ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ

Transkript

1 ÖZEL EGE LİSESİ ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: ATAHAN ÖZDEMİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: DEFNE TABU 2010 İZMİR

2 İÇİNDEKİLER SAYFA NO: PROJENİN ADI 3 PROJENİN AMACI 3 GİRİŞ 3 YÖNTEM 3 SONUÇLAR 12 TEŞEKKÜR 12 KAYNAKÇA 12 2

3 1 PROJENİN ADI: ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ 2 PROJENİN AMACI Projenin esas amacı; elemanları denk kümeler olan ve farklı iki elemanının simetrik farkını içeren kümeleri yaratabilmek, b kümelerin eleman sayılarını ve b sayılardan en büyüğünü veren formülü blp ispatlamak 3 GİRİŞ: Her biri dört elemanlı n kümeden, hangi farklı ikisini alırsak alalım,b iki kümeden yalnızca birine ait olan tüm elemanlardan olşan küme,başlangıçtaki n kümeden birine eşitse, n en çok kaçtır? B sor 2009 TÜBİTAK UMO 1aşama sınavında sorlmştr B sordan yola çıkarak dört elemanlı kümeler yerine, k elemanlı kümeleri alıp, n nin en büyük değerine laşabilmek 4 YÖNTEM: Gözlem ve doğrdan ispat yöntemiyle formüle laştım ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ Tanım: A ve B iki küme olmak üzere, A ve B nin simetrik farkı A B=(A\B) (B\A) şeklinde tanımlanır Simetrik Fark İşleminin Özellikleri: A, B, C üç tane küme olsn 1 A B=B A 2 A (B C)=(A B) C 3 A A=Ø 4 A Ø=A 5 A B=A C B=C Tanım: G bir küme olsn Bir k tam sayısı için G kümesi; 1 A G n(a)=k 2 Her farklı A, B G için, A B G koşllarını sağlarsa, G kümesi (*) özelliğini sağlar diyelim 3

4 B çalışmada k sayısı her zaman, A G için, A nın eleman sayısını yani n(a) yı gösterecektir B drmda 2 özellikden dolayı her farklı A, B G için n(a B)= 2 k olmalıdır Not: TÜBİTAK sors b tanıma göre k=4 için (*) özelliğini sağlayan G kümesinin en çok kaç elemanlı olacağı sorsna denktir k sayısına bağlı olarak (*) özelliğini sağlayan G kümesinin eleman sayısı Şimdi G kümesinin eleman sayısının k tam sayısına bağlı olarak nasıl değiştiğini inceleyeceğiz 1 Drm: k tek ise: k tek ise (*) özelliğini sağlayan G kümesinin eleman sayısı, her farklı A, B G için k n(a B)= bir tam sayı olmadığından, en çok 1 dir 2 Örneğin; k=5 ise, (*) özelliğini sağlayan bir kümenin eleman sayısı en çok 1 dir 2 Drm: k çift ise: k çift ise (*) özelliğini sağlayan 3 elemanlı G kümesi aşağıdaki gibi olştrlabilir k=2s diyelim B drmda A 1, A 2, A 3 ayrık ve n(a 1 ) =n(a 2 )= n(a 3 )=s olarak alınırsa; K 1 = A 1 A 2 K 2 = A 1 A 3 K 3 = A 2 A 3 kümeleri için G= {K 1, K 2, K 3 } kümesi (*) özelliğini sağlamaktadır Brada i, j= 1, 2, 3 için n (K i ) = 2s ve i j için n( K i K j )= s dir Şimdi G kümesinin elemanlarını artırabilir miyiz? Bn inceleyelim K 1 = A 1 A 2 K 2 = A 2 A 3 şeklindeydi K 3 = A 1 A 3 Ykarıdaki kümelerden farklı bir K 4 kümesi varsa her i=1,2,3 için n(k i K 4 ) = 2 k =s olr 4

5 A) K 4 kümesini K 1, K 2, K 3 ün elemanlarıyla olştrmaya çalışalım Her i = 1, 2, 3 için X i Ai şekilde ve K 4 = X 1 X 2 X 3 ise, G nin (*) özelliğini sağlaması için K 1 K 4 = X 1 X 2 K 2 K 4 = X 2 X 3 K 3 K 4 = X 1 X 3 n(x 1 )+ n(x 2 ) = s n(x 2 )+ n(x 3 ) = s n(x 1 )+ n(x 3 ) = s B denklemleri taraf tarafa toplarsak, 2[n(X 1 ) + n(x 2 ) + n(x 3 )] = 3s (1) 2s= 3s Çelişki B drmda aşağıdaki sonc elde ederiz Sonç 1: Sadece elimizdeki elemanları kllanarak G nin eleman sayısını arttıramıyorz B) Her i= 1, 2, 3 için X A i olacak şekilde K 4 = X 1 X 2 X 3 X seçelim n(k 4 ) =2s, n(x 1 X 2 X 3 ) = k 1 olsn 3s (1) nmaralı eşitlikten 2k 1 = 3s k 1 = 2 Sonç 2: Böyle bir K 4 kümesi blabilmemiz için s çift sayı olmalı Örnek: k = 6 = 23 için (*) özelliğini sağlayan bir G kümesinin eleman sayısı en çok 3 olabilir Böyle bir G kümesi aşağıdaki gibidir A 1 ={1,2,3}, A 2 ={4, 5, 6}, A 3 ={7, 8, 9} olmak üzere; K 1 = A 1 A 2 K 2 = A 2 A 3 G = {K 1, K 2, K 3 } K 3 = A 1 A 3 Şimdi s çift olsn ve K 4 kümesini blmaya çalışalım s= 2t 1 olsn B drmda n(k 4 ) =2s= 4t 1 olr n(x 1 ) + n(x 2 ) + n(x 3 ) = 3t 1 olr n(x) = 4t 1 3t 1 = t 1 n(x 1 )+ n(x 2 ) =2t 1 n(x 2 )+ n(x 3 ) = 2t 1 Bradan n(x 1 ) = n(x 2 ) = n(x 3 )=t 1 blnr n(x 1 )+ n(x 3 ) = 2t 1 5

6 i=1,2,3 için, X i * = A i \ X i olarak tanımlayalım n(a i ) = s = 2t 1 oldğndan aşağıdaki sonc blrz Sonç 3: X 1, X 1 *, X 2, X 2 *, X 3, X 3 * ve X kümelerinin eleman sayıları eşittir A) ve B) den aşağıdaki sonc elde ederiz Sonç 4: K 4 kümesini olştrmak için her i= 1, 2, 3 için X A i bir X kümesi kllanmalıyız ve n(x)= t 1 şeklinde Şimdi K 4 kümesini olştrp, (*) özelliğini kllanarak G nin aşağıdaki gibi 7 elemanı elde edilir K 1 = X 1 X 1 * X 2 X 2 * K 2 = X 2 X 2 * X 3 X 3 * K 3 = X 1 X 1 * X 3 X 3 * K 4 = X 1 X 2 X 3 X K 5 = (K 1 K 4 ) = X 1 * X 2 * X 3 X K 6 = (K 2 K 4 ) = X 1 X 2 * X 3 * X K 7 = (K 3 K 4 ) = X 1 * X 2 X 3 * X Simetrik farkın A B A = B özelliğinden i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ve i j için K i K j G dir Sonç 5: i=1, 2, 3 için K i K 4 işleminde K i deki yıldızlı kümeler K 4 te blnmadığı için j=5,6,7 için K j kümesine geçer K i ve K 4 kümelerinin ortak olmayan yıldızsız elemanı ve yeni eklenen X elemanı K j e geçer O zaman X kümesi ve i=1,2,3 için X i, X i * kümeleri K 1,,K 7 içinde aynı sayıda kllanılmıştır Sonç 6: Yeni elemanları elde etmek için K 4 ü diğer kümelerle simetrik fark işlemine tabi ttarsak, elimizde daha önce 3 küme blndğndan işlem soncnda 2(2+1)+1 = 7 küme elde edilir Kolaylık olması açısından B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7 ayrık kümelerini aşağıdaki gibi alırsak B 1 =X 1 B 2 =X 1 * B 3 =X 2 B 4 =X 2 * B 5 =X 3 B 6 =X 3 * B 7 = X K 1 = B 1 B 2 B 3 B 4 K 2 = B 3 B 4 B 5 B 6 K 3 = B 1 B 2 B 5 B 6 K 4 = B 1 B 3 B 5 B 7 K 5 = B 2 B 4 B 5 B 7 K 6 = B 1 B 4 B 6 B 7 K 7 = B 2 B 3 B 6 B 7 şeklinde olr 6

7 3 Drm Şimdi G kümesinin elemanlarını arttırabilir miyiz? Bn inceleyelim A) B drmda G kümesinin K 1, K 2, K 3, K 4, K 5, K 6, K 7 elemanlarından farklı olan bir K 8 elemanı var mıdır? n(k i )=4t 1 demiştik i= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 için Y i B i için K 8 = Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 olrsa, K 8 K 1 = Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 n (Y 1 )+ n (Y 2 )+ n (Y 3 )+ n (Y 4 )=2t 1 K 8 K 2 = Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 n (Y 3 )+ n (Y 4 )+ n (Y 5 )+ n (Y 6 )=2t 1 K 8 K 3 = Y 1 Y 2 Y 5 Y 6 n (Y 1 )+ n (Y 2 )+ n (Y 5 )+ n (Y 6 )=2t 1 K 8 K 4= Y 1 Y 3 Y 5 Y 7 n (Y 1 )+ n (Y 3 )+ n (Y 5 )+ n (Y 7 )=2t 1 K 8 K 5 = Y 2 Y 4 Y 5 Y 7 n (Y 2 )+ n (Y 4 )+ n (Y 5 )+ n (Y 7 )=2t 1 K K 8 6= Y 1 Y 4 Y 6 Y 7 n (Y 1 )+ n (Y 4 )+ n (Y 6 )+ n (Y 7 )=2t 1 K 8 K 7 = Y 2 Y 3 Y 6 Y 7 n (Y 2 )+ n (Y 3 )+ n (Y 6 )+ n (Y 7 )=2t 1 B denklemleri taraf tarafa toplarsak, 4[n(Y 1 ) + n(y 2 ) + n(y 3 ) + n(y 4 ) + n(y 5 ) + n(y 6 ) + n(y 7 )] = 14t 1 (2) 16t 1 = 14t 1 Çelişki Demek ki elimizdeki elemanları kllanarak G nin eleman sayısını arttıramıyorz B) G nin eleman sayısını arttırabilmek için i= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 için Y i B i ve Y B i = şeklinde bir Y kümesi olmalıdır K 8 = Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y n (K 8 ) = n(y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y )=4t 1 n(y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 )=k 2 olsn (2) nol eşitlikten 4k 2 =14t 1 7t k 2 = 1 blnr 2 Sonç 7: k=4s ve s tek ise (*) özelliğini sağlayan kümenin eleman sayısı en çok 7 dir TÜBİTAK sorsnn cevabı s = 1 için Sonç 7 den çıkmaktadır 7

8 Örnek: k = 12 = için (*) özelliğini sağlayan bir G kümesinin eleman sayısı en çok 7 olabilir Böyle bir G kümesi aşağıdaki gibidir B 1 ={1, 2, 3}, B 2 ={4, 5, 6}, B 3 ={7, 8, 9}, B 4 ={10, 11, 12} B 5 ={13, 14, 15}, B 6 ={16, 17, 18}, B 7 ={19, 20, 21} olmak üzere; K 1 = B 1 B 2 B 3 B 4 K 2 = B 3 B 4 B 5 B 6 K 3 = B 1 B 2 B 5 B 6 K 4 = B 1 B 3 B 5 B 7 G = {K 1, K 2, K 3, K 4, K 5, K 6, K 7 } K 5 = B 2 B 4 B 5 B 7 K 6 = B 1 B 4 B 6 B 7 K 7 = B 2 B 3 B 6 B 7 Sonç 8: Kümenin eleman sayısını arttırabilmemiz için t 1 çift sayı olmak zorndadır t 1 =2t 2 için n (K 8 ) = n(y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y )=4t 1 n(k 8 )=8t 2 ve k 2 =7t 2 B drmda n(y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 )=k 2 =7t 2 ve n(y)=8t 2-7t 2 =t 2 blnr Sonç 9: Yeni birleştirilen küme t 2 elemanlı olmalıdır Yeni kümeleri olştrmak için önceden kllandığımız kümeleri aşağıdaki gibi iki ayrık denk kümeye parçalarız i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 için Y i *= B i \ Y i ise Y i * Y i =B i olr Kolaylık olması açısından Y İ =C 2i-1 ve Y i *=C 2i dersek, B 1 = C 1 C 2 B 2 = C 3 C 4 B 3 = C 5 C 6 B 4 = C 7 C 8 B 5 = C 9 C 10 B 6 = C 11 C 12 B 7 = C 13 C 14 olr Şimdi K 8 ile daha önceki 7 kümeyi simetrik fark işlemine tabi ttarsak aşağıdaki gibi (*) özelliğini sağlayan 15 küme elde edilir 8

9 K 1 = C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 K 2 = C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 C 10 C 11 C 12 K 3 = C 1 C 2 C 3 C 4 C 9 C 10 C 11 C 12 K 4 = C 1 C 2 C 5 C 6 C 9 C 10 C 13 C 14 K 5 = C 3 C 4 C 7 C 8 C 9 C 10 C 13 C 14 K 6 = C 1 C 2 C 7 C 8 C 11 C 12 C 13 C 14 K 7 = C 3 C 4 C 5 C 6 C 11 C 12 C 13 C 14 K 8 = C 1 C 3 C 5 C 7 C 9 C 11 C 13 C 15 K 9 = C 2 C 4 C 6 C 8 C 9 C 11 C 13 C 15 K 10 = C 1 C 3 C 6 C 8 C 10 C 12 C 13 C 15 K 11 = C 2 C 4 C 5 C 7 C 10 C 12 C 13 C 15 K 12 = C 2 C 3 C 6 C 7 C 10 C 11 C 14 C 15 K 13 = C 1 C 4 C 5 C 8 C 10 C 11 C 14 C 15 K 14 = C 2 C 3 C 5 C 8 C 9 C 12 C 14 C 15 K 15 = C 1 C 4 C 6 C 7 C 9 C 12 C 14 C 15 Sonç 10: K 8 kümesini önceki 7 kümeyle simetrik fark işlemine sokarsak yeni 7 küme elde ederiz Sonç 11: K 1, K 2,, K 15 kümeleri içerisinde i=1,2,15 için her bir C i kümesi 8 kez kllanılmıştır ve n(c i )=s tir 72+1 = ( )2 +1 = B şekilde G kümesinin eleman sayısını (*) özelliğini sağlayacak şekilde arttırmaya devam edersek, k = 2 1 s, s tek ise n(g) max = k = 2 2 s, s tek ise n(g) max = 2(2 1 +1) + 1 k = 2 3 s, s tek ise n(g) max = 2( ) + 1 k = 2 t s, s tek ise n(g) max = 2(2 t t ) +1=2-1 blnr Sonç 12: G kümelerini b şekilde yazmaya devam edersek, k=2 t s ve s tek için n(g)=2-1 olacak şekilde bir küme G kümesi elde edilir 9

10 Sonç 13: k=2 t s ve s tek için n(g)=2-1 oldğnda, her biri s elemanlı ve ayrık olan C 1, t C 2,, C 2-1 kümeleri vardır öyleki, her K i G kümesi K i = C i1 C i2 C i2 şeklinde yazılır Her bir C i kümesi G nin elemanları içinde 2 t kez görülür Sonç 14: G kümesi k elemanlı kümelerden olşan ve (*) özeliğini sağlayan bir küme olsn k=2 t s ve s tek için n(g) max = 2-1 İspat: Sonç 12 den dolayı, k=2 t s ve s tek için G kümesinin (*) özelliğini sağlayan 2-1 elemanlı bir altkümesi blnr B küme {K 1, K 2,,K 2-1 } olsn G kümesinin {K 1, K 2,,K 2-1 } elemanları dışında bir B eleman içerdiğini kabl edip bir çelişki blalım Sonç 13 ten dolayı her biri s elemanlı C 1, C 2,, C 2-1 kümeleri vardır öyleki, her K i kümesi K i = C i1 C i2 C t i2 şeklinde yazılır ve herbir C i kümesi 2 t kez görülür B drmda: B = X 1 X 2 X 3 X 2-1 X, X i C i ve X C i = şeklindedir G Şimdi her i=1,, 2-1 için n(b K i ) =2 t-1 t s ve B K i = X i1 X i2 X i2 X ij {X 1, X 2,,X 2-1 } dir şeklindedir, brada B K 1, B K 2,, B K 2-1 elemanlarında her bir X j kümesi 2 t kez görülür, çünkü C j kümeleri {K 1, K 2,,K 2-1 } elemanları içinde 2 t kadar görülmektedir B drmda aşağıdaki denklemler blnr n(b K 1 ) =n(x 11 )+n(x 12 )++n(x 12 t )= 2 t-1 s n(b K 2 ) =n(x 21 )+n(x 22 )++n(x 22 t )= 2 t-1 s n(b K 2-1 ) =n(x (2-1)1 )+n(x (2-1)2 )++n(x (2-1)2 t )= 2 t-1 s Şimdi b denklemleri taraf tarafa toplarsak ve X ij {X 1, X 2,,X 2-1 } oldğn kllanırsak: 2 t [n(x 1 )+n(x 2 )++n(x 2-1 )]=(2-1) 2 t-1 s t 1 t-1 (2 + -1)2 s [n(x 1 )+n(x 2 )++n(x 2-1 )]= = t 2 10 (2 t+ 1-1) s 2 blnr B bir çelişkidir, çünkü son eşitliğin sol tarafı bir tamsayıdır, ancak (2-1) ve s sayıları tek sayı oldğndan eşitliğin sağ tarafı bir tam sayı değildir Demek ki böyle bir B kümesi yoktr Dolayısıyla n(g) max = 2-1 dir Örnek: k=28 için (*) koşln sağlayan bir G kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir? 28=2 2 7 oldğndan G kümesinin elaman sayısı en çok =7 olr

11 (*) koşln sağlayan bir kümeyi büyütmek: Eleman sayısı 2-1 olan ve (*) koşln sağlayan bir G kümesine yeni bir eleman ekleyip, b yeni eleman ile G kümesindeki elemanlarla simetrik fark işlemine tabi ttarsak, eleman sayısı olan ve (*) koşln sağlayan bir küme elde edilir Bn aşağıda şekilde açıklayalım G kümesinin elemanlarına K 1, K 2,, K 2-1 ve yeni eklenen elemana K 2 diyelim K 1 K tane eleman var + K 2-1 K 2 (Yeni eklenen küme) 1 = K 2 +1 =K 1 K tane eleman var K = K 2-1 K 2 Bn bir örnekle açıklayalım Örnek: k=48=2 3 3 için (*) koşln sağlayan kümelerin eleman sayısı 1, 3, 7, 15 olabilir B drmda 1 elemanlı kümeden 3 elemanlı küme, 3 elemanlı kümeden 7 elemanlı küme, 7 elemanlı kümeden 15 elemanlı küme ykarıda açıklandığı gibi yeni eleman ekleyip simetrik fark işlemi yglanıp elde edilir 11

12 5 SONUÇLAR: G kümesi elemanları k elemanlı kümeler olan ve (*) koşln sağlayan bir küme olsn k= 2 t s, s tek sayı olacak şekilde yazalım 1) G kümesinin eleman sayısını t belirlemektedir 2) Her t+ 1 için n(g) = 2-1 olacak şekilde bir G kümesi vardır Yani n(g) in alabileceği değerler: 1, 3, 7, 15, 31,, 2-1 3) n(g) max = 2-1 4) Koşl sağlayan G kümelerini elde etmek için bir yöntem blyorz 5) Eleman sayısı 2-1 olan ve (*) koşln sağlayan bir G kümesine yeni bir eleman ekleyip, b yeni eleman ile G kümesindeki elemanları simetrik fark işlemine tabi ttarsak, eleman sayısı olan ve (*) koşln sağlayan bir küme elde edilir 6 TEŞEKKÜR: B projenin hazırlanmasında bana yardımcı olan danışman öğretmenim Sayın Defne TABU ya, okl yönetimine, okl arkadaşlarım Mert YAŞİN ve Umt BOZKURT a, okl dışından destek aldığımız İYTE Matematik Bölümünden Dr Engin BÜYÜKAŞIK a ve benden desteklerini esirgemeyen aileme teşekkür ederim 7 KAYNAKÇA: