GEOMETR K TOPOLOJ. Ders Notlar

Transkript

1 GEOMETR K TOPOLOJ Prof. Dr. smet KARACA Ders Notlar

2 çindekiler 1 EUCLID UZAYINDA DÜZGÜN (SMOOTH) FONKS YON- LAR R n de Tanjant(Te et) Vektörleri Yönlü Türev Türev Vektör Alanlar Türev Cinsinden Vektör Alanlar ALTERNE K-L NEER FONKS YON Dual Uzaylar Çoklu Lineer Fonksiyonlar k-lineer Fonksiyonlar Üzerinde Permütasyon Hareketi Simetrik ve Alterne Operatörleri Tensör Çarpm D³ Çarpm D³ Çarpmn Birle³me Özelli i k-e³vektör Bazlar R n ÜZER NDE D FERANS YEL FORMLAR Diferansiyel 1-form, Bir fonksiyonun diferansiyeli Diferansiyel k-formlar D³ Türev (Exterior Derivation) Kapal Formlar ve Tam Formlar Vektör Analiz Uygulamalar Topolojik Manifoldlar Haritalar Smooth Manifold Manifold Üzerindeki Smooth Dönü³ümler Ksmi Türevler Ters Fonksiyon Teoremi

3 4.6 Bölüm Uzaylar Açk Denklik Ba nts Tanjant Uzay Bir Dönü³ümün Diferansiyeli Zincir Kural Tanjant Uzay Bazlar Bir Manifolda ait E ri E riler Kullanlarak Diferansiyel Hesab Rank, Kritik ve Regüler Nokta Alt Manifoldlar Fonksiyonu Sfrlayan Elemanlarn Kümesi Regüler Ters Görüntü Kümesi Teoremi C -Dönü³ümlerin Rank Sabit Rank Teoremi Batrma(Immersion) ve Daldrma(Submersion) C -Dönü³ümlerin Görüntüleri Alt Manifoldlar çine C -Dönü³ümler R 3 deki Yüzeylerin Te et Düzlemi YÜZEYLER Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces) Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces) Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces) YÜZEYLER N SINIFLANDIRILMASI Ba ntl Toplam(Connected Sum veya Topolojik Toplam) Kompakt Yüzeylerin Snandrlmas Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi Euler Karakteristi i Yüzeyler Cebiri Ekli Uzaylar Al³trmalar TOPOLOJ K GRUPLAR, GRUP HAREKET, L E GRU- PLARI Topolojik Gruplar Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar Lie Gruplar Lie Cebirleri Al³trmalar

4 8 S MPLEKSLER Ane Uzaylar Simpleksler Kompleksi S MPLEKSKER HOMOLOJ GRUPLARI Simpleksler Kompleksin Euler Karakteristi i Homoloji ve Simpleksler Dönü³ümü Lefschetz Sabit Nokta Teoremi Borsuk-Ulam Teoremi DÜ ÜM TEOR S Dü ümler, Zincirler, Diya ramlar Ambient zotopik Alexander Polinomu Skein Ba nts Jones Polinomu Aynalar VE Dü üm Kodlamas Dü üm Kodlamas Dü üm Toplamlar DNA'ya Ksa Bak³ Tangle Tangle ³lemleri Plat Tangle Denklemlerinin Çözümü Özel Bölgeli Rekombimasyon Tangle Modeli Örnek

5 ekil Listesi 5.1 Küre 0-kulpludur Tor 1-kulpludur kulplu g-kulplu RP 2 1-çapraz yüzeydir RP 2 # RP 2 Kb Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi Küpün üçgenle³tirilmesi Kürenin üçgenle³tirilmesi RP 2 # T RP 2 # RP RP 2 # RP 2 # RP S 1 #S Koni dönü³ümü Süspansiyon Silindir dönü³ümü trefoil dü ümü- sekiz dü ümü -kare dü ümü hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri uygun çaprazlama-kötü çaprazlama ve Dü ümsüz - Sol Trefoil - Sa Trefoil ekil-8 dü ümü ε = +1 ε = zincirleme says Tangle Örnekleri a.rasyonel b.a³ikar c.asal d.yerel Dü ümlenmi³ plat çizimi

6 Bölüm 1 EUCLID UZAYINDA DÜZGÜN (SMOOTH) FONKS YONLAR Tanm k negatif olmayan bir tamsay olsun. f : U R fonksiyonu j f tüm mertebeden j k için ksmi türevleri var ve bu ksmi x i1 x i2... x ij türevler p noktasnda sürekli ise f'ye p noktasnda C k fonksiyonu denir. E er f : U R k 0 için C k -fonksiyonu ise f'ye C -fonksiyonu denir. Örnek f (x) = 1 3 x 2 3, f : R R, x f(x) = x mertebeden türevi var fakat 0 noktasnda sürekli de il dolaysyla türev mevcut de ildir. f, C 0 -fonksiyonudur fakat C 1 -fonksiyonu de ildir. 2. g : R R, x g(x) = x 0 f(t)dt = x 0 t 1 3 dt g (x) = f(x) = x 1 3 g, C 1 -fonksiyonudur. 3. R üzerindeki polinom, sinüs, kosinüs, üstel fonksiyonlar C -fonksiyonudur. Tanm Bir fonksiyonu p noktasnn kom³ulu unda bu fonksiyonun Taylor serisine e³it ise (yani bir fonksiyon Taylor serisine açlabiliyorsa) f'ye (p R) p noktasnda analitiktir denir. Çok de i³kenli fonksiyonun Taylor serisi: f(x) = f(p) + i f (x i p i ) f (x i p i )(x j p j ) +... x i 2! x i,j i x j 5

7 Tek de i³kenli fonksiyonun Taylor serisi: f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 1 2! f (x 0 )(x x 0 ) Örnek i) Bir analitik fonksiyon C -fonksiyonudur çünkü yaknsak kuvvet serisi (yani Taylor serisi) terim terim türevlenebilirdir. 1. f(x) = sinx = x x3 3! + x5 5!... = ( 1) 2n+1 x 2n+1 (2n + 1)! n=0 2. g(x) = cosx = 1 x2 2! + x4 4!... = ( 1) 2n x2n (2n)! n=0 ii) C -fonksiyonu analitik olmak zorunda { de ildir. e 1 x, x > 0 f(x) = 0, x 0 f fonksiyonunun 0 noktasndaki türevleri f (k) (0) = 0 dr. Bu durumda f Taylor serisine e³it de ildir. Böylece f analitik de ildir. C -fonksiyonu Taylor serisine e³it olmad ndan C -fonksiyonlar için Taylor Teoremini ifade edelim. Tanm S R n ve p S olsun. Her x S için p'den x'e giden bir do ru parças S içinde kalyorsa S alt kümesine p noktasna göre yldz ³eklindedir (yldz konveks) denir. Lemma (Taylor Teoremi) f, R n e ait p noktasna göre yldz ³eklinde U açk alt kümesi üzerinde C -fonksiyonu olsun. O zaman n f(x) = f(p)+ g i (x)(x i p i ), (g i (p) = f(p) ) x i i=1 olacak ³ekilde p noktasnn kom³ulu unda C -fonksiyonu g i (x) vardr. 6

8 spat : U, p noktasna göre yldz ³eklinde bir açk altküme olsun. O zaman x U için, p + t(x p) U dur. t [0, 1] için f(p + t(x p)) nin ksmi türevini belirleyelim. t f(p + t(x p)) = i (x i p i ) f x i (p + t(x p)) 1 0 f(p + t(x p))dt = t 1 0 i (x i p i ) f x i (p + t(x p))dt f(x) f(p) = i 1 (x i p i ) 0 f(p + t(x p)) dt x i g i (x) = 1 olsun. g i (x), C -fonksiyonudur. 0 f x i (p + t(x p))dt f(x) f(p) = i (x i p i )g i f(x) = f(p) + i (x i p i )g i g i (p) = 1 Özel olarak x = 1 ve p = 0 olsun. 0 f(p) dt = f(p) x i x i f(x) = f(0) + x.f 1 (x) (f 1 C -fonksiyon) f i (x) = f i (0) + x.f i+1 (x) (f i, f i+1 C -fonksiyon) f(x) = f(0) + x.(f 1 (0) + x.f 2 (x)). = f(0) + x.f 1 (0) + x 2.f 2 (x) = f(0) + x.f 1 (0) + x 2.[f 2 (0) + x.f 3 (x)] = f(0) + x.f 1 (0) + x 2.f 2 (0) + x 3.f 3 (x) = f(0) + x.f 1 (0) + x 2.f 2 (0) x i.f i (0) + x i+1.f i+1 (x) 7

9 f k (0) = 1 k! f (k) (0) alrsak f fonksiyonunun Taylor serisini elde ederiz. ALI TIRMALAR 1. x = 0 noktasnda C 2 olan fakat C 3 olmayan bir h : R R fonksiyonu bulunuz. 2. f(x), R de f(x) = { e 1 x, x > 0 0, x 0 ³eklinde tanmlansn. a) x > 0 ve k 0 için tümevarmla y ekseninde 2k dereceli baz p 2k (y) polinomlar için f (k) (x) yani f in k. türevinin p 2k ( 1 x )e 1 x formunda oldu unu gösteriniz. b) f in R üzerinde C -fonksiyon oldu unu ve her k 0 için f (k) (0) = 0 oldu unu gösteriniz. 3. ( 1, 1) açk aral nn reel saylar kümesi R ye dieomork oldu unu gösteriniz. 4. f : R 2 R C -fonksiyon ise f(x, y) = f(0, 0)+ f f (0, 0)x+ x y (0, 0)y+x2 f 11 (x, y)+xyf 12 (x, y)+ y 2 f 22 (x, y) olacak ³ekilde R 2 de f 11, f 12 ve f 22 C -fonksiyonlarnn var oldu unu ispatlaynz. 5. f : R 2 R f(0, 0) = 0 olmak üzere f, C -fonksiyon olsun. f(t, tu), t 0 g(t, u) = t 0, t = 0 8

10 için g(t, u) nun C -fonksiyon oldu unu ispat- ile tanmlansn. (t, u) R 2 laynz. 6. f : R R, f(x) = x 3 ³eklinde tanmlansn. f in bijektif C - dönü³üm oldu unu fakat f 1 in C olmad n gösteriniz. 1.1 R n de Tanjant(Te et) Vektörleri R 3 de bir noktadaki vektörü cebirsel olarak v 1 v = v 2 v 3 veya geometrik olarak ³eklinde ifade etmekteyiz. Tanm p noktasndaki bir vektör, p noktasn içeren tanjant (te et) düzleminde bulunuyorsa bu vektöre bir yüzeyin p noktasnda tanjantdr (te etidir) denir. 9

11 1.2 Yönlü Türev T p (R n ), R n e ait p noktasndaki tanjant uzayn göstersin. T p (R n ) nin elemanlarna tanjant vektörü denir. Tanm p = (p 1, p 2,..., p n ) noktasndan geçen ve v = (v 1,..., v n ) vektörü do rultusundaki do runun parametrik denklemi c(t) = (p 1 + tv 1,..., p n + tv n ) olsun. f C -fonksiyonu ve v p'de tanjant vektörü olsun. D v f = lim t 0 f(c(t)) f(p) t ifadesine f'nin yönlü türevi denir. Zincir kuralndan, = d dt f(c(t)) t=0 D v f = n i=1 dc i (0). f (p) = dt x i n i=1 f x i (p)v i Tanm U, p noktasnn kom³ulu u ve f : U R C -fonksiyonu olsun. f W = g W olacak ³ekilde p W U V açk kümesi mevcut ise (f, U), (g, V )'ye denktir denir. Not Bu ba nt bir denklik ba ntsdr. Tanm (f, U) nun denklik snfna f'nin p noktasndaki germi denir. C p (R n ) C -fonksiyonu p noktasndaki tüm germlerin kümesini göstersin. Örnek f(x) = 1 + x + x 2 + x x, (x R {1}) ve g(x) = ( 1, 1) açk aral nda bu iki fonksiyon ayn germe sahiptir fakat bu aral n d³nda ayn germe sahip olamazlar. Tanm A, K cismi üzerinde bir vektör uzay olsun. A³a daki özellikleri sa layan µ : A A A, (a, b) µ(a, b) = a b i³lemi ile birlikte A'ya bir cebirdir denir. a, b, c A, r K, 1) (a b) c = a (b c) (birle³meli) 2) (a + b) c = a c + b c a (b + c) = a b + a c (da lmal) 3) r.(a b) = (ra) b = a (rb) 10

12 1.3 Türev Tanm V, W, K cismi üzerinde birer vektör uzay olsun. L : V W dönü³ümü a³a da verilen özellikleri sa lyorsa L'ye lineer dönü³üm denir. 1) u, v V için L(u + v) = L(u) + L(v) 2) u V, r K için L(ru) = rl(u) D v : Cp uzay) R, f D v (f) vektör uzay dönü³ümüdür. (C p, R :vektör D v lineer ve Leibniz kuraln sa lar. D v (f.g) = D v (f).g(p) + f(p)d v (g) Tanm Leibniz kuraln sa layan lineer dönü³üm D : Cp türev dönü³ümü denir. D p (R n ) ile gösterilir. R n ye D p (R n ) : türev dönü³ümlerinin kümesi vektör uzaydr. Ödev: C p un vektör uzay oldu unu gösteriniz. φ : T p (R n ) D p (R n ), v φ(v) = D v = i v i p x i D v lineer oldu undan φ de lineerdir. Teorem φ bir izomorzmdir. spat: v T p (R n ) için φ(v) = D v = 0 olsun. 0 = D v (x j ) = i φ injektiftir. D p noktasndaki türevi, (f, U) da C p p x j = v i δ j i x = v j v = 0 i i { δ j i = 1, i = j 0, i j v i 11 daki bir germi temsil etsin. Taylor

13 teoreminden, f(x) = f(p)+ n g i (x)(x i p i ), i=1 (g i (p) = f x i p ) olacak ³ekilde p noktasnn kom³ulu unda C -fonksiyonu g i (x) vardr. E³itli in her iki tarafna D dönü³ümünü uygulayalm. Df(x) = i Dx i g i (p) + i (p i p i )Dg i (x) = i Dx i f x i (p) Böylece D = D v ve v = (Dx 1, Dx 2,..., Dx n ) T p (R n ) bulunur. 1.4 Vektör Alanlar Tanm U, R n de açk alt küme olsun. U'daki her noktay T p (R n ) deki tanjant vektörüne X p e³leme yapan fonksiyona U üzerindeki vektör alan denir. Tanjant vektör uzaynn T p (R n ) nin bazlar { p } dir. Dolaysyla x i X p = a i (p) p x i ( ) p V olarak ifade edebiliriz. Tanm ( ) ifadesindeki katsay fonksiyonlar a i (p), U üzerinde C -fonksiyonu ise vektör alan X p, U üzerinde C -fonksiyonudur. Örnek p = (x, y) olsun. Vektör alan y X p = x2 + y. 2 x + x x2 + y. 2 y 1.5 Türev Cinsinden Vektör Alanlar U, R n de açk alt küme ve X de U üzerinde C -vektör alan olsun. Ayrca f, U üzerinde C -fonksiyonu olsun. Xf(p) = i a i (p) f(p) x i Xf = i 12 a i f x i

14 C (U) C (U), f Xf. Burada Xf, U üzerinde C -fonksiyonudur. Önerme X C -vektör alan, f, g C -fonksiyonu olsun. X(fg) = (Xf)g + f(xg) dir. spat : p U için X p Leibniz kuraln sa lar. X p (fg) = X p (f)g + fx p (g) U daki tüm p ler için söyleyebildi imiz için genel olarak yazabiliriz. X(fg) = X(f)g + fx(g) 1. X = x x + y y bir fonksiyon olsun. ALI TIRMALAR vektör alan ve f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R üzerinde Xf i hesaplaynz. 2. C p uzaynda toplama, çarpma ve skaler ile çarpma i³lemlerini tanmlaynz. Ayrca C p uzaynda toplama i³leminin de i³meli oldu unu ispatlaynz. 3. p R n noktas için D ve D türevler olsun ve c R (skaler) olsun. spatlaynz ki a) D + D toplam da p nin türevidir. b) cd skaler ile çarpm da p nin türevidir. 4. A bir K cismi üzerinde cebir olsun. D 1 ve D 2, A nn türevleri iken D 1 D 2 nin A nn bir türevi olmas gerekmedi ini ( D 1 = 0 veya D 2 = 0 iken D 1 D 2, A nn türevidir. ), fakat D 1 D 2 D 2 D 1 in her zaman A nn bir türevi oldu unu gösteriniz. 13

15 Bölüm 2 ALTERNE K-L NEER FONKS YON 2.1 Dual Uzaylar Tanm V, W R cismi üzerinde vektör uzay olmak üzere Hom(V, W ) = {f f : V W lineer} olsun. V nin duali V = Hom(V, R) = {f f : V R lineer} V n elemanlarna e³vektör (kovektör) denir. V sonlu boyutlu vektör uzay ve {e 1, e 2,..., e n } V 'de bir baz olsun. V 'deki her v eleman bu bazlarn lineer kombinasyonu olarak tek türlü ifade edilebilir. Yani n v = v i e i, v i R i=1 α i : V R, v α i (v) = v i α i (v) = α i ( j v j e j ) = j v j α i (e j ) α i (e j ) = { 1, i = j 0, i j Önerme α 1, α 2,..., α n V için bazdr. 14

16 n spat: f V ve v = v i e i V olsun. f(v) = f( i=1 n v i e i ) = i=1 f = α 1, α 2,..., α n V gerer. n v i f(e i ) = i=1 n f(e i )α i i=1 n c i R olmak üzere c i α i = 0 olsun. 0 = i=1 n c i α i (e j )α i = i=1 i=1 α 1, α 2,..., α n lineer ba mszdr. n c i δj i = c j n α i (v)f(e i ) i=1 j = 1,..., n Sonuç Sonlu boyutlu vektör uzaynn duali de sonludur. Örnek e 1, e 2,..., e n V vektör uzaynn baz olsun. v V tek türlü yazlr. Yani n v = b i (v).e i b i (v) R α 1, α 2,..., α n α i (v) = α i ( i=1 V n baz ve e 1, e 2,..., e n nin dual baz olsun. n b j (v).e j ) = j=1 n b i (v)α i (e j ) = j=1 n b i (v)δj i = b i (v) {b 1,..., b n } koordinat fonksiyonlar, {e 1,..., e n } bazna dualdir. 2.2 Çoklu Lineer Fonksiyonlar Tanm V k = V V... V (k-tane) olsun. f : V k R fonksiyonu a³a daki özellikleri sa lyorsa, f'ye k-lineer denir. f(v 1, v 2,..., av j + bω j, v j+1,..., v k ) = af(v 1, v 2,..., v j, v j+1,..., v k ) j=1 + bf(v 1, v 2,..., ω j, v j+1,..., v k ) V üzerindeki k-lineer fonksiyona ayn zamanda V üzerinde k-tensör de denir. L K (V ), V üzerindeki tüm k-tensörlerin vektör uzayn göstersin. 15

17 Tanm f : V k R k-lineer fonksiyon olsun. 1) Tüm σ S k (simetrik grup) için f(v σ(1), v σ(2),..., v σ(n) ) = f(v 1, v 2,..., v n ) e³itli i varsa, f'ye simetrik fonksiyon denir. 2) Tüm σ S k için f(v σ(1), v σ(2),..., v σ(n) ) = Sgn(σ)f(v 1, v 2,..., v n ) e³itli i varsa, f'ye alterne fonksiyon denir. Örnek ) f : R n R n R, (v, ω) f(v, ω) = v.ω = ³eklinde tanml fonksiyon simetriktir. n v i ω i i=1 2) f :R n R n... R n R (v 1, v 2,..., v n ) g(v 1, v 2,..., v n ) = det(v 1,..., v n ) ³eklinde tanml fonksiyon alternedir. 2.3 k-lineer Fonksiyonlar Üzerinde Permütasyon Hareketi f, V üzerinde k-lineer, σ S k olsun. (σ.f)(v 1, v 2,..., v k ) = f(v σ(1), v σ(2),..., v σ(k) ). Sonuç ) f simetriktir Tüm σ S k için σ.f = f 2) f alternedir Tüm σ S k için σ f = Sgn(σ)f. Lemma σ, τ S k ve f, V üzerinde k-lineer olsun. spat: τ (σ f) = (τσ)f. τ (σ f)(v 1, v 2,..., v k ) = σ f(v τ(1), v τ(2),..., v τ(k) ) = f(v τ(σ(1)), v τ(σ(2)),..., v τ(σ(k)) ) = (τσ) f(v 1, v 2,..., v k ). 16

18 Tanm G bir grup ve X bir küme olsun. G X X, (σ, x) σ x dönü³ümü a³a daki özellikleri sa lyorsa, G grubu X kümesi üzerinde soldan hareket ediyor denir. 1) Tüm τ, σ G ve x X için τ (σ x) = (τ σ) x 2) 1 G ve x X için 1 x = x 2.4 Simetrik ve Alterne Operatörleri Tanm f, V üzerinde k-lineer olsun. 1) Sf(v 1, v 2,..., v k ) = σf(v σ(1), v σ(2),..., v σ(k) ) ise S ye simetrik operatör σ S k denir. 2) Af(v 1, v 2,..., v k ) = Sgn(σ)σf(v 1, v 2,..., v k ) ise A ya alterne operatör σ S k denir. Önerme ) Sf 2) Af alternedir. simetriktir. spat: 1) Ödev 2) σ S k olsun. τ(af) = σ S k Sgn(σ) τ(σf) = σ S k Sgn(σ)(τσ)f = Sgn(τ) σ S k Sgn(σ)σf = Sgn(τ)Af Sonuç den Af alternedir. Lemma f, V üzerinde alterne k-lineer fonksiyon olsun. Af = k!f spat: Af = σ S k Sgn(σ)σf = σ S k Sgn(σ)Sgn(σ)f = k!f. 17

19 2.5 Tensör Çarpm f, V üzerinde k-lineer fonksiyon, g, V üzerinde l-lineer fonksiyon olsun. f ve g nin tensör çarpm (f g)(v 1,,..., v k+l ) = f(v 1, v 2,..., v k )f(v k+1, v k+2,..., v k+l ) ³eklinde tanmlanr. Örnek <, >: R n R n R, (v, ω) < v, ω >= < v, ω >= v = n v i e i ω = i=1 n v i ω i = i=1 2.6 D³ Çarpm n ω i e i i=1 n α i (v)α i (ω) = i=1 <, >= (α i α i ) i=1 n v i ω i i=1 n (α i α i )(v, ω) f ve g, V üzerinde çoklu lineer fonksiyonlar olsun. f A k (V ), g A l (V ) için f g = 1 A(f g) k!.l! ³eklinde tanmlanan çarpma d³ (wedge-exterior) çarpm denir. f g(v 1, v 2,..., v k, v k+1,..., v k+l ) = 1 k!.l! i=1 σ S k+l Sgn(σ) f(v σ(1),..., v σ(k) ) g(v σ(k+1),..., v σ(k+l) ) Önerme D³ çarpm de i³meli de ildir; yani f A k (V ), g A l (V ) için f g = ( 1) kl g f dir. spat: τ S k+l [ l l + 1 l l + k τ = k + 1 k k + l k ] 18

20 σ(1)+ = σ(τ(k + 1)) σ(2) = σ(τ(l + 2))... σ(k) = σ(τ(l + k)) (v 1,..., v k+l ) V olsun. A(f g)(v 1,..., v k+l ) = σ S k+l Sgn(σ) f(v σ(1),..., v σ(k) ) g(v σ(k+1),..., v σ(k+l) ) = σ S k+l Sgn(σ) f(v σ(τ(l+1)),..., v σ(τ(l+k)) ) g(v σ(τ(1)),..., v σ(τ(l)) ) = Sgn(τ) σ S k+l Sgn(σ) g(v στ(1),..., v στ(l) ) f(v στ(l+1),..., v στ(l+k) ) = Sgn(τ) A(g f) (v 1,..., v k+l ) f g = 1 1.A(f g) = Sgn(τ).A(g f) k!.l! k!.l! = 1 k!.l!.( 1)kl.A(g f) = ( 1) kl g f. Sonuç k tek say olmak üzere f, V üzerinde k-e³vektör ise f f = 0 dr. spat: f f = ( 1) k.k f f = f f 2f f = 0 f f = D³ Çarpmn Birle³me Özelli i Lemma f, V üzerinde k-lineer, g, V üzerinde l-lineer fonksiyonlar olsun. 1) A(A(f) g) = k!.a(f g) 2) A(f A(g)) = l!.a(f g) spat: Ödev. Önerme f, V üzerinde k-lineer, g, V üzerinde l-lineer ve h, V üzerinde m-lineer fonksiyonlar olsun. (f g) h = f (g h) 19

21 spat: 1 (f g) h = (k + l)!.m! A((f g) h) = 1 1 A(A(f g) h) (k + l)!.m! k!.l! 1 1 =.(k + l)! A((f g) h) (k + l)!.m! k!.l! 1 = A((f g) h) k!.l!.m! 1 f (g h) = k!.(l + m)! A(f (g h)) = 1 1 A(f (g h)) k!.(l + m)! l!.m! 1 1 = (l + m)! A(f (g h)) k!.(l + m)! l!.m! 1 = A(f (g h)) k!.l!.m! Tensör çarpm birle³meli oldu undan istenilen sonuç elde edilir. Sonuç Bir önceki önermenin hipotezi altnda dir. f g h = 1 k!.l!.m! A(f g h) Önerme α 1, α 2,..., α k, V üzerinde lineer ve v 1, v 2,..., v k V olsun. α 1 (v 1 ) α 1 (v 2 )... α 1 (v k ) α 2 (v 2 ) α 2 (v 2 )... α 2 (v k ) (α 1 α 2 α k )(v 1, v 2,..., v k ) = det[α i (v j )] = : : α k (v 1 ) α k (v 2 )... α k (v k ) spat: Bir önceki sonuçtan, (α 1 α 2... α k )(v 1, v 2,..., v k ) = A(α 1 α 2... α k )(v 1, v 2,..., v k ) = σ S k Sgn(σ)α 1 (v σ(1) )...α k (v σ(k) ) = det(α i (v j )). 20

22 2.8 k-e³vektör Bazlar {e 1, e 2,..., e n }, V vektör uzaynn baz ve {α 1,..., α n }, V e³vektör uzaynn baz olsun. Önerme I = (i 1,..., i k ) (i 1 < i 2 <... < i k ) indeks olmak üzere alterne k-lineer α I, A k (V ) uzay için bir bazdr. spat: c I R için c I α I = 0 olsun. 0 = c I α I (e j ) = c j j = 1, 2,..., k α I lineer ba mszdr. f A k (V ) olsun. f = f(e I )α I oldu unu gösterelim. g = f(e I )α I olsun. g(e j ) = f(e I ).α I (e j ) = f(e I ).δ I j = f(e j ) g = f = f(e I ).α I. ( n ) k boyut- Sonuç ) V n-boyutlu vektör uzay olsun. A k (V ) uzay ludur. 2) k > dimv ise A k (V ) = 0 dr. spat: 1) Ödev. 2) α i1 α i2... α ik daki en az iki çarpm ayn oldu undan α i1 α i2... α ik = 0. ALI TIRMALAR 1. Vektör uzay V üzerinde bir k-tensör ω nn alterne olmas için gerek ve yeter ko³ul ard³k herhangi iki vektör yer de i³tirdi i zaman olmasdr. Gösteriniz. ω(..., v i+1, v i,...) = ω(..., v i, v i+1,...) 2. Vektör uzay V üzerinde bir k-tensör ω nn alterne olmas için gerek ve yeter ³art v 1,..., v k vektörlerinden herhangi iki vektör birbirine e³it iken 21

23 ω(v 1,..., v k ) = 0 olmasdr. Gösteriniz. 3. V bir vektör uzay olsun. a, b R, f A k (V ) ve g A l (V ) için af bg = (ab)f g oldu unu gösteriniz. 4. ω, V vektör uzay üzerinde bir k-e³vektör olsun. V de, u j = k a ji v i, j = 1,..., k ³eklinde verilmi³ 2 tane u 1,..., u k ve v 1,..., v k vektörlerinin kümesini kabul edelim. A = [a ji ] k k matris olsun. oldu unu gösteriniz. ω(u 1,..., u k ) = (deta) ω(v 1,..., v k ) 5. α 1,..., α k ; V vektör uzaynda 1-e³vektörler olsun. α 1... α k 0 olmas için gerek ve yeter ³art V dual uzaynda α 1,..., α k vektörlerinin lineer ba msz olmasdr. Gösteriniz. 6. Sonlu boyutlu V vektör uzaynda, α sfrdan farkl bir 1-e³vektör ve w bir k-e³vektör olsun. α ω = 0 olmas için gerek ve yeter ³art τ, V de (k 1)-e³vektör olmak üzere ω = α τ olmasdr. Gösteriniz. j=1 22

24 Bölüm 3 R n ÜZER NDE D FERANS YEL FORMLAR Diferansiyel formlar, R 3 'deki vektör analiz teoremlerinin birle³tirilmesini sa layan bir yoldur. 3.1 Diferansiyel 1-form, Bir fonksiyonun diferansiyeli Tanm p noktasndaki R n nin kotanjant uzay T p (R n ) tanjant uzayn duali olarak tanmlanr ve T p (R n ) ile gösterilir. T p (R n ) nin eleman T p (R n ) tanjant uzay üzerindeki e³vektör veya lineer fonksiyoneldir. Tanm f : U R bir C -fonksiyonu olsun. p U, X p T p (U) için 1-form (df) p (X p ) = X p f ³eklinde tanmlanr. Önerme (x 1, x 2,..., x n ) R n de standart koordinatlar olsun. Her bir p R n noktasnda {(dx 1 ) p,..., (dx n ) p }, Tp (R n ) kotanjant uzay için bir bazdr. Ayn zamanda bu baz tanjant uzaynn baz olan { p,..., p } x 1 x n baznn dualidir. spat: (dx i ) p ( x j p ) = x j p x i = δ i j. Önerme f : U R, R n e ait U açk alt kümesi üzerinde C - fonksiyonu olsun. O zaman 23

25 df = i f x i dx i. spat: Bir önceki önermeden, (df) p = a i (p)(dx i ) p (a i (p), p noktasna ba l bir sabittir.) df = a i dx i df( x j ) = a i dx i ( x j ) = a i δ i j = a j Di er taraftan Dolaysyla df( x j ) = f x i df = i f x i dx i bulunur. Örnek X p T p (R n ) tanjant vektörü, standart bazlarn lineer kombinasyonudur. Yani X p = i b i (X p ) f x i p b i (X p ) = (dx i ) p (X p ) 3.2 Diferansiyel k-formlar Tanm R n nin açk alt kümesi U üzerinde k-formu U'daki p elemann, T p (R n ) tanjant vektör uzay üzerindeki alterne k-lineer fonksiyona e³leme yapan bir fonksiyondur. Yani ω p A k (T p (R n )) dir. Not A 1 (T p (R n )) = T p (R n ) oldu undan k-form, 1-formun genelle³tirilmi³idir. A k (T p (R n )) nin baz; 1 i 1 < i 2 <... < i k n ve a I : U R (katsay fonksiyonu) olmak üzere dx I p = dx i1 p... dx ik p ω p = a I (p)dx I (p) Tanm E er tüm katsay fonksiyonlar a I, U üzerinde C -fonksiyonu ise k-form ω, C snfndandr. Ω k (U) = U üzerindeki C k-formlarn olu³turdu u vektör uzaydr. 24

26 Not ) U üzerinde 0-form, U'daki her noktay, A 0 (T p (R n )) = R elemanna e³leme yapan bir dönü³ümdür. Yani 0-formlar, U üzerinde bir fonksiyondur. 2) Ω k (U), R üzerinde vektör uzaydr ve C (U) üzerinde de modüldür. 3) Ω (U) = n k=0 Ωk (U) R üzerinde bir cebirdir. Bu cebir birle³meli olup de i³meli de ildir. Örnek (x, y, z) R 3 olsun. R 3 üzerinde C 1-formlar C C olur. 2-formlar 3-formlar a(x, y, z)dx + b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz a(x, y, z)dy dz + b(x, y, z)dx dz + c(x, y, z)dx dy a(x, y, z)dx dy dz 3.3 D³ Türev (Exterior Derivation) Tanm Bir C -fonksiyonu f C (U) d³ türevi ³eklinde tanmlanr. Tanm ω = I dw = I Örnek ω, R 3 ω = fdx + gdy ise df = f x i dx i a I dx I Ω k (U) da I dx I = I J ise Ω 1 (U) ( a I x j ) dx I üzerinde 1-form olsun. Yani Ω k+1 (U). dw = df dx+dg dy = (f x dx+f y dy) dx+(g x dx+g y dy) dy = (g x f y )dx dy Tanm ) A, K cismi üzerinde bir cebir olsun. A = A k A l A k+l çarpm ile birlikte A'ya graded cebir denir. 2) A = k=0 Ak graded cebir olsun. D : A A k-lineer dönü³ümü D(ω.τ) = Dω.τ + ( 1) k ω.d(τ) k=0 Ak ve özelli ini sa lyorsa, anti türev dönü³ümü denir. (D : A k A k+m, D'nin derecesi m dir.) 25

27 Önerme i) d : Ω (U) Ω (U) 1. dereceden anti türev dönü³ümüdür. Yani d(ω τ) = dω τ + ( 1) deg(ω) ω dτ ii) d 2 = 0 iii) f C (U) ve X χ(u), df(x) = X(f). spat: i) ω = fdx I ve τ = gdx J olsun. d(ω τ) = d(fdx I gdx J ) = d(fgdx I dx J ) = fg x i dx i dx I dx J = f x i dx i dx I gdx J + f g x i dx i dx I dx J = dw τ + ( 1) k ω dτ ii) ω = fdx I olsun. d 2 (ω) = d 2 (fdx I ) = d(d(fdx I )) = d( f x i dx i dx I ) = i,j 2 f x i x j dx i dx j dx I i = j için dx i dx j = 0 oldu undan d 2 = 0 dr. i j için simetriktir. iii) X = a i olsun. x i df(x) = ( f dx j )( a i ) = f.a i = Xf. x j x i x i 2 f x i x j Önerme D : Ω (U) Ω (U) a³a daki özellikleri sa layan 1. dereceden antitürev ise D = d i) D 2 = 0 ii) f C (U) ve X χ(u), Df(X) = X(f) spat: U üzerindeki her k-form, fdx i1... dx ik gibi terimlerin toplam oldu undan k-form üzerinde D = d oldu unu göstermemiz yeterli olacaktr. D(fdx i1... dx ik ) = D(fDx i1... Dx ik ) = Df Dx i1... Dx ik = df dx i1... dx ik = d(fdx i1... dx ik ). 26

28 3.4 Kapal Formlar ve Tam Formlar Tanm ) ω, U üzerinde k-form olsun. dω = 0 ise ω'ya kapal form denir. 2) U üzerinde ω = dτ olacak ³ekilde (k 1)-form τ varsa, ω'ya tam form denir. Not Her tam form kapaldr çünkü d 2 = 0 dr. Tanm d k : V k V k+1 (d k+1 d k = 0) lineer dönü³ümleri ile birlikte (V k ) k=0 vektör uzay kolleksiyonuna diferansiyel kompleksi veya e³zincir kompleksi denir. Not U, R n de açk alt küme olsun. D³ türev d, Ω (U) vektör uzayn e³-zincir kompleksine dönü³türür. (k = 0,... d k : Ω k (U) Ω k+1 (U)) Bu e³-zincir kompleksine de Rham Kompleksi diyece iz. Ω 0 (U) Ω 1 (U)... d k 1 Ω k (U) d k Ω k+1 (U)... i) Kapal formlar, de Rham Kompleksi için Kerd'nin elemanlardr. ii) Tam formlar, de Rham Kompleksi için Imd'nin elemanlardr. De Rham kohomolojisi, H n (Ω (U)) = Kerd n Imd n Vektör Analiz Uygulamalar Diferansiyel form teorisi, R 3 üzerindeki vektör analizine ait teoremleri tek çat altnda toplar. Vektör de erli fonksiyon ayn zamanda vektör alandr. {Skaler de erli fonksiyonlar} Grad {Vektör de erli fonksiyonlar} {Vektör de erli fonksiyonlar} Curl {Vektör de erli fonksiyonlar} {Vektör de erli fonksiyonlar} Div {Skaler de erli fonksiyonlar} f x Gradf = f y f z P x Curlf = Q = P R y Q z R y Q = (R x P z ) = x y z R Q x P y P Q R z 27

29 div P Q R = P x + Q y + R z Önerme ) Curl(gradf) = 0. 2) div(curl P Q R ) = 0. 3) Bir vektör alan F, bir skaler de erli fonksiyon f nin gradyantdr. Yani üzerindeki her 1-form dx, dy, dz nin lineer kombinasy- P P dx + Qdy + Rdz Q R Not ) R 3 onudur. Yani F = grad(f) Curl(F ) = 0. 2) Benzer ³ekilde R 3 üzerindeki 2-formlar P dy dz + Qdz dx + Rdx dy P Q R 3) 0-form f'nin d³ türevi df = f x dx + f y dy + f z dz = Gradf 4) 1-formun d³ türevi d(p dx+qdy+rdz) = (R y Q z )dy dz (R x P z )dz dx+(q x P y )dx dy P R y Q z Curl Q = (R x P z ) R Q x P y 5) 2-formun d³ türevi d(p dy dz + Qdz dx + Rdx dy) = (P x + Q y + R z )dx dy dz P div Q = P x + Q y + R z R 28

30 Not R 3 üzerindeki < P, Q, R > vektör alannn C -fonksiyon f'nin gradyenti olmas için gerek ve yeter ³art df = P d x + Qd y + Rd z olmasdr. Örnek U = R 3 {z-ekseni} F =< y x 2 + y, x 2 x 2 + y, 0 > 2 CurlF = 0 fakat F, U üzerindeki C -fonksiyon f'nin gradyenti de ildir. Yani F Gradf. y x 2 + y dx + x 2 x 2 + y dy = 0 2 C C = {(x, y) R 2 x = cos t y = sin t 0 t 2π} C ydx + xdy = = 2π 0 2π 0 sin td(cos t) + cos td(sin t) = dt = 2π 2π 0 (sin 2 t + cos 2 t)dt 1-form ω = y x 2 + y dx + x dy kapal fakat tam de ildir. dω = 0 2 x 2 + y2 ω = dτ olacak ³ekilde bir τ yoktur. Tanm H k U daki kapali k formlar (U) = U daki tam k formlar ³eklinde tanmlanan ifadeye U'nun de Rham kohomolojisi denir. ALI TIRMALAR 1. w = zdx dz 1-form ve X = y x + x y, w(x) ve dw yi hesaplaynz. R3 de vektör alan olsun. 29

31 2. R 2 de standart koordinatlar r ve θ olsun. x = r. cos θ ve y = r. sin θ dx, dy, dx dy =? 3. α, R 3 de 1-form; β, R 3 de 2-form olsun. O zaman α = a 1 dx 1 + a 2 dx 2 + a 3 dx 3 β = b 1 dx 2 dx 3 + b 2 dx 3 dx 1 + b 3 dx 1 dx 2 oldu unu gösteriniz. Ayrca α β hesaplaynz. 4. R 3 deki α = a 1 dx+a 2 dy+a 3 dz 1-e³vektörünü V α =< a 1, a 2, a 3 > ³eklinde gösterebiliriz. Yine R 3 deki γ = c 1 dy dz+c 2 dz dx+c 3 dx dy 2-e³vektörünü V γ =< c 1, c 2, c 3 > olarak gösterebiliriz. O halde, α = a 1 dx + a 2 dy + a 3 dz ve β = b 1 dx + b 2 dy + b 3 dz V α β = V α V β e³itli inin gerçeklendi ini gösteriniz. 5. V vektör uzaynda w bir k-e³vektör ve v V, v ile w nn iç çarpm ise ı v w ³eklinde tanml (ı v w)(v 2,..., v k ) = w(v, v 2,..., v k ) her v 2,..., v k V (k 1)-e³vektördür. E er α 1,..., α k V de 1-e³vektörler ise ispatlaynz ki ı v (α 1... α k ) =... α i... α k dr. k ( 1) i+1 α i (v)α 1 i=1 Burada α i nin anlam α i nin d³ çarpma dahil edilmemesidir sorudaki ayn ³artlar sa lanmak üzere ispatlaynz ki, a) ı v ı v = 0 b) w A k (V ) ve τ A l (V ) için ı v τ = ı v τ + ( 1) k w ı τ dr. 30

32 Bölüm 4 Topolojik Manifoldlar Tanm M topolojik uzay a³a daki özellikleri sa lyorsa M'ye topolojik manifold denir. 1) M Hausdor 2) kinci saylabilir uzay 3) R n nin açk alt kümesine homeomorf olacak ³ekilde her p M noktasnn U kom³ulu u vardr. Örnek ) R n nin her açk alt kümesi bir manifolddur. 2) G = {(x, y) R 2 y = x 2 3 } R 2 kümesi bir topolojik manifolddur. 3) M = R {0} {0} R topolojik manifold de ildir. M eksenlerdir. 4) S n, n-manifolddur.(hem ba lantl hem kompakt) 5) Kb, Mb, T or, RP 2, S 2, 2-manifolddur. M, Hausdor ve ikinci saylabilir uzaydr çünkü R 2 Hausdor ve ikinci 31

33 saylabilir uzay olup bunlar kaltsal özelliklerdir. Fakat R 2 nin açklar homeomorf de ildir. Özellikler M deki açklar ile 1. Bir n-manifoldun açk alt kümesi bir n-manifolddur. 2. M m-manifold ve N n-manifold ise M N (m + n)-manifolddur. 3. Bir n-manifold ya ba lantl ya da ba lantsz, ya kompakt ya da kompakt de ildir. 4. Her n-manifold yerel kompakttr. 4.1 Haritalar Tanm Bir topolojik manifolduna ait (U, φ) ikilisine bir harita veya koordinat kom³ulu u veya koordinat sistemi denir. Bir topolojik manifoldunun (U, φ) ve (V, ψ) gibi iki tane haritas olsun. E er ψ φ 1 : φ(u V ) ψ(u V ) φ ψ 1 : ψ(u V ) φ(u V ) dönü³ümleri C -fonksiyonu ise bu iki harita C -uyumludur denir. φ, ψ fonksiyonlarna transitive fonksiyonlar denir. Tanm M yerel Euclid uzay olsun. M üzerindeki C -atlas M = U α olacak ³ekilde C -haritalar kolleksiyonudur. Yani {(U α, φ α )}. α Not C -uyumlu haritalar, yansmal, simetrik fakat geçi³meli de ildir. Lemma {(U α, φ α )}, yerel Euclid uzay üzerinde atlas olsun. ki harita (V, ψ), (W, σ) ({(U α, φ α )}) atlasna göre uyumlu ise her ikisi birbirine uyumludur. 32

34 4.2 Smooth Manifold Tanm M bir topolojik manifold olsun. Maksimum atlas ile birlikte M manifolduna smooth veya C -manifoldu denir. Maksimum atlasa M manifoldu üzerindeki diferansiyellenebilir yap denir. Not M manifoldunun C olmas için gerek ve yeter ³art M nin Hausdor, ikinci saylabilir ve C -atlasa sahip olmasdr. Örnek ) R n bir smooth manifolddur. 2) Bir M manifoldunun V açk alt kümesi smooth manifolddur. 3) U R n açk f : U R n C -fonksiyonu G f = {(x, f(x)) U R m φ : G f U, (x, f(x)) x 1 f : U G f, x (x, f(x)) φ ve 1 f süreklidir. G f bir smooth manifolddur. 4) GL(n, R) = {A R n2 deta 0} det : R n2 R süreklidir. GL(n, R) de R n2 de açk alt küme oldu undan (2) den GL(n, R) bir smooth manifolddur. 5) S 1 = {(x, y) R 2 x 2 +y 2 = 1} birim çemberi de bir smooth manifolddur. 6) M ve N smooth manifold ise M N de smooth manifolddur. 1. ALI TIRMALAR R 3 deki saçl kürenin q da yerel Öklid olmad n gösteriniz. Böylece saçl küre topolojik manifold olamaz. 2. M bir topolojik m-manifold, N bir topolojik n-manifold ise gösteriniz ki M N de topolojik (m + n)-manifolddur. 4.3 Manifold Üzerindeki Smooth Dönü³ümler Tanm M bir smooth manifold olsun. f : M R bir dönü³üm ve p M olsun. R n nin açk alt kümesi φ(u) üzerinde tanml olan f φ 1 33

35 dönü³ümü φ(p) noktasnda C -fonksiyonu olacak ³ekilde M'nin atlasna ait (U, φ) haritas varsa, f'ye p noktasnda C veya smooth dönü³üm denir. f, M'nin her noktasnda C -fonksiyonu ise f, M üzerinde C - fonksiyonudur denir. Tanm F : N M bir dönü³üm ve h, M üzerinde bir fonksiyon olsun. h'nin F tarafndan geri çekilim (pull back) dönü³ümü h F 'dir. Tanm N, n-boyutlu ve M m-boyutlu manifold olsun. Ayrca F : N M ve p N olsun. ψ φ 1 : R n R m dönü³ümü φ(p) noktasnda C -fonksiyonu olacak ³ekilde N'de (U, φ) haritas ve M'de (V, ψ) haritas varsa, F 'ye p N noktasnda C -dönü³ümüdür denir. Tanm ) F : N M dönü³ümü N'nin her noktasnda C - dönü³ümü ise F 'ye N üzerinde C -dönü³ümü denir. 2) F : N M bijektif, kendisi ve tersi C -dönü³ümü ise F 'ye dieomorzmdir denir. 34

36 Önerme ) F : N M ve G : M P C -dönü³ümleri ise G F : N P C -dönü³ümdür. 2) U, M manifoldun açk alt kümesi olsun. F : U F (U) R n dieomorzm ise (U, F ), M'nin bir atlasnda haritadr. 4.4 Ksmi Türevler Tanm (U, φ) bir harita, f, m-boyutlu M manifoldu üzerinde C -fonksiyonu olsun. f'nin ksmi türevi; p f = f (p) = (f φ 1 ) (φ(p)) x i x i r i r i ler standart koordinatlar ve φ'nin n bile³eni (x 1,..., x n ) e sahiptir. Önerme (U, (x 1,..., x n )) bir M manifoldu üzerinde harita olsun. x i = δj i dir. x j spat: p U olsun. x i x j (p) = r j φ(p) x i φ 1 = r j φ(p) (r i φ) φ 1 = r j φ(p) r i = δ i j. ALI TIRMALAR 1. R n de her U aç topolojik n-manifolddur. Gösteriniz. 2. Birinci sorudan hareketle bir topolojik n-manifoldun her açk altkümesi de (alt uzay topolojisine göre) topolojik n-manifold olabilir mi? Yorumlaynz. 3. S 2 topolojik 2-manifold dur. Gösteriniz. 4. S 1 topolojik 1-manifolddur. Gösteriniz. 5. X topolojik uzay kompakt, Hausdor ve yerel homeomork ise X uzaynn saylabilir baz vardr (yani X ikinci saylabilir uzaydr). Gösteriniz. Buradan hareketle I = [0, 1] kapal aral topolojik 1-manifold olabilir mi? Yorumlaynz. 35

37 6. M bir topolojik m-manifold, N bir topolojik n- manifold ise gösteriniz ki M N de topolojik (m + n) - manifolddur. (Yani manifoldlarn kartezyen çarpm da manifolddur). 7. X = S 1 I silindirin topolojik 2 -manifold oldu unu gösteriniz. (Yol gösterme : 4,5,6 nc sorulardan yararlannz.) 8. RP 2 reel projektif düzleminin topolojik 2-manifold oldu unu gösteriniz. 9. S 2 diferensiyellenebilir manifolddur. Gösteriniz. 10. RP 1 ve S 1 dieomork midirler? Açklaynz. (yol gösterme : e iθ [e i θ 2 ] ) 4.5 Ters Fonksiyon Teoremi U, R n nin açk alt kümesi olsun. f = (f 1,..., f n ) : U R n U'dan R n nin bir açk alt kümesine dieomorzm olsun. (U, f), R n deki diferansiyellenebilir yapy tayin eden maximal atlasn elemandr. Tanm U, R n nin açk alt kümesi f = (f 1,..., f n ) : U R n smooth dönü³üm olsun. p noktasnn kom³ulu unda f'nin smooth tersi varsa, f'ye p U'da yerel tersinirdir denir. Ksmi türevler f i r j matrisine f'nin Jacobien matrisi denir. Teorem (Ters Fonksiyon Teoremi): f : W R n, R nin açk alt kümesi W üzerinde tanml ve C -dönü³üm olsun. p W için f'nin, p noktasnda yerel tersinir olmas için gerek ve yeter ³art Jacobien determinantnn sfrdan farkl olmasdr. ALI TIRMALAR 1. F : M N dönü³ümünün p N de C oldu unu kabul edelim. (U, φ ) N nin bir atlasndaki p yi içeren herhangi bir harita ve (V, ψ ) M nin bir atlasndaki F (p) yi içeren herhangi bir harita ise o zaman ψ F (φ ) 1 in φ (p) de C oldu unu gösteriniz. 2. F : N M ve G : M P C -dönü³ümler ise G F : N P bile³kesinin de C -dönü³üm oldu unu ispatlaynz. 3. M, m-boyutlu N, n-boyutlu manifold olmak üzere f : M N 36

38 dönü³ümünün C -dönü³ümü olmas için gerek ve yeter ³art M nin atlasndaki her (U, φ) haritas ve N nin atlasndaki her (V, ψ) haritas için ψ f φ 1 bile³kesinin φ(f 1 (V ) U) üzerinde C -dönü³ümü olmasdr. Gösteriniz. 4. f : M R dönü³ümünün C -dönü³ümü olmas için gerek ve yeter ³art M nin atlasndaki her (U, φ) haritas için f φ 1 fonksiyonunun φ(u) üzerinde C -dönü³ümü olmasdr. Gösteriniz. 5. GL(n, R) = {A R n n deta 0} ³eklinde tanmlanan genel lineer grup GL(n, R) nin matris çarpm altnda bir Lie grup oldu unu gösteriniz. 4.6 Bölüm Uzaylar, S üzerinde bir denklik ba nts olsun. π : S S/ x [x] U nun S/ da açk olmas için gerek ve yeter ³art π 1 (U) nun S'de açk olmasdr. τ = {U S/ π 1 (U), S de açk} τ, S/ üzerinde bir topolojidir. (S/, τ) ya bölüm topolojik uzay denir. f([p]) = f(p) Önerme f : S/ Y sürekli f : S Y süreklidir. spat: ( ) f sürekli olsun. f = f π ve π ile f sürekli oldu undan f süreklidir. ( ) f sürekli olsun. V Y açk olsun. f 1 (V ), S de açktr. f 1 (V ) = π 1 f 1 (V ) = π 1 ( f 1 (V )) 37

39 π bölüm dönü³ümü oldu undan f 1 (V ) açktr. O halde f süreklidir. Önerme f : I/ S 1 fonksiyonu homeomorzmadr. spat: S 1 R 2 Hausdor uzaydr. I = [0, 1] kompakttr. Kompakt uzaylarn sürekli bir fonksiyon altndaki görüntüsü kompakttr. Yani I/ kompakttr. f : I S 1 x f(x) = e 2πix f([x]) = f(x) ³eklinde tanmlansn. f nin bijektif oldu u açktr. Önerme S/ Hausdor ise p S noktasnn denklik snf [p] S'de kapaldr. 4.7 Açk Denklik Ba nts Tanm π : S S/ dönü³ümü açk ise S üzerindeki ba nts açktr denir. Not S üzerindeki denklik ba ntsnn açk olmas için gerek ve yeter ³art S üzerindeki U aç için π 1 (π(u)) = x U[x] kümesinin açk olmasdr. Örnek π : R R/ ( 1 1) dönü³ümü açk dönü³üm de ildir. V = ( 2, 0), R'de açktr. π 1 (π(v )) = ( 2, 0) { 1} R'de açk de ildir. Teorem , S üzerinde açk denklik ba nts olsun. S/ Hausdortur denklik ba ntsnn gra i G S S'de kapaldr. spat: ( ) S/ Hausdor olsun. G, S S'de kapal oldu unu gösterece iz. Yani S S G nn açk oldu unu göstermemiz yeterlidir. (x, y) S S G olsun. x y yani [x] [y] dir. S/ Hausdor oldu undan U [x] V [y] = olacak ³ekilde [x]'in U [x] ve [y]'nin V [y] aç vardr. π 1 (U [x] ) = U π 1 (V [y] ) = V U V açktr. S S G açktr. G kapaldr. ( ) G kapal olsun. Yani S S G açktr. O zaman (x, y) S S G 38

40 için (x, y) U V var öyleki U V S S G dr. U'nun hiçbir eleman, V 'nin elemanna denk de ildir. Yani π(u) π(v ) =. π(u) ve π(v ), S/ 'da açk çünkü π bölüm dönü³ümü [x] [y] dir. [x] U [x] = π(u) ve [y] V [y] = π(v ) ve U [x] V [y] = S/ Hausdortur. Teorem , S üzerinde açk denklik ba nts olsun. Ayrca π : S S/ bölüm dönü³ümü olsun. β = {B α }, S'nin baz ise {π(b α )}, S/ nn bazdr. Sonuç , ikinci saylabilir uzay S üzerinde açk denklik ba nts ise S/ da ikinci saylabilir uzaydr. ALI TIRMALAR 1. F : R 2 R 3 dönü³ümü (u, v, ω) = F (x, y) = (x, y, xy) ³eklinde tanml dönü³üm olsun. F ( y ) de erini u, v ve nin lineer kombinasyonu ω olarak hesaplaynz. 2. α sabit bir reel say olsun ve F : R 2 R 2 [ ] [ ] u cos α sin α = (u, v) = F (x, y) = = v sin α cos α ³eklinde tanmlansn. X = y x + x y, R2 üzerinde vektör alan olsun. F (X) = a u + b v ise a ve b yi; x, y ve α l terimler ³eklinde bulunuz. 3. x ve y, R 2 de standart koordinatlar ve U = R 2 {(x, 0) : x 0} açk küme olsun. U nun kutup koordinatlar x = r cos θ y = r sin θ, r > 0, 0 < θ < 2π için r ve θ y; x ve y cinsinden yaznz. 4. p = (x, y) R 2 de bir nokta olsun. O zaman [ ] [ cos 2t sin 2t x c p (t) = sin 2t cos 2t y 39 ], t R [ u v ]

41 R 2 de ba³langç noktal bir e ridir. c p(0) hz vektörünü hesaplaynz. 4.8 Tanjant Uzay R n de verilen bir noktadaki tanjant vektörünü tanmlam³tk. imdi daha genelini tanmlayaca z. Tanm M manifoldunun p noktasndaki tanjant vektörü, D(f.g) = Df.g + f.dg olacak ³ekilde D : C p R lineer dönü³ümüdür. p M deki tanjant vektörlerin olu³turdu u uzaya da tanjant vektör uzay denir. T p (M) ile gösterilir. Not U, p M noktasn içeren bir açk alt küme olsun. U'daki C -fonksiyonlarn germ cebiri C p (U) ile C p (M) ayndr. 4.9 Bir Dönü³ümün Diferansiyeli f : N M C -dönü³ümü olsun. F, p N noktasnda tanjant uzaylar lineer dönü³üm üretir. F p noktasndaki tanjant vektör F : T p (N) T F (p) (M), X p F (X p ) X p T p (N) ise F (T p (N)), T F (p) (M)'de tanjant vektörüdür. Örnek F : R n R m, bazlar y 1,..., y m dir. R n nin bazlar,..., ve R m nin x 1 x n F : T p (R n ) T F (p) (R m ), p F ( p ) = a k j F (p) x i x i y k 40

42 F i = y i F olsun. x j p y i F = F i x j (p) = F ( x i p ) = a k j y k F (p) = a k j y k F (p) y i = a k j δ i k = a i j Bu da F 'nin p noktasndaki türev Jacobien matrisidir. Böylece manifoldlar arasndaki dönü³ümlerin türevi, Euclid uzaylar arasndaki dönü³ümler türevinin genelle³tirilmi³idir Zincir Kural F : N M ve G : M P C -dönü³ümleri ve p N olsun. T p (N) F T F (p) (M) G T G F (p) (P ) Önerme F : N M ve G : M P C -dönü³ümleri ve p N olsun. O zaman (G F ) = G F dir. spat: G F : N P (G F ) : T p (N) T G F (p) (P ), X p (G F ) (X p )(f) = X p (f G F ) X p T p (N) ve f, G(F (p)) noktasnda C -fonksiyon olsun. (G F ) (X p )(f) = X p (f G F ) (G F )(X p )(f) = G (F (X p ))(f) = F (X p )(f G) = X p (f G F ) Not M : M M birim dönü³ümün diferansiyeli 1 Tp(M) : T p M T p M birim dönü³ümüdür. Çünkü dir. (1 M ) (X p )f = X p (f 1 M ) = X p f Sonuç F : N M dieomorzm ve p M olsun. vektör uzay izomorzmasdr. F : T p (N) T F (p) M 41

43 spat: F : N M dieomorzm olsun. O zaman G F = 1 N ve F G = 1 M olacak ³ekilde G : M N diferansiyellenebilir C -dönü³ümü vardr. (G F ) = (1 N ) G F = 1 TpN F injektiftir. (F G) = (1 M ) F G = 1 TF (p) M F sürjektiftir. Sonuç U R n aç V R m aç na dieomork ise n = m dir. spat: F : U R n V R m dieomorzm olsun. Bir önceki sonuçtan F : T p U T F (p) V izomorzmdir. Daha önceden biliyoruz ki T p U R n ve T F (p) V R m dir. Dolaysyla boyut(r n ) = boyut(r m ) n = m Tanjant Uzay Bazlar (U, φ), p M noktasnn koordinat kom³ulu u olsun. p f = φ(p) f φ 1 x i r i R φ : U R n dieomorzm oldu undan φ : T p U T p M T φ(p) R n izomorzmadr. Önerme (U, φ), p M noktasnn haritas olsun. φ ( p ) = φ(p) x i r i dir. spat: f Cφ(p) (R) olsun. φ ( x i p )(f) = (f φ) = φ(p) f φ φ 1 = φ(p) (f). x i r i r i Yani sonuç olarak φ ( p ) = φ(p) dir. x i r i Önerme (U, φ), p noktasn içeren bir harita olsun. T p M uzaynn, formunda bazlar vardr. x 1 p, x 2 p,..., 42 x n p tanjant

44 4.12 Bir Manifolda ait E ri Tanm Bir manifolda ait C -e risi c : (a, b) M C -fonksiyondur. c e risinin t (a, b) zamanndaki hz vektörü c (t) = dc dt (t) = c ( d t ) T c (t) M. Örnek c : R R 2, t c(t) = (t 2, t 3 ) c (t) = a. x + b. y a = (a. x +b. y ).x = c (t).x a = c ( d dt )x = d dt (x c) = d dt (t2 ) = 2t b = (a. x +b. y ).y = c (t).y b = c ( d dt )y = d dt (y c) = d dt (t3 ) = 3t 2 bulunur. c (t) = 2t. x + 3t2. y Önerme c : (a, b) M bir e ri (U, x 1,..., x n ) c(t) civarnda bir harita olsun. O zaman n c (t) = (c j ) (t) p. x j Böylece T c(t) j=1 uzaynn { p } bazna göre hz vektörü x j c 1(t) c 2(t) c (t) = : : c n(t) sütun vektörü ile ifade edilir E riler Kullanlarak Diferansiyel Hesab Önerme F : N M C -dönü³üm, p N ve X p T p N olsun. c, p N de ba³layp (c(0) = p) ve ba³langç noktasndaki hz vektörü X p olan bir e ri ise F,p (X p ) = d dt 0 F c(t) 43

45 dir. spat: c, c(0) = p ve c (0) = X p özelliklerine sahip olsun. F,p : T p N T F (p) M, X p F,p (X p ) F,p (X p ) = F,p (c (0)) = F,p c,p ( d dt 0) = (F c),p ( d dt 0) = d dt 0(F c(t)). Örnek g, GL(n, R)'de bir matris ve L g : GL(n, R) GL(n, R), B L g (B) = gb olsun. GL(n, R), R n2 nin açk altkümesi oldu undan, T g (GL(n, R) R n2 dir. X T I (GL(n, R) = R n2 için (l g ),I (X) = d dt 0 l g c(t) = d dt 0 g(c(t)) = gc (t) = gx Rank, Kritik ve Regüler Nokta Tanm V, W sonlu vektör uzaylar olmak üzere L : V W dönü³ümünün rank L(V ) alt uzaynn boyutudur. Not L, V ve W 'nn bazlarna göre A matrisi ile ifade edilirse L'nin rank A'nn rank ile ayndr. Çünkü L(V ), A'nn sütun uzaydr. Tanm f : N M C -dönü³üm olsun. f'nin p noktasndaki rank f,p : T p N T f(p) M diferansiyelinin rankdr. Not ) Diferansiyel Jacobien matrisi ile ifade edildi inden f 1 f 1 p... p x 1 x n : : rkf(p) = rk : : f n f n p... p x n x n 2) Bir dönü³ümün diferansiyeli koordinat haritasndan ba msz oldu undan rank da ba mszdr. 44

46 Tanm ) f,p : T p N T f(p) M diferansiyeli sürjektif de ilse, p noktas f'nin kritik noktasdr. 2) f,p diferansiyeli sürjektif ise p noktas f'nin regüler noktasdr. 3) p noktas kritik noktann görüntüsü ise p'ye kritik de er denir. Di er halde p'ye regüler de er denir. Önerme f : M R reel de erli fonksiyon olsun. p M olsun. p nin kritik nokta olmas için gerek ve yeter ³art p'yi içeren (U, x 1,..., x n ) haritasna göre tüm ksmi türevlerin f (p) = 0 j = 1,..., n olmasdr. x j spat: f,p : T p N T f(p) R R diferansiyeli [ ] f f... x 1 x n matrisi ile ifade edilir. f,p nin görüntüsü R'nin lineer alt uzaydr. Dolaysyla f,p nin boyutu sfr veya birdir. Bir ba³ka deyi³le f,p sfr veya sürjektif dönü³ümüdür. f,p sürjektif olamaz tüm türevler f x i (p) = 0 ALI TIRMALAR 1. f : R 2 R, (x, y) f(x, y) = x 3 6xy + y 2 Hangi c de erleri için f 1 (c), R 2 nin regüler alt manifoldudur? 2. x, y, z, w; R 4 de standart koordinatlar olsun. R 4 de x 5 + y 5 + z 5 + w 5 = 1 denkleminin çözüm kümesi bir manifold mudur? Açklaynz. 3. x 3 + y 3 + z 3 = 1 ve z = xy denklem sisteminin çözüm kümesi R 3 de bir C manifold mudur? Açklaynz. 4. f : R 2 R smooth fonksiyonunun G(f) = {(x, y, f(x, y)) R 3 } gra inin R 3 ün bir regüler alt manifoldu oldu unu gösteriniz. 45

47 4.15 Alt Manifoldlar Bu bölümde bir manifoldun regüler alt manifoldunu tantaca z. Ayrca Ters Fonksiyon Teoreminden, manifoldlar arasndaki C -dönü³ümü altnda ters görüntü kümesinin regüler alt manifold oldu unu belirleyen kriterleri vermektedir. Tanm N bir manifold olmak üzere S, N'nin bir alt kümesi olsun. Her p S için, U V koordinat fonksiyonlarnn (n k) snn yok olmas ile tanmlanacak ³ekilde N nin atlasna ait p noktasnn (U, φ) koordinat kom³ulu u varsa, S alt kümesine k boyutlu regüler alt manifold denir. Burada (n k) koordinat fonksiyonlarnn x k+1, x k+2,..., x n oldu u bilinmelidir. N'deki bu tür haritaya S'ye göre adopte edilmi³ harita denir. U S üzerinde φ = (x 1, x 2,..., x k, 0, 0,..., 0) dr. φ S : U S R k φ S = φ U S = (x 1, x 2,..., x k ) Tanm S, n-boyutlu N manifoldunun k-boyutlu regüler alt manifoldu olsun. (n k)'ya N'deki S'nin e³-boyutu denir. Not ) Topolojik uzay olarak, N'nin regüler alt manifoldunun alt uzay topolojisine sahip olmas istenilir. 2) Alt Manifold ifadesi daima regüler alt manifold anlamnda olacaktr. Örnek S = ( 1, 1) xy-düzleminde (R 2 ) regüler alt manifolddur. U = ( 1, 1) ( 1, 1) U S = S (U, φ) S'ye göre adopte edilmi³ haritadr. V = ( 2, 0) ( 1, 1) 46

48 (V, ψ) S'ye göre adopte edilmi³ harita de ildir. Örnek Γ = {(x, y) R 2 y = sin( 1 ) x ve 0 < x < 1} I = {(0, y) R 2 1 < y < 1} S = Γ I olup S, R 2 nin regüler alt manifoldu de ildir. Çünkü p I noktasn içeren adopte edilmi³ harita yoktur. p noktasnn yeterince küçük U kom³ulu u sonsuz çoklukta S ile kesi³ir. (1, sin 1), (0, 1), (0, 1) uç noktalarnda U, S'den farkldr. Önerme S, N manifoldunun regüler alt manifoldu ve U = {(U, φ)}, S'yi örten N'nin adopte edilmi³ kolleksiyonu olsun. O zaman {(U S, φ S )} S için bir atlastr. Dolaysyla regüler alt manifoldu bir manifolddur. E er N, n-boyutlu ve S'de n k koordinatlar yok edilerek tanmlanm³ ise dims = k dr. spat: (U, φ) = (U, x 1,..., x n ) (V, ψ) = (V, y 1,..., y n ) adopte edilmi³ iki harita olsun. Bu iki haritann kesi³ti ini varsayalm. p U V S için φ(p) = (x 1, x 2,..., x k, 0,..., 0) ψ(p) = (y 1, y 2,..., y k, 0,..., 0) 47

49 Yani Dolaysyla φ S (p) = (x 1, x 2,..., x k ) ψ S (p) = (y 1, y 2,..., y k ) ψ S (φ S ) 1 = (x 1, x 2,..., x k ) = (y 1, y 2,..., y k ) (y 1, y 2,..., y k ) C -fonksiyonlar oldu undan ψ S φ 1 S C -fonksiyonudur. Böylece {(U S, φ S )} atlasndaki iki harita C -uyumludur. {U S} U U, S'nin açk örtüsü oldu undan {(U S, φ S )}, S'nin atlasdr Fonksiyonu Sfrlayan Elemanlarn Kümesi Tanm Bir c M noktasnn f : N M dönü³ümü altnda ters görüntü kümesi f 1 (c) = {p N f(p) = 0}. Özel olarak f : N R m ise Örnek Z(f) = f 1 (0) kümesine f'nin sfr kümesi denir. f : R 3 R, (x, y, z) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 f 1 (0) = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1} f x = 2x f y = 2y f z = 2z Bunlar sfra e³itlersek f'nin kritik noktas (0, 0, 0) bulunur. (0, 0, 0) / S 2. Kürenin tüm noktalar f nin regüler noktalardr. Di er taraftan (0, 0, 0) f'nin regüler noktas de ildir. p S 2 noktasnda f x (p) = 2x p 0 olsun. (f, y, z) : R 3 R 3 dönü³ümünün Jacobien matrisi A = f x y x z x f y y y z y f z y z z z = f x f y f z deta p = f x p 0. Ters fonksiyon teoreminden, (U p, f, y, z) R 3 deki bir atlasa ait olacak ³ekilde p R 3 noktasnn bir U p kom³ulu u vardr. Birinci koordinat sfr alrsak (yani f = 0 ) U p S 2 tanmldr. Böylece (U p, f, y, z), S 2 ye göre adopte edilmi³ haritadr ve (U p S 2, y, z), S 2 nin bir haritasdr. 48

50 Teorem N bir manifold olmak üzere f : N R C -fonksiyonu olsun. c R noktasnn f altndaki ters görüntü kümesi f 1 (c), N'nin 1-e³-boyutlu regüler alt manifoldudur. spat: f fonksiyonunu f c ile de i³tirirsek c = 0 varsayabiliriz. p S olsun. p, f'nin regüler noktas oldu undan p'yi içeren (U, x 1,..., x n ) bir f harita vardr öyleki p 0 dr. x i f p 0 olsun. (f, x 2,..., x n ) : U R n C -fonksiyonudur. Üstelik x 1 Jacobien matrisi f f f... x 1 x 2 x n f f f... x 2 x 2 x x 1 x 2 x n 2... A = x 1 x 2 x n = : : : : : : x n x n x n x 1 x 2 x n deta p = f x 1 p 0. Ters fonksiyon teoreminden, (f, x 2,..., x n ) koordinat sistemi olacak ³ekilde p noktasnn U p kom³ulu u vardr. f = 0 olmal. U p S'nin f altndaki ters görüntüsü tanmldr. Dolaysyla (U p, f, x 2,..., x n ) adopte edilmi³ haritadr. Böylece S, N'de n 1 boyutlu regüler alt manifolddur Regüler Ters Görüntü Kümesi Teoremi Teorem N n-boyutlu manifold olmak üzere f : N R m C - fonksiyonu olsun. c R m noktasnn f altndaki ters görüntü kümesi, N nin n m boyutlu regüler alt manifoldudur. spat: Ödev. Lemma f : N R m C -fonksiyon ve S = f 1 (0) olsun. (U, x 1,..., x n ) koordinat haritasna göre Jacobien matrisinin determinant sfrdan farkl ise p nin bir kom³ulu unda N nin adopte edilmi³ haritasn elde etmek için x j1,..., x jm nin f 1,..., f m ile de i³tirilebilir. spat: Ödev. 49

51 Teorem (Regüler Ters Görüntü) : N, n-boyutlu, M m-boyutlu manifoldlar olmak üzere f : N M C -dönü³üm olsun. c M elemannn f altndaki ters görüntü kümesi f 1 (c), N nin n m boyutlu regüler alt manifoldudur. spat: Ödev. Örnek x 3 + y 3 + z 3 = 1 denkleminin çözüm kümesi S, 2-boyutlu manifolddur. S = {(x, y, z) R 3 x 3 + y 3 + z 3 = 1} f : R 3 R (x, y, z) f(x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 S = f 1 ({1}) f x = 3x2 f y = 3y2 f z = 3z2 f nin kritik noktas (0, 0, 0) olur. Fakat (0, 0, 0) / S. O halde Regüler Ters Görüntü teoreminden, f 1 ({1}) = S, R 3 ün regüler alt manifoldudur. Örnek x 3 + y 3 + z 3 = 1 x + y + z = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi R 3 ün regüler alt manifoldudur. F : R 3 R 2 (x, y, z) F (x, y, z) = (x 3 + y 3 + z 3, x + y + z) S = F 1 ((1, 0)) alalm. F nin Jacobien matrisi [ ] [ ux u y u z 3x 2 3y = 2 3z 2 v x v y v z ] F 'nin kritik noktas (x, y, z) dir. 3x2 3y = 0 3x2 3y 2 = 0 y = x 3x2 3z = 0 3x2 3z 2 = 0 z = x 3y2 3z = 0 3y2 3z 2 = 0 z = y x + y + z = 0 oldu undan (x, y, z) = (0, 0, 0) bulunur. S regüler alt manifoldudur. kümesi R 3 ün S = {(x, y, z) R 3 x 3 + y 3 + z 3 = 1 ve x + y + z = 0} 50

52 4.18 C -Dönü³ümlerin Rank Tanm f : N M C -dönü³ümünün p N noktasndaki rank, f'nin p noktasndaki diferansiyelinin rankdr. BoyN = n boym = m olsun. f'nin maksimal rank varsa 3 durum mevcuttur: i) n = m ise f p noktasnda yerel dieomorzmdir. ii) n m ise maksimal rank n ve f immersiyon (batrma) dr. iii) n m ise maksimal rank m ve f submersiyon (daldrma) dr Sabit Rank Teoremi f : N M C -dönü³ümü olsun. c M için f 1 (c) nin bir manifold oldu unu göstermek istiyoruz. Regüler ters görüntü teoremini uygulamak için f 1 (c) nin her noktasnda f diferansiyeli maksimum ranka sahip olmaldr. Teorem N n-boyutlu ve M m-boyutlu manifoldlar olsun. f : N M dönü³ümünün p N noktasnn kom³ulu unda k sabit rank var olsun. φ(p) noktasnn bir kom³ulu unda ψ f φ 1 (r 1,..., r n ) = (r 1,..., r k, 0,..., 0) olacak ³ekilde M'de (V, ψ) haritas ve N'de (U, φ) haritas vardr. Teorem f : N M C -dönü³ümü ve c M olsun. f dönü³ümü f 1 (c) nin kom³ulu unda k sabit rankna sahip ise f 1 (c), N'nin k-e³boyutlu regüler alt manifoldudur. spat: p f 1 (c) olsun. Sabit rank teoreminden, ψ f φ 1 (r 1, r 2,..., r n ) = (r 1, r 2,..., r k, 0,..., 0) olacak ³ekilde f(p) = c M noktasnn (V, ψ) haritas ve p N noktasnn (U, φ) haritas vardr. 0 noktasnn ψ f φ 1 altndaki ters görüntü kümesi r 1, r 2,..., r k koordinatlar yok edilerek tanmlanr. φ(f 1 (c)) = φ(f 1 (ψ 1 (0))) = (ψ f φ 1 ) 1 (0) oldu undan f 1 (c) nin φ altndaki görüntü kümesi (ψ f φ 1 ) 1 (0) kümesidir. U'daki c M nin f altndaki ters görüntü kümesi f 1 (c) nin, N'de regüler alt manifoldu oldu unu verir. 51

53 Örnek O(n, R), GL(n, R) nin regüler alt manifoldudur. f : GL(n, R) GL(n, R), A f(a) = A T A I birim matris olmak üzere, f 1 (I) = O(n, R) dir. Bir önceki teoremden O(n, R), GL(n, R) nin regüler alt manifoldudur Batrma(Immersion) ve Daldrma(Submersion) Tanm f : N M C -dönü³ümü olsun. 1) Her p N için f,p : T p N T f(p) M injektif ise f'ye batrmadr denir. 2) Her p N için f,p : T p N T f(p) M sürjektif ise f'ye daldrmadr denir. f : N M C -dönü³ümü ve (U, x 1,..., x n ) p N noktasnn haritas ve (V, y 1,..., y m ) f(p) M noktasnn haritas olsun. f i = y i f alalm. f,p dönü³ümü f 1 f 1... x 1 x n : : A = : : f m f m... x 1 x n matrisi ile gösterilebilir. Bu durumda 1) f,p injektif n m ve ranka = n 2) f,p sürjektif n m ve ranka = m Önerme N, n-boyutlu manifold, M m-boyutlu manifold olsun. 1) f : N M C -dönü³ümü p N noktasnda batrma (immersiyon) ise f fonksiyonu p noktasnn kom³ulu unda sabit rank n vardr. 2) f p N noktasnda daldrma (submersiyon) ise f fonksiyonu p N noktasnn kom³ulu unda sabit rank m vardr. Teorem (Daldrma Teoremi) N, n-boyutlu manifold, M m-boyutlu manifold olsun. 1) f : N M fonksiyonu p N noktasnda batrma ise φ(p) noktasnn kom³ulu unda ψ f φ 1 (r 1, r 2,..., r n ) = (r 1, r 2,..., r n ) 52

54 olacak ³ekilde (U, φ) ve (V, ψ) haritalar vardr. 2) f : N M fonksiyonu p N noktasnda daldrma ise φ(p) noktasnn kom³ulu unda ψ f φ 1 (r 1,..., r m, r m+1,..., r n ) = (r 1,..., r m ) olacak ³ekilde (U, φ) ve (V, ψ) haritalar vardr. Sonuç f : N M daldrmas açk dönü³ümdür. spat: W, N'de açk olsun. f(p) f(w ) olsun. Daldrma Teoreminden, f yerel projeksiyondur. Projeksiyon açk dönü³üm oldu undan f(u), M'de açk olacak ³ekilde p W noktasnn U açk kom³ulu u vardr. f(p) f(u) f(w ) bulunur. Böylece f(w ), M'de açktr. f : N M daldrmas açk dönü³ümdür C -Dönü³ümlerin Görüntüleri Örnek ) f : R R 2, t f(t) = (t 2, t 3 ) f injektif fakat f,0 : T 0 (R T 0 (R 2 ) injektif de ildir. Dolaysyla f batrma de ildir. 2) g : R R 2, t g(t) = (t 2 1, t 3 t) 53

55 g injektif de il fakat g,0 : T 0 (R T 0 (R 2 ) injektiftir. 3) f : N M injektif ve batrmadr fakat f(r), R'ye homemorf de ildir. Tanm f : N M C -dönü³ümü olsun. A³a dakiler mevcut ise f'ye gömme-yataklama (embedding) denir. 1) f injektif batrmadr. 2) f(n), N'ye homeomorftur. Örnek f : ( π 2, 3π 2 ) R2, t f(t) = (cos t, sin 2t) 54

56 f injektif ve batrmadr. Dolaysyla f'nin görüntüsü R 2 de batrlm³ alt manifolddur. Fakat R 2 nin alt uzay olarak ³ekil sekiz manifold de ildir. ekil sekiz, injektif batrma olan dir. g : ( π 2, 3π 2 ) R2, t g(t) = (cos t, sin 2t) Teorem f : N M ye gömme-yataklama (embedding) ise f(n), M'nin regüler alt manifoldudur. spat: p N olsun. Daldrma Teoreminden p noktasnn kom³ulu unda (U, x 1, x 2,..., x n ) yerel koordinat ve f(p) noktasnn kom³ulu unda (V, y 1, y 2,..., y m ) yerel koordinat vardr öyleki f : U V, (x 1, x 2,..., x n ) f(x 1, x 2,..., x n ) = (x 1, x 2,..., x n, 0,..., 0) y n+1, y n+2,..., y m lerin yok edilmesiyle f(u), V 'de tanmldr. Bu tek ba³na f(n)'nin regüler alt manifold oldu unu göstermez. Çünkü V f(n), f(u)'yu kapsamaktadr. V 'ye ait f(p) noktasnn kom³ulu unda, f(n) n m koordinatlarn yok edilmesiyle tanmlanr. f(n), N'ye homeomorf oldu undan, f(u), N'de açktr. Alt uzay topolojisinden, V f(n) = f(u) olacak ³ekilde M'de V aç vardr. V V de V V f(n) = V f(u) = f(u) dur. f(u), y n+1, y n+2,..., y m lerin yok edilmesiyle tanmlanr. Böylece (U V, y 1,..., y m ) f(n)'ye ait f(p) noktasn içeren adopte edilmi³ haritadr. f(p), f(n)'nin key noktas oldu undan f(n), M'de regüler alt manifolddur. Teorem N, M'nin regüler alt manifoldu olsun. i : N M, p i(p) = p ³eklindeki dönü³üm gömmesidir. 55

57 spat: Regüler manifoldun alt uzay topolojisi ve i(n) nin alt uzay topolojisi var oldu undan i : N i(n) bir homeomorzmadr. Dolaysyla i : N M yataklama oldu unu göstermemiz gerekiyor. p N olsun. M'nin adopte edilmi³ haritas (V, y 1, y 2,..., y n, y n+1,..., y m ) seçelim öyleki V N, y n+1,..., y m nin sfr kümesidir. i : N i(n) N, (y 1, y 2,..., y n ) i(y 1, y 2,..., y n ) = (y 1, y 2,..., y n, 0,..., 0) kapsama dönü³ümü yataklamadr Alt Manifoldlar çine C -Dönü³ümler f : N M, f(n), S M alt kümesinde olacak ³ekilde bir C -dönü³ümü olsun. f : N S dönü³ümü C -dönü³üm müdür? Cevap: S nin regüler alt manifold veya M nin batrma alt manifoldu olup olmamasna ba ldr. Örnek S, R 2 de ³ekil sekiz ve g alt manifold yaps var olsun. tarafndan olu³turulan batrma f : I R 2, t f(t) = (cos t, sin 2t) g : I R 2, t f(t) = (cos t, sin 2t) f(i) S oldu undan C -dönü³ümü f, f C -dönü³ümü de ildir. f : I S yi olu³turur. Fakat Teorem F : N M C -dönü³ümü ve F (N) S M olsun. S, M'nin regüler alt manifoldu ise F : N S C -dönü³ümüdür. spat: p N olsun. Ayrca dimn = n dimm = m dims = s olsun. F (p) S M alalm. S, M'nin regüler alt manifoldu oldu undan F (p) civarnda M'ye ait (V, ψ) = (V, y 1, y 2,..., y m ) adopte edilmi³ (uyarlanm³) koordinat haritas vardr öyleki S V, y s+1, y s+2,..., y m üzerinde sfr kümesidir. F sürekli oldu undan, F (U) V olacak ³ekilde 56

58 (U, φ) = (U, x 1, x 2,..., x n ) koordinat haritasn seçebiliriz. F (U) V S öyleki ψ F φ 1 (x 1, x 2,..., x n ) = (y 1, y 2,..., y s, 0,..., 0) ve ψ S F φ 1 (x 1, x 2,..., x n ) = (y 1, y 2,..., y s ) dir. F, U üzerinde C -dönü³ümüdür. Örnek µ : GL(n, R) GL(n, R) GL(n, R), C -dönü³ümüdür. (A, B) A.B A = (a ij ) B = (b ij ) A.B = ( a ik ve b kj koordinatlar C -fonksiyonlardr. n a ik b kj ) k=1 µ : SL(n, R) SL(n, R) SL(n, R), (A, B) A.B C -dönü³ümüdür fakat (a ij ) 1 i n koordinat sistemi de ildir. SL(n, R) SL(n, R), GL(n, R) GL(n, R) nin regüler alt manifoldu oldu undan i : SL(n, R) SL(n, R) GL(n, R) GL(n, R) C -dönü³ümdür. µ i C -dönü³ümdür. µ i : SL(n, R) SL(n, R) GL(n, R) ve C -dönü³ümdür. µ : SL(n, R) SL(n, R) SL(n, R) 4.23 R 3 deki Yüzeylerin Te et Düzlemi f(x 1, x 2, x 3 ) R 3 de kritik noktalar olmayan reel de erli fonksiyon olsun. Regüler Ters Görüntü Teoreminden; N, R 3 ün regüler alt manifoldudur. O halde i : N R 3 gömme (yataklama) dr. Dolaysyla i,p : T p (N) T p (R 3 ) dönü³ümü injektiftir. N'nin te et düzlem denklemini bulmak istiyoruz. v = v i T p (N) de bir vektör olsun. T p R 3 R 3 oldu undan, v'yi x i 57

59 R 3 de (v 1, v 2, v 3 ) olarak belirtebiliriz. c(t), c(0) = p ve c (0) = (v 1, v 2, v 3 ) özelliklerine sahip N'de bir e ri olsun. c(t), N'de oldu undan f(c(t)) = 0 dr. Zincir kuralndan 0 = d dt f(c(t)) = 3 i=1 f x i (c(t))(c i ) (t) t = 0 için ifadeyi yeniden yazarsak; 0 = 3 i=1 f x i (c(0))(c i ) (0) = 3 i=1 f x i (p)v i v i = x i p i alrsak te et düzlemidir. 3 i=1 f x i (p)(x i p i ) = 0 Örnek f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 küresinin p = (a, b, c) noktasndaki te et düzlemin denklemini belirleyiniz. p = (a, b, c) noktasnda f x = 2x f x p = 2a f y = 2y f y p = 2b f z = 2z f z p = 2c bulunur. f x p(x a) + f y p(y b) + f z p(z c) = 0 2a(x a) + 2b(y b) + 2c(z c) = 0 ax + by + cz = 0 ALI TIRMALAR 1. S n R n+1 birim küresi noktas için n+1 (x i ) 2 = 1 ³eklinde tanmlansn. p S n i=1 58

60 n+1 X p = a i x p T p (R n+1 ) nin, S n e p noktasnda tanjant olmas için i=1 gerek ve yeter ³art n+1 a i p i = 0 olmasdr. Gösteriniz. i=1 2. N kompakt manifold olmak üzere f : M R m C -dönü³ümünün bir kritik noktas var oldu unu gösteriniz. 3. S 2 nin üst yar küresi için φ = (u, v) koordinat dönü³ümü vardr öyleki u(a, b, c) = a ve v(a, b, c) = b dir. O zaman S 2 de herhangi bir p = (a, b, c) üst yar küre noktasnda u p ve v p, S 2 nin tanjant vektörleridir. i : S 2 R 3 kapsama dönü³ümü ve x, y, z ler R 3 de standart koordinatlar olsun. i : T p S 2 T p R 3 diferansiyeli u p ve v p yi T p R 3 e ta³r. Böylece i ( u p) = α 1 x p+β 1 y p+γ 1 z p olacak ³ekildeki α i, β i, γ i ve i ( v p) = α 2 x p+β 2 y p+γ 2 z p i = 1, 2 sabitlerini tespit ediniz. 4. f : N M 1 1 immersion (injektif batrma) olsun. N kompakt ise f(n)'nin M'nin regüler altmanifoldu oldu unu gösteriniz. 5. f : [0, 2π] R 2, x f(x) = (cos 2x, sin x) ³eklinde tanmlanm³ f fonksiyonunun batrma olup olmad n inceleyiniz. 6. g : R S 1 S 1, x g(x) = (e 2πiαx, e 2πiβx ) ³eklinde tanmlanm³ g fonksiyonunun batrma olup olmad n inceleyiniz. (NOT: irrasyonel saydr.) α β 7. φ : R 3 R 2, (x, y, z) φ(x, y, z) = (y z, x) dönü³ümünün daldrma (submersion) olup olmad n belirleyiniz. 8. U = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 > 0} olsun. φ : U R 3 R, (x, y, z) φ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 dönü³ümünün daldrma (submersion) olup olmad n belirleyiniz. 59

61 Bölüm 5 YÜZEYLER Tanm Kompakt, ba lantl 2-manifolda bir yüzey denir. Örnek Silindir, paraboloid,kürenin kulplar çkartlarak elde edilen yüzey. 5.1 Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces) ekil 5.1: Küre 0- kulpludur ekil 5.2: Tor 1- kulpludur... ekil 5.3: 2-kulplu ekil 5.4: g-kulplu 60

62 Tanm S g ailesinin g-inci elemanna g genuslu yüzey denir. 5.2 Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces)..... ekil 5.5: RP 2 1-çapraz yüzeydir. Tanm C 1, C 2,..., C g ailesinin g-inci elemanna g çapraz yüzey denir. 61

63 5.3 Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces) Tanm S bir yüzey olsun. 1. S ye ait her kapal e ri yönünü koruyorsa S ye yönlü yüzey denir 2. S yüzeyi üzerinde yönü de i³tiren en az bir kapal e ri varsa S ye yönlü olmayan yüzey denir Örnek S 2,T, silindir yönlü yüzeylerdir. Kb, Mb, RP 2 yönlü olmayan yüzeylerdir. 1. T S 1 xs 1 2. T = {(x, y, z) R 3 : [(x 2 + y 2 ) 1 2 2] 2 + z 2 = 1} R 3 62

64 Bölüm 6 YÜZEYLER N SINIFLANDIRILMASI 6.1 Ba ntl Toplam(Connected Sum veya Topolojik Toplam) Tanm S 1 ve S 2 iki yüzey olsun. Bu iki yüzeyden birer disk çkartlsn ve çkartlan ksmda bu iki yüzeyin yap³trlmasyla elde edilen yeni yüzeye S 1 ve S 2 nin ba lantl toplam denir. Örnek S 2 S 2 S 2 ekil 6.1: Özellikler S 1 # S 2 S 2 # S 1 2. (S 1 # S 2 ) # S 3 S 1 # (S 2 # S 3 ) 3. ki yönlü yüzeyin ba lantl toplam yine yönlü yüzeydir. 4. S 1 ve S 2 herhangi biri yönlü de ilse S 1 # S 2 yönlü de ildir. 63

65 6.2 Kompakt Yüzeylerin Snandrlmas Teorem Bir kompakt yüzey ya küreye ya tora ya da RP 2 # RP 2 Kb ya homeomorfdur. a b a b ekil 6.2: RP 2 # RP 2 Kb π 1 (Kb) = { a, b : aba 1 b = 1} π 1 (RP 2 ) = { a, b : abab = 1} 6.3 Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi Tanm S kompakt yüzey olsun. S nin üçgenle³tirilmesi S yi kaplayan {T 0, T 1,..., T n } kapal alt kümelerinin sonlu ailesini içerir öyle ki T i ler R 2 deki kapal üçgenlere homeomorfdur. Örnek endörnek 1. Torun üçgenle³tirilmesi b a ekil 6.3: Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi Kareyi üçgenle³tiriyoruz. Farkl ³ekillerde üçgenle³tirebiliriz. (a) ve (b) durumuda torun üçgenle³tirilmesidir. Yapt mz üçgenle³tirme ile sadece sonraki i³lemlerimiz de i³ecektir. 64

66 2. Projektif düzlemin herhangi bir üçgenle³tirilmesi ekil 6.4: Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi 3. Küpün herhangi bir üçgenle³tirilmesi f a a b b f e e d d c c g ekil 6.5: Küpün üçgenle³tirilmesi g Not Kompakt yüzeyin üçgenle³tirilmesi a³a daki iki özellikelli i sa lar; (a) Üçgenle³tirmenin her kenar iki üçgenin kenardr (b) ϑ, üçgenle³tirmenin bir kö³esi olsun.ϑ kö³eli üçgenler mevcuttur öyle ki bu üçgenlerin ortak kenarlar vardr. 65

67 4. Kürenin herhangi bir üçgenle³tirilmesi ekil 6.6: Kürenin üçgenle³tirilmesi Lemma Tor ve projektif düzlemin ba lantl toplam üç projektif düzlemin ba lantl toplamna homeomorfdur. RP 2 # T RP 2 # RP 2 # RP 2 a a RP 2# T b c c b a a c b b c ekil 6.7: RP 2 # T 66

68 a # a a a a b a b ekil 6.8: RP 2 # RP 2 b b b a c a c RP2 # RP2 # RP2 a c ekil 6.9: RP 2 # RP 2 # RP Euler Karakteristi i Euler karakteristi i, kö³eleri, kenarlar ve yüzeyleri sayarak elde edilir. Bu nedenle hücre(cell) kompleksi üzerinde duraca z. Tanm n-hücreyi, içinin n-diske homeomorf olan bir topolojik nesne olarak tanmlanabilir. Örnek (a) 0-hücre (kö³e) bir noktadr. (b) 1-hücre (kenar), içi R de bir açk aral a homeomorftur. (c) 2-hücre (yüz), içi R 2 de bir açk diske homeomorftur. Tanm Hücre Kompleksi, hücrelerin içi ikili baznda ayrk ve snrlar boyutu dü³ük olan hücrelerin birle³imi olan yani 0-hücre, 1-hücre, 2-hücre hücrelerin birle³imi olarak tanmlayabiliriz. Not Bir hücre kompleks, bi M yüzeyine homeomorf ise bu hücre kompleksine, M'nin hücre ayr³m denir. Örnek A³a da yüzeylerin hücre ayr³m verilmi³tir; Buraya ³ekil yaplacak Tanm Bir M yüzeyinin v kö³esi, e kenar ve f yüzeyi varsa M'nin Euler karakteristi i ³eklinde tanmlanr. χ(m) = v e + f 67

69 Örnek (a) S 2 küre yüzeyinin 2 kö³esi, 1 kenar ve 1 yüzeyi oldu undan χ(s 2 ) = v e + f = = 2. (b) T Tor yüzeyinin 1 kö³esi, 2 kenar ve 1 yüzeyi oldu undan χ(t ) = v e + f = = 0. (c) 2T iki Tor yüzeyinin 1 kö³esi, 4 kenar ve 1 yüzeyi oldu undan χ(2t ) = v e + f = = 2. (d) RP 2 projektif düzlemin 1 kö³esi, 1 kenar ve 1 yüzeyi oldu undan χ(rp 2 ) = v e + f = = 1. (e) Kb Klein isesinin 1 kö³esi, 2 kenar ve 1 yüzeyi oldu undan χ(kb) = v e + f = = 0. (f) Mb Möbiüs ³eridinin 1 kö³esi, 2 kenar ve 1 yüzeyi oldu undan Not χ(kb) = v e + f = = 0. (a) χ(kb) = 0 = χ(t ) olmasna ra men Kb ve T homeomorf yüzeyler de ildir. (b) Kb RP 2 # RP 2 oldu undan χ(kb) = χ(rp 2 # RP 2 ) dir. Teorem χ(m 1 #M 2 ) = χ(m 1 ) + χ(m 2 ) 2. spat. M 1 yüzeyinin kö³e says v 1 olan 2n 1 -gen ile temsil edilsin. Bu durumda χ(m) = v 1 n M 2 yüzeyinin kö³e says v 2 olan 2n 2 -gen ile temsil edilsin. Bu durumda χ(m) = v 2 n

70 M 1 # M 2 yüzeyinin kö³e says v 1 + v 2 1 ve kenar says n 1 + n 2 olan 2(n 1 + n 2 )-gen ile temsil edilir. χ(m 1 # M 2 ) = v 1 + v 2 1 (n 1 + n 2 ) + 1 = v 1 n v 2 n = χ(m 1 ) + χ(m 2 ) 2. Not S 2 kulpsuz yüzey oldu undan S 2 = 0T dir. Sonuç (a) n 0 için χ(nt ) = 2 2n. (b) m 1 için χ(rp 2 ) = 2 m. spat. (a) n = 0 için 0T = S 2 oldu undan χ(s 2 ) = 2 dir. n = 1 için χ(t ) = 0 dir. n = 2 için χ(2t ) = 2. n 1 için do ru olsun. Yani χ((n 1)T ) = χ(t # T # # T ) = 2 2(n 1) olsun. Yani χ(nt ) = χ((n 1)T # T ) = χ((n 1)T ) + χ(t ) 2 (6.1) = 2 2(n 1) 0 2 = 2 2n. (6.2) (b) Birinci ksmda oldu u gibi m üzerinde tümevarmla ispatlanr. Teorem M herhangi bir yüzey olsun. χ(m), M'nin hücre ayr³m seçiminden ba mszdr. Sonuç A³a daki önermeler Denktir; (a) M 1 yüzeyi M 2 yüzeyine homeomorftur. (b) χ(m 1 ) = χ(m 2 ) ve M 1, M 2 nin her ikisi oriyantel veya her ikisi oriyantel de ildir. spat. 1) 2) : h : M 1 M 2 homeomorzma olsun. h, M 1 'in hücre ayr³mn M 2 nin hücre ayr³mna ta³d ndan χ(m 1 ) = χ(m 2 ) dir. Ayrca oriyantellik bir topolojik özellik oldu undan M 1 yüzeyi oriyantel ise M 2 de oriyanteldir. 69

71 2) 1) : kinci önerme mevcut olsun. M 1 yüzeyinin M 2 yüzeyine homeomorf oldu unu gösterce iz. Bunun yüzeylerin oriyantel olma ve oriyantel olmama durumlarna göre ispatlayaca z. Durum 1 : M 1 ve M 2 nin her ikiside oriyantel olsun. O zaman M = n 1 T ve M 2 = n 2 T dir. χ(m 1 ) = χ(m 2 ) oldu undan 2 2n 1 = 2 2n 2 n 1 = n 2. Dolasyla M 1 n 1 T = n 2 T M 2 dir. Durum 2: M 1 ve M 2 nin her ikiside oriyantel olmasn. O zaman M = m 1 RP 2 ve M 2 = m 2 RP 2 dir. χ(m 1 ) = χ(m 2 ) oldu undan 2 m 1 = 2 m 2 m 1 = m 2. Dolasyla M 1 M 2 dir Örnek KB # RP 2, T # RP 2, RP 2 # RP 2 # RP 2 yüzeylerinin homeomorf olduklarn gösterelim. 70

72 6.5 Yüzeyler Cebiri Verilen kompakt yüzey kelime ile belirtilebilir. Kelime ve devir kuraln kullanarak kompakt yüzeyin düzlem modeli in³a edilir. a a a a a # a ekil 6.10: S 1 #S 1 Örnek T # Kb # Rp 2 T Kb Rp 2 :acd 1 eec 1 d 1 ba 1 b 1 Teorem (Pozisyon Devir Kural) Bir kompakt yüzey M kelimesi ile belirtilsin. (a) M = AB ise M BA (Çember Kural) (b) M M 1 (Flip Kural) Teorem (Küre Devir Kural) M = Axx 1 B bir kompakt yüzeyi belirtsin. (A ve B den en az biri bo³tan farkl) O zaman AB bu kompakt yüzeyi belirtir ve M AB dir. Örnek Küre için; M = afg 1 e 1 b 1 bec 1 cgdd 1 f 1 a 1 afg 1 e 1 egf 1 a 1 afg 1 gf 1 a 1 aff 1 a 1 aa 1 = S 2 Teorem (Silindir Devir Kural) M bir kompakt yüzey için kelime ve M = AxBCx 1 D ise M AxCBx 1 D dir. Örnek M = abca 1 b 1 c 1 = a(bc)a 1 b 1 c 1 a(cb)a 1 b 1 c 1 = acba 1 b 1 c 1 = ac(ba 1 b 1 )c 1 ac(a 1 b 1 b)c 1 aca 1 c 1 = T Not S 2 = aa 1, T = aba 1 b 1, Rp 2 = aa, Kb = aba 1 b 71

73 Teorem (Mobius erit Devir Kural) Bir kompakt yüzeyi belirten kelime M ve M = AxBxC ise M AxxB 1 C dir. Örnek (a) M = abca 1 b 1 c abccba ccabba ccaabb = Rp 2 Rp 2 Rp 2 = 3Rp 2 (b) Kb = aba 1 b abba aabb = Rp 2 Rp 2 = 2Rp 2 (c) T Rp 2 = aba 1 b 1 cc a 1 b 1 (cca)b a 1 b 1 cacb a 1 b 1 cca 1 b a 1 b 1 a 1 bcc bab 1 a(cc) = KbRp Ekli Uzaylar Tanm A, X in alt uzay ve f : A Y sürekli fonksiyon olsun. X Y Ayrca x A için x f(x) ba nts tanimlansn. = X x f(x) f Y bölüm uzayna X in Y uzayna eklenmesi denir. Örnekler: (a) X = [0, 1] = Y, A = {0, 1} f : {0, 1} [0, 1] x f(x) = 1 2 (b) X = [0, 1]x[0, 1] = Y, A = {0}x[0, 1] {1}x[0, 1] f : A Y (s, t) f(s, t) = ( 1 2, t) (c) Koni (d) Süspansiyon 72

74 Xx{1} XxI ekil 6.11: Koni dönü³ümü Xx{0} Xx{1} ekil 6.12: Süspansiyon (e) Mapping Silindir XxI Y ekil 6.13: Silindir dönü³ümü 6.7 Al³trmalar (a) T S 2 T oldu unu ³ekille gösteriniz. (b) Rp 2 Rp 2 Kb oldu unu ³ekil çizerek gösteriniz. (c) T Rp 2 3Rp 2 oldu unu uygun indirgeme kurallarnn kullanarak ispat ediniz. (d) n tane Rp 2 nin ba lantl toplam 2n kenarl poligonla temsil edilir ve bu toplamn yüzey cebiri ise a 1 a 1 a 2 a 2 a n a n ³eklindedir. (yol gösterme : ispat n üzerinden tümevarmla yaplacaktr. ) 73

75 (e) Uygun indirgeme i³lemlerinden yararlanarak abc 1 b 1 a 1 c 1 ve acb 1 a 1 c 1 b yüzeylerinin orientable yüzey olup olmadklarn inceleyiniz. (f) ba lantl toplam i³lemi komutatif midir? Birle³meli midir? Birim eleman var mdr? Ters eleman var mdr? Sonucu yorumlaynz. (g) b 1 a 1 c 1 c 1 ba yüzeyi ile x 1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 yüzeyi ayn yüzeyin cebirsel gösterimi olabilir mi? Açklaynz. (yol gösterme : indirgeme methodlarn kullannz.) (h) 2T Rp 2 5Rp 2 oldu unu gösteriniz. (yol gösterme : 3üncü sorudan yararlannz.) (i) x bir kenar ; P, Q ler de kenarlarn dizilerini temsil etsin.uygun bir x 1 kenar için ; xxp 1 Q x 1 P x 1 Q dir. ekil çizerek ispatlaynz. (j) x bir kenar, P, Q, R ler de kenarlarn dizilerini temsil etsin. Uygun bir x 1 kenar için xp Qx 1 R x 1 QP x 1 1 R dir. ekil çizerek ispatlaynz. (k) A³a daki kelimelerin hangi yüzeyi belirtti ini bulunuz. i. abcba 1 c ii. abec 1 ba 1 cd 1 ed iii. ab 1 cedefa 1 bc 1 d 1 f iv. aba 1 cdb 1 c 1 d 1 v. ab 1 c 1 a 1 cb vi. abc 1 bca vii. abcb 1 dc 1 d 1 a 1 74

76 Bölüm 7 TOPOLOJ K GRUPLAR, GRUP HAREKET, L E GRUPLARI 7.1 Topolojik Gruplar Tanm (G, τ) topolojik uzay ve (G,.) bir grup olsun. A³a daki özellikellikler mevcut ise; (G, τ,.) üçlüsüne topolojik grup denir. (a) f : G G G (x, y) f(x, y) = x.y sürekli fonksiyon (b) g : G G x x 1 sürekli fonksiyon Örnek (a) (R, τ s, +) bir topolojik guptur. (R, τ s )bir topolojik uzay ve (R, +)bir gruptur. i. f : R R R (x, y) f(x, y) = x+y = π 1 (x, y)+π 2 (x, y) zdü³üm fonksiyonlar sürekli oldu undan toplamlar da süreklidir. ii. g : R R x g(x) = x = ( 1).x = a.i(x) Sürekli fonksiyonun sabit bir say ile çarpm sürekli oldu undan g süreklidir. (b) (G,.) bir grup olsun. G üzerinde diskret topoloji alrsak (G, τ d,.) bir topolojik gruptur.(g, τ d )bir topolojik uzaydr. i. f : G G G (x, y) f(x, y) = x.y ii. g : G G x g(x) = x 1 (G, τ d ) den alnan her açk (G G,τ d xτ d ) uzaynda açk olaca ndan f ve g süreklidir. 75

77 (c) R = R {0}, (R, τ s,.) bir topolojik guptur. (R,.) bir grup ve (R, τ s ), (R, τ s ) nin altuzay topolojisidir. i. f : R R R (x, y) f(x, y) = x.y = π 1 (x, y).π 2 (x, y) ii. g : R R x g(x) = x 1 = 1 = 1, I(x) 0 x I(x) f ve g süreklidir. (d) (S 1, τ,.) bir topolojik gruptur. τ = τ s τ s,. : C deki çarpma i³lemidir. (S 1, τ) topolojik uzay ve (S 1,.) bir gruptur. i. f : S 1 S 1 S 1 (z 1, z 2 ) f(z 1, z 2 ) = z 1.z 2 = π 1 (z 1, z 2 ).π 2 (z 1, z 2 ) ii. g : S 1 S 1 z g(z) = z 1 = 1 = z = z = e iθ = z z (cos θ, sin θ) f ve g süreklidir. (e) Banach ve Hilbert uzaylar birer topolojik gruptur. Banach uzay normlu tam vektör uzaydr. Vektör uzay oldu undan grup yaps vardr. Norm tarafndan üretilen topolojiye sahiptir. i. f : BxB B (x, y) f(x, y) = x + y ii. g : B B x g(x) = x f ve g süreklidir. (f) C = C {(0, 0)}, (C, τ,.) bir topolojik gruptur.(. : C deki çarpma) Önerme ki topolojik grubun kartezyen çarpm topolojik gruptur. (G 1, τ 1,.), (G 2, τ 2, ) topolojik gruplar ise (G 1 G 2, τ 1 τ 2, o) topolojik gruptur. spat. (G 1, τ 1,.) topolojik grup oldu undan f 1 : G 1 G 1 G 1 (x, y) f 1 (x, y) = x.y ve g 1 : G 1 G 1 x g 1 (x) = x 1 süreklidir. (G 2, τ 2, ) topolojik grup oldu undan ve süreklidir. f 2 : G 2 G 2 G 2 g 2 : G 2 G 2 (x, y) f 2 (x, y) = x y x g 2 (x) = x 1 f = f 1 f 2 : G 1 G 1 G 2 G 2 G 1 G 2 76

78 ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) f 1 f 2 ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = (x 1.y 1, x 2 y 2 ) f 1 ve f 2 sürekli oldu undan f fonksiyonu süreklidir. g = g 1 g 2 : G 1 G 2 G 1 G 2 (x 1, x 2 ) g 1 g 2 (x 1, x 2 ) = (g 1 (x 1 ), g 2 (x 2 )) = (x 1 1, x 1 2 ) g 1 ve g 2 sürekli oldu undan g fonksiyonu süreklidir. Ödev:(G 1 G 2, τ 1 τ 2 ) nin topolojik uzay, (G 1 G 2, o) nin grup oldu unu gösteriniz. Örnek (a) (R n, τ, +) topolojik gruptur. (τ: Çarpm topolojisi) (b) (T, τ,.) topolojik gruptur. T S 1 xs 1 dir. (S 1, τ 1,.) ve (S 1, τ 2, +) topolojik gruplardr. (c) GL(n, R) = {A M nxn : deta 0} matris çarpmna göre grup yaps te³kil eder. (d) SL(n, R) = {A M nxn : deta = 1} özel lineer gruptur. (e) O(n, R) = {A M nxn : deta 0, A T A = I = AA T } ortogonal gruptur. (f) SO(n, R) = {A M nxn : deta = 1, A T A = I = AA T } özel ortogonal gruptur. SL(n, R), O(n, R), SO(n, R), GL(n, R) nin alt gruplardr. Önerme (G, τ,.) bir topolojik grup ve H, G nin bir alt grubu olsun. Alt uzay topolojisi ile donatlan H grubu G nin bir topolojik alt grubudur. Tanm (G, τ,.) bir topolojik grup ve H, G nin bir alt grubu olsun. H açk (kapal) alt küme ise H ya açk (kapal) altgrup denir. Örnek GL(n, R) nin SL(n, R), O(n, R), SO(n, R) alt gruplar kapal alt gruplardr. det : M nxn R A deta fonksiyonu süreklidir. {1} R kapals için det 1 ({1}) = SL(n, R) oldu undan SL(n, R) kapaldr. t : M nxn M nxn A t(a) = AA T = I 77

79 fonksiyonu süreklidir. I M nxn kapals için t 1 (I) = O(n, R) oldu undan O(n, R) kapaldr. SO(n, R) = SL(n, R) O(n, R) oldu undan SO(n, R) kapaldr. Örnek (Z, τ d, +), (R, τ d, +) nn topolojik alt grubudur. Uyar:Topolojik gruplarda izomorzma teoremleri a³a daki önerme geçerli oldu unda geçerlidir. "f : G H homeomorzma olsun. G/Kerf Imf dr f : G Imf açk dönü³ümdür." Tanm G bir topolojik grup ve g G olsun. L g : G G, x G için L g (x) = g.x fonksiyonuna homeomorzmann sol öteleme fonksiyonu denir. R g : G G, x G için R g (x) = x.g fonksiyonuna da homeomorzmann sa öteleme fonksiyonu denir. Teorem L g ve R g bir homeomorzmdir. spat. L g : G G, x G için L g (x) = g.x fonksiyonunu ele alalm. G topolojik grup oldu undan f : G G G (g, x) f(g, x) = g.x fonksiyonu süreklidir. L g (x) = f {g}xg oldu undan L g fonksiyonu süreklidir. L g (x 1 ) = L g (x 2 ) g.x 1 = g.x 2 g 1 (g.x 1 ) = g 1 (g.x 2 ) x 1 = x 2 dolasyla L g, örtendir. 1 1 dir. y G için x = g 1.y G oldu undan L g (L g ) 1 = L g 1 oldu unu iddia ediyoruz. Gerçektende L g 1oL g (x) = g 1 (g.x) = x = I(x) L g ol g 1(x) = g(g 1.x) = x = I(x) dir. L g 1 : G G, x G için L g 1(x) = g 1.x fonksiyonunu verilsin. (L g ) 1 = f {g 1 G} oldu undan (L g ) 1 = L g 1 fonksiyonu süreklidir. Benzer ³ekilde R g nin de homeomorzm oldu u gösterilebilir. Sonuç G topolojik grup, g G ve U, G de açk ise L g (U) ve R g (U), G de açk alt kümelerdir. 78

80 Tanm A ve B, G topolojik grubunun iki alt kümesi olsun. (a) A.B = {x.y : x A, y B} (b) x.a = {x}.a = {x.a : a A} (c) A 1 = {a 1 : a A} (d) A = A 1 ise A ya G de simetriktir denir. Teorem G topolojik grup, F, U, P G ve F kapal, U açk, P key bir küme, g G olsun. F g, gf, F 1 kapal kümelerdir. UP, P U, U 1 açk kümelerdir. spat. L g : G G, x G için L g (x) = g.x ve R g : G G, x G için R g (x) = x.g dönü³ümleri homeomorzmdir. F kapal ise L g (F ) = g.f ve R g (F ) = F.g kümeleri de L g ve R g homeomorzma oldu undan kapaldr. f : G G, x G için f(x) = x 1 fonksiyonu homeomorzmdir. F kapal oldu undan f(f ) = F 1 de f homeomor- zma oldu undan kapaldr. U açk oldu undan L g (U) ve R g (U) açktr. UP = U.g (g P ) ve PU = g.u (g P) kümeleri açktr. U açk oldu undan f(u) = U 1 de açktr. Önerme G bir topolojik grup olsun. (a) G nin açk topolojik alt grubu H ayn zamanda kapaldr. (b) H, G nin topolojik alt grubu ise H da G nin topolojik alt grubudur. spat. (a) H, G nin açk topolojik alt grubu olsun. H = H oldu unu göstermeliyiz. Her zaman H H... (1) olur. p H olsun. p.h, p nin bir kom³ulu u oldu undan p.h H olur. Bu durumda p.h 1 = h 2 olacak ³ekilde h 1, h 2 H vardr. O halde p H dr. H H... (2) elde edilir. (1) ve (2) den H = H olur. Bu da H n kapal oldu unu ifade eder. (b) H, G nin topolojik alt grubu olsun. H n G nin topolojik alt grubu oldu unu göstermek için x, y H için x.y H ve x H için x 1 H oldu unu göstermeliyiz. 79

81 i. x, y H olsun. W x.y nin kom³ulu u olsun. U.V W olacak ³ekilde x U, y V kom³uluklar vardr. x H ise U H olur. Bu durumda h 1 U H vardr. Benzer ³ekilde y H ise V H olur. Bu durumda h 2 V H vardr. h 1.h 2 U.V ve h 1.h 2 H ise U.V H olur. Bu durumda W H elde edilir. Buradan x.y H bulunur. ii. x H olsun. x in her U kom³ulu u için U H dr. U 1 = {x 1 : x H} ve U 1 H oldu undan x 1 H olur. H bir topolojik alt grupdur. Önerme G bir topolojik grup olsun. (a) V nin G de açk (kapal) olmas için gerek ve yeter ³art V 1 'in G de açk (kapal) omlasdr. (b) e U olmak üzere U, G de açk olsun. V = V 1 olacak ³ekilde V açk kümesi vardr ve e V dir spat. ve V V U (a) f : G G g f(g) = g 1 dönü³ümü homeomorzm ve f f = 1 G oldu unda sonuç kolayca elde edilir. (b) p : G G G dönü³ümü sürekli oldu undan p 1 (U), G G de açk ve (e, e) p 1 (U) dir. Dolasyla, V 1 V 2 U olacak ³ekilde V 1 ve V 2 açklar var ve e V 1, e V 2 dir. Bir önceki ksmdan, V1 1, V2 1 açktr. Böylece V = V 1 V 2 V1 1 V2 1 ayn zamanda açktr. e V ve V = V 1, V V V 1 V 2 U dir. Lemma G bir topolojik grup olsun. G nin Housdor olmas için gerek ve yeter ³art {e} nin kapal olasdr. spat. ( ) G Housdor olsun. Her tek noktal küme kapal oldu undan {e} kapaldr. ( ) {e} kapal olsun. Her g için L g ({e}) = g kapaldr. e g nin ayrk açklarnn var oldu unu gösterecegiz. e U ve g / U olacak ³ekilde bir U açk vardr. Bir önceki önermenin ikinci bölümünden, V = V 1 ve V V U olacak ³ekilde V açk kümesi vardr ve e V dir. imdi g gv dir. V gv nin bo³ oldu unu iddia ediyoruz. h V gv oldu unu varsyalm. O zaman h = gh 1, h 1 V dir. Dolasyla, g = hh 1 V V U olur. Bu bir çeli³kidir. 80

82 Teorem G bir topolojik grup olmak üzere a³a dakiler denktir: (a) G, T 0 -uzaydr. (b) G, T 1 -uzaydr. (c) G, T 2 -uzaydr. Teorem G topolojik grubu regülerdir. spat. A³a daki aksiyomu sa layan X topolojik uzayna regüler uzay denir; "F X kapal, x / F için F U açk, x V açk : U V =." F kapal ve e / F olsun. Bu durumda e G/F dir. G topolojik grup oldu undan V 1 V G/F olacak ³ekilde e nin V kom³ulu u vardr. V 1 V F = V V.F =. Böylece U = V.F dir ve sonuçta G regülerdir. Not Bir topolojik grubun bölüm grubu topolojik grup olmak zorunda de ildir. Normal alt grup ise topolojik gruptur. Teorem G bir topolojik grup, N, G nin normal alt grubu olsun. (a) ϕ : G G/Nsürekli ve açk homomorzmadr. (b) Bölüm topolojisi ile donatlan G/N topolojik gruptur. spat. (a) ϕ : G G/N bölüm dönü³ümü oldu undan süreklidir. U G açk olsun. ϕ 1 (ϕ(u)) = {x : x UN = U} = UN açktr. ϕ sürekli oldu undan ϕ(u) da açktr. U açk iken ϕ(u) açk oldu undan ϕ açk dönü³ümdür. (b) ψ : G/N G/N G/N (x, y) x.y 1 dönü³ümü sürekli midir? x.y 1 elemannn açk kom³ulu u W olsun. ϕ 1 (W ), G de açktr ve x.y 1 ϕ 1 (W ) dur. G topolojik grup oldu undan x.y 1 UV 1 ϕ 1 (W ) olacak ³ekilde x U, y V kom³uluklar vardr. x.y 1 ϕ(u)[ϕ(v )] 1 ϕ(ϕ 1 (W )) = W 81

83 dr.ϕ açk dönü³üm oldu undan ϕ(u) ve [ϕ 1 (V )] 1 = ϕ(v 1 ) de açktr. ψ süreklidir. ψ 1 (W ) = {(x, y) : x ϕ(u), y ϕ(v 1 )}, Tanm G ve K iki topolojik grup olsun. f : G K dön³ümü hem grup izmorzmi hemde homeomorzme ise G ve K Topolojik olarak izomorftur denir. Böyle dön³üme de topolojik izomorzma denir. Örnek G = K = (R, +) grup ve K üzerinde standart topoloji ve G üzerinde diskrit topoloji olsun. 1 : (R, +, τ d ) (R, +, τ s ) birim dön³ümü sürekli, izomorzmdir fakat tersi sürekli olmad ndan bu dön³üm topolojik izomorzma de ildir. Örnek G herhangibir topolojik grup ve g G olmak üzere π : G G h π(h) = ghg 1 dönü³ümü bir topolojik izomorzmadr. Not K Housdor olmak üzere π : G K sürekli homomor- zma ise Ker(π) G'nin kapal, normal altgrubudur. Önerme π : G K homorzmas e de sürekli ise π süreklidir. spat. π : G K homorzmas e de sürekli olsun O zaman K daki e nin U aç için π 1 (U), G de açktr. imdi W, K da açk olsun. π(u) W bo³ küme ise π 1 (W ) bo³ küme olcaktr ve dolasyla açktr. Bu nedenle π(g) = k olacak ³ekilde g G bir elemann var oldu unu varsayalm. Böylece k 1 W, K daki e nin bir açk kom³ulu udur. Dolasyla π 1 (k 1 W ) açktr. Bu nedenle π 1 (W ) = gπ 1 (k 1 W ) açktr. Önerme π : G K sürekli homomorzma ve H = Kerπ olsun. π : G/H K bir sürekli homomorzmadr. Önerme π : G K sürekli örten homomorzma ve H = Kerπ olsun. π bir açk dönü³üm ise π : G/H K bir topolojik izomorzmadr. spat. π nn tersnin sürekli oldu unu göstermemiz yeterli olacaktr. Buda π nn açk olmasna denktir. U nun G/H da açk olmas için gerek ve yeter ³art V = q 1 (U), G de açk olmasdr. Böylece U, G/H açk ise π(u) = π(v ), K da açktr. 82

84 Örnek π(r, +) S 1 t π(t) = e 2πit ³eklinde tanml dönü³üm sürekli homomorzma ve Kerπ = Z. Önermeden, π : R/Z S 1 bir topolojik izomorzmadr. Teorem GL(n) bir topolojik gruptur. spat. M, nxn tipindeki reel de i³kenli matrislerin kümesi olsun. A M R n2, A = (a ij ) olarak alalm. A = (a ij ) matrisini (a 11, a 12,..., a 1n, a 21,..., a 2n,..., a n1, a n2,..., a nn ) R n2 formunda dü³ünebiliriz. f : M M M (A, B) f(a, B) = A.B ³eklinde tanimlanan f fonksiyonu süreklidir. Çünkü A = (a ij ), B = (b ij ) ise f(a, B) = A.B nin ij inci bile³eni n k=1 a ikb kj = c ij dir. π ij : M R (a 1n,..., a nn ) π ij (a 1n,..., a nn ) = a ij fonksiyonu süreklidir. f ve π ij fonksiyonlar sürekli oldu undan π ij of : M M R (A, B) π ij of(a, B) = c ij fonksiyonu süreklidir. GL(n) M alalm. GL(n) için altuzay topolojisi olu³turulur. π ij ve π ij f dönü³ümleri sürekli oldu undan f : GL(n) GL(n) GL(n) (A, B) f(a, B) = A.B dönü³ümü süreklidir. Adj(A) ve deta dönü³ümleri sürekli oldu undan g : GL(n) GL(n) A g(a) = A 1 = 1 deta.adjoint(a) dönü³ümü süreklidir. Burada Adjoint(A), A matrisinin a ij elemann silip A ij kofaktörünü yazp ve elde edilen matrisin transpozesinialmak suretiyle elde edilen matristir. Özellikler (a) GL(n) kompakt de ildir. spat. f : M R, f(a) = deta fonksiyonu süreklidir. {0} R de kapal, R {0} R de açk f 1 (R {0}) = GL(n) R n2 açktr. Henri-Borel teoremine göre A R nin kompakt olmas için gerek ve yeter ³art A nn snrl ve kapal olmasdr. Bu durumda GL(n) kompakt de ildir. 83

85 (b) GL(n) ba lantl de ildir. spat. K = {A GL(n) : deta > 0}, L = {A GL(n) : deta < 0}, f : M R için f 1 ((0, )) = K, f 1 ((, 0)) = L dir. GL(n) = K L, K L = dir. Bu durumda GL(n) ba lantl de ildir. (c) O(n) ve SO(n) kapal alt gruplar GL(n) nin kompakt alt gruplardr. spat. A O(n) için A.A T = I, 1 i, k n, n j=1 a ija kj = δ ik ve f ik : M R, f ik (A) = n j=1 a ija kj = δ ik olsun. {0}, {1} R kapallar için f 1 1 ik ({0}) ve fii ({1}) 1 i n kümeleri kapaldr. Bu kümelerin arakesiti O(n) yi verir. Buradan da O(n) nin kapal oldu unu söyleyebiliriz. A.A T = I det(a.a T ) = deti = 1 deta.deta T = 1 (deta) 2 = 1 a ij < 1. O halde O(n) snrldr. O(n) kapal ve snrl oldu undan O(n) kompakttr. SO(n), O(n) in kapal alt kümesidir. Kompakt uzaylarn kapal alt uzaylar da kompakt oldu undan SO(n) kompakttr. (d) SO(2) S 1 dir. ( ) a b spat. f : SO(2) S 1, SO(2) için b a ( ) a b f = a + ib S b a 1 olsun. f, 1-1 ve örtendir. Teorem X kompakt, Y Hausdor uzay olmak üzere f : X Y bijektif ise f homeomorzmadr." O halde f homeomorzmdir. 7.2 Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar Tanm G bir topolojik grup ve X bir topolojik uzay olsun. A³a dakiler mevcut ise G, X üzerinde (soldan) hareket ediyor denir. (a) GxX X dönü³ümü süreklidir. (g, x) gx (b) g, h G, x X için hg(x) = h(g(x)) dir. 84

86 (c) e G ve x X için ex = x dir. Tanm (a) O(x) = {gx : g G} kümesine x elemann orbiti denir. (b) G x = {g G gx = x} kümesine x elemann stablizer grubu denir. (c) Herhangi x, y X için gx = y olacak ³ekilde bir g G varsa G'nin X üzerindeki harakete transitiidir denir (d) Bir x için gx = x iken g = e oluyorsa, G'nin X üzerindeki harakete serbest (yada yar-regüler) denir. (e) G'nin X üzerindeki haraketi hem transitii hemde serbest ise bu harakete regülerdir denir Örnek (a) Z R R (n, x) n + x O(x) = {n + x : n Z} = R/Z S 1 O(x) = S 1 (b) Z 2 S 1 S 1 ( 1, x) x (1, x) x O(x) = { x, x} = S n /Z 2 Rp n O(x) = Rp n (c) α : R R R (x, y) (x + 1, y) β : R R R (x, y) (1 x, y + 1) olmak üzere α ve β dönü³üm³eri tatafndan üretilen grup G olsun. G, R 2 üzerinde hareket etmektedir. Yani G R 2 R 2 (α, z) α(z) (β, z) β(z). Dolasyla orbit uzay O(x) = R 2 /G Kb (d) Z Z grubu, R R üzerinde hareket eder. Z 2 R 2 R 2 (m, z) m + z. Dolasyla orbit uzay O(x) = R 2 /Z 2 S 1 S 1 T 85

87 (e) (x 3) 2 + z 2 = 1 çemberinin z-ekseni etrafnda dönmesiyle elde edilen yüzey T torudur. α 1 : R 3 R 3 (x, y, z) (x, y, z) olmak üzere G 1 grubu α 1 tarafndan üretilen bir grup olsun. α 2 : R 3 R 3 (x, y, z) ( x, y, z) olmak üzere G 2 grubu α 2 tarafndan üretilen bir grup olsun. α 3 : R 3 R 3 (x, y, z) ( x, y, z) olmak üzere G 3 grubu α 3 tarafndan üretilen bir grup olsun. Her i = 1, 2, 3 için G i gruplarnn R 3 üzerinde hareketleri vardr. Orbit uzaylar R 3 /G 1 S 2, R 3 /G 2 T R 3 /G 1 Kb Teorem Kompakt topolojik grup G, Housdor topoljik uzay X üzerinde hareket etsin. G x, x elemanndaki stablizer grubunu göstermek üzere φ : G/G x O(x) gg x gx ³eklinde tanmlanan dönü³üm bir homeomorzmadr. spat. Dönü³ümün sadece bijektif oldu unu göstermemiz yeterlidir. φ(g 1 G x ) = φ(g 2 G) olsun. Bu durumda g 1 x = g 2 x ve böylece g 1 1 g 2 G x dir. Dolasyla g 1 G x = g 2 G yani φ injektiftir. sürjektiik kolayca gösterilece inden ödevdir. 7.3 Lie Gruplar Tanm M Hausdor topolojik uzayna ait her noktann kom³ulu u R n ye homeomorf ise M ye n-topolojik manifold denir. Tanm M Hausdor ve 2. saylabilir topolojik uzay olsun. A³a daki özellikelliklere sahip dönü³ümler koleksiyonu ile birlikte M uzayna smooth n-manifold (diferansiyellenebilir n-manifold) denir. (a) U M, V R n açk kümeler olmak üzere φ : U V dönü³ümü homeomorzmdir. (Bu dönü³ümlere harita denir. (b) x M, φ nin tanim kümesinde olmaldr. 86

88 (c) φ : U U ve ψ : V V haritalar için φ ψ 1 : ψ(u V ) φ(u V ), C snfndadr. (Bu dönü³üm her mertebeden sürekli ksmi türevlere sahiptir. (d) Harita koleksiyonu maksimal olacaktr. Tanm M ve N iki smooth n-manifold olsun. M üzerindeki harita ϕ ve N üzerindeki harita ψ için ψofoφ 1 smooth ise f : M N dönü³ümüne smooth dönü³üm denir. Tanm G diferensiyellenebilir manifold ve G bir grup olsun. E er α G : G G G (g, h) α G (g, h) = g.h 1 dönü³ümü diferensiyellenebilir ise G ye lie grup denir. Not Baz kitaplarda bu tanim ³u ³ekilde verilir; G diferensiyellenebilir manifold ve G bir grup olsun. (a) G G G (g, h) g.h diferensiyellenebilir ve (b) G G g g 1 diferensiyellenebilir ise G ye lie grup denir. Örnek (a) R n bir lie gruptur. Çünkü R n bir diferensiyellenebilir manifold ve dönü³ümü α R n : R n R n R n (x, y) α R n(x, y) = x y diferensiyellenebilirdir. (b) GL(n, R), SL(n, R), SO(n, R), O(n, R) birer lie gruptur. (c) nxn tipindeki üst üçgen matrislerin kümesi bir lie gruptur. (d) Exceptional lie gruplar: G 2, F 4, E 6, E 7, E 8 dir. (e) S 0, S 1, S 3 bunun üzerine bölüm yaps olu³turuyoruz. öyle ki mutlak de eri 1 olan reel saylar, kompleks saylar, quaternion... S 0 = RN, S 1 = R 2 N, S 3 = R 4 N sadece bunlar lie gruplardr. (f) Heisenberg gruplar lie gruptur. (g) Lorentz gruplar lie gruptur. (h) U(1)xSU(2)xSU(3) lie gruptur. (i) Metaplectic grup bir lie gruptur. Lemma

89 (a) ki lie grubunun çarpm da lie gruptur. (b) Lie grubunun kapal alt grubu lie gruptur. (c) Lie grubunun kapal normal alt grubu ile olu³turulan bölüm grubu bir lie gruptur. (d) Ba lantl lie grubunun evrensel örtüsü lie gruptur. Lie Gruplarnn Snandrlmas: (a) Cebirsel özellik (Basit, Yar basit, Çözülür, Nilpotent, Abel) (b) Ba lantllk (c) Kompaktlk 7.4 Lie Cebirleri Tanm k karakteristi i sfr olan bir cisim olmak üzere A bu cisim üzerinde bir vektör uzay olsun. A³a daki özellikleri sa layan i³lem [, ] : A A A (x, y) [x, y] ile birlikte A vektör uzayna Lie Cebiri denir; (a) x A için, [x, x] = 0. (b) x, y, z A için, [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0. Örnek (a) Lie cebiridir. (b) [A, B] = 0 olmak üzere bu i³lem ile birlikte R n bir [A, B] = AB BA olmak üzere bu i³lem ile birlikte GL(n, R) bir Lie cebiridir. (c) X, M üzereinde tanml diferansiyellenebilir fonksiyonlarn kümesi olsun. [X, Y ] = XY Y X i³lemine göre bu küme bir Lie cebiridir. Tanm A ve B Lie cebirleri olamk üzere ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] özelli ini sa layan ϕ : A B morzmine Lie cebir morzmi denir 7.5 Al³trmalar (a) G indiskret topoloji ile donatlm³ bir grup ise gösteriniz ki G bir topolojik gruptur. 88

90 (b) Bir G topolojik grubunun alt uzay topolojisi ile donatlm³ tüm altgruplar da topolojik grup olur mu? Açklaynz. (c) G = (Z 2, +) toplamsal grubunun üzerinde τ G = {, {0}, G} topolojisi tanmlanm³ olsun. G bir topolojik grup olur mu? Açklaynz. (d) G topolojik grup ve g G olsun. R g : G G ve h G için R g (h) = hg ³eklinde tanml R g dönü³ümünün bir homeomorzm oldu unu gösteriniz. (e) G bir topolojik grup ve g G olsun. f : G G ve h G için f(h) = ghg 1 bir topolojik izomorzmdir. Gösteriniz. (yol gösterme : f nin bir grup homomorzmas ve homeomorzm oldu unu görünüz.) (f) G = (R, τ disk, +) ve K = (R, τ s, +) olsun. G ve K nn birer topolojik grup oldu unu gösterin. Bu iki uzay topolojik olarak izomork olur mu? Açklaynz. (g) " " kompleks saylarda çarpma i³lemini göstersin. (S 1, τ S 1, ) nin bir topolojik grup oldu unu gösterin. f : (R, τ S, +) (S 1, τ S 1, ) dönü³ümü t R için f(t) = e 2πit ³eklinde tanml³ansn. (R,+) Z = S 1, topolojik izomorzm oldu unu gösteriniz. (yol gösterme : Kerf = Z oldu unu görünüz ve birinci izomorzma teoremini gerçekleyiniz.) 89

91 Bölüm 8 S MPLEKSLER 8.1 Ane Uzaylar Tanm A bir küme olsun. x, y A, t [0, 1] için (1 t)x+ty A oluyorsa A'ya konveks küme denir. Tanm A, Euclid uzaynn bir alt kümesi olsun. farkl x, y A için x ve y tarafndan olu³turulan do ru A'da bulunuyorsa A' ya ane alt küme denir. Not (a) Ane alt kümeler konvekstir. (b) Bo³ küme ve tek noktal kümeler ane kümelerdir. Teorem {X j } j J, R n e ait konveks (ane) alt kümeler ailesi olsun. O zaman j J X j konveks alt uzaydr. spat: x, y j J X j (x y) olsun. j J için x, y X j 'dir. j J için X j ler konveks alt küme oldu undan; j J için (1 t)x + ty X j 'dir. O halde (1 t)x + ty j J X j'dir. Tanm X, R n 'in bir alt kümesi olsun. X'i içeren R n 'e ait tüm konveks kümelerin arakesitine X'in konveks hull'u denir. Tanm p 0, p 1,..., p m, R n 'de noktalar olsun. p 0,..., p m noktalarnn ane kombinasyonu m x = t 0 p 0 + t 1 p t m p m ; t i = 1 90 i=1

92 ³eklinde tanmlanr. p 0, p 1,..., p m noktalarnn konveks kombinasyonu an kombinasyonudur öyleki t i 0, i = 0,... m'dir. Yani t 0 p 0 + t 1 p t m p m ; m t i = 1 ve t i 0, i = 0,..., m. i=1 Örnek x, y noktalarnn konveks kombinasyonu formundadr. (1 t)x + ty, t [0, 1] Teorem p 0, p 1,..., p m, R n 'de noktalar olsun. p 0,..., p m noktalar tarafndan gerilen [p 0,..., p m ] konveks küme, p 0,..., p m noktalarnn konveks kombinasyonlarn kümesidir. spat: S, tüm konveks kombinasyonlarn kümesini göstersin. S = [p 0, p 1,..., p m ] e³itli ini göstermemiz gerekir. lk önce [p 0, p 1,..., p m ] S oldu unu gösterelim. Bunun için S'nin p 0,..., p m noktalarn içeren konveks küme oldu unu göstermemiz yeterli olacaktr. t j = 1 ve di eleri için t j = 0 olsun. Bu durumda; t 0 p t j p j + + t m p m ; m t i = 1, t i 0, i = 0,..., m i=0 ve dolasyla j için p j S. m m α = a i p i, β = b i p i S (a i, b i 0; a i = 1; b i = 1) olsun. i=0 i=0 (1 t)α + tβ S oldu unu iddia ediyoruz. m m (1 t)α+tβ = (1 t) a i p i +t b i p i = i=0 i=0 m ((1 t)a i +tb i )p i S i=0 91

93 çünkü m (1 t)a i + tb i = (1 t) i=0 m b i = 1, (1 t)a i + tb i 0. i=1 Bunun sonucunda [p 0, p 1,..., p m ] S. S [p 0, p 1,..., p m ] ba ntsn gösterelim. X, p 0,..., p m noktalarn içeren bir konveks küme ise m 0 üzerinde tümevarm ile S X oldu unu gösterelim. m = 0 için S = p 0 'dr. m > 0 olsun. t i 0 ve m i=0 t i = 1 ise p = m i=0 t ip i X e ait olup olmad n görelim. t 0 1 oldu unu varsayabiliriz. Aksi halde p = p 0 olabilir ve bir üstteki ko³ul içine dü³er. Tümevarm hipotezinden q = t 1 1 t 0 p 1 + t 2 1 t 0 p t m 1 t 0 p m X ve böylece p = t 0 p 0 + (1 t 0 )q X çünkü X konvekstir. Dolasyla S X'dir. Sonuç olarak S = [p 0,..., p m ] e³itli ini elde ederiz. Sonuç {p 0, p 1,..., p m }, R n 'de noktalar olsun. {p 0,..., p m } noktalarnn gerdi i an küme bu noktalarn an kombinasyonunu içerir. Tanm R n 'de {p 0,..., p m } noktalarnn sral kümesini ele alalm. {p 1 p 0, p 2 p 0,..., p m p 0 } kümesi R n vektör uzaynn lineer ba msz alt uzay ise {p 0, p 1,..., p m } sral kümesine an ba mszdr denir. Not (a) R n 'nin lineer ba msz alt kümesi an ba msz kümedir. Tersi do ru de ildir çünkü orijin ile birlikte lineer ba msz küme ane ba mszdr. (b) Tek noktal küme {p 0 } an ba mszdr çünkü i 0 olmak üzere p i p 0 formunda noktalar yok ve φ bo³ kümesi lineer ba mszdr. 92

94 (c) p 1 p 0 0 olmas durumunda {p 0, p 1 } kümesi an ba mszdr. (d) {p 0, p 1, p 2, } noktalar ayn do ru üzerinde de ilse {p 0, p 1, p 2 } an ba mszdr. (e) {p 0, p 1, p 2, p 3 } noktalar ayn düzlem üzerinde de ilse {p 0, p 1, p 2, p 3 } an ba mszdr. Teorem {p 0,..., p m }, R n 'de sral küme olsun. A³a dakiler denktir: (a) {p 0,..., p m } an ba mszdr. (b) {s 0,..., s m } R kümesi m s i p i = 0 i=0 ve m s i = 0 e³itsizliklerini do ruluyor ise s 1 = s 2 = = s m = 0 dr. (c) A, {p 0,..., p m } tarafndan gerilen an küme olmak üzere x A eleman an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani x = Teorem {p 0,..., p m }, denktir: m t i p i i=0 (a) {p 0,..., p m } an ba mszdr. (b) {s 0,..., s m } R kümesi m s i p i = 0 i=0 ve i=0 m t i = 1. i=0 R n 'de sral küme olsun. A³a dakiler ve m s i = 0 e³itsizliklerini do ruluyor ise s 1 = s 2 = = s m = 0 dr. (c) A, {p 0,..., p m } tarafndan gerilen an küme olmak üzere x A eleman an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani x = m t i p i i=0 ve i=0 m t i = 1. spat ) 2) : {p 0, p 1,..., p m } an ba msz olsun. {s 0,..., s m } R kümesi m m s i p i = 0 ve s i = 0 i=0 93 i=0 i=0

95 e³itsizliklerini sa lasn. m s i p i = i=0 m m s i p i ( s i )p 0 = i=0 i=0 m s i (p i p 0 ) = 0 i=0 i = 1,..., m için p i p 0 lineer ba msz çünkü {p 0,..., p m } an ba msz. O halde; s 1 = s 2 = = s m = 0'dr. m s i = 0 i=0 oldu undan s 0 = 0'dr. 2) 3) : x A alalm. Sonuç den dolay x A eleman ane kombinasyon olarak ifade edilir. Böylece x A elemann tek türlü ifade edildi ni gösterelim. x = ve x = oldu unu varsayalm. m t i p i, i=0 m t ip i, i=0 m t i = 1 i=0 m t i = 1 i=0 m t i p i = i=0 m t ip i i=0 m (t i t i)p i = 0 i, t i t i = 0 i, t i = t i. i=0 3) 1) : x A eleman {p 0, p 1,..., p m } noktalarnn an kombinasyonu olarak tek türlü ifade edildi ini varsayalm. Yani {p o,..., p m } kümesinin an ba msz oldu unu göstermeliyiz. Yani; {p 1 p 0, p 2 p 0,..., p m p 0 } lineer ba msz oldu unu göstermeliyiz. Varsayalm ki {p 1 p 0,..., p m p 0 } lineer ba ml olsun. O halde; m r i (p i p 0 ) = 0 i=0 iken r i (hepsi sfr de il) vardr. r j 0 olsun. r j = 1 alalm. p j A ise p j = 1.p j 94

96 p j = i j r i p i + ( i j r i + 1)p 0 p j iki türlü ifade edilemeyece inden çeli³ki. O halde {p 1 p 0,..., p m p 0 } lineer ba mszdr. Sonuç {p 0,..., p m } sral küme olsun. An ba mszlk bu kümenin bir özellikelli idir. Tanm {a 1,..., a k }, R n 'de bir küme olsun. Bu kümenin (n+1) eleman an ba msz küme olu³turuyorsa, {a 1,..., a k } kümesi genel pozisyondadr denir. Not Genel pozisyonda olma özellikelli i n saysna ba ldr. {a 1, a 2,..., a k }, R n 'de genel pozisyon olsun. n = 1 için {a i, a j } an ba msz olmaldr. Yani tüm noktalar farkl olmal. n = 2 için üç nokta kolineer olmamaldr. n = 3 için dört nokta kodüzlem olmamaldr. Teorem k 0 için R n Euclid uzay genel pozisyonda k tane noktas vardr. Tanm {p 0, p 1,..., p m }, R n 'de an ba msz alt küme olsun. A'da bu alt küme tarafndan gerilen bir an küme olsun. x A ise teo 5.1.3'den m m x = t i p i, t i = 1. i=0 (t 0, t 1,..., t m ), (m+1)-bile³enine x elemannn bary-centric koordinat denir. i=0 p 0 p 1 t 0 = t 1 = 1 2 p 2 t 0 = t 1 = t 2 = 1, x = 1(p p 1 + p 2 ) p 0 p 1 95

97 p 3 p2 p 0 p 1 x = 1 4 (p 0 + p 1 + p 2 + p j ) Genel hali: 1 m+1 (p p m ) = x Tanm {p 0, p 1,..., p m }, R n 'de an ba msz alt küme olsun. Bu alt küme tarafndan gerilen konveks kümeye m-simpleks denir. [p 0, p 1,..., p m ] ile gösterilir (p i 'ler kö³eler olarak adlandrlr). Teorem {p 0, p 1,..., p m } an ba msz olsun. Bu durumda [p 0,..., p m ] m-simpleksinin her x eleman; x = m t i p i, i=0 m t i = 1, t i 0, i = 0,..., m i=0 formunda tek türlü yazlr. Tanm {p 0, p 1,..., p m } an ba msz olsun. [p 0,..., p m ] m- simpleksinin baricentrik koordinat; (t 0 = t 1 = = t m = 1 m+1 ) 1 m + 1 (p 0 + p p m ). Not Barisentrik sözcü ü a rlk anlamanda barys yunanca kelimesinde gelmektedir. Dolasyla barisentrik, a rlk merkezi anlamndadr Örnek [p 0 ] barisentrik'i kendisidir. [p 0, p 1 ] 1-simpleksinin barisentrik'i 1 2 (p 0 + p 1 )'dir. [p 0, p 1, p 2 ] 2-simpleksinin barisentrik'i 1 3 (p 0 + p 1 + p 2 )'dir. e i = (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0) R n+1 olmak üzere {e 0, e 1,..., e n } an ba mszdr. [e 0, e 1,..., e n ], x = n t i e i i=0 96

98 formundaki tüm konveks kombinasyonu içerir. [e 0, e 1,..., e n ]'in barisentrik koordinat (t 0, t 1,..., t n )'dir. p 0 = (0, 0, 0, 0... ) = e 0, p 1 = (1, 0, 0, 0... ) = e 1, p 2 = (0, 1, 0, 0... ) = e 2, p 3 = (0, 0, 1, 0,... ) = e 3, Tanm [p 0, p 1,..., p m ] bir m-simpleks olsun. Tüm barisentrik koordinatlar pozitif olan m-simplekse ait noktalrn kümesine açk k- simpleks denir. Örnek R n e ait p 0, p 1 noktalarn olu³turdu u açk aralk bir açk 1-simplekstir. R n e ait p 0, p 1, p 1 noktalarn olu³turdu u üçgenin içi açk 2- simplekstir. Tanm [p 0, p 1,..., p m ] bir m-simpleks olsun. p i noktasnn ters yüzü m [p 0, p 1,..., ˆp i,..., p m ] = { t j p j j=0 m t j = 1, t j 0}. j=0 [p 0, p 1,..., p m ] m-simpleksinin snr bu ters yüzlerin birle³imi ³eklinde tanmlanr. p 0 0-simplekste p 0 'in tersyüzü kendisi p 0 p 1 1-simplekste p 1 'in tersyüzü p 0 'dr. 97

99 p 2 p 0 p 1 2-simplekste p 2 'nin ters yüzü p 0 p 1 do ru parças p 3 p 0 p 2 p 1 3-simplekste p 0 'nin ters yüzü [p 1, p 2, p 3 ] 2-simplekstir Not (a) Bir m-simpleksin, m + 1 tane yüzü vardr. (b) [p 0, p 1,..., p m ] simpleksinin k-yüzü, k + 1 kö³e tarafndan gerilen bir k-simplekstir. Teorem S n-simpleksi, [p 0, p 1,..., p n ] ile gösterilsin. spat: i. u, v S ise u v Sup u p i. ii. diam S = Sup p i p j. iii. b, S'nin barisentrik'i ise b p i n n+1 i. v = n t i p i, i=0 u v = u = ( i=0 diam S. n t i = 1, t i 0, i = 0,..., n olsun. i=0 n n t i p i = ( t i )u n t i (u p i ) i=0 i=0 n t i p i i=0 n t i (u p i ) = i=0 n t i )Sup u p i = Sup u p i i=0 ii. Teoremin i ksmndan ve çap tanmndan, u p i Sup p j p i dir. 98 n t i u p i i=0

100 iii. b = 1 n n+1 j=0 p j oldu undan b p i = 1 n p j p i n + 1 j=0 = 1 n p j 1 n + 1 n + 1 = 1 n n + 1 j=0 n (p j p i ) j=0 n p i j=0 n Sup p j p i (i = j iken, p j p i ) j=0 n n + 1 Sup p j p i = n n + 1 diam S Tanm {p 0,..., p m } kümesi an ba msz ve A, bu noktalarn gerdi i an küme olsun. An dönü³üm m m m T : A R k t i p i T ( t i p i ) = t i T (p i ). i=0 özelli ini sa layan bir fonksiyondur. T 'nin S = [p 0,..., p m ]'ye kstlan³ yine bir an dönü³ümdür. i=0 i=0 Not (a) An dönü³üm, an kombinasyonu ve konveks kombinasyonu korur. (b) An dönü³üm, an ba msz küme üzerinde ald de erle belirlenebilir. (c) p 0,..., p m noktalarnn bary centric koordinatn tekli i bu tür T dönü³ümlerin varl n gösterir. Teorem [p 0,..., p m ] m-simpleks, [q 0,..., q n ] n simpleks ve f : {p 0,..., p m } [q 0,..., q n ] bir fonksiyon olsun. T (p i ) = f(p i ) olacak ³ekilde bir tek T : [p 0,..., p m ] [q 0,..., q n ] dönü³ümü mevcuttur. Y.G: T ( m i=0 t ip i ) = m i=0 tf(p i) 8.2 Simpleksler Kompleksi S = [v 0, v 1,..., v q ] q-simpleks olsun. Bu simplekslerin kö³elerinin kümesi V er(s) = {v 0,..., v q } ile gösterilsin. 99

101 Tanm S bir simpleks olsun. E er V er(s ) V er(s) ise S ne S simpleksinin yüzü denir. E er V er(s ) V er(s) ise S ne S simpleksinin has yüzü denir. Tanm Sonlu simpleksler kompleksi K a³a daki özellikellikleri sa layan sonlu simpleksler kolleksiyonudur. i. s K ise s nin yüzü de K ya aittir. ii. s, t K ise bu iki simpleksin arakesiti ya bo³tur ya da bu iki simpleksin ortak yüzüdür. Tanm Bir simpleksler kompleksi K bo³ k me ise K nn boyutu 1 dir. Bir simpleksler kompleksi K da m-simpleks var olacak ³ekilde m en büyük tam say ise K nn boyutu m dir. Örnek p 0 = (0, 0, 0), p 1 = (1, 0, 0), p 2 = (1, 2, 0), p 3 = (2, 3, 4) p 3 p 0 p 1 p 2 Bu üçgen prizmann snrlar bir simpleksler kompleksi olu³turur. 0-simpleksler: σ 0 1 = p 0, σ 0 2 = p 1, σ 0 3 = p 2, σ 0 4 = p 3 1-simpleksler: σ 1 1 =< p 0, p 1 >, σ 1 2 =< p 0, p 2 >, σ 1 3 =< p 0, p 3 >, σ 1 4 =< p 1, p 2 >, σ 1 5 =< p 1, p 3 >, σ 1 6 =< p 2, p 3 > 2-simpleksler: σ1 2 =< p 0, p 1, p 2 >, σ2 2 =< P 1, P 2, P 3 >, σ3 2 =< p 0, p 2, p 3 >, σ4 2 =< p 0, p 1, p 3 > 3-simpleksler: σ 3 1 =< p 0, p 1, p 2, p 3 > 100

102 Örnek v 5 v 2 v 3 v 0 v 1 v 4 [v 1, v 2 ] [v 3, v 5 ] = [v 3 ] v 3 ortak yüz de ildir. simpleksler kompleksi de il. v 2 v 3 v 0 v 1 v 4 v 5 simpleksler kompleksi de il. v 1, v 3 ortak yüz de il. Tanm (a) K bir simpleksler kompleksi olsun. K'nn geometrik reallizasyonu(underlying uzay) K = s s K ³eklinde tanimlanr. (K, R n 'in alt uzay) (b) X topolojik uzay verilsin. h : K X homeomorzma olacak ³ekilde simpleksler kompleksi K varsa X'e polihedron(polyhedron) denir. (K, h) ikilisine X'in üçgenle³tirilmesi(triangulation) denir. Not (K), Euclid uzaynn kompakt alt uzaydr. s, K'da bir simpleks ise s = s'dir. Simpleksler kompleksi K simplekslerden olu³an sonlu küme iken K nn geometrik realizasyonu K Euclid uzaynn bir alt uzaydr. geometrik realizasyonu K, noktalar do ru parçalar, üçgen düzlemler, üçgen prizma(teterahedron) içerir. Örnek X = {(cos θ, sin θ) R 2 0 θ π/2} ³eklinde verilsin. X polihedrondur. Herhangi bir 1-sim leks [p 0, p 1 ] olsun. Simpleksler kompleksi K = {[p 0 ], [p 1 ], [p 0, p 1 ]}, X'in üçgenle³tirilmi³idir çünkü K X bir homemorzmadr. Simpleksler kompleksi L = {[p 0 ], [p 1 ], [p 2 ][p 0, p 1 ], [p 1, p 2 ]}, X'in bir ba³ka üçgenle³tirilmi³idir çünkü L X bir homemorzmadr. 101

103 Örnek = { t i v i i=0 2 t i = 1, t i 0, i = 0, 1, 2} i=0 standart 2-simpleks ( 2 R n ) K = 2 standart 2-simpleksindeki tüm 0-simpleks ve tüm 1-simplekslerin kolleksiyonu olsun. v 2 v 0 v 1 2 simpleks K = {[v 0 ], [v 1 ], [v 2 ], [v 0, v 1 ], [v 0, v 2 ], [v 1, v 2 ]} K simpleksler kompleksin kolleksiyonu iki ko³ulu da sa lar. K nn geometrik realizasyonu üçgen olacaktr. v 2 L : K = X = S 1 v 0 v 1 homeorzmas var. O halde çember polihedrondur. Tanm n-boyutlu simpleksler kompleksi K olsun. Her bir r (0 r n) için, K r, simpleksler kompleksi K'ya ait boyutu r den küçük veya e³it olan tüm simplekslerin kümesini göstersin. Simpleksler kompleksi K r ye K nn iskeleti(skeleton) denir. Böylece K r, K nn altpolihedrondur. Örnek Simpleks [p 0, p 1, p 2, p 3 ] in tüm yüzeylerini içereni K ile gösterelim. K, K nn 2-boyutlu iskeleti olarak alalm. Böylece K, [p 0, p 1, p 2, p 3 ] in has yüzeylerini içerir. Dolasyla K, S 2 ye homeomorftur. Bu da bize S 2 nin bir polihedron oldu unu gösterir. Tanm K ve L iki simpleksler kompleksi olsun.{p 0, p 1,..., p q } noktalar, K'da bir simpleksi gererken {ϕ(p 0 ), ϕ(p 1 ),..., ϕ(p q )} noktalar L'de bir simpleksi gerecek ³ekilde tanimlanan ϕ : K L fonksiyona simpleksler dönü³üm denir. Tanm K ve L iki simpleksler kompleksi olmak üzere ϕ : K L, K daki kö³eler ile L deki kö³eler arasnda bijektif ise ϕ' ye K 102

104 ve L arasbda bir izmorzm denir. K ve L ye de izmork simpleksler kompleksi denir. Önerme Simpleksler dönü³ümün birle³imide simpleksler dönü³ümüdür. spat: spat okuyucuya ödev olarak biraklm³tr Tanm i için t i > 0 olacak ³ekilde m i=1 t ip i noktalrna ait P simpleksin alt kümesine P 'nin içi denir. P ile gösterilir. Örnegin, bir 0-simpleksin içi kendisidir. Ayrca bir dijital m-simpleks açk simplekslerin ayrk birle³imi oldu u gözlenmelidir. Tanm K bir m-simpleksler kompleksi ve p V er(k) olsun. O zaman p nin yldz st(p) = S ³eklinde tanmlanr. Burada S K ve p V er(k). Tanm K bir simpleksler kompleksi olsun. dimk = sup{dim(s)}. s K Teorem K ve L iki simpleksler kompleksi olsun. E er f : K L homeomorzm ise dimk = diml'dir. Tanm Bir simpleksler kompleksi K olsun. Kö³eler çifti x, y K için, x = p 0, y = p m olacak ³ekilde K da [p i, p i+1 ] 1-simpleksler dizisi var ise K ya ba lantldr denir. Not Simpleksler kompleksi K nn r-boyutlu iskeletsi K r (r 1) ba lantl iken K 0 ba lantl de ildir. Küre, Möbius ³eridi, Projektif düzlem, ve Tor gibi yüzeylerin üçgenle³tirilmesi ba lantldr. Tanm K ve L iki simpleksler kompleksi olmak üzere ϕ : K L simpleksler dönü³ümü ve f : K L sürekli dönü³üm olsun. K nn her kö³esi p için f(st(p)) st(ϕ(p)) ise f ye ϕ dönü³ümünün simpleksler yakla³m denir. Önerme ϕ simpleksler dönü³ümünün yakla³m f olsun. 103

105 f süreklidir. f homeomorzm olmas için gerek ve yeter ³art ϕ izomorzmdir. f 1 : K L fonksiyonu ϕ 1 : K L dönü³ümünün yakla³m ve f 2 : L M fonksiyonu ϕ 2 : L M simpleksler dönü³ümün yakla³m ise f 2 f 1 : K M, ϕ 2 ϕ 1 'in simpleksler yakla³m fonksiyonudur. spat spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr. Önerme Simpleksler kompleksi K ya ait kö³eler kümesi {p 0, p 1,..., p m }, K da bir simpleks olu³turabilmesi için gerek ve yeter ³art m i=0st(p i ) 0 olmasdr. spat spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr. Tanm Bir simpleksler kompleksi K nn ³ebekesi veya a (mesh), mesh(k) = max{diam(s) S, K da bir simpleks} ³eklinde tanmlanr ve mesh(k) ile gösterilir. Not Bir 0-boyutlu simpleksler kompleksi K nn ³ebeksi, 0 = mesh(k) = mesh(k 0 ) = mesh(k 1 ) = Lemma Bir pozitif boyutlu simpleks S nin kö³eleri v, w olmak üzere diam(s) = v w dir. spat spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr. Teorem Pozitif boyutlu simpleksler komplesi K olmak üzere lim r mesh(kr ) = 0 dir. spat Simpleksler komplesi K nn boyutu n olsun. lk önce K ile K nn ³ebekelrini kar³la³tralm: Simpleksler komplesi K iki simples σ ve τ alalm ve σ, τ nun bir has yüzü olsun. τ nun barisentri i τ = 1 m + 1 m i=0 p i olsun. 104

106 τ σ τ p (p, τ nun bir kö³esi) 1 m = p i p 1 m p i p m + 1 m + 1 i=0 1 m + 1 m mesh(k) = i=0 m m + 1 mesh(k). Böylece mesh(k 1 ) m mesh(k). Bu i³lelemleri tekrarlayarak yapt mzda m+1 mesh(k r m ) ( m + 1 )r mesh(k) olur. Dolasyla lim r ( m m+1 )r = 0. Buda istedi imiz sonuca götürür. Teorem Simpleksler Kompleks K ve L olmak üzere ϕ : K L simpleksler dönü³ümü ve f : K L sürekli dönü³üm olsun. Sürekli dönü³üm f ye homotop olacak ³ekilde φ : K r L simpleksler dönü³ümü vardr. spat spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr. ALI TIRMALAR 1. f : K X sürekli olmas için gerek ve yeter ³art σ K için f σ sürekli olmasdr. Gösteriniz. 2. L, K'nn bir alt kompleksi olsun. L'nin polytopu L, K nn kapal alt uzaydr. E er σ K ise, K nn bir kapal altuzaydr. Gösteriniz. 3. K polihedronu, Hausdor uzay mdr? Kompakt uzay mdr? Açklaynz. 4. Simpleksler kolleksiyonu K nn simpleksler kompleksi olmas için gerek ve yeter ³art hem K'ya ait bir simpleksin her yüzünün K da olmas hem de K'ya ait farkl simpleksler çiftinin ayrk içlere sahip olmasdr. Gösteriniz. 5. ki simpleksler dönü³ümün bile³kesi simpleksler dönü³üm olur mu? Açklaynz. 6. f : K (0) L (0) bijektif dönü³üm ve K'nn kö³eleri v 0,..., v n nin K'ya ait bir simpleksi germesi için gerek ve yeter ³art f(v 0 ),..., f(v n ) nin L'ye ait bir simpleksi germesidir. f'nin indirgedi i dönü³üm g : K L bir homeomorzmdir. Gösteriniz. 7. Simpleksler kompleksi olmayan kompleks örne i veriniz. 8. B 2 bir konveks küme midir? Açklaynz. 9. n, n-simpleksi ve simpleksin yüzlerini içeren simpleksler kompleksi 105

107 olmak üzere K, sonlu simpleks ise K, n simpleksler kompleksinin bir alt kompleksine izomorftur. Gösteriniz. 10. S n-simpleksi, [p 0, p 1,..., p n ] ile gösterilsin. u, v S ise u v Sup u p i oldu unu gösteriniz. 11. S n-simpleksi, [p 0, p 1,..., p n ] ile gösterilsin. b, S'nin barisentrik'i ise b p i n diam S oldu unu gösteriniz. n R n nin her A an alt kümesi, bir sonlu küme tarafndan gerilir. Gösteriniz. 13. Her an dönü³üm süreklidir. Gösteriniz. 14. T : R n R k bir an dönü³üm olsun. λ : R n R k bir lineer dönü³üm ve y 0 R k sabit olmak üzere T (x) = λ(x) + y 0 dr. Gösteriniz. 15. Herhangi iki m-simpleksin homeomork oldu unu gösteriniz. 16. {p 0,..., p m } an ba msz ve b, barisentrik olsun. i için {b, p 0,..., p i,..., p m } kümesi an ba msz olur mu? Açklaynz. 17. st(v) yol ba lantl olur mu? Açklaynz. 18. Bir p R m noktasnn, (a 0, a 1,..., a n ) simpleksinin kö³esi olmas için gerek ve yeter ³art (a 0, a 1,..., a n )\{p} nin konveks olmasdr. Gösteriniz. 19. K 1 ve K 2, K'nn simpleksler altkompleksleri ise K 1 K 2 ve K 1 K 2 de K nn simpleksler altkompleksleri olur mu? Gösteriniz. 20. K polihedronunun ba lantl olmas için gerek ve yeter ³art K nn ba lantl olmasdr. Gösteriniz. 21. Simpleksler kompleksi K ya ait kö³eler kümesi {p 0, p 1,..., p m }, K da bir simpleks olu³turabilmesi için gerek ve yeter ³art m i=0st(p i ) 0 olmasdr. 106

108 Bölüm 9 S MPLEKSKER HOMOLOJ GRUPLARI Tanm K oriented simpleksler kompleksi olsun. Z q (K) = Ker q (9.1) = {< p 0, p 1,..., p q > C q (K) q (< p 0,..., p q >) = 0} (9.2) grubuna q-devir grubu denir. B q (K) = Im q+1 (9.3) = {< p 0, p 1,..., p q > C q (K) q+1 (< p 0,..., p q+1 >) =< p 0, p 1,..., p q >} (9.4) grubuna q-snr grubu denir. Teorem den a³a daki sonuçu söyleyebiriz. Lemma B q (K) Z q (K) C q (K)'dr. Tanm K, m boyutlu bir simpleksler kompleksi olsun. H q (K) = bölüm grubuna q. boyutta simpleksler homoloji grubu denir. Z q(k) B q(k) Teorem (a) K = ise H 0 (K) = 0'dir. 107

109 (b) K = {x 0 } bir 0-simpleks ise H q (K) = 0, q 1 spat: (a) K = olsun. C 0 (K) = 0, C 1 (K) = 0, C 2 (K) = 0; C i (K) = 0 i C 3 (K) 3 C 2 (K) 2 C 1 (K) 1 C 0 (K) 0 Dolasyla (b) K = {x 0 } olsun. Z 0 (K) = Ker 0 = 0 B 0 (K) = Im 1 = 0. H 0 (K) = Z 0(K) B 0 (K) = {0}. C 0 (K) =< x 0 > = Z, ve C i (K) = {0} i 1. Buradan a³a daki ksa diziyi elde ederiz; 0 1 C 0 (K) 0 0. Bu diziden hemen a³a dakini elde edeiz; Z 0 (K) = Ker 0 = C 0 (K) Z, B 0 (K) = Im 1 = {0}. Sonuç olarak H 0 (K) = Z. Teorem f : X Y homeomorf ise f : H q (X) H q (Y ) izomorftur. spat: Okuyucuya braklm³tr. Örnek Klein i³esi Klein ³i³esinde, 1 tane 0-simpleks ([v]), 3 tane 1-simpleks ( [a], [b], [c]), ve 2 tane 2-simpleks ([U], [L]) vardr. Böylece C 0 (Kb) = Z, C 1 (Kb) = Z Z Z, C 2 (Kb) = Z Z. Di er taraftan q 3 için C q (Kb) = {0} dir. A³a daki ksa diziyi elde edriz; 0 3 C 2 (Kb) 2 C 1 (Kb) 1 C 0 (Kb)

110 Bu ksa diziden hemen Ker 0 = C 0 (Kb) = Z ve Im 3 = {0} e³itliklerini elde ederiz. p U + q L C 2 (Kb) için 2 (pu + ql) = p 2 (U) + q 2 (L) (9.5) = p ( a b + c) + q ( c a + b) (9.6) = (p + q) a + (q p) (b c) (9.7) O halde 2a ve b a c elemanlar Im 2 yi üretir. Buradan; Im 2 = 2Z Z dir. imdi 2 nin çekirde ini tespit edelim. 2 (pu + ql) = 0 olsun. O zaman (p + q) a + (q p) (b c) = 0 p = q = 0. Böylece Ker 2 = {0} dir. r 1 a + r 2 b + r 3 c C 1 (Kb) için 1 (r 1 a + r 2 b + r 3 c) = r 1 1 (a) + r 2 1 (b) + r 3 1 (c) (9.8) = r 1 (v v) + r 2 (v v) + r 3 (v v) (9.9) = 0 (9.10) elde edilir. Bu durumda Ker 1 = Z Z Z ve Im 1 = {0} dir. Sonuç olarak Klein i³esinin simpleksler homoloji grubu; Z, q = 0, H q (KB) = Z 2 Z, q = 1 0, q 0,

111 Örnek Tor Torda, 1 tane 0-simpleks ([v]), 3 tane 1-simpleks [a], [b], [c]), ve 2 tane 2-simpleks ([U], [L]) vardr. Dlasyla C 0 (T ) = Z, C 1 (T ) = Z Z Z, C 2 (T ) = Z Z Di er taraftan q 3 için C q (T ) = {0} dir. 0 3 C 2 (T ) 2 C 1 (T ) 1 C 0 (T ) 0 0 Bu ksa diziden hemen Ker 0 = C 0 (T ) = Z ve Im 3 = {0} olduklarnz görürüz. pu + ql C 2 (T ) için 2 (pu + ql) = p 2 (U) + q 2 (L) (9.11) = p ( a b + c) + q (a + b c) (9.12) = p ( a b + c) + q (a + b c) (9.13) = (p q) (c a b) (9.14) O halde Im 2 = Z olur. imdi 2 nin çekirde ini hesaplayalm. 2 (pu + ql) = 0 olsun. O zaman Böylece Ker 2 = Z dir. r 1 a + r 2 b + r 3 c C 1 (T ) için (p q) (c a b) = 0 = p = q. 1 (r 1 a + r 2 b + r 3 c) = r 1 1 (a) + r 2 1 (b) + r 3 1 (c) (9.15) = r 1 (v v) + r 2 (v v) + r 3 (v v) (9.16) = 0 (9.17) 110

112 elde edilir. O zaman Ker 1 = C 1 (T ) = Z Z Z ve Im 1 = {0} oldu unu görürüz. Sonuç olarak Tor'un simpleksler homoloji grubu; Z, q = 0, Z Z, q = 1 H q (T ) = Z, q = 2 0, q 0, 1,

113 Örnek Reel Projektif Düzlem Reel Projektif Düzleminde, 2 tane 0-simpleks ([v], [w]), 3 tane 1- simpleks ([a], [b], [c]), ve 2 tane 2-simpleks ([U], [L]) vardr. Dolasyla C 0 (RP 2 ) = Z Z, C 1 (RP 2 ) = Z Z Z, C 2 (RP 2 ) = Z Z Di er taraftan q 3 için C q (RP 2 ) = {0} dir. 0 3 C 2 (T ) 2 C 1 (T ) 1 C 0 (T ) 0 0 Bu ksa diziden hemen Ker 0 = C 0 (RP 2 ) = Z Z ve Im 3 = {0} olduklarnz görürüz. pu + ql C 2 (RP 2 ) için, 2 (pu + ql) = p 2 (U) + q 2 (L) (9.18) = p ( a + b + c) + q ( a + b c) (9.19) = a (p + q) + b (p + q) + c (p q) (9.20) = (p + q) (b a) + (p q) c (9.21) O halde Im 2 in üreteçleri, 2(b a) ve a c + b dir. Buradan Im 2 = 2Z Z oldu unu rahatlkla söyleyebiliriz. imdi 2 nin çekirde ini hesaplayalm. 2 (pu + ql) = 0 (9.22) (p + q) (b a) + (p q) c = 0 (9.23) (p + q) (b a) + (p q) c = 0 p = q =

114 O halde Ker 2 = {0} dir. r 1 a + r 2 b + r 3 c C 1 (T ) için, 1 (r 1 a + r 2 b + r 3 c) = r 1 1 (a) + r 2 1 (b) + r 3 1 (c) (9.24) = r 1 (w v) + r 2 (w v) + r 3 (v v) (9.25) = (w v) (r 1 + r 2 ). (9.26) O zaman Im 1 'in üreteçi bir tanedir. Yani Im 1 = Z dir. Im 1 'in çekirde ini tespit edelim. 1 (r 1 a + r 2 b + r 3 c) = 0 olsun. O zaman (w v) (r 1 r 2 ) = 0 = r 1 = r 2. Böylece Ker 1 = Z Z olur. Sonuç olarak Reel Projektif Düzlemin simpleksler homoloji grubu; Örnek Möbiüs eridi Z, q = 0, H q (RP 2 ) = Z 2, q = 1 0, q 0, 1. 2 tane 0-simpleks [x], [y] var. Bunlar baz kabul eden serbest abel grubu C 0 (Mb) ile gösterelim. Biz baz 2 tane olan serbest abel grubun Z Z oldu unu biliyoruz ve bu serbest abel grupta çal³mak bizim için daha al³agelmi³ oldu undan C 0 (Mb) Z Z alyoruz. Bu mantkla n tane k-simpleksi baz kabul eden serbest abel grubunu C k (Mb) ile gösterece iz ve ona izomorf olan n tane Z nin direkt toplamn olan serbest abel grubunda çal³aca z. 4 tane 1-simpleks [α], [β], [δ], [γ] var. O halde C 1 (Mb) Z Z Z Z 2 tane 2-simpleks [U], [L] var. O halde C 2 (Mb) Z Z Ve q 3 için C q (Mb) {0} dir C 2 (Mb) C 1 (Mb) C 0 (Mb) 0 113

115 Burada; Ker 0 = C 0 (Mb) Z Z ve Im 3 = {0} oldu u açktr. 2 : C 2 (Mb) C 1 (Mb) homomorzmasn ele alalm. p, q Z ve p[u] + q[l] C 2 (Kb) için 2 (p[u] + q[l]) = p 2 [U] + q 2 [L] = p ( α β + γ) + q ( α γ + δ) = (p + q) α p β + qδ + (p q)γ O zaman önce Im 2 yi hesaplayalm. (p+q) = ω 1, p = ω 2, q = ω 3, p q = ω 4 diyelim ω 4 = ω 2 ω 3 ve ω 1 = ω 2 ω 3 ³eklinde yazlabiliyor. Im 2 = {ω 1 α+ω 2 β+ω 2 δ+ω 4 γ} = {(ω 2 ω 3 )α+ω 2 β+ω 3 δ+( ω 2 ω 3 )γ} = {ω 2 ( α + β γ) + ω 3 ( α + δ γ)} Z Z ( Bu durumda C 1 (Mb) de geriye sadece 2 baz kalr. Baz iki olan ve çal³labilecek en kolay serbest grup Z Z oldu undan Im 2 Z Z dir.) imdi Ker 2 yi hesaplayalm: 2 (pu +ql) = 0 olsun. Bu durumda = (p+q) α p β+qδ+(p q)γ = 0 dr. Ker 2 C 2 (Mb) serbest altgrubu oldu undan lineer ba mszdr. O halde p q = 0 p = 0 q = 0 p q = 0 olur. Buradan p = q = 0 dr. Ker 2 = 0 dr. 1 : C 1 (Mb) C 0 (Mb) homomorzmasn ele alalm. r 1, r 2, r 3 r 4 Z ve r 1 [α]+r 2 [β]+r 3 [δ]+ r 4 [γ] C 1 (Mb) için 1 (r 1 [α] + r 2 [β] + r 3 [δ] + r 4 [γ]) = r 1 1 ([α]) + r 2 1 ([β]) + r 3 1 ([δ]) + r 4 1 ([γ]) = r 1 (y x) + r 2 (x y) + r 3 (y x) + r 4 (x x) = (r 1 r 2 + r 3 )(y x) + r 4 (x x) elde edilir. Ker 2 yi hesaplayalm. 1 (r 1 [α] + r 2 [β] + r 3 [δ] + r 4 [γ]) = 0 olsun. O zaman (r 1 r 2 +r 3 )(y x)+r 4 (x x) = 0 dr. Yine lineer ba mszlktan r 1 r 2 + r 3 = 0 ve r 4 Z dir. r 2 = r 1 + r 3 ³eklinde yazlabildi inden r 1, r 3, r 4 katsaylar kalr. O zaman Ker 2 Z Z Z dir. Im 1 yi hesaplayalm. 1 (r 1 [α]+r 2 [β]+r 3 [δ]+r 4 [γ]) = (r 1 r 2 +r 3 )(y x) + r 4 (x x) = r(y x) olur. Yani Im 1 = {r(y x) r Z} Z dir. 114

116 Artk Möbiüs eridinin homoloji gruplarn hesaplayabiliriz. H 0 (Mb) = Ker 0 Im 1 Z H 1 (Mb) = Ker 1 Im 2 Z Z H 2 (Mb) = Ker 2 Im 3 = {0} H q (Mb) = {0} q 3 dir. Örnek p 0 = (0, 0, 0), p 1 = (1, 0, 0), p 2 = (1, 2, 0), p 3 = (2, 3, 4) P 3 P 0 P 1 P 2 σ 0 1 =< p 0 >, σ 0 2 =< p 1 >, σ 0 3 =< p 2 >, σ 0 4 =< p 3 > σ1 1 =< p 0, p 1 >, σ2 1 =< p 0, p 2 >, σ3 1 =< p 0, p 3 >, σ4 1 =< p 1, p 2 > σ5 1 =< p 1, p 3 >, σ6 1 =< p 2, p 3 > σ 2 1 =< p 0, p 1, p 2 >, σ 2 2 =< p 1, p 2, p 3 >, σ 2 3 =< p 0, p 2, p 3 >, σ 2 4 =< p 0, p 1, p 3 > C 0 (K) =< σ 0 1 > < σ 0 2 > < σ 0 3 > < σ 0 4 > Z Z Z Z = Z 4 C 1 (K) =< σ 1 1 > < σ 1 2 > < σ 1 3 > < σ 1 4 > < σ 1 5 > < σ 1 6 > = Z 6 115

117 C 2 (K) =< σ 2 1 > < σ 2 2 > < σ 2 3 > < σ 2 4 > = Z 4 C 3 (K) =< σ 3 1 > = Z C i (K) = 0 i C 2 (K) 2 C 1 (K) 1 C 0 (K) 0 0 Z 0 (K) = Ker 0 = C 0 (K) = Z Z 4 2 Z 6 1 Z B 0 (K) = Im 1 (9.27) = {a 1 < σ 0 1 > +a 2 < σ 0 2 > +a 3 < σ 0 3 > +a 4 < σ 0 4 > a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 0} (9.28) = Z 3 (Üreteç says 3) (9.29) Dolasyla sfrnc boyutta homoloji grubu; H 0 (K) = Z 0(K) B 0 (K) = Z4 Z 3 = Z Hatrlatma: i (< p 0, p 1,..., p m >) = m ( 1) i < p 0, p 1,..., ˆp i,..., p m > i=0 1 (σ1) 1 = p 1 p 0 (9.30) 1 (σ2) 1 = p 2 p 0 (9.31) 1 (σ3) 1 = p 3 p 0 (9.32) 1 (σ4) 1 = p 2 p 1 (9.33) 1 (σ5) 1 = p 3 p 1 (9.34) 1 (σ6) 1 = p 3 p 2 (9.35) 116

118 1 snr homomorzmasnn matrisi; (σ 2 1) =< p 1, p 2 > < p 0, p 2 > + < p 0, p 1 > (9.36) 2 (σ 2 2) =< p 2, p 3 > < p 1, p 3 > + < p 1, p 2 > (9.37) 2 (σ 2 3) =< p 2, p 3 > < p 0, p 3 > + < p 0, p 2 > (9.38) 2 (σ 2 4) =< p 1, p 3 > < p 0, p 3 > + < p 0, p 1 > (9.39) 2 snr homomorzmasnn matrisi; Verilen piramidin homoloji grubu; { Z, q = 0, 2 H q (K) = 0, q 0, 2. (9.40) 9.1 Simpleksler Kompleksin Euler Karakteristi i (K, f), S 2 kürenin bir üçgenle³tirilmi³i olsun. V, kö³eler(0-simpleksler) saysn, E kenarlar(1-simpleksler) saysn ve F yüzeyler(2-simpleksler) saysn gösterüzere Euler formulü nün V E + F = 2 oldu unu biliyoruz. imdi bunu genelle³tirelim; 117

119 Tanm K, m-boyutlu simpleksler kompleksi olsun. q 0 için α q, K'daki q-simpleksler kompleksinin says olsun. K simpleksler kompleksinin Euler karakteristi i: χ(k) = m ( 1) q α q q=0 ³eklinde tanmlanr. Teorem K, m-boyutlu oriyantal simpleksler kompleksi olsun. χ(k) = m ( 1) q rank(h q (K)). q=0 spat: A³a daki zincir kompleksini ele alalm; 0 m+1 C m (K) m C m 1 (K) m 1 1 C0 (K) 0 0. Her q için C q (K) rank α q olan serbest abel grupttur. H q (K) = Zq(K) B q(k) oldu undan rankh q (K) = rankz q (K) rankb q (K) Im m+1 = 0 oldu undan B m (K) = 0 dir. Her q 0 için tam dizisi vardr. 0 Z q (K) C q (K) q B q 1 (K) 0 α q = rank C q (K) = rank Z q (K) + rank B q 1 (K) χ(k) = = m m ( 1) q α q (K) = ( 1) q (rank Z q (K) + rank B q 1 (K)) q=0 q=0 (9.41) m m ( 1) q rank Z q (K) + ( 1) q rank B q 1 (K)) (9.42) q=0 q=0 118

120 B 1 (K) = 0 = B m (K) oldu undan χ(k) = = = m m ( 1) q rank Z q (K) + ( 1) q+1 rank B q (K) (9.43) q=0 q=0 m ( 1) q (rank Z q (K) rank B q (K)) (9.44) q=0 m ( 1) q rank H q (K). (9.45) q=0 Örnek H i (S 2 ) = { Z, i = 0, 2 0, i 0, 2 H i (D 2 ) = { Z, i = 0 0, i 0 Z, i = 0, 2 H i (T ) = Z Z, i = 1 0, i 0, 1, 2 Z, i = 0 H i (Kb) = Z Z 2, i = 1 0, i 0, 1 H i (Mb) = { Z, i = 0, 1 0, i 0, 1 H i (S 1 ) = H i (S 1 I) = { Z, i = 0, 1 0, i 0, 1 { Z, i = 0, 1 0, i 0, 1 Z, i = 0 H i (RP 2 ) = Z 2, i = 1 0, i 0, 1 Yukardaki Homoloji gruplarn kullanarak Euler karakteristi ini hesaplayabiliriz; χ(s 2 ) = ( 1) i rank H q (S 2 ) (9.46) q=0 = ( 1) 0 rank S 2 (T ) + ( 1) 1 rank H 1 (S 2 ) + ( 1) 2 rank H 2 (S 2 ) +... (9.47) = = 2 (9.48) 119

121 χ(t ) = ( 1) q rank H q (T ) (9.49) q=0 χ(rp 2 ) = χ(kb) = = ( 1) 0 rank H 0 (T ) + ( 1) 1 rank H 1 (T ) + ( 1) 2 rank H 2 (T ) +... (9.50) = 1 + ( 1) = 0 (9.51) ( 1) q rank H q (RP 2 ) (9.52) q=0 = ( 1) 0 rank H 0 (RP 2 ) + ( 1) 1 rank H 1 (RP 2 ) + ( 1) 2 rank H 2 (RP 2 ) +... (9.53) = 1 + ( 1) = 0 (9.54) ( 1) q rank H q (Kb) (9.55) q=0 = ( 1) 0 rank H 0 (Kb) + ( 1) 1 rank H 1 (Kb) + ( 1) 2 rank H 2 (Kb) +... (9.56) = 1 + ( 1) = 0 (9.57) 9.2 Homoloji ve Simpleksler Dönü³ümü ϕ : K L simpleksler dönü³üm olsun. ϕ, ϕ = ϕ e³itli ini do rulayan ϕ : C q (K) C q (L) lineer dönü³ümü üretti ini biliyoruz. [c] = c + B q (K), H q (K) bir eleman göstersin. Dolasyla c Z q (K) dir yani (c) = 0 ve böylece ϕ (c) = ϕ (c) = 0 oldu undan ϕ (c) Z q (L) dir. c c B q (K) ise bir u C q+1 (K) için ϕ (c c ) = ϕ ( (u)) = (ϕ (u)) dir. Yani ϕ (c) + B q (L) = ϕ (c ) + B q (L). Dolasyla H(ϕ) : H q (K) H q (L) c+b q (K) H(ϕ)(c+B q (K)) = ϕ (c)+b q (L). Tanm ϕ, ψ : K L iki simpleksler dönü³üm olsun. Her q için q+1 h + h q = ϕ ψ e³itli ini do rulayan h : C q (K) C q+1 (L) lineer dön³ümü varsa ϕ ve ψ dönü³ümleri zincir homotoptur denir. 120

122 Teorem ϕ ve ψ arasnda bir zincir homotopi varsa spat: [c] = c + B q (K) H q (K) olsun. H(ϕ) = H(ψ). q+1 h(c) + h q (c) = ϕ (c) ψ (c). q (c) = 0 oldu undan ϕ (c) ψ (c) = h(c) B q (L). Yani ϕ (c) + B q (L) = ψ (c) + B q (L) ve H(ϕ)([c]) = H(ψ)([c]). Tanm ϕ, ψ : K L iki simpleksler dönü³üm olsun. Herhangi bir σ K simpleksi için, ϕ(σ) ψ(σ) L de bir simpleks oluyorsa ϕ, ψ dönü³ümleri kontgious dur denir Sonuç ϕ, ψ : K L iki simpleksler dönü³üm ve ϕ, kontgious ise tüm q için H q (ϕ) = H q (ψ) dir. ψ ye spat: Okuyucuya braklm³tr. 9.3 Lefschetz Sabit Nokta Teoremi Cebirsel Topolojide en önemli sabit nokta teoremi, yllar arasnda ya³am³ Solomon Lefschetz tarafndan bulunan Lefschetz sabit nokta teoremidir. Tanm X kompakt polihedron olmak üzere f : X X sürekli dönü³üm olsun. Ayrca h : K X, X in üçgenle³tirilmi³ dönü³ümü olsun. n λ(f) = ( 1) q tr(h 1 f h) q=0 ³eklinde tanmlanan sayya Lefschetz says denir. (Burada (h 1 f h) homomorzmas h 1 f h : K K dön³ümü tarafndan indirgenmi³ homomorzmadr.) Teorem Lefschetz Sabit Nokta Teoremi X kompakt polihedron olsun. λ(f) 0 olacak ³ekilde f : X X bir sürekli dönü³üm ise f nin sabit noktas vardr. 121

123 spat: Okuyucuya braklm³tr. Sonuç X büzülebilir kompakt polihedron olsun. O zaman f : X X nin bir sabit noktas vardr. spat: X büzülebilir olmas durumunda Z, q = 0 H q (X) = 0, q 0. ndirgenmi³ homomorzm f : H 0 (X) H 0 (X) birim homomorzmasdr. Dolasyla λ(f) = 1 0. Lefschetz Sabit Nokta Teoreminden f nin bir sabit noktas vardr. Sonuç f : S n S n bir sürekl dönü³üm ise λ(f) = 1 + ( 1) n deg (f). E er deg (f) ±1 ise f nin sabit noktas vardr. spat: Z, q = 0, n H q (S n ) = 0, q 0, n. oldu unu biliyoruz. f : H 0 (S n ) H 0 (S n ) dönü³ümü birim dönü³ümdür. Ayrca f : H n (S n ) H n (S n ) dön³ümünün trace(izi), f nin derecesine e³ittir. Böylece λ(f) = 1 + ( 1) n deg (f). kinci ksmda hemen birinci ksmdan elde edilir. 9.4 Borsuk-Ulam Teoremi Borsuk-Ulam Teoreminin bir sonucu olarak a³a daki teoremi verbiliriz: Teorem S n üzerindeki antipodal noktalarn, f : S n R n sürekli dönü³ümü altnda görüntüleri ayndr. Sonuç n 1 için S n, R n nin içine gömülemez. 122

124 Sonuç m n ise R m, R n ne homemorf olamaz. spat: m > n olsun. f : R m R n nin homemorzma oldu unu varsayalm. S n R m dir ve f : S n R n sürekli ve injektir, yani f gömme dönü³ümüdür. Buda bir önceki sonuç ile çeli³ir. Teorem f : S n S n antipodal noktalar koruyan bir sürekli dönü³üm olsun. f nin Lefschetz says λ(f) bir çift saydr. spat: Okuyucuya braklm³tr. Teorem n 1 için f : S n S n antipodal noktalar koruyan bir sürekli dönü³üm olsun. O zaman deg f tek tamsydr. spat: Sonuç den λ(f) = 1 + ( 1) n degf. Teorem den λ(f) bir çift saydr. Böylece degf tek tamsaydr. Teorem Borsuk-Ulam Teoremi m > n olsun. O zaman antipodal noktalar koruyan f : S m S n sürekli dönü³ümü yoktur. spat: Antipodal noktalar koruyan f : S m S n sürekli dönü³ümünün var oldu unu varsayalm. i : S n S m kapsama dönü³ümü olmak üzere i f : S m S m bile³keside antipodal noktalar korur. Teorem den deg i f tek tamsaysdr. Di er taraftan (i f) sfr dönü³üm oldu undan deg i f sfrdr. Bu bir çeli³kidir. Sonuç f : S n R n antipodal nokatalar koruyan bir süreklü dönü³üm olsun. f(x) = 0 olacak ³ekilde bir nokta x S n vardr. spat: x S n için f 0 oldu unu varsayalm. g :S n S n 1 (9.58) x g(x) = f()x f(x) (9.59) g dönü³ümü sürekli ve antipodal noktalar koruyan dönü³ümdür. Bu da Borsuk-Ulam Teoremi'ne göre çeli³ir. 123

125 Bölüm 10 DÜ ÜM TEOR S Elimize küp ³eklinde bir kutu alalm ve kutunun etrafna be³ metre uzunlu unda bir ipi hediye paketlermi³iz gibi ba layp uclarini yapi³tiralim. Daha sonra bu ipi yava³ça kutunun etrafndan çkaralm. Elde etti imiz ³ekil bir trefoil (yonca yapra ) olacaktr. Ayn i³lemi be³ metre de ilde yirmi metre uzunlu unda ve daha kaln bir iple yapsaydk yine bir trefoil elde etmi³ olacaktk. Yani dü üm teorisinin topolojinn bir alt dal olarak incelenmesinin sebebi de budur. Dü üm teorisinin tarihinin ba³langc tam olarak bilinmesede ilk olarak Gauss'un ilgilendigi dü³ünülmektedir ancak bu konuyla ciddi manada ilk olarak ilgilenen Amerikali ünlü matematikci Alexandar olmustur. Alexander dü üm teorisinin 3-boyutlu topolojide ne kadar önemli oldu unu göstermi³tir.daha sonra Alman matematikçi Seifert 1920 de çal³t bu 124

126 konunun önemini pekçok ki³inin anlamasn sa lam³tr. Ayrca cebirsel geometri ile dü üm teorisinin ili³kisi bu dönemde Almanya'da yaplan çal³malarda ortaya konulmu³tur. Asl büyük ilerlemeler ikinci dünya sava³ srasnda Amerika'da yaplan ara³trmalarla sa lanm³tr. Amerika'daki bu geli³melerin etkisi zamanla Japonya'ya da sçram³ ve burada da dü üm teorisi ile ilgili büyük atlmlar gerçekle³tirilmi³tir de ise periyodik dönü³ümlerle alakal Smith tahmininin çözümünden dolay dü üm teorisinin cebirsel say teorisi ile ba lantsnn olabilece i farkedildi lere gelindi inde ise Jones'un epochal dü ümlerini ke³ ile dü üm teorisi topoloji ba³l altndan çkp matematiksel zi e ta³nm³tr. dü üm teorisi devaml olarak geli³ti i içinde pekçok bilimdal ile olan ili³kisi zamanla ortaya çkacaktr. Matematiksel biyoloji, mekanik ve kimyann da pekçok alanndaki i³levselli i zamanla ortaya konulmu³tur. Günümüzde ise dü üm graf dü üm teorisinin uygulamalarnda oldukça önemli bir yer tutar. Özellikle dü üm teorisinin kimyaya uygulamalarnda dü üm graar önemli bir araçtr. Spatial (uzaysal)graar olarak adlandrlan ve düzlemsel graardan biraz farkl olan bu graf kavram bu alanda önemli bir araçtr. Bu yüzyln ba³ndan beri ise bu alanda çal³an baz kimyaclar dü üm veya halkalar içeren yap formülü ile suni molekül sentezlemeye ilgi göstermi³lerdir. Frisch ve Wassermann (1961) bir halkay (Hopf Halkas) ihtiva eden yap formülü ile bir molekülü sentezlemeyi ba³ardlar (Murasugi 1996). Bir dü ümün yapsal formülü ile bir molekülü sentezleme i³lemi baz kimyaclar tarafndan sürdürülmü³tür ve moleküller bu ilginç yap formülü ile sentezlenmi³tir. Walba (1985) molekülün yapsal formülünü elde etmek için kullanlan i³lemde, yapsal formül olarak bir dü ümün yapsn kullanr, Mobiüs merdivenli (M 3 - graf) bir molekül sentezlemeyi ba³arr (Murasugi 1996). Bu olay molekül topolojisinin do masna yol açm³tr. Bir molekülün yapsal formülü,moleküldeki atomlara kar³lk gelen ve kenarlar,kö³eler, kovalent ba lar yardmyla atomlar arasndaki veri kombinasyonunu ifade eden bir graf olarak tanmlanabilir Dü ümler, Zincirler, Diya ramlar Dü ümü formel olarak tanmlarken smooth(düzgün) dü üm ve poligonal dü üm olarak ikiye ayrabiliriz. Tanm (Dü üm ve Zincir) 125

127 (a) Birim çembere homeomorf olan 3 boyutlu uzayn alt kümesine dü üm denir. (b) Birçok ayrk (kesi³meyen) dü ümlerin birle³imine zincir denir. (c) ki zincir 3 boyutlu uzayda izotopik ise bu iki zincir denktir denir. ekil 10.1: trefoil dü ümü- sekiz dü ümü -kare dü ümü Tanm (a) Birim çembere denk olan dü üme dü ümsüz denir. (b) Bir zincir {(x, y, i) x 2 + y 2 = 1i = 1, 2,..., n} kümesine denk ise bu zincire n-bile³enli zincir olmayan denir. 126

128 ekil 10.2: hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri Not ki dü üm ya da iki zincir düzlemde ayn diyagrama sahip iseler bunlar denktir. ekil 10.3: uygun çaprazlama-kötü çaprazlama Tanm R 3 de kendini kesmeyen poligonal do rulara poligonal dü üm denir. Tanm Diferansiyeli sfra e³it olmayan sonsuz bir diferansiyellenebilir gömülme altnda, R 3 deki çemberin görüntüsü olarak tanmlanan dü ümlere ise 127

129 smooth dü üm denir. Biz genel olarak dü ümün smooth tanmn kullanaca z. ekil 10.4: 4 1 ve 3 1 Tanm Ki ler dü üm ve i j için K i Kj = iken L = K 1 K2... Kn R 3 olacak ³ekildeki L alt uzayna zincir denir. Tanm n bile³enli bir L zincirinin bile³en saysn comp(l)=n ile gösterilir. comp(l)=1 olan bir zincir ise bir dü üme kar³lk gelir. Tanm Zincirler diyagramlar yardmyla incelenir. R 3 deki zincirlerin regüler diyagramn elde etmek için R 2 ={(x 1, x 2, 0) R 3 x i R} deki görüntü resmi alnr. i³te bu diyagramlarn ³u ³ekilde ifade edilir. R 2 deki bir diyagram yaylarn ve çaprazlamalarn says tarafndan gösterilir. Bir çaprazlamada bir yay yukardan geçerken di er iki yay a³a dan geçer. Bir diyagramda a³a daki çaprazlama hareketlerinin yaplmasna izin verilmez. Tanm Yönlü bir zincir herbir bile³en boyunca bir yön seçerek zincire kar³lk gelen diyagramda oklarla göstererek elde edilir. Böylelikle iki çe³it çaprazlama elde etmi³ oluruz: 128

130 Tanm Yönlü bir diyagramn kvrm ³u ³ekilde bulunur: ω(d)= caprazlamalar çaprazlama i³aretleri Örnek Not Tüm yönleri de i³tirmek kvrm de i³tirmez yani yönlü olmayan bir dü üm diyagramnn kvrm iyi tanmldr. Tanm Yönlü bir D diyagramnn bile³enlerinin C 1, C 2,..., C n oldu unu varsayalm. i j olmak ko³ulu ile C i ile C j nin zincirlenme says a³a daki ³ekilde tanmlanr: 129

131 lk(c i, C j ) = 1 2 C i ilec j nincaprazlamalari çaprazlama i³aretleri D nin zincirlenme says ise: lk(d) = 0 i j n lk(c i, C j ) Örnek

132 10.2 Ambient zotopik Tanm A ve B ; bir X topolojik uzaynn iki alt kümesi olsun. E er a³a daki üç ko³ulu sa layan bir h : X [0, 1] X sürekli dönü³ümü mevcut ise "A ve B ambient izotopiktir" denir: (a) t [0, 1] için h t : X X homeomorzmadr. (b) h 0 X üzerinde birim dönü³ümdür. (c) h 1 (A) = B Tanm Bir topolojik K dü ümünün denk 3 tanmn verelim. (a) Dü üm R 3 de sonlu sayda kenarl kapal poligonal e ridir. (b) Birim çembere homeomorf olan 3 boyutlu uzayn altkümesine "dü üm" denir. (c) f : S 1 R 3 injektif smooth dönü³üm öyleki 0 olsun. O dθ zaman Imf = K R 3 altuzayna "dü üm" denir. Uyar Dü ümler R 3 de bir boyutlu objelerdir. Bu yüzden kalnlklar yoktur. df ekil 10.5: Dü ümsüz - Sol Trefoil - Sa Trefoil ekil 10.6: ekil-8 dü ümü Tanm (a) {K i } n i=1 ler R 3 de dü ümlerin sonlu saydaki koleksiyonu ve L = K 1... K n olsun. E er i j için K i K j = oluyorsa L ye zincir denir. Buradaki n tamsaysna L zincirinin bile³eni denir ve compl = n ile gösterilir. comp(l) = 1 olan bir zincir ise bir dü üme kar³lk gelir. 131

133 (b) ki zincir birbirine ambient izotopik ise bu iki zincir denktir denir. Tanm Dü ümün düzleme izdü³ümüne "diyagram" denir. Yaylardan ve çaprazlamalardan olu³ur. Diyagramlar dü üm ve zincirlerin özellikleri üzerinde çal³mamz sa lar. Uyar E er düzlemde bir dü ümü kesmeden deforme edebilirsek dü üm de i³mez. Zincirler diyagramlar yardmyla incelenir. R 3 deki zincirlerin regüler diyagramn elde etmek için, R 2 ={(x 1, x 2, 0) R 3 x i R} deki görüntü resmi alnr. R 2 deki bir diyagram yaylarn ve çaprazlamalarn says tarafndan gösterilir. Bir çaprazlamada bir yay yukardan geçerken di er iki yay a³a dan geçer. Bir diyagramda a³a daki çaprazlama hareketlerinin yaplmasna izin verilmez. Orientasyon; bir zincirin (veya dü ümün) her bile³eni üzerinde yönün tayin edilmesidir. Verilen bu yöne ba l olarak zincirin çaprazlamalarna 132

134 +1 ve -1 olmak üzere iki farkl i³aret atanr. E er bir çaprazlamada alttan geçen yayn yönü sa dan sola do ru ise buna "sa el kuralna sahiptir" denir ve o çaprazlamann i³areti ε = +1 olarak kabul edilir. E er bir çaprazlamada alttan geçen yayn yönü soldan sa a do ru ise buna "sol el kuralna sahiptir" denir ve o çaprazlamann i³areti ε = 1 olarak kabul edilir. ekil 10.7: ε = +1 ε = 1 Tanm Reidemeister hareketi bir dü üm diyagram üzerinde herhangi bir de i³ikli e sebep olmadan yaplan hareketlerdir. R 0 : Diyagramn homotopisi yay ve çaprazlamalarn in³asn de i³tirir yani örne in yaylar büzer ya da açar fakat yönünü de i³tirmez: Diyagramn etkilenen ksmlar yalnzca a³a daki hareketlerle meydana gelir. R 1 : R 2 : R 3 : 133

135 Teorem (Reidemeister Teoremi) Uzayda iki dü üm ambient izotopi ile birbirine deforme edilebilir bu iki dü ümün diyagramlar Reidemeister ile birbirine dönü³türülebilir. Uyar Reidemeister Teoremi, iki dü ümün ayn olup olmad n belirlerken bize kaç defa Reidemeister hareketi yapmamz gerekti ini belirtmez. Reidemeister hareketi iki dü ümün ayn olup olmad n belirlemek için yeterli de ildir. Bir dü ümün diyagramndan ba msz olarak sa lad özelliklere ihtiyacmz var. Dü ümün diyagram temsilinden ba msz olana bu özelliklere "dü üm invaryant" denir. Dü üm invaryant Reidemeister hareketi altnda de i³mez. Tanm ki bile³ene sahip yönlü bir zincirin her iki bile³eninince olu³an çaprazlamalarnn i³aretlerinin toplam o zincirin "zincirleme saysn" verir. ki bile³enli bir zincirin zincirleme says Reidemeister hareketleri altnda korunur. Yani invaryanttr. Renklendirme Tanm Bir dü ümün her yay a³a daki iki ³art sa layan üç renkten birine e³leme yaplyorsa bu dü üme "renklendirilebilirdir" denir : (a) En az iki renk kullanlacak (b) Herhangi bir çaprazlama iki renkten olu³urken diyagramn tümü üç renkten olu³acak. 134

136 ekil 10.8: zincirleme says +2 imdi a³a daki dü ümlerin renklendirilebilir olup olmadklarn inceleyelim; 135

137 Dü ümsüz, renklendirme ko³ullarndan ilkini sa lamad ndan renklendirilebilir de ildir. Sol trefoil renklendirmenin 2 ko³ulunu da sa lad ndan renklendirilebilirdir. ekil-8 dü ümü, renklendirme ko³ullarndan ikincisini sa lamad ndan renklendirilebilir de ildir. Bir dü üm diyagramnn renklendirilebilirli i dü üm tipinin de i³mez (invaryant) özelli idir Alexander Polinomu Bir dü üm diyagramn ele alalm. Çaprazlamalar x 1,..., x n ve yaylar da a 1,...a n ile gösterelim. Ayrca bu dü üme bir yönlendirme (orientasyon) belirleyelim. Bu dü üm boyunca hareket etti imizde üç türlü geçi³ olacaktr; (a) Çaprazlamadaki üst geçiti 1 t ile; (b) Sol tarafndaki alt geçit yayn t ile; (c) Sa tarafndaki alt geçit yayn 1 ile gösterelim. Örne in bir orientasyona sahip sa trefoil dü ümünü ele alalm; Bu diyagramn çaprazlamalar ve yaylarnn matrisini olu³turalm; Buradaki matrisin herhangi bir satr veya sütun toplam 0 olmaldr. imdi bu matrisin herhangi bir satr veya sütunu silinerek determinant alnr. Elde edilen bu polinom trefoilin Alexander polinomudur. Burada dikkat edilecek husus polinomda sabit terim bulunmal ve ba³katsay pozitif tutulmaldr. E er hesaplanan polinomda sabit terim yoksa bu polinom t n gibi bir ifade ile çarplarak sabit terim elde edilir. E er ba³katsay 136

138 137

139 negatif ise polinom eksi parantezine alnmaldr. imdi a³a daki yönlendirilmi³ dü ümün Alexander polinomunu hesaplayalm; Bu dü ümün çaprazlama-yay matrisini olu³turalm. Herhangi bir satr veya sütunun 0 oldu unu gözlemleyelim ve istedi imiz key bir satur veya sütununu silip determinantn hesaplayalm; Elde etti imiz polinomumuzun sabit terimi yok ve ba³katsays negatiftir. O zaman polinomu t 1 ile çarparsak; t 1 ( 2t 3 + 3t 2 2t) = 2t 2 138

140 3t + 2 polinomu bü dü ümün Alexander polinomudur. Teorem Alexander Polinomu, dü üm diyagramndaki yay veya çaprazlama indeksine ba l de ildir. spat Çaprazlama indeksleri arasndaki de i³im satrlar etkiler. Ayn durum yay indeksleri arasndaki arasndaki de i³im sütunlar etkileyecektir. Dolaysyla bu matrisin determinant ±1 kadar de i³ecektir. Alexander polinomunun sabit terimi olmas için de ±t k katsays ile çarplacaktr. Bu durumda her iki matrisin de Alexander polinomu ayndr. Teorem (a) Alexander polinomu çaprazlama / yay matrisinden çkartlm³ sütundan ba msz; (b) Alexander polinomu çaprazlama / yay matrisinden çkartlm³ satrdan ba mszdr. Teorem Orientasyona sahip bir dü ümün Alexander polinomu Reidemeister hareketleri altnda de i³mezdir Skein Ba nts Önceki bölümde Alexander polinomunu ±t p ile çarparak polinomun pozitif sabit terime sahi olmasn sa lam³tk. imdi ise bir a n t n a 1 t + a 0 a n, a 0 0 Alexander polinomunu ±t n/2 ile çarpaca z. Ve bu elde etti imiz yeni polinomu ile gösterece iz. Burada 139

141 140

142 (a) Pozitif dereceli terimin katsays ile negatif dereceli terimin katsays çak³yorsa (t 1 ) = (t) dir. (b) Birden fazla bile³eni olna zincir için (1) = 0 alaca z. Örne in sol el çaprazlamal Hopf zincirinin polinomunu hesaplayalm. Önce Alexander polinomunu hesaplamamz gerekiyor: Buradan Hopf zincirinin Alexander polinomu t 1 1 dir. polinomunu elde etmemiz için Alexander polinomunu ±t n/2 ile çarpmamz gerekiyordu. O zaman biz de t 1 1 polinomunu ±t 1/2 ile çarparsak = t 1/2 t 1/2 polinomunu elde etmi³ oluruz. Tanm imdi Skein ba ntsn verelim. Bir orientasyona sahip zincirin önceden sabitlenen bir çaprazlamas için L + sa el çaprazlamay; L sol el çaprazlamay; L 0 da o çaprazlamay ihmal etti imizi göstersin.alexander polinomlar için Skein ba nts a³a daki gibidir: Örne in bir önceki Hopf zincirinin Skein ba ntsn hesaplayalm. Burada L sol el çaprazlamasn x 1 çaprazlamas olarak alalm. x 1 deki çaprazlamay sa el çaprazlamas L + yaparsak içiçe geçmi³ iki dü ümsüz elde etmi³ oluruz. O zaman x 1 deki sa el çaprazlamasnn 141

143 polinomu (L + ) = 0 dr. x 1 deki çaprazlamay L 0 elemine edersek dü ümsüz elde ederiz ve (L 0 ) = 1 olur. Böylece Skein ba ntsn yazarsak; (L ) = (L + ) + (t 1/2 t 1/2 ) (L 0 ) = 0 + (t 1/2 t 1/2 )1 = (t 1/2 t 1/2 ) Örnek A³a daki polinomu Skein ba nts yardmyla hesaplaynz. Dü ümsüzün polinomunun 0 oldu unu biliyoruz. Hopf zincirinin Skein ba ntsndan da yararlanarak; 142

144 Örnek A³a daki polinomu Skein ba nts yardmyla hesaplaynz Jones Polinomu Bir zincirin diyagramnn Kauman bracket polinomu; tamsay kuvvetli A de i³keni ile a³a daki üç kuralla hesaplanr: Birinci kural a³ikar zincirin(dü ümsüz) polinomunu verir. kinci kural a³ikar zincir ile bir zincirin ayrk birle³iminin polinomunu verir.üçüncü kural ise çaprazlamay ortadan kaldran ba nty verir. 143

145 Örnek A³a daki dü ümün bracket polinomunu hesaplaynz. Öncelikle 3üncü kural sonra da 1inci ve 2inci kural uygulayalm: Teorem Bracket polinomu Reidemeister hareketleri altnda de i³mezdir.(invaryanttr) 144

146 R3 ün korundu unu görelim. 3üncü kural uygulayalm: R1 in korundu unu görelim. Yine 3 üncü kural uygulayalm: 145

147 R2 nin korundu unu görelim: Tanm Bir L zincirinin regüler projeksiyonunun kvranma says (writhe); o zincirdeki sa el çaprazlamalarndan sol el çaprazlamalarn çkartarak elde edilir ve bu say ω(l) notasyonu ile gösterilir. Örne in a³a daki zincirin kvranma saysn hesaplayalm; 146

148 Burada sa el çaprazlamalarnn says 2; sol el çaprazlamalarnn says ise 4 oldu undan ω(l) = 2 4 = 2 dir. Bracket polinomunun Reidemeiater hareketleri ile korundu unun ispat ederken gördük ki sa ve sol el çaprazlamay ortadan kaldran R1 hareketi Bracket polinomundaki A 3 çarpann ortaya çkarmaktadr. Böylece Bracket polinomunu ( A) 3ω(L) ile çarparsak R1 hareketinin etkisini ortadan kaldrr. Ancak kvranma kavram R2 ve R3 nin bracket polinomundaki etkisini ortadan kaldramaz. Bunun analizi ö renciye al³trma olarak braklm³tr. Böylece X(L) = ( A) 3ω(L) L polinomu zincir tipinin invaryant (de i³mezi) dr. Bir dü üm için orientasyonun yönü seçimden ba msz olmasna ra men birden fazla bile³ene sahip bir zincirin kvranma says bile³enlerin yönlerinin seçimine ba l olacaktr. Tanm L zincirinin V (L) Jones polinomu, X(L) polinomunda A = t 1/4 almakla elde edilir. Örne in önceki al³trmamzda sol trefoilin Bracket polinomunu hesaplam³tk ve bu polinomun A 7 A 3 A 5 oldu unu görmü³tük. Burada tüm çaprazlamalarn sol el çaprazlamas oldu undan ω(k) = 3 tür. X(K) = ( A) 3ω(L) K = ( A) 9 (A 7 A 3 A 5 ) = A 1 6+A 1 2+A 4 elde edilir. A = t 1/4 alnrsa V (K) = t 4 + t 3 + t 1 Jones polinomu hesaplam³ olur. Bracket polinomunda Skein ba ntsn kullanarak da Jones polinomunu hesaplayabiliriz. Teorem L +, L ve L 0 yönlü bir zincirin 3 diyagram olsun öyleki zincirin sabit bir çaprazlamasnda L + sa el çaprazlamasnn, L sol el çaprazlamasnn ve L 0 da o çaprazlamann yok edilmi³ halinin diyagram olsun. O zaman bu yönlü zincirin Jones polinomu Skein ba ntsn sa lar; t 1 V (L + ) tv (L ) + (t 1/2 t 1/2 )V (L 0 ) = 0 147

149 spat: Örnek Önceki teoremi de kullanarak sol trefoil dü ümünün Jones polinomunu hesaplayalm: Öncelikle dü ümsüzün (trivial dü ümün) Jones polinomunun 1 oldu unu gözlemleyelim; 148

150 imdi de iki bile³enli trivial zincirin Jones polinomunu hesaplayalm; Bu nedenle; elde edilir. Böylece; Jones polinomu için verdi imiz Skein ba ntsnda V (L ) yi çekersek; sol trefoil dü ümünün Jones polinomu böylelikle hesaplanm³ olur. 149

151 10.6 Aynalar VE Dü üm Kodlamas L bir zincir ve M R 3 bir an düzlemi olsun. L nin ayna görüntüsü, m(l), M deki yansmasndan elde edilir. Önerme Ayna i³lemi izotopi snar üzerinde etkilidir ve aynann seçimine ba l de ildir. Önerme ml nin diyagram L nin diyagramndaki tüm çaprazlamalar de i³tirilerek bulunur. Tanm E er bir zincir aynadaki yansmasna denk ise achiral dir denir. Aksi halde ise chiral olarak adlandrlr. Dü üm tablosundaki achiraller 4 1, 6 3, 8 3, 8 9, 8 12, 8 17, 8 18 dir. 3 1 ise chiraldir. Tanm K yönlü bir dü üm olsun ve r(k) da K nn belirlenmi³ yönünü göstersin. E er K ve r(k) izotopik ise K tersinirdir. Tabloda tersinir olmayan tek dü üm 8 17 dir Dü üm Kodlamas Bir gölgenin bir zincire ait çaprazlama bilgileri ele alnmadan çizilen diyagram oldu unu hatrlyoruz Önerme Tek bile³enli bir gölge, yönsüz de i³en(alternating) bir tek dü üm belirtir. ispat Gölge etrafnda çaprazlama bilgilerine uyarak a³a, yukar, a³a,... ³eklinde yürüyelim. Bunu i³e yarad n görebilmek içinbir satranç tahtas seçelim ve yürümeye ba³larken siyah ksmn solumuza alalm siyah-beyaz ³eklinde yürümeye devam ettikçe yukar, a³a yürüdü ümüzü görece iz. 150

152 Not Tablonun sadece son üç eleman de i³meyendir (not alrternating). Bunlar; 8 19, 8 20, 8 21 dir. Bir gölge verilsin ve bunun etrafnda ard³k olarak çaprazlama numaralarn yürüyelim. imdi ³öyle bir fonksiyon elde ederiz; f de i³meli ise; f : teksayilar ciftsayilar burada tek saylar alt kesi³imlere, çift saylar ise üst kesi³imlere kar³lk gelir. f(1), f(2), f(3),... dizisi bize gölgeyi verir. Örne in; 3 1 dü ümü 4, 6, 2 dizisi tarafndan belirlenir. Ayn dizinin farkl gölgeleri farkl diziler verir Dü üm Toplamlar K 1 ve K 2 gibi iki dü ümün ba lantl toplam her iki dü ümden birer küçük daire dilimi çkarlup meydana gelen dört bitim noktas birbirini kesmeyen iki yeni e ri parças ile birle³tirilerek elde edilir, sonuç olarak K = K 1 K 2 ³eklinde bir çift dü ümdür. Tanm E er a³ikar olmayan L ve M dü ümleri için K, L M izomorf de il ise K ya asal dü üm denir. Dü üm tablosu yalnzca asal dü ümleri gösterir. Tanm Bir D dü ümünün diyagramnda üst geçi³lere köprü bunlarn saysnada köprü saysn verir. Tanm Bir K dü ümünün köprü says b(k) Kya ait diyagramlarda elde edilen köprü saylarnn minimumuna e³ittir. E er K bir unknot ise b(k) = 1 olur. Not , 8 10, 8 15 hariç olmak üzere dü üm tablosundaki tüm dü ümler 2-köprülü dü ümlerdir. Bu hariç olan dü ümler 3-köprülü dü ümlerdir. Ancak 3-köprülü dü ümler tam olarak snandrlamam³tr. 151

153 10.8 DNA'ya Ksa Bak³ Son yllarda moleküler biyolojide pekçok geli³meler meydana gelmi³tir. Bu geli³melerin bir ksmda matemati in moleküler biyolojiye uygulanmas ile gerçekle³mi³tir. Özellikle dü üm teorisi DNA rekombinasyonu için oldukça güzel bir yol verir. DNA ile matemati n ili³kisi 1950 lerde dublex DNA nn sarmal Crick-Watson yapsn ke³ ile ba³lam³tr. Bir matematik modeli olan Özel-Bölgeli Rekombinasyon Tangel Modeli ilk olarak De Witt Sumners tarafndan tantlm³tr. Bu ksmda ise asl amacmz dü üm teorisinin DNA rekombinasyonuna uygulanmasnn detaylarn vermek olacaktr. DNA nn hücre çekirde i içerisinde bulunan çok uzun ve ince moleküller oldu unu biliyoruz. Bu moleküller canlnn hayati özelliklerini ta³yan ve biyolojik bilginin nesilden nesile aktarlmasn sa layan DNA molekülü bulunur. nsan DNA s 3.2 milyar yap ta³ndan olu³an bir bilgi hazinesi, bir kitaptr. Bu kitaptaki hareri yan yana dizecek olursak, biner sayfalk kitaptaki bilgiye denk gelir. Bir insann trilyonlara yakn hücrelerinin hepsinin çekirdi inde bulunan DNA çok sk bir ³ekilde kendi etrafnda dolanm³tr ve bu ³ekliyle bir yuma andrr. DNA molekülü yumak halinden çkarlp bir ipli e dönü³türüldü ünde, bu DNA nn uzunlu u binbe³yüz cm ye yakndr. Bu 1.5 metrelik ³erit 10 6 metre çekirdek içinde bulunur. Bu da DNA nn neden çekirdek içinde karma³k ve dü ümlenmi³ bir ³ekilde bu- 152

154 lunu unu bize açklamaktadr. DNA'y gözümüzde canlandrrsak çok uzun iki ³eridin milyonlarca kez birbirine geçmi³, dü ümlenmi³ ve ardarda pekçok kez sarmalanm³ bir halde oldu unu dü³ünebiliriz. Ancak replikasyon ve translasyon i³lemlerinin uygulanmas e er DNA dü ümlenmi³ ve karma³k olmasndansa, düzenli bir ³ekilde sralanm³ ise daha kolaydr. Enzimler ise dü ümleri ince ³eritler ³eklinde böler ve bunlar daha düzgün bir hale gelecek ³ekilde ³eritleri tekrar ba lar. Topolojik ilkeleri kullanarak DNA nn dü üm çözme i³lemini daha iyi anlayabiliriz. Çünkü DNA replikasyon ve translasyon i³lemlerini gerçekle³tirebilmek için hzlca kendi dü ümlü yapsn çözmelidir. Ve bu aslnda topolojik bir problemdir. Dü üm teorisi ara³trmaclara DNA paketlemesi ile ilgili olarak nitel bir tahminden çok nicel bir de er verir ve dü üm teorisi sayesinde bilimadamlar DNA nn bu dü üm çözülme i³lemleri srasnda hangi enzimlerin kullanld n anlamasn sa lar. ³te bu noktada DNA nn ifadesinde oldukça önemli olan tangle kavram devreye girecektir Tangle B bir 3 küre, t ise B içine gömülmü³ yönsüz yay çifti olsun. Bu yay çiftlerinin dört bitim noktas ise kürenin ekvator noktalarndadr (KB, KD, GB, GD).Bir tangle, (B, t) çiftidir. Bir tangle diyagram ise tangle n ekvator düzlemine yanstlmas ile elde edilir. Diyagram üzerindeki bitim noktalarn KB, KD, GB, GD olarak i³aretleyece iz. Rasyonel tangle ise bitim noktalarnn kaydrlmas ile a³ikar tangle a dönü³türülebilen 153

155 tangle lardr. Rasyonel tangle lar DNA larn yaps ile benzerlik gösterir ve bu sebeple bizim asl odak noktamz olacaktr. VE bu yolla dönü³türülemeyen tangle lar da vardr bunlarda asal tangle ve yerel dü ümlenmi³ tangle yaplardr. ekil 10.9: Tangle Örnekleri a.rasyonel b.a³ikar c.asal d.yerel Dü ümlenmi³ Her rasyonel tangle (a 1, a 2,..., a n ), a i Z, i vektörü tarafndan olu³turulur. Ve biz bu vektör yardmyla tangle diyagramn çizebiliriz: lk olarak KB, KD, GB, GD noktalar i³aretlenmi³ bir çember ile ba³layalm ve yaylar ³ekilde görüldü ü gibi çizelim. E er n çift ise alt ksmdan ba³larz(gb ve GD) ve a 1 says kadar yarm kaydrma yaparz (e er a 1 pozitif ise sa -el kaydrmas, a 1 negatif ise sol-el kaydrmas yaparz.).daha sonra diyagramn KB-KD ksmnda a 2 kadar yarm kaydrma yaparz. Daha sonra tekrar alt ksma dönüp ayn i³lemleri yapmaya devam ederiz. E er n tek say ise sa taraftan ba³lar ve i³lemi daha önceki gibi uygulamaya devam ederiz. Örne in (2, 1, 2) rasyonel tangle diyagramn a³a daki gibi çizeriz. Her tamsayl vektör β rasyonel saysna e³it olan sürekli bir kesir ³eklinde ifade edilebilir. E er T tangle (a 1, a 2,..., a n ) vektörleri tarafn- α dan ifade ediliyorsa sürekli kesir a n + 1 a n a n a 1 = ³eklinde bulunur. β rasyonel says T tangle nn kesri olarak adlandrlr. α 154 β α

156 Teorem ki tangle izotopiktir ancak ve ancak ayn kesirlere sahiplerse. E er iki tangledan biri e er bitim noktalar hareket edilmeksizin herhangi bir ³erit koparlmadan ya da bir ³erit di erinin üzerinden geçmeden di erine dönü³türülebiliyorsa bunlar denk olur. Ve bu teorem sayesinde aslnda tangle kesrinin tanglen özelliklerini belirlemede ne kadar önemli oldu unu anlayabiliyoruz. Yukarda bir vektörden tangle kesrinin nasl elde edildi ini görmü³tük benzer ³ekilde tangle kesri sayesinde vektörü de elde edebiliriz: β α = a 1 n + 1 a n 1 + a n a 1 Tabiki bu yolla farkl vektörlerde elde edebiliriz. Örne in; (3, 2, 2) ve (2, 2, 1) vektörlerinin her ikisi de 7 kesrini verir. Fakat burada iki 5 vekörde ayn tangle' belirtir. Ayrca tüm rasyonel tangle Conway sembolü olarak adlandrlan bir tek kanonik vektör tarafndan ifade edilebilir. Bir (a 1, a 2,..., a n ) vektörü kanonik formda ise her 1 i n 1 için a 1 > 1, a i 0 ve tüm sfrdan farkl ifadeler ayn i³arete sahiptir. Yukardaki örne imizin Conway sembolü (2, 2, 1) dir. Teorem β Q 1 = (α N 0, β Z ve obeb(α, β) = 1) α 0 kesri ile rasyonel tangle'lar kümesi arasnda 1 1 e³leme vardr.tangle kesirleri ve vektör notasyonlarna ek olarak tangle'lar matris olarak da ifade edilebilirler. Bu tangle'lar 2 2lik matrisler cinsinden ifade edilir, ³öyleki: [ ] [ ] [ ] [ ] u v 1 a2k v u = a 2k 1 1 a 1 1 Örnek β = 23 = α ifadesi a³a daki ³ekildedir [ u v v u ] = [ ] [ Tangle ³lemleri ] [ = (5, 1, 2, 1) nin matris olarak ] [ ] = [ Tanm A ve B tangle'lar verilsin bu iki tangle'n toplam A + B bir tangle'n KD ve GD bitim noktalarnn di er tangle'n KB ve GB bitim noktalarna srasyla eklenmesi ile elde edilir. 155 ]

157 Tanm Bir T tangle'nn pay kapanmas olarak bilinen, N(T ), i³lemi KB ve KD bitim noktalarnn birle³tirilmesi ve GB ve GD bitim noktalarnn birle³tirilmesi ile elde edilir. Tanm Bir T tangle'nn payda kapanmas olarak bilinen, D(T ), i³lemi KB ve GB bitim noktalar birle³tirilmesi ve KD ve GD bitim noktalarnn birle³tirilmesi sonucu elde edilir. Örnek Tangle i³lemleri birlikte de kullanlabilir. N((2, 0) + (1)) = 3 i³lemi sonucu elde edilen dü üm trefoil yani 3 1 dir. Buradaki (2, 0) ise Hopf zinciridir. 156

158 Yani bu N(A + B) = K i³lemi sonucunda elde edilen K bir dü ümdür. Ayrca iki rasyonel tangle'n toplam her zaman bir rasyonel tangle vermeyebilir. ³te tam bu noktada i³lemi nasl yürüyece ini dü³ünebiliriz; fakat iki rasyonel tangle'n toplamnn pay kapanmas 4-plat isimli bir dü üm verir ve bu DNA modellemesinde oldukça önemli bir konudur Plat Bir 4-plat dört ³eridin örülmesi ve bitim noktalarnn a³a daki ³ekilde gösterildi i gibi ba lanmas ile elde edilen dü ümdür. 4-plat ler genelde 2-köprülü yasa rasyonel dü ümler olarak bilinir. Sekizden daha az çaprazlamas olan tüm asal dü ümler ve yediden daha az çaprazlamal iki bile³enli asal zincirler 4-plattir. 4-plat dü ümler tpk rasyonel tangle'lar gibi tamsayl vektörlerce ifade edilebilir. 4-plat vektörü tek sayda bile³eni olan vektörlerdir ³öyle ki; c 1,..., c 2k+1 her i için c i 1 dir ve ve buradaki her tamsay bile³eni ³eritler bir yarm kaydrmay temsil eder. Yani rasyonel tangle'lara oldu u gibi vektörler 4-plat diyagram çizmek için de kullanlabilir. Bunu yaparken ³u yolu izleriz: dört ³eritle ba³larz ardndan ortadaki lifde c 1 kadar yarm kaydrma yaparz ardndan en üstteki iki lifde c 2 kadar yarm kaydrma yaparz daha sonra da yine ortadaki iki ³erite ayn i³lemi uygularz ve bu i³leme vektördeki tüm tamsayl bile³enleri bitirinceye kadar devam ederiz. Son olarak bitim noktalarn ³ekilde gösterildi i gibi birle³tirelim. 4-plat'in bu ³eklinde ifade edilmesine Conway sembolü denir ve 4- plat'in minimal diyagramna denk gelir. Teorem ki 4-plat e³ittir ancak ve ancak ayn conway sembollerine sahiplerdir ya da e er biri di erinin tam olarak tersi olan bir Conway sembolüne sahipse yani birinin Conway sembolü c 1,..., c 2k+1 iken di erinin Conway sembolü c 2k+1,..., c 1 ³eklinde olur. 157

159 ekil 10.10: 4-plat çizimi Not Conway sembolü 0 < β < α olmak üzere β α saysnn hesaplanmasnda kullanlr. rasyonel ³eklinde hesaplanr.4-plat β α β α = 1 c c says b(α, β) olarak gösterilir. Teorem ki 4-plat b(α, β) ve b(α, β) denktir ancak ve ancak α = α ve β ±1 β(modα) Örne in; b(17, 5),b(17, 7) 4-plat'leri incelersek b(17, 5) (3, 2, 2)e, b(17, 7) de (2, 23)e kar³lk gelir. Sonuç olarak bu iki 4-plat'in denk olduklar görülür. Zaten 17 = 17 ve 5 1 7(mod17) olmasndan da denk olduklar kolayca görülebilir. Rasyonel saylarn kullanm bakmndan rasyonel tangle ve 4-plat ler oldukça benzerdir. E er verilen β rasyonel says 0 < β < 1 aral nda α α ise β rasyonel tangel'nn payda kapan³ b(α, β) 4-plat'ini verir ve α e er verilen β says β 1 aral nda ise β rasyonel tangle'nn pay α α α kapan³ ise b(β, α) 4-plat'ini verir. Herhangi bir x tamsays için D((d 1,..., d 2k+1, x)) = d 1,..., d 2k+1 ve N((d 1,..., d 2k+1, x, 0)) = d 1,..., d 2k+1 olur. Daha öncede bahsetti miz gibi iki rasyonel tangle'n toplamnn pay kapan³ bir 4-plat idi. Bir sonraki teoremimiz ise rasyonel tangle'larn pay kapan³ ile elde edilen rasyonel dü ümlerin denkli i ile ilgili bilgi verecek. Teorem p p ve indirgenmi³ kesirleri ile verilen iki rasyonel q q tangle alalm. E er N( p ) ve N(p ) tangle'larn pay kapanmas sonucu q q elde edilen rasyonel dü ümler olmak üzere bu dü ümler birbirlerine kar³lk geliyorsa N( p ) ve N(p ) topolojik olarak denktir ancak ve ancak q q p = p ve q ±1 q (modp) oluyorsa. 158

160 10.12 Tangle Denklemlerinin Çözümü Daha önceki bölümlerde de gördü ümüz gibi tangle denklemleri K dü üm ya da zincir, A ve B tangle olmak üzere N(A + B) = K ³eklindeki denklemlerdi. ³te bu demklemlerin çözümü enzim mekanizmalarn daha iyi anlamamz için yardmc olacaktr. Lemma ki rasyonel tangle A 1 = β 1 α 1 ve A 2 = β 2 α 2 verilsin. N(A 1 + A 2 ) i³lemi b(α, β) ³eklinde bir 4-plat tanmlar ve α = α 1 β 2 + α 2 β 1 olur ve β a³a daki gibi tanmlanr: (a) α = 0 ise β = 1; (b) α = 1 ise β = 1; (c) α > 1 ise β ³u ³ekilde elde edilir: 0 < β < α ve σ = sign(α 1 β 2 + α 2 β 1 ) ve α 2 ve β 2 nin β 2 α 2 tangle'nn 2. sütunun bile³enleri oldu u yerde β σ(α 1 α 2 + β 1 β 2)(modα) ³eklinde bulunur. Örnek A 1 = 2 ve A 2 = olur. Örnek8.1 de β = 23 α olarak alalm. α = = tangle'nn matrisini bulmu³tuk ve a³a daki gibiydi: [ u v v u ] = [ ] [ ] [ ] [ ] = [ buradan α 2 ve β 2 de erlerini bulabiliriz. