ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.5 ÇÖZÜM

Transkript

1 Biçimselleştirme Burada sunulan haliyle bu sembolik gösterim diline önermeler mantığı dili denir. Şimdi günlük dilden çeşitli cümlelerin sembolik biçimler şeklinde nasıl ifadelendirilebileceğini (yani bu cümlelerin nasıl biçimselleştirilebileceğini) göstererek ve sonra bu dil için olan dilbilgisi kurallarını (oluşturma kuralları) açıkça tayin etmek suretiyle bu dilin sözdizimini (sentaksını) inceleyeceğiz. Sembolleştirme işlemi bir Türkçe cümleyi veya kanıtlamayı, cümle harfleri ve mantıksal operatörlerden oluşmuş bir yapı olan bir cümle biçimine veya bir kanıtlama biçimine dönüştürür. Cümle harfleri kendi başına alındıklarında bir anlamları yoktur, fakat özel bir meseleye/konuya dair bağlamda belirli önermeleri veya yargıları ifade ediyor olarak yorumlanırlar. Bununla beraber bu yorumlama, biçimin kendisine kıyasla özsel değildir. Farklı bir mesele/konu söz konusu olduğunda aynı cümle harfleri farklı yargıların yerini tutabilir. Bir cümle harfinin anlamı, mevcut mesele/konu tarafından belirlenen özel yoruma göre tayin edilmiş olan anlamdır. Basit Türkçe cümlelerin sembolleştirimi oldukça kolaydır. Eğer bir cümle harfi olan P yi mesela Bugün Pazartesidir olarak yorumlarsak bu durumda Bugün Pazartesi değildir cümlesi basitçe M olarak sembolleştirilir. Ama Türkçe cümlelerin birden fazla mantıksal operatörler içerdiği durumlarda dikkatli olmak gerekir. Örneğin diyelim ki Bugün hem Pazartesi hem Salı değildir cümlesini sembolleştirmek istiyoruz. Bunun için basitçe P S yazamayız. Buradaki eklemi aynen cebirdeki eksi işareti gibi ifadenin en küçük parçasına uygulanır. Mesela ifadesinde - işareti sadece 1 e uygulanır, dolayısıyla ifadenin tümü 2 sayısını gösterir. Benzer şekilde P S ifadesinde sembolü sadece P harfine uygulanır, dolayısıyla P S ifadesi Bugün Pazartesi değildir ve bugün Salıdır anlamına gelir ki bu bizim söylemek istediğimiz şey değildir. Bununla birlikte, parantezler kullanmak suretiyle eklemin uygulandığı kısmı her durumda genişletmek mümkündür. Mesela cebirdeki örnekte bunu uyguladığımızda - (1 + 3) ifadesini elde ederiz ki bu da - 4 sayısını gösterir. Mantıktaki örnekte ise parantezleri kullanarak P S) ifadesini elde ederiz ki bunun anlamı Bugünün hem Pazartesi hem Salı olduğu doğru değildir olur ve tam olarak bizim söylemek istediğimizi dile getirir. Farklı bir örnek olarak, diyelim ki Ya bugün Pazartesi veya bugün Salı ve seçim günüdür cümlesini sembolleştirmek istiyoruz. Bu bir seçenekli evetlemedir ve burada ikinci seçenek Bugün Salı ve seçim günüdür şeklindeki birlikte evetlemedir. Bu cümle P (S Ç) şeklinde sembolleştirilebilir. Eğer parantezleri kullanmaz ve basitçe P S Ç diye yazarsak bunun anlamı açık olmayacaktır. Çünkü bu ifade bir birlikte evetleme olarak okunabilir ve Bugün Pazartesi veya Salı şeklindeki seçenekli evetleme de bunun birinci müştereği gibi anlaşılabilir, dolayısıyla bu ifade Bugün Pazartesi veya Salı, ve bugün seçim günüdür cümlesini dile getiriyor olur ki bu bizim başlangıçtaki cümlemizden oldukça farklıdır.

2 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.5 Yağmur yağıyor için cümle harfi Y ve Kar yağıyor için cümle harfi K yı kullanarak aşağıdaki her bir Türkçe cümlenin önermeler mantığı dilindeki biçimini yazınız. (a) Yağmur yağıyor. (b) Yağmur yağmıyor. (c) Ya yağmur yağıyor veya kar yağıyor. (d) Hem yağmur yağıyor hem de kar yağıyor. (e) Yağmur yağıyor fakat kar yağmıyor. (f) Hem yağmur yağıyor hem de kar yağıyor olduğu doğru değildir. (g) Eğer yağmur yağmıyor ise kar yağıyor. (h) Eğer yağmur yağıyor ise kar yağıyor olduğu doğru değildir. (i) Eğer kar yağıyor ise yağmur yağıyor olduğu doğru değildir. (j) Eğer ve ancak eğer yağmur yağıyor ise kar yağmıyor. (k) Ne yağmur yağıyor ne de kar yağıyor. (l) Eğer hem kar yağıyor hem de yağmur yağıyor ise kar yağıyor. (m) Eğer yağmur yağmıyor ise hem kar yağıyor hem de yağmur yağıyor olduğu doğru değildir. (n) Ya yağmur yağıyor veya hem kar yağıyor hem de yağmur yağıyor. (o) Ya hem yağmur yağıyor hem de kar yağıyor veya kar yağıyor ama yağmur yağmıyor. ÇÖZÜM (a) Y. (b) Y. (c) Y K. (d) Y K. (e) Y K. (f) (Y K). (g) Y K. (h) (Y K). (i) (K Y). (j) Y K. (k) (Y K) veya Y K; bu iki biçim de eşdeğerdir ve her ikisi de doğrudur. (l) (K Y) K. (m) Y (K Y). (n) Y (K Y). (o) (Y K) K Y).

3 Dikkat ediniz ki bu biçimler şu üç sembol kümesi kullanılarak oluşturulmuştur: Cümle harfleri: Herhangi bir büyük harf bir cümle harfi olarak kullanılabilir. Bazı hallerde bunların altına rakamlar eklemek suretiyle ilave cümle harfleri elde edebiliriz. Buna göre S 1, S 2, S 3, vb. gibi harflerin hepsi S ten ayrı birer cümle harfidir. Mantıksal operatörler (eklemler):,,,, Parantezler: (, ) Bu üç sembol kümesi önermeler mantığı dilinin sözcük dağarcığını oluştururlar. Bir biçimsel dilin sözcük dağarcığı genellikle mantıksal semboller ve mantıksal-olmayan semboller diye ikiye ayrılır. Bizim biçimsel dilimizin mantıksal sembolleri mantıksal operatörler ve parantezlerdir; mantıksalolmayan sembolleri ise cümle harfleridir. Anlamları bağlamdan bağlama değişen cümle harflerinden farklı olarak, mantıksal sembollerin yerine getirdikleri işlev veya yorumlanmaları daima sabittir, değişmez. Önermeler mantığı diline ait bir biçim, bir öğeler dizisidir öyle ki bu öğeler bu söz dağarcığı içinden seçilmiştir. Bu yüzden örnek 1.3 teki cevapların hepsi de birer biçimdir, fakat şunun gibi, (( (P anlamsız diziler de birer biçimdir. İşte böyle anlamsız dizileri anlamlı biçimlerden ayırmak için dilbilgisine uygun veya dilbilgisel dediğimiz iyi-kurulmuş biçim kavramını ileri süreceğiz ve bunu kısaca ikb ile göstereceğiz. Bu kavram, oluşturma kuralları denen ve bu biçimsel dilin dilbilgisini meydana getiren aşağıdaki kurallara göre tanımlanmıştır. Bu kurallardaki her bir Yunanca harf, bu biçimsel dilin söz dağarcığına ait değildir ve bir biçimin yerini tutmaktadır. (1) Herhangi bir cümle harfi bir ikb dir. (2) Eğer Φ bir ikb ise Φ de bir ikb dir. (3) Eğer Φ ve Ψ birer ikb ise (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) de birer ikb dir. Bu kurallara uymayan bir biçim bir ikb değildir. Karmaşık ikb ler basit olanlara bu kuralların tekrar tekrar uygulanması ile oluşturulurlar. Mesela kural (1) gereği P ve Q birer ikb dir. Bu durumda kural (3) gereği (P Q) bir ikb olur. Buradan da kural (2) gereği (P Q) bir ikb olur. Veya mesela kural (1) gereği P bir ikb dir ve dolayısıyla kural (2) gereği P bir ikb olur ve yine kural (2) gereği P bir ikb olur. Aslında istediğimiz kadar değilleme sembolünü arka arkaya ekleyerek bir ikb oluşturabiliriz: P bir ikb dir. Dikkat ediniz ki kural (3) gereği, ne zaman bir ikili operatör eklersek buna karşılık gelen bir çift parantezi de eklememiz icap etmektedir. Bu yüzden (P Q) bir ikb iken mesela P Q bir ikb değildir. Bununla birlikte her şeyi içine alan parantezler biçimin anlamını daha açık hale getirmezler, dolayısıyla en dıştaki parantezleri kullanmak gerekmeyebilir, ama resmi olarak (kurallar gereği) kullanmak gerekir. Bu yüzden kurallar gereği 1.3 (c) deki Y K biçimi resmi olarak (Y K) şeklinde yazılmalıdır. En dıştaki parantezlerin dikkate alınmaması oluşturma kurallarını izin verdiği tek istisnadır.

4 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.6 Oluşturma kurallarını kullanarak aşağıdaki biçimlerden hangilerinin birer ikb olduğunu ve hangilerinin olmadığını saptayınız ve nedenini açıklayınız. (a) R. (b) ( R). (c) PQ. (d) P Q. (e) (P Q). (f) (P Q). (g) ((P Q) R). (h) (P Q) R. (i) P Q). (j) ((P Q) R S)). (k) ((P) Q)). (l) (P Q R). (m) P Q R)). (n) P Q R)). (o) (P P). ÇÖZÜM (a) İkb. Çünkü R bir ikb ise kural (2) üç defa uygulanarak R elde edilir. (b) İkb değil. Parantezler sadece ikili operatörler ile birlikte eklenir. (c) İkb değil. İki veya daha fazla cümle harfi ancak bir ikili operatör ile birlikte bir ikb oluşturur (kural (3)). (d) Resmi olarak bir ikb değil. Dış parantezler kullanılmamış. Ama böyle biçimleri gayrı resmi olarak kullanabiliriz. (e) İkb. P ve Q birer ikb, o halde kural (3) gereği (P Q) bir ikb dir. (f) İkb. (e) ye kural (2) nin uyguanması. (g) İkb. P, Q ve R kural (1) gereği birer ikb dir. Kural (3) gereği (P Q) bir ikb olur ve ikinci defa kural (3) uygulandığında ((P Q) R) elde edilir. (h) Resmi olarak bir ikb değil. (i) İkb. P ve Q kural (1) gereği birer ikb dir. Kural (2) gereği P ve Q birer ikb olur ve bu sefer kural (3) gereği ( P Q) bir ikb olur ve son olarak kural (2) gereği ( P Q) bir ikb olur. (j) İkb. P, Q, R ve S kural (1) gereği birer ikb dir. O halde kural (3) gereği (P Q) ve (R S) birer ikb dir ve yine kural (3) gereği ((P Q) (R S)) bir ikb olur. (k) İkb değil. Kurallar cümle harflerini parantez içine almaya izin vermiyor. (l) İkb değil. Kural (3) her seferinde yalnızca iki cümle harfini birleştirmeye izin veriyor.

5 (m) İkb. P, Q ve R kural (1) gereği birer ikb dir. O halde kural (2) gereği P bir ikb ve kural (3) gereği (Q R) bir ikb olur. Yine kural (3) gereği ( P (Q R)) bir ikb olur. (n) İkb. (m) den P ve (Q R) nin birer ikb olduklarını biliyoruz. O halde kural (3) gereği (P (Q R)) bir ikb ve kural (2) gereği (P (Q R)) bir ikb olur. (o) İkb. P kural (1) gereği bir ikb dir. O halde kural (3) gereği (P P) bir ikb ve buna kural (2) nin iki defa uygulanması ile (P P) bir ikb olur. Cümle harfleri birer atomik ikb dir, diğer bütün ikb ler birer molekül veya bileşik ikb dir. Bir altikb bir ikb nin kendi de bir ikb olan bir kısmıdır. Demek ki (P Q) daki P bir altikb dir ve R ifadesinde R bir altikb dir. Her ikb kendisinin bir altikb si olarak kabul edilir. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.7 Aşağıdaki kanıtlamaları yatay gösterim kullanarak ve belirtilen cümle harflerini kullanarak sembolleştiriniz. Öncülleri ve sonuçları saptamak için çıkarım belirticilerinden faydalanınız. En dış parantezleri dikkate almayınız. (a) Eğer Tanrı varsa hayatın bir anlamı var. Tanrı var. O halde hayatın bir anlamı var. (H, T) (b) Tanrı yok. Çünkü eğer Tanrı varsa hayatın bir anlamı vardır. Oysa hayatın bir anlamı yok. (T, H) (c) Eğer uçak düşmemiş olsaydı onunla daha önce telsiz teması kurabilirdik. Onunla daha önce telsiz teması kuramadık. O halde uçak düşmüştür. (D: düşmüş, T) (d) Bugün Perşembe olmadığı için Cuma olmalı. Çünkü bugün ya Perşembedir veya Cuma. (P, C) (e) Eğer bugün Perşembe ise yarın Cumadır. Eğer yarın Cuma ise yarından sonraki gün Cumartesidir. Sonuç olarak, eğer bugün Perşembe ise yarından sonraki gün Cumartesidir. (P, C 1, C 2 ) (f) Maç, bir hafta sonunda olacak, eğer ve ancak eğer maç ya bir Cumartesi veya bir Pazar günü olacaksa. O halde, maç bir hafta sonunda olacak, zira maç bir Pazar gününde olacak. (H, C, P) (g) Maç bir hafta sonunda olacak eğer maç ya bir Cumartesi veya bir Pazar gününde olacaksa. Fakat maç bir hafta sonunda olmayacak. Dolayısıyla maç bir Cumartesi gününde olmayacak ve maç bir Pazar gününde olmayacak. (H, C, P) (h) Maç bir hafta sonunda olacak ancak eğer maç ya bir Cumartesi veya bir Pazar gününde olacaksa. Maç bir Cumartesi gününde olmayacak. Maç bir Pazar gününde olmayacak. O halde, maç bir hafta sonunda olmayacak. (H, C, P) (i) Bağış teklifinin olduğu zarf postada. Eğer zarf Cumaya kadar bilirkişilerin eline geçerse teklife onay verecekler. O halde, teklife onay verecekler, zira eğer teklif zarfı postada ise, zarf Cumaya kadar ellerine geçecektir. (P, C, O) (j) O ya evde değil veya telefona cevap vermiyor. Fakat eğer evde değilse birileri tarafından kaçırılmıştır. Ve eğer telefona cevap vermiyorsa başka bir tehdit

6 var demektir. O halde, o ya birileri tarafından kaçırılmıştır veya başka bir tehdit altındadır. (E, C, K, T) ÇÖZÜM (a) T H, T H (b) T H, H T (c) D T, T D (d) P C, P C (e) P C 1, C 1 C 2 P C 2 (f) H (C P), P H (g) C P H, H C P (h) H (C P), C P H (i) P, C O, P C O (j) E C, E K, C T K T