Diferansiyel Denklemler

Transkript

1 Difrsil Dklmlr

2

3 Doç. Dr. Slhi MADEN Ord Üivrsisi F dbi Fkülsi Mmik Bölümü DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr Yüksk Mrbd Bzı Özl Difrsil Dklmlr Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlri Forir Srilri Lpl Döüşümü Yömi SEÇKİN F Bilimlri

4 Difrsil Dklmlr Slhi MADEN SEÇKİN F Bilimlri No: ISBN Birii Bskı: Elül Akr Birii Bskı: 8 Sf Tsrımı: Ömr Cd Kpk Tsrımı: İsmil Çm 76 Sf 65 m.. Difrsil Dklmlr. Yüksk Drd Difrsil Dklmlr. Birii Drd Difrsil Dklmlr. Lir Difrsil Dklmlr 5. Dklm Sismlri 6. Toplm Difrsil Dklmlr 7. Forir Srilri 8. Lpl Döüşüm Yömi Sçki Yıılık S. v Ti. A.Ş. B kibı hr ürlü ı hkkı Sçki Yıılık S. v Ti. A.Ş iir. Yıvii zılı izi olmd ıım mçlı oplm bir sfı gçmk lıılr hriç olmk üzr hiçbir şkild kibı ümü v bir kısmı hrhgi bir ormd ımlmz v çoğlılmz. Sış v Dğıım: Mrkz Sğlık Sok. No: Sıhhi / Akr Tl : 5 Fks: 5 7 [email protected] Wb Sisi: Şb Srzbrg Cd. No: /B Sıhhi / Akr Tl: 5 6 [email protected] Sçki Yıılık Srifik No: 6 Şb Akr Adl Srı K-Blok Zmi K Sıhhi / ANKARA Tl: [email protected] Şb Abid-i Hürri Cd. No: 9/A Şişli / İSTANBUL Tl : 77 Fks: 69 [email protected] Bskı: Sözks Mbılık Ti. Ld. Şi. Srifik No: 68 İVOGSAN 57 Sok. M-Si İşmrkzi No: / Yimhll /ANKARA - Tl: 95 Şb Adol Adl Srı C Blok Zmi K No: 9 Krl / İSTANBUL Tl : 6 Fks: 6 [email protected]

5 Ösöz Difrsil Dklmlr üivrsilrimizi birçok birimid bir v iki sömsrlik drslr hlid oklmkdır. Difrsil Dklmlr drslrii dh kol lşılbilmsi içi öd difrsil v igrl hsbı z iki sömsrlik bölümüü oklmş olmsı grkmkdir. B kip dğişik üivrsilrd görv pığım klşık o bş ıllık sür içrisid birçok dğişik kk kllrk olşrdğm v okm çlışığım drs olrıd v blrı gişlmsid olşmkdır. Bgü Difrsil Dklmlr v o glmlrı bş Fizik v Mühdislik olmk üzr pk çok ld grksiim dl ömli bir bilim lı hli glmişir. Üivrsilrimizi birçok fkül v üksk okllrıd liss düzid dğişik isimlr lıd oklmk ol Difrsil Dklmlr drslrii müfrd progrmlrı çrçvsid drs kibı v rdımı drs kibı olrk kllılmk mıl hzırlıl b kip lı bölümd olşmkdır. Dil v rmioloji bkımıd kol okp lşılbilmsi içi ld gl hr ürlü çb v özi gösrm çlışmış olmkl birlik şüphsiz bzı hlrı blbilğii d bş kbl diorm. Siz oklrd glbilk üm olml lşiri v ol gösrii rdımlrıızı bklr kibı bş öğrilr olmk üzr üm okrlr v ğiim misı fdlı olmsıı mi drim. B kibı hzırlbilk bilgi v dim ship olmmd mği gç üm holrım b kibı mmlmsı v bilgisrd zımı sırsıd vdki gi hoşgörü v dsğid dolı şim v çoklrım rdımlrıd dolı Ord Üivrsisi F Edbi Fkülsi Mmik Bölümü öğrim lmlrıd Sı Yrd. Doç. Dr. Erdl ÜNLÜYOL v rı b kibı bsımıı grçklşir Sözks Mbılık Ti. Ld. Şi. çlışlrı iç şkkürlrimi srım. ORDU- Doç. Dr. Slhi MADEN

6

7 Đçidkilr Ösöz... 5 BÖLÜM I BĐRĐNCĐ MERTEBEDEN BĐRĐNCĐ DERECEDEN DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER.. Giriş..... Difrsil Dklmlri Sııfldırılmsı..... Difrsil Dklmlri Çözümü Çözüm Yömlri Dğişklr Arılbil Dklmlr Homoj Dklmlr Homoj Dklm Döüşürülbil Dklmlr Tm Difrsil Dklmlr Đgrso Çrpı Lir Difrsil Dklmlr Dğişk Dğişirm Brolli Difrsil Dklmi Rii Difrsil Dklmi Eğri Aillrii Yörüglr... 8 BÖLÜM II BĐRĐNCĐ MERTEBEDEN YÜKSEK DERECEDEN DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER.. Giriş gör Çözülbil Difrsil Dklmlr... 9 p.. Gör Çözülbil Difrsil Dklmlr Gör Çözülbil Difrsil Dklmlr Clir Difrsil Dklmi Lgrg Dklmi... 7

8 8 Difrsil Dklmlr BÖLÜM III YÜKSEK MERTEBEDEN BAZI ÖZEL DĐFERANSĐYAL DENKLEMLER.. Giriş Bğımsız Dğişki Blmmsı Hli Bğımlı Dğişki Blmmsı Hli... 9 d.. f Difrsil Dklmi... d d.5. g Difrsil Dklmi... 5 d k k.6. d d d F Difrsil Dklmi... 7 k k d d d BÖLÜM IV YÜKSEK MERTEBEDEN LĐNEER DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER.. Giriş..... Doğrsl Lir Bğımsızlık Sbi Ksılı Đkii Trfsız Doğrsl Difrsil Dklmlr Sbi Ksılı Đkii Trflı Doğrsl Difrsil Dklmlr Prmrlri Dğişimi Mod Mrbi Düşürülmsi Mod Ch-Elr Dklmi... 7 BÖLÜM V DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ VE TOPLAM DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER 5.. Giriş Difrsil Dklm Sismlri Lir Difrsil Dklm Sismlri Toplm Difrsil Dklmlr... 6

9 Đçidkilr 9 BÖLÜM VI DĐFERANSĐYEL DENKLEMLERĐN SERĐLERLE ÇÖZÜMÜ 6.. Giriş Tml Kvrmlr Sri Çözümlri Blmsı Blirsiz Ksılr Yömi Frobis Yömi... 9 BÖLÜM VII BESSEL LEGENDRE VE GAUSS DĐFERANSĐYEL DENKLEMLERĐ 7.. Bssl Difrsil Dklmi Lgdr Difrsil Dklmi Gss Difrsil Dklmi... 9 BÖLÜM VIII FOURĐER SERĐLERĐ 8.. Forir Srisii Ksılrıı Blirlmsi Forir Srisi Açılbilm Koşllrı Tk v Çif Foksiolrı Forir Srilri Hrhgi Priodl Foksiolrı Forir Srisi Priodik olm Foksiolrı Forir Srisi... BÖLÜM IX LAPLACE DÖNÜŞÜM YÖNTEMĐ 9.. Lpl Döüşümü Trs Lpl Döüşümü Lpl Döüşümüü Difrsil Dklmlr Uglmsı Kklr Özgçmiş... 76

10

11 .. Giriş BÖLÜM I BĐRĐNCĐ MERTEBEDEN BĐRĐNCĐ DERECEDEN DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER 676 ılıd Libiz rfıd kllılm bşlıl Difrsil Dklm bğımlı dğişk il bir v dh fzl bğımsız dğişk gör b bğımlı dğişki ürvlrii içr bir dklmi ifd mkdir. Doğdki pk çok olı çıklmsıd difrsil dklmlr kllılmkdır. B çıklmk içi bir doğr üzrid zm bğlı olrk f dklmi gör hrk d bir prçığı ıdki hızıı ımlm çlışlım. ıı kılrıd bir zmı lıırs prçığı ldığı ol f f olp b rd gç zm is olkır. B so olrk gç sür içid prçığı orlm hızı f f ]/[ ] [ olkır. Ak bizd b prçığı ıdki hızı isirs b kdird olmk üzr ld dil üm orlm hızlrı ik limii olrk vrs f lim f. zılbilği çıkır. m şklid bir doğr vrildiğid m sısı b doğr ğimi dildiğii biliorz. B ş şkild ormlbiliriz. B doğr grfiği üzrid v gibi iki dğişik ok lıdığıd m m m m α

12 Difrsil Dklmlr ld dilir. Böl m ğimi doğr ksii poziif öül pığı α çısıı jı şi olkır. α Şkil Bir doğr foksio olm foksiolr içi d bzr işlmi pılbilğii blirlim. B içi bzr bir mhkm il m α zılbilir. Diğr rf. bğıısı bkılırs b ürv ımı gör f il vril foksio oksıdki ürvi oldğ çıkır... Difrsil Dklmlri Sııfldırılmsı Tım..: bğımsız dğişki f foksio v bğımlı dğişki v b foksio bğımsız dğişk gör... ürvlri rsıdki hrhgi bir bğıı bir difrsil dklm dı vrilir. Böl bir difrsil dklm v F.... d d d d F... d d d d smbolü il gösrilir.. d çkilbiliors b ri bz

13 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr gösrimi d kllılır. ϕ.... Bir difrsil dklmd bir bğımsız dğişk vrs difrsil dklmdki ürvlr orml di ürv olğıd böl bir dklm di difrsil dklm dir. Biz b kip gl olrk di difrsil dklmlri l lğız. B dl d di sıfıı kllmksızı difrsil dklm dirk söz dğiz. Ö d bğımlı dğişki bird çok bğımsız dğişk gör ürvlrii içr dklmlr d kısmi ürvli difrsil dklmlr dı vrilğii d blirlim. Örği dklmi. ipid bir di difrsil dklmdir. dklmi. ipid bir di difrsil dklm ik d d d dz dklmi is bir kısmi ürvli difrsil dklm olkır. Brd so dklmd z biçimiddir. Tım..: Bir difrsil dklmd bl üksk mrbd ürvi mrbsi o difrsil dklmi mrbsi v bsmğı dı vrilir. Örği dklmi birii mrbd dklmi ikii mrbd bir difrsil dklmdir. B gör birii mrbd bir difrsil dklmi gl şkli F biçimid olkır.

14 Difrsil Dklmlr Tım..: Bir difrsil dklmdki büü ürvlri drlri m hl girildik sor üksk mrbd ürvi drsi o difrsil dklmi drsi dı vrilir. Örği 5 dklmi ikii drd dklmi birii drd bir difrsil dklm v 5 dklmi is üçüü drd bir difrsil dklmdir. Bz difrsil dklmlrd söz dilirk lir doğrsl sıfı d birlik kllılır. Lir difrsil dklmlr ss iibril difrsil dklmlri ömli v sık kllıl kısmıı olşrmkdır. Tım..: Bir difrsil dklmd bğımlı dğişk v ürvlri lız birii drd olp blr dklmd çrpım v rsd foksio biçimid blmors dklm lirdir dir. bğımsız dğişk v bğımlı dğişk olmk üzr. mrbd lir bir difrsil dklm gl şkild... b. biçimid zılbilir.. formd zılm difrsil dklmlr is lir olm difrsil dklm dı vrilir. Örği dklmi. mrbd bir lir difrsil dklm 5 os dklmi 5. mrbd bir lir difrsil dklm olp dklmi is bir lir olm difrsil dklmdir.

15 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5.. Difrsil Dklmlri Çözümü Difrsil dklmlr ilirk çok üzrid drl hss olrı çözümlri kosdr. Bir difrsil dklmi çözümü dimi il ürv hriç bğımlı v bğımsız dğişklri rsıdki ilişkii gösr bir şilik lşılmkdır. Bşk bir ifd il bir difrsil dklmi çözmk dmk ürvlri il birlik difrsil dklmd ri koldğ zm dklmi özdş olrk sğl büü foksiolrı blmsı dmkir. Bir difrsil dklmi çözümlrii hr zm lmr foksiolr il v bili foksiolrı çık bir ifdsi olrk gösrilmsi mümkü olmbilir. Tım..:. mrbd bir F... difrsil dklmii göz öü llım. B kdird ımlı oldğ hr dğişki içi F f f... f d ımlı v F f f... f olk şkild. mrbd ürvlbil bir f foksio blbilirs b foksio difrsil dklmi bir çözümü dı vrilir. Yi v ürvlri ri f foksio v ürvlri zıldığıd vril dklm özdş olrk sğlıors b f foksio difrsil dklmi bir çözümü diğiz. Difrsil dklmlri çözümlri gl özl v kil çözümlr olmk üzr üç ürlüdür. ii mrbd bir F... dklmii gl çözümü sı idirgm kfi prmr içrir. Özl çözümlr is gl çözümd sözü gç prmrlr özl dğrlr vrilrk ld dilir. Ö d bzı difrsil dklmlrd is b dklmi sğl k gl çözümd ld dilm bir v dh fzl çözümü d blbilir. B ip çözümlr is kil v sigülr çözümlr dı vrilmkdir. Özl olrk f.5 bğıısı il ıml bir prmrli düzlm ğri ilsii göz öü llım. B ild prmrsii hr bir dğri içi bir ğri ld dilir. i sbi rk f kplı foksio gör kısmi ürvii lırsk f f.6

16 6 Difrsil Dklmlr ld dilir..5 v.6 dklmlrid prmrsi ok dilirs birii mrbd F biçimid bir difrsil dklm ld dilir. Trsi olrk F difrsil dklmii gl çözümü bir prmrli f ğri ilsi olrk ifd dilbilir. Örği difrsil dklmii göz öü llım. B dklm içi os lıırs si olğıd blr dklmd ri zılırs dklm özdş olrk sğlır. O hld f os foksio b dklmi bir çözümüdür. Aı şkild si lıırs os olp b drmd d i vril dklm sğlır. Dolısıl f si foksio d b dklmi bir çözümü olkır. Ö rf bir sbi olmk üzr si foksio d vril dklmi sğlr. Yi si foksio d dklmi bir çözümüdür. Üslik b foksiod lıırs si v π / lıırs os çözümlri d ld dilir. Dh gl olrk ğr f... foksio sı dh şğı idirgm... gibi kfi prmr içriors i düzlmid prmrli bir ğri ilsi gösriors b kdird vril foksiod. mrb kdr ürvlr rdımıl... prmrlri ok dilbilir. B sod il dhil büü ğrilri ork bldğ gomrik özlliği ifd d. mrbd bir difrsil dklm ld dilmiş olr. Yi f... ğri ilsii sğlğı difrsil dklm olrk F... şklid bir ifd blmş olr. Örk..: difrsil dklmii göz öü llım. B drmd sğlır. Brd foksio içi şiliği foksio vril difrsil dklm içi bir çözümdür. Diğr rf bir kfi prmr olmk üzr. foksio d vril dklmi sğlkır. O hld b foksio vril difrsil dklmi gl çözümüdür.

17 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 Örk..: difrsil dklmii göz öü llım. B drmd dır. Bzr şkild foksio içi foksio içi d şiliği sğlır. O hld hr iki foksio d vril dklmi bir çözümü olkır. Ö rf v kfi iki prmr olmk üzr. v. foksiolrı d vril dklmi sğlkır. O hld b iki foksio oplmı olrk.. foksio ğri ilsi vril difrsil dklmi gl çözümüdür. Örk..: difrsil dklmii l llım. B kdird d d d d d ld dilir. Eşiliği birii rfıd gör v ikii rfıd is gör igrl lıırs b kdird ilsi vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. Örk..: ğri ğri ilsii çözüm olğı difrsil dk- lmi ld dlim. d ld dilir. B şiliklrd birid prmrsi v isid çkilip diğrid ri kolrs isil difrsil dklmi ld dilmiş olr. B drmd d olp b diğr dklmd ri korsk ğri ilsi krşılık gl difrsil dklmi olğı görülür. Örk..5:. os. si ğri ilsii çözüm olğı difrsil dklmi bllım. B kdird os. si si. os... os. si ld dilir. B şiliklrd isil difrsil dklm olrk ld dilir. Örk..6: f il vril ğri ilsii çözüm olğı difrsil dklmi ld dlim. B kdird f f ld dilir.

18 8 Difrsil Dklmlr Örk..7: f..si il vril ğri ilsii çözüm olğı difrsil dklmi bllım. B kdird..si..os..si ld dilir. B üç ifdd v prmrlrii ok mk mümküdür. B içi..si v..si şiliklrd dğrlr / v / si ld dilir. B..os şiliğid ri kop grkli düzlm pılırs r difrsil dklm olrk F si os si si os ld dilir... Çözüm Yömlri B kısımd difrsil dklmlr içi çözüm ömlri vrilkir. Birii mrbd difrsil dklmlri çözümü içi gl bir öm vrilmmkl birlik çşili ip birii mrbd difrsil dklmlr içi bzı özl krllr vrilmişir. B dl bir difrsil dklmi çözbilmk içi ölikl difrsil dklmi hgi ip oldğ bkılmsı v dh sor d o ip g çözüm ömii kllılmsı dh g olkır. Brd çşili ip difrsil dklmlri v çözüm ömlrii dlı bir şkild ilğiz. Birii mrbd bir difrsil dklm gl şkild F v f formd vrilir. Eğr f foksio f P / Q biçimid is b dklm P d Q d.7

19 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 9 şklid d vrilbilir. B kısımd böl bir difrsil dklmi P v Q foksiolrıı özl drmlrı gör kdi rlrıd sııflr ırıp hr bir sııf içi çözüm ömlri or koğız. Eğr f foksio f P / Q şklid is b kdird Q koşl sğl oklrd f sürksiz v P Q koşl sğl oklrd is f blirsizdir dir. f i sürksiz v blirsiz oldğ oklr.7 difrsil dklmii kil oklrı dir.... Dğişklr Arılbil Dklmlr Tım..: Eğr birii mrbd bir difrsil dklm h olmk üzr f g. h.8 biçimid v b dk olrk P d Q d.9 şklid zılbiliors b dklm dğişklr rılbilir difrsil dklm dir. B drmd dklmi çözmk içi rim rim igrl lmk rli olkır. B gör çözüm P d Q d ifdsi il ımlır. Eğr b igrllr çözülbilirs ld dil ğri ilsi dklmi gl çözümü olkır. Aksi kdird dklmi çık bir çözümü vrilmz. Örk..:. os difrsil dklmii çözlim. Vril dklm d. os d. os. d d d os. d şklid d zılbilir ki b dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. Brd rim rim igrl lımk sril dklmi gl çözümü olrk

20 Difrsil Dklmlr d d os. l si ld dilir. Örk..: d d difrsil dklmii çözlim. Söz kos dklmd d d d d ld dilir ki b dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. Brd rim rim igrl lımk sril dklmi gl çözümü olrk d d d d d d d l ld dilir. Örk..: si dklmii çözlim. Söz kos dklmd d d si d si. d ld dilir. Brd rim rim igrl lımk sril dklmi gl çözümü d si. d os olrk blmş olr. Örk..: difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklmd d d d d

21 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr ld dilir ki brd rim rim igrl lımk sril d d olğıd d d d d d d l l l l l ld dilir.... Homoj Dklmlr içi Tım..: f iki dğişkli bir foksio olmk üzr hr f λ λ λ. f λ> zılbiliors b kdird f foksio v dğişklri gör. drd homojdir dir. Örği f foksio içi f λ λ λ λ λ λ λ. f oldğd b foksio. drd homoj bir foksiodr. Tım..: Hrhgi bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid P v Q foksiolrı v dğişklri gör ı drd homoj is b dklm birii mrbd homoj difrsil dklm dı vrilir. B gör ğr P v Q foksiolrı m. drd homoj is m m P λ λ λ P v Q λ λ λ Q

22 Difrsil Dklmlr olğıd b şiliklrd λ / lıırs m m P P v Q Q ld dilir. Brd d P P / Q Q / d b dk olrk g. blr. Böl bir difrsil dklmi çözbilmk içi dğişk dğişimi pılrk dklm dğişklr rılbilir bir difrsil dklm döüşürülbilir. B dğişk dğişimi lıd. difrsil dklmid d d d g g d d d g d l l g d g. ld dilir. Brd g oldğ vrsılmkdır. B so şilik / zılmk sril vril difrsil dklmi v gör gl çözümü blmş olr. Örk..5: d d difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklm içi P v Q olp hr iki foksio d. drd homojdir. Dolısıl vril difrsil dklm dğişk dğişimi pılrk d. d. d olp

23 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr d. d. d v b dk olrk d d. d şklii lır. Grkli sdlşirm pılrk d. d d d gl çözümü ld dilmiş olr. d d l l l l / / Örk..6: d / d difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklmd P v Q foksiolrı / isid ifd dilmiş oldklrıd vril dklm bir homoj difrsil dklm olkır. Dolısıl dğişk dğişimi pılrk d. d. d olp vril difrsil dklm v. d. d d d d d şklii lır. Grkli sdlşirm pılrk d d d d d d

24 Difrsil Dklmlr l l l d l l d d / / d / d gl çözümü ld dilmiş olr. Örk..7: d d difrsil dklmii gl çözümüü bllım. P v Q foksiolrı v gör birii drd homoj foksiolr oldklrıd vril dklm bir homoj difrsil dklm olkır. dğişk dğişimi pıldığıd d. d. d olğıd vril difrsil dklm d. d. d v b dk olrk d d d şklii lır. Grkli sdlşirm pılrk. d. d d d d d gl çözümü ld dilmiş olr. l rsi l rsi

25 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5... Homoj Dklm Döüşürülbil Dklmlr d d b α β γ şklid sbi ksılı bir difrsil dklm il krşılşılırs b drmd. β α.b ifdsii dğri bkılır. B drmd ğr i. β α. b is b kdird b v α β γ şklid ıml doğrlr birbiri prll olkır. Bşk bir dişl α. k v b β. k olrk zılbilir. B kdird b k. α β ld dilir. Brd α β döüşümü pılırs d d d d α β d d α d β d blr. Böl vril difrsil dklm d k. α β d γ d k. β α d γ şkli glir ki b dklm dğişklr rılbil ip bir difrsil dklmdir. B içi is çözüm ömii dh öd vrmişik. ii. β α. b is b kdird X h v Y k dğişk dğişimi il dklm şğıdki gibi homoj difrsil dklm döüşürülrk çözülbilir. X h v Y k d dx v d dy olğıd dklm dy dx X by h bk α X βy αh βk γ d d olrk zılbilir. Brd h bk v αh βk γ olk şkild h v k sbilri blirlbilir.. β α. b oldğd b mümküdür. Böl dklm dy dx X by α X βy dy dx

26 6 Difrsil Dklmlr homoj difrsil dklmi döüşmüş olr. B drmd dh öd vril öml gl çözüm ld dilir. Diğr rf ğr dklm d d b f α β γ biçimid is b drmd i krıdki öm glır. d 5 Örk..8: şklid vril difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklm içi d. β α. b.. olr. B kdird d d d d d d d d döüşümül dklm d 5 d olrk zılbilir. Brd d d d d d d d 5 d d d d d d d 7 d d d d 7 d d 7 l 6 7 l 6 ld dilir.

27 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 d Örk..9: şklid vril difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklm d içi. β α. b.. 5 dır. Dolısıl X h v Y k d dx v d dy döüşümü pılrk dklm d d dy dx dy dx X Y h k X Y h k şklid zılbilir. Brd h v k sbilri h k v h k olk şkild blirlirs h v k blr. Böl dy dx X Y X Y Y X dğişk dği- homoj difrsil dklmi ld dilir. Brd şimil X d dx X X X X X d dx d dx X d d d d dx X dx X r l l X

28 8 Difrsil Dklmlr ld dilir. B kdird X Y v vril dklmi gl çözümü olrk r l v dh sd şkild r l ld dilir..l C C Y olğıd X d Örk..:. difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B d dklm d d. f biçimid d zılbilğid. β α. b.. dır. O hld döüşümül d d d d d d d d d d d d d d d d d d. d. d d d d d

29 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 9 l d l ld dilir. Alışırmlr. Aşğıdki ğri illrii çözüm kbl d difrsil dklmlri blz. b... os.si. d 5 f. Aşğıdki dğişklr rılbilir difrsil dklmlri çözüüz.. b d d d si.os d.os d. π / 6 f d d g d d h l l d d

30 Difrsil Dklmlr. Aşğıd vril homoj difrsil dklmlri çözüüz. Arı homoj olmlrı d homoj hl girrk gl çözümlrii blz. d d b d d d d d d os d f d g d d / / h d d ı d d i d d d j d d k d d l d d m d d 6 o

31 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr ö p r 5 s 6 9 ş ü 5... Tm Difrsil Dklmlr Tım..: Bir difrsil dklm d Q d P. formd zıldığıd U P v U Q. olk şkild düzlmi blli bir B bölgsid ımlı v sürkli ürvlbilir bir U foksio blbilirs b kdird d Q d P difrsil dklmi bir m difrsil dklm dı vrilir. B drmd U foksio is d Q d P difrsil dklmii bir m difrsili v oplm difrsili dir.

32 Difrsil Dklmlr Torm..: P v Q v ürvlri düzlmi blli bir B bölgsid sürkli olmk üzr ğr v kıs P Q P Q. is P d Q d difrsil dklmi bir m difrsil dklmdir. Đsp: B bölgsid sbi bir oksı lırk U P s ds Q d foksio göz öü llım. B şkild ıml U i dğişki gör kısmi ürvi lıırs b kdird U P Q d P P d P P P P ld dilir. Bzr düşül U P s ds Q d il ıml U foksio gör kısmi ürvi lıırs b kdird U P s ds Q

33 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr Q ds s s Q Q Q Q Q ld dilir. O hld d Q d P ifdsi bir m difrsildir. Torm..: Eğr P v Q ürvlri düzlmi blli bir B bölgsid sürkli olmk üzr d Q d P difrsil dklmi m difrsil is Q P şiliği sğlır. Đsp: d Q d P difrsil dklmi m difrsil oldğ-d U P v U Q olk şkild düzlmi blli bir B bölgsid ımlı v sürkli ürvlbilir bir U foksio vrdır. B drmd U P v U Q olkır. Ö rf P v Q foksiolrı sürkli oldğd U U Q P şiliği ld dilir. Soç..: d Q d P difrsil dklmi bir m difrsil dklm v

34 Difrsil Dklmlr U P v Q U olk şkild bir U foksio mv ols. B kdird F foksio vril difrsil dklmi bir çözümü olmsı içi grk v r şr U dklmii sğlmsıdır. Ykrıdki bilgilri ışığı lıd bir difrsil dklmi m difrsil olp olmdığıı lmk içi P Q özdşliğii sğlıp sğlmdığı korol dilir. Eğr b özdşlik sğlıors Torm.. gör dklm m difrsil olkır. O hld b özdşliğ m difrsillik koşl d dir. Ykrıdki soç is bir m difrsil dklmi çözümü hkkıd biz bir fikir vrmkdir. Örk..: os d si d difrsil dklmii çözlim. B dklm içi P os v Q si olğıd P si Q olkır. Yi vril difrsil dklm m difrsildir. O hld dklmi çözümü U biçimid olkır. Ö d U P os şiliğid U os d h os h olp h bilim foksio blmk içi b ifdi dğişki gör kısmi ürvii lrk Q ifdsi şillim. Böl U si h Q si h h k ld dilir. Brd r U foksio

35 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5 U os k olp difrsil dklmi gl çözümü os olrk blmş olr. Örk..: 6 d d şklid vril difrsil dklmii çözlim. B dklm içi P 6 v Q olğıd P 6 Q olkır. Yi vril difrsil dklm m difrsildir. Şimdi dklmi gl çözümüü bllım. B drmd U P 6 şiliğid U 6 d h h olp h i blmk içi b ifdi gör ürvii lıp Q şillim. Böl U h Q h h k ld dilir. Brd U k

36 6 Difrsil Dklmlr olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr. Örk..: d d gl çözümüü bllım. B dklm içi difrsil dklmii P v Q olğıd P Q olp vril difrsil dklm m difrsildir. B drmd U P şiliğid U d h h ld dilir. h bilim ifdsii blmk içi b ifdi gör ürvi lııp Q şilirs U h Q h k h ld dilir. Brd U olp vril difrsil dklmi gl çözümü dklmi il ımlır. k

37 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 Örk..: os d d dklmii gl çözümüü bllım. B dklm içi P os v olr. B drmd P dklm m difrsildir. Dolısıl U P os olğıd U os d h Q Q oldğd vril difrsil d os d h si h ld dilir. B drmd U h Q ld dilir. Brd h h k U si k olp vril difrsil dklmi gl çözümü si şklid blmş olr...5. Đgrso Çrpı Birii mrbd bir difrsil dklmi P Q olmk üzr P d Q d şklid vrildiğii vrslım. B drmd dklm bir m difrsil dklm dğildir. Bir çok df böl bir dklm λ λ gibi bir foksiol çrpılrk dklmi m difrsil hl girilmsi müm-

38 8 Difrsil Dklmlr küdür. B kdird ld dil i dklm il vril dklmi gl çözümlri ı olkır. B şkildki λ λ foksio P d Q d difrsil dklmi içi bir igrso çrpı igrl çrpı dı vrilir. B so olrk [ P d Q d] λ. v b dk olrk [ P ] d [ λ Q ] d λ. ld dilir. B drmd m difrsillik koşl gör [ P ] λ [ Q ] λ.5 zılbilir. Brd λ P P λ λ Q Q λ v dh kıs olrk λ P P. λ λ Q Q. λ. d bşk bir zılışl. λ. P Q λ. Qλ P.6. bğıısı blr. Diğr rf b şr sğlk şkild bir λ λ foksio blmsı problmi bir kısmi difrsil dklm çözm problmidir. B is vril difrsil dklmi çözmk dh d zordr. B dl b kısımd sd bzı özl drmlr içi bir igrso çrpı blrk dklmi gl çözümüü ld m çlışğız. I. λ λ biçimid bir igrso çrpıı blmsı. Birii mr-bd bir difrsil dklm P Q olmk üzr P d Q d

39 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 9 şklid vrildiğid ğr λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks.6 bğıısıd λ olğıd λ. P Q λ Q. λ P Q λ Q dλ P Q λ Q d zılbilir. B drmd ğr b so şiliği ikii rfıdki ifdsi sd bğlı is r igrso çrpı P Q Q P Q d Q λ.7 bğıısı il hsplır. Örk..5: d d il vril difrsil dklmi m difrsil hl girrk gl çözümüü bllım. Vril dklm içi P Q P Q P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q Q oldğd difrsil dklmi sd bğlı igrso çrpı λ PQ d Q d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd d d ld dilir ki b dklmi m difrsil oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz.

40 Difrsil Dklmlr U d h l h ld dilir. Dolısıl U h h h k olp vril dklmi gl çözümü U l olrk blmş olr. Örk..6: d d il vril difrsil dklmi m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. B drmd P Q P Q P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q Q. oldğd difrsil dklmi sd dğişki bğlı igrso çrpı mv olkır. B çrp λ P Q d Q d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ il çrpıldığıd d d [ ] v dh çık şkild d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz.

41 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr U d h d d. d h d d. ld dilir. Dolısıl U. h. h h olp vril dklmi gl çözümü U olrk blmş olr. d h h k II. λ λ biçimid bir igrso çrpı blmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr dklmi λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks b kdird.6 bğıısıd λ olğıd λ P Q λ. P Q λ. P λ P dλ P λ Q d P P Q zılbilir. Brdki so şiliği ikii rfıdki ifdsii P sd dğişki bğlı olmsı drmd r igrso çrpı d P λ.8 bğıısı il hsplır. P Q Örk..7: d d il vril difrsil dklmi m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. B drmd P v Q

42 Difrsil Dklmlr olğıd P v Q v dolısıl P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q P oldğd difrsil dklmi sd dğişki bğlı igrso çrpı λ PQ d P d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd d d d d ld dilir ki b dklmi m difrsil oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz. B drmd U d h U h h h olğıd vril dklmi gl çözümü U l olrk blr. Örk..8: d d d h l k difrsil dklmii m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. B difrsil dklm d d biçimid zılbilğid P Q

43 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr Q P P Q olp dklm bir m difrsil dklm dğildir. Ö rf P Q P oldğd difrsil dklmi sd dğişki bğlı ol igrso çrpı λ PQ d P d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd d d d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz. B drmd U d h h U h h h k olğıd vril dklmi gl çözümü U olrk blr. III. λ λ biçimid igrso çrpıı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr λ λ biçimid sd bğlı bir igrso çrpı mv olks dh ö vril

44 Difrsil Dklmlr λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P... ifdsid λ λ.. λ v λ λ.. λ olğıd λ P Q dλ λ. P Q Q P. λ λ Q P λ P Q d Q P P Q zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki ifdsii sd Q P bğlı olmsı drmd r igrso çrpı bğıısı il hsplır. P Q d QP λ.9 Örk..9: d d il vril difrsil dklmi m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. Vril dklm içi P Q P Q P Q olp b difrsil dklm m difrsil dğildir. Diğr rf P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd çrpı λ d bğlı igrso olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d

45 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5 ld dilir ki b dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h d d h l h ld dilir. Brd U h h h l k olp vril difrsil dklmi gl çözümü U l l olrk blmş olr. Örk..: dklmii m difrsil hl girip gl çözümüü blz. Vril difrsil dklm d d biçimid zılbilğid b difrsil dklm içi P v Q P Q olp rf P Q dir. Yi vril dklm m difrsil dğildir. Diğr P Q Q P 6 6 6

46 6 Difrsil Dklmlr oldğd difrsil dklmi sd çrpı bğlı igrso λ d olrk ld dilir. Böl [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h ld dilir. Brd d d h h U h h h k blr v böl vril difrsil dklmi gl çözümü U şklid ld dilmiş olr. Örk..: d d şklid vril difrsil dklmi bir m difrsil dklm döüşürrk gl çözümüü blz. B drmd

47 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 P Q P Q olp P Q dır. Dolısıl vril difrsil dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd d λ olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm il çrpılmk sril d d v grkli sdlşirmlr pılrk d d bğlı igrso çrpı ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h ld dilir. Brd d d h h U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü U şkliddir.

