) 16bY KsX 4 6 R R R Ģeklindedir. Burada K u 1 8 ( 1 ) G 1 K s 4( 1 ) (3.14) arctan X Y R X Y (3.15) dir. 15

28 3.3. İndirekt Sınır Elemanlar Yöntemi Ġndirekt sınır elemanlar önteminde, verilen sınır koģulları altında, sınırda fiktif değerler hesaplanır, daha sonra sınırdaki ve bölgedeki bilinmeenler bu fiktif değerler ardımıla hesaplanırlar. Buna göre sınırdaki er değiģtirme ve gerilme bağıntıları matris formunda u U Kolon vektör (3.16) t T Kare matris (3.17) Ģeklinde azılabilir. Burada, sınırdaki fiktif değerler olmak üzere, eğer sınırda u er değiģtirmeler bilinior ise (3.16) eģitliğinden fiktif değerler hesaplanır, daha sonra bu fiktif değerler kullanılarak (3.17) eģitliğinden sınırdaki t gerilmeleri hesaplanır. Bu çalıģmada iki indirekt sınır elemanlar önteminden fiktif gerilme öntemi (FSM) ve er değiģtirme süreksizliği öntemine er verilmiģtir. Yer değiģtirme süreksizliği önteminde malzeme homojen, izotrop ve lineer elastik malzeme olarak göz önüne alınacaktır. Ġndirekt sınır elemanlar önteminde, tesir fonksionları kapalı formda kesin olarak elde edilmiģlerdir. Nümerik integrasona göre avantajları; analitik tesir fonksionları kesindir, saısal integrasondaki tesir fonksionları aklaģıktır. Fiktif gerilme önteminde gerilme tekilliği çok düģük olduğundan cismin dıģ sınırını fiktif gerilme tesir fonksionları ile modellemek ugundur Fiktif Gerilme Yöntemi Fiktif gerilme önteminde, bölgenin sınırlarına fiktif kuvvetler ugulanarak problemin çözümü elde edilmektedir. Sınırdaki integrallerin süperpozisonula elde edilen lineer denklem takımının çözülmesile fiktif kuvvetler elde edilir. Daha sonra bu fiktif kuvvetler kullanılarak, bölgede ve sınırlardaki gerilmeler ve er değiģtirmeler hesaplanır. Buna göre (3.1) ve (3.6) er değiģtirme ve gerilme eģitlikleri u F U F U u F U F U (3.18) 16

29 F S F S F S F S (3.19) F S F S Ģeklinde azılarak, bu tekil çözümlerin sabit kuvvetler için gerilmeler ve er değiģtirmeler (-a,a) aralığındaki integrasonula (ġekil 3.3) sınırdaki herhangi bir doğrusal elemanın üzerindeki üniform aılı ükten dolaı bölgede (,) noktasındaki er değiģtirme ve gerilme bileģenleri sırasıla, u P g P g u P g P g (3.0) P f P f P f P f (3.1) P f P f Ģeklinde elde edilebilir. Burada g, g,..., f, f,.. v.b. temel çözümlerin (-a,a) aralığındaki integralleri olarak a g(, ) U(, ) d (3.) a a fk(, ) Sk(, ) d a Ģeklinde elde edilirler. Arıca, bu çözümlerde =0 ve =0 noktasında, integral sonuçları sonlu değerlerdir. 17

30 P() F()=P()d -a = a Şekil 3.3 Kelvin çözümünün integrali (,) 1 -a a Şekil 3.4 Bir elemanın uç noktalarındaki açılar açısı kanak noktası ile alan noktası arasındaki doğrunun açısı olmak üzere (ġekil 3.4 için) 1 arctan a arctan a (3.3) Ģeklinde azılarak, elemana =0_ ve =0 + önünde aklaģıldığı durumda açılarının alacağı değerler 1 ve, lim( 1 ) 0, 0, (3.4) Ģeklinde olacaktır. 18

31 3.3.. Yer Değiştirme Süreksizliği Yöntemi Yer değiģtirme süreksizliği önteminde çözüm öntemi, indirekt sınır elemanlar öntemile tamamen anıdır. Farkı, bir üze erine (herhangi bir elemanda) karģılıklı iki üze göz önüne alınmasıdır. Buna göre üzeler, bir eleman olarak kabul edilebilir. Yüzelerden biri =0 ın pozitif tarafında olup =0 + olarak gösterilir; diğeri ise negatif tarafta olup = 0- olarak gösterilir. Doğru parçasının bir tarafından diğerine geçerken, er değiģtirmeler D i =(D, D ) değerinde sabit olduğu belirtilen bir değiģime uğrarlar. D i er değiģtirme süreksizliği, D u (, 0 ) u (, 0 ) i i i (3.5) vea D D u (,0 ) u (,0 ) (3.6) u (,0 ) u (,0 ) denklemlerinde görüldüğü gibi, parçanın iki tarafı arasındaki er değiģtirme farkı olarak tanımlanır (ġekil 3.5). u ve u, pozitif ve koordinat önlerinde pozitif olduklarından, D ve D de pozitif olurlar. Burada önemle belirtmek gerekir ki, D için pozitif bir değer, çatlağın iki tarafının örtüģtüğünü varsaar. D D Şekil 3.5 Yer değiģtirme süreksizlikleri Yer değiģtirme süreksizliğinin tesir fonksionları, sonsuz düzlemdeki tekil kuvvet temel çözümü kullanılarak elde edilir. Bunun için ġekil 3.6 deki gibi tekil kuvvetler 19

32 bir elemanda karģılıklı önde ugulanarak, söz konusu elemandaki er değiģtirmeler hesaplanmaktadır. F F Şekil 3.6 Zıt önlü iki kuvvet etkisindeki eleman Sonsuz düzlemde bir nokta göz önüne alınsın, burada her hangi bir tekil kuvvetten oluģan tesir fonksionu U (,), alan fonksionu u i (,) ve tekil kuvvet F j olmak üzere u (, ) F U (, ) i j (3.7) Ģeklinde azılarak, sonsuz bölgede kalınlığı olan bir elemanda karģılıklı iki önde tekil kuvvetler ugulandığında, er değiģtirme alan fonksionu U U ui(, ) Fj ( U ) ( U ) (3.8) olur. SadeleĢtirme iģlemi apılarak U u F i(, ) j (3.9) Ģeklinde temel çözümlerin kuvvet önündeki türevleri cinsinden elde edilir. Burada F j, dipol gerilmesi olarak isimlendirilebilir [3] Normal Doğrultudaki Yer Değiştirme Süreksizliği Elastik, izotrop bir cisim için Hooke denklemleri kullanılarak, sadece eksenel Ģekil değiģtirme halinde ( 0, diğer Ģekil değiģtirmeler sıfır), gerilme ifadeleri 0

33 arasındaki bağıntılar 1 zz (3.30) Ģeklinde elde edilir. Bu bağıntı kullanılarak ġekil 3.7 da gösterilen elemandaki ükleme durumunda sadece düģe Ģekil değiģtirme oluģacaktır. 1 1 Şekil 3.7 DüĢe doğrultuda eksenel Ģekil değiģtirme için gerilme durumu Dipol gerilmesi ve Hooke kanunları kullanılarak önündeki er değiģtirme süreksizliği F D ( 1 )( 1 ) E ( 1 ) (3.31) Ģeklinde elde edilir. Buna göre düģe doğrultuda eksenel Ģekil değiģtirme durumunda, (3.9) ve (3.31) eģitliklerini kullanmak suretile düzlem içinde bir (,) noktasındaki önünde er değiģtirme süreksizliğinden dolaı oluģan temel çözümlerde gerilme ve er değiģtirme bileģenleri GD 1 1,b 1,a (3.3) uj GD 1 n u 1 n i,b n u 1 n i,a Ģeklinde elde edilir. Burada ve üst indisleri, ve önündeki tekil kuvvetten oluģan alan fonksionunu gösterirken, a ve b alt indisleri ise, bu alan 1

34 fonksionlarının a ve b doğrultularındaki türevlerini göstermektedir. Buna göre kartezen koordinatlarda bu denklemlerden birim er değiģtirme süreksizliğinden dolaı gerilme ve er değiģtirme bileģenleri S d (1 ) (1 ) r r r 4 4 S d (1 ) (1 ) r r r 4 4 (3.33) S (1 ) 4(1 ) 4 1 r r d U (1 ) d. 8G(1 ) 1 r r (3.34) U (1 ) d. 8G(1 ) 1 r r Ģeklinde açık olarak elde edilir Kama Yer Değiştirme Süreksizliği Kama er değiģtirmesi süreksizliği durumunda, Ģekil değiģtirme bileģenlerinden sadece 0, diğer tüm Ģekil değiģtirme bileģenleri sıfır olacak Ģekilde ükleme apılarak elde edilebilir. Homojen, izotrop ortamdaki bir elemanter cisimde kama er değiģtirme süreksizliği medana getiren gerilme durumunun - düzlemindeki bileģenleri ġekil 3.8 de görüldüğü gibidir.

35 Şekil 3.8 Kama Ģekil değiģtirmesi için gerilme durumu Dipol gerilmesi ve Hooke kanunları kullanılarak önündeki er değiģtirme süreksizliği F D G (3.35) Ģeklinde elde edilir. Buna göre, ata doğrultuda er değiģtirme süreksizliğinden dolaı herhangi bir (,) noktasında oluģan temel çözümlerde gerilme ve er değiģtirme bileģenleri GD, b, a (3.36) u GD u u i i, b i, a Ģeklinde elde edilirler. Bu denklemler kullanılarak, birim kama er değiģtirme süreksizliğinden dolaı (,) kartezen koordinatlarda gerilme ve er değiģtirme bileģenleri sırala S (1 ) r r d 1 4 S d. 1 4 (3.37) (1 ) r r S d (1 ) r r r 4 4 3

36 U d 1. 4G(1 ) r 3 r (3.38) U 1. 4G(1 ) r 1 r d olarak elde edilir. Buna göre her iki öndeki sabit er değiģtirme süreksizliği için, bu tekil çözümlerin (-a,a) aralığındaki integrasonula sınırdaki her hangi bir doğrusal elemandan dolaı bölgede (,) noktasındaki gerilme ve er değiģtirme bileģenleri u D g D g u D g D g (3.39) D f D f D f D f (3.40) D f D f Ģeklinde elde edilebilir. Burada g, g,..., f, f,.. v.b. fonksionları (3.33), (3.34), (3.37) ve (3.38) tekil çözümlerin (-a,a) aralığındaki integralleri olup g (, ) a a U d (, ) d (3.41) f k (, ) a a S d k (, ) d eģitliklerile elde edilirler İki Malzemeli Bölge İndirekt Sınır Elemanlar Bu bölümde iki malzemeli bölgede indirekt sınır eleman öntemi denklemleri incelenecektir. Bu amaçla ġekil. 3.9'da görüldüğü gibi iki alt bölgeden oluģan bir 4

37 cisim göz önüne alınarak, malzeme her iki bölgede de homojen, izotrop ve lineer elastik olarak kabul edilmiģtir. Genel olarak sınırda azılan sınır eleman denklemlerine ek olarak ara üzedeki süreklilik koģulları kullanılarak sınır eleman denklemleri elde edilmektedir. t 1,u 1 t 3,u 3 1 t,u t 4, u 4 Ara üzedeki süreklilik koģulları i ) ugunluk koģulu Şekil 3.9 Ġki malzemeli bölge u u 3 0 (3.4) ii ) ve denge koģulu t t 3 0 (3.43) olmak üzere iki denklemden ibarettir. Sınır eleman denklemleri ise "1" indisi birinci bölge ve "" indisi ikinci bölge olmak üzere T T T T u 0 0 u T33 T34 u T43 T44 u U U U U t1 0 0 t U33 U34 t3 U43 U44 t4 (3.44) Ģeklinde azılabilirler. (3.4) ve (3.43) koģulları ugulandıktan sonra (3.44) eģitliği : T T T T T T u 0 u T34 u T U U U U 1 U U t1 0 t U34 t 4 U 44 (3.45) 5

38 Ģekline dönüģür. Örnek olarak, sınır koģulları ġekil 3.10'da tanımlandığı gibi bir problem göz önüne alındığı takdirde, bilinmeenler u, u 4, t 1 ve t olmak üzere (3.45) denklemi T U 0 U T U 0 U T33 U33 T34 0 T43 U43 T u t u t U34 U44 t 4 (3.46) Ģeklinde azılabilir. Bu lineer denklem sisteminin çözülmesile sınırdaki ve ara üzedeki bilinmeenler elde edilir. u 1 =0 t 3,u 3 1 t,u t 4 =t Şekil 3.10 Ġki malzemeli bölgede sınır koģulları 6

39 4. SAYISAL HESAP YÖNTEMİ ġekil 4.1 de görüldüğü gibi sonsuz düzlemde kapalı bir boģluk göz önüne alınsın. Burada sınırlar a uzunluğunda doğrusal elemanlara bölünerek, j elemanındaki üklemeden dolaı i elemanının orta noktasındaki gerilme ve er değiģtirmeler hesaplanacaktır. Bunun için herhangi bir doğrultuda bir eleman göz önüne alınarak tesir fonksionlarının o doğrultu üzerindeki integrasonundan elde edilmesi gerekir. Ġzotrop ortam için direkt integrason sonuçlarını herhangi bir doğrultuda azmak sonucu değiģtirmemektedir. Buna göre (,) global koordinatlar olmak üzere koordinat dönüģümleri C' b a i i a a n b j s a j Şekil 4.1 Sonsuz düzlemde kapalı bölge i j i j ( )cos ( )sin (4.1) i j i j ( )sin ( )cos Ģeklinde azılabilir. Bu doğrultudaki er değiģtirme ve gerilme bileģenleri ise u g g u g g (4.) 7

40 f f f f (4.3) f f Ģeklinde lokal koordinatlar cinsinden azılabilir. Lokal koordinatlardaki er değiģtirme ve gerilme bileģenleri ise global koordinatlar cinsinden u u cos u sin u u sin u cos (4.4) cos sin cos sin sin sin cos cos (4.5) ( )sin cos (cos sin ) Ģeklinde azılabilir. Herhangi bir lokal koordinatlardaki (, ) (ġekil 4.1) er değiģtirme ve gerilme bileģenleri cinsinden (, ) lokal koordinat sistemindeki değerleri u u cos u u u sin u sin cos (4.6) cos sin cos sin sin sin cos cos (4.7) ( ) sin cos (cos sin ) olarak elde edilir. Burada = i - j ve (s,n) her hangi bir lokal koordinat sistemi olmak üzere, u u i s, u, i u n i s, i i i, ve tanımları n s n apılırsa her hangi bir i noktasında lokal koordinatlarda er değiģtirme ve gerilme 8

41 bileģenleri i j j u B B s s ss i j j u B B n s ns n n sn nn (4.8) i j j A A s s ss i j j A A n s ns n n sn nn Ģeklinde elde edilirler. Burada s ve n lokal koordinatlar olmak üzere, A ss ve B ss (4.9) vb. tesir fonksionları er değiģtirme süreksizliği önteminde (3.41), fiktif gerilme önteminde (3.) eģitliklerinin lokal koordinatlarda (-a,a) aralığındaki integrason sonuçları olup er değiģtirme süreksizliği öntemi ve fiktif gerilme öntemi için genel olarak A ss (f f )sin cos f (cos sin ) A A sn ns (f f f cos )sin cos f f (cos sin cos f sin sin ) (4.10) A nn f cos f sin cos f sin B ss g cos g sin B B sn ns g g cos g sin g sin cos (4.11) B nn g sin g cos bağıntılarından elde edilirler. (4.8) ve (4.9) eģitlikleri j=1,...,n elemanları için hesaplanarak süperpozison apılırsa 9

42 s N N i j u B B ss s j1 j1 sn j n (4.1) u i n N j1 B ns j s N j1 B nn j n i j j A A s N N ss s j1 j1 sn n (4.13) i j j A A n N N ns s j1 j1 nn n Ģeklinde N tane lineer denklem takımı elde edilir. Bu denklem takımı b i s N j1 C ss D j s N j1 C sn D j n i = 1 den N e kadar (4.14) b i n N j1 C ns D j s N j1 C nn D j n i = 1 den N e kadar Ģeklinde gösterilir. Bu denklemlerde i b s ve i b n değerleri gerilme vea er değiģtirmenin bilinen sınır değerlerini göstermektedir ve C ss, vb. değerler (4.1) vea (4.13) denklemlerinden gelen ilgili tesir fonksionlarıdır. Bu denklem takımlarının verilen sınır koģulları altında çözülmesile sınırdaki fiktif değerler elde edilir. Daha sonra bu fiktif değerler kullanılarak, bölgede ve sınırlardaki gerilmeler ve er değiģtirmeler hesaplanır. Buradaki fiktif değerler, er değiģtirme süreksizliği öntemi için er değiģtirme süreksizlikleri D i, fiktif gerilme öntemi için de fiktif gerilmelerdir F i. Özellikle, çatlak içeren sonsuz bir cisim problemi er değiģtirme süreksizliği öntemi ile çözülmesi koladır. Bu durumda, sınır elemanları kapalı bir çevre oluģturmaz, fakat bununla beraber problemin çözümünde her birinin pozitif ve negatif taraflarının aırt edilmesi gerekir. Her eleman için hesaplanmıģ olan u s ve u n er değiģtirmelerinin değerlerini orumlaabilmek için bu arım gereklidir. Bu üzden, eğer bir çatlağın i elemanının bir tarafındaki er değiģtirme isteniorsa, bunu negatif 30

43 taraf için gerçekleģtirmek gerekecektir. Problemi çözdükten sonra, öngörülen i u - s ve i u - n er değiģtirmelerini oluģturmak için, i elemanına ugulanması gereken kama gerilmeleri ve normal gerilmeler hesaplanabilir. Bu gerilmeler eģzamanlı olarak elemanın her iki tarafında hareket ederler. Elemanın pozitif tarafındaki er s i s ve s i n değiģtirmeler i i i + - s = s - s u u D ve i i i + - n = n - n u u D iliģkilerile tanımlanmıģtır. Eğer sınır elemanları kapalı bir çevre oluģturmak için birleģmiģlerse, çevrenin hem iç hem de dıģ bölgesi için sınır değer problemleri ele alınabilir. Ġç (sonlu bölge) problemlerin sonuçları bulunurken; rit cisim hareketleri, sınırın iki noktasında en az üç er değiģtirme bileģeni öngörülerek engellenebilir. Alternatif olarak anı etkie, eğer söz konusu problem için mevcutsa, simetri koģulları hesaba katılarak da ulaģılabilir. Yer değiģtirme süreksizliği önteminde, ugun konumda bir eleman (asıl elemanın eksenin diğer tarafındaki görüntüsüdür) eklenerek veri bir sınır elemanına ugun bir simetri ekseni oluģturulur. Bu iģlem ġekil 4. de = * ve = * doğrularının her ikisinin de simetri ekseni olduğu bir durumda gösterilmiģtir. Her iki eleman için er değiģtirme süreksizliğinin normal bileģenleri eģittir, ancak kama bileģenleri her simetri ekseni geçildiğinde iģaret değiģtirir. Şekil 4. = * ve = * doğrularının simetri koģulları 31

44 5. SAYISAL UYGULAMALAR 5.1. Bilgisaar Programı Bilgisaar Programının Akış Şeması AĢağıdaki tabloda Kimençe nin [3] C++ dilile azılmıģ olan programı anlatılacaktır. Tablo 5.1. Bilgisaar programının akıģ Ģeması Geometrik sınırlar girilior DıĢ kuvvetler vea er değiģtirmeler girilior i. eleman koordinatları ve eleman kuvvetleri oluģturuluor Gerilmeler baģlangıçta sıfırlanıor i=1, N J=1, N j. eleman koordinatları, eleman kuvvetleri ve eleman boları oluģturuluor Tesir fonksionları hesaplanıor (f, f, vb.) Sistem matrisi oluģturuluor ( A,B ss ss, vb.) Sistem matrisi çözülüor [(4.1) ve (4.13) denklemleri] Sonuçlar 3

45 5.1.. Program Girişi İçin Teknik Terimler Sınır Koşullarının Tanımı Tüm sınır çevreleri uç uca eklenmiģ düz doğru parçaları ile verilmiģtir. Her sınır parçası (vea parçanın kısmı) NUM sınır elemanına bölünmüģtür. Elemanların erleri, baģlangıcın, koordinatları (XBEG, YBEG), parçanın bitiģ noktaları (XEND, YEND) ve NUM değeri ( NUM 1) verilerek belirlenmiģtir. Bölece, bilgisaar programı sınır elemanlarını numaralandırır ve orta nokta koordinat, uzunluk ve önelimlerini hesaplar. Sınır elemanlarının saısı N olarak adlandırılır. Genelde, en ii sonuçlar sınır elemanlarının tümünün anı uzunlukta olduğu durumlarda elde edilir İç Bölgede Hesaplanacak Noktaların Belirlenmesi Ġç bölge noktaları ilgilenilen bölge içindeki (örneğin bir sınır üzerindeki değil) er değiģtirme ve gerilmelerin hesaplanması beklenen spesifik noktalardır. Düz bir doğru üzerindeki eģit olarak arılmıģ iç bölge noktaları, baģlangıcın, koordinatları (XBEG, YBEG), doğrunun bitiģ noktaları (XEND, YEND) ve doğru bounca arzu edilen ara nokta saısı (NUMPB) verilerek belirlenir. Bu Ģekilde iç bölgede elemanları belirlemekte kullanılan düz doğru parçası saısı NUMOS olarak adlandırılır. Bu program NUMOS değeri için herhangi bir kısıtlama getirmediğinden iç bölge noktaları saısı isteğe bağlıdır Simetri Eğer verilen bir problem için simetri koģulları mevcut ise, programın giriģ veri miktarı azalabilir. KSYM, ġekil 5.1 de gösterildiği üzere, kullanılacak simetri türünü belirleen bir parametredir. KSYM=1, problemin simetrisi olsa bile, hiçbir simetri koģuluna bağlı kalınmaacağını; KSYM =, eksenine paralel bir doğrunun ( =XSYM) simetri doğrusu olduğunu; KSYM =3, eksenine paralel bir doğrunun ( =YSYM) simetri doğrusu olduğunu; KSYM =4, hem =XSYM hem de =YSYM doğrularının simetri doğruları olduğunu belirtir. 33

46 Eğer problemin tek bir simetri doğrusu varsa (KSYM= vea KSYM=3), sınır elemanları sınır çevrelerinin ½ si için belirlenmelidir; eğer problemin simetri doğrusu varsa (KSYM=4) elemanlar sınır çevre çizgisinin ¼ ü için belirlenmelidir. Bu program simetri içeren bir problemdeki sınır elemanlarının erleģtirilmesi konusunda kısıtlama getirir: Bir sınır elemanı simetri doğrusu üzerinde er alamaz ve bu tür bir doğruu kesemez. Bölelikle örneğin, eğer bir elemanın bir ucu bir simetri doğrusuna değiorsa diğer ucu değemez. Ancak, iç bölge noktaları bir simetri doğrusu bounca seçilebilirler. Şekil 5.1 KSYM parametresini kullanarak simetri koģullarının belirtilmesi 34

47 5.. Saısal Örnekler Yaılı ükün zemin üzeine olan etkisi 54 cm q=1.4 N/cm E=1*10 6 N/cm 305 cm cm 610 cm Şekil 5. Zemin üzeindeki aılı ük Bu örnekte 305 cm derinlikte düz rit bir tabakaa oturan arı sonsuz, elastik ve sürekli bir zemin üzerine etkien aılı ükten dolaı zemin üzeinde oluģacak er değiģtirmeler ve gerilmeler incelenmiģtir. Problemin detaları Ģekil 5.3 üzerinde mevcuttur. Zeminin elastisite modülü E=1*10 6 N/cm, poisson oranı =0.5 olarak alınmıģtır. Problemin çözümünde sınır eleman öntemine daalı C++ dilinde azılan program (FSM) ve sonlu eleman öntemi ile çözüm apan ANSYS programı kullanılmıģtır. Arıca KSYM= simetri koģulundan ararlanılarak problemin 1/ si ile çözüm apılmıģtır. Sınır eleman saısı ükün etkidiği bölgede arttırılmıģ, diğer bölgelerde ise daha düģük tutulmuģtur. Problemde toplam 80 sınır eleman kullanılmıģtır. Elde edilen sonuçlar Vallabhan [33] ile karģılaģtırılmıģ ve karģılaģtırmalara ait zemin üzeindeki düģe er değiģtirme ve düģe gerilme grafikleri aģağıda verilmiģtir. Г 1 Г Г 3 Г 4 Şekil 5.3 Sınır Eleman Bölgeleri 35

48 Tablo 5. Sınır eleman saısı ve sınır Ģartları Sınır No. N Sınır KoĢulları Г 1 0 eģit uzunluk σ s =0.0, σ n =.0 Г 0 eģit uzunluk σ s =0.0, σ n =0.0 Г 3 0 eģit uzunluk u s =0.0, u n =0.0 Г 4 0 eģit uzunluk u s =0.0, u n =0.0 Düşe Yer Değiştirme u FEM BEM Vallab, [33] (cm) Şekil 5.4 Yaılı Yükün Zemin Yüzeinde OluĢturduğu DüĢe Yer DeğiĢtirme 1 Düşe Gerilme FEM -6 BEM (cm) Şekil 5.5 Yaılı Yükün Zemin Yüzeinde OluĢturduğu DüĢe Gerilme 36

49 5... Kiriş ortasındaki tekil ükün zemin üzeine etkisi P=10 kn m 11.9 m Şekil 5.6 Zemine Oturan KiriĢe Etkien Tekil Yük Bu örnekte sonlu bir kiriģin (DDM) 30,48 metre derinlikte düz rit bir tabakaa oturan arı sonsuz, elastik ve sürekli bir zemin üzerinde oturduğu varsaılmaktadır. KiriĢ m uzunluğunda, kesit alanı m, elastisite modülü E b = 4.65*10 6 kn/m ve poisson oranı v =0.0 dir. DüĢe tekil bir ükün kiriģin ortasına etkidiği görülmektedir. Zeminin elastisite modülü ise E s dir ve bu örnekte E n E b s = 1, 10, 100 ve 1000 değerlerini almaktadır. KSYM= simetri koģulundan ararlanılarak problemin 1/ si ile çözüm apılmıģtır. Toplam 140 sınır eleman kullanılmıģ, zemin ve kiriģin etkileģim bölgesinde eleman saısı üksek tutulmuģtur. Problemin çözümünde FSM den fadalanılmıģtır. ANSYS ile apılan çözümlerden elde edilen sonuçlar ve Vallabhan [33] deki sonuçlar karģılaģtırılarak aģağıdaki er değiģtirme ve gerilme grafikleri elde edilmiģtir. Г Г 1 Г 3 Г 6 Г 5 Г 4 Г 7 Г 8 Şekil 5.7 Sınır Eleman Bölgeleri 37

50 Tablo 5.3 Sınır eleman saısı ve sınır Ģartları Sınır No. N Sınır KoĢulları Г 1 1 σ s =0.0, σ n =5.0 Г 19 eģit uzunluk σ s =0.0, σ n =0.0 Г 3 10 eģit uzunluk σ s =0.0, σ n =0.0 Г 4 30 eģit uzunluk σ s =0.0, σ n =0.0 Г 5 30 eģit uzunluk u s =0.0, u n =0.0 Г 6 10 eģit uzunluk σ s =0.0, σ n =0.0 Г 7 0 eģit uzunluk u s =0.0, u n =0.0 Г 8 0 eģit uzunluk u s =0.0, u n =0.0 Şekil 5.8 KiriĢ ortasındaki tekil ükün zeminde oluģturduğu er değiģtirmeler 38

51 Düşe Yer Değiştirme (/n) BEM (m) n= Şekil 5.9 Zemin Yüzeindeki DüĢe Yer DeğiĢtirme Düşe Gerilme BEM n= (m) Şekil 5.10 Zemin Yüzeindeki DüĢe Gerilme Düşe Yer Değiştirme /n (m) n=1 FEM BEM Vallab [33] Şekil 5.11 n=1 için Zemin Yüzeindeki DüĢe Yer DeğiĢtirmelerin KarĢılaĢtırması 39

52 Düşe Yerdeğiştirme /n n=10 FEM BEM Vallab [33] (m) Şekil 5.1 n=10 için Zemin Yüzeindeki DüĢe Yer DeğiĢtirmelerin KarĢılaĢtırması Düşe Gerilme n= (m) FEM BEM Vallab [33] Şekil 5.13 n=1 için Zemin Yüzeindeki DüĢe Gerilmelerin KarĢılaĢtırması 0.1 n=10 Düşe Gerilme (m) FEM BEM Vallab [33] Şekil 5.14 n=10 için Zemin Yüzeindeki DüĢe Gerilmelerin KarĢılaĢtırması 40

53 5..3. İç Basınç Etkisindeki Tünel İle Zeminin Etkileşimi A C B 8 m 4 m 30 m 60 m Şekil 5.15 Ġç Basınç Etkisindeki Tünel Bu örnekte killi bir zeminde aks derinliği 10 m olan 4 m çapındaki bir tünelin 00 kpa radal basınç altındaki er değiģtirmeleri ve gerilmeleri hesaplanacaktır. Zeminin elastisite modülü E=50 MPa, poisson oranı v= 0.49 olarak alınmıģtır. Sınır eleman çözümünde (DDM) toplam eleman saısı 90 alınmıģ ve tünelin bulunduğu radal ükün etkidiği bölgede eleman saısı arttırılmıģtır. KSYM= simetri koģulundan ararlanılarak problemin 1/ si ile çözüm apılmıģtır. ANSYS ile çözümden elde edilen sonuçlar Selb [34] deki sonuçlar karģılaģtırılarak aģağıda zemin üzeindeki düģe er değiģtirme ve düģe gerilme grafikleri verilmiģtir. Г 1 Г 4 Г Г 3 Şekil 5.16 Sınır Eleman Bölgeleri Tablo 5.4 Sınır eleman saısı ve sınır Ģartları Sınır No. N Sınır KoĢulları Г 1 30 eģit uzunluk σ s =0.0, σ n =0.0 Г 0 eģit uzunluk u s =0.0, u n =0.0 Г 3 0 eģit uzunluk u s =0.0, u n =0.0 Г 4 0 eģit uzunluk σ s =0.0, σ n =

54 Şekil 5.17 Radal Basıncın OluĢturduğu DüĢe Gerilme 0 Düşe Yer Değiştirme (mm) (m) FEM BEM Selb [34] Şekil 5.18 Zemin Yüzeindeki DüĢe Yer DeğiĢtirme Tablo 5.5 Tünel Yüzeindeki Yer DeğiĢtirme ve Gerilmeler A B C u s /r (10-3 ) u n /r (10-3 ) /q (10 - ) /q (10 - )

55 5..4. Zemin Yüzeindeki Yüksek Duvar İle Tünelin Etkileşimi A B C c r 30 m 60 m Şekil 5.19 Zemin üzeindeki duvar ve tünel etkileģimi Bu örnekte killi zeminde açılan r=4 m çapında, c=10 m aks derinliğindeki tünelin zemin üzeindeki 5 m üksekliğinde ve 16 m geniģliğindeki duvar ile olan etkileģimi incelenecektir.zeminin elastisite modülü 50 MPa, poisson oranı v=0.49, duvarın elastisite modülü 10*10 6 kpa, poisson oranı ise v=0. dır. Tünel 00 kpa radal basınç altındadır. Sınır eleman çözümünde (DDM) toplam eleman saısı 131 alınmıģ ve tünelin bulunduğu radal ükün etkidiği bölgede ve duvar ile zeminin etkileģtiği bölgede eleman saısı arttırılmıģtır. KSYM= simetri koģulundan ararlanılarak problemin 1/ si ile çözüm apılmıģtır. ANSYS ile çözümden elde edilen sonuçlar Selb [34] deki sonuçlar karģılaģtırılarak aģağıda zemin üzeindeki er değiģtirme grafiği verilmiģtir. r=4 m ve c=10 m için A, B ve C noktalarındaki er değiģtirme ve gerilme değerleri de Tablo 5.7 de verilmiģtir. 43