A; e A; A kümelerini tan mlay n z. (x) = fb 2 B : x 2 Bg

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "A; e A; A kümelerini tan mlay n z. (x) = fb 2 B : x 2 Bg"

Osman Atay
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Genel Topolojiye Giriş I Ara S nav Sorular 30 Kas m (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. 2 (a) Ikinci say labilir topolojik uzay ne demektir? Tan mlay n z. A; e A; A kümelerini tan mlay n z. (b) Ikinci say labilir her topolojik uzay n ayr labilir oldu¼gunu ispatlay n z. 3 (a) Komşuluklar taban ne demektir? Tan mlay n z. (b) (X; T ) bir topolojik uzay ve B T olsun. B ailesinin T topolojisinin bir taban olmas için gerekli ve yeterli koşul, her x 2 X için (x) = fb 2 B : x 2 Bg ailesinin x noktas n n bir komşuluklar taban olmas d r. Ispatlay n z. 4 (a) Birinci say labilir topolojik uzay ne demektir? Tan mlay n z. (b) Her metrik uzay birinci say labilir bir topolojik uzayd r. Ispatlay n z. Her soru 25 puan ve süre 80 dakikad r.

2 Genel Topolojiye Giriş I Final S nav Sorular 14 Ocak X = fa; b; cg kümesi üzerinde ayr k topoloji ve ayr k olmayan topoloji d ş nda T 0 = T koşulunu sa¼glayan bir T topolojisi tan mlay n z. 2 Bir (X; T ) topolojik uzay nda her A X için A c (A c ) 3 Birinci say labilir her topolojik uzay ikinci say labilir midir? Nedenleriyle aç klay n z. 4 R üzerindeki üst limit topolojisinin standart topolojiden daha ince 5 (X; T X ) bir topolojik uzay ve Y boş olmayan bir küme olsun. Y üzerinde, her f : (X; T X )! (Y; T Y ) fonksiyonunu sürekli yapan bir T Y 6 Zay f topolojiyi tan mlay n z. topolojisi bulunuz. 7 Ayr labilir bir topolojik uzay n her alt uzay ayr labilirdir. Ispatlay n z. (???????) 8 (X; T X ) ve (Y; T Y ) birer topolojik uzay olsunlar. (X Y; P) çarp m uzay n n bir taban n yaz n z. 9 (X; T X ) ve (Y; T Y ) birer topolojik uzay olsunlar. (X Y; P) çarp m uzay nda her A X ve her B Y (A eşitli¼gi sa¼glan r m? Nedenleriyle aç klay n z. 10 (X; T X ) ve (Y; T Y ) birer topolojik uzay, x 2 X; y 2 Y ve z = (x; y) olsun. (x) x noktas n n bir komşuluklar taban ve (y) y noktas n n bir komşuluklar taban ise (z) := fu W : U 2 (x) ; W 2 (y)g ailesi (X Y; P) çarp m uzay nda z noktas n n bir komşuluklar taban olur. Ispatlay n z. Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad r.

3 Genel Topolojiye Giriş I Final S nav Sorular (2. Ö¼gretim) 14 Ocak X = fa; b; cg ve A = fa; cg olsun. X kümesi üzerinde A 2 T ve A 2 T 0 olacak şekilde bir T topolojisi tan mlay n z. 2 Bir (X; T ) topolojik uzay nda her A X için A c (A c ) 3 Ayr labilir her topolojik uzay ikinci say labilir midir? Nedenleriyle aç klay n z. 4 R üzerindeki alt limit topolojisinin standart topolojiden daha ince 5 (Y; T Y ) bir topolojik uzay ve X boş olmayan bir küme olsun. X üzerinde, her f : (X; T X )! (Y; T Y ) fonksiyonunu sürekli yapan bir T X topolojisi bulunuz. 6 Alt uzay topolojisini tan mlay n z. 7 Ikinci say labilir bir topolojik uzay n her alt uzay ikinci say labilirdir. Ispatlay n z. 8 (X; T X ) ve (Y; T Y ) birer topolojik uzay olsunlar. (X Y; P) çarp m uzay n n bir alt taban n yaz n z. 9 (X; T X ) ve (Y; T Y ) birer topolojik uzay olsunlar. (X Y; P) çarp m uzay nda her A X ve her B Y için (A B) = e A e B eşitli¼gi sa¼glan r m? Nedenleriyle aç klay n z. 10 (X; T X ) ve (Y; T Y ) birer topolojik uzay, x 2 X; y 2 Y ve z = (x; y) olsun. V 2 N (x) ve W 2 N (y) ise (X Y; P) çarp m uzay nda V W 2 N (z) olur. Ispatlay n z. Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad r.

4 Genel Topolojiye Giriş I Bütünleme S nav Sorular 2 Şubat X = fa; b; cg ve A = fb; cg olsun. X kümesi üzerinde A 2 T ve A 2 T 0 olacak şekilde bir T topolojisi tan mlay n z. 2 Bir (X; T ) topolojik uzay nda her A X için A c (A c ) 3 Ayr labilir her topolojik uzay ikinci say labilir midir? Nedenleriyle aç klay n z. 4 Birinci say labilir her topolojik uzay ikinci say labilir midir? Nedenleriyle aç klay n z. 5 (Y; T Y ) bir topolojik uzay ve X boş olmayan bir küme olsun. X üzerinde, her f : (X; T X )! (Y; T Y ) fonksiyonunu sürekli yapan bir T X topolojisi bulunuz. 6 Alt uzay topolojisini tan mlay n z. 7 Ikinci say labilir bir topolojik uzay n her alt uzay ikinci say labilirdir. Ispatlay n z. 8 (X; T X ) ve (Y; T Y ) birer topolojik uzay olsunlar. (X Y; P) çarp m uzay n n bir taban n yaz n z. 9 (X; T X ) ve (Y; T Y ) birer topolojik uzay olsunlar. Bu uzaylar ayr labilir ise (X Y; P) çarp m uzay da ayr labilirdir. Ispatlay n z. 10 (X; T X ) ve (Y; T Y ) birer topolojik uzay, x 2 X; y 2 Y ve z = (x; y) olsun. V 2 N (x) ve W 2 N (y) ise (X Y; P) çarp m uzay nda V W 2 N (z) olur. Ispatlay n z. Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad r.

5 Genel Topolojiye Giriş II Ara S nav Sorular 8 Nisan (X; T ) bir topolojik uzay, (x n ) bu uzayda bir dizi ve x 2 X olsun. (x n ) dizisinin x noktas na yak nsamas ne demektir? Tan mlay n z. 2 Bir topolojik uzayda yak nsak her dizinin limiti tek olur mu? Nedenleriyle aç klay n z. 3 Topolojik uzaylarda dizilerin yetersiz kald ¼g durumlardan bir tanesini yaz n z. 4 (X; T ) bir topolojik uzay, A X ve x 2 X olsun. x 2 A ise x! x olacak şekilde bir (x ) A a¼g vard r. Ispatlay n z. 5 (X; T ) bir topolojik uzay, x 2 X ve (x) x noktas n n bir komşuluklar taban olsun. F (x) ; (x) süzgeç taban n n üretti¼gi süzgeç olmak üzere oldu¼gunu ispatlay n z. F (x) = N (x) 6 (X; T ) bir topolojik uzay, x 2 X ve F X üzerinde bir süzgeç olsun. F! x olmas ne demektir? Tan mlay n z. 7 (X; T X ) ve (Y; T Y ) birer topolojik uzay, f : X! Y bir fonksiyon ve x 2 X olsun. biçimindeki her F süzgeci için F T X! x f (F) T Y! f (x) oluyorsa f fonksiyonu x noktas nda süreklidir. Ispatlay n z. 8 T 1 uzay ve T 2 uzay kavramlar n tan mlay n z. 9 Her T 1 uzay bir T 2 uzay m d r? Nedenleriyle aç klay n z. 10 (X; T X ) ve (Y; T Y ) birer topolojik uzay olsunlar. (X Y; P) çarp m uzay bir T 2 uzay ise (X; T X ) ve (Y; T Y ) uzaylar da birer T 2 uzay olurlar. Ispatlay n z. Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad r.

6 Genel Topolojiye Giriş II Final S nav Sorular 14 Haziran Düzenli topolojik uzay ne demektir? Tan mlay n z ve bir örnek veriniz. 2 T 3 uzay ne demektir? Tan mlay n z ve bir örnek veriniz. 3 Metrik uzay olmayan T 3 uzaylar na örnek veriniz. 4 Hangi topolojik uzaylar n kapal alt kümeleri kompaktt r? 5 Kompakt metrik uzaylarda geçerli oldu¼gu halde kompakt topolojik uzaylarda geçerli olmayan özelliklerden bir tanesini yaz n z. 6 Say labilir kompakt olan hangi topolojik uzaylar ayn zamanda dizisel kompakt olurlar? 7 (X; T X ) yerel kompakt bir topolojik uzay ve (Y; T Y ) bir topolojik uzay olsun. E¼ger, sürekli, aç k ve örten bir f : X! Y fonksiyonu varsa (Y; T Y ) uzay da yerel kompakt olur. Ispatlay n z. 8 (R; R ) topolojik uzay n n bir kompaktlaşt rmas n n [ 1; 1] ; R [ 1;1] 7: ve 8: sorular 20 şer puan, di¼ger sorular 10 ar puand r. Süre 60 dakikad r.

7 Genel Topolojiye Giriş II Final S nav Sorular ( Ikinci Ö¼gretim) 14 Haziran Normal topolojik uzay ne demektir? Tan mlay n z ve bir örnek veriniz. 2 T 4 uzay ne demektir? Tan mlay n z ve bir örnek veriniz. 3 Metrik uzay olmayan T 4 uzaylar na örnek veriniz. 4 Hangi topolojik uzaylarda kompakt alt kümeler kapal d r? 5 Kompakt metrik uzaylarda geçerli oldu¼gu halde kompakt topolojik uzaylarda geçerli olmayan özelliklerden bir tanesini yaz n z. 6 Dizisel kompakt olan hangi topolojik uzaylar ayn zamanda say labilir kompakt olurlar? 7 (X; T X ) ve (Y; T Y ) topolojik uzaylar yerel kompakt ise (X Y; P) uzay da yerel kompakt olur. Ispatlay n z. 8 (R; R ) topolojik uzay n n bir kompaktlaşt rmas n n C = f(x; y) 2 R 2 : x 2 + y 2 = 1g çemberi 7: ve 8: sorular 20 şer puan, di¼ger sorular 10 ar puand r. Süre 60 dakikad r.

8 Genel Topolojiye Giriş II Bütünleme S nav Sorular 28 Haziran T 2 uzay ne demektir? Tan mlay n z ve bir örnek veriniz. 2 Metrik uzay olmayan T 2 uzaylar na iki örnek veriniz. 3 (a) Hangi topolojik uzaylarda kompakt alt kümeler kapal d r? (b) Hangi topolojik uzaylarda kapal alt kümeler kompaktt r? 4 Kompakt metrik uzaylarda geçerli oldu¼gu halde kompakt topolojik uzaylarda geçerli olmayan özelliklerden iki tanesini yaz n z. 5 Kompaktlaşt rma ne demektir? Tan mlay n z ve bir örnek veriniz. Her soru 20 puan ve süre 60 dakikad r.

Benzer belgeler

Analiz III Ara S nav Sorular 24 Kas m 2010

Analiz III Ara S nav Sorular 24 Kas m 2010 1 Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) R n uzay n n aç k olmayan her alt kümesi kapal d r. (b) A = fx 2 [0; 1]