f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V

Transkript

1 Bölüm 6 SÜREKL FONKS YONLAR 6.1 YEREL SÜREKL L K Tanm (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f(x 0 ) ö esinin her V kom³ulu una kar³lk f(u) V olacak ³ekilde x 0 ö esinin bir U kom³ulu u varsa, f fonksiyonu x 0 noktasnda süreklidir denilir. Bundan böyle, B(z) ile z noktasnn kom³uluklar ailesini; S(z) ile z noktasnn bir kom³uluklar tabann; B ile bir topoloji tabann; s ile bir alttabann gösterece iz. Teorem (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. A³a daki ifadeler e³de erdir: (a) f fonksiyonu x 0 X noktasnda süreklidir; (b) Her Her V B(f(x 0 )) kom³ulu una kar³lk x U f(x) V olacak ³ekilde bir U B(x 0 ) kom³ulu u vardr; (c) Her V B(f(x 0 )) kom³ulu una kar³lk U f 1 (V) olacak ³ekilde bir U B(x 0 ) kom³ulu u vardr; (d) Her V B(f(x 0 )) için f 1 (V) B(x 0 ) dr; (e) Her S S(f(x 0 )) için f 1 (S) B(x 0 ) dr. 61

2 62 BÖLÜM 6. SÜREKL FONKS YONLAR s p a t: (a) (b): Bu gerektirme Tanm den çkar. (b) (c): oldu u f 1 (V) nin tanmndan çkar. (c) (d): oldu u Önerme nin [N1] özeli inden (d) (e): oldu u S(f(x 0 ) B(f(x 0 )) dan çkar. (e) (a): Gerçekten her V B(f(x 0 )) kom³ulu una kar³lk, kom³uluklar taban tanm (bkz. Tanm 5.3.1) gere ince f(x 0 ) W V olacak ³ekilde bir W S(f(x 0 )) vardr. (e) nin varl n kabul edersek f 1 (W) B(x 0 ) olacaktr. U = f 1 (W) alrsak (a) nn varl, hemen f(u) = ff 1 (W) = W V ba ntsndan çkar. Böylece ispat tamamlanr. Önerme (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f fonksiyonu x noktasnda sürekli ve x Ā, A X, ise f(x) f(a) dr. s p a t: V B(f(x)) ise f 1 (V) B(x) dir; yani f 1 (V) A dir. Buradan, f(f 1 (V) A) f(f 1 (V)) f(a) oldu u dü³ünülürse, V f(a) çkar. O halde, Problem 3 gere ince, f(x) f(a) olur. Önerme (X, T ), (Y, S) ve (Z, Z) topolojik uzaylar ile f : X Y ve g : Y Z fonksiyonlar verilsin. E er f fonksiyonu x X noktasnda ve g fonksiyonu da f(x) Y noktasnda sürekli iseler h = gof : X Z bile³ke fonksiyonu x X noktasnda süreklidir. s p a t: A B(h(x)) ise, g fonksiyonu f(x) noktasnda sürekli oldu- una göre g 1 (A) B(f(x)) dir. Yine, f nin x noktasnda sürekli oldu u dü³ünülürse f 1 (g 1 (A)) = h 1 (A) B(x) olacaktr: ki bu istedi imiz ³eyi verir. 6.2 YAYGIN SÜREKL L K Tanm (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er bir A X alt-kümesine ait her noktada f fonksiyonu sürekli ise, f fonksiyonu A üzerinde (yaygn) süreklidir (global süreklidir), denilir. E er X kümesine ait her noktada sürekli ise, f fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur, diyece iz.

3 6.2. YAYGIN SÜREKL L K 63 E er f fonksiyonunun tanm ya da de er kümesi üzerinde birden çok topolojik yapy ayn zamanda dü³ünüyorsak, f fonksiyonunun hangi topolojilere göre sürekli oldu unu belirtmek için f : (X, T ) (Y, S) süreklidir ya da f fonksiyonu T S süreklidir, diyece iz. Ayrca ispatlarda ksal sa lamak için bir (H, H ) topolojik uzaynn bütün kapal kümeleri ailesini H ile gösterece iz. Teorem (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. A³a daki ifadeler e³de erdir. (a) f fonksiyonu X üzerinde süreklidir; (b) Her A X alt-kümesi için f(ā) f(a) dr; (c) Her K S için f 1 (K) T dür; (d) Her S S için f 1 (S) T dur. s p a t: (a) (b): Bu gerektirme Önerme den çkar. (b) (c): K S için F = f 1 (K) dersek, f( F) f(f) K = K olacaktr ve buradan F f 1 f( F) f 1 (K) = F F çkar, ki bu F = F olmas, yani F kümesinin kapal olmas demektir. (c) (d): S S ise S S dür. (c) den f 1 (S ) T dür. f 1 (S ) = [f 1 (S)] den f 1 (S) T çkar. (d) (a): Bir x X noktas ile bir V B(f(x)) kom³ulu u verilsin. f(x) S V

4 64 BÖLÜM 6. SÜREKL FONKS YONLAR olacak ³ekilde bir S S vardr; öyleyse x f 1 (S) f 1 (V) olacaktr. Varsaymmza göre f 1 (S) T oldu undan, f 1 (V) B(x) çkar. Önerme (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin B ailesi S topolojisinin bir taban ise, f fonksiyonunun sürekli olmas için gerekli ve yeterli ko³ul her B B için f 1 (B) T olmasdr. s p a t: Ko³ulun gerekli i Teorem (d) ³kknda verildi. Yeterli ini görmek için bir S S alalm. S = i I{B i : B i B} oldu unu varsayalm. Bu durumda ( ) f 1 (S) = f 1 B i = i I i If 1 (B i ) olacaktr. Varsaymmz gere ince, açk kümelerin bir bile³imi oldu u için f 1 (S) açktr; öyleyse Teorem 6.2.1(d) den f fonksiyonunun süreklili i çkar. Önerme X,Y,Z topolojik uzaylar verilsin f : X Y ile g : Y Z sürekli fonksiyonlar ise h = gof : X Z sürekli bir fonksiyondur. Bunun ispat hemen bile³ke fonksiyon tanmndan çkar Problemler 1. Bir topolojik uzaydan kendisine olan özde³lik dönü³ümü süreklidir. Neden? 2. Her hangi bir topolojik uzaydan ba³ka bir topolojik uzaya olan sabit fonksiyonlar süreklidir. Neden?

5 6.3. AÇIK VE KAPALI DÖNÜ ÜMLER Bir ayrk uzaydan her hangi bir topolojik uzaya olan fonksiyonlar süreklidir. Neden? 4. Her hangi bir topolojik uzaydan ayrk olmayan bir uzaya olan fonksiyonlar süreklidir. Neden? 5. (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. s ailesi S nin bir alt taban ise, f nin sürekli olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, her S s için f 1 (S) T olmasdr. Gösteriniz. 6. Bir X topolojik uzayndan bir Y topolojik uzay içine bir f fonksiyonu veriliyor. A³a daki ifadelerin e³de er olduklarn gösteriniz: (a) f fonksiyonu X üzerinde süreklidir, (b) Her A Y alt kümesi için f 1 (A ) (f 1 (A)) dr, (c) Her A Y alt kümesi için f 1 (Ā) (f 1 (A)) dr. 6.3 AÇIK ve KAPALI DÖNÜ ÜMLER Tanm (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile bir f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f fonksiyonu açk kümeleri açk kümelere resmediyorsa f fonksiyonuna açk bir dönü³üm; kapal kümeleri kapal kümelere resmediyorsa f fonksiyonuna kapal bir dönü³ümdür denilir. f fonksiyonu sürekli olsa bile açk kümeleri açk kümelere ya da kapal kümeleri kapal kümelere resmetmeyebilir. Ancak f sürekli oldu u zaman, açk kümelerin f altndaki ters resimlerinin açk; ve kapal kümelerin f altndaki ters resimlerinin kapal oldu unu biliyoruz (bkz. Teorem 6.2.1). Ba³ka bir deyi³le f : X Y fonksiyonu sürekli, bire-bir ve örten (BBÖ) ise f 1 : Y X ters fonksiyonu hem açk, hem de kapal bir dönü³ümdür. Buradan hemen ³u önerme çkar: Önerme Bire-bir ve örten f : X Y bir fonksiyonunun bir topolojik e³yap resmi (homeomorphism) olmas için gerekli ve yeterli ko³ul f nin sürekli ve açk (ya da sürekli ve kapal) olmasdr. Bu önermeye denk olarak hemen ³u önermeyi de söyleyebiliriz.

