MATERIALS. Değiştirme Dönüşümleri. (Kitapta Bölüm 7) Third Edition. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MATERIALS. Değiştirme Dönüşümleri. (Kitapta Bölüm 7) Third Edition. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf"

Erol Yılmaz
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third E CHAPTER BÖLÜM 8 Gerilme MECHANICS MUKAVEMET OF II MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Lecture Notes: J. Walt Oler Teas Tech Universit ve Şekil Değiştirme Dönüşümleri Düzenleen: Era Arslan (Kitapta Bölüm 7)

2 Giriş En genel halile bir noktadaki gerilmeler 6 bileşenden oluşur,,,, z z, z normal kama (Not : gerilmeler gerilmeler, i z z, z z ) Koordinat eksenleri döndürüldüğünde, anı gerilme hali farklı bir bileşen takımıla temsil edilecektir. 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-3

3 Düzlem Gerilme Düzlem gerilme- kübik elemanın birbirine paralel iki üzeinin gerilmelerden bağımsız olduğu duruma denir. Bu durumda gerilmeler:,, z z z 0. Düzlem gerilme durumu Bir boutu diğer iki boutuna göre çok küçük olan ince levhalarda, Herhangi bir dış üke mağruz kalmaan üzelerde kabul edilebilir. 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-4

4 Düzlem Gerilme Dönüşümü,, gerilme bileşenlerinin tanımlandığı bir düzlem gerilme durumundaki elemanı ele alalım. Elemanın z ekseni etrafında q açısı kadar döndükten sonraki durumula ilişkili ', ', ' gerilme bileşenlerini belirlemei ve bu bileşenleri,, cinsinden ifade etmei amaçlıoruz., q 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-5

5 Düzlem Gerilme Dönüşümü F F 0 0 A, ve eksenlerine dik üzeleri bulunan prizmatik elemanın denge koşullarını düşünelim:. Acosq cosq Acosq Asinq sinq Asinq cosq A Acosq sinq Acosq Asinq cosq Asinq sinq sinq cosq Bölece aşağıdaki denklemler elde edilir: (1) () (3) 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-6

7 Örnek Problem 8.1 Şekildeki gerilme bileşenlerinin olduğu üze saat önünde 35 o döndürülürse, eni koordinat sisteminde oluşacak gerilmeler ne olur? 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-8

8 Asal Gerilmeler Denklemler (1)-(3) kullanılarak: ' burada ort R (4) ort ort R Denklem (4), arıçapı R, merkez apsisi ort ve ordinatı 0 olan bir çember denklemidir. Asal Gerilmeler ( ma ve min ) kama gerilmesinin sıfır olduğu düzlemde (A ve B noktalarında) oluşur. Denklem (3) ardımıla ma, min tan q p ort R 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-9

10 Asal Gerilme ve Maksimum Kama Gerilmesi Asal Gerilme Düzlemi Maksimum Kama Gerilmesi Düzlemi ort tan q p Çember de ise aralarında 90 o var. Aralarında 45 o var. q p + 45 o = q s tan q s ma, min = 0 = = ort = ma 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-11

11 Düzlem Gerilme için Mohr Çemberi Denklemlerle tarif edilen kritik değerler, Mohr Çemberi kullanılarak daha basit bir şekilde hesaplanabilir. Bunun için; 1. Gerilme bileşenleri doğru işaretler ile tanımlanır.. X(, - ) ve Y(, ) noktaları - grafiğinde bulunur. 3. X ve Y bir doğru ile birleştirilir. Doğrunun orta noktası C dir ve ort a denk gelir. ort 4. R i bulmak için Pisagor teoremi kullanılabilir: ort )/ R R 5. ma ve min : ort ve R arı çapı kullanılarak bulunabilir. ma = ort + R ma = ort - R 6. Asal düzlem ile referans düzlemi arasındaki açıı (q p ) bulmak için ine dik üçgen özellikleri kullanılır. tan q p ( ) ma 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-18

12 Düzlem Gerilme için Mohr Çemberi O den Oa a dönme önü CX den CA a dönme önüle anıdır. Düzlemdeki dönme açısı değeri Mohr çemberindeki dönme açısının arısıdır. 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-19

13 Örnek Problem 8. Şekildeki düzlem gerilme durumu için (a) Mohr çemberini oluşturunuz, (b) Asal düzlemi belirleiniz, (c) Asal gerilmeleri hesaplaınız, (d) Maksimum kama gerilmesinin oluştuğu düzlemi belirleiniz, (e) Maksimum kama gerilmesini ve karşılık gelen normal gerilmei hesaplaınız. 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-0

16 Örnek Problem mm 100 mm 540 mm 36 mm P = 900 N (a) H noktasındaki ( ve eksenlerine paralel) normal ve kama gerilmelerini, (b) H noktasındaki asal düzlem ve asal gerilmeleri hesaplaınız. 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-3

17 Mohr Çemberinin Üç Boutlu Gerilme Analizine Ugulanması b ekseni etrafında döndüğünde (a-c düzlemi) a ekseni etrafında döndüğünde (b-c düzlemi) Asal eksenlerden biri etrafında döndürülen elemanda oluşan gerilmeler (bir düzlem gerilme dönüşümümüş gibi) Mohr çemberi ardımıla analiz edilebilir. A, B, C noktalarındaki gerilmeler, asal düzlemlerdeki asal gerilmeleri temsil eder. 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Bu üç çember, her üç asal eksen etrafında döndürüldüğünde oluşacak normal ve kama gerilmeleri temsil eder. En büük çemberin arıçapı Q noktasındaki maksimum kama gerilmesi değerini verir. ma 1 ma min c ekseni etrafında döndüğünde (a-b a da - düzlemi) 8-31

18 Mohr Çemberinin Üç Boutlu Gerilme Analizine Ugulanması Eğer A ve B deki gerilmeler anı işarete sahipse; a) ma, min, ve ma i tanımlaan çember, düzlemi içindeki bir dönüşüme karşılık gelen çember değildir. b) ma = a ve min = 0 c) ma = a / d) Maksimum kama gerilmesi düzlemi, düzlem gerilme ile 45 o açı apar. 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-3

19 Mohr Çemberinin Üç Boutlu Gerilme Analizine Ugulanması Eğer A ve B deki gerilmeler zıt işarete sahipse; a) karşı gelen asal gerilmeler, Q daki maksimum ve minimum normal gerilmelerine eşittir. b) Maksimum kama gerilmesi, maksimum düzlem kama gerilmesine eşittir. c) Maksimum kama gerilmesi düzlemi asal düzlemle 45 o lik açı apar. 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-33

20 Örnek Problem 8.4 Gösterilen genel gerilme hali için (a) z = 0, (b) z = + 45 MPa, (c) z = - 45 MPa Olduğu durumlar için Mohr çemberini çiziniz, asal gerilmeleri hesaplaınız ve maksimum kama gerilmesini belirleiniz. 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-34

22 İnce Cidarlı Silindirik Basınç Kaplarında Gerilmeler Silindirik kapta, eksenel simetriden dolaı (kabın ve akışkanın simetrisi) üze elemanında kama gerçekleşmez. Silindirik kapta Asal Gerilmeler 1 = Çembersel gerilme = Bouna gerilme Çembersel gerilme: F z pr t Bouna gerilme: F 0 pr t t p r 1 rt p r 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-36

23 İnce Cidarlı Silindirik Basınç Kaplarında Gerilmeler Mohr çemberindeki A ve B noktaları 1 (çembersel) ve (bouna) asal gerilmelerine karşılık gelir. Maksimum düzlem kama gerilmesi: ma( duzlem) 1 pr 4t Ancak, kabın cidarındaki maksimum kama gerilmesi, daha büüktür, OA çaplı çemberin arıçapına eşittir ve bouna eksen etrafında, gerilme düzleminin dışına çıkan 45 o lik dönmee karşılık gelir. ma pr t 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-37

24 İnce Cidarlı Küresel Basınç Kaplarında Gerilmeler Küresel Basınç Kaplarında (iki asal doğrultuda eşit gerilme): 1 pr t Kap üzeinin teğet düzlemi içindeki gerilme dönüşümleri için elde edilecek ohr çemberi bir noktaa dönüşür. sabit 1 ma(duzlem) 0 Maksimum kama gerilmesi pr 1 ma 1 4t 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 8-38

Benzer belgeler

MECHANICS OF MATERIALS

00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. T E CHAPTER 7 Gerilme MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Dönüşümleri Fatih Alibeoğlu 00 The McGraw-Hill