48 8 Difrsil Dklmlr IV. λ λ biçimid igrso çrpı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks dh ö vril λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P... ifdsid λ λ. λ v λ λ. λ olğıd λ P Q λ. P Q Q P. λ λ Q P dλ P Q d λ Q P P Q zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki ifdsii sd Q P dğişki bğlı olmsı drmd r igrso çrpı bğıısı il hsplır. P Q d QP λ. Örk..: d d dklmii m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. Vril dklm içi P Q P Q P Q olp difrsil dklm m difrsil dğildir. B dl P Q Q P oldğd vril difrsil dklmi sd bğlı ol igrso çrpı λ d dğişki

49 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 9 olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm λ / il çrpıldığıd [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h d d d h l h ld dilir. Brd U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk U l ld dilir. Örk..: d d dklmii m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. Vril dklm içi P Q P Q P Q

50 5 Difrsil Dklmlr olp difrsil dklm m difrsil dğildir. B drmd P Q Q P oldğd vril difrsil dklmi sd bğlı igrso çrpı dğişki λ d λ / il çr- olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm pıldığıd [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h ld dilir. Brd l h U h h l k olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk U l l blmş olr. V. λ λ biçimid igrso çrpı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d

51 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5 şklid vrildiğid ğr λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks dh ö vril λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P... ifdsid λ λ. λ v λ λ. λ olğıd λ. P Q Q P. λ λ λ P Q Q P dλ λ P Q Q P d zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki P Q Q P bğlı olmsı drmd r igrso çrpı P Q ifdsii sd d Q P λ. bğıısı il hsplır. Örk..: d d dklmii m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. Vril difrsil dklm içi P Q P Q P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd igrso çrpı dğişki bğlı ol λ d olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm çrpıldığıd [ d d] / λ il

52 5 Difrsil Dklmlr v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir. B difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ kol görülbilir. Dolısıl b difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h ld dilir. Brd d d h d d h l h U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk U l blr. VI. λ λ biçimid igrso çrpıı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr b difrsil dklmi λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks b kdird dh ö vril λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P...

53 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5 ifdsid λ λ. λ v λ λ. λ olğıd λ P Q λ. P Q Q P. λ λ Q P dλ P Q d λ Q P P Q zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki ifdsii sd Q P bğlı olmsı drmd r igrso çrpı bğıısı il hsplır. P Q d Q P λ. Örk..5: d d difrsil dklmii bir m difrsil dklm hli girrk gl çözümüü blz. Vril difrsil dklm içi P Q P Q P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf olmk üzr P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd çrpı bğlı igrso λ d olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm igrso çrpı il çrpıldığıd λ / [ d d]

54 5 Difrsil Dklmlr v grkli sdlşirmlr pılrk d d d d ld dilir ki b difrsil dklmi m difrsil oldğ çıkır. Brd U d h l h ld dilir. Diğr d h U h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk U l blr. Örk..6: d d dklmii bir m difrsil dklm hli girrk gl çözümüü blz. Vril difrsil dklm içi P Q P Q P Q olp vril difrsil dklm m difrsil dğildir. Ö rf olmk üzr P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd igrso çrpı bğlı λ d

55 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 55 olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir. B difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d U d h d d h r l h ld dilir. Böl U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü U l şklid blmş olr. VI. λ λ biçimid igrso çrpı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr b difrsil dklmi λ λ biçi- mid sd bğlı bir igrso çrpı mv olks dh ö vril λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P...

56 56 Difrsil Dklmlr ifdsid λ λ. λ v λ λ. λ olğıd λ. P Q Q P. λ λ P Q λ Q P dλ λ P Q d Q P P Q zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki ifdsii sd Q P dğişki bğlı olmsı drmd r igrso çrpı bğıısı il hsplır. P Q d Q P λ. Örk..7: d d difrsil dklmii bir m difrsil dklm hli girrk gl çözümüü blz. B drmd P Q P Q P Q olp vril difrsil dklm m difrsil dğildir. Ö rf olmk üzr P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd ol igrso çrpı dğişki bğlı λ d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd

57 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 57 [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir ki b difrsil dklmi m difrsil oldğ çıkır. Brd U d h d d h l h ld dilir. Ö d U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü U l şklid blmş olr. Alışırmlr. Aşğıd vril difrsil dklmlri m difrsil oldklrıı gösrip gl çözümlrii ld diiz. d d b d d d d d d d f d d g os d os dsi d

58 58 Difrsil Dklmlr h l l d l d ı d d. Aşğıd vril difrsil dklmlri m difrsil hl döüşürrk gl çözümlrii ld diiz. d d d b d d d d d d d d d f 8 d 6 d g d d h d d ı d d i d d..6. Lir Difrsil Dklmlr Birii mrbd bir difrsil dklmd v ü çrpımlrı birii drd büük üslri v lir olm diğr kombizolrı blmors böl bir difrsil dklm birii mrbd lir difrsil dklm dı vrilir. B drmd birii mrbd bir lir difrsil dklm. bğıısı gör v dh gl şkild biçimid zılbilir. b. d P Q d P Q.5 d

59 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 59 Lir difrsil dklmlr içi dğişik çözüm ömlri mvr. Brd biz sd igrso çrpı ömii vrrk b öml vril difrsil dklmlri çözğiz. B içi ö vril difrsil dklm.5 biçimid zılır..5 i birii rfıdki ifdd v rimlri bldğ gör b drm söz kos ifdi λ. şklid bir çrpımı ürvil ilgili olbilğii gösrmkdir. Brd dğişki gör ürv lıırs d dλ λ..6 d d ld dilir. Şimdi.5 ifdsii hr iki ıı λ il çrplım. B drmd d λ. λ. P. λ. Q.7 d blr. B so şiliği birii rfıı [ λ.] ifdsii ürvi şklid düşübiliriz. B isi olrk d d dλ d λ. λ. λ. P. d d d şiliğid dλ λ. P d ld dilir ki b difrsil dklm rık dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. B dl b so difrsil dklmi çözümü dλ dλ P d λ λ P d lλ P d lλ P d λ P d olrk ld dilmiş olr. B şkild bl λ ifdsi igrso çrpı dı vrilir. B kdird.5 dklmii hr iki rfı bl b λ igrso çrpı il çrpılırs

60 6 Difrsil Dklmlr P d P d P.. P d Q. v d P d P d Q. d ld dilir. Brd d P d P d Q. d d λ. λ. Q d zılbilir. Böl brd ld dilk ol P d P d Q. d.8 ifdsi vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. Diğr rf.8 şiliğii.5 il vril lir difrsil dklmi gl çözümü olrk hırlmsı d zbrlmsi grk okr. B içi bir lir difrsil dklmi çözmk içi şğıdki sır kip dilbilir. P d i Ö igrso çrpı olrk dğri hsplmlıdır. ii Vril difrsil dklm hspl igrso çrpı il çrpılmlıdır. iii Eld dil şiliği hr iki rfıı igrli lımlıdır. B drmd birii rfı igrlii igrso çrpı il i çrpımı şi olğı dikk dilmlidir. Örk..8: d d difrsil dklmii çözüüz. iv Soç ld dil şilik gör çözülmlidir.

61 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 6 Vril difrsil dklm d d d d d d d gl şkli glir. B drmd P v Q d d olkır. Böl r igrso çrpı d P d l λ şkliddir. Şimdi vril difrsil dklmi d d il çrplım. B gör ld dilir. Brd difrsil dklmi gl çözümü olrk d d d d ld dilmiş olr. d Örk..9: difrsil dklmii çözüüz. Vril difrsil dklm d d biçimid d zılbilir. B drmd P v Q

62 6 Difrsil Dklmlr olkır. Böl r igrso çrpı d P d l l λ olrk blr. Şimdi vril difrsil dklmi gör il çrplım. B v d d d d ld dilir. Brd difrsil dklmi gl çözümü olrk d d.. d.. d ld dilmiş olr. Örk..:.. d. os si. os difrsil dklmii çözüüz. Vril difrsil dklm içi P os v Q si. os olkır. Böl r igrso çrpı λ P d osd si olr. Şimdi vril difrsil dklmi si il çrplım. B gör si d d si os. si os.si ld dilir. Dolısıl difrsil dklmi gl çözümü P d P d Q. d

63 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 6 bğıısıd os d os d si.os. d si si.os. si d si si si si. si şklid ld dilir. Örk..: difrsil dklmii çözüüz. Vril difrsil dklm içi P v Q olkır. Böl r igrso çrpı d P d l λ ld dilir. Dolısıl vril difrsil dklmi gl çözümü P d P d Q. d bğıısıd d d olrk ld dilir. Örk..:. [ ] Vril difrsil dklm içi P v Q [ ] difrsil dklmii çözüüz.

64 6 Difrsil Dklmlr olkır. Böl r igrso çrpı d P d l λ ld dilir. Dolısıl b difrsil dklmi gl çözümü P d P d Q. d bğıısıd. d şklid blmş olr. Örk..: difrsil dklmii koşl sğl çözümüü blz. Vril difrsil dklm şklid zılırs P v Q olkır. Böl r igrso çrpı d P d l λ ld dilir. Dolısıl difrsil dklmi gl çözümü P d P d Q. d bğıısıd. d d [ l ] l

65 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 65 olrk blr. Diğr rf koşl göz öü lıırs olkır. Dolısıl r çözüm l olrk ld dilir. Alışırmlr:. Aşğıd vril difrsil dklmlri çözüüz. b si si l d 6 f 6 os π g ı h si d i d j k d l o m r d si/ o ö p r r s..7. Dğişk Dğişirm Birii mrb birii drd olmsı rğm dh ö vrdiğimiz difrsil dklm ürlrid hiçbiri m dklmlr d mvr. B ip difrsil dklmlri çözbilmk içi dğişklrd birii d hr ikisii d g bir döüşüm rdımıl dğişirmk bz dklmi çözümüü kollşırbilir. B dğişk dğişimi rdımıl çoğ zm vril difrsil dklm bili bir difrsil dklm ipi idirgbilir. Örği homoj difrsil dklmi çö-

66 66 Difrsil Dklmlr zümüd döüşümü pılrk difrsil dklm dğişklr rılbilir bir difrsil dklm ürü döüşür. B ıd bili iplrd hiçbiri idirgm difrsil dklmlr oldğ gibi vril hr difrsil dklm içi g döüşüm formülü blmk d bz mümkü olmbilir. Aslıd döüşüm formüllrii blmsıı blli bir krlı d mv dğildir. B sbpl vril difrsil dklm gör g döüşüm formülü rmk dh g olkır. Örği ğr vril difrsil dklmd d d şklid bir ifd vrs b drmd ri i bir dğişk lmk g düşkir. Y d vril difrsil dklmd d d ifdsi vrs / ri i bir dğişk lbiliriz. Ö d ğr vril difrsil dklmd v ürüd ifdlr vrs g döüşüm r osθ r siθ kpsl koordi döüşümüdür. Şimdi ömi çıklmk mıl P d Q d şklid bir difrsil dklmi vrildiğii vrslım. B difrsil dklm içi G v H v.9 şklid bir dğişk dğişimi formülüü gldığıı vrslım. B kdird d G d G dv d H d H dv. olğıd vril difrsil dklm v P G v H v G d G dv Q G v H v H d H dv şklid zılbilir. Brd grkli düzlm pılrk v P v d Q v dv. ld dilir. Eğr b difrsil dklm bili ip is gl çözümü F v şklid olrk ld dildik sor.9 bğıısıd çözülk ol v v dğrlri b çözümd ri zılrk bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü blmş olr. v v

67 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 67 Örk..: d d çözümüü bllım. B dklmd difrsil dklmii v v döüşümlri pılırs b kdird d d v dv d olğıd vril difrsil dklm vd dv olkır. B is dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. B difrsil dklmi gl çözümü is v olrk bldk sor bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. difrsil dklmii çözümüü bl- Örk..5: lım. B difrsil dklmd döüşümü pılırs b kdird d d d d d d d d olğıd vril difrsil dklm d d d d d d d d r r şklid bir gl çözüm ship olkır. Örk..6: d d difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklmd pılırs b kdird d. d. d. d d. d döüşümlri

68 68 Difrsil Dklmlr olğıd vril difrsil dklm d d d d d d d d d d d d d d d d d d d şkli glir ki b difrsil dklm dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk d ld dilir. d l l l l l Örk..7: d d dklmii çözlim. Brd difrsil dklmi ö [ ] d [ ] d şklid zlım. B şilik v

69 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 69 döüşümlri pılırs b kdird d dv d d d dv d d d v olğıd vril difrsil dklm d dv d d dv dv d v v v d dv v dv d vd d vdv dv vdv dv vd d d vdv d vdv şkli glir. B dklm dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklm gl çözümü d olrk blr. Alışırmlr: vdv l Aşğıd vril difrsil dklmlri çözüüz. v l d d b d d d d d d d 6 d d d f 6 g h ı i d d j d d k 7 d 8 d

70 7 Difrsil Dklmlr..8. Brolli Difrsil Dklmi P v Q foksiolrı bğımsız dğişkii sürkli foksiolrı v olmk üzr d d. P Q şklid zılbil bir difrsil dklm Brolli difrsil dklmi dir. Dikk dilirs Brolli difrsil dklmii bir lir difrsil dklm olmğı çıkır. Ak böl bir difrsil dklmi çözmk içi. dğişk dğişimi pılrk vril difrsil dklm bir lir difrsil dklm döüşürülbilir. B kdird d d d d d d olğıd vril difrsil dklm d d. d P Q d v şiliği hr iki rfı il bölüüp il çrpılrk d P. Q.5 d şklii lır ki b difrsil dklm bir lir difrsil dklmdir. Dh ö vril öml b difrsil dklm çözüldük sor grkli dğişk dğişimi pılrk bşlgıç vril difrsil dklm çözülmüş olr. Böl.8 bğıısı gör P d olkır. P d [ Q. d ] Örk..8: l dklmii gl çözümüü bllım. B dklmi ölikl

71 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 d d l şklid zlım. B kdird d d d d döüşümü pılırs vril difrsil dklm d d d d l l d d l şkli glir. B difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp gl çözümü d l. d d l l olrk blr. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü l olkır. Örk..9: difrsil dklmii çözlim. B kdird d d d d döüşümü pılırs vril difrsil dklm d d d d d d şkli glir. B difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp d d gl çözümü d [. d ] [ ]. d d

72 7 Difrsil Dklmlr olrk blr. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olkır.. Örk..: l difrsil dklmii çözlim. B difrsil dklmi hr iki rfı il bölüürs l ld dilir. B kdird d d d d d d döüşümü pılırs vril difrsil dklm d l d d d l şkli glir. B difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp gl çözümü d l. d d d d l l d l olkır. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü l olrk blmş olr. Örk..: difrsil dklmii çözlim. B dklmi hr iki rfı il bölüürs ld dilir. B kdird d d d d d d d d

73 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 döüşümü pılırs vril difrsil dklm d d d d şkli glir. B difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp gl çözümü d. d d d olr. B kdird bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olrk ld dilmiş olr. Alışırmlr: Aşğıd vril difrsil dklmlri çözüüz. 6 b d d d d d d d f g ı h i j k 5 os si l 5 m os..9. Rii Difrsil Dklmi P Q v R foksiolrı dğişkii sürkli foksiolrı v R olmk üzr d P Q R d.6 şklid zılbil bir difrsil dklm Rii difrsil dklmi dir. B ip bir difrsil dklmi bzı özl drmlr dışıd çözmk

74 7 Difrsil Dklmlr oldkç zordr. Ak b difrsil dklmi bir v dh fzl özl çözümü biliiors b drmd gl çözümü blbilir. Şimdi b drmlrı rı rı illim. I. Eğr.6 şklid vril bir Rii difrsil dklmii gibi bir özl çözümü biliiors b drmd döüşümü il vril difrsil dklm v dğişklri gör bir lir difrsil dklm döüşürülür. B gör olp b dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs.. R Q P v dh çık olrk Q P P R Q P.7 ld dilir. Diğr rf vril difrsil dklmi bir özl çözümü oldğd R Q P olkır. B kdird.7 ifdsi Q P P v [ ] P Q P difrsil dklmi idirgmiş olr. B difrsil dklm is v dğişklri gör bir lir difrsil dklmdir. B difrsil

75 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 75 dklmd ld dilk ol F G çözümü / ifdsid ri zılmk sril bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü ld dilmiş olr. Örk..: difrsil dklmii bir özl çözümü oldğ gör gl çözümüü bllım. B drmd ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd ri zılırs b kdird difrsil dklm şkli glir. B difrsil dklm is bir lir difrsil dklm olp gl çözümüü d d d. olğı görülbilir. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olkır.

76 76 Difrsil Dklmlr Örk..: difrsil dklmii bir özl çözümü oldğ gör gl çözümüü bllım. Ölikl vril difrsil dklmi şklid zlım. B drmd ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd ri zılırs b kdird difrsil dklm şkli glir. B difrsil dklm is bir lir difrsil dklm olp b gl çözümüü olğı görülbilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olkır.

77 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 77 Örk..: difrsil dklmii bir özl çözümü biçimid oldğ gör gl çözümüü bllım. olğıd b dğrlr vril difrsil dklmd ri zılırs şiliğid oldğ görülür. Böl r özl çözüm olkır. B drmd ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd ri zılırs b kdird difrsil dklm şkli glir. B difrsil dklmi gl çözümüü olğı görülbilir. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. II. Eğr bir Rii difrsil dklmii v gibi iki özl çözümü biliiors b kdird gl çözümü ş şkild blbilir. v foksiolrı R Q P

78 78 Difrsil Dklmlr Rii dklmii iki özl çözümü oldğ gör R Q P R Q P olkır. Brd bsi bir işlml Q P Q P şiliklri ld dilir. B iki dklmd biriisii il v ikiisii is il bölrsk b kdird Q P Q P dklmlri ld dilir. Böl P zılbilir. B ifdd rim rim igrl lıırs d P l l v b dk olrk d P l.8 ld dilir. Brd blk ol bşlgıç vril Rii difrsil dklmii gl çözümü olkır. Örk..5: Rii difrsil dklmii k şklid bir özl çözümüü blrk gl çözümüü ld diiz. k k

79 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 79 olğıd b dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılrk k k k k k oldğ görülür. Böl difrsil dklmi iki özl çözümü blmş olr. Blr v olkır. B drmd.8 bğıısı gör difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. Brd l P d l d l d l l ld dilir. Brd l C lıbilir. Böl gl çözüm l l C l l C. C. şklid d zılbilir. III. Eğr bir Rii difrsil dklmii v gibi üç özl çözümü biliiors b kdird difrsil dklmi gl çözümüü ş şkild kol blbiliriz. / döüşümüü vril difrsil dklmi v dğişklri gör bir lir difrsil dklm döüşürğii dh öd ifd mişik. Brd / zılbilir. B drmd v özl çözümlri krşılık gl lir difrsil dklmi iki özl çözümü sırsıl / v / olkır. Diğr rf iki özl çözümü bili b lir difrsil dklmi gl çözümü

80 8 Difrsil Dklmlr şklid zılbilir. Dolısıl Rii dklmii gl çözümü v..9 olkır. Örk..6: Üç özl çözümü v / şklid vril bir Rii difrsil dklmii gl çözümü. / /. olkır. IV. Eğr bir Rii difrsil dklmii v gibi dör özl çözümü biliiors b dör özl çözüm içi.. bğıısı sğlır. B drm krıd vril.9 bğıısıd ri lırk kollıkl ld dilbilir. Alışırmlr: Aşğıdki Rii difrsil dklmlrii lrıd vril özl çözümlrii kllrk gl çözümlrii blz. b

81 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 8 d f / g h ı. i j k l k. m difrsil dklmii k. formd bir özl çözümüü blrk koşl sğl çözümüü ld diiz.... Eğri Aillrii Yörüglr Đki ğri rsıdki çı b iki ğrii ksişm oklrıd hr iki ğri çizil ğlr rsıdki çı olrk ımlır. Eğr b çıı ölçüsü 9 dr is b iki ğri birbiri dikir v orogoldir dir. θ

82 8 Difrsil Dklmlr B bölümü bşıd F şklidki birii mrb birii drd bir difrsil dklmi çözümüü f şklid bir ğri ilsi olğıı v rsi olrk koordi düzlmid bir sbi bğlı olrk vril hr bir ğri ilsi bir difrsil dklmi krşılık girilbilğii ifd mişik. Şimdi düzlmd f v g şklid iki ğri ilsi göz öü llım. Eğr birii ğri ilsii hr bir lmı ikii ğri ilsii hr bir lmıı sbi bir çı lıd ksiors b iki ğri ilsi birbirii örüglri dı vrilir. B drmd çıı dik çı olmsı drmd örüglr dik örüglr v ksi kdird ğik örüglr dı vrilmkdir. Örği mrkzi orijid bl çmbr illrii dik örüglri orijid gç doğr illridir. B kısımd ö f şklid vril bir ğri ilsii ğik örüglrii ld dilmsii ilğiz v dh sor d dik örüglrd söz dğiz. B içi α f ilsii P oksıd gç lmıı ğii ksi il pığı çı v β is g ilsii P oksıd gç lmıı ğii ksi il pığı çı ols. Brd α β θ olkır. B kdird β θ α β θ β.θ zılbilir. θ m dilim. f ilsii P dki ğimi α i birii ili difrsil dklmidki dğridir. β

83 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 8 is g il-sii difrsil dklmidki dğri olkır. O hld f ğri il-sii difrsil dklmi F α is b kdird g ilsii difrsil dklmi β θ m F i F β.θ m olkır. B gör vril bir ğri ilsii θ çılı örügsii blmk içi ölikl vril ğri ilsi krşılık gl difrsil dklmi ld mliiz. Dh sor b difrsil dklmd gördüğümüz r m / m zmk sril ld dil i difrsil dklmi gl çözümüü blmlıız. θ β α Özl olrk dik örüglri ismsi drmd is θ π / olğıd vril ğri ilsii difrsil dklmid gördüğümüz r / zılrk ld dil difrsil dklmi gl çözümüü blmk rli olkır. Şimdi bzı örklri göz öü llım. Örk..7: bllım. B kdird.. ğri ilsii. o θ 5 drlik örüglrii difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmd /

84 8 Difrsil Dklmlr dğişirmsi pılrk d d difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. Brd d d d ld dilmiş olr. d d d d d C l C o Örk..8:. ğri ilsii θ drlik örüglrii bllım. B kdird difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmd o dğişirmsi pılrk o / / / / d d

85 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 85 homoj difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. d d d d dğişk dğişimi pılırs dklmi gl çözümü d d d d d d d d r l d l C olrk blr. Örk..9: ğri ilsii drlik örüglrii dklmii bllım. B kdird o θ 5 ld dilir. B difrsil dklmd / dğişirmsi pılrk homoj difrsil dklmi ld dilir. Brd

86 86 Difrsil Dklmlr d d d d dğişk dğişimi pılırs b difrsil dklmi gl çözümü d d d d d d d d r l d l l C olrk blr. r l C l Örk..5: ğri ilsii dik örüglrii dklmii bllım. B kdird b ğri ilsi krşılık gl difrsil dklm olkır. B difrsil dklmd / dğişirmsi pılrk / ğri ilsi ld dilir. d d d d C C C Örk..5: ğri ilsii dik örüglrii dklmii bllım. B kdird b ğri ilsi krşılık gl difrsil dklm

87 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 87 olkır. B difrsil dklmd / d d d / dğişirmsi pılrk d l C l l l C C / ğri ilsi ld dilir. B örüglri bir görüümü şğıdki şkild vrilmkdir. Örk..5. çmbr ğri ilsii dik örüglrii blz. Vril ğri ilsii difrsil dklmii bllım. olp b dğr vril ğri ilsid ri zılırs r difrsil dklm olrk ld dilir. B difrsil dklmd ri / zılırs b kdird r ğri ilsii difrsil dklmi

88 88 Difrsil Dklmlr olrk blmş olr. B difrsil dklm homoj bir difrsil dklm olp dğişk dğişimi rdımıl gl çözümü blbilir. B drmd gl çözümü hld r dik örüglr Örk..5. k şklid olğı görülbilir. O k şklidki çmbr ğri ilsidir. ğri ilsii dik örüglrii blz. Vril ğri ilsii difrsil dklmii bllım. olp b dğr vril ğri ilsid ri zılırs r difrsil dklm olrk ld dilir. B difrsil dklmd ri / zılırs r ğri ilsii difrsil dklmi d d olrk blmş olr. B difrsil dklm dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklm olp çözümü k şklid olğı görülbilir. O hld r dik örüglr ğri ilsidir. k şklidki Örk..5. doğr ilsii θ 5 o lik ğik örüglrii dklmii blz. B drmd oldğd vril doğr ilsi krşılık gl difrsil dklm biçimid dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. o 5 B difrsil dklmd ri zılrk o. 5

89 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 89 ld dilir. B difrsil dklm is bir homoj difrsil dklmdir. dğişk dğişimi pılrk b difrsil dklmi gl çözümüü r / k. biçimid oldğ görülbilir. Böl r ğri ilsi blmş olr. Alışırmlr: Aşğıd vril ğri illrii lrıd vril çılr lıdki örüglrii blz. o θ 5 b o θ 9 o θ 5 d θ 5 o f o θ 9 o θ 9 g o o θ 5 h. si θ 9 ı j l o θ i o θ k o θ 6 o θ 6 o θ 5 m o θ 9 θ 9 o

90

91 .. Giriş BÖLÜM II BĐRĐNCĐ MERTEBEDEN YÜKSEK DERECEDEN DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER Birii bölümd F şklidki birii mrb birii drd bir difrsil dklmi gl çözümüü f şklid bir ğri ilsi olğıı v rsi olrk koordi düzlmid bir sbi bğlı olrk vril f biçimidki hr bir ğri ilsi F formd bir difrsil dklmi krşılık girilbilğii ifd mişik. F biçimid sd v bğlı ol bir difrsil dklm birii mrbddir dmişik v dklmi gör birii drd oldğ kbl mişik. Eğr F ifdsi gör. drd is b kdird dklm birii mrbd. drddir dir. Böl bir difrsil dklm gl olrk olmk üzr d p. d p Q p Q p... Q p Q. şklid gösrilbilir. Örği p p difrsil dklmi birii mrb ikii drd bir dklmdir. Bzr şkild 5 p p p p dklmi birii mrb bşii drd bir difrsil dklmdir. Birii mrb üksk drd bir difrsil dklm şğıd vril ömlrd biri il çözülbilir. B ömlri hr birid problm bird fzl birii mrb v birii drd difrsil dklmi çözülrk çözümlri birlşirilmsi grçği dmkdır.

92 9 Difrsil Dklmlr.. p gör Çözülbil Difrsil Dklmlr p i bir poliom olrk göz öü lı. dklmii p F p F... p F. şklid çrplrı rılbildiğii vrslım. Brd F i... foksiolrı v dğişklrii foksiolrı olkır. B drmd. dki çrplrd hr birisi sıfır şilrk birii mrbd birii drd difrsil dklm ld dilir. B kdird d F d d F F. d d d dklmlrii çözümlri sırsıl f f f.5 şklid blbilir. Böl. il vril difrsil dklmii gl çözümü b çözümlri çrpımı olrk biçimid olkır. f. f... f.6 Örk..: p p difrsil dklm p p p p biçimid d zılbilir. Brd d d p d d d p d d d difrsil dklmii çözlim. B d d [ d ] d d i

93 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 9 [ ] ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk. blr. Örk..: p p p difrsil dklmii çözlim. B drmd p p p p p p zılbilir. Dolısıl d p d d d d d d p d d d d d d p d d d d d

94 9 Difrsil Dklmlr ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü.. biçimid blr. Örk..: p p 6 difrsil dklmii çözlim. Vril difrsil dklmi 6 p p p p zılbilir. Dolısıl p p d d d d d d l l l d d d d d d l l l ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blr.. Örk..: p 6 p difrsil dklmii çözlim. B drmd p 6 p p p ld dilir. Dolısıl

95 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 95 p p d d d d d d d p d d d d d ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. Örk..5: p p p difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B drmd p p p p p zılbilir. Brd d p d d d d d d p d d d d d l

96 96 Difrsil Dklmlr ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr. l Örk..6: p p difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklmi p p p p biçimid çrplrı ırdığımızd birii mrb birii drd iki difrsil dklmi çrpımı olrk zmış olrz.. Brd birii çrpd d d p d d şklid bir lir difrsil dklm ld dilir. B difrsil dklmi çözümü ld dilir. Đkii çrpd is p d d gl çözümü ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr... Gör Çözülbil Difrsil Dklmlr p i bir poliom olrk göz öü lı. dklmii. şklid çrplrı rışımıı blmk bz oldkç güç h imksız olbilir. B drmd dklmi dğişki gör v dğişki gör çözüp b gör işlm pılır. Şimdi F difrsil

97 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 97 dklmii dğişki gör çözülbildiğii vrslım. p lıırs difrsil dklm f p şklii lkır. Brd dğişki gör ürv lırk d d zılbilir. B is df df dp dp p G p.7 d dp d d p i foksio v i d dğişk lrk birii mrb v birii drd bir difrsil dklm döüşmkdir. B difrsil dklmi çözümü blrk b çözüm v f p dklmi rsıd p ok dilmk sril vril F difrsil dklmii gl çözümü blmş olr. Eğr b difrsil dklmlrd p i ok mk mümkü dğils b kdird difrsil dklmi p p şklid prmrik çözümlri vrilbilir. Örk..: p p difrsil dklmii çözlim. B drmd p olp vril difrsil dklmi p il bölmk sril p p p p zılbilir. Brd dğişki gör ürv lırk d d p p dp d p zılbilir. B drmd dp. d p p dp p p d dp d dp p p d p dp dp dp d p d p p d p p dp p d l l p l l. p p dp ld dilir. Diğr rf ifdsi rimi içrmdiğid b d ifd dikk lımbilir. Böl p / olp b vril difrsil dklmd ri zılırs difrsil dklmi gl çözümü olrk

98 98 Difrsil Dklmlr / blmş olr. Örk..: p p difrsil dklmii çözlim. B drmd p p p p zılbilir. Brd dğişki gör ürv lırk d d p p p p p dp d p p p p p dp d p p dp d d d dp p p dp dp dp p p p zılbilir. B drmd dp dp dp p p p d l l p l p l p l l p p p p

99 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 99 ld dilir. B dğr vril difrsil dklmd ri zılırs p p blr. Böl p v p p p p p p şiliklri rsıd p ok dilrk difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr. Örk..: p difrsil dklmii gl çözümüü p bllım. Brd dğişki gör ürv lırk d p p d dp d dp p d ld dilir ki b bir lir difrsil dklmdir. B difrsil dklm çözülürs p d blr. B drmd vril difrsil dklmi gl çözümü olrk ld dilmiş olr. p Örk..: 6 p p difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B drmd vril difrsil dklmi p6 p

100 Difrsil Dklmlr biçimid zbiliriz. Brd dğişki gör ürv lırk p dp p d p p p p p p dp d dp p d dp d dp ld dilir. B drmd p v p olmlıdır. d dp p ifdsi ürvii bldrmdığı içi dikk lım- d bilir. Diğr rf dp dp d p p C d p ld dilir. p içi bl b dğr vril difrsil dklmd ri zılırs 6 C C 6 C C ld dilmiş olr. Örk..5: p p difrsil dklmii çözlim. Vril di- frsil dklmi ölikl p biçimid zlım. Brd p dğişki gör ürv lırk d d dp dp dp p p p p p p d d d p p dp d p d dp p p p p

101 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr ld dilir ki b bir lir difrsil dklmdir. B ölikl dklm çözülürs p l p p p p p v b dk olrk p l p p p p ld dilmiş olr... Gör Çözülbil Difrsil Dklmlr F difrsil dklmii dğişki gör çözülbildiğii vrslım. B drmd foksio v d dğişk olrk göz öü lıırs dklm f p şklii lkır. B ifdd gör ürv lırk d d df df dp dp G p.8 p d dp d d zılbilir. B difrsil dklmi gl çözümü bldk sor b çözüm v f p dklmi rsıd p ok dilmk sril bşlgıç vrilmiş ol difrsil dklmii gl çözümü blmş olr. Eğr b dklmlrd p i ok mk mümkü dğils b kdird difrsil dklmi p p şklid prmrik çözümlri vrilbilir. Örk..: p p difrsil dklmii çözlim. B drmd p p zılbilir. Brd dğişki gör ürv lırk p p d dp p d p p p d p dp d

102 Difrsil Dklmlr dp dp p p p d p d dp p p d p zılbilir. B drmd dp p d p p dp d p dp d p dp d l p l p l l p blr. p ifdsi dp / d rimi içrmdiğid dikk lımbilir. Böl p / olp b vril difrsil dklmd ri zılırs difrsil dklmi gl çözümü olrk ld dilir. Örk..: p p difrsil dklmii çözlim. B drmd p p p zılbilir. Brd dğişki gör ürv lırk p d d p p dp p 5 d p p dp d p 5 p p p dp d

103 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr p 5 p p 5 p p dp d p 5 p zılbilir. B drmd p dp d dp d dp d dp l p d p p v dolısıl p. p. v p p p p p. p p. p difrsil dklmi prmrik çözümlri olkır. Ö rf p 5 p p 5 p p 5 olp b vril difrsil dklmd ri zrsk 5 p p 5 v p 5 p p difrsil dklmi özl çözümlrii prmrik biçimidir..5. Clir Difrsil Dklmi Eğr birii mrbd bir difrsil dklm d p olmk üzr d p ϕ p.9 biçimid zılbiliors b difrsil dklm Clir difrsil dklmi dı vrilir. B ip bir difrsil dklmi çözbilmk içi şiliği hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs d dp dp dp p p ϕ p [ ϕ p]. d d d d ld dilir. B drmd

104 Difrsil Dklmlr dp i dp p ld dilir. p i b dğri vril difrsil dklmd ri zılırs b kdird ϕ d biçimid gl çözüm ilsi ld dilir. B bir doğr ilsidir. ii ϕ p ϕ p dir. i b dğri difrsil dklmd ri zılrk p. ϕ p ϕ p ld dilir. B drmd p. ϕ p ϕ p v ϕ p şiliklri rsıd p i ok dilmsi hlid kfi sbi içrm bir çözüm ld dilmiş olr ki b çözüm gllikl krıdki gl çözümd ld dilmz. B dl b çözüm kırısigülr çözüm d dir. Örk.5.: p p Clir difrsil dklmii çözlim. Vril difrsil dklmi hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs d d p p dp d p dp p d ld dilir. B kdird dp d dp i d difrsil dklmi gl çözümü olkır. ii dp p ld dilir. B is vril p p ld dilir. B ifd vril difrsil dklmd ri zılırs p v p p p p p blr. p şiliklri rsıd p ok dilirs p sigülr çözümü blmş olr. Örk.5.: p Clir difrsil dklmii çözlim. p Vril difrsil dklmi hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs

105 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 5 d d p p dp d p dp d dp p d ld dilir. B kdird i dp dp p ld dilir. d ii ld dilir. B ifd vril difrsil p p dklmd ri zılırs p p blr. B d- p p p p rmd v p şiliklri rsıd p ok dilrk p p / sigülr çözümü blr. Örk.5.: p p p Clir difrsil dklmii çözlim. Vril difrsil dklmi hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs d d p p dp d p dp [ p] d ld dilir. B kdird i dp d dp d dp p ld dilir. ii p p ld dilir. B ifd vril difrsil dklmd ri zılırs drmd p v p p p p p p blr. B şiliklri rsıd p ok dilrk

106 6 Difrsil Dklmlr p sigülr çözümü ld dilir. Örk.5.: p p Clir difrsil dklmii çözlim. Vril difrsil dklmi hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs d d p p dp d p p dp d p p ld dilir. B kdird dp d i ii dp d dp p ld dilir. p p p p ld dilir. B ifd vril difrsil dklmd ri zılırs blr. B drmd p p p p p p şiliklri rsıd p p p ok dilmk sril sigülr çözümü ld dilir. Örk.5.5: p p l p Clir difrsil dklmii çözlim. Vril difrsil dklmi hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs d dp p dp p p p dp d d p d p d ld dilir. B kdird

107 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 7 dp i dp p l olp b vril difrsil dklmi gl çözümüü d olşrr. ii p p ld dilir. B ifd vril difrsil p p dklmd ri zılırs B drmd p d p p p p l p p l p blr. p p çkilip p l p d ri zılırs l kırı çözümü ld dilmiş olr. Örk.5.6: p p Clir difrsil dklmii çözlim. Vril difrsil dklmi hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs d dp p p p d d dp p d ld dilir. B kdird i dp d dp p ld dilir. ii p p ld dilir. B ifd vril difrsil dklmd ri zılırs p p p p p şiliklri rsıd p ok dilrk sigülr çözümü ld dilir.. blr. B drmd p v.6. Lgrg Dklmi Eğr birii mrbd bir difrsil dklm d p olmk üzr d ψ p ϕ p.

108 8 Difrsil Dklmlr biçimid zılbiliors b dklm Lgrg difrsil dklmi dı vrilir. B gör Lgrg difrsil dklmid ψ p p özl drm içi Clir difrsil dklmi ild dilir. B ip bir difrsil dklmi çözbilmk içi şiliği hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs d d dp [ ψ p p ] d p ψ p ϕ ld dilir. B drmd dp. [ p ψ p ] [ ψ p ϕ p ] d dp i p ψ p dp p ld dilir. p i b d dğri vril difrsil dklmd ri zılırs b kdird ψ ϕ biçimid bir çözüm ld dilir. B bir kırı çözümdür. ii pψ p. bğıısıd d dp [ ψ p p] ψ p ϕ p d dp ψ p ϕ p [ ψ p p] [ ψ p p] ld dilir ki b ifd gör zılmış birii mrbd bir lir difrsil dklmdir. B difrsil dklmi gl çözümü g p biçimid bldk sor bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü g p ψ p ϕ p şklid blmş olr. Örk.6.: p p Lgrg difrsil dklmii çözlim. Vril difrsil dklmi hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs d d dp dp dp p p p p p d d d ld dilir. B kdird i p p ld dilir. ii p ols. B drmd

109 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 9 d d p p dp dp p lir difrsil dklmi ld dilir. Brd vril difrsil dklmi gl çözümü olrk dp dp p p. dp pdp p p p p p p ld dilir. B ifd vril difrsil dklmd ri zılırs p p p p p p p p ld dilmiş olr. Böl vril difrsil dklmi çözümüü prmrik ifdlri p p v p p olkır. Örk.6.: p p p p Lgrg difrsil dklmii çözlim. Vril difrsil dklmi hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs d d p p p p dp d dp p p [ p p ] d ld dilir. B kdird dilir. p i p p p v p v ld dp d ii p p ols. B drmd difrsil dklmi hr iki rfıı p p il bölr v grkli düzlmi prsk

110 Difrsil Dklmlr d dp p p lir difrsil dklmi ld dilir. Brd b difrsil dklmi gl çözümü olrk dp dp p p dp p p p p dp p ld dilir. B ifd vril difrsil dklmd ri zılırs p p p p p ld dilmiş olr. Böl difrsil dklmi çözümüü prmrik ifdlri p v p p şklid olkır. Örk.6.: p Ö vril difrsil dklmi rfıı gör ürvi lıırs p Lgrg difrsil dklmii çözlim. p p biçimid zrk hr iki d dp dp p p p dp p p d d d d ld dilir. B kdird i p p ld dilir. ii p ols. B drmd dp p p d p p dp d d dp p p ld dilir ki b difrsil dklm p dğişk v foksio olmk üzr bir lir difrsil dklmdir. B difrsil dklmi gl çözümü olrk

111 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr dp dp p p p. dp p p p p 5 pdp p 5 p p ld dilir. Böl vril difrsil dklmi çözümüü prmrik ifdlri p 5 p v 8 5 p p olkır. Örk.6.: p Lgrg difrsil dklmii çözlim. p Vril difrsil dklmi hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs d d p p dp p d p dp d dp p p p p d p p p p dp d şiliği ld dilir. B kdird i p p p v p v oldğ görülür. dp ii p p ols. B drmd p p p şiliğii hr iki rfı p p il bölümk sril p d p p dp d p p d dp p p p

112 Difrsil Dklmlr ld dilir ki b difrsil dklm d i p dğişk v foksio olmk üzr bir lir difrsil dklmdir. B difrsil dklmi gl çözümü olrk dp dp p p dp p p p l p l dp p p p dp p p p dp p p p p p p ld dilir. Böl vril difrsil dklmi çözümüü prmrik ifdlri p p p v p p olkır. Alışırmlr: Aşğıdki difrsil dklmlri çözüüz. p p b p p p p d p p p p 6 f p p g p p h p p ı p si p i p p j p p l p k p p

113 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr l p p / p m p p p / p p o p 7 p p p s p p r p si p os p p p si p os p

114

115 .. Giriş BÖLÜM III YÜKSEK MERTEBEDEN BAZI ÖZEL DĐFERANSĐYAL DENKLEMLER B v bd sorki bölümd gl şklil F.... biçimidki difrsil dklmlri l lğız. B difrsil dklmlri gl bir çözüm ömi blmmkl birlik bzı özl drmlr içi çözüm ömlri vrilbilir. Dklmi üksk mrbd bir lir difrsil dklm olmsı drm bir sorki bölümd dlı bir şkild l lğız. B bölümd sd bzı özl ip difrsil dklmlri ilğiz. B ip difrsil dklmlri çözümlmsid ömli ömlrd birisi mrbi düşürülmsi moddr. B öml üksk mrbli bzı özl sııf difrsil dklmlrd dğişk döüşümü pılmk sril difrsil dklm dh düşük mrbd dklmlr idirgbilir. Örği ikii mrbd bir difrsil dklmi mrbsi dğişk dğişimi pılrk bir kz düşürülürs birii mrbd bir difrsil dklm ld dilir. Birii mrbd difrsil dklmlr içi vril molrl b i difrsil dklm çözüldük sor bşlgıç vril difrsil dklmi çözümü bir rs döüşüm rdımıl ld dilbilir. B bölümd ss olrk ikii mrbd bir difrsil dklm dğişk dğişimi glrk difrsil dklmi birii mrb idirgrk çözümlr ld m çlışğız. B içi bzı özl difrsil dklmlr l lğız... Bğımsız Dğişki Blmmsı Hli Bğımsız dğişki blmmsı drmd. difrsil dklmi F.... şklii lkır. B drmd p lırk

116 6 Difrsil Dklmlr d d dp dp d dp p d d d d d d d d d dp dp d p p p p d d d d d ld dilir. B şkild dvm dilirs. difrsil dklmi F p p p... p. şklid zılır. Böl vril difrsil dklmi mrbsi bir düşürülmüş olr. Eğr. il vril difrsil dklmi gl çözümü p f... olrk blbilirs b kdird f... dklmii d igrli lırk vril difrsil dklmi gl çözümü blmş olr. Örk..: difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B drmd p v dp p d olğıd vril difrsil dklmd dp p p d ld dilir. Böl i p ii p dp d p d d C d dp p dp d p d p d d d d gl çözümü ld dilmiş olr.

117 . Bölüm: Yüksk Mrbd Bzı Özl Difrsil Dklmlr 7 difrsil dklmii çözlim. B drmd Örk..: p v dp p d olğıd vril difrsil dklm dp p p p d şklii lır. Brd d i p p p p d C v C d v d ii p p is vril difrsil dklmd dp d dp d C p p p d d C C d d gl çözümü ld dilir. C. C l C Örk..: difrsil dklmii çözlim. B drmd p v dp p d olğıd vril difrsil dklm dp p p d şklii lır. Brd

118 8 Difrsil Dklmlr d i p d C ii p is vril difrsil dklm dp p dp d d p biçimid dğişklr rılbil ip bir difrsil dklm döüşür. Brd d igrllr lımk sril d p C C d Cd d gl çözümü ld dilir. C C. Örk..: difrsil dklmii çözlim. B drmd p v dp p d olğıd vril difrsil dklm dp p p d p v b dk olrk dp p p d şklii lır. B difrsil dklm bir Brolli difrsil dklmidir. Brd p p dğişk dğişimi pılırs d d doğrsl difrsil dklmi ld dilir. Dh ö vril molrl b difrsil dklm çözülürs gl çözümüü biçimid ol- ğı görülbilir. p oldğ dikk lıırs

119 . Bölüm: Yüksk Mrbd Bzı Özl Difrsil Dklmlr 9 p p d d d d zılbilir. Böl vril dklmi gl çözümü olrk k l ld dilir... Bğımlı Dğişki Blmmsı Hli Bğımlı dğişki blmmsı drmd. difrsil dklmi F.... şklii lkır. B drmd dklmdki küçük mrbd ürv bir dğişk rk difrsil dklmi mrbsi bir düşürülmüş olr. B içi d lırk d d d d d d d d d d d... d d olp blr difrsil dklmd ri zılrk vril difrsil dklm F....5 biçimi girilmiş olr. B difrsil dklm is il dğişki rsıd bir difrsil dklm olp mrb bir düşürülmüş olr. Bl ilgili olrk şğıdki örklri illim. Örk..: difrsil dklmii çözlim. B drmd lıırs difrsil dklm d d dklmi idirgmiş olr. Şimdi b difrsil dklmi çözümüü bllım. olmsı drmd d d l l C l C

120 Difrsil Dklmlr ld dilir. Brd igrl lırk vril difrsil dklmi gl çözümü olrk C d C rsi h C ld dilir. Diğr rf olmsı drmd K olğı çıkır. Örk..: difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B drmd lıırs vril difrsil dklm difrsil dklmi idirgmiş olr B gör i olmsı drmd b difrsil dklmi çözümü d d C C olrk ld dilir. Böl C blr. Brd igrl lımk sril d l C C C gl çözümü ld dilmiş olr. ii olmsı drmd is K ld dilir. Örk..: difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B drmd lıırs vril difrsil dklm difrsil dklmi idirgmiş olr. olmsı drmd b difrsil dklmi çözümü

121 . Bölüm: Yüksk Mrbd Bzı Özl Difrsil Dklmlr d d C. olrk ld dilir. Böl C. blr. Brd igrl lımk sril C C. d C gl çözümü ld dilmiş olr. Bzr düşül olmsı drmd is K ld dilir. Örk..: difrsil dklmii çözlim. B drmd lıırs vril difrsil dklm difrsil dklmi idirgmiş olr. Şimdi b difrsil dklmi çözümüü bllım. Dklm biçimid bir Rii difrsil dklmidir. B difrsil dklmi bir özl çözümüü is biçimid olğı kol görülbilir. O hld olp b dğrlr Rii difrsil dklmid rlri zılırs dklm şklii lır. B difrsil dklmi çözümü C C

122 Difrsil Dklmlr olğıd Rii difrsil dklmii gl çözümü C olkır. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olrk ld dilir. d C d d C l C C C Örk..5: difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B drmd lıırs vril difrsil dklm difrsil dklmi idirgmiş olr. Şimdi b difrsil dklmi çözümüü bllım. olmsı drmd difrsil dklm d d biçimid dğişklr rılbil ip bir difrsil dklmdir. B difrsil dklmi çözümüü C C biçimid olğı kol görülbilir. O hld b ifdd r rd iki kz igrl lmk sril vril difrsil dklmi gl çözümü olrk d d C d C C C C dc l C C

123 . Bölüm: Yüksk Mrbd Bzı Özl Difrsil Dklmlr ld dilir. Ö d olmsı drmd is K K biçimid olkır. Örk..6: difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B drmd lıırs vril difrsil dklm difrsil dklmi idirgmiş olr. B gör i olmsı drmd b difrsil dklmi çözümü d d C C olrk ld dilir. Böl C blr. Brd r rd igrllr lımk sril d l C C C C C d l C d C d l C.l C C C C gl çözümü ld dilmiş olr. ii olmsı drmd is K K K ld dilir ki b d bir özl çözüm olr. d.. f Difrsil Dklmi d B difrsil dklmi çözümüü blmk içi r rd igrl lmk rli olkır. B drmd

124 Difrsil Dklmlr d d f d d d f d d.... f d d... d...!! ld dilir. Diğr rf... f d d φ... d v C i i i... i! lıırs vril difrsil dklmii çözümü C φ C C... C biçimid zılbilir. d Örk..: difrsil dklmii çözlim. d Çözüm: Vril difrsil dklmd bir kz igrl lımk sril d d d r ld dilir. B ifdi bir kz dh igrli lıırs r d. r l gl çözümü ld dilir. d Örk..: difrsil dklmii çözlim. d Çözüm: Dklmd bir kz igrl lımk sril

125 . Bölüm: Yüksk Mrbd Bzı Özl Difrsil Dklmlr 5 d d d ld dilir. B ifdi bir kz dh igrli lıırs d d d d gl çözümü ld dilir. d difrsil dklmii gl çözümüü b- d Örk..: d llım. Çözüm: B şilik bir kz igrl lımk sril d d d ld dilir. B ifdi bir kz dh igrli lıırs d d ld dilir. Brd d d d gl çözümü ld dilir. d.5. g Difrsil Dklmi d B difrsil dklmi çözümüü blmk içi ö özl drm l llım. B drmd d d g d difrsil dklmii hr iki rfıı d il çrplım. B drmd d

126 6 Difrsil Dklmlr d d d g d d d d ld dilir. B difrsil dklmi birii rfı d d d d d d d d oldğd d d g d d zılbilir. Brd d d d d d g d G G d ld dilir. B is dğişklr rılbilir bir difrsil dklmdir. Dh ö vril çözüm ömlril b difrsil dklmi gl çözümü ld dilbilir. d Örk.5.: 9 difrsil dklmii çözlim. d Çözüm: Dklm d 9 biçimid zılbilir. Brd d d d d d 8d d 8d d d d gl çözümü ld dilir. d d d d d C 8 d 9 9 d 9 9 d rsi

127 . Bölüm: Yüksk Mrbd Bzı Özl Difrsil Dklmlr 7 d Örk.5.: d difrsil dklmii çözlim. Çözüm: Dklm d d biçimid zılbilir. Brd d d d d d d d d d d d d d d d d d C d l gl çözümü ld dilir. k k.6. d d d F Difrsil Dklmi k k d d d B difrsil dklmi çözümüü blmk içi vril difrsil dklm k d Y lırk k d k dy d Y F Y k d d biçimi idirgmiş olr. B so difrsil dklmi çözümü Y f gibi bldk sor r rd igrl lımk sril bşlgıç vril difrsil dklmi çözümü blbilir. d d Örk.6.: difrsil dklmii çözlim. d d

128 8 Difrsil Dklmlr d dy Çözüm: Y lırk vril difrsil dklm Y d d biçimi idirgmiş olr. B difrsil dklm is dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. Böl dy Y d Y ld dilir. Brd r rd iki kz igrl lırk d d gl çözümü ld dilir. l d d Örk.6.: dklmii çözlim. d d Çözüm: dy d d d Y Y lırk vril difrsil dklm biçimi idirgir. B difrsil dklm is dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. Böl dy Y d ly l l Y ld dilir. Brd r rd üç kz igrl lırk d d d d v dolısıl d d d gl çözümü ld dilir.

129 . Bölüm: Yüksk Mrbd Bzı Özl Difrsil Dklmlr 9 Alışırmlr: Aşğıdki difrsil dklmlri çözüüz. b d f g h ı i j k l m o p r s 6 v z

130

131 .. Giriş BÖLÜM IV YÜKSEK MERTEBEDEN LĐNEER DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER B bölümd gl şklil P P... P P Q. biçimidki difrsil dklmlri l lğız. B formdki bir difrsil dklm -ii mrbd bir doğrsl v lir difrsil dklm dı vrilir. Brd vril P P P v Q foksiolrı blli bir [ ] A b IR rlığıd sürkli foksiolr olp b rlık P oldğ vrsılmkdır. Dikk dilirs b difrsil dklm dğişki v i rdışık ürvlri gör doğrsldır. Ör- ği 5 dklmi üçüü mrbd dklmi is ikii mrbd doğsl difrsil dklmdir. Ak difrsil dklmi doğrsl dğildir. Özl olrk [ ] A b IR rlığıd Q olmsı drmd P P... P P. difrsil dklmi ikii rfsız v homoj doğrsl dklm d dir. Çükü b difrsil dklmd v i büü ürvlri ı drd i birii drddir. d d d... D D D d d d ürv oprörlri olmk üzr L D P D P D... P D P.

132 Difrsil Dklmlr ifdsi oprörlr poliom dı vrilir. B gör. v. difrsil dklmlri sırsıl v L D Q. L D.5 şklid zılır. Örği 5 v difrsil dklmlrii sırsıl 5 D D D v D D biçimid d zılbiliriz. Brd görülmkdir ki D ürv oprörüü bir poliom ol L D d bir oprördür. Özllikl b oprör bir doğrsl oprördür. Çükü v b kfi sbilr v v z is dğişkii -ii bsmk ürvlbilir foksiolrı olmk üzr L D bz. L D b. L D z oldğ kollıkl görülbilir. B so olrk ğr v foksio- lrı. difrsil dklmi birbirid frklı iki özl çözümü is b kdird L D Q v L D Q olğıd L D L D L D zılbilir. Yi. difrsil dklmii hrhgi iki çözümüü frkı.5 ikii rfsız difrsil dklmii sğlr. Eğr P P P ksılrı sbi is LD oprörü sbi ksılı doğrsl oprör dı vrilir. B gör L v L sbi D D D. L D ksılı iki oprör olmk üzr L D L oplmı v L çrpımı sırsıl D L D L D L D L D L D. L D L D[ L D ]

133 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr olrk ımlır. Brd ürvlbilir bir foksiodr. Örk... L D D D v L D D olmk üzr L D L D L D L D olp brd dilir. Diğr rf D D D D D L D L D D D D D D ld L D. L D L D L D D D [ D ] D D [ ] 6 5 D 5D D olr. Dolısıl L D. L D D D. D D 5D D ld dilir. B şkild dvm dilrk L L v L oprörlri sbi ksılı oprörlr olmk üzr L D L D L D L D D D L D [ L D L D] [ L D L D] L D L D.[ L D. L D] [ L D. L D]. L D L D.[ L D L D] L D. L D L D. L D D

134 Difrsil Dklmlr L D. L D L D. L D özlliklrii sğldığı kol görülbilir. Urı... L i D oprörlrii dğişk ksılı olmsı drmd is krıdki şiliklri sğlmsı grkmz. Örği L D D oprörlri içi L D. L D L D[ L D ] D[ D ] D[ ] [ D D ] L D D v olp brd L D. L D D D oldğ görülür. Diğr rf L D. L D L D[ L D ] D [ D] D [ D D] ld dilir. Yi L D. L D D D olr. Böl L D. L D L D. L D oldğ görülür. Torm... Đkii rfsız bir doğrsl difrsil dklmi bir A [ b] rlığıdki çözümlrii bir lir kombiso d b rlık bir çözümdür. Đsp:. foksiolrı L D difrsil dklmii bir A [ b] rlığıdki çözümlri ols. B drmd k... içi L D dır. Böl k

135 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 5 L D[... ]. L D. L D.... L D ld dilir. Brd sırsıl bir sbil ürvlbilir bir foksio çrpımıı ürvii sbil foksio ürvii çrpımı şi oldğ v sol sıd ürvlbilir foksio oplmıı ürvii b foksiolrı ürvlri oplmı şi oldğ grçği göz öü lımışır. Torm.... ikii rfsız bir doğrsl difrsil dklmi bir A [ b] rlığı üzrid lir bğımsız çözümlri is A [ b] üzrid gl çözüm i lr kfi sbilr olmk üzr olkır Torm... Đkii rflı bir difrsil dklmi gl çözümü b dklmi bir özl çözümü il ikii rfsız difrsil dklmi çözümüü oplmı şiir. Yi.7 g zılbilir. Arı kil çözüm okr. h ö Đsp: ikii rflı difrsil dklmi bir özl çözümü ols. B drmd L D Q difrsil dklmid dğişk dğişimi plım. B drmd L D L D L D L D Q L D dır. Böl ikii rfsız difrsil dklmi gl çözümüdür. B difrsil dklmi kil çözümü blmdığıd ikii rflı difrsil dklmi d kil çözümü okr... Doğrsl Lir Bğımsızlık Yüksk mrbd bir difrsil dklm vrildiğid b difrsil dklmi sğl bird fzl foksio blbilir. Ak b foksiolrd bzılrı diğrlrii bir lir foksio d olbilir. B dl hr biri bir çözüm ol b foksiolrı birbirid doğrsl bğımsız olp olmdığıı bilimsi ömlidir. B dl doğrsl bğımsızlık kvrmıı hırllım.

136 6 Difrsil Dklmlr Bir A [ b] rlığıd ıml gibi foksio vrildiğid... sbilrii ümü bird sıfır olmmk koşll hr A [ b] içi....8 şiliği sğlıors b kdird foksiolrı doğrsl bğımsızdır dir. Doğrsl bğımsız olm foksiolr d doğrsl bğımlıdır dir. Bşk bir dişl.8 şiliği k üm... ksılrıı sıfır olmsı drmd sğlırs o zm foksiolrı doğrsl bğımlıdır dir. Örk... Hrhgi bir A [ b] rlığıd ıml v foksiolrıı göz öü llım. özdşliği ikii drd bir dklmdir. B dl b şilik ksılrı ümü bird sıfır olmdığıd i fzl iki dğri içi sğlbilir. O hld vril foksiolr doğrsl bğımsızdır. Örk... IR kümsi üzrid ıml os si v os foksiolrıı göz öü llım. B drmd os si os özdşliği lıdığıd hr IR içi sğlğı içi vril foksiolr doğrsl bğımlıdır. B kısımd vril foksiolr kümsii doğrsl bğımsız olpolmdığı krr vrbilmk içi özl bir öm vrğiz. B içi bir A [ b] rlığıd ıml gibi foksio vrildiğid b foksiolrı vril rlık -ii mrb kdr ürvlbildiklrii vrslım. B drmd.8 d vril ifdi ürvlrii lmk sril

137 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr homoj dklm sismi ld dilir. Lir Cbir drslrid biliorz ki böl bir sismi... d bşk bir çözümüü mv olbilmsi içi ksılr mrisii drmiıı sıfır olmsı grkmkdir. Yi W drmiıı sıfır olmsı grkir. O hld W olmsı doğrsl bğımlılık içi grkli bir şrır. Ak b rli bir şr dğildir. Bşk bir dişl W is vril foksiolr doğrsl bğımlı d bğımsız olbilir. Ö d ğr W is.9 il vril homoj dklm sismii g çözümü... olr. Yi W is foksiolrı doğrsl bğımsızdır. B şkild ıml. drmiı foksiolrıı Wroskiv Wroski drmiı dı vrilir. Örk... drmd vril foksiolrı Wroski drmiı W foksiolrıı l llım. B olkır. Böl vril foksiolr doğrsl bğımsızdır. Örk... b v foksiolrıı l llım. B drmd vril foksiolrı Wroski drmiı b b b W b b b b b b b b

138 8 Difrsil Dklmlr olkır. Böl b b olmsı drmd W olğıd vril foksiolr doğrsl bğımsız olr. Ö rf b sbilrid z ikisi birbiri şi is b kdird W olp vril foksiolr doğrsl bğımlıdır. Örk..5. v foksiolrıı l llım. B drmd vril foksiolrı Wroski drmiı W olkır. Böl W olp vril foksiolr doğrsl bğımsız olr. Örk..6. os si foksiolrıı l llım. B drmd vril foksiolrı Wroski drmiı W os si si os olkır. Böl vril foksiolr doğrsl bğımsızdır. Örk..7. şklid vril foksiolrı göz öü llım. B drmd vril foksiolrı Wroski drmiı W olkır. Böl W olp vril foksiolr doğrsl bğımsızdır. Alışırmlr: Aşğıd vril foksio kımlrıı doğrsl bğımsız olp olmdığıı rşırıız.

139 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 9 b os si d sib osb f si os g l l l h ı brd > dır... Sbi Ksılı Đkii Trfsız Doğrsl Difrsil Dklmlr B kısımd L D sbi ksılı bir doğrsl oprör olmk üzr L D şklid ikii rfsız i homoj difrsil dklmlri çözüm ömlrii rışğız. Bşk bir dişl kfi sbilr olmk üzr... lr L D P D P D... P D P. biçimidki difrsil dklmlri l lğız. Eğr foksiolrı. difrsil dklmii bğımsız çözümü is difrsil dklmi gl çözümüü.... formd olğıı dh ö ifd mişik. O hld b kısımdki ss mımız b şkild bğımsız çözümlri sıl blğıdır. B içi ö şğıdki ormi vrbiliriz. Torm... L D sbi ksılı bir doğrsl oprör is b kdird kfi bir sbi olmk üzr L D L dir.

140 Difrsil Dklmlr m m Đsp: Hr m içi D oldğ kol görülbilir. Diğr rf L D oprörüü hr rimi içi bzr şilik lıbilğid orm isplmış olr. üzr Şimdi. difrsil dklmii hrhgi bir kfi sbi olmk dklmd gibi bir çözümüü blm çlışlım. B içi vril L D P D P D... P D P ld dilir. Hr içi oldğd L P P... P P. olkır. B dklm. difrsil dklmii krkrisik dklmi dı vrilir. Böl b krkrisik dklmii köklri r dğrlridir. Diğr rf P P... P P şiliği -ii drd bir poliom olp rl v komplks olbil kökü olğıı biliorz. Eğr b köklri... il gösrirsk üm köklri rl v birbirid frklı olmsı drmd... foksiolrı vril difrsil dklmi çözümlri olkır. Aı zmd b foksiolr doğrsl bğımsız d oldğd difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr..... Şimdi birbirid frklı ol... köklrid bzılrıı komplks olbilği drm göz öü llım.. dklmii komplks bir kökü id is b komplks şliği ol id d bir kökür. O hld glliği bozmksızı vril krkrisik dklmi köklrii id id... olrk lbiliriz.... bir-

141 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr birid frklı rl sılr olğıd vril difrsil dklmi gl çözümü id id C C... olrk zılbilir. B çözümü id id [ C C ]... formd zr v id os d i si d v id osd i si d şiliklri dikk lıırs [ C C osd i C Csi d]... v ksılrı id smbollşirrk osd si d... gl şklid vrbiliriz. Diğr rf ğr. krkrisik dklmii klı köklri söz kos is b kdird... foksio kımı doğrsl bğımlı olkır. Dolısıl blr vril difrsil dklmi bir gl çözümüü olşrmkır. B drmd gl çözümü sıl blğıı dh sor l lğız. Şimdi şğıdki örklri vrbiliriz. Örk... D 5D 6 difrsil dklmi vrilsi. B d- rmd dklmi krkrisik dklmi 5 6 olp b köklri v olkır. O hld difrsil dklmi iki çözümü v olrk blmş olr. Ö d b çözümlr doğ- rsl bğımsız oldğd difrsil dklmi gl çözümü olkır. Örk... D D D difrsil dklmi vrilsi. B drmd dklmi krkrisik dklmi

142 Difrsil Dklmlr olp b dklmi köklri v olkır. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr. Örk... D D D difrsil dklmi vrilmiş ols. B drmd dklmi krkrisik dklmi olp b köklri i v i olkır. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü C i C i v grkli çılım v düzlmlri prk os si şklid blmş olr. Örk... D D dklmii gl çözümüü ld dlim. B drmd dklmi krkrisik dklmi olp köklri i v i olkır. Böl b difrsil dklmi gl çözümü v C olkır. i C os i si Örk..5. D 5D 6 difrsil dklmii vrilmiş ols. B kdird krkrisik dklm olğıd köklr v i olr. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü os si

143 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr olrk blş olr. Örk..6. D D D difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklmi krkrisik dklmi olp krkrisik dklmi köklri v olrk blr. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü şkliddir. Urı:. rdımı dklmii köklrid birkçı d ümü birbiri şi olbilir. B drmd gl çözümü blmsı mıl ö şğıdki ormlri vrmk g olkır. Torm... Eğr L D sbi ksılı bir doğrsl oprör v f -ii mrb kdr sürkli ürvlbilir bir foksio is b kdird kfi bir sbi olmk üzr L D[ f ] L D f olr. Đsp: Tormi isplmk mıl ölikl m hr doğl sısı içi D [ f ] D f oldğ ümvrıml m m gösr- lim. m olmsı özl hlid f f oldğ çıkır. m is D[ f ] Df f [ D ] f ld dilir. m içi iddiı doğr oldğ vrslım i D m [ f ] D m f ols. Vril şiliği hr iki rfı D ürv oprörüü gllım. B kdird D m [ f ] D[ D D D m m m D f f ] f D m f

144 Difrsil Dklmlr ld dilir. L D oprörüü hr bir rimi içi bzr şilik lıbilğid orm isplmış olr. Soç... L D bir sbi olmk üzr D i sbi ksılı bir poliom v kfi L D os L os L D si L si şiliklri sğlır. Soç... L D v L D hrhgi iki oprör ols. Eğr foksio L D difrsil dklmii bir çözümü is b kdird L D[ L D ] difrsil dklmii d bir çözümü olkır. Şimdi. rdımı dklmii köklrid bzılrıı birbiri şi olmsı drm göz öü llım. L P P... P P rdımı dklmii köklrid m m< sii birbiri şi oldğ vrslım. B drmd L D difrsil dklmi m L D I D D.5 şklid zılbilir. Brd I D oprörü D il bölüm bir m ifd olkır. Ykrıd vril Soç.. gör D difrsil dklmii çözümü ol foksiolrı ı zmd.5 difrsil dklmii d bir çözümü olkır. Ö rf m D difrsil dklmii bir çözümüü biçimid olğı çıkır. D difrsil dklmi m-ii m drd bir dklm oldğd m m bğımsız çözümü blkır. Bd m dolı D difrsil dklmii f formd bir çözümüü blmlıız. B drmd m m D f D f.6

145 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 5 zılır. Hr rl sısı içi oldğd b şiliği sğlbilmsi içi D m f olmsı grkir. B is f foksio f... m biçimid olğıı gösrir. Böl ld dilir. Brd m m f... m.7. m foksiolrı doğrsl b- m ğımsız olğıd.7 foksio D difrsil dklmii gl çözümü olkır. Ö d L D difrsil dklmii gl çözümüü blmk içi krıd bl.7 çözümü I D difrsil dklmii çözümüü ilv mmiz mkdir. Eğr I D difrsil dklmii rdımı dklmii köklri birbirid frklı v rl is b köklr krşılık gl çözüm m m m m.8... şkliddir. Böl L D difrsil dklmii gl çözümü m... m m m m m....9 biçimid olkır. Şimdi şğıdki örklri vrbiliriz. Örk..7. D 6D 9 difrsil dklmii gl çözümüü bllım. Vril difrsil dklmi krkrisik dklmi 6 9 olp köklri is olkır. B kdird vril difrsil dklmi gl çözümü şkliddir. Örk..8. D 6D D 8D difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B drmd difrsil dklmi krkrisik dklmi 6 8 olğıd köklr

146 6 Difrsil Dklmlr v olr. B so olrk vril difrsil dklmi gl çözümü biçimid blr. Örk..9. D 8D 6 difrsil dklmii çözlim. B difrsil dklmi krkrisik dklmi 8 6 olğıd b dklmi köklri i olp klı kök söz kosdr. Böl difrsil dklmi gl çözümü os si olrk blr. Örk... D 6D D D difrsil dklmii çözlim. B drmd vril difrsil dklmi krkrisik dklmi 6 olkır. B şilik is şklid çrplrı rılbilir. B drmd d r köklr v olrk blr. O hld vril dif- rsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr. Örk... D D difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklmi krkrisik dklmi is biçimid olp krşılık gl köklr v olkır. B dl vril difrsil dklmi 5 gl çözümü şklid ld dilmiş olr.

147 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 7 Örk... D difrsil dklmii v koşllrıı sğl çözümüü bllım. B dklmi krkrisik dklmi biçimid olp b köklri i i olkır. Böl d vril difrsil dklmi gl çözümü os si olkır. Brd si os ld dilir. v koşllrı b şiliklrd rlri zılırs v os si si os blr. O hld is çözüm os si olr ki b bir özl çözümdür. Örk... D D 6 difrsil dklmii v koşllrıı sğl çözümüü bllım. B drmd krk- risik dklm 6 olp b köklri olkır. B drmd vril difrsil dklmi gl çözümü olr. Brd ürv lıırs ld dilir. v koşllrı b şiliklrd rlri zılırs v 5 5 ld dilir. O hld is çözüm çözümdür. olr ki b bir özl 5 5 Örk... D D D difrsil dklmii v koşllrıı sğl çözümüü bllım.

148 8 Difrsil Dklmlr B drmd krkrisik dklm olp b köklri v olkır. B drmd vril difrsil dklmi gl çözümü olr. Brd grkli ürvlr lıırs v 9 ld dilir. v koşllrı b şiliklrd rlri zılırs 5 v ld dilir. B dl is çözüm özl çözümdür olr ki b bir.. Sbi Ksılı Đkii Trflı Doğrsl Difrsil Dklmlr B kısımd L D sbi ksılı bir doğrsl oprör olmk üzr L D Q şklid ikii rflı i homoj olm difrsil dklmlr içi çözüm ömlri vrilkir. Torm.. ikii rflı bir difrsil dklmi gl çözümüü ikii rfsız difrsil dklmi gl çözümü ikii rflı difrsil dklmi bir özl çözümüü klmsil ld dilğii vrmişik. Bşk bir dişl... lr kfi sbilr olmk üzr L D P D P D... P D P Q. difrsil dklmii gl çözümüü il L D P D P D... P D P.

149 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 9 difrsil dklmii gl çözümüü il v L D v P D P D... P D P v Q. difrsil dklmii bir özl çözümüü d v il gösrirsk v olğıı ifd mişik. Đkii rfsız difrsil dklmi gl çözümüü sıl blğıı öki kısımd vrmişik. B kısımd is. il vril difrsil dklmi bir özl çözümüü sıl blğıı rşırğız. Ö b difrsil dklmi sğ rfıı iki foksio oplmı biçimid oldğ vrslım. Yi Q Q Q L ols. Eğr difrsil dklmii bir özl çözümü v v difrsil dklmii bir özl çözümü d v is b kdird v v v foksio L D Q difrsil dklmii bir özl çözümü olkır. Şimdi Q foksio pısı gör çözüm ömlri glişirğiz. B içi Q foksio üsl poliom v rigoomrik biçimd olmlrı drm vrğiz. Ölikl rs oprör dimil i ksdildiği bklım. D d / d bir ürv oprörü olmk üzr D / D bklım. Bir içi DD zlım. B kdird bir foksio içi DD şiliğid hr iki rfı dğişki gör igrli lırk ld dilir. Yi D D D / D D d oprörü bir igrl oprörüdür. Örği olkır. B şkild dvm dilrk L D L D

150 5 Difrsil Dklmlr il / L D oprörüü vrbiliriz. B oprörü L D v Q difrsil dklmi glrk L D v v L D ld dilir. Q L D Şimdi Q foksio Q biçimid oldğ vrslım. B drmd v özl çözümüü blmk isiorz. v özl çözümüü blmk içi L olp-olmmsı drmlrı gör dğişik ol izlir. Ölikl L drm l llım. B içi şğıdki ormi vrbiliriz. Torm... L D sbi ksılı bir doğrsl oprör v d L olk şkild kfi bir sbi is b kdird olr. L D L Đsp: Hr m içi m D lir. Diğr rf L D oprörüü hr rimi içi bzr şilik lıbilğid orm isplmış olr. Örk... D 5 5D 6 difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B içi ölikl oldğ kol görülbi- m 5D 6 ikii rfsız difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklmi rdımı dklmi 5 6 olp köklr v olkır. O hld ikii rfsız difrsil dklmi gl çözümü 5 olkır. Şimdi d D 5D 6 v ikii rflı difrsil dklmii özl çözümüü bllım. L oldğd D v D 5 D

151 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 5 blr. O hld vril difrsil dklmi gl çözümü v olkır. 6 5 Örk... D D D difrsil dklmii gl çözümüü bllım. Ölikl D D D ikii rfsız difrsil dklmi gl çözümüü bllım. B drmd rdımı dklmimiz olğıd rdımı dklmi köklri d i v i olkır. O hld ikii rfsız difrsil dklmi gl çözümü os si olkır. Şimdi d ikii rflı difrsil dklmii özl çözümüü bllım. L oldğd v D D D ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü v olkır. os si Şimdi d Q foksio bir poliom şklid oldğ i Q k k k k... biçimid oldğ vrslım. B drmd v özl çözümüü blbilmk içi / L D i sri çmk rlidir. B içi L D zlım. Ö rf D m 5 m.... [ Φ D] Φ D [ Φ D] Φ D [ Φ D].... v

152 5 Difrsil Dklmlr Φ D [ Φ D] Φ D [ Φ D]....5 oldğ Aliz drslrid biliorz. Böl v Q { Φ D [ Φ D] [ Φ D]...} Q L D D.6 m zılır. Brd Q foksio k-ıı drd bir poliom oldğd.5 v.6 srilrii k-ıı dr kdr zmk rli olkır. Şimdi şğıdki örği vrbiliriz. Örk... D 5 difrsil dkl- mii çözümüü bllım. D ikii rfsız dklmii gl çözümüü os si biçimid olğı kol gösrilbilir. Şimdi d D v 5 ikii rflı difrsil dklmii bir v özl çözümüü bllım. v 5 D 5 D /.[ D / D /...]. 5.[ ] 8 ld dilir. O hld vril difrsil dklmi gl çözümü v os si olkır.

153 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 5 Örk... D 9D difrsil dklmii gl çözümüü bllım. Ö D 9D ikii rfsız difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B drmd rdımı dklm 9 olp köklr v 9 olkır. Böl b difrsil dklmi gl çözümü 9 şkliddir. Şimdi çözümüü bllım. D 9D v difrsil dklmii bir özl v D 9D 9D D 9 D D [...] 9D [ 9D 9 6 [ 9 D 9 6 ] 8 6 ] 8 6 [ ] ld dilir. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü 9 v olrk blmş olr. 9 7 Torm... L D sbi ksılı bir doğrsl oprör v f is dğişkii bir foksio ols. B drmd kfi bir sbi olmk üzr olr. L D f f L D

154 5 Difrsil Dklmlr Đsp: Dh ö Torm.. d L D[ f ] L D f oldğ isplmışık. Şimdi g L D f llım. B drmd f g L D ld dilir. Böl L D g L D g g L D L D olkır. Brd L D g [ L D L D zılbilir. B is ormi ispıı mmlr. g ] L D g L D Şimdi d L D Q sbi ksılı difrsil dklmid sğ rfki Q foksio Q f şklid vrildiğii vrslım. B kdird ikii rflı difrsil dklmi v özl çözümüü blbilmk içi krıdki ormi kllmk rlidir. O hld şğıdki örklri vrbiliriz. Örk..5. D 6D 9. difrsil dklmii gl çözümüü bllım. Đlk ö D 6D 9 şklidki homoj difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklmi krkrisik dklmi 6 9 olp köklr olr. B kdird b homoj difrsil dklmi gl çözümü şkliddir. Şimdi d D 6D 9 v. difrsil dklmii bir özl çözümüü bllım. B drmd Torm.. d dikk lırk v D.. 6D 9 D D

155 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 55 D oldğ görülür. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü v olrk blmş olr. Şimdi Q foksio Q biçimid olmsı drm krr dölim k L oldğ vrslım. B drmd v özl çözümüü blmk içi Torm... i kllmız. Fk b drmd d i Torm... d rrlbiliriz. L olmsı sısıı difrsil dklmi rdımı dklmii bir kökü olmsı dmkir. O hld sısıı rdımı dklmi bir k k klı kökü oldğ vrsbiliriz. B drmd L D sbi ksılı oprörü L D Φ D D k biçimid çrplrı rılbilir. Böl Φ olğı çıkır. B drmd f özl drm içi krıd vril Torm.. i klllım. Söz kos orm gör L D. k D. Φ D D k Φ D.. Φ k D Φ k k! ld dilir. Örk..6. D 6D 9 difrsil dklmii gl çözümüü bllım. Ölikl D 6D 9 homoj difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklmi krkrisik dklmi 6 9 olp köklr ür. B k-

156 56 Difrsil Dklmlr dird homoj difrsil dklmi gl çözümü şkliddir. Şimdi d D 6D 9 v difrsil dklmii bir özl çözümüü bllım. B drmd d Torm.. i dikk lrk v D 6D 9 D D oldğ görülür. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü v olrk blmş olr. Örk..7. D 6D D D difrsil dklmi çözlim. B difrsil dklm içi rdımı dklm v köklri 6 v köklri v olkır. O hld homoj difrsil dklmi gl çözümü olr. Şimdi d D 6D D D v difrsil dklmii bir özl çözümüü bllım. B drmd rdımı dklmi iki klı bir köküdür. Torm.. i kllırsk v D 6D D D 5 D 5

157 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 57 9 D ld dilir. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü v olkır. Örk..8. D D 5D 6 difrsil dklmi gl çözümüü bllım. B difrsil dklmi rdımı dklmi v köklri 5 6 v köklri v olkır. O hld homoj dklmi gl çözümü olr. Şimdi d D D 5D 6 v difrsil dklmii bir özl çözümüü bllım. B drmd rdımı dklmi bir kökü oldğd Torm.. gör v D D 5D 6 D D D [ D D D [ D.5 ] ] D.5 ] 5 D 5 [

158 58 Difrsil Dklmlr olp vril difrsil dklmi gl çözümü v şklid blmş olr. 5 Soç... prll olrk şğıdki so vrmk mümküdür. Soç... L D D oprörüü sbi ksılı bir poliom v kfi bir sbi olmk ols. Eğr L is b kdird si si L D L os os L D L şiliklri sğlır. B soç kllılrk özl çözüm blmk mümkü olkır. Örk..9. D D 9 os difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B drmd Q X si os olmsı drmd bir 9 9 i i ld dilir. Böl ikii rfsız difrsil dklmi gl çözümü os si os si olrk blr. Şimdi D D 9 v os difrsil dklmii bir özl çözümüü bllım. B drmd Soç.. gör v özl çözümü v os os D D 9 D D os os os 9

159 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 59 olkır. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü v os si os si os 5 şklid blmş olr. Diğr d LD oprörüü D oprörüü bir poliom olmdığı drmd d Soç... kllılbilir. B içi is L D ürv op- rörüü L D M D D. N D olrk prçlmk rlidir. Örk... D D si difrsil dklmii çöz- lim. B drmd rdımı dklmimiz olp köklr olkır. B kdird homoj difrsil dklmi gl çözümü şklid olkır. D D v si difrsil dklmii bir v özl çözümüü blmk içi i Soç.. i klllım. B drmd v si si D D D si D 8 D 8 si D 8D 8 D 8 si 9D 6 D 8si 6os 8si olkır. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü içi ld dilir. v 6os 8si

160 6 Difrsil Dklmlr Soç... Bir difrsil dklm içi L d dkl- k mi ikii rfı Q si os formd is b kdird Soç.. i kllmız. B drmd si v os ifdlrii ri blrı üslü foksiolr isid krşılıklrıı zrk dh ö vrdiğimiz ömlrd rrlbiliriz. Aliz drslrid bilimkdir ki v i i os i si os i si zılbilir. B şiliklrd v os si i i i şiliklri ld dilir. i i si v os ifdlri çkilirs b kdird B so bir lrif olrk şğıdki ormi vrbiliriz. Torm... L D sbi ksılı bir doğrsl oprör v g dğişkii bir foksio ols. B drmd olr. L D [. g ] g g L D L D [ L D] Đsp: L D bir ürv oprörü v f d bir foksio olmk üzr L D[ f ] L D f L D f şiliği kollıkl gösrilbilir. Şimdi g L D f llım. B drmd f g L D olkır. Böl L D[ g ]. L D g L D g L D L D L D

161 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 6 olp brd. g L D[ g ] L D g L D L D v brd d. g g L D g L D L D L D L D L D g g L D [ L D] zılbilir. B is ormi ispıı mmlr. Örk... D D.si difrsil dklmii g- l çözümüü bllım. D D ikii rfsız difrsil dklmii gl çözümüü şklid olğı kol görül- kir. D D v.si ikii rflı difrsil dklmii bir v özl çözümüü blmk içi i Torm.. ü klllım. B drmd v.si D D D si si D D D D D si si D D D D si si D D 6D D D D si si D 6 D D D si si D D 8 D D D 8 si si 9D 9D 6

162 6 Difrsil Dklmlr os si 7os si 7 5 os si olkır. O hld vril dklmi gl çözümü 7 5 v os si olrk blmş olr..5. Prmrlri Dğişimi Mod B bölümd şimdi kdr ikii rfsız i homoj difrsil dklmlri gl çözümlrii sıl blğıı v L D sbi ksılı bir doğrsl oprör olmk üzr L D Q şklid ikii rflı i homoj olm difrsil dklmlr içi çözüm ömlrii vrdik. Torm.. ikii rflı bir difrsil dklmi gl çözümüü ikii rfsız difrsil dklmi gl çözümü ikii rflı difrsil dklmi bir özl çözümüü klmsil ld dilğii vrmişik. Arı sbi ksılı v ikii rfı bzı özl şkillrd ol difrsil dklmlr içi ikii rflı difrsil dklmi bir özl çözümüü sıl blbilğii vrdik. Ak prmrlri dğişimi mod il vril bir dğişk ksılı difrsil dklmi mmlıı foksio i homoj difrsil dklmi gl çözümü bilidiğid Q foksio biçimi sıl olrs ols bir özl çözüm blmk mümkü olkır. Şimdi b ömi çıklğız. B içi P P P... P lr dğişkii foksiolrı olmk üzr L D P D P D... P D P Q.7 doğrsl difrsil dklmii göz öü llım. Amımız b difrsil dklmi bir özl çözümüü blmkır. B içi L D P D P D... P D P difrsil dklmii gl çözümüü

163 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 6 biçimid bilidiğii vrslım..7 difrsil dklmii bir özl çözümüü. biçimid oldğ vrsrk... i i foksiolrıı ksılrıı blm çlışlım. B içi. dklmii dğişki gör ürvlrii lıp hr dfsıd b ürv foksiolrıı d i ı olmlrıı sğlmk içi gri kl ifdlri sıfır şillim.. ld dilir. Ö d ikii rfsız difrsil dklmi gl çözümüd. ld dilir. B iki dklm rf rf çıkrılrk. blr. B şkild dvm drk ifdsii krr dğişki gör ürvlrii lrk ]... [ ]... [ v ikii rfsız difrsil dklmd... ld dilir. B iki dklm rf rf çıkrılrk. blr. B şkild dvm dilrk.5... ]... [ ]... [ Q

164 6 Difrsil Dklmlr ld dilir. Böl Q dklm sismi ld dilmiş olr. Böl... ifdsi homoj dklmi gl çözümü oldğd... foksiolrı doğrsl bğımsızdır. O hld sismi ksılr mrisi sıfırd frklı olkır. Yi W olkır. B drmd is vril dklm sismii bir k çözümü vrdır.... lr dğişkii sürkli foksiolrı olp igrl lırk d i....6 i i ld dilir. Böl ikii rflı difrsil dklmi bir özl çözümü v... olrk blmş olr Örk.5.. D D si difrsil dklmii çözlim. B içi D D homoj difrsil dklmii gl çözü- müü şklid olğıı blirlim. B drmd v biçimid bir özl çözüm rğız. B içi lrk v

165 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 65 W oldğ görülür. Böl Q si.... dklm sismi ld dilir. B sismd si v si v brd d si os si d v si os si d ld dilir. O hld difrsil dklmi bir özl çözümü v si si os - si os. şklid olkır. Brd vril difrsil dklmi gl çözümü v si olrk blmş olr. Örk.5.. D D difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B içi D D ikii rfsız difrsil dklmii gl çözümüü si os şklid olğı kol görülür. Şimdi vril dklmi si os

166 66 Difrsil Dklmlr biçimid bir özl çözüm rğız. B içi os v si lrk os si - si os - os i - i os s s W oldğ görülür. Böl Q dklm sismi si os. os si. si os. şklii lır. B sismd os si v si blr v brd d l os d os si d v l si os si d π ld dilir. O hld difrsil dklmi bir özl çözümü.l si l os.l si si os l os.si.os v π π

167 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 67 şklid olkır. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü v os si π l os si.l olrk blr..6. Mrbi Düşürülmsi Mod Mrbi düşürülmsi mod hm sbi ksılı hm d dğişk ksılı difrsil dklmlr glbil bir mor. Bir öki kısımd vril prmrlri dğişimi mod d hm sbi ksılı hm d dğişk ksılı dklmlr glbilmkdir. Ak prmrlri dğişimi mod ikii rfsız i homoj difrsil dklmi gl çözümüü i dklmi mmlıı foksio bilimsi drmd ikii rflı difrsil dklmi bir özl çözümü blmsıd kllılmkdır. Mrbi düşürülmsi mod is L D ikii rfsız difrsil dklmii bir özl çözümüü bilimsi drmd L D Q difrsil dklmii gl çözümüü blmsıd kllılmkdır. Şimdi b ömi çıkllım. B içi P P P... P lr dğişkii foksiolrı olmk üzr L D P D P D... P D P Q.7 doğrsl difrsil dklmii göz öü llım. B drmd L D P D P D... P D P.8 difrsil dklmii gibi bir özl çözümü biliiors. dğişk dğişimi rdımıl.7 difrsil dklmii mrbsi bir şğı mrb düşürülmüş olkır. B gör. ifdsid r rd ürvlr lımk sril.....

168 68 Difrsil Dklmlr ld dilir. B ürvlr vril difrsil dklmd rlri zıldığıd difrsil dklmii mrbsi bir şğı düşürülmüş olr. B mo gl olrk. v. mrbd difrsil dklmlr içi dh kllışlıdır. Dh üksk mrbd difrsil dklmlr içi pk kllışlı dğildir. Şimdi şğıdki örklri vrbiliriz. Örk.6.. difrsil dklmii gl çözümüü bllım. Ö difrsil dklmi bir özl çözümüü bllım. B içi lıırs b bir özl çözüm olğı çıkır. Brd. olp blr difrsil dklmd rlri zılırs dklm şklii lır. v zılrk so difrsil dklm v v difrsil dklmi idirgmiş olr. Şimdi b difrsil dklmi çözbiliriz. v v dv d v dv d d v C v C d C d d C C

169 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 69 olp vril difrsil dklmi gl çözümü C C olrk blmş olr. Örk.6.. difrsil dklmii çözlim. Ö b difrsil dklmi homoj kısmıı bir özl çözümüü bllım. B içi llım. B drmd sğldığı görülür. Böl foksio vril difrsil dklmi bir özl çözümüdür. Brd. olp blr vril difrsil dklmd rlri zılırs dklm. şklii lır. v zılırs so difrsil dklm v v idirgmiş olr. Şimdi b difrsil dklmi çözbiliriz. dv v v v d dv d v C v C d C l C

170 7 Difrsil Dklmlr olp vril difrsil dklmi gl çözümü C C l. olkır. Örk.6... B difrsil dklmi homoj kısmıı bir özl çözümüü şklid olğı çıkır. Brd. difrsil dklmii çözlim. olp blr vril difrsil dklmd rlri zılırs difrsil dklm şklii lır. v zılırs so dklm olr. Brd v dklmi idirgmiş v d C C d C C ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü C olrk blmş olr. Örk.6.. difrsil dklmii homoj kısmıı bir özl çözümü C dklmi gl çözümüü bllım. Brd. şklid is difrsil oldğd

171 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 7 olp blr vril difrsil dklmd rlri zılırs difrsil dklm şklii lır. B difrsil dklmd v zılırs b kdird dklm v v difrsil dklmi idirgmiş olr. B difrsil dklm birii bsmk bir lir difrsil dklm olp çözümüü v / d / d [. d C] ] [ C C biçimid olğıı öki bilgilrimizd bilmkiz. Brd d C d C C blr. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü C C. olrk blmş olr. Örk.6.5. difrsil dklmii bir özl çözümü B drmd şklid oldğ gör gl çözümüü bllım.. olp blr vril difrsil dklmd rlri zılırs difrsil dklm

172 7 Difrsil Dklmlr şklii lır. B difrsil dklmd v zılırs dklm v v dv d v dv d v difrsil dklmi idirgmiş olr. B difrsil dklm dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklm olp çözümü şğıdki gibi olkır. Hr bir rfı igrli lırk v C ld dilir. Brd d C d C C blr. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü. C C olrk blmş olr..7. Ch-Elr Dklmi P P P... P lr kfi sbilr olmk üzr L D P D P D... P D P Q.9 biçimid zılbil difrsil dklmlr Ch-Elr difrsil dklmi dı vrilir. B gör Ch-Elr difrsil dklmi özl bir dğişk ksılı difrsil dklm olkır. B difrsil dklmi çözbilmk içi özl bir dğişk dğişimi pılrk vril difrsil dklm sbi ksılı difrsil dklm döüşürülür. Şimdi b çıkllım. B içi l > < <

173 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 7 dğişk dğişimi plım. B drmd.9 difrsil dklmii d dğişki gör id zlım. Ak b drmd D il dğişki gör ürv oprörüü gösrğiz. B gör ziir d krlıd d d d d d. d d d d d D D ld dilir. Böl.9 difrsil dklmid D ri D lıkır. B isi olrk d d d d d D d d d d d d d d d d d d d D D D D. oldğ görülür. Bzr bir düşül - ii ürvd D D D D... D. oldğ ümvrım ömil gösrilbilir. Böl.9 difrsil dklmi L D [ P D D... D... P D P Q. biçimi döüşürülmüş olr. B difrsil dklm - ii mrbd sbi ksılı bir difrsil dklm olp dh ö vril molrl çözülbilir. Eld dil çözümd dğişki ri l zılmk sril.9 difrsil dklmii çözümü blmş olr. Şimdi şğıdki örklri vrbiliriz. Örk.7.. D D D difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklm bir Ch-Elr difrsil dklmidir. O hld l dğişk dğişimi prk vril difrsil dklmi id zlım. Brd

174 7 Difrsil Dklmlr D D D D D D D v D D olğı dikk dlim. Böl vril difrsil dklm [ D D D D D D ] v kıs [ D D ] difrsil dklmi döüşürülmüş olr. Diğr rf b difrsil dklmi homoj kısmıı gl çözümüü os si biçimid olğı v homoj olm difrsil dklmi bir özl çözümüü d v D D D [ D D ] dif- şklid olğı kol görülbilir. O hld rsil dklmii gl çözümü v os si olrk blmş olr. Böl l oldğd bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olrk os l si l ld dilir. Örk.7.. D D difrsil dklmii çözümüü bllım. B difrsil dklm bir Ch-Elr difrsil dklmidir. O hld l dğişk dğişimi prk difrsil dklmi id zlım. D D D D D D D

175 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 75 olğıd vril difrsil dklm [ D D D D D ] v kıs [ D D D ] difrsil dklmi döüşürülmüş olr. B difrsil dklmi homoj kısmıı gl çözümü v homoj olm difrsil dklmi bir özl çözümü is v D D D şklid olğıd gl çözümü [ D D D ] v difrsil dklmii olrk blmş olr. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olrk olkır. Örk l D D difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklm bir Ch-Elr difrsil dklmidir. O hld l dğişk dğişimi prk vri- l difrsil dklmi id zlım. D D D D D olğıd vril difrsil dklm [ D D 5D ]. v kıs D D

176 76 Difrsil Dklmlr difrsil dklmi döüşürülmüş olr. B difrsil dklmi homoj kısmıı gl çözümü biçimid olkır. Homoj olm difrsil dklmi bir özl çözümü is v D D D D D 6D 6 6 D D 66 D 6D [ ] şklid olğıd çözümü D D difrsil dklmii gl v 6 6 olkır. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olrk v.l 6 6 olrk blmş olr. Örk.7...si l os l D D şklid vril difrsil dklmi gl çözümüü bllım. B difrsil dklm bir Ch-Elr difrsil dklmi olp l dğişk

177 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 77 dğişimi prk vril difrsil dklmi id zlım. B kdird D D D D D olğıd vril difrsil dklm [ D D D ] si os v kıs D D si os difrsil dklmi döüşürülmüş olr. Ö d B difrsil dklmi homoj kısmıı gl çözümü os si. olkır. Homoj olm difrsil dklmi bir özl çözümü is v os si D D D D os si D D D os si 9 D D os si os si si olrk blr. B drmd d D D si os difrsil dklmii gl çözümü v os si. os si si olkır. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü v os l si l.

178 78 Difrsil Dklmlr şklid blmş olr. Örk.7.5. os l si l si l [ D D ] difrsil dklmii çözlim. Vril difrsil dklm Ch-Elr ipid bir difrsil dklmi olp l dğişk dğişimi prk vril difrsil dklmi id zlım. B drmd D D D v D D olğı kol görülbilir. Böl vril difrsil dklm [ D D D ] v kıs D dklmi döüşürülmüş olr. B difrsil dklmi homoj kısmıı gl çözümü. olkır. Homoj olm difrsil dklmi bir özl çözümü is v [ ] D D D D D olrk blr. B drmd vril difrsil dklmi gl çözümü v. olkır. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü

179 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 79 v [ l ] l olrk blmş olr. Örk.7.6. [ ] 6 D D dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklmi d bir Ch-Elr difrsil dklmi oldğ çıkır. O hld l dğişk dğişimi prk vril difrsil dklmi id zlım. B drmd D D D v D D olğı kollıkl gösrilbilir. Böl vril difrsil dklm [ D D D ] v kıs D 8D difrsil dklmi döüşürülmüş olr. B dklmi homoj kısmıı gl çözümü olkır. Homoj olm difrsil dklmi bir özl çözümüü is v [ ] D 8D D D D D 6 şklid olğı gösrilbilir. B drmd difrsil dklmi gl çözümü v 6 olkır. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü v 6 olrk blmş olr.

180 8 Difrsil Dklmlr Örk.7.7. [ D D ] difrsil dklmii çözümüü bllım. B difrsil dklm d bir Ch-Elr difrsil dklmi olp l dğişk dğişimi prk difrsil dklmi id zlım. B kdird D D D v D D olğıd vril difrsil dklm [ D D D ] v b dk olrk D D difrsil dklmi döüşürülmüş olr. B difrsil dklmi gl çözümü olkır. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr. Örk.7.8. [ D D ] 8 difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklmi bir Ch-Elr difrsil dklmi oldğ çıkır. O hld l dğişk dğişimi prk difrsil dklmi id zlım. B drmd D D D v D D olğı kollıkl görülbilir. Böl vril difrsil dklm [ D D D ] 8 v kıs D D dklmi döüşürülmüş olr. B difrsil dklmi homoj kısmıı gl çözümü.

181 . Bölüm: Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr 8 olkır. Homoj olm difrsil dklmi bir özl çözümüü is v D şklid olğı gösrilbilir. B drmd difrsil dklmi gl çözümü v. olkır. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü v [.l ] olrk blmş olr. Alışırmlr A. Aşğıd vril sbi ksılı homojikii rfsız difrsil dklmlri gl çözümlrii blz. D D 5 b D 6 d D D 9D 9 D D D D 9 D f D D D g D h 6 D 9D D 6 B. Aşğıd vril sbi ksılı homoj olm difrsil dklmlri gl çözümlrii blz. g ı D D b os D d D 5D f si D h os D D i D D D D D D D D 6 9 s D D D D D 8

182 8 Difrsil Dklmlr C. Aşğıd vril dğişk ksılı difrsil dklmlri gl çözümlrii blz. D D b [ D D l D D d D D f D D l / D D g ı D D / h [ D D 6 9 ] D D i [ D D D. Aşğıd vril difrsil dklmlri lrıd vril bir özl çözümü bilidiği gör gl çözümlrii blz. [ D D ] b D D [si D ] o d D E. Aşğıdki Ch-Elr dklmlri gl çözümlrii blz. g D D b D D 9 d l D D f D D h D D D D D D D D 5 l D D ı [ D D l i [ D D 6

183 5.. Giriş BÖLÜM V DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ VE TOPLAM DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER Dh öki bölümlrd iki dğişkli difrsil dklmlri dlı bir şkild ilmişik. B bölümd is lir difrsil dklm sismlrii v ikid fzl dğişk ship difrsil dklmlri l lğız. Ak brd i dğişklrd sd bir sii bğımsız dğişk oldğ kbl dğiz. Eğr bird fzl bğımsız dğişk söz kos is b drmd dklm kısmi difrsil dklm dı vrilir. B bölümd sbi ksılı lir difrsil dklm sismlrii çözümlril ilgilğiz. 5.. Difrsil Dklm Sismlri i i... ı bir bğımsız dğişkii foksiolrı olmk üzr b foksiolrl blrı bğımsız dğişki gör dğişik mrbd ürvlrii içr difrsil dklmlrd olş bir sism bir difrsil dklm sismi dı vrilir. Böl bir sism gl olrk f f f f biçimid gösrilbilir. Örği d d... os d Q d d d

184 8 Difrsil Dklmlr 5 d d d... Q 5 d d d. d d d... l Q d d d gibi. Brd dikk dilirs difrsil dklm sismidki dklm sısı bğımlı dğişklri i bilim foksiolrı sısı şiir i difrsil dklm vrilmişir. B şkild vril bir difrsil dklm sismii çözmk dmk i i... foksiolrı sismd ri zıldığıd vril sismdki üm dklmlr sğlk şkild b foksiolrı blirlmsi dmkir. Bir sismd difrsil dklm sısı bilim foksio sısı şi olmk üzr sismi hr dklmi bilim foksiolrd birii üksk mrbd ürvi gör vrilmişs b sism bir koik sism dı vrilir. Örği f f f difrsil dklm sismi bir koik sismdir. B gör bir difrsil dklm sismii bir koik sism olmsı içi şğıdki üç koşl sğlmsı grkmkdir.. Dklm sısı bilim sısı şi olmlıdır.. Dklmlrd hr birisi bilim foksiolrd birii sismd bl üksk mrbd ürvi gör çözülbilmlidir.. Birii rfki ürvlr ikii rf blmmlıdır. Eğr bir koik sism lız birii mrbd ürvlri içriors b drmd sism bir orml sism dı vrilir. B gör bilim foksio içr bir orml sism f...

185 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 85 f... f f... f... biçimid zılbilir. Koik sism v orml sism ımlrı dikk lıırs bir koik sismi hr zm bir orml sism döüşürmk mümküdür. Dolısıl koik sismi çözümü orml sismi çözümü rdımıl ld dilbilir. Koik sismi orml sism döüşürülmsi hlid sismi bilim d dklm sısıı ld mk içi koik sismdki bilimlr i üksk mrbd ürvlri mrblri oplmlıdır. B oplm sismi mrbsi olrk dldırılır. Sismi gl çözümüd b oplm kdr i sismi mrbsi kdr kfi sbi blkır. 5. orml sismii kfi sbi bğlı olrk şğıdki gibi bir çözüm kımıı mv olğı gösrilbilir. ϕ... ϕ... ϕ ϕ.... B çözüm 5. orml sismii gl çözümü dir. B çözümdki kfi sbilr özl dğrlr vrilrk sismi bir özl çözümü d ld dilbilir. B sismi sigülr çözümü is bilidiği gibi kfi sbi içrm v gl çözümd ld dilm bir çözümdür. F F......

186 86 Difrsil Dklmlr F F biçimid bir difrsil dklm sismi vrilmiş ols. B sismi bir orml sism döüşürbilmk içi b dklmlrd... ürvlrii çözmk grkir. Eğr 5. sismid... ürvlri çözülbiliors b drmd vril sismi dklm sısı şi sıd dklm içr bir orml sism ld dilir. B orml sismi hr bir çözümü 5. sismii d bir çözümüdür. Dolısıl orml sismi gl çözümü 5. sismii d gl çözümü olkır. B gl çözümd kfi sbi blkır. Böl bir difrsil dklm sismii çözülmsi problmi bir orml sismi çözülmsi problmi döüşürülmüş olr. Dolısıl difrsil dklm sismlrii çözülbilmsi içi orml sismlri çözüm ömlrii bilimsi grkmkdir. Norml sismlri çözümü is ürm v ok m mod dı vril bir mol blbilir. B mol orml sismdki dklmlri ürmk v bir si hriç diğr üm foksiolrı ok mk sril bilim bir k foksio bir v dh fzl dklmi ld dilrk b dklm rdımıl sismi çözümü blmş olr. B içi d d d d f... f... d d d d f... f... orml difrsil dklm sismi vrilmiş ols. Şimdi b sismi birii dklmii ürlim. B drmd

187 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 87 f f f f f f f d d f d d f d d f f d d ld dilir ki b is biçimid d zılbilir. B şilik krr ürv lırk g f g f g f f d d g d d g d d g g d d blmş olr. B d biçimid zılbilir. B şkild dvm dilrk... f d d 5... dklmlri ld dilmiş olr. B difrsil dklmd ilk - sii... isid çözrk... g d d... g d d... g d d... g d d... g d d

188 88 Difrsil Dklmlr d d ϑ... d d d d ϑ d d. d d ϑ... d d zılbilir. Bl b ifdlri so difrsil dklm ol d g... d difrsil dklmid rlri zrk d d d d Φ... d d d d ld dilmiş olr. B is -ii mrbd bir difrsil dklmdir. Eğr b difrsil dklm çözülbiliors gl çözümü ϕ... biçimid olkır. B ifd 5.5 dklmlrid ri zılrk ϕ... ϕ... ϕ... blr. B şkild ld dil foksio bşlgıç vril difrsil dklm sismii gl çözümü olkır. Bl ilgili olrk şğıdki örği vrlim. Örk 5..: Aşğıdki difrsil dklm sismii gl çözümüü blz.

189 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 89 B sism bir orml sismdir. B gör birii difrsil dklmi dğişki gör ürvii llım. B kdird d d d d d d ld dilir. Ö rf d d oldğ dikk lıırs zılbilir. Đlk dklmd i çkrk b dklmd ri zrk ld dilir. B difrsil dklm is ikii mrbd sbi ksılı v ikii rflı bir difrsil dklm olp bir öki bölümd vril ömlrl çözülürs gl çözümüü biçimid olğı gösrilbilir. içi ld dil b dğr v ürvi birii dklmd ri zılırs ld dilir. Böl vril difrsil dklm sismii gl çözümü 6 9 olrk blmş olr. d d d d d d d d d d d d

190 9 Difrsil Dklmlr 5.. Lir Difrsil Dklm Sismlri Bir difrsil dklm sismii üm dklmlri bilim foksiolrı ürvlri gör lir is b sism lir difrsil dklm sismi dı vrilir. Arı bir sismd ksılr D d / d ürv oprörüü sbi ksılı poliomlrı is difrsil dklm sismi sbi ksılıdır dir. B kısımd biz sd sbi ksılı lir difrsil dklm sismlrii ilğiz. Sbi ksılı bir lir difrsil dklm sismi gl olrk L L L D L D... L D Q D L D... L D Q D L D... L D Q L D L D... L D Q şklid gösrilir. Brd L ij D ürv oprörlr poliomdr. B şkild bir difrsil dklm sismii çözümüd L D L D L D... L D L D L L D D L L D D drmiıd rrlılır. B drmi vril difrsil dklm sismi ksılr mrisii drmiı dı vrilir. Örği v z z olmk üzr d d dz d d dz z d d d d d d d d z l d d

191 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 9 difrsil dklm sismi sbi ksılı bir difrsil dklm sismidir. B sismi şğıdki gibi D d / d oprörü rdımıl zmk mümküdür. D D D z D D Dz D D z l. B gör b sismi ksılr mrisii drmiı D D D D D D D D biçimid olkır. Özl bir drm olrk bğımsız dğişk v v z z olmk üzr sbi ksılı üç lir difrsil dklmi olşrdğ bir sism L D L D L D z Q M D M D M D z Q 5.8 N D N D N D z Q şklid zılbilir. Brd Li D Mi D v Ni D i poliomlrı D oprörüü sbi ksılı poliomlrıdır. B sismi ksılr mrisii drmiı L D L D L D M D M D M D N D N D N D olkır. Dikk dilirs b drmi d D oprörüü sbi ksılı poliomdr. B poliom drsi vril difrsil dklm sismii drsi dı vrilir. Lir Cbir bilgilrimizd biliorz ki krıdki dklm sismid

192 9 Difrsil Dklmlr v Q L D L D Q M D M D 5.9 Q N D N D L D Q L D M D Q M D 5. N D Q N D L D L D Q z M D M D Q 5. N D N D Q ifdlri ld dilir dklmlrid hr birisi sbi ksılı ikii rflı bir difrsil dklm olkır. B drmd şğıdki üç drm söz kosdr: i is v z z blmz. ii sbi is v z z k ürlü olrk blirlidir. Ak b drmd çözümd kfi prmr blmz. iii drmiı D oprörüü bir poliom is dklmlrid hr biri -ii mrbd sbi ksılı ikii rflı birr difrsil dklm olğıd blrı gl çözümlrid hr biri kfi prmr içrkir. Dolısıl sismi çözümüd m olrk prmr mv olkır. Ak blrd sd si bğımsız olbilir. Şimdi şğıdki örklri vrbiliriz. Örk 5... Aşğıd vril difrsil dklm sismii çözlim. D D D D B sism içi D D D D D D D DD

193 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 9 ifdsi -ii drd oldğd sismi gl çözümüd lız bir igrl sbii blkır. B drmd D D D D D D D D olkır. Böl D v D difrsil dklmlri ld dilir. B difrsil dklmlri homoj kısımlrıı gl çözümlri içi D h C v D h C blr. Diğr rf D ö D D ld dilir. Brd C C ö D oldğ görülür. Ykrıd igrl sbiii bir olğıı blirmişik. O hld C v C sbilri rsıd bir ilişki krmlıız. B içi h v h C v C h olp b dğrlr homoj sismd rlri zılırs C h h h C h h h h

194 9 Difrsil Dklmlr oldğ görülür. Soç olrk difrsil dklm sismii gl çözümü C olrk blmş olr. Örk 5... D D sismii çözlim. B sism içi 5 D D D D ifdsi -ii drd oldğd çözümd lız iki igrl sbii blkır. B drmd 6 D 8 D D olkır. Böl D D 6 5 v D D 8 5 difrsil dklmlri ld dilir. B difrsil dklmlri homoj kısımlrıı gl çözümlri olrk h C C 5 v h C C 5 blr. Diğr rf ö D D D D ö D D D D ld dilir. Brd

195 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 95 C C C C ld dilir. Şimdi C C C v C sbilri rsıd bir ilişki krmlıız. B içi h C C 5 v h C C 5 şiliklrid h C C 5 5 v h C C 5 5 blr. B dğrlr homoj difrsil dklm sismid rlri zılırs h h h C C C C C C h h C C C C C C oldğ görülür. Brd d 5 C C C C 5 C C C C v dolısıl v C C C C blr. Soç olrk vril difrsil dklm sismii gl çözümü C C C C olrk blmş olr. Örk 5... D D difrsil dklm sismii gl çözümüü bllım. Vril difrsil dklm sism içi

196 96 Difrsil Dklmlr D D - D D drmiı -ii drd oldğd gl çözümd sd iki igrl sbii blkır. B drmd D D D D olkır. Böl D D v D D dklmlri ld dilir. B difrsil dklmlri homoj kısımlrıı gl çözümlri olrk sırsıl h os si v h C C blr. Diğr rf C os C si D D ö D D 5 D 5 D D ö ld dilir. Böl C os C si 5 C os Csi 5 D ld dilir. Şimdi C C C v C sbilri rsıd bir ilişki krmlıız. B içi h os si v h C C C os C si

197 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 97 şiliklrid C os C si C si C os h C os C si C si C os h blr. B dğrlr homoj difrsil dklm sismid rlri zılırs h h h h h şiliklrid C C v C C olğı görülür. B so olrk d vril difrsil dklm sismi gl çözümü C os C si 5 C os Csi 5 olrk blmş olr. D D D D D D difrsil dklm sis- Örk 5... mii gl çözümüü bllım. B sism içi D D D D D D ifdsi -ii drd oldğd difrsil dklm sismii gl çözümüd lız bir igrl sbii blkır. B drmd - - D D - D D D D D D D D - D D blr. Böl - -

198 98 Difrsil Dklmlr D D difrsil dklmlri ld dilir. B difrsil dklmlri homoj kısımlrıı gl çözümlri içi h C v h C oldğ görülür. Diğr rf D ö D D ö D olğıd brd C C ld dilir. Şimdi d C v C sbilri rsıd bir ilişkii bllım. B içi h C v h C olp h v h blr. B dğrlr homoj difrsil dklm sismid rlri zılırs h h h h h h h h difrsil dklm sismid C C ld dilir. Brd d C C oldğ görülür. Böl vril difrsil dklm sismii gl çözümü C C olrk blmş olr.

199 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 99 Örk D D D D D D difrsil dklm sismii gl çözümüü bllım. B sism içi D D D D D D oldğd çözümd hiçbir kfi sbii blmğı dikk dlim. B drmd D D D D D D - D D D D D D olkır. Böl olp brd d dklm sismii çözümü olrk ld dilir. Örk D D D D lir difrsil dklm sismii gl çözümüü bllım. B sism içi 6 7 D - D D D D D ifdsi -üü drd oldğd çözümd mı mı dör igrl sbii blkır. B drmd vril difrsil dklm sismid

200 Difrsil Dklmlr - D D D D oldğ görülür. Böl D 7D 6 v D 7D 6 homoj difrsil dklmlri ld dilir. B dklmlri gl çözümlrid h C os C si C os C si h C5 os C6 si C7 os C8 si blr. Şimdi C C C v C il C 5 C 6 C 7 v C 8 sbilri rsıd bir ilişki bllım. B içi grkli ürvlr lııp bl dğrlr vril difrsil dklm sismid rlri zıldığıd C5 C C 6 C C 7 C v C8 C ld dilir. Soç olrk vril difrsil dklm sismii gl çözümü C os C si C os C si C os C si C os C si olrk blmş olr. Şimdi şğıdki gibi vril bir difrsil dklm sismii göz öü llım v b sismi mrislr rdımıl çözümüü illim. d d d d... f... f 5... d... f. d

201 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr B sism homoj olm sbi ksılı lir bir orml sismdir. Biliorz ki homoj olm bir sismi gl çözümüü blmk içi ölikl homoj sismi gl çözümüü blmlıız. Dh sor d homoj olm sismi bir özl çözümü blrk b çözümlr oplır. 5. orml difrsil dklm sismii mris formd d d d d d d v dh kıs bir şkild biçimid zbiliriz. B drmd ğr A f f f v f f f lıırs b kdird krıdki difrsil dklm sismi f şklii lkır. Difrsil dklm sismii homoj olmsı drmd is v di d d d i j d d j ij ij d A d j j A f i f zılbilir. B gör şğıdki ormi vrbiliriz. 5.5

202 Difrsil Dklmlr Torm 5..: foksio homoj olm difrsil dklm sismii bir özl çözümü v v foksio d homoj difrsil dklm sismii gl çözümü is v homoj olm difrsil dklm sismii gl çözümüdür. d Đsp: A f difrsil dklm sismi vrilmiş ols. d v ifdsii b difrsil dklm sismii sğlmsı içi d d dv d d d zılbilğid d dv A.[ v ] d d v b dk olrk f d dv A. AV. d d f zılbilir. foksio homoj olm sismi bir özl çözümü oldğd d A. d f olkır v v foksio homoj sismi çözümüm oldğd dv A. v d lıır. B is ormi ispıı mmlr. Homoj olm sismi özl çözümüü blmk içi sbilri dğişimi mod kllbiliriz. B drmd d A d

203 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr şklidki homoj sismi gl çözümüü 5.6 şklid oldğ vrslım. B çözümü homoj olm sismi sğlbilmsi içi k ksılrıı sıl olmsı grkiği bklım. B içi 5.6 ifdsii homoj olm sismi sğlm şrıı zlım. olp b ifd sismid ri zılırs... f A d d d d k k k k k k k k k v ld dilir. k homoj sismi bir çözümü olp. A d d k k olğıd. f d d k k k olmlıdır. B gör k ksılrıı. f i k i k k... i. k k k d d d d d d k k k k k k.. f A d d... f A d d d d k k k k k k k

204 Difrsil Dklmlr şrlrıı sğlmsı grkiği ld dilir. Brd d ψ k k k ψ k d φk ld dilir. Dolısıl homoj olm sismi özl çözümü ö φ. k k k biçimiddir. B drm mris smbolül dh sd bir şkild zbiliriz. B içi d d A f sismi vrilmiş ols. d A d homoj difrsil dklm sismii gl çözümü i. k k k i biçimid ols. B çözümü mris gösrimid v dh kıs bir şkild X. C biçimid zbiliriz. Brd v C - bol sü vkörlri v X is - bol bir kr mrisir. B drmd problm X. C vkörü d A d f

205 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 5 sismii çözümü olk şkild C vkörüü blmsı problmidir. B içi d d oldğd dx d dx d C C X dc X d dc d AXC dx dc f AX C X f d d zılbilir. B kdird X homoj sismi bir çözümü oldğd dx d AX olr v dolısıl X dc d f X dc d C X X dc d X X f f d f ld dilir. Böl homoj olm sismi özl çözümü ö X. C X. X f d biçimid blmş olr. B drmd gl çözüm 5.7 X. C olkır. ö Şimdi d şğıdki homoj dklm sismii göz öü llım. d d... d d...

206 6 Difrsil Dklmlr d d.... B sism sbi ksılı lir v homoj bir orml sismdir. Dolısıl dh ö blirildiği gibi ürm v ok m mod kllılrk -ii mrbd sbi ksılı bir lir dklm döüşürülrk çözülbilir. Ak bşk bir öml d b çözmk mümküdür. B içi sismi k k k biçimid özl çözümlri rır. B mçl k k k... foksiolrıı sismi dklmlrii sğlmsı şrıd fdlılrk... v k sbilri blirlir. B foksiolr dklm sismid rlri zılrk k... k k... k k k... sismi v grkli düzlm pılrk k... k... k k k k sismi ld dilir. B sismi çözümü is lir bir drslrid bilimkdir. B içi sismi ksılr mrisii drmiı ol k 5. k... k

207 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 7... drmiı bkılır. B drmd ğr k b drmiı sıfır kılmıors sismi sd... şikâr çözümü vrdır v dolısıl d ld dilir. Sismi şikâr olm çözümüü blbilmsi içi k olmlıdır. B kdird k k dklmii köklri olr. B dklm vril difrsil dklmi krkrisik dklmi dı vrilir. d d Örk 5..7: ; difrsil dklm d d sismii gl çözümüü bllım. B sism bir homoj sismdir. Dolısıl ; foksiolrı sismi çözümlri olrk k k lı- bilir. B drmd b çözümlr vril sismd ri zılırs k k k k k k v dh sd olrk k k k sismi ld dilir. B sismi krkrisik dklmi k k k k k k olp brd k v k blr. O hld k içi olğıd çözümlr ; olkır. Diğr rf k içi olp is blr. B drmd çözümlr ; biçimiddir. Böl vril sismi gl çözümü

208 8 Difrsil Dklmlr olrk blmş olr. Örk 5..8: d d d d si ; os difrsil dklm sismii çözlim. B sism bir homoj olm sismdir. Bir öki örk homoj sismi çözümüü biçimid oldğ ld mişik. Şimdi b çözümd gç v i öl blirllim ki b çözüm homoj olm sismi çözümü ols. Sbii dğişimi mod gör b çözümd d d olp b ifd sismdki birii dklmd ri zılırs os v os ld dilir. Bzr şkild d d olp b ifd sismdki ikii dklmd ri zılırs si v si b

209 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 9 ld dilir. v b şiliklrid os si dklm sismi ld dilir. B sismd os si os si v brd d os si d os k os si d si os k ld dilir. B foksiolr homoj sismi çözümüd rlri zılırs vril sismi gl çözümü olrk k k os si k k 7 os si blmş olr. Şimdi d ı sismi mris rdımıl çözlim. B drmd d d sismii gl çözümü X. C olp brd os si ö X v dolısıl d X

210 Difrsil Dklmlr X olkır. O hld ö. os d si. os si d os si os. si os os si 7 os si ld dilir. B gör gl çözüm X. C bğıısıd ö. os si 7 os si olrk blmş olr. d d dz Örk 5..9: ; z ; difrsil dklm sismii çözlim. B difrsil dklm sism bir homoj sism- d d d k k k dir. Sismi çözümüü A ; B ; z C şklid oldğ vrslım. B gör sismi sğlm şrıd d d Ak k ; d d Bk k ; dz d Ck k

211 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr olğıd blr sismd ri zılırs b kdird k k Ak A Bk k B k k k Ck B B C k k v dh sd olrk k A B k B C B Ck sismi ld dilir. B sismi krkrisik dklmi k k k k k k k olp brd k ; k v k ld dilir. B drmd k içi B ; C v A olp A lıırs çözümlr ; ; z şklid olr. Ö rf k içi A B ; B C v B C ld dilir. Brd d A B C blr. Eğr A lıırs çözümlr ; ; z olkır. k olmsı drmd is A B ; B C v B C dklmlri ld dilir. Brd d B C / v A C / olğı görülür. Eğr C lıırs B v A olkır. Böl çözümlr ; ; z şkliddir. Soç olrk vril difrsil dklm sismii gl çözümü z olrk blmş olr.

212 Difrsil Dklmlr Örk 5..: d 5 6 z d d 5 z d dz z d difrsil dklm sismii çözlim. B sism bir homoj olm k k k sismdir. Homoj sismi çözümlri A ; B ; z C ols. B gör homoj sismi sğlm şrıd d d Ak k ; d d Bk k ; dz d Ck olğıd blr sismd ri zılırs b kdird k k k Ak 5 A 6B k k k Bk A 5B k k k Ck A B v dh sd olrk 5 k A 6B C A 5 k B C A B k C C C C sismi ld dilir. B sismi krkrisik dklmi 5 k k 5 k k k k 6 k k k k olp brd k ; k v k ld dilir. B drmd k içi A 6B C k

213 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr A 6B C A B C sismi ld dilir. Brd B C A B olkır. B lırk A ; B ; C blr. B drmd çözümlr ; ; z olrk ld dilmiş olr. k içi 6 A 6B C A B C A B C sismi ld dilir. Brd A B C olğı görülür. A içi A ; B ; C blr. B drmd is çözümlr ; ; z olrk ld dilmiş olr. k olmsı drmd is 8 A 6B C A B C A B sismi ld dilir. Brd d A B C blr. A içi A ; B ; C blr. B drmd d çözümlr ; ; z olrk ld dilmiş olr. Böl homoj difrsil dklm sismii gl çözümü z olrk blmş olr. B is mris gösrimid

214 Difrsil Dklmlr z biçimid zılbilir. Şimdi d homoj olm difrsil dklm sismii çözümüü bllım. B içi d f X X ö bğıısıd rrlğız. X X oldğ gösrilbilir. Brd d ö. d. d. / / /. ld dilir. O hld vril sismi gl çözümü z /

215 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 5 olrk blmş olr. Alışırmlr: Aşğıd vril dklm sismlrii çözüüz. D D b D D D D os si D D D D d D D D os D D D f D D D D D D g d d d d / / h d d d d 5 / / ı z d dz z d d z d d / / 5 / i z d dz z d d z d d / 5 / 6 5 / j z d dz z d d z d d si / si / si /

216 6 Difrsil Dklmlr k d / d z d / d z dz / d z 5.. Toplm Difrsil Dklmlr P z... d Q z... d... T z... d 5. şklid zılbil dklmlr oplm difrsil dklm dı vrilir. B kısımd böl bir difrsil dklmi çözümüü blm çlışğız. Birii bölümd vril m difrsil dklmlri hırllım. Ord P d Q d biçimid bir difrsil dklm vrildiğid ğr b difrsil dklm bir m difrsil dklm is b difrsil dklmi çözümü dildiğid dğişki gör ürvi P foksio v dğişki gör ürvi d Q foksio şi ol bir U foksio blmsıı isdiği lşılmkdır. Örği U C foksio d d difrsil dklmi gl çözümü olkır. Kollık olmsı bkımıd brd sd P z d Q z d R z dz 5. formdki difrsil dklmlri vrmkl iğiz. B drmd 5. formd bir oplm difrsil dklm vrildiğid difrsili b ifd şi ol bir foksio blbilmsi içi grk koşl ifd dğiz v foksio sıl blbilğii vrğiz. Drm dh ii lşılbilmsi içi şğıdki oplm difrsillri göz öü llım. i z d si z d osz dz ii z d d dz iii d d dz. B drmd i d vril oplm difrsil ifdsii U z z si z C

217 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 7 foksio oplm difrsili oldğ görülür. Böl bir difrsil dklm m difrsil dklm dir. Yi du z P z d du si z Q z d du dz os z R z dir. ii dki ifd bir m difrsil dklm dğildir. Ak dh öki bölümlrd bliriğimiz gibi g bir igrl çrpı il m difrsil drm girilbilir. B içi difrsil dklmi il çrpmk rlidir. B drmd difrsil dklm ii z d d dz difrsil dklmi döüşmüş olr. B drmd is b ifd U z z C foksio oplm difrsilidir. iii dklmi içi U z C biçimid bir foksio blmk mümkü dğildir. Şimdi şğıdki ormi vrbiliriz: Torm 5... P z d Q z d R z dz şklid vril bir oplm difrsil dklmi çözülbilmsi içi Q R R P P Q P Q R 5. z z şiliğii sğlmsı grkir. B şiliğ 5. difrsil dklmii igrllbilirlik v çözülbilirlik şrı d dir. Đsp: P z d Q z d R z dz oplm difrsil dklmii U z C gibi bir ifdi oplm difrsili oldğ vrslım. B drmd λ z gibi bir çrpı ok drk U z U z U z d d dz z

218 8 Difrsil Dklmlr şiliğid P z U. λ Q z U. λ v R z z U. λ zılbilir. Böl sürklilik vrsımı lıd z U Q Q P P z U λ λ λ λ z z U R R z Q z Q z z U λ λ λ λ 5. z z U z P z P R R z z U λ λ λ λ şiliklri zılır. B şiliklri sırsıl Q P R v il çrpıp rf rf oplrk z P Q R P Q R R Q z Q P P R λ λ zılbilir. Brd d Q P R z P R Q R z Q P ld dilir ki b d ispı mmlr. Soç 5... Tormi ispıd z λ lıırs difrsil dklm m difrsil olr. B drmd 5. dklmlrid sırsıl Q P R z Q v z P R m difrsillik koşl ld dilir. dz z R d z Q d z P oplm difrsil dklmi vrilmiş ols. B dklmi çözbilmk içi şğıdki dımlr kip dilbilir.

219 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 9 Difrsil dklmi 5. çözülbilirlik koşl sğlıp sğlmdığı bkılır. Eğr 5. koşl sğlıors difrsil dklmi çözümü mvr ksi kdird difrsil dklmi çözümü okr. Difrsil dklmi çözülbilir olmsı drmd m difrsilliği bkılır. Eğr difrsil dklm m difrsil is çözüm çıkır d difrsil dklmi id grpldırmk grkbilir. Eğr difrsil dklm m difrsil dğils birii bölümdki drm bzr şkild g bir igrl çrpı il difrsil dklm m difrsil hl girilbilir d dklm id grpldırılır. Ş g bir igrl çrpı blmıors b drmd dğişklrd biri msl z dğişki sbi lp ld dil difrsil dklmi igrli lıır. Ak igrl sbiii z dğişkii bir foksio olrk ϕ z gibi düşümk grkir. Soç ld dil foksio difrsili lırk b ksılrı il bşlgıç vril difrsil dklmi ksılrı şlşirilmk sril ϕ z foksio blirlir. Difrsil dklmi homojliği bkılır. Eğr difrsil dklm homoj is g bir dğişk dğişimi pılrk dğişklrd biri diğrlrid rılbilir. Örği z v vz dğişk dğişimi pılbilir. Şimdi şğıdki örklri vrbiliriz. Örk 5... d d zdz oplm difrsil dklmii çözlim. B difrsil klm içi P z Q z v R z z olp brd d P Q Q z R v R P z oldğ ld dilir. Böl difrsil dklm içi çözülbilirlik şrı sğlır. Üslik difrsil dklmi m difrsil oldğ çıkır. Vril difrsil dklmd id grpldırm pılrk difrsil dklm d d d zdz

220 Difrsil Dklmlr biçimid d zılbilir. Brd rim rim igrl lmk sril z C ld dilir. v z C Örk 5... z d z d dz oplm dklmii çözlim. B difrsil dklm içi P z z Q z z v R z olğıd P Q Q z R v R P z oldğ ld dilir. Böl difrsil dklm içi çözülbilirlik şrı sğlır. Üslik difrsil dklmi m difrsil oldğ çıkır. Vril difrsil dklm id grpldırılırs d d zd dz zd dz zılbilir. Brd rim rim igrl lmk sril çözüm olrk z z C ld dilir. oplm dif- Örk 5... os d z d dz rsil dklmi çözlim. B difrsil dklm içi P z os Q z z v R z olğıd P Q Q z R v R P z ld dilir. Böl difrsil dklm içi çözülbilirlik şrı sğlır v dklmi m difrsil oldğ çıkır. B drmd vril difrsil dklm id grpldırılırs os d d d zd dz

221 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr v dh sd biçimd os d d d z zılbilir. Brd rim rim igrl lmk sril çözüm olrk si z C ld dilir. Örk 5... d z d dz difrsil dklmi çözlim. B difrsil dklm içi P z Q z z v R z olğıd P Q Q R z v R P z ld dilir. Böl Q R R P P Q P Q R z z çözülbilirlik şrıd b dğrlri ri zrsk b difrsil dklm içi çözülbilirlik şrıı sğldığıı görürüz. B drmd vril dklm id grpldırılırs d dz d z d dz d z zılbilir. Brd rim rim igrl lmk sril çözüm olrk l z C ld dilmiş olr. Örk d z d dz oplm difrsil dklmii çözülbilir bir difrsil dklm olp olmdığıı rşırıız. B difrsil dklm içi P z Q z z v R z

222 Difrsil Dklmlr olğıd P Q Q R z z R P v z ld dilir. Böl Q R R P P Q P Q R z z çözülbilirlik şrıd b dğrlri ri zrsk z z z z oldğd b difrsil dklm içi çözülbilirlik şrıı sğlmdığı görülür. B drmd vril difrsil dklmi çözümü mv dğildir. Örk z d d dz oplm difrsil dklmii çözülbilir bir difrsil dklm olp olmdığıı rşırıız. Çözülbilir is çözümüü blz. B difrsil dklm içi P z Q z z v R z olğıd P Q Q R z z z R P v z ld dilir. Böl Q R R P P Q P Q R z z çözülbilirlik şrıd b dğrlri ri zrsk z z z oldğd b difrsil dklm içi çözülbilirlik şrı sğlır. B drmd vril difrsil dklmi şğıdki gibi grpldırbiliriz. d d dz z.

223 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr Brd rim rim igrl lmk sril dklmi çözümü olrk z C z z ld dilmiş olr. Örk d d z zdz oplm difrsil dklmii çözülbilir bir difrsil dklm olp olmdığıı rşırıız. Çözülbilir is çözümüü blz. B difrsil dklm içi P z olğıd Q z v R z z z P Q Q R z z R P v z z ld dilir. Böl Q R R P P Q P Q R z z çözülbilirlik şrıd b dğrlri ri zrsk z z z z z z oldğd b difrsil dklm içi çözülbilirlik şrı sğlır. B drmd vril difrsil dklmi şğıdki gibi grpldırbiliriz. d d z zdz. Brd rim rim igrl lmk sril dklmi çözümüü l z z l l z z.l olğı görülür. z z C

224 Difrsil Dklmlr Örk d d zdz oplm difrsil dklmii çözülbilir bir difrsil dklm olp olmdığıı rşırıız. Çözülbilir is çözümüü blz. B difrsil dklm içi P z Q z v R z z olğıd P Q Q R z R P v. z z ld dilir. Böl Q R R P P Q P Q R z z çözülbilirlik şrıd b dğrlri ri zrsk z z z z 5 5 oldğd b difrsil dklm içi çözülbilirlik şrı sğlır. B drmd vril difrsil dklmi il çrprsk şğıdki difrsil dklm ld dilir.. d d zdz B difrsil dklmi is v d d d zdz d d zdz biçimid id grpldırbiliriz. Trim rim igrllr lmk sril difrsil dklmi çözümüü olğı görülür. l s z C

225 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 5 Örk zd zd dz oplm difrsil dklmii çözülbilir olp olmdığıı rşırıız. Çözülbilir is çözümüü blz. B difrsil dklm içi P z olğıd v z Q z z v R z P Q Q R z z z R P z ld dilir. Böl Q R R P P Q P Q R z z çözülbilirlik şrıd b dğrlri ri zrsk z z z z z z oldğd b difrsil dklm içi çözülbilirlik şrıı sğlır. Arı b difrsil dklm bir homoj difrsil dklmdir. B drmd z; vz dğişk dğişimi pılırs vril difrsil dklm vz dz zd z vdz zdv vz dz vd dv d dv v difrsil dklmi ld dilir. Brd rim rim igrl lmk sril difrsil dklmi çözümüü l l v l C C z C v olğı görülür.

226 6 Difrsil Dklmlr Örk 5... z d z d z dz biçimidki bir oplm difrsil dklmii çözülbilir olp olmdığıı rşırıız. Eğr çözülbilir is çözümüü blz. B difrsil dklm içi P z z Q z z v R z z olğıd P Q Q R z R P v z ld dilir. Böl Q R R P P Q P Q R z z çözülbilirlik şrıd b dğrlri ri zrsk z z z oldğd b difrsil dklm içi d çözülbilirlik şrıı sğlır. Arı b difrsil dklm içi m difrsillik şrı sğlmz. B drmd z i sbi gibi düşübiliriz. Brd z d z d v b dk olrk d z d z z ld dilir. z sbi lıdığıd b so difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp gl çözümüü birii bölümdki bilgilrl blmk mümküdür. Böl z ϕ z z z oldğ görülbilir. B şiliği hr iki ıı difrsili lırk d dz z d dz d dz dϕ z z z z z v b dk olrk

227 5. Bölüm: Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr 7 z d z d z dz z dϕ z ld dilir. B ifd bşlgıç vril difrsil dklml krşılşırılırs ϕ ϕ ϕ z d z d z z C olkır. Böl difrsil dklmi gl çözümüü z C z C z z z olğı görülür. Aı çözüm difrsil dklmi homojliğii kllrk d blbilir. Örk 5... Aşğıdki oplm difrsil dklmii çözülbilir olp olmdığıı rşırıız. z d z z d z z dz Çözüm: B difrsil dklm içi P z z Q z z z R z z z olğıd v P Q Q R z z z R P z ld dilir. Böl Q R R P P Q P Q R z z

228 8 Difrsil Dklmlr çözülbilirlik şrıd b dğrlri ri zrsk b şrı sğlğı görülbilir. Arı b difrsil dklm içi m difrsillik şrı sğlmz. Ak b difrsil dklmi ikii drd bir homoj difrsil dklm oldğ kol görülmkdir. B dl z; vz dğişk dğişimi pılrk difrsil dklmi çözmk mümküdür. Grkli çözüm pılırs difrsil dklmi çözümüü z C z biçimid olğı görülbilir. Alışırmlr: Aşğıdki oplm difrsil dklmlri gl çözümlrii blz: d zd dz b z d z d dz d z zd zd z dz zd z z d dz z z d z z d z z dz

229 BÖLÜM VI DĐFERANSĐYEL DENKLEMLERĐN SERĐLERLE ÇÖZÜMÜ 6.. Giriş Dğişk ksılı lir difrsil dklmlr i çözümlr difrsil dklmi sbi ksılı bir difrsil dklm döüşürülbilir olmsı dışıd bili lmr foksiolrl ifd dilmz. Ak glmlrd difrsil dklmlri büük bir kısmı is sbi ksılı difrsil dklm idirgm ip difrsil dklmlrdir. Dolısıl pk çok glm problmid kplı biçimd i poliomlr v rsol üslü logrimik rigoomrik foksiolr isid ifd dilm difrsil dklmlrl krşılşılbilir. B şkildki bir difrsil dklmi çözbilmk içi bir di ok rfıd sri çılbil v b srii kısklık rlığı içid göz öü lı çözümlr rmlıdır. B drmd is lmr foksiolrı ösid bir kım özl foksiolr kllmk grkbilir. Bl ilgili olrk b bölümd difrsil dklmlri çözümlrii blmsıd srilrl çözüm ömii vrğiz. Ak b içi ölikl Aliz drslrid d bildiğimiz srilr v foksiolrı Tlor srisi çılımlrıd kıs bhsdğiz. 6.. Tml Kvrmlr gibi bir dizi vrildiğid b dizid hrkl olşrl oplmı bir sosz sri d kıs sri dı vrilir. B drmd srii gl rimi dir. B gör i vrilmsil srii rimlrii olşm k vrilmiş olr. Örği

230 Difrsil Dklmlr... ifdlri birr sri örğidir. s s... s. s... olmk üzr s dizisi srisii kısmi oplmlr dizisi dir. Eğr s dizisi kısk v lim s s is b kdird srisi kıskır dir. B drmd s sısı srii oplmı v limii dir v b drm s il gösrilir. Ykısk olm srilr is ırksk sri dir. B kdird srisii kısk srisii is ırksk oldğ gösrilbilir. Diğr rf ğr srisi kısk is lim olğı gösrilbilir. Arı srilri kısklıklrı il ilgili olrk şğıdki ormlri vrbiliriz. B ormlri isplrı Aliz kiplrıd kol blbilğid brd isp girilmkir. Torm 6..: srisii kısmi oplmlr dizisi s ols. B drmd srisii kısk olbilmsi içi grk v r koşl hr ε > sısı içi bir N ε sısı blbilir öl ki hr > Nε içi s s p <ε dır brd p hrhgi bir poziif m sıdır. Torm 6..: Bir srii bş rfı sol sıd rim klmk d bş rfıd sol sıd rimi mkl srii krkri kısklığı v ırksklığı dğişmz. Torm 6..: olmk üzr k gomrik srisi k < içi kısk k içi ırkskır. Ykısklık drmd

231 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü k k şiliği sğlır. Torm 6.. Krşılşırm Tsi: v b rimlri poziif iki sri ols. N bir doğl sı olmk üzr hr > N içi i < b v b srisi kısk is srisi d kıskır. ii > b v b srisi ırksk is srisi d ırkskır. Torm 6..5: v b rimlri poziif iki sri olmk üzr lim l ols. B drmd b i l oldğd b srisi kısk is srisi d kıskır. ii l oldğd b srisi ırksk is srisi d ırkskır. iii l oldğd b v srilri ı krkrddir i hr ikisi d kısk d hr ikisi d ırkskır. Torm 6..6 D Almbr Or Tsi: rimlri poziif ol bir sri olmk üzr lim l ols. B drmd i l < oldğd srisi kıskır.

232 Difrsil Dklmlr ii l > oldğd srisi ırkskır. iii l oldğd s vp vrmz. Torm 6..7 Ch Kök Tsi: olmk üzr lim lim l ols. B drmd i l < oldğd ii l > oldğd srisi kıskır. srisi ırkskır. iii l oldğd s vp vrmz. Torm 6..8 Rb Tsi: l ols. B drmd i l < oldğd ii l > oldğd srisi kıskır. srisi ırkskır. Tım 6..: srisi vrilmiş ols. Eğr is b kdird srisi mlk kıskır dir. rimlri poziif ol bir sri bir sri olmk üzr srisi kısk B ım v dh ö vril kısklık ımı göz öü lıırs mlk kısk hr srii kısk olğı çıkç görülbilir. Tım 6..: > olmk üzr şklidki bir sri lr sri dı vrilir. Örği... srisi bir lr sridir.

233 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü Bir lr srid hr doğl sısı içi < v lim isb kdird sri kıskır. Örği srisii göz öü llım. B sri içi v olp < şrı sğlır. Arı lim dır. Dolısıl vril sri kıskır. Tım 6..: bir dğişk olmk üzr şklid ıml bir sri kvv srisi dı vrilir. B srid i lğı hr dğr krşılık bir ümrik sri ld dilir. B srilrd bzılrı kısk bzılrı is ırksk olbilir. B gör kvv srilrii kısk olbilmlrii i dğrlri bğlı olğı so vrırız. Ö d olrk lımsı drmd srisi ld dilir. B drmd srisii v srisii içi kısk v oplmlrıı sıfır olğı çıkır. 6. kvv srisid döüşümü il 6. srisi ld dilbilir. Dolısıl b srilrd hrhgi birisi il çlışmk rlidir. Biz ksi blirilmdikç 6. srisi il çlışğız. Böl bir srii kısk olbilmsi içi i hgi dğrlri lmsı grkiği bklım. B içi D Almbr Or Tsii kllmk rlidir. Şimdi b krlı 6. srisi gllım. B drmd lim ld dilir. Brd lim. lim hld srii kısk olbilmsi içi R lıırs lim R olkır. O

234 Difrsil Dklmlr R< < < < R R R olmsı grkir. v içi b krll bir ş sölmğid b dğrlr içi srii kısk olp olmdığı rı bkılmsı R R grkmkdir. B şkild olşrl rlığı vril srii R R kısklık rlığı v r sısı is srii kısklık rıçpı dı R vrilir. Örği / oldğd lim srisii kısklık rlığıı bllım. B drmd lim lim ld dilir. O hld srii kısk olbilmsi içi < i < < olmlıdır. Ö d olmsı drmd sri... oldğd kısk olmsı drmd is sri... oldğd ırksk olkır. Böl srii kısklık rlığı < olrk blmş olr. Şimdi d! srisii kısklık rlığıı bllım. B sri içi /! oldğd lim! lim! lim lim < ld dilir. O hld srii kısklık rlığı üm rl sılr kümsi olkır. Şimdi d! srisii kısklık rlığıı bllım. B sri içi! oldğd

235 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 5 lim! lim! lim lim ld dilir. O hld srii kısk oldğ küm sd A {} kümsidir. f gibi bir foksio vrilmiş ols. i vrilmiş frklı dğrlri içi f foksio dğrii hsplmk foksio krmşık olrk vrildiği drmlrd oldkç zor v z olbilir. Örği os v r şklid vril foksiolrı i vril bir dğri krşılık gl dğrii blmk oldkç zordr. Os foksiolrı dh bsi şkillr girmk sril dğrlrii bzı küçük spmlrl d ols b ifdlrd hsplmk mümküdür. B içi foksiolrı sri çılımlrıı kllmk rlidir. Bir foksio bğımsız dğişki kısklık rlığıdki dğrlri içi bir kvv srisi il gösrilbilir. Bğımsız dğişki vril bir dğri içi foksio klşık dğri srii bş birkç rimii kllrk hsplbilir. Foksiolrı Mlri v Tlor çılımlrı olrk dldırıl sri çılımlrı şğıdki gibi ımlır. Mlri srisii ld mk içi f foksio f şklid ifd mk islim. B drmd böl bir çılımı mümkü olbilmsi içi i ksılrıı blirllim. B içi f ifdsii v ürvlrii kllbiliriz.... f f f ld dilir. Brd olmsı drmd f f. f.. f

236 6 Difrsil Dklmlr blr. Böl f f f! f f.! f f..! f f...!. zılbilir. B dğrlr f içi vril ifdd rlri zılırs f f f f... f... 6.!!! blr ki b f foksio Mlri srisi dı vrilir. B ifdd f foksio Mlri srisi çılbilmsi içi f foksio kdisii v ürvlrii oksıd ımlı v sürkli olmsı grkiği kol görülmkdir. Örği f biçimid vril foksio l llım. B drmd f f f f.. f f olğıd f!!!...!...

237 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 7 ld dilir. Özl olrk lıırs blr !!!! Şimdi d f foksio ifdsii r kvvlri gör düzlmiş bir kvv srisi il gösrlim. B içi f foksio f şklid ifd mk islim. B drmd böl bir çılımı mümkü olbilmsi içi ksılrıı şkild olmsı grkiğii blirllim. B içi f i ifdsii v o ürvlrii göz öü llım. f f f olp b ifdlrd lıırs f f. ld dilir. Böl f f f! f.. f..... f f.! f f..!

238 8 Difrsil Dklmlr f... f!. zılbilir. B dğrlr ifdsid rlri zılırs f f f f... f...!!! 6. blr. B sri f foksio ifdsii kvvlri gör düzlmiş Tlor srisi dı vrilir. Brd i f foksio böl bir Tlor srisi çılbilmsi içi f foksio v o ürvlrii d ımlı v sürkli olmsı grkiğii hırllım. Örği f biçimid vril foksio d Tlor srisi çlım. B drmd f f f f.. f olğıd f f......!!!! ld dilir. f Aliz drslrid biliorz ki hr kvv srisi ım kümsi b srii kısklık rlığı ol bir foksio ımlmkdır. Örği srisi < içi kıskır. Dolısıl < içi b sri f......

239 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 9 foksio ımlr. Bzr şkild b ifdd oldğ görülbilir Eğr bir kvv srisi bir r r rlığıd kısk is srii b rlık ımldığı foksio b rlık ürvlbilir bir foksiodr. B drmd < < < f f. olkır. Örği / foksio ıml srii bllım. Ykrıd g oldğ ifd mişik. B şilik hr iki rfı ürvi lıırs... ld dilir. O hld r sri vrbiliriz..... srisidir. Şimdi şğıdki ımı Tım 6..: Eğr f foksio bir oksıı komşlğd f f! biçimid bir kvv srisi il gösrilbiliors b foksio oksıd liikir dir. B ım gör si os foksiolrıı rl ks üzrid liik oldğ çıkır. Zir < <

240 Difrsil Dklmlr si! 5 5!...!... os!!...!... oldğ gösrilbilir. 6. Sri Çözümlri Blmsı B kısımd özl bir dğişk ksılı difrsil dklm ol P Q 6.5 şklidki ikii mrbd lir difrsil dklm göz öü lıkır. Böl bir difrsil dklmi çözümüü bzı özl drmlr dışıd blmğıı b bölümü bşlgııd ifd mişik. Dolısıl b ip bir difrsil dklmi çözümüü blmsıd kvv srilrid rrlmk grkmkdir. 6.5 biçimid vril bir difrsil dklmi çözümlrii rşırılmsıd bir oksıı komşlğd P v Q ksı foksiolrıı drm ömli rol omkdır. B drmd. Eğr bir oksıd P v Q ksı foksiolrıı Tlor çılımlrı mv is i b foksiolr oksıd liik is b drmd P v Q foksiolrı sürkli k dğrli v hr mrbd ürvlbilir olkır. B şkildki bir oksı vril difrsil dklmi bir di oksı dı vrilmkdir. B kdird vril difrsil dklmi çözümü birz sor vrilk ol blirsiz ksılr modl blbilir.. oksı vril difrsil dklmi bir di oksı dğils b kdird b ok kil ok d kırı ok dı vrilir. B kdird şğıd vril iki drmd birisi söz kosdr. Y P v Q ksı foksiolrıı hr ikisii d oksıd Tlor çılımlrı mv dğildir d P v Q ksı foksiolrıd birii b okd Tlor çılımı mv ik diğriiki mv dğildir. oksı 6.5 dklmii bir kil oksı ols. B drmd P v Q çrpımlrıı drm gör kil ok

241 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü düzgü kil ok d düzgü olm kil ok olmk üzr iki kısm rılır. Eğr P v Q çrpımlrıı hr ikisi d liik is i Tlor srisi çılbiliors b drmd oksı düzgü kil ok ksi drmd düzgü olm kil ok dı vrilir. Örği difrsil dklmii göz öü llım. B difrsil dklm içi P v Q ksı foksiolrıı hr ikisi d oksıd ımsızdır. Dolısıl b foksiolrı d sri çılımlrı mv dğildir. Bşk bir dişl hr iki foksio d liik dğildir. Yi b ok bir kil okdır. Bzr şkild oksıı göz öü ldığımızd P foksio liik oldğ hld Q foksio liik dğildir. Dolısıl b ok d bir kil ok olkır. Ak oksı içi P v Q olp b çrpımlrı hr ikisi d d liikir. Böl oksı bir düzgü kil okdır. Diğr rf oksı içi P v Q olp b çrpımlrı ilki d liik oldğ hld ikiisi i liik dğildir. Böl oksı bir düzgü olm kil okdır Blirsiz Ksılr Yömi oksı 6.5 difrsil dklmii bir di oksı ols. B drmd vril difrsil dklmi b di ok ivrıd bir sri çözümüü blmk içi biçimid bir sri göz öü llım. B ifdd ürvlr lırk

242 Difrsil Dklmlr ld dilir. v ifdlri 6.5 difrsil dklmid ri zılrk ld dil ifd i kvvlri gör id düzlir. B drmd üm ksılr sıfır şilrk bilim i ksılrı blr. Bl b ksılr içi vril srid rlri zılrk difrsil dklmi çözümü ld dilmiş olr. Diğr rf hrhgi bir oksıı 6.5 difrsil dklmii bir di oksı olmsı drm göz öü llım. B drmd dh ö blirildiği gibi dğişimi pıldık sor isid dklmi sri çözümü blrk gri döüşüm glbilir. B dl dklmi bşlgıç oksı ivrıdki çözümlrii çlışmk rli olkır. Örk 6..: difrsil dklmii çözüüz. B dklmd..... v P Q olp hr ikisi d d liikir. Bşk bir dişl oksı vril difrsil dklmi bir di oksıdır. O hld r sri çözümü şklid oldğ kbl dilirs ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs [... [......]...]...

243 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 6... [ ]... oldğ görülür. Brd i büü ksılrı sıfır şilrk ld dilir. Böl difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr. Örk 6..: difrsil dklmii çözüüz. B dklmd P v Q olp b foksiolr d liikir. Yi oksı vril difrsil dklmi bir di oksıdır. O hld r sri çözüm şklid olp brd ürvlr lıırs

244 Difrsil Dklmlr... ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs v ld dilir. B so şilikki birii srid ri lıp i sıfırd bşlrk v b ri d [ ] zılbilir. Brd is

245 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 5 ld dilir. B idirgm formülüd i ksılrıı rı rı hsplbiliriz. B içi... şiliğid ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümüü olğı görülür.

246 6 Difrsil Dklmlr Örk 6..: difrsil dklmii çözüüz. B difrsil dklm içi P v Q olp hr iki foksio d oksıd liikir. Dolısıl r sri çözüm şklid olp brd ürvlr lıırs ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs v b dk olrk ld dilir. B so şilik [ ]

247 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 7. ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümüü olğı görülür. Örk 6..: difrsil dklmii i kvvlri şklid bir çözümüü ld diiz. B difrsil dklmd ölikl döüşümü prk vril difrsil dklmi d / d biçimi girlim. B difrsil dklm içi P v Q olkır. B foksiolr oksıd liikir. Dolısıl şklid sri çözüm blbilir. B drmd ürvlr lıırs ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs [ ] [......] v b dk olrk...

248 8 Difrsil Dklmlr... 6 ] [... ld dilir. B so şilik ld dilir. Böl difrsil dklmii gl çözümü olkır. O hld vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr.

249 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü Frobis Yömi oksı 6.5 difrsil dklmii bir düzgü kil oksı ols. B drmd bir öki prgrf vril blirsiz ksılr öml b ok ivrıd biçimid bir sri çözüm ld dilmz. B dl difrsil dklmi b düzgü kil ok ivrıd bir sri çözümüü blmk içi bşk bir öm kllmk grkkir. Örği dklmi içi oksı bir kil okdır. Ak vril difrsil dklmi biçimid düşüürsk P v Q oldğd oksı bir düzgü kil okdır. Bzr şkild difrsil dklmi içi oksı bir kil okdır. B difrsil dklmi şkli döüşürdüğümüzd P v Q / oldğd dolı oksı bir düzgü olm kil ok olkır. Diğr rf dklmi bir Ch Elr dklmi olp dğişk dğişimi pılrk dh öki bölümlrd vril öml b difrsil dklm çözülbilir. Ak b difrsil dklmi çözümü rık kvv srisi biçimid olmkır. Fk şğıd d vrilği gibi bzı drmlrd kvv srisi bzr çözümlr blbilir. B içi Frobis ömi dı vril bir öm kllılbilir. B ömd ğr difrsil dklmi P Q P Q P Q......

250 5 Difrsil Dklmlr biçimi girilbilior v P v Q foksiolrı oksı ivrıd Tlor srisi çılbiliors b drmd P Q d sri çılımlrı b so difrsil dklmd ri zılrk difrsil dklm d biçimi girilmiş olr. B drmd is difrsil dklmi gl çözümüü m 6.6 olğı görülbilir. Frobis ömi oksı difrsil dklmi bir düzgü kil oksı olmk üzr 6.5 biçimid vril bir difrsil dklmi 6.6 formd bir çözümüü blmsı içi m sısıı v ksılrıı blirlmsi grçği dır. Brd m sısı m m poziif gif d sıfır olbilir. m sısıı sıfır olmsı d poziif bir m sı olmsı drmd Frobis ömi kvv srisi çözümlri d içrkir. Diğr rf ğr oriji bir düzsiz kil ok is b drmd Frobis ipi çözüm blmbilir. m Şimdi oksıı 6.5 dklmii bir düzgü kil oksı oldğ kbl dlim. B drmd P v Q ifdlri d liik olkır v b dl kısklık rlığıd m... m... P Q d sri çılımlrı zılbilir. Diğr rf 6.6 ifdsid ürvlr lıırs b kdird m m ld dilir. Böl m m m

251 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 5 m m P m m k k k m k m zılbilir. Bzr şkild m Q m ld dilir. B ifdlr 6.5 difrsil dklmid ri zılırs b kdird difrsil dklm m m m k k k m m k m.. k k k m d d v id düzlm pılrk ] [ k k k k d k m biçimid zılbilir. B ifdd k k k m m k m k k k m ] [ d m m m

252 5 Difrsil Dklmlr f k d k k k f i k k i i di gösrimlri kllılırs krıdki ifd f m f i i m i v dh sd olrk [ f m f i i m i ] biçimid zılbilir. Brd i ksılrı sıfır şilrk f m 6.7 f m f m i i i krrlm bğıısı ld dilir. B drmd oldğd f m m m m d 6.9 olmlıdır. B dklm vril difrsil dklmi idisl dklmi dı vrilir. B dklm. drd oldğ gör m v m gibi iki kökü olkır. B gör vril difrsil dklmi köklri birbiri şi olmsı b köklr frkıı bir m sı olmsı köklr frkıı m sı olmmsı drmlrı gör üç frklı çözüm ol vrdır. Eğr idisl dklmi hr iki kökü içi f m sğlıors b kdird 6.8 bğıısıd f m f m rdımıl ksısı isid ifd dilmiş olr. Bzr şkild f m olmsı drmd f m f m f m

253 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 5 rdımıl ksısı v isid dolısıl isid ifd dilmiş olr. B şkild dvm dilrk üm ksılr isid ifd dilbilir. Böl vril difrsil dklmi çözümü blmş olr. f m m m m d idisl dklmi köklri birbiri şi is b köklr krşılık gl çözümlr ı olkır. B drmd d gl çözüm A biçimid olkır. Diğr rf idisl dklmi köklrii m v m gibi frklı olmsı drmd b köklr krşılık gl çözümlr sırsıl v olmk üzr vril difrsil dklmi gl çözümü A B şklid olkır. Şimdi şğıdki örklri vrbiliriz. Örk 6..5: difrsil dklmii sri çözümüü bllım. B difrsil dklmi ölikl biçimi girlim. B difrsil dklm içi P Q P Q oldğd oksı bir düzgü kil okdır. Dolısıl oksı ivrıd bir Frobis sri çözümü mvr. B içi m B m m m m m m şklid sri çözüm blbilir. B drmd ürvlr lıırs m m. m m. m

254 5 Difrsil Dklmlr ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs m m m. m. m m ld dilir. B ifd id düzlirs [ m m m]. m m { [ m m m ]. } v b dk olrk m. m m m { m m. } olğı görülür. B so şilik idisl dklm v köklri f m mm m m olrk blmş olr. B drmd köklr frkı m sı olmdığıd iki bğımsız Frobis çözümü blbilir. Şimdi b çözümlri bllım. Ykrıdki oplmd i ksılrı sıfır m şilrk m m ld dilir. m içi krrlm formülü olr ki brd.!....!

255 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü !.! ld dilir. B kdird m olmsı drmd difrsil dklmi Frobis çözümü!! olkır. m / içi krrlm formülü olr ki brd d.! ! !.! ld dilir. Böl m / olmsı drmd is difrsil dklmi Frobis çözümü /!!

256 56 Difrsil Dklmlr olkır. Böl vril difrsil dklmi sri çözümü A B olrk blmş olr. Örk 6..6: difrsil dklmii çözlim. Vril difrsil dklmi ölikl biçimi girlim. B difrsil dklm içi P Q foksiolrı d liik dğildir. Ak P Q oldğd oksı bir düzgü kil okdır. Dolısıl oksı ivrıd bir Frobis sri çözümü mvr. B içi m şklid sri çözüm blbilir. B drmd ürvlr lıırs m m. m m. m ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs m m m. m. m m

257 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 57 v b dk olrk m. m m m { m m. m } ld dilir. B so şilik idisl dklm v köklri f m m m m m olrk blmş olr. B drmd köklr frkı m sı oldğd iki bğımsız çözüm blbilir. Şimdi b çözümlri bllım. Ykrıdki oplmd i ksılrı sıfır m şilrk m m m ld dilir. m içi krrlm formülü olp brd olğı görülür. Böl m olmsı drmd difrsil dklmi Frobis çözümü 6 olkır. m içi krrlm formülü 5

258 58 Difrsil Dklmlr olr ki brd d oldğ ld dilir. Böl m olmsı drmd difrsil dklmi Frobis çözümü olkır. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü A B olrk blmş olr. Örk 6..7: difrsil dklmii çözlim. B difrsil dklmi ö biçimi girlim. B difrsil dklm içi P Q oldğd oksı bir düzgü kil okdır. Dolısıl oksı ivrıd Frobis ipi sri çözüm mvr. B içi m llım. B ifdd ürvlr lıırs

259 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 59 m m. m m. m ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs m m. m m m. m m ld dilir. B ifd id düzlirs m [ m m ]. [ m m ]. m m {[ m m ]. } v b dk olrk m m m m m {[ m m ]. } ld dilir. kbl dilmkdir. O hld idisl dklm v köklri f m m m m olrk blmş olr. Yi köklr birbiri şiir. B drmd d m m d ld dilir. Diğr ksılr içi krıdki oplmd gç m i ksılrı sıfır şilrk m ld dilir. B drmd oldğd üm k idisli ksılr sıfır olkır. Arı

260 6 Difrsil Dklmlr m m m m..... r m m m r m r r r ld dilir. Böl blmş olr. B şkild bl srisi içi m m difrsil dklmi sğlır. Ak içi bir özl çözüm blbilir. Bl brbr srisii v i foksio olrk göz öü lıp m m m m v oldğ dikk lıırs m m m m m m m l. ld dilir. il birlik b şilik dikk lıırs içi m m m srilri vril difrsil dklmi bğımsız çözümlri olkır. Brd v m lırk vril difrsil dklmi birii çözümüü m m m m m m k m m m m m m m

261 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 6....!.! 6 6 olğı görülür. Şimdi ikii çözümü bllım. B içi srisii m gör ürvi lımlıdır. B drmd m m m m m m m srisi dölim v brd m dğişki gör ürv lıırs.... l m m m m m... m m m m m m ld dilir. Brd d v m lırk ikii çözüm olrk...!! l !!. 6 6 blr. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü A B şklid blmş olr. Örk 6..8: 5 difrsil dklmii çözlim. B difrsil dklmi ö 5 biçimi girlim. B difrsil dklm içi P 5 Q

262 6 Difrsil Dklmlr foksiolrı d liik dğildir. Ak P 5 Q oldğd oksı bir düzgü kil okdır. Dolısıl oksı ivrıd Frobis ipi sri çözüm mvr. B içi m llım. B ifdd ürvlr lıırs m m. m m. m ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs m m m. 5 m. m m m v b dk olrk m [ 5 ]. m m m m {[ m m ]. } ld dilir. B so şilik idisl dklm v köklri f m m m 5m m m m olrk blmş olr. Yi köklr birbiri şiir. Şimdi çözümlri bllım. Ykrıdki oplmd m i ksılrı sıfır şilrk m ld dilir. B drmd

263 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 6 m m m m..... m m m m ld dilir. Bl b dğrlr [ ]... m m srisid rlri zılrk... 5 m m m m m m m ld dilir. B ifdd m içi bir k özl çözüm blbilir. B drmd m m m srilri vril difrsil dklmi lir bğımsız çözümlri olkır. B kdird v m lırk birii çözüm olrk! ld dilmiş olr. Şimdi d ikii çözümü blmk içi krr... 5 m m m m m m m srisi dölim v brd m dğişki gör ürv llım. Böl... l m m m m m

264 6 Difrsil Dklmlr m... m m m m m blr. Brd d v m lırk ikii çözüm olrk. l blr. Böl vril bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olrk A B ld dilir. Örk 6..9: difrsil dklmii çözlim. Ö vril difrsil dklmi biçimid zlım. B difrsil dklm içi P Q oldğd P foksio d liik dğildir. Ak P Q oldğd oksı bir düzgü kil okdır. Dolısıl oksı ivrıd bir Frobis sri çözümü mvr. B içi m şklid sri çözüm blbilir. B ifdd ürvlr lıırs m m. m m. m olp b dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs

265 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 65 m m m. m m. m m m m. m v b dk olrk m m m m m m m { m m } ld dilir. B so şilik oldğd idisl dklm v köklri f m m m m m olrk blmş olr. Arı m m oldğd olmlıdır. B drmd köklr frkı m sı oldğd iki bğımsız çözüm m blbilir. Şimdi b çözümlri bllım. Ykrıdki oplmd i ksılrı sıfır şilrk m m krrlm formülü ld dilir. m içi krrlm formülü olğıd b drm içi.! !

266 66 Difrsil Dklmlr.! ld dilir. Böl m v lırk birii Frobis çözümü!! olkır. Diğr rf m içi krrlm formülü olr ki brd d.!.....!.! ld dilir. Böl m v lırk ikii Frobis çözümü!! olrk blr. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü A B şklid blmş olr. Örk 6..9: difrsil dklmii çözlim. Ö vril difrsil dklmi

267 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 67 biçimid zlım. B difrsil dklm içi P Q olp P v Q foksiolrı d liik dğildir. Ak P Q oldğd oksı bir düzgü kil okdır. Dolısıl oksı ivrıd Frobis sri çözümü mvr. B içi m şklid sri çözüm blbilir. B ifdd ürvlr lıırs m m. m m. m olp b dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs m m m. m. m m m blr. Brd grkli düzlm pılrk m mm mm m m {[ m m ] }

268 68 Difrsil Dklmlr ld dilir. B so şilik oldğd idisl dklm v köklri f m mm m m / olrk blmş olr. Arı m m / dğrlri içi m m olmsı k il mümküdür. B drmd köklr frkı bir rsol sı oldğd iki bğımsız çözüm blbilir. Şimdi m b bğımsız çözümlri rı rı bllım. Ykrıdki oplmd i ksılrı sıfır şilrk m m krrlm formülü ld dilir. m içi krrlm formülü olğıd b drm içi 6 6. ld dilir. Böl m v lırk birii Frobis çözümü... 6 olkır. Diğr rf m / içi krrlm formülü olr ki brd d 5. 6.

269 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü ld dilir. Böl m / v lırk ikii Frobis çözümü olkır. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü A B şklid blmş olr. Bz P Q biçimid vril bir difrsil dklmi i büük dğrlri içi çözümü grkbilir. B drmd ş kdr vril sri çözümlr i küçük v sıırlı dğrlri içi gçrli oldğd glmd pk kllılmzlr. Böl bir dklmi soszdki drm blirlmk içi i bir / dğişk dğişimi pılır. B drmd rfıd çözümlr rır. B çözüm ld dildik sor gri döüş glır. B dğişk dğişimi bğlı olrk d d d d d d d d d d d d d d d d olkır. Şimdi şğıdki örği vrbiliriz. Örk 6..: difrsil dklmii oksı ivrıd çözlim. Ö vril difrsil dklmi / dğişk dğişimi prk id zlım. B drmd difrsil dklm b i dğişk gör şklii lkır. B difrsil dklm içi P Q

270 7 Difrsil Dklmlr olp b foksiolr d liik dğildir. Ak P Q oldğd oksı bir düzgü kil okdır. Dolısıl oksı ivrıd Frobis sri çözümü mvr. B içi m şklid sri çözüm blbilir. B ifdd ürvlr lıırs m m. m m. m olp b dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs m m m. m blr. Brd grkli düzlm pılrk m. m m m m m { m m. m } ld dilir. B so şilik oldğd idisl dklm v köklri f m m m m m olrk blmş olr. B drmd köklr frkı bir m sı oldğd iki bğımsız çözüm blbilir. Şimdi b çözümlri bllım. Ykrıdki oplmd m i ksılrı sıfır şilrk m m m krrlm formülü ld dilir. B ifdd m içi oldğ görülür. Böl b m dğişimi pılrk b m m m m m m m m m m m

271 6. Bölüm: Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü 7 m m m m m 5 m m m m m m 5 m 6 srisi ld dilir. B srii m m b m difrsil dklmii sğldığı görülür. Böl d dm b m m m m m l. m m m m m m m m m m m 5 m m m m m m 5 m 6 m m m b m [ ]. m m m m m m m m m [ m m m m m m ] m m m m m m [ m m m m 5 m m 5 ]... m m m ifdsi ld dilir. B drmd m v b lırk birii v ikii çözümlri m d l z z z... dm m l... olğı görülbilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü A B biçimid blmş olr.

272 7 Difrsil Dklmlr Alışırmlr: Aşğıdki dklmlri sri çözümlrii blz. b d f g h 6 ı k m o p

273 BÖLÜM VII BESSEL LEGENDRE VE GAUSS DĐFERANSĐYEL DENKLEMLERĐ B kısımd l lık difrsil dklmlr d bir öki bölümd vril sri çözüm ömi il çözülür. Hr üç difrsil dklm d özllikl mmiksl fizik v posil orid oldkç sık kllılmkdır. Söz kos difrsil dklmlri çözümüü vrmd ö şğıdki özl foksio ımıı vrlim. B foksio vril difrsil dklmlri çözümlri blmsıd smbol olrk kllğız. α > olmk üzr Γ α α d foksio Gmm foksio dı vrilir. B gllşirilmiş igrli kısk oldğ gösrilbilir. B foksio içi kısmi igrl rdımıl Γ α α olğı görülür. Brd d Γ Γ. Γ! d lim Γ. Γ! Γ. Γ.!. Γ. Γ! α lim α d α α d α. Γ α

274 7 Difrsil Dklmlr oldğ çıkır. Arı gmm foksio içi α / lıdığıd Γ / π olğı Aliz bilgilril gösrilbilir. Diğr d α ı gif dğrlri içi Γ α olkır. 7.. Bssl Difrsil Dklmi B kısımd özl bir dğişk ksılı difrsil dklm ol α 7. şklidki ikii mrbd difrsil dklm göz öü lıkır. B ip bir difrsil dklm α -ii mrbd bir Bssl difrsil dklmi dı vrilir. Brd α α kfi bir sbiir. B difrsil dklmi çözümlri is Bssl foksiolrı dı vrilir. Bd öki kısımd b şkild vril difrsil dklmlri çözümüd g ömi sri çözüm ömi oldğ blirmişik. Arı vril difrsil dklmi drm gör dğişik çözüm ömlri vrmişik. B difrsil dklm içi oksıı bir düzgü kil ok oldğ kol görülmkdir. Diğr rf oksı is bir düzgü olm kil okdır. Bd dolı oksı ivrıd bir difrsil dklmi çözümüü blmsıd bir öki bölümd vril Frobis ömii kllbiliriz. B gör dklmi gl çözümüü m m m olğı görülbilir. Diğr rf b ifdd ürvlr lıırs b kdird m m m m m ld dilir. Eğr b ifdlr 7. difrsil dklmid ri zılırs b kdird difrsil dklm m m... m m m m. m m

275 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 75 α biçimii lır. B is m m m m m m v m α m [ m m m α m ] m d b dk olrk [ m m α ] m biçimid zılbilir. B ifdi is [ α m m m ] [ m α ] [ m m α ] m şklid zbiliriz. B ifddki ilk srid ri zıp i sıfırd bşlrk [ α m m m ] [ m α ] m {[ m α ] } ld dilir. B so şilik kbl dilmkdir. Dolısıl idisl dklm f m m α olp köklri m α v m α dır. Ö d içi krıdki ifdd [ m α ]

276 76 Difrsil Dklmlr olmlıdır. Diğr ksılr içi krrlm formülü [ m α ] şiliğid [ m α ] olrk ld dilmiş olr. Böl ksılr [ m α ] [ m α ] [ m α ] 5 [ m 5 α ] 6 [ m 6 α ]. r [ m r r α ] r r [ m r α ] biçimid ld dilir. Hspl ksılrd görülği gibi k idisli ksılrı ümü sıfır olmkdır. Çif idisli ksılrı hr birii isid ifd mk içi ksılr krr bkılırs [ m α ]

277 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 77 [ m α ].[ m α ] 6 [ m α ].[ m α ].[ m 6 α ]. r [ m α ].[ m r α ]...[ m r α ] olğı görülür. Bl b dğrlr 7. srisid ri zılrk i olşrrsk [ m α ] [ m α ].[ m. m 6 [ ].[ ].[ 6 ]... m α m α m α ld dilir. B şkild ld dil srisi içi α m α. difrsil dklmi sğlır. Diğr rf m α ] m α v m α dğrlri krşılık gl v özl çözümlri şğıdki şkild hsplbilir. srisid rimi sıfırd frklı oldğd kfi sbii ifd mkdir. Böl özl çözümüü hsplmsıd Γ α α! α Γ α lıbilir. B drmd m α kökü krşılık gl özl çözümü J. Γ α.! α α α α.!. α α ! α α α

278 78 Difrsil Dklmlr v J α α α α Γ α.! Γ α α α 8.! Γ α.! Γ α 5 α ld dilir. B ifdi d sri formd J α α / α.!. α! α α... α.!. Γ α α /!. Γ α 7. biçimid zmk mümküdür. Bzr şkild gl özl çözümü içi m α kökü krşılık α Γα lıırs b drmd J. Γα.! α α α α.!.α α 6 8.!.! α α α α α α α v J α α α Γα.! Γα α α α 8α.! Γα.! Γ5α 6 ld dilir. B ifdi is sri formd.!. Γα

279 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 79 α / J α 7.!. Γ α biçimid ifd dbiliriz. Böl Bssl difrsil dklmii gl çözümü α ı dğrlri gör blirlmkdir. Dolısıl α ı m sı olmmsı drmd difrsil dklmi gl çözümü A. J B. J 7.5 α α biçimid zılbilir. Diğr rf α ı m sı dğrlri içi J α v α J α özl çözümlri rsıd J α Jα gibi bir orı olğı görülür. Grçk α m ı m sı olmsı drmd 7. v 7. ifdlri sırsıl J α m /!. m! v J α m /!. m! şklii lır. m m sısı içi... m olmk üzr m! olğı dikk lıırs J α m m /!. m! lıbilir. B drmd b şilik ri m zılrk J α m / m!.! mm m m / α J α m!.! ld dilir. B drmd b iki özl çözüm lir bğımsız olmkır. Dolısıl Bssl dklmii gl çözümü A. J B. J biçimid zılmz. B üzd α dğrlrii m sı olmsı hlid α α

280 8 Difrsil Dklmlr α köklr rsıdki frkı m sı olmsı drmdki Frobis çözüm ömi il; α m m olmsı drmd is köklri şi olmsı drmdki Frobis çözüm ömi il ikii lir bğımsız özl çözüm blbilir. Đkii lir bğımsız özl çözüm Y il gösrilirs Bssl difrsil dklmi gl çözümü A. J B. Y α biçimid ifd dilbilir. B şkild ıml J α foksio α - ıı mrbd birii çşi Bssl foksio v Y α foksio is α -ıı mrbd ikii çşi Bssl foksio dı vrilmkdir. B foksio Jα.os απ Jα Yα α N siαπ Jα Jα Y N π α α α α oldğ gösrilbilir. bkz. Tr T. Sf Bssl foksiolrı il ilgili olrk şğıdki ömli bzı özlliklri vrbiliriz. α /. J!.!! !! [! ] oldğd b şilik dğişki gör ürv lıdığıd 5 dj... d!.!!.!...!.!!.! ld dilmiş olr. 5!.! / J!.!...!.!...

281 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 8. k poziif m sı olmk üzr!!. / k k k J oldğd!!.. k k k k k J zılbilir. Brd şiliği hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs!!. ]. [ k k k k k d d J d d!!. k k k k!!. k k k!!. k k k k J k ld dilir.. k poziif m sı olmk üzr!!.. k k k k J zılbilir. Brd şiliği hr iki rfıı dğişki gör ürvi lıırs!!. ]. [ k k k k d d J d d!!.! k k k k d d!!. k k!!. k k k k J k oldğ görülür.

282 8 Difrsil Dklmlr. k poziif m sı olmk üzr J d d J J k k k J k J J k k k şiliklrii sğldığı gösrilbilir.. v. özlliklr dikk lıırs.... J J k J d d J d d k k k k k k k k v.... J J k J d d J d d k k k k k k k k zılbilir. Brd is soç ld dilir. Đkii şilik d bzr oll gösrilbilir. 5. / k olmsı drmd Γ /!. /!!. / J zılbilir. Brd.... Γ Γ v π Γ oldğ dikk lıırs π!.!.5... Γ Γ olkır. Brd d

283 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 8 J / π. ld dilir. Bzr şkild! si π. J / os π. olğı gösrilbilir. Uglmlı mmik bz α 7.6 difrsil dklmil krşılşılbilir. B difrsil dklm Modifi dğişirilmiş Bssl difrsil dklmi dı vrilir. B difrsil dklmi çözmk içi Bssl difrsil dklmid ri i lıdık sor id ri lırk 7.6 difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmi çözümüü blmsıd I α α i J α dikk lıır. B foksio rdımıl difrsil dklmi çözümü I α π I α I α si απ. olmk üzr A. I B. I α olkır. 7. Lgdr Difrsil Dklmi α α α 7.7 şklidki ikii mrbd bir difrsil dklm bir Lgdr difrsil dklmi dı vrilir. Brd α bir sbiir. B difrsil dklmd v oklrıı birr düzgü kil ok oldğ kol görülmkdir. oksı is dklmi bir di oksıdır. Diğr rf oksıı sıl bir kil ok oldğ blirlmk içi / dğişk dğişimi plım. B drmd d d d d d d d d d d

284 8 Difrsil Dklmlr olğıı dh ö ifd mişik. B ifdlr vril difrsil dklmd lri zılmk sril d d d α α d d d v b dk olrk d d d d d d α α d d α α 7.8 difrsil dklmi ld dilir. B drmd oksıı b difrsil dklm içi bir düzgü kil ok olğı görülbilir. Çükü. v α α α α. olp b ifdlri hr ikisi d d liikir. Böl oksı d vril difrsil dklmi bir düzgü kil oksı olkır. B drmd b ok ivrıd sri çözümü dh ö vril Frobis ömil blbiliriz. B içi / dğişk dğişimi pılrk ld dil d d d d α α difrsil dklmii göz öü lmlıız. B difrsil dklm içi. m 7.9 srisi göz öü lırk ürvlr lıırs m m. m m. m

285 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 85 ld dilir. B ifdlr 7.8 difrsil dklmid ri zılırs b kdird söz kos difrsil dklm m m m.. m. m α α. m biçimii lır. B ifdi d m m m. m m. m m m α α. m v [ m m ]. m [ m m α α ]. m olrk zbiliriz. B ifdi dğişkii kvvlri gör düzlrsk m [ m m α α ]. [ ]. m m m α α [ m m α α ]. m m m. m ld dilir. B ifddki ilk srid ri zıp i sıfırd bşlrk m [ m m α α ]. [ ]. m m m α α

286 86 Difrsil Dklmlr [ m m α α ]. m m m. v brd d grkli sdlşirmlr pılrk m m [ m m α α ]. [ ]. m m m α α m m m. [ m m α α ] ld dilir. B so şilik kbl dilmkdir. Dolısıl idisl dklm f m m m α α olp köklri ifdd m α v m α dır. Ö d içi krıdki [ m m α α ]. oldğ görülmkdir. Diğr ksılr içi krrlm formülü m m [ m m α α ] şiliğid m m. [ m m α α ] olrk ld dilmiş olr. Böl ksılr m m [ m m α α ]. m m. [ m m α α ] m m [ m m α α ].

287 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 87 m m. [ m m 5 α α ] 5 m m 5 [ m 5 m 6 α α ] 6.. m r m r. [ m r m r α α ] r r m r m r [ m r m r α α ] r. r biçimid ld dilir. Hspl ksılrd görülği gibi k idisli ksılrı ümü sıfır olmkdır. Çif idisli ksılrı hr birii isid ifd mk içi ksılr krr bkılırs m m [ m m α α ] m m m m [ m m α α ].[ m m α α ]. olğı görülür. Bl b dğrlr 7.9 srisid ri zılrk i olşrrsk. m m m m m α α m m m m [ m m α α ][ m m α α ] ld dilir. Şüphsiz b şkild ld dil srisi içi... α α [ m m α α ]. dklmi sğlır. Diğr rf m α v m α dğrlri krşılık gl v özl çözümlri şğıdki şkild hsplbilir. sri- m

288 88 Difrsil Dklmlr sid rimi sıfırd frklı oldğd kfi sbii ifd mkdir. Böl özl çözümüü hsplmsıd v m α lırk m α α α α α α α..α α α α α α α α α α α 5 ld dilir. / lırk m α α α α α α α..α α α α α α α α 5..6α α α oldğ görülür. Bzr şkild m α v lımk sril özl çözümü içi m α α α α α α α..α α 5 α α α α α 5 α α α 5α 7 ld dilir. Yi / lırk m α α α α α α α..α α 5 α α α α α 5 α 6..6α α 5α oldğ görülbilir. Böl vril Lgdr difrsil dklmii gl çözümü A. B. biçimid blmş olr. B şkild olşrl gl çözümü α k / k poziif m sı olmsı şrıl > içi kısk olğı çıkır. Arı α poziif bir m sı oldğd

289 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 89 özl çözümü α -ii mrbd bir poliom ik özl çözümü bir sri çözüm olkır. B drmd srisid özl çözümü ld dilirk ksısı α! α α! olrk lıırs b drmd α! m α α Pα α α! α α α α α..α α α α α α α α 5..6α α α olkır. B şkild olşrl P α foksiolrı α -ıı mrbd Lgdr poliomlrı dı vrilir. B drmd özl olrk α... içi P P P P 5 P 5 8. olğı gösrilbilir. B drmd d gl çözüm A. P B. bi- α çimid ifd dilbilir. Ş α gif bir m sı is b drmd

290 9 Difrsil Dklmlr çözümü sri şklid olkır. Aı drmd çözümü is bir poliom şklid olp P α poliomlrıd birii bir sbi kı şklid ifd dilbilir. B drmd is gl çözüm A. B. P olrk ifd dilbilir. Diğr d α k / k poziif m sı biçimid is b drmd difrsil dklmi gl çözümü A. B. biçimid zılbilir. Ak α k / k poziif m sı biçimid is v özl çözümlrii birid blli bir ksıd sorki üm ksılr sosz olkır. Dolısıl sri çözüm blmz. B drmd idisl dklmi köklri rsıdki frk m sı olğıd dh ö vril Frobis ömil ikii lir bğımsız çözüm blbilir. Đdisl dklmi köklrii şi olmsı drmd is α / içi olkır. Đkii lir bğımsız çözüm bir öki bölümd vril öml blr. 7.. Gss Difrsil Dklmi [ γ α β ] αβ 7. şklidki ikii mrbd bir difrsil dklm bir Gss difrsil dklmi dı vrilir. Brd α β v γ sbilrdir. B difrsil dklmd v oklrıı birr düzgü kil ok olğı kol bir şkild görülmkdir. Diğr rf oksı d bir düzgü kil ok olr. B drmd oksı ivrıdki çözümüü Frobis ömil blbiliriz. B içi α. m srisi göz öü lırk ürvlr lıırs m m. m m. m ifdlri 7. difrsil dklmid ri zılırs b kdird dklm

291 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 9 biçimii lır. B ifdi m m. m [ γ α β ]. m. m m. m αβ. m m m m. m m γ. m. α β m. m αβ. m v m m γ. m [ m m α β αβ ]. m şklid d zbiliriz. B ifdi dğişkii kvvlri gör id düzlrsk m m γ m. m m γ. m [ m m α β αβ ]. m ld dilir. B ifddki ilk srid ri zıp i sıfırd bşlrk m m γ m. m m γ. m [ m m α β αβ ]. m

292 9 Difrsil Dklmlr v brd d grkli sdlşirmlr pılrk. m m m γ m { m m γ [ m m α β αβ] } ld dilir. B so şilik i kbl dilmkdir. Dolısıl idisl dklm f m m m γ olp köklri m v m γ olkır. Diğr ksılr içi krrlm formülü m m γ [ m m α β αβ ] şiliğid [ m m α β αβ ]. m m γ olrk ld dilmiş olr. Böl ksılr [ m m α β αβ ] m m γ. [ m m α β αβ ] m m γ. [ m m α β αβ ] m m γ.. [ m r m r α β αβ ]. m r m r γ r r biçimid ld dilir. Ksılrı hr birii isid ifd mk içi ksılr krr bkılırs [ m m α β αβ ]. m m γ

293 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 9 [ m m α β αβ ][ m m α β αβ ] m m m γ m γ.. r [ m m α β αβ ][ m m α β αβ ] m m m... m...[ m r m r α β αβ ]. m γ m γ... m r γ olğı görülür. Bl b ksılrı krıd vril sri ri zılrk i olşrrsk m [ m m α β αβ]. m m γ [ m m α β αβ ][ m m α β αβ ]. m m m γ m γ ld dilir. B şkild ld dil srisi içi... [ γ α β ] αβ m m γ difrsil dklmi sğlkır. m v m γ dğrlri krşılık gl v özl çözümlri şğıdki şkild hsplbilir. srisid v özl çözümlrii rrk rimi sıfırd frklı oldğd kfi sbi olğıd lıbilir. B drmd m v lırk αβ α α β β... γ.. γ γ α α α β β β γ γ γ ld dilir. B şkildki bir sri hiprgomrik sri dı vrilir. Dikk dilirs b sri γ... olmk üzr < içi kısk olkır. Böl bir hiprgomrik srii F α β γ il gösrğiz.. m

294 9 Difrsil Dklmlr içi Bzr şkild m γ γ v lırk özl çözümü γ α γ β γ..γ α γ α γ β γ β γ...γ γ α γ α γ α γ β γ β γ β γ γ γ γ ld dilir. B sri is γ... olmk koşll < içi kısk γ olkır. B srii F α γ β γ γ olrk gösrğiz. B so olrk γ... olmk üzr Gss difrsil dklmii gl çözümü A. B. biçimid blmş olr. B şkild olşrl gl çözümü < içi kısk olğı çıkır. B çözümü A. F α β γ B. γ F α γ β γ γ biçimid d gösrbiliriz. Arı γ... dğrlri içi v özl çözümlrii birid blirli bir ksıd sorki üm ksılr sosz olkır. Dolısıl sri çözüm blmz. B drmd idisl dklmi köklri rsıdki frk m sı olğıd bir öki bölümd vril Frobis modl iki lir bğımsız çözüm olkır. γ olmsı özl drmd is olkır. B drmd is idisl dklmi köklri birbiri şi olğıd ikii lir bğımsız çözüm bir öki bölümd vril öml blbilir. Şimdi Bssl Lgdr v Gss dklmlri i bzı örklr vrlim. Örk 7..: biçimid vril difrsil 5 dklmi çözlim. B dklm /5 -ii mrbd bir Bssl dklmidir. B difrsil dklm içi oksıı bir düzgü kil ok oldğ

295 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 95 kol görülmkdir. Bd dolı oksı ivrıd dklmi çözümüü blmsıd bir öki bölümd vril Frobis ömii kllbiliriz. B gör dklmi m m şklid bir sri çözümüü olğı çıkır. B ifdd grkli ürvlr lıırs b kdird m m m... ld dilir. B ifdlr vril difrsil dklmd ri zılırs dklm m m... m m m m m m m. m 5 şklii lkır. B ifdi id düzlrk m m m m m m m 5 m m v m m m m 5 m d b dk olrk m m 5 m biçimid zbiliriz. B ifdi is

296 96 Difrsil Dklmlr m 5 m m 5 m 5 m m d dh sd olrk m 5 m m m 5 m 5 m m olrk zbiliriz. B so şilik kbl dilmkdir. Brd idisl dklm f m m 5 olp b köklri is m / 5 v m / 5 olkır. Diğr rf içi krıdki ifdd 5 m olmlıdır. Diğr ksılr içi krrlm formülü 5 m şiliğid [ m / 5] olrk ld dilmiş olr. Böl ksılr [ m / 5] [ m / 5]

297 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 97 [ m / 5] [ m 6 / 5] 6 [ m r / 5] r r [ m 5 / 5] 5 [ m r / 5] r r biçimid ld dilir. Çif idisli ksılrı hr birii isid ifd mk içi ksılr krr bkılırs [ m / 5]. [ m / 5].[ m / 5] [ m / 5].[ m / 5]...[ m r / 5] r r olğı görülür. Bl b dğrlr krıd vril srisid ri zılrk i olşrrsk m. [ / 5] [ / 5].[ m m m / 5] 6... [ m / 5].[ m / 5].[ m 6 / 5] ld dilir. Diğr rf m / 5 v m / 5 dğrlri krşılık gl v özl çözümlri şğıdki şkild hsplbilir. srisid rimi sıfırd frklı oldğd kfi sbii ifd mkdir. Böl özl çözümüü hsplmsıd lıbilir. B drmd m / 5 kökü krşılık gl özl çözümü olrk /5 m m m m! / 5 /5... m / 5

298 98 Difrsil Dklmlr ld dilir. Bzr şkild m / 5 kökü krşılık gl özl çözümüü /5 m biçimid olğı görülbilir. m m m! / 5 /5... m / 5 Örk 7..: difrsil dklmi çözlim. 9 B / -üü mrbd bir Bssl difrsil dklmidir. B difrsil dklm içi oksıı bir düzgü kil ok oldğ kol görülmkdir. Bd dolı oksı ivrıd dklmi çözümüü blmsıd Frobis ömii kllbiliriz. B gör dklmi m m şklid bir sri çözümüü olğı çıkır. B ifdd ürvlr lıırs b kdird m m m m m... m... m m m ld dilir. B ifdlr vril difrsil dklmd ri zılırs dklm m m m. m 9 şklii lkır. B ifdi id düzlrk m m m m m m m

299 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 99 m m 9 zılbilir. Büü oplmlrı d bşlmk sril b ifdi m m m 9 m m m m m m 9 m m m m m m m m m m 9 d dh sd olrk m m m 9 m m m m 9 m m m m m 9 olrk zbiliriz. B so şilik kbl dilmkdir. Brd idisl dklm f m m 9 olp b köklri is m / v m / olrk ld dilir. Diğr rf içi krıdki ifdd 9 m olmlıdır. Diğr ksılr içi krrlm formülü 9 m şiliğid

300 Difrsil Dklmlr [ m / 9] olrk ld dilmiş olr. Böl m / içi krrlm formülü... / olrk blmş olr. Diğr rf oldğd dolı k idisli ksılr sıfır olkır. Şimdi çif idisli ksılrı hr birii isid ifd dlim: / / / / / /! 6 66 / / / /!. r r r r! / /... r / olğı görülür. Brd d içi m / kökü krşılık gl özl çözümü olrk /! / /... / ld dilir. Bzr şkild m / kökü krşılık gl özl çözümüü /! / /... / biçimid olğı görülbilir.

301 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr Örk 7..: f 5 8 biçimid vril poliom Lgdr Poliomlrı isid ifd diiz. P α α -ıı mrbd Lgdr poliomlrıı P 5 8 biçimid oldğ biliorz. Brdki so şilik 8 6 P ld dilir. Böl 8 6 f P P zılbilir. Diğr rf P 5 P 5 5 olğıd b dğr krıd f içi vril so şilik ri zılrk f P 5 P P 7 77 P P 7 77 P 5 7 ld dilir. Bzr şkild P P şiliği göz öü lıırs b kdird f foksio

302 Difrsil Dklmlr f P P P P 8 9 P P 5 7 şklii lkır. Brd ğr P v P Lgdr poliomlrı d rlri zılırs b kdird f foksio Lgdr poliomlrı isid f P P P P P 5 7 biçimid ifd dilmiş olr. Örk 7..: / 9 biçimid vril difrsil dklmi çözlim. Vril difrsil dklm α / ol bir Lgdr difrsil dklmidir. B difrsil dklm içi v oklrıı birr düzgü kil ok oldğ kol görülmkdir. oksı is dklmi bir di oksıdır. Diğr rf oksıı sıl bir kil ok oldğ blirlmk içi / dğişk dğişimi plım. B drmd; d d d d d d d d d d olğıı dh ö ifd mişik. B ifdlr vril difrsil dklmd ri zılrk d d d d d d 9 d d d d 9 v b dk olrk d d / 9 d d

303 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr difrsil dklmi ld dilir. B drmd oksıı b difrsil dklm içi bir düzgü kil ok olğı görülbilir. Çükü. v. /9 /9 olp b ifdlri hr ikisi d d liikir. Böl oksı d vril difrsil dklmi bir düzgü kil oksı olkır. B drmd b ok ivrıd sri çözümü dh ö vril Frobis ömil blbiliriz. B içi / dğişk dğişimi pılrk ld dil d d d d 9 difrsil dklmii göz öü lmlıız. B difrsil dklm içi. m srisi göz öü lırk ürvlr lıırs m m. m m. m ld dilir. B ifdlr vril difrsil dklmid ri zılırs b kdird difrsil dklm m m. biçimii lır. B ifdi d m. m m. 9 m. m m m. m m. m

304 Difrsil Dklmlr v m m 9 m. [ m m ]. m m m m. 9 olrk zbiliriz. B ifdi dsğişkii kvvlri gör düzlrsk m m. 9 m m m. 9 m m m. 9 m m m. m ld dilir. B ifddki ilk srid ri zıp i sıfırd bşlrk m m. 9 m m m. 9 m m m. 9 m m m. m v brd d grkli sdlşirmlr pılrk m m. 9 m m m. 9 m 9 m m m m m.

305 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 5 ld dilir. B şilik kbl dilmkdir. Dolısıl idisl dklm f m m m 9 şklid olp köklri m / v m / olkır. Ö d içi krıdki ifdd m m. 9 oldğ görülmkdir. Diğr ksılr içi krrlm formülü m m m m 9 şiliğid m m. [ m m /9] olrk ld dilmiş olr. Böl ksılr m m. [ m m /9] m m. [ m m /9] m m. [ m m /9] m m. [ m m 5 /9] 5 m m 5. [ m 5 m 6 /9] 6. m r m r. [ m r m r /9] r r

306 6 Difrsil Dklmlr m r m r. [ m r m r /9] r r biçimid ld dilir. Hspl ksılrd görülği gibi k idisli ksılrı ümü sıfır olmkdır. Çif idisli ksılrı hr birii isid ifd mk içi ksılr krr bkılırs 6 m m [ m m /9] m m m m [ m m /9].[ m m /9] m m m m m m 5 [ m m /9][ m m /9][ m 5 m 6 /9]. olğı görülür. Bl b dğrlr krıdki ilgili srid ri zılrk i olşrrsk m m m. m m / 9 m m m m [ m m / 9][ m m / 9] 6 m m m m m m 5 [ m m /9][ m m /9][ m 5 m 6 /9]... ld dilir. Şüphsiz b şkild ld dil srisi içi 9 9 m m m. dklmi sğlır. Diğr rf m / v m / dğrlri krşılık gl v özl çözümlri şğıdki şkild hsplbilir. srisid rimi sıfırd frklı oldğd kfi sbii ifd mkdir.

307 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 7 Böl özl çözümüü hsplmsıd v m α / lırk 6 / 6 ld dilir. / lırk oldğ görülür. / Bzr şkild m α / v lırk özl çözümü içi / ld dilir. Yi b çözümd d / lırk / oldğ görülbilir. Böl krıd vril Lgdr difrsil dklmii gl çözümü A. B. biçimid blmş olr. Örk 7..5: difrsil dklmii çözlim. B difrsil dklm γ α β v αβ olmk üzr bir Gss difrsil dklmidir. Brd d α β v γ ld dilir. B difrsil dklmd v oklrıı birr düzgü kil ok oldğ kol görülmkdir. Diğr rf oksı d bir düzgü kil ok olr. B drmd oksı ivrıdki çözümüü Frobis ömil blbiliriz. B içi. m srisi göz öü lırk ürvlr lıırs m m. m m. m

308 8 Difrsil Dklmlr olr. B ifdlr difrsil dklmd ri zılırs vril difrsil dklm m m. m m. m m. biçimii lır. B ifdi krr düzlrk m m. m m m. m m m m. m. m. v dh sd olrk m m. m m [ m m ]. şklid d zbiliriz. Bl b ifdi i kvvlri gör id düzlrsk m m m m. m m. m [ m m ]. ld dilir. B ifddki ilk srid ri zıp i sıfırd bşlrk m m m m. m m. m [ m m ]. v brd d grkli sdlşirmlr pılrk

309 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 9 m m. m { } m m m [ m m ] ld dilir. B şilik i kbl dilmkdir. Dolısıl b dklmi idisl dklmi f m m m olp b köklri m v m olkır. Diğr ksılr içi krrlm formülü m m [ m m ] şiliğid [ m m ]. m m olrk ld dilmiş olr. Böl ksılr [ m m ]. m m [ m m ]. m m 5 [ m m 5 ]. m m 6. r [ m r m r ]. m r m r r biçimid ld dilir. Ksılrı hr birii isid ifd mk içi ksılr krr bkılırs [ m m ]. m m

310 Difrsil Dklmlr [ m m ][ m m ]. m m m m 5 [ m m ][ m m 5][ m m 5 ]. m m m m m 5 m 6. r [ m m ][ m m ]...[ m r m r ]. m m m m m 5... m r olğı görülür. B ksılrı vril srid ri zrk i olşrrsk m [ m m ]. m m [ m m ][ m m ]. m m m m 5 [ m m ][ m m ][ m m 5 ].... m m m m m 5 m 6 ld dilir. B şkild ld dil srisi içi [ ] m m. m dklmi sğlkır. m v m dğrlri krşılık gl v özl çözümlri şğıdki şkild hsplbilir. srisid v özl çözümlrii rrk rimi sıfırd frklı oldğd kfi sbi olkır. dolısıl olrk lıbilir. B drmd m v lırk ld dilir. B şkild zılbil bir hiprgomrik srii is F il gösrbilğimizi dh öd blirmişik. Böl; F ld dilmiş olr.

311 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr Bzr şkild m v lırk özl çözümü içi [ ][ 5 ] ld dilir. B sri d dördüü rimi pdsı sıfırdır. Arı üçüü rimd sıfırdır. Böl ikii çözüm olrk lıbilir. B çözüm is Gss foksio isid F biçimid gösrillir. B so olrk vril dklmi gl çözümü A F B F.. şklid blmş olr. Örk 7..6: difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklm γ / α β v αβ / ol bir Gss difrsil dklmidir. B şiliklrd α / β / v γ / olğı ld dilir. Brd vril difrsil dklmi çözümüü Gss foksio isid ifdsi ol A F B F γ. α β γ. α γ β γ γ olğıı sölbiliriz. Böl α β v γ içi krıd bl dğrlri b çözümd ri zrsk vril difrsil dklmi çözümüü 5 8 A F B F /.. olrk lbiliriz. Brd αβ α α β β F α β γ... γ.. γ γ

312 Difrsil Dklmlr α α α β β β.... γ γ γ Gss foksiod / / F.. / / / 5/ 7 /... / 7 / / / 5/ 7 / 9 / /.... / 7 / / /5/ F.. 8/ //7 /... 8/ / //7 //9/ /6/ ld dilir. Örk 7..7: difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklm α / üü mrbd 6 bir Bssl difrsil dklmidir. Dolısıl α / bir m sı olmdığıd 7.5 ifdsi il vril gl çözümü A. J B. J α α olğıı blirmişik. Brd α / lıdığıd v J /!. Γ J /!. Γ

313 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr olğı görülbilir. B drmd b iki özl çözüm lir bğımsız olğıd vril Bssl difrsil dklmii gl çözümü A. J B. J biçimid blmş olr. / / Örk 7..8: 5 difrsil dklmii g- l çözümüü bllım. B dklmd ölikl dğişk dğişimi plım. B drmd d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d olkır. B ifdlr vril difrsil dklmd rlri zıldık sor grkli düzlmlr pılırs d d 5 d d difrsil dklmi ld dilmiş olr. B difrsil dklm α 5- ii mrbd bir Bssl difrsil dklmidir. α 5 bir m sı oldğd b difrsil dklmi gl çözümü dh ö ifd dildiği gibi A. J5 B. Y5 şklid olkır. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü biçimid blmş olr. Örk 7..9: A. J BY difrsil dklmii çözü- müü bllım. B difrsil dklmd şimi pılırs d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d dğişk dği-

314 Difrsil Dklmlr olkır. B ifdlr vril difrsil dklmd rlri zıldık sor grkli düzlmlr pılırs d d 9 d d difrsil dklmi ld dilmiş olr. B difrsil dklm is α - üü mrbd bir Bssl difrsil dklmidir. α bir m sı oldğd b difrsil dklmi gl çözümü dh ö ifd dildiği gibi A. J BY. şklid olkır. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü A. J B. Y 5 5 biçimid blmş olr. Alışırmlr:. Aşğıdki difrsil dklmlri çözüüz. 6 b Y.G: döüşümü kllılbilir. d 5 Y.G: / döüşümü kllılbilir. J J J oldğ gösriiz. J J J oldğ gösriiz. f g h difrsil dklmii çözüüz. difrsil dklmii çözüüz.

315 7. Bölüm: Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlr 5. Aşğıdki şiliklri Gss foksiolrı şklid ifd diiz: F β β b rsi. F r. F d lim F α / α α

316

317 BÖLÜM VIII FOURĐER SERĐLERĐ 8.. Forir Srisii Ksılrıı Blirlmsi Tlor srilrii v dolısıl Mlri srilrii vril bir f foksio poliomlrl klşımd blm problmid or çıkığıı biliorz. B klşım bir oksı ivrıd f foksio kı bir dğr blm ssı dır. Tlor srisi gllikl oksı ivrıdki bir rlık kıskır. Tlor srisii lokl olrk ömli işlvlr gördüğüü sölbiliriz. Ak pk çok glmd bir f foksio oldkç giş bir rlık bir klşım blmk isbilir. B drmd gllikl Forir srisi kllılmkdır. Kvv srilrid d Tlor srisid ml bilş olrk dğişkii kvvlrii kllılmsı krşılık Forir srisid ml bilş olrk siüs v kosiüs kllılmkdır. os b si os b si... v dh kıs olrk os b si 8. biçimid zılbil bir sri rigoomrik sri dı vrilir. Brd v... olmk üzr v b lr rigoomrik srii ksılrıdır. B drmd os v si foksiolrı π priol priodik foksiolr oldğd ğr krıdki sri kısk is oplmı d π priol priodik bir f foksio olkır. Bşk bir dişl f foksio içi f f π olkır. B dl π priol priodik bir f foksio vrildiğid hgi şrlrd b foksio kısk bir rigoomrik sri il msil dilbilğii bilmk oldkç ömlidir. Bir içi π priol priodik bir f foksio-

318 8 Difrsil Dklmlr π rlığıd kısk bir rigoomrik sri il msil dilmiş oldğ vrslım. Yi f os b si 8. ols. B drmd söz kos srii ksılrıı blirlmsi mksdıl birii rfki foksio igrlii ikii rfki srii rimlrii igrllrii oplmı şi oldğ kbl dbiliriz. Böl π π f d π π d π os d b π π π si d zılbilir. Brd şiliği ikii rfıdki igrllri rı rı hsplrsk π π d π. π ; os d si d π oldğ görülür. Brd d π π π f d d v dolısıl blmş olr. π. π π π π f d 8. π π Şimdi diğr ksılrı hspllım. B içi ölikl v k msılrı vrildiğid k içi v π os.os kd ; os.si kd ; si.si kd π k oldğd π π π π π os kd π ; os.si k kd ; si kd π π π π π π

319 8. Bölüm: Forir Srilri 9 olğıı blirlim. k olmk üzr k ksılrıı hsplbilmk içi 8. şiliğii hr iki rfıı os k il çrplım. B drmd f osk osk ld dilir. Brd şiliği hr iki rfıı π π π f oskd oskd π os.osk b π π os.oskd b si.oskd π π si.osk π d π kdr igrli lırk zılbilir. B so şilikki ikii rfki rimlrd hriç ümü sıfır olğıd π π π k os kd k π f os kd olp brd d k π π π f os kd π k ksılı ol 8. ld dilir. Bzr düşül b k ksılrıı blirlmk içi 8. şiliğii hr iki rfıı si k il çrpıp π d π kdr igrli lırk π π π f sikd sikd π π π os.sikd b si.sikd π π zılbilir. B şilikki ikii rfki rimlrd b k ksılı ol hriç gri kl rimlri ümü sıfır olğıd π π π k si kd b k π f si kd b blr v brd d b k π π π f si kd π 8.5

320 Difrsil Dklmlr ld dilir v 8.5 il ıml ksılr f foksio Forir ksılrı v b ksılrl olşrl rigoomrik sri is f foksio Forir srisi dı vrilir. 8.. Forir Srisi Açılbilm Koşllrı B kısımd bir f foksio Forir srisii kısk olbilmsi v oplmıı f foksio şi olbilmsi içi hgi şrlrı sğlmsı grkiğii vrğiz. B mçl ölikl şğıdki ımı vrlim. Tım 8..: f foksio sol f v f dğrlri ship v is f f f 8.6 oksı foksio bir düzgü sürksizlik oksı dı vrilir. Torm 8..Dirihl Tormi: π priol bir f foksio sol sıd düzgü sürksizlik oksı hriç π π rlığıd sürkli v b rlık k sol sıd ksrmm ship is f foksio i hr dğri içi kısk v oplmı b foksio şi ol bir Forir srisi msil dr. Örk 8..: π π rlığıd f biçimid ıml π priol f foksio Forir srisi çlım. B foksio krıd vril Dirihl ormii şrlrıı sğldığı kol görülmkdir. Dolısıl foksio Forir srisi çılbilir. π -π -π π π -π

321 8. Bölüm: Forir Srilri f foksio Forir srisi çılımıdki Forir ksılrıı bllım. B kdird π f d d π π π π π π k f os kd os kd π π π π π π si k si kd k k π π π π bk f si kd si kd π π π π π π π os k os kd k k π π π / k k k is / k k çif is olğı gösrilbilir. Böl Forir srisi π si si si si k k k f şklid ld dilmiş olr. B şilik sürksizlik oklrı hriç hr rd sğlır. Sürksizlik oklrıd srii oplmı sğd v sold limilrii rimik orlmsı olp sıfır olkır. No 8..: Uglmlrd çoğ zm π priol prçlı foksiolrı göz öü lmk grkbilir. Örği lkroik b drm sık sık rslmkdır. Kbl dlim ki f foksio f f f f -π < < α α < < β β < < π

322 Difrsil Dklmlr biçimid ols. B drmd π α β π f d f d f d f d 8.7 π π π π α β olmlıdır. Aı düşül k b k α β π f os kd f oskd f oskd 8.8 π π α β α β π f si kd f si kd f si kd 8.9 π π α β şiliklri zılbilir. Örk 8..: f - π < < π foksio Forir srisi çlım. B foksio prçlı foksio biçimid f -π < < < < π olrk zbiliriz. B foksio grfiği şğıd vrilmişir. π -π -π π π B drmd ölikl Forir ksılrıı blirllim. B içi π π π π f d π d d π π ld dilir. Diğr rf k π k oskd oskd π k π k π çif is k is

323 8. Bölüm: Forir Srilri v b k π si kd si kd π π oldğ görülbilir. Böl r Forir srisi f π os os os5 os π 5 biçimid blmş olr. Örk 8..: Aşğıdki foksio Forir srisi çlım. f -π < < < < π B foksio grfiği şğıd vrilmişir. π -π -π -π -π π π π π B drmd Forir ksılrı π π π. π f d π d d π π k π π.oskd oskd oskd π π π k π k k çif is k is v b k π π / k.si kd si kd si kd π π / k π k k çif is k is

324 Difrsil Dklmlr olrk blmş olr. Böl r Forir srisi f olkır. π os os os5 os π 5 si si si si Örk 8..: f π < < π foksio Forir srisi çlım. B foksio Forir çılımıı blmk içi ölikl v b k ksılrıı hsplmsı grkir. B drmd π [ ] π π f d d π π π π π π k k π π π os kd si k os k π k k π π v b k π π π sikd osk π k k sik π π k k olrk blmş olr. Böl r Forir srisi f k k k si si si si sik... olkır. Priodik foksiolrı Forir srisi çılımlrıı hsplmsı kosd şğıdki ömli çıklm vrilbilir. π priodl bir f foksio içi λ olrs ols π π λ π f d f d 8. λ

325 8. Bölüm: Forir Srilri 5 şiliği sğlır. Zir f foksio π priodl bir priodik foksio is hr α sısı içi f α π f α olkır. α π dğişk dğişimi pılrk v d olrs ols d d π π d π π d π f d f α π dα f α dα f d 8. π zılbilir. Brd özl olrk π v d λ lıırs λ π λ π f d f d ld dilmiş olr. Brd d π π λ π λ λ π f d f d f d f d v dolısıl π π π λ π f d f d λ π blr. B özllik priodik bir foksio priod şi zlk ol kfi bir rlıkki igrlii dim ı dğr şi olğıı ifd mkdir. B so olrk Forir ksılrıı hsplmsıd π π rlığı ri λ λ π rlığı lıbilir. Bşk bir dişl λ kfi bir sbi sı olmk üzr λ π f d π λ λ π k π f os kd ; λ λ b k π λ π λ f si kd lıbilir.

326 6 Difrsil Dklmlr Örk 8..5: f < < π biçimid ıml foksio Forir srisi çlım. π f foksio Forir srisi çılımıdki Forir ksılrıı bllım. B kdird krıdki ifdlrd λ lırk π π π f d π d π π k os kd si k os k π π k k ; π b k si kd os k si k π π k k k olrk blmş olr. Böl r Forir srisi olkır. -π π π si si si si f π Tk v Çif Foksiolrı Forir Srilri f ım kümsi simrik bir A kümsi ol bir foksio ols. B kdird hr A içi f f olors f foksio bir çif foksio v hr A içi f f olors f foksio bir k foksio dildiğii hırllım. B drmd f foksio bir çif foksio is π π

327 8. Bölüm: Forir Srilri 7 π f d f d π π v f foksio bir k foksio is π π f d olğı kollıkl gösrilbilir. B şiliklr göz öüd lrs f gibi bir çif foksio Forir sri çılımıd krşılşılk ol f os k foksio bir çif foksio v f si k foksio is bir k foksio olkır. Dolısıl b drm içi Forir ksılrı π f d π f d ; π π π π k f os kd π f os kd ; b k π π π f si kd π π π biçimid olkır. B so olrk bir çif foksio Forir srisi lız kosiüslü rimlr içrkir. Bzr düşül f gibi bir k foksio Forir sri çılımıd krşılşılk ol f os k çrpımı bir k foksio v f si k çrpımı is bir çif foksio olğıd b drm içi Forir ksılrı π f d ; π π π k f os kd ; π b k π π f si kd π π π π f si kd

328 8 Difrsil Dklmlr biçimid olkır. Yi bir k foksio Forir srisi lız siüslü rimlr içrkir. Örk 8..: f π π < < foksio Forir srisi çlım. B foksio bir çif foksiodr. Foksio grfiği şğıdki şkild gösrilmişir. -π -π -π π π π π 5π Şimdi vril f foksio Forir srisi çılımıdki Forir ksılrıı bllım. Foksio çif oldğd π π π f d π d π π k π os kd π π π π os kd k os kπ ; b k π π π si kd olğı kollıkl görülbilir. Böl r Forir srisi f π os os os os... şklid blmş olr. π < < Örk 8..: f foksio Forir srisi < < π çlım. B foksio bir k foksiodr. Foksio grfiği şğıdki şkilddir

329 8. Bölüm: Forir Srilri 9 -π -π π π π π - Foksio k oldğd f foksio Forir ksılrıı π f d π π π k f os kd ; π π b k π f si kd π π π π si kd kπ şklid olkır. Böl r Forir srisi k k çif is k is si si si 5 f... π 5 şklid blmş olr. B örklrd v krıdki çıklmlrd d görülği gibi vril bir foksio çif v k foksio olmsı drmd Forir çılımıı ld dilmsid Forir ksılrı dh bsi şkild hsplbilmkdir. 8.. Hrhgi Priodl Foksiolrı Forir Srisi p prioddl bir priodik f foksio hrhgi bir rl sı olmk üzr p rlığıd kısk ol

330 Difrsil Dklmlr kπ kπ k os bk si k p p biçimid bir rigoomrik sri il ifd dilmiş ols. Yi f kπ kπ k os bk si k p p 8. ols. B drmd b srid gösril k v b k ksılrı i formüllri ld dilmsid şğıd vril blirli igrllri hsplmsı ihiç vrdır. Brd k v m m sılr olmk üzr p kπ os d p p kπ si d ; p p k ; kπ mπ os os d p p p kπ mπ os si d p p p kπ mπ 5 si si d p p p kπ 6 os d p p p kπ 7 si d p p k ; k ; k m ; k m ; k m ; igrllrii vrilğii blirlim. B igrllr 8. şiliğid kllılırs r ksılrı p f d p 8.

331 8. Bölüm: Forir Srilri k p k f os π d p p 8. b k p k f si π d p p 8.5 biçimid olğı görülür. Örk 8..:Aşğıdki şkild ıml foksio Forir srisi çlım. f < < < B foksio p 6 priodl olp b grfiği şğıd vrilmişir Şimdi vril f foksio Forir srisi çılımıdki Forir ksılrıı bllım. B içi v 8.5 bğıılrıd v p lırk f d d d k kπ f os d kπ.os d kπ.os d kπ 6.os os d kπ ; k π

332 Difrsil Dklmlr b k kπ f si d kπ.si d kπ.si d kπ 6.si d os kπ kπ olkır. Böl r Forir srisi f π π 5π os os os... π 5 6 π π π π si si si si... π şklid blmş olr. Örk 8..:Aşğıdki şkild ıml foksio Forir srisi çlım. f < < < B foksio p priodl olp b grfiği şğıd vrilmişir Şimdi vril f foksio Forir srisi çılımıdki Forir ksılrıı bllım. B drmd v 8.5 bğıılrıd v p lırk f d d d

333 8. Bölüm: Forir Srilri k kπ f os d kπ.os d kπ.os d kπ os d kπ si kπ ; b k kπ f si d kπ.si d kπ.si d kπ kπ si d os k π oskπ 6 / kπ k k is kπ k k is ld dilir. Böl r Forir srisi f şklid blmş olr. 6 π π 5π 7π si si si si... π Priodik olm Foksiolrı Forir Srisi [ b] rlığıd ımlı bir f foksio göz öü llım. B foksio sürkli oldğ oklrd bir Forir srisi çılbilğii görlim. B içi b p olk şkild p priodl v [ b] rlığıd f il çkış kfi bir f foksio ımlmış ols. f foksio zmkl b foksio ld dilbilir. f foksio Forir srisi çlım. B srii oplmı sürksizlik oklrı hriç [ b] rlığıd f i dğrlri il çkışkır. Böl f foksio [ b] rlığıd Forir srisi çılmış olr. Bzı drmlrd hrhgi bir f foksio [ p] rlığıd ımlı oldğ kbl dilrk Forir srisii sd siüslü rimlri v sd kosiüslü rimlri içrmsi isbilir. B foksio gösrmiş oldğ ğrii [ p] rlığıd zlım. B drmd b foksio Forir srisi çbiliriz. Eğr b foksio ğrisii [ p] rlığıd

334 Difrsil Dklmlr f f olk şkild zırsk bir çif foksio ğrisi ld dilmiş olr. B drmd foksio ğrisi foksio çif olk şkild zılmışır dir. B drm şğıdki şkild gösrilmkdir. p p B hld foksio Forir srisi çığımızd b srid siüslü rimlri blmğıı dh ö ifd mişik. Böl f foksio [ p] rlığıd kosiüs Forir srisi d kıs kosiüs srisi çılmışır dir. B bzı kklrd rı bölgli Forir kosiüs srisi d dir. Eğr f foksio ğrisii [ p] rlığıd f f olk şkild zırsk b kdird bir k foksio ğrisi ld dilmiş olr. B drmd foksio ğrisi foksio k olk şkild zılmışır dir. B şkild d f i siüs ğrisi ld dilmiş olr. B rı bölgli Forir siüs srisi d dilmkdir. B drm şğıdki şkild gösrilmkdir. p p B so olrk rı bölgli Forir osiüs srisid ksılr çif foksio Forir srisidki ksılr gibi hsplbilir. Dolısıl b drmd b olp p f d ; p k

335 8. Bölüm: Forir Srilri 5 k p k f os π d p p olkır. Bzr şkild rı bölgli Forir siüs srisid ksılr k foksio Forir srisidki ksılr bzr şkild hsplbilir. Yi b drmd v k olmk üzr b k ksılrı b k p k f si π d p p bğıısıl hsplır. Örk 8..: f foksio [ π ] rlığıd rı bölgli Forir kosiüs srisi çlım. B foksio ğrisii [ π ] rlığıd foksio bir çif foksio olk şkild zlım. Foksio grfiği şğıdki şkild vrilmişir. B drmd [ π π ] içi f ld dilir. π Şimdi vril f foksio Forir srisi çılımıdki Forir ksılrıı bllım. Foksio çif oldğd b olp π π π d π d ; π -π π π k k π os kd π π π π os kd os kπ πk k k is πk k çif is

336 6 Difrsil Dklmlr olğı kollıkl görülbilir. Böl r rı bölgli Forir kosiüs srisi f π os os os5 os7... π 5 7 şklid blmş olr. Örk 8..: f foksio [ π ] rlığıd rı bölgli Forir siüs srisi çlım. B foksio ğrisii [ π ] rlığıd foksio bir k foksio olk şkild zlım. Foksio grfiği şğıdki şkild vrilmişir. B drmd [ π π ] içi f ld dilir. π -π π -π B drmd foksio k foksio oldğd v k olp b k π si kd π π π π si kd π π os k os kd k π k kπ k k k k is çif is olğı kollıkl görülbilir. Böl r rı bölgli Forir siüs srisi si si si si 5 f... 5 şklid blmş olr.

337 8. Bölüm: Forir Srilri 7 Alışırmlr:. Aşğıd vril foksiolrı Forir çılımlrıı ld diiz. b d f g h - < < f priod p 6 < < < < f priod p 8 6 < < 8 os -π < < f priod p π si < < π < < f priod p < < < < π f priod p π π < < π < < π f priod p π π π < < π < < π f priod p π π π < < π < < f priod p - < <. π π rlığıd f π olrk ıml π f foksio Forir srisi çıız.. π π rlığıd foksio Forir srisi çıız. f olrk ıml π priodl priodl f. π π rlığıd f osh olrk ıml π priodl f foksio Forir srisi çıız. 5. [ π ] rlığıd f m olrk ıml rı bölgli Forir siüs srisi çıız. f foksio

338 8 Difrsil Dklmlr 6. f π foksio [ π ] rlığıd rı bölgli Forir kosiüs v siüs srilri çıız. 7. f foksio ] [ rlığıd rı bölgli Forir kosiüs v siüs srilri çıız. 8. f os foksio [ π ] rlığıd rı bölgli Forir kosiüs v siüs srilri çıız. < < 9. f foksio [ ] rlığıd rı bölgli < < Forir kosiüs srisi çıız.. f foksio [ ] rlığıd rı bölgli Forir kosiüs v siüs srilri çıız.

339 BÖLÜM IX LAPLACE DÖNÜŞÜM YÖNTEMĐ B kısımd di difrsil dklmlri çözülmsid Lpl döüşümlrii kllılmsıı içr bir öm vrilkir. Bl ilgili olrk ölikl Lpl döüşümü v Lpl döüşümü ömli özlliklri vrilkir. Arı rs Lpl döüşümü v özlliklri vrilrk b döüşümlri difrsil dklmlri çözülmsid glmsı üzrid drlkır. B öm mühdislik özllikl lkrik dvrlrid oldkç sık kllılmkdır. 9.. Lpl Döüşümü bir dğişk olmk üzr f rl dğrli bir foksio ols. B kdird f foksio Lpl döüşümü s bir rl dğr olmk üzr s L [ f ] F s f d 9. biçimid ımlır. L oprörü Lpl döüşüm oprörü dı vrilir. Brd s prmrsi b igrl mv olk şkild bir prmrdir. Eğr b igrl bir s dğri içi kısk is b kdird s içi d kısk olkır. B igrl bir gllşirilmiş igrldir. O hld gllşirilmiş igrllri kısklıklrı v hsplmsı il ilgili rli bilgi ship oldğmz vrsğız. Diğr rf ğr f foksio rl dğişkii f iv biçimid bir komplks dğrli bir foksio is b kird L [ ] U s v L [ v ] V s olmk üzr L [ f ] L [ ] il [ v ] U s iv s 9. zılbilir. v v foksiolrı rl dğrli foksiolr oldğd sd rl dğrli foksiolrı dikk lmk rlidir. Lpl döüşümü hsplbil bir foksio Lpl döüşümü lıbilir bir foksio d kıs L döüşbilir bir foksio dı vrilir.

340 Difrsil Dklmlr Örk 9..: drmd f s s f F s d d L [ ] s oldğ görülür. foksio göz öü llım. B Lpl döüşümüü bzı özl problmlr glbilmsi içi bir kım formüllr ihiç vrdır. Logrim kvrmıd oldğ gibi bzı krmşık foksiolrl çlışmk ri b foksiolrı Lpl döüşümlril çlışıp gri döüş pmk bz dh g olbilir. B içi ölikl Lpl döüşümüü ömli bir özlliğii vrmk işimizi oldkç kollşırkır. Torm 9..: L oprörü bir lir oprördür. Yi f v g Lpl döüşümlri sırsıl F s v G s ol iki foksio v v b kfi sbilr olmk üzr L [. f b. g ]. L [ f ] b. L [ g ]. F s b. G s 9. şiliği sğlır. Đsp: Lpl döüşümüü krıd vril ımı gör [ ] s L [. f b. g ]. f b. g. d s s. f. d b. g. d ld dilir. f s s. d b g. d. F s b. G s B ormi dh d gllşirmk mümküdür. B içi f i i... Lpl döüşümlri lıbilir foksiolr L [ f ] F s v i lr sbilr olmk üzr i i

341 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi L i. fi i. L [ fi ] i. Fi s 9. i i i olkır. Örk 9..: Şimdi f foksio göz öü llım. B drmd s L [ f ] F s d s oldğ görülür. Örk 9..: f foksio göz öü llım. B drmd kısmi igrso modl s L [ f ] F s. d s oldğ kol gösrilbilir. Örk 9..: hrhgi bir doğl sı olmk üzr f foksio göz öü llım. B drmd kısmi igrso modl s s s [ ].. L d d s s s. d [ ] s L s zılbilir. Bzr şkild L L s [ ] [ ] olkır. Böl! L [ ].... L []... s s s s s s s s ld dilmiş olr.

342 Difrsil Dklmlr Örk 9..5: foksio içi f foksio göz öü llım. B s s f F s d d L [ ] s oldğ görülür. Örk 9..6: f osh foksio l llım. B drmd osh oldğd s s s L [osh ] F s d d d s s> s s s olkır. Bzr şkild L [sih ] s> s olğı gösrilbilir. Örk 9..7: f os foksio göz öü llım. B drmd komplks sılrdki Elr formülüd i os i si oldğ hırllım. Örk [ i ] s L i s i si s i s i s s zılbilir. B so olrk [os ] s s [si ] s L L olğı gösrilmiş olr.

343 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi Aşğıdki blod oldkç sık krşılşıl bir kım foksiolrı Lpl döüşümlri vrilmişir. Blrd bzılrı krıdki örklrd gösrilmişir. Diğr drmlrd bzr şkild doğrlbilir. f foksio F s L [ f ] Lpl döüşümü f L [] / s s > f L [ ] / s s > f...! L [ ] s > s f f L [ ] s s> f! L [ ] s L [ f ] s> s f os s L [os ] s > s si si f L [ ] s s > f os [ os ] L b b s b s > b si b si f L [ ] s b s > f osh s L [osh ] s> s sih sih f L [ ] s> s

344 Difrsil Dklmlr f b osh [ osh ] s L b b s b b sih b sih f L [ ] s b f si.. s L [ si ] s > s f os [ os ] s L b s > s f b b b L [ ] b b s s b s> b b b b s f L [ ] b b b s s b s> f osh s L [ osh ] s f sih f si os.. s L [ sih ] s s L [ f ] s f si os f L [ f ] s osb os b s L [ f ] s s b b si b bsi f b b L [ f ] s s b b

345 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 5.si f os.sih f osh sih.osh f s L [ f ] s s L [ f ] s s L [ f ] s f si L [ f ] s s f / L [ f ] π / s f f J L [ f ]! s L [ f ] > s f l Γ l s L [ f ] s No 9..: Hrhgi bir f foksio Lpl döüşümüü F s oldğ vrilmiş ols. B kdird f foksio ürvlri i Lpl döüşümü rşırılbilir. B içi f df d df s L [ f ] L [ ] f d d zılbilir. B igrl içi kısmi igrso mod glırs s s L [ f ] f. s f. d f s. F s ld dilir. Böl

346 6 Difrsil Dklmlr L [ f ] s. F s s. f f. L [ f ] s. F s s. f s. f... s. f f olğı gösrilbilir. f foksio d sürkli is b kdird f f olğıd L [ f ] s. F s f lıbilir. Örği L [ ] L [ ] L [. ] s s s olkır. s No 9..: Hrhgi bir f foksio Lpl döüşümüü F s oldğ vrilmiş ols. B kdird f foksio igrlii Lpl döüşümü rşırılbilir. Yi g f d foksio Lpl döüşümü isbilir. B drmd Lpl döüşüm ımı gör kısmi igrso mod glrk olğıd s s f d dv d d f d v / s s L [ g ] L f d f d. d s f d s s f. zılbilir. Brd oplmdki birii rim sıfır olkır. Böl F s L [ g ] L f d s olğı görülür. Örği s d

347 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 7 L [ ] ld dilir. s L [ ] L [ ] s s Torm 9..: f foksio Lpl döüşümü F s ols. Eğr f foksio sürkli is b kdird df s L [. f ] ds d F s L [. f ] v ds d F s L [ f ] ds şiliklri sğlır. Đsp: f sürkli foksio Lpl döüşümü F s oldğd Lpl döüşümü ımı gör s F s L [ f ] f d olp b şiliği hr iki rfıı s dğişki gör ürvi lıırs df s ds d ds f s d d [ f. ds s ] d [. f ]. s d ld dilir ki b d r birii şilikir. Bzr şkild ürv lm dvm dilrk diğr şiliklr d gösrilbilir. Örk 9..8: L [ ] s oldğ dh ö vrmişik. Brd d L [. ] ds s s L ds s ds s s d d [. ] oldğ görülür.

348 8 Difrsil Dklmlr π Örk 9..9: J os si θ dθ π oldğ gör L [ J ] > Lpl döüşümüü hsplıız. Ölikl L [ J ] i hspllım. Diğr rf > bir sbi olmk üzr L [ f ] F s ols. B kdird L [ f ] F s / oldğ gösrilbilir. Şimdi s L [ J ] d os si θ dθ π zlım. B kdird π π π s s s si L [ J ] dθ os si θ d dθ π π θ oldğ görülür. Böl π / s s θ dθ π s s θ π / s θ π s s s L [ J ] > s / s oldğ gösrilmiş olr. 9.. Trs Lpl Döüşümü Tım 9..: Hrhgi bir f foksio Lpl döüşümü F s ols i L [ f ] F s vrilsi. B drmd f foksio F s foksio bir rs Lpl döüşümü dı vrilir v b drm L [ F s] f 9.5 biçimid gösrilir. B gör bzı F s foksiolrı içi krıd vril blo kllılrk rs Lpl döüşümlri ld dilbilir. Brdki L

349 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 9 [ ] si s L oldğ görülbilir. [ ] s L L [ s ] Γ Tım 9..: Hr içi N d koşl sğl N foksio bir sıfır foksio dı vrilir. B oprörüü L oprörüü rsi olğı dikk dlim. Yi bir foksio Lpl döüşümüü i o foksio döüşürür. Bşk bir dişl L [ L [ f ]] f dir. Örği ımı so olrk L [ f ] F s L [ g ] is f g N olğı gösrilbilir. B özlliğ gör ı Lpl döüşümü ship iki foksio k bir birid sıfır foksio kdr frklı olbilğii sölbiliriz. B d gösrir ki sıfır foksio göz öü lımksızı rs Lpl döüşümü kir. Torm 9..: Trs Lpl döüşümü bir lir döüşümdür. Yi v b hrhgi iki sbi olmk üzr L [. F s bg. s]. L [ F s] b. L [ G s] olkır. Tormi ispı Lpl döüşümüü lirliğii ispıdki old pılbilir. B dl isp vrilmkir. Arı ikid dh fzl foksio lir kombizo içi d bzr bğıı gçrlidir. Örk 9..: L s s s L s s s L s L s.os si oldğ görülür.

350 5 Difrsil Dklmlr L [ F s] f ols. B drmd Torm 9..: > olmk üzr L [ F. s] f / şiliği sğlır. Örk 9..: L. s. s s L s s s L. s L s si os ld dilir. Torm 9..: L [ F s] f ols. B drmd [ ] w w L F s w f L [ F s] şiliği sğlır. Örk 9..: 7 s s 5 L s s 7 L [ s 9] oldğ görülür. L s s 7 os / / 7 si L s Trs Lpl döüşümüü hsplmk içi krıd vril blo dışıd bzı özl ömlr d vrilbilir. Blrd birisi d kısmi ksirlr moddr. B mod çıklmk içi şğıdki örği vrlim.

351 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 5 Örk 9..: s L s s döüşümüü bllım. B drmd s s A B L s s L s s L s s zılbilir. Brd s s s A s oldğ görülür. Böl B A s B L s s s L s s L s L s ld dilir. Torm 9..: m< olmk üzr F s v G s sırsıl m - v - ii drd iki poliom ols. G s poliom birbirid frklı sıfır mvs v blr α k L F s F αk G s k G αk α k k... is b drmd olkır. Ş α k k... frklı klı olm köklr oldğ hld α kökü G s poliom bir r klı kökü is b drmd L F s F α A A... A. r r k αk r G s k G α k r! r! olp brd A p şkliddir. p d r F s lim sα! p... r s α p p ds G s B ormi ispıı brd vrmğiz. Đsp dğişik kklrd L F s / G s biçimidki blbilir. Ak b ormi so olrk [ ] α

352 5 Difrsil Dklmlr bir rs Lpl döüşümü blmk içi ölikl G s poliom çrplrı rılmlıdır. Bşk bir dişl F s / G s ifdsi A As B j... v j... j j s b s bs biçimid kısmi ksirlri oplmı olrk zılmlıdır. B drmd hr bir L F s / G s kısmi ksri rs Lpl döüşümü lımk sril [ ] döüşümü hsplmış olr. Örk 9..5: s L s döüşümüü bllım. B drmd G s s s i s i oldğd köklr α i α i α i v α i olrk blr. Brd s s A A A A s sα sα sα α şiliğid A i 8 oldğ görülür. Y d i i i A A A A F α G α α α α 6 i 8 oldğ gösrilmiş olr. s s A B L s s L s s L s s zılbilir. Böl L s i s 8 i i i i

353 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 5 ld dilmiş olr. Örk 9..6: B drmd i 8 si [ i si i si ] [ ] si.sih s s 6s 7 L ss s döüşümüü hspllım. G s s s s s F s s s s 6 7 llım. Brd F s s s s G s s s s 6 7 A B Cs D s s s zılbilir. B kdird grkli hsplmlr pılrk A B C D oldğ görülür. Böl F s s s s G s s s s 6 7 s s s s olp rs Lpl işlmi glrk L s s s / 6 7 os si s s s ld dilmiş olr. Brd Örk 9..7: s s 5s 56s 8 L s s döüşümüü bllım. F s s s s s G s s s A B C D E s s s s s

354 5 Difrsil Dklmlr zılbilir. B kdird A B E C v D ld dilir. Böl F s s s s s G s s s s s s s s olp rs Lpl işlmi glrk L s s 5s 56s 8 s s s s s s s L L s s s s s L L L L oldğ gösrilmiş olr. Tım 9..: F F v F F şklid vril iki foksio F F il gösril kovolüso çrpımı F F F F d biçimid ımlır. B şkild ıml F F foksio F F v F F foksiolrıı srılım çrpımı d srılımı d dir. B ımı bir so olrk L [ f ] F s v L [ f ] F s olmk üzr f v f foksiolrı vrilmiş ols. B kdird

355 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 55 L [ f f ] F s. F s v rs Lpl döüşümü lımk sril L [ F s. F s] f f olğı gösrilbilir. Örk 9..8: Aşğıdki rs Lpl döüşümlrii hsplıız. L s α sβ s b L s L s s Çözüm: Çözümd krıd vril ımı sod rrllım. F s v F s foksiolrıı göz öü l- s α sβ lım. Brd f L [ F s]. α v ld dilir. B drmd krıd ımd L L s α sβ α β [ ]. f L [ F s] β oldğ F s F s f f d β. α β d α β α β β. α β α β ld dilir. α β α β α β α β α β

356 56 Difrsil Dklmlr llım. Brd f f os ol- s b F s F s s dğ ld dilir. B drmd s s α sβ L f f os.os d [os os ] d os si.os si oldğ görülür. F s s F s s s v llım. Brd f os oldğ ld dilir. f i blmk içi b i kllbiliriz. B drmd s s s s zılbilir. B so olrk s s s s. f L L s L s s L si si os si.os ld dilmiş olr. Böl

357 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 57 L s s f f si os os d [si si os os ] d zılbilir. B kdird b ifddki igrllri sırsıl [si d [ os ] si. d si os d.si os d os olğı gösrilbilir. B so olrk L s s ld dilmiş olr. Alışırmlr: si.si si os 8 os / Aşğıdki ifdlri rs Lpl döüşümlrii blz. b s s s s

358 58 Difrsil Dklmlr [ s s... s] d f g h ı j k / s s s s / / s si / s s 6/ s 8s 7 5 s/ s s /s s / s s s 7s s 7/[ s s s s 5 m s s 5s 5s s s s s /[ s ] 9.. Lpl Döüşümüü Difrsil Dklmlr Uglmsı B kısımd di difrsillri çözümlrii blmsıd Lpl v rs Lpl döüşümüd rrlğız. B içi vril dklmi sbi ksılı d dğişk ksılı olmsı drm gör hrk dilbilir. A- Dklmi sbi ksılı olmsı drm: B drmd dh ö vril No 9.. i dikk lğız. Ord hrhgi bir f foksio oksıd isil hr mrbd ürvlbilir olmsı drmd L [ f ] s. F s s. f s. f... s. f f 9.6 şiliğii sğldığıı vrmişik. B özllik vril difrsil dklmi bşlgıç şrlrı bğlı oldğd b şrlr dklmi çözümüd oomik olrk or çıkkır. Mod çıklmk içi şğıdki örği vrbiliriz:

359 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 59 Örk 9..: p v poziif sbilr olmk üzr si p difrsil dklmii v koşllrıı sğl çözümüü bllım. L [ ] Y s lrk 9.5 bğıısıı dklm gllım. B drmd oldğd L [ ] sy s sy s oldğ görülür. Bzr şkild v oldğ dikk lıırs L [ ] s Y s s. s Y s s ld dilir. Böl vril dklmi hr iki rfıı Lpl döüşümü lıırs L L şiliğid [ ] [ si p] p s Y s s Y s s p v dh sd olrk Y s Y lırk s Y s Y s p p ld dilir. Brd grkli düzlm pılırs s Y s s p p s zılbilir. B drmd ğr p is b kdird Y s p s s p s s p ld dilir. B ifdi rs Lpl döüşümü lıırs

360 6 Difrsil Dklmlr p os si si si p p blmş olr. Ş p is b kdird Y s s s ld dilir. Brd kovolüso krlı dikk lıırs L si.si d [os os ] d s si os [ si os ] ld dilir. Dolısıl p içi os si blmş olr. si os Örk 9..: 6 8 şklid vril dklmi v koşllrıı sğl çözümüü bllım. Bşlgıç koşllrıı kllrk L L [ ] Y L [ ] s. Y [ ] s Y s 7s 6 L [ ] s Y s v ld dilir. Böl vril dklmi hr iki rfıı Lpl döüşümlrii lrk blrı birbiri şilrsk 6 s Y s 7s6 6 s Y s s. Y 8Y s v b ri s 6s s 8 Y s 6 7s6 s

361 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 6 oldğ görülür. Ak brd oldğ dikk lıırs s 6s s 8 s Y s 7s6 s 6 s 7 ld dilmiş olr. Brd s 7s6 s s 6 olrk zılbilğid Y s s 6 s 6 s 7 lıbilir. B drmd L [!/ s ] oldğd B ifdi rs Lpl döüşümü lıırs 6 L [ Y] blmş olr. Örk 9..: 5 os 8si şklid vril dklmi v koşllrıı sğl çözümüü bllım. Bşlgıç koşllrıı kllrk L [ ] Y L [ ] s. Y L [ ] s Y s ld dilir. Böl vril dklmi hr iki rfıı Lpl döüşümlrii lrk v blrı birbiri şilrk s Y s sy 5Y s s 5 s v s s s 5 Y s 5 s 5 s oldğ görülür. Brd grkli düzlm pılrk

362 6 Difrsil Dklmlr Y s s s s s 5 s s ld dilir. B drmd b ifdi rs Lpl döüşümü lıırs is çözüm olrk L [ Y] os os blmş olr. Örk 9..: 9 os şklid vril dklmi Gl çözümüü b v π / koşllrıı sğl çözümüü bllım. Çözüm: B drmd bşlgıç koşllrı kfi olrk lıbilir. B içi A v B lbiliriz. Böl L [ ] Y v L s Y s A B [ ]. olğıd vril dklmi hr iki rfıı Lpl döüşümlrii lrk v blrı birbiri şilrk v s Y s. A B 9Y s s 9 Y s. A B s s s oldğ görülür. Brd grkli düzlm pılrk Y s s. A s B s s s s. A s s B 5 s s 5 s s A 5 s s B 5 s s s

363 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 6 ld dilir. B drmd b ifdi rs Lpl döüşümü lıırs vril dklmi gl çözümü olrk L s B s [ Y] L A 5 s s 5 s 5 L s B s s L s L 5 s A B A os si os 5 5 os si os 5 blmş olr. b v π / koşllrıı sğl çözümü blmk içi d ld dil gl çözümd 5 5 π / 5 5 ld dilir. B dğrlr bl gl çözümd ri zılrk r çözümü os si os olğı görülür. Örk 9..5: 6 difrsil dklmii v koşllrıı sğl çözümüü bllım. Çözüm: B drmd vril bşlgıç koşllrı dikk lırk L [ ] Y L [ ] syv L [ ] s Y s olğıd vril dklmi hr iki rfıı Lpl döüşümlrii lrk v blrı birbiri şilrk

364 6 Difrsil Dklmlr 6 s Y s sy Y s s s Y s s 6 s s Y s 5 s Y Y s 5 s s s 7 s s s oldğ görülür. Brd b ifdi rs Lpl döüşümü lıırs vril dklmi gl çözümü olrk L 7 [ Y] L s s s 7 L s L s L s blmş olr. B- Dklmi dğişk ksılı olmsı drm: B drmd bir difrsil dklmi çözümüü blmsıd dh ö vril L [ f ]. F s v b dk ol [ L F s]. f özlliğid rrlğız. Mod çıklmk içi şğıdki örği vrbiliriz: Örk 9..6:. 9 difrsil dklmii v koşllrıı sğl çözümüü bllım. Çözüm: B drmd vril bşlgıç koşllrı dikk lırk L [ ] Y s Y L [ ] sy s sy 7

365 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 65 L s Y s s s Y s [ ]. olkır. Arı D d / ds olmk üzr d L [. ] Y v [. ] d d L s Y s sy s Y ds ds ds zılbilir. B dl vril dklmi hr iki rfıı Lpl döüşümlrii lrk v blrı birbiri şilrk sy s d Y ds sy 9 dy s 9 sy ds dy Y dy s. ds s 9 s. ds 9 Y s ly l s Y C s 9 9 l C d Y ds ld dilmiş olr. Brd b ifdi rs Lpl döüşümü lıırs vril dklmi gl çözümü olrk C L [ Y] L C. C. J L s 9 s blmş olr. Diğr rf oldğd brd C ld dilir. Böl r çözüm olrk. J blmş olr. Örk 9..7: biçimid vril difrsil dklmi v koşllrıı sğl çözümüü bllım.

366 66 Difrsil Dklmlr Çözüm: B drmd vril bşlgıç koşllrı dikk lırk L [ ] Y s Y L [ ] sy s sy L [ ] s Y s s. s Y s olkır. Arı D d / ds olmk üzr d L [. ] D sy YY ds zılbilir. B dl vril dklmi hr iki rfıı Lpl döüşümlrii lrk v blrı birbiri şilrk s Y s d Y ds Y sy Y dy s Y s sy ds dy ds s s s Y ld dilmiş olr. B dklm Y v dy / ds rsıd bir lir dklmdir. B dklmi çözümüd Y gl çözümü blbilir. Dh sor bl gl çözümd rs Lpl döüşümü glrk bşlgıç koşllrı d göz öüd lmk sril r çözümüü blbilirizblz. Örk 9..8: şklidki difrsil dklmi v / koşllrıı sğl çözümüü bllım. Çözüm: B drmd vril bşlgıç koşllrı dikk lırk L [ ] Y s Y L [ ] sy s sy L [ ] s Y s s. s Y/ olkır. Arı D d / ds olmk üzr

367 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 67 L [ ] D D sy L [ ] D D Y L [ ] D s Y / zılbilir. B dl vril dklmi hr iki rfıı Lpl döüşümlrii lrk v blrı birbiri şilrk D s Y/ v dh sd olrk D D sy s s D Y s DY D Y s DY s s ld dilmiş olr. B ifdd igrl lırk v l l[ ] l D D Y DY s A A bir sbiir DY A[ s ] / blr. Brd bir kz dh igrl lıırs B bir sbi olmk üzr / Y A s [ s ] B olğı görülür. Eğr A v B sbilri A B olk şkild sçilirs / [ ] Y B s s çözümü blmş olr. Brd rs Lpl döüşümü glırs dklmi gl çözümü olrk B J zılbilir. Diğr rf / v J / olğıd B olmsı grkiği ld dilir. Böl r çözüm J biçimid blmş olr.

368 68 Difrsil Dklmlr Şimdi di ürvli difrsil dklm sismlrii çözümüd Lpl döüşümüd sıl rrlılğıı örklr üzrid görm çlışlım. Örk 9..9: Aşğıdki dklm sismii z γ koşllrıı sğl çözümüü bllım: z z z α β v Çözüm: L [ ] X s X L [ ] Y s Y L [ z] Z s Z ols. B drmd vril bşlgıç koşllrı dikk lırk L [ ] sx s sx α L [ ] sy s syβ L [ z ] sz s z szγ zılbilir. Brd b sx α sy β Z v s X Y Z α β sy β sz γ X v s Y Z X β γ sx α sz γ Y v s X Z Y α γ ld dilir. B üç şiliği rf rf oplrsk s X Y Z λ λ α β γ v dh sd olrk λ X Y Z s zılbilir. B dl Z içi çözüm blmk mıl b ifd ri kllılırs λ s Z Z α β λγ s i bşk bir ifdl λ γ γ Z λ s s s s s s

369 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 69 ld dilir. Brd hr iki rfıı rs Lpl döüşümü lıırs z L [ Z] λ. γ λ /. blmş olr. Bzr şkild v L [ X ] λ. α λ /. L [ Y] λ. β λ /. blmş olr. Örk 9..: Aşğıd vril dklm sismii v 9 koşllrıı sğl çözümüü bllım: si os Çözüm: L [ ] X s X L[ ] L s Y ols. B drmd vril bşlgıç koşllrı dikk lırk L [ ] sx s sx L [ ] s X s s s X L [ ] sy s sy L [ ] s Y s s s Y s 9 zılbilir. Brd vril dklm sismii Lpl döüşümü lıırs v s X sy X Y s s s Y s 9 sx X Y s

370 7 Difrsil Dklmlr ld dilir. B şiliklrd sırsıl s f s Y s X s v 9 s g s s s Y s X s zılbilir. B lir dklmlrd X v Y içi g s f s X f s g s Y ld dilir. Brd 9 s s s s s s olkır. B dğrlr krıd ri zılırs s s s s s s s s s s s s X olğı görülbilir. Diğr rf q p kfi olmk üzr p s q s q p q s p s v p s q s q s q p p s q s v dolısıl p s qs p q s q p p s qs p q s q p p s qs s q s q p p s q s s q q s

371 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 7 oldğ gösrilbilir. Böl s s s s 9 9 s s s s s s s s s s s zılbilir. Bzr şkild s s s lırk s s s s s s s s s s s s s 9 s - s s s s s s s s s 5 s s s ld dilmiş olr. B dğrlr X içi vril ifdd rlri zılırs X 8 - s s 9 s 9 s s 9 s s s 65s 9 s s 9 9 s - 6-s s - s s 9 s s 9 s blr. Brd hr iki rfıı rs Lpl döüşümü lıırs 5si os os si

372 7 Difrsil Dklmlr ld dilmiş olr. Bzr şkild Y s s s s 9 s s s 9 s s s 9 7 s s s 9 s zılbilir ki brd d rs Lpl döüşümü lıırs 7 si si os ld dilmiş olr. Örk 9..: Aşğıdki dklm sismii v koşllrıı sğl çözümüü bllım: Çözüm: L [ ] X s X L [ ] Y s Y ols. B drmd vril bşlgıç koşllrı dikk lırk L [ ] sx s sx L [ ] sy s sy zılbilir. Brd vril sismdki dklmlri Lpl döüşümü lıırs X sy s s sx Y s s ld dilir. B şiliklrd s s X sy s s sx Y s

373 9. Bölüm: Lpl Döüşüm Yömi 7 homoj olm dklm sismi ld dilir. B sismd X v Y çözülürs X s s s s s v Y oldğ görülür. B şiliklrd hr iki rfıı rs Lpl döüşümü lıırs si v os ld dilmiş olr. Alışırmlr: Aşğıd vril difrsil dklmlri lrıd vril koşllrı sğl çözümlrii Lpl döüşüm ömil blz. 6 ; b 5 6 ; ; 6 d ; ; si f 6 si os ; g ; / h 5 ; 8 8 ı ; i ; j ; k os si os si ; / ; 6 5

374 7 Difrsil Dklmlr l si ; os m si ;. os

375 Kklr Coşk H. Difrsil Dklmlr Kliif Aliik v Sısl Yklşım KTÜ Mbsı. Dğ I. Adi Difrsil Dklmlr Aürk Üivrsisi Yılrı Erzrm 98. Frk Ars JR. Diffril Eqios Nwork: Shm Pb. Co. 95. Mrr R. Spigl Lpl Trsform Nwork: Shm Pb. Co Hrm P. Ordir Diffril Eqios Nwork 96. Krdiz A. A. Yüksk Mmik Cil - Çğl Kibvi Đsbl 985. U B. Çözümlü Problmlrl Difrsil Dklmlr Đsbl 98. Tr T. Difrsil Dklmlr Alf Yımılık Đsbl 98. Gügör F. Difrsil Dklmlr Bl Bsım v Tir Evi 995. Simos G.F. Diffril Eqios wih Appliios d Hisoril Nos MGrw-Hill pblishig 97. I E.L. & Sddo I.N. Th Solio of ordir Diffril Eqios Logm Mhmil Ts 987. Willims J. Lpl Trsforms Lodo Gorg All d Uwi LTD. 97. Yıldız Đ. Adi Difrsil Dklmlr Akif Yıvi Đsbl.

376 Özgçmiş Slhi Md 965 ılıd Sms ili Vzirköprü ilçsid doğd. 985 ılıd KTÜ F Edbi Fkülsi Mmik Bölümü kı pırıp b bölümd 989 d mz old. Aı ıl ı bölümd Uglmlı Mmik Abilim Dlı Arşırm görvlisi olrk görv bşldı. 99 ılıd Eşisizlik kısılmlı Lir Modllr dlı zii srk Yüksk Liss diplomsı v 997 ılıd Ysı v T Brirli Yrı-Mrkov Rsgl Yürüüş Süri Üzri dlı Dokor zi il dokor vıı ldı. 998 ılı kdr KTÜ d görv pık sor 998 ılı Şb ıd Kırıkkl Üivrsisi F Edbi Fkülsi Đsisik Bölümü Yrdımı Doç olrk dı. ılıd OMÜ Ord F Edbi Fkülsi Mmik Bölümü Yrdımı Doç olrk kl dı. Şb Doç vıı l Doç. Dr. Slhi MADEN hl Ord Üivrsisi F Edbi Fkülsi Mmik Bölümü dki görvi dvm mkdir. Evli v üç çok bbsı ol zrı Olsılığ Giriş dlı bir kibı d ımlmışır.