6 66 BÖLÜM 6. SÜREKL FONKS YONLAR Önerme f : X Y bire-bir ve örten bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun bir topolojik e³yap resmi olmas için gerek ve yeterli ko³ul f ve f 1 fonksiyonlarnn sürekli olmasdr. Önerme f : (X, T ) (Y, S) fonksiyonu verilsin ve B ailesi T topolojisinin bir taban olsun. A³a daki özellikler birbirlerine denktirler: (a) f açk bir dönü³ümdür. (b) Her B B için f(b) S dir. (c) Her x X ve her V B(x) için f(v) B(f(x)) dir. s p a t : (a) (b): Açk dönü³üm ve taban tanm ile [T3] belitinden çkar. (a) (c): V B(x) ise x T V olacak ³ekilde bir T T vardr. f açk bir dönü³üm oldu undan f(t) S dir. Oysa f(x) f(t) f(v) oldu undan f(v) B(f(x)) olacaktr. (c) (a): T T olsun. Her y f(t) için y = f(x) olacak gibi bir x T vardr. T B(x) oldu undan, (c) gere ince, f(t) B(y) = B(f(x)) olacaktr. O halde, Önerme gere ince f(t) S dir. Önerme f : X Y fonksiyonunun sürekli ve kapal olmas için gerekli ve yeterli ko³ul X in her A alt-kümesi için f(ā) = f(a) olmasdr. s p a t : f sürekli ve kapal olsun. Teorem (b) gere ince f(a) f(ā) f(a) olacaktr. f kapal oldu undan f(ā) kapaldr. f(a) kümesini kapsayan en küçük kapal küme, bu kümenin kaplam olaca ndan, yukardaki f(ā) = f(a) olmasn gerektirir. Tersine olarak her A için f(ā) = f(a) ise f kapal olur. Ayrca, Teorem kapsama (b) gere ince f sürekli olur. Bir fonksiyonun açk ya da kapal olmak zorunda olmad n söylemi³tik. Benzer olarak, açk bir fonksiyonun ayn zamanda kapal olmas ya da kapal bir fonksiyonun ayn zamanda açk olmas da gerekmez. Buna bir örnek verelim. Örnek π : R 2 R dönü³ümü π(x,y) = x diye tanmlansn. Buna düzlemin birinci boyut üzerine izdü³ümü denilir. D ailesi düzlemdeki bütün açk daireleri göstersin. D ailesinin düzlemdeki salt (mutlak) topoloji için bir taban oldu unu biliyoruz (bkz. Örnek 4.1.2).

7 6.3. AÇIK VE KAPALI DÖNÜ ÜMLER 67 Basit bir ³ekil çizilince hemen görülebilece i gibi D = {(x,y) : (x a) 2 +(y b) 2 < r 2 } açk diskinin R 1 = R boyutu (yatay eksen) üzerindeki izdü³ümü x a < r açk aral dr. Her D D için π(d) resmi R 1 de açk bir küme oldu una göre, Önerme gere ince, π izdü³üm fonksiyonu açk bir dönü³ümdür. Öte yandan K = {(x,y) : xy 1,x > 0} kümesinin R 2 içinde kapal bir küme oldu u apaçktr. Oysa π(k) = (0, ) oldu undan, K kapal kümesinin π altndaki resmi R 1 de açk bir kümedir. Yani π izdü³üm fonksiyonu kapal bir dönü³üm de ildir. Örnek α sfrdan farkl bir gerçel say olmak üzere R den R ye tanmlanan f : x αx (6.1) fonksiyonuna α-boylamas diyece iz. Bu dönü³üm bir topolojik e³yap resmidir. ³ümü s p a t : f nin BBÖ (bire-bir-örten) oldu u apaçktr. f 1 ters dönü- f 1 : x 1 x (α 0) (6.2) α dir ve bu da bir boylama dönü³ümüdür. f dönü³ümü altnda, salt topolojinin tabanna ait her (a, b) aral nn resmi (αa, αb) açk aral dr; yani f açk bir dönü³ümdür. Öte yandan, her (c,d) açk aral nn f 1 altndaki resmi (c/α, d/α) açk aral dr, yani f süreklidir. O halde, Önerme uyarnca, f bir topolojik e³yap resmimdir. Örnek β her hangi bir gerçel say olmak üzere R den R ye tanmlanan g : x x+β (6.3) fonksiyonuna β-kaymas (ötelemesi) diyece iz. Bu dönü³üm bir topolojik e³yap resmidir.

8 68 BÖLÜM 6. SÜREKL FONKS YONLAR s p a t : g nin BBÖ oldu u apaçktr. g 1 ters dönü³ümü g 1 : x x β dr ve bu da bir kaymadr. g dönü³ümü altnda her (a,b) açk aral nn resmi (a + β,b + β) açk aral dr; yani g açk bir dönü³ümdür. Öte yandan, her (c,d) açk aral nn f 1 altndaki resmi (c β,d β) açk aral dr; yani g süreklidir. O halde g bir topolojik e³yap resmidir. Örnek Yukardaki (6.1) ile (6.3) dönü³ümlerinin bile³kesine; yani h = gof : x αx+β (6.4) dönü³ümüne do rusal (linear) bir dönü³üm, denilir. Bunun R den R ye bir topolojik e³yap resmi olaca apaçktr. Bu dönü³ümün tersi h 1 = f 1 og 1 : x 1 (x β) (α 0) (6.5) α dr. Bu da bir do rusal dönü³ümdür. Örnek R den ( 1, +1) açk aral üzerine tanmlanan f(x) = x 1+ x fonksiyonu bir topolojik e³yap dönü³ümüdür. (6.6) Gerçekten (6.6) fonksiyonun bire-bir-örten ve tersinin de f 1 (y) = y 1 y oldu u kolayca görülebilir. Ayrca, x 1 < x 2 ise f(x 1 ) < f(x 2 ) olur; yani, f artan bir fonksiyondur. f nin sürekli oldu unu göstermek için, 1 < c < d < +1 ko³ulunu sa layan her (c, d) R ( R ailesi R içindeki bütün açk aralklarn ailesidir ) açk aral için f 1 ((c,d)) = ( ) c 1 c, d 1 d oldu una dikkat etmek yetecektir (bkz. Problem (5.)). Öte yandan her (a,b) R açk aral için f ((a,b)) = ( ) a 1+ a, b 1+ b oldu undan f açk bir dönü³ümdür. Dolaysyla f bir topolojik e³yap resmidir (bkz. Önerme 6.3.2). Buradan çkan sonuç ³udur:

9 6.3. AÇIK VE KAPALI DÖNÜ ÜMLER 69 Sonuç Salt topolojiye göre gerçel eksen ile ( 1, +1) alt aral topolojik olarak e³yapldr P R O B L E M L E R 1. Gerçel saylardan gerçel saylara tanmlanan sabit bir fonksiyonun sürekli ve kapal bir dönü³üm oldu unu; ama açk bir dönü³üm olmad n gösteriniz. 2. Gerçel saylardan gerçel saylara tanmlanan x x 2 fonksiyonun açk olmad n gösteriniz. 3. Önerme ve Önerme yi ispatlaynz. 4. f : (X, T ) (Y, S) bire-bir örten bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun bir topolojik e³yap resmi olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, her A X alt-kümesi için f(ā) = f(a) olmasdr. Gösteriniz. 5. (X, T ) uzaynn ayrk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, X uzayndan her Y uzayna tanml fonksiyonlarn sürekli olmasdr. 6. Bo³ olmayan bir X kümesi veriliyor. X üzerinde öyle bir T topolojisi kurunuz ki, her (Y, S) uzayndan (X, T ) uzayna tanml her fonsiyon sürekli olsun. Bu topolojiyi belirleyiniz. 7. f : (X, T ) (Y, S) sürekli ve örten bir fonksiyon ise, X uzaynn yo un alt kümelerini Y uzaynn yo un alt kümelerine resmeder; yani Ā = X f(a) = Y (6.7) olur. Gösteriniz.