Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64

Transkript

1 Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt 11 Fonksiyon 12 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 14 Fonksiyonun Gragi 17 Fonksiyon Çeşitleri 18 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon 25 Periyodik Fonksiyon 26 Artan ve Azalan Fonksiyon 26 Polinom Fonksiyon 28 Üstel ve Logaritmik Fonksiyon 28 Çok Degişkenli Fonksiyonlar 30 Karşk Örnekler 34 ÇÖZÜMLÜ TEST 45 ÇÖZÜMLER 59 TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 58 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64 IKINCI BÖLÜM Polinomlar Polinomlarn Eşitligi 69 Polinomlarn Katsaylar ve Terim Says Ile Ilgili Sorular 73 Horner Metodu Ile Bölme 76 Bölme Işlemlerinde Kalann Bulunmas 78 Bir Polinomun Türevi 82 Karşk Örnekler 87 ÇÖZÜMLÜ TEST 96 ÇÖZÜMLER 99

2 TÜBITAK SORULARI (Polinomlar) 105 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 107 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 111 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM Denklemler ve Denklem Sistemleri Ikinci Dereceden Denklemler 113 Ikinci Dereceden Bir Denklemin Sanal Kökleri 118 Ikinci Dereceden Denklemlere Dönüştürülebilen Denklemler 120 Köklü Denklemler 122 Üçüncü Dereceden Denklemler 126 Üçüncü Dereceden Bir Denklemin Çözümü 127 Yüksek Dereceden Polinom Denklemler 130 Kökler ve Katsaylar Arasndaki Bagntlar (Vieta Formülleri) 132 Bir Bilinmeyenli Polinom Eşitsizlikler 141 Türevi Kullanarak Köklerin Yorumlanmas 144 Bir Polinom Denklemin Reel Köklerinin Üst Snrnn Bulunmas 148 Tamsay Köklerin Bulunmas 149 Tamsay Köklerin Bulunmas Için Newton Metodu 151 Tamsay Köklerin Bulunmas Için Başka Bir Yöntem 152 Reel Köklerin Işaret Incelemesi 152 Decartes'in Işaret Degişim Kural 154 Rasyonel Köklerin Bulunmas 156 Mutlak Degerli Denklem ve Eşitsizlikler 158 Grakler Yardmyla Denklem Çözümü 160 Köklerin Kuvvetleri Toplamnn Hesaplanmas 162 Denklem Sistemleri 167 Karşk Örnekler 185 ÇÖZÜMLÜ TEST 195 ÇÖZÜMLER 204 TÜBITAK SORULARI (Denklemler ve Denklem Sistemleri) 223 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 230 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 245

3 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM Diziler Aritmetik Dizi 251 Geometrik Dizi 255 Fibonacci Dizisi 258 Bir Dizinin Genel Teriminin Bulunmas 261 Dizilerin Homojen Yineleme Bagntlar ve Genel Teriminin Bulunmas 264 Dizilerin Homojen Olmayan Yineleme Bagntlar ve Genel Teriminin Bulunmas 266 Yardmc Genel Terim Kullanma 271 Dizinin Tüm Terimlerinin Tamsay Oldugunu Gösterme 273 Dizinin Limiti 274 Karşk Örnekler 284 ÇÖZÜMLÜ TEST 297 ÇÖZÜMLER 302 TÜBITAK SORULARI (Diziler) 312 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 316 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 329 YANIT ANAHTARI 332

4 Fonksiyonlar 1.1 Bagnt A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alnarak oluşturulan tüm ikililerinin kümesine A ile B'nin kartezyen çarpm denir. A B şeklinde gösterilir. A B = f(x; y) : x 2 A ve y 2 Bg : A B kümesinin herhangi altkümesine A'dan B'ye bagnt denir. s (A) = n ve s (B) = m ise s (A B) = nm olur. A'dan B'ye bagnt says da 2 mn 'dir. Bir = f(x; y)jx 2 A; y 2 Bg bagntsnn elemanlarna düzlemde karş gelen noktalarn kümesine bagntsnn gragi denir. Örnek 1 = f(x; y) : jxj + jyj = 2; x; y 2 Rg bagntsnn gragini çizelim. Çözüm : x ve y'nin negatif veya pozitif olmasna göre incelenirse, x < 0; y < 0 için, x y = 2; x > 0; y < 0 için, x y = 2; x < 0; y > 0 için, x + y = 2; x > 0; y > 0 için, x + y = 2 dogrular elde edilir. Buna göre grak yandaki gibi olur Örnek 2 dbjxjce, x saysndan büyük olmayan en büyük tamsayy göstermek üzere, bagntsnn gragini çizelim. = f(x; y) : dbjxjce dbjyjce = 2; x; y 2 Rg Çözüm : dbjxjce dbjyjce = 2 için dört durum olabilir. i) dbjxjce = 1 ve dbjyjce = 2 ise, 1 x < 2 ve 2 y < 3; ii) dbjxjce = 2 ve dbjyjce = 1 ise, 1 y < 2 ve 2 x < 3; iii) dbjxjce = 1 ve dbjyjce = 2 ise, 1 x < 0 ve 2 y < 1; iv) dbjxjce = 2 ve dbjyjce = 1 ise, 2 x < 1 ve 1 y < 0 olur. Buna göre, grak şekildeki gibi olur. 2 3

5 12 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 4 Denklik ve Sralama Bagnts ; A'dan A'ya bir bagnt olsun. Her bagnt aşagda verilen bu özellikleri saglamak zorunda degildir. 1.Yansma Özelligi : Her x 2 A için, (x; x) 2 ise, yansma özelligine sahiptir denir. 2. Simetri Özelligi : Her (x; y) 2 için, (y; x) 2 ise, simetri özelligine sahiptir denir. 3. Ters simetri Özelligi : x 6= y ve (x; y) 2 iken (y; x) 62 ise, ters simetri özelligine sahiptir denir. 4. Geçişme Özelligi : Her (x; y) 2 ve (y; z) 2 iken, (x; z) 2 ise, geçişme özelligine sahiptir denir. Yansma, simetri ve geçişme özelliklerini saglyan bagntsna denklik bagnts, yansma, ters-simetri ve geçişme özelliklerini saglayan bagntsna da sralama bagnts denir. Örnegin, Z kümesinde, tanmlanan = f(x; y) : 3 j x bagnts bir denklik bagntsdr. Bu denklik bagntsnn elemanlar, yg (1; 1) ; (2; 5) ; (11; 56) ; ::: şeklindedir. Yani, (x; y) ikilisinde, x ve y, 3 ile bölündügünde ayn kalan veren iki tamsay olmaldr. 3 ile bölündügünde kalan 0, 1 veya 2 olabileceginden, bu bagntya göre birbirine denk olan saylar 3 ksma ayrmak mümkündür. 3 ile bölündügünde 0 kalann verenler, 1 kalann verenler ve 2 kalann verenler. Bu üç kümeye denklik bagntsnn denklik snar denilir. şeklinde gösteririz. 0 = f:::; 6; 3; 0; 3; 6; :::g ; 1 = f:::; 5; 2; 1; 4; 7; :::g ve 2 = f:::; 4; 1; 2; 5; 8; :::g 1.2 Fonksiyon A kümesinin her elemann, B kümesinin yalnz bir elemanna götüren f bagntsna fonksiyon denir. f : A! B ile gösterilir. A kümesine tanm kümesi, B kümesine deger kümesi ve f (A) kümesine de görüntü kümesi denir. Reel degişkenli bir fonksiyon, y = f(x) biçiminde verilip tanm kümesi açkça verilmemişse, bu durumda tanm kümesi olarak fonksiyonun anlaml oldugu en geniş reel saylar kümesi fonksiyonun tanm kümesi olarak alnr. Örnegin, f (x) = 1= (x 2) fonksiyonunda, tanm kümesi olarak, paydann 0 olamayacag göz önüne alnarak R f2g alabiliriz. Yine, f (x) = p x 3 fonksiyonu denildiginde, tanm kümesi verilmemişse, x 3 0 olmas gerektiginden, tanm kümesini [3; 1] kapal aralg olarak alrz.

6 Fonksiyonlar 13 Örnek 3 Aşagdaki bagntlarn fonksiyon olup olmadklarn oldugunu açklaynz. a) f 1 : Z! N, f 1 (x) = x 1 x (x + 1) (2x + 1) b) f 2 : Z! Z, f 2 (x) = 6 c) f 3 : R! R, f 3 (x) = 1 x + x d) f 4 : Q! Z + ; f 4 (x) = x 2 Çözüm : a) f 1 fonksiyon degildir. Çünkü, x = 0 elemannn görüntüsü deger kümesinde görüntüsü yoktur. 1 'dir ve b) f 2 bir fonksiyondur. Her x tamsays için, x (x + 1) (2x + 1) =6 yine bir tamsaydr (ispatlaynz). c) f 3 fonksiyon degildir. Çünkü, x = 0 saysnn görüntüsü yoktur. x = 0'da tanml degildir. f 3 : R f0g! R şeklinde tanmlanmş olsayd bir fonksiyon olacakt. d) f 4 fonksiyon degildir. Çünkü, örnegin x = 1=2 gibi bir kesir alsak, görüntüsü tamsay degildir. Özellik : s (A) = n ve s (B) = m olsun. Bu durumda A kümesinden B kümesine tanmlanabilecek fonksiyon says m n olur. Ispat : A = fa 1 ; a 2 ; :::; a n g ve B = fb 1 ; b 2 ; :::; b m g olsun. A kümesindeki her bir eleman, B kümesinden m tane farkl elemana gidebilir. Yani, A kümesinin her bir eleman için m tane seçenek vardr. O halde, mmm m = m n degişik fonksiyon tanmlanabilir. Fonksiyonlarda işlemleri aşagdaki gibi tanmlarz. f : A! R ve g : A! R fonksiyonlar verilsin. Her x 2 A için f(x) + g(x) = (f + g)(x) : A! R fonksiyonuna, f ile g fonksiyonlarnn toplam denir ve f + g ile gösterilir. Benzer şekilde, f(x) g(x) = (f g)(x) : A! R fonksiyonuna f ile g fonksiyonlarnn fark,. f (x) g (x) = (f g) (x) : A! R fonksiyonuna f ile g fonksiyonlarnn çarpm, ve her x 2 A için g (x) 6= 0 olmak üzere, f (x) g (x) = f g (x) : A! R fonksiyonuna da f ile g'nin bölümü denir.

7 14 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 4 Örnek 4 f (n) = n 3 ve g (n) = f (n + 1) f (n) olduguna göre, saylarnn ortalamas kaçtr? Çözüm : g (n) = (n + 1) 3 n 3 ise, g (0) ; g (1) ; :::; g (99) g (0) +g (1) + + g (100) = = = 10 6 oldugundan ortalamas 10 6 =100 = 10 4 elde edilir. 1.3 Fonksiyonel Denklemlere Giriş Çözümü fonksiyon olan denklemlere fonksiyonel denklemler denir. Bu bölümde, fonksiyonel denklemler konusu basit düzeyde ele alnacaktr. Aşagdaki örneklerde oldugu gibi, bir çok soruda fonksiyonun herhangi bir noktadaki degeri istendiginden, fonksiyonu bulmaya gerek kalmadan çözüme ulaşabiliriz. Bunun için, çogunlukla, istenilen degeri bulmak için fonksiyona uygun degerler verilebilir. Fakat, bazen fonksiyonu bulmamz gerekebilir. Bunun için, fonksiyonel denklemlerle ilgili basit sorular bu bölümde verilip, karşlaşabilecek daha zor sorular daha sonra fonksiyonel denklemler bölümünde ayrntl olarak verilecektir. Bir fonksiyonu aldg degerlerden dolay tahmin etmek mümkündür. Fakat, matematikte tahmine yer yoktur. Bu nedenle tahminimizi ispatlamak gerekir. Tümevarm bu konuda skça kullanrz. Aşagdaki örneklerden, Örnek 12 ve Örnek 13'te fonksiyonu tahmin etsekte, tümevarmla bu tahminimizin dogru oldugunu gösterdik. Örnek 5 f : R f0g! R f0g fonksiyonu f (1=x) + (1=x) f ( x) = x=3 koşulunu saglyorsa, f (1=3) =? Çözüm : x yerine srasyla x = 3 ve x = 1=3 yazarsak, f (1=3) + (1=3) f ( 3) = 1 ve f ( 3) 3f (1=3) = 1=9 elde edilir. Bu denklemlerin çözümünden de, f (1=3) = 14=27 bulunur. Örnek 6 Her x 2 R için, f (x) fonksiyonu 3f (x) + 2f (1 x) = 2x + 9 eşitligini saglyorsa, f (2) =? Çözüm : Srasyla, x = 2 ve x = 1 yazlrsa, 3f (2) + 2f ( 1) = 13 ve 3f ( 1) + 2f (2) = 7 denklemleri elde edilir. Buradan, f ( 1) yok edilirse, f (2) = 5 bulunur.

8 Fonksiyonlar 15 Örnek 7 x 2 R f0; 1g için, f (x) + f(1= (1 x)) = x olduguna göre, f (2) =? Çözüm : Denklemde, x yerine srasyla, 2; f (2) + f ( 1) = 2; 1 ve 1=2 yazlrsa, f ( 1) + f (1=2) = 1; f (1=2) + f (2) = 1=2 denklem sistemi elde edilir. Birinci ve üçüncü denklemi toplayp, ikinci denklemi çkarrsak, bulunur. f (2) = = 7 4 Örnek 8 f (x) : R! R fonksiyonu, f (x) + f (1 x) = 101 ve f (1 + x) f (x) = 92 eşitliklerini sagladgna göre, f (x) + f ( x) =? Çözüm : Ikinci eşitlikte, x yerine x yazarsak, f (1 x) f ( x) = 92 olur. Buradan, iki denklem taraf tarafa çkarlrsa, f (x) + f ( x) = 9 elde edilir. Örnek 9 f ( 1) = f (1) = 1 ve her x; y 2 Z için, olduguna göre, f (101) =? f (x) + f (y) = f (x + 2xy) + f (y Çözüm : Eşitlikte, srasyla x = 1 ve y = 1 yazarsak, srasyla 1 + f (y) = f (1 + 2y) + f ( y) f (x) + 1 = f ( x) + f ( 1 + 2x) 2xy) denklemleri elde edilir. Bu iki denklemden, ikinci denklemde x yerine y yazp denklemlerin birbirinden çkartlmasyla, f (1 + 2y) = f ( 1 + 2y) elde edilir. Bu eşitlikte, y yerine (y 1) =2 yazarsak, f (y) = f (y 2) bulunur. Buna göre, olur. f (101) = f (99) = f (97) = = f (3) = f (1) = 1

9 16 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 4 Örnek 10 f (x) : R! R fonksiyonu her x 2 R f1g için, x f (x) + 2f = 2010 x x 1 eşitligini sagladgna göre, f (2011) =? Çözüm : Eşitlikte, srasyla x = 2 ve x = 2011yazlrsa, f (2) + 2f (2011) = 2008 ve f (2011) + 2f (2) = 1 elde edilir. Buradan, f (2011) = 1339 bulunur. Örnek 11 2f (x) + 3f (1 x) = x 2 ise, f (x) =? Çözüm : 2f (x) + 3f (1 x) = x 2 eşitliginde, x yerine 1 x yazarsak, olur. Buradan, f (1 bulunur. 2f (1 x) + 3f (x) = (1 x) 2 x) yok edilirse, f (x) = x2 6x Örnek 12 f : Z +! Z fonksiyonu, f (0) = 0; f (5) = 980 ve eşitliklerini saglyorsa f (10) =? f (x + 1) + f (x 1) = 2f (x) + 2 Çözüm : f (x + 1) = 2f (x) + 2 f (x 1) eşitliginde, f (1) = k + 1 yazp, f (0) = 0 oldugunu kullanarak x = 1; 2; 3; ::: için, f (x) degerlerini hesaplayalm. Buna göre, x = 1 yazarsak, f (2) = 2f (1) + 2 = 2k + 4 x = 2 yazarsak, f (3) = 2f (2) + 2 f (1) = 2 (2k + 4) + 2 (k + 1) = 3k + 9 x = 3 yazarsak, f (4) = 2f (3) + 2 f (2) = 2 (3k + 9) + 2 (2k + 4) = 4k + 16 bulunur. Bu sonuçlara göre, f (x) = kx + x 2 oldugunu iddia ediyoruz. Iddiamz tümevarmla ispatlayalm. x n için dogru olsun. x = n + 1 için yaparsak, f (n + 1) = 2f (n) + 2 f (n 1) = 2 kn + n k (n 1) + (n 1) 2 = k (n + 1) + (n + 1) 2 oldugundan iddiamz dogrudur. O halde, f (5) = 980 oldugundan, f (5) = 5 k = 980 denkleminden, k = 191 bulunur. Böylece, f (10) = = 2010 elde edilir.

10 Fonksiyonlar 17 Örnek 13 f : Z +! Z fonksiyonu, f (0) = 0; f (1) = 1 ve n 2 için, f (n) 2f (n 1) + f (n 2) = ( 1) n (2n 4) eşitliklerini sagladgna göre, f (n) fonksiyonunu bulunuz. Çözüm : f (n) 2f (n 1) + f (n 2) = ( 1) n (2n 4) eşitligini kullanarak küçük degerler için fonksiyonun degerini hesaplayalm. f (0) = 0; f (1) = 1 oldugundan, f (2) = 2; f (3) = 1; f (4) = 4, f (5) = 1; f (6) = 6::: bulunabilir. Bu degerlerden, 1; n tek say ise f (n) = n, n çift say ise oldugu tahmin edilebilir. Şimdi, bu tahminimizi tümevarmla ispatlayalm. 0; 1; 2; :::; k 1 degerleri için, bu fonksiyonun dogru oldugunu kabul edelim. Eger, k tek say ise, f (k 1) = k 1 ve f (k 2) = 1 oldugundan, f (k) = 2f (k 1) f (k 2) (2k 4) = 2 (k 1) 1 (2k 4) = 1 ve k çift say ise, f (k 1) = 1 ve f (k 2) = k 2 oldugundan, f (k) = 2f (k 1) f (k 2) + (2k 4) = 2 (k 2) + (2k 4) = k oldugundan iddiamz dogrudur. F Fonksiyonel denklemler konusu beşinci ciltte ayrntl olarak ele alnacaktr. 1.4 Fonksiyonun Gragi f : A! B fonksiyonu verilsin. f = f(x; y)jy = f(x); x 2 Ag kümesinin elemanlarna düzlemde karş gelen noktalarn kümesine f fonksiyonunun gragi denir. Bir bagntnn, fonksiyon olup olmadgn graginden anlayabiliriz. Bunun için, x-eksenine çizilen her dik dogru egriyi sadece bir noktada kesiyorsa, bu egri, bir fonksiyon gragi olarak düşünülebilir. Eger x- eksenine çizilen dik dogrulardan herhangi biri, egriyi birden fazla noktada kesiyorsa bu egri bir fonksiyon gragi olamaz. Örnegin aşagda gragi verilen egrinin bir fonksiyon olmadgn y eksenine paralel bir çizgi çizerek görebiliriz. y x

11 18 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 4 Sabit Fonksiyon 1.5 Fonksiyon Çeşitleri f : A! B fonksiyonu için, her x 2 A için, f (x) = c ve c 2 B ise, yani A kümesinin her elemannn, B'de ki görüntüsü ayn ise, f 'ye sabit fonksiyon denir. Birim Fonksiyon f : A! A fonksiyonu için, her x 2 A için, f (x) = x ise, yani, her elemannn görüntüsü, kendisine eşit ise, f 'ye birim fonksiyon denir. Örnek 14 Negatif olmayan tamsaylarda tanml, f fonksiyonu, her x; y için, xf (y) + yf (x) = (x + y) f x 2 + y 2 eşitligini sagladgna ve f (99) = 5 olduguna göre, f (100) =? Çözüm : xf (y) + yf (x) = (x + y) f x 2 + y 2 denkleminde, x = 0 yazarsak, yf (0) = yf y 2 eşitliginden, f y 2 = f (0) elde edilir. Bu ifadeden, f fonksiyonunun sabit bir fonksiyon olabilecegi düşünülebilir. Bu düşüncemizi ispatlamaya çalşalm. Bunun için, x 6= 0 ve y 6= 0 olmak üzere, f (x) < f (y) kabul edelim. Bu durumda, (x + y) f (x) < xf (y) + yf (x) < (x + y) f (y) olur. Böylece, f (x) < f x 2 + y 2 < f (y) olur. Fakat bu mümkün degildir. Çünkü, benzer şekilde devam ederek, f (x) ve f (y) degerleri arasnda sonsuz sayda farkl deger bulunur. Fakat, f (1) = f (0) : Böylece, her x > 1 için, f (x) = f (1) olur. Dolaysyla f sabit fonksiyondur ve f (100) = f (99) = 5 olur. Bire-bir Fonksiyon f : A! B fonksiyonu verilsin. Eger, her x 1 ; x 2 2 A ve x 1 6= x 2 için f(x 1 ) 6= f(x 2 ) ise f fonksiyonuna bire-bir fonksiyon denir. Diger bir ifadeyle, tanm kümesinin herhangi farkl iki elemannn görüntüleri farkl ise fonksiyon bire-bir olur. Örnegin, f (x) = x 2 fonksiyonu bire-bir degildir. Çünkü, 2 6= 2 oldugu halde, f ( 2) = f (2) olmaktadr. Bir fonksiyonun bire-bir olup olmadgn aşagdaki verecegimiz kural yardmyla ya da gragini çizerek görmek de mümkündür. F f : A! B fonksiyonu verilsin. Eger, her x 1 ; x 2 2 A ve f(x 1 ) = f(x 2 ) oldugunda, x 1 = x 2 oluyorsa, f fonksiyonu bire birdir.

12 Fonksiyonlar 19 Örnek 15 f : R! R, f(x) = x 2 4x + 5 fonksiyonunun bire-bir olup olmadgn gösteriniz. Çözüm : Her x 1 ; x 2 2 A ve f(x 1 ) = f(x 2 ) oldugunda, x 1 = x 2 olacagn göstermeliyiz. Bunun için, f(x 1 ) = f(x 2 ) x 2 1 4x = x 2 2 4x eşitliginden, x 2 1 x (x 1 x 2 ) = 0 veya (x 1 x 2 ) (x 1 + x 2 4) = 0 elde edilir. Buna göre, x 1 = x 2 veya x 1 + x 2 = 4 olmaldr. Ikinci eşitlige göre, x 1 = 1 ve x 2 = 3 alndgnda, f(x 1 ) = f(x 2 ) oldugu halde, x 1 = x 2 olmadgna bir örnek bulunmuş olacagndan, fonksiyonun bire-bir olmadgn görürüz. Grakle Fonksiyonun Bire-bir Olup Olmadgnn Incelenmesi Bir fonksiyonun graginde, eger x eksenine paralel olarak çizilen her dogru gragi en çok bir noktada keserse fonksiyon bire-birdir. Eger apsisler eksenine paralel olarak çizilen dogrulardan herhangi biri gragi birden fazla noktada keserse fonksiyon bire-bir degildir. Yandaki ilk grakte, y eksenine paralel çizilen bir dogru görüldügü gibi fonksiyonu birden fazla noktada kesmektedir. Bu nedenle bu fonksiyon bire-bir degildir. Ikinci grakte ise, y eksenine paralel çizilen herhangi bir dogru görüldügü gibi fonksiyonu birden fazla noktada kesemez. Bu nedenle bu fonksiyon bire-bir'dir. y x y x Örnek 16 f : R! R; f (x) = x 3 fonksiyonun bire-bir olup olmadgn gragini çizerek gösteriniz. y Çözüm : y = x 3 fonksiyonunun gragi şekildeki gibidir. Herhangi bir dogru fonksiyonu birden fazla noktada kesemez. O halde, y = x 3 fonksiyonu bire-birdir. x

13 20 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 4 Örten Fonksiyon f : A! B fonksiyonu verilsin. Eger f(a) = B ise yani deger kümesindeki herhangi bir eleman tanm kümesindeki en az bir elemann görüntüsü ise, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Başka bir ifadeyle, B deger kümesinden alnan herhangi bir b elemanna karşlk, f(a) = b olacak şekilde A tanm kümesinden en az bir a eleman bulunabiliyorsa, f fonksiyonu örtendir. Örnegin, f : R! R, f (x) = x 2 fonksiyonu örten degildir. Deger kümesinden alacagmz herhangi bir b negatif says, hiçbir saynn karesine eşit olamayacagndan, f(a) = b olacak şekilde tanm kümesinden bir a eleman bulunamaz. f : R! R fonksiyonu örten degildir. Çünkü, y eksenine b noktasndan paralel çizilen şekilde dogru görüldügü gibi fonksiyonu kesmez. Yani, b = f (a) olacak şekilde fonksiyonun bir a degeri yoktur. O halde bu fonksiyon örten degildir. Not : Grakteki fonksiyon için, görüntü kümesi olarak R yerine R + alnmş olsayd, fonksiyon örten olacakt. Ayrca bu fonksiyon bire-bir fonksiyondur y b f(x) x Permütasyon Fonksiyonu A kümesinden A kümesine tanml, bier-bir ve örten her fonksiyona permütasyon fonksiyonu denir. n elemanl bir A kümesinde tanml permütasyon fonksiyonlarnn says n! tanedir. Örnegin, A = fa; b; c; d; eg kümesinde, tanml 5! = 120 tane permütasyon fonksiyonu vardr. a b c d a b c d f 1 =, f 2 = b c d a d b a c a b c d fonksiyonlar bunlardan ikisidir. f 1 = gösterimi, b c d a f 1 = f(a; b) ; (b; c) ; (c; d) ; (d; a)g demektir. 1.6 Bir Fonksiyonun Tersi f : A! B fonksiyonu bire-bir ve örten fonksiyon olmak üzere, f 1 : B! A şeklinde tanmlanan fonksiyona f fonksiyonunun tersi denir. Bir y = f (x) fonksiyonunun tersini bulmak için, fonksiyondan x degeri y cinsinden hesaplanr ve, bulunan eşitlikte y yerine x ve x yerine f 1 (x) yazlarak tersi bulunur.

14 Fonksiyonlar 21 Örnek 17 Aşagdaki fonksiyonlardan hangilerinin tersi vardr? a) f : Z! Z; f (x) = 2x + 3 b) f : R! R; f (x) = x 3 1 c) f : R! R f (x) = x p 3x + 1 d) f : R! R f (x) = p 2 e) A = f1; 2; 3g, f : A! A ve f = f(1; 2) ; (2; 3) ; (3; 1)g f) A = f1; 2g ve B = fa; b; cg ; f : A! B; f = f(1; a) ; (2; b)g Çözüm : a) Fonksiyon bire-birdir fakat örten degildir. Örnegin, görüntü kümesindeki y = 2 degeri için, tanm kümesinde bir x 2 Z degeri yoktur. O halde, bu fonksiyonun tersi yoktur. b) f (x) fonksiyonu bire-bir ve örtendir. Tersi ise, f 1 (x) = 3p x + 1 olur. c) f (x) fonksiyonu bire-bir ve örten degildir. Bu nedenle tersi yoktur. d) Bu fonksiyon da bire-bir ve örtendir ve tersi, p 2x 1 f 1 (x) = p 3 olur. e) Bu fonksiyon bire-bir ve örten bir fonksiyondur. Tersi ise, olur. f 1 = f(2; 1) ; (3; 2) ; (1; 3)g f) Bu fonksiyon bire-bir'dir fakat örten degildir. Çünkü, görüntü kümesindeki c eleman için, f (x) = c olacak şekilde tanm kümesinde bir eleman yoktur. O halde, bu fonksiyonun da tersi yoktur. Örnek 18 f (x) = x 3 6x x fonksiyonunun tersini bulunuz. Çözüm : y = x 3 6x x ifadesinde x 'i y türünden yazalm. Buna göre, y = x 3 6x x y = (x 2) eşitliginden, (x 2) 3 = y 8 olur. Buradan da, x 2 = 3p y 8 bulunur. Böylece, x = 3p y olacagndan f 1 (x) = 3p y elde edilir. Not : Ayn koordinat sisteminde f 1 ters fonksiyonunun gragi, f fonksiyonunun graginin y = x dogrusuna göre simetrigidir.

15 22 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 4 y b a f 1 (x) y=x f(x) a b x f 1 ters fonksiyonunun gragi, f fonksiyonunun graginin y = x dogrusuna göre simetrigidir. Örnek 19 f (x) = x 3 x 2 3x + 4 olduguna göre, f 1 (x) = f (x) denklemini saglayan x degerlerini bulunuz. Çözüm : f 1 ters fonksiyonunun gragi, f fonksiyonunun graginin y = x dogrusuna göre simetrigi oldugundan, f 1 (x) = f (x) denkleminin çözümü olmas için, f 1 (x) ve f (x) fonksiyonlarnn gragi kesişmelidir. Kesiştikleri noktalar y = x dogrusu üzerinde olacagndan, eşitligi saglanmaldr. Buradan, oldugundan, x = 1; x = 2 ve x = x 3 x 2 3x + 4 = x x 3 x 2 4x + 4 = (x 1) (x 2) (x + 2) = 0 2 bulunur. Teorem : f; X'den Y 'ye bir fonksiyon ve A; B Y olmak üzere aşagdaki özellikler saglanr. i) A B ise, f 1 (A) f 1 (B) ii) f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B) iii) f 1 (A [ B) = f 1 (A) [ f 1 (B) iv) f 1 (AnB) = f 1 (A) nf 1 (B) v) f 1 (?) =? Sadece ii)'yi ispatlayalm. x 2 f 1 (A \ B) ise, ters fonksiyon tanm geregi, f (x) 2 A \ B ve buradan da, olur. f (x) 2 A ve f (x) 2 B

16 Fonksiyonlar 23 Buna göre, yine ters fonksiyon tanm geregince, x 2 f 1 (A) ve x 2 f 1 (B) olacagndan, x 2 f 1 (A) \ f 1 (B) elde edilir. Yani, f 1 (A \ B) kümesinin her eleman f 1 (A) \ f 1 (B) kümesinin bir elemandr. O halde, f 1 (A \ B) f 1 (A) \ f 1 (B) olur. Şimdi de, tersini gösterelim. x 2 f 1 (A) \ f 1 (B) olsun, bu durumda, ve ters fonksiyon tanm geregince, x 2 f 1 (A) ve x 2 f 1 (B) f (x) 2 A ve f (x) 2 B olur. Buradan, f (x) 2 A\B olur. Ters fonksiyon tanm geregince, x 2 f 1 (A \ B) oldugundan, f 1 (A) \ f 1 (B) f 1 (A \ B) olur. () ve () ifadelerinden, f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B) bulunur. 1.7 Bileşke Fonksiyon f : A! B ve g : B! C fonksiyonlar için, g f (x) = g (f (x)) : A! C şeklinde tanmlanan fonksiyona f ile g'nin bileşke fonksiyonu denir. A B C f g x f(x) g(f(x)) () () gof Şimdi de, bileşke fonksiyonlarn özelliklerini verelim. 1. Bileşke fonksiyonun degişme özelligi yoktur. gof (x) 6= f og (x) : 2. Bileşke işleminin birleşme özelligi vardr. (f g) h = f (g h) : 3. I (x) = x bileşke işleminin birim elemandr. f I (x) = I f (x) = f (x) : 4. f f 1 (x) = f 1 f (x) = I (x) oldugundan, f (x) fonksiyonun bileşke işlemine göre tersi f 1 (x)'dir. 5. (f g) 1 (x) = g 1 f 1 (x) eşitligi vardr. Örnek 20 f (x) : R! R fonksiyonu, denklemini sagladgna göre, f (11) =? f (f (x)) (1 + f (x)) = 3 + f (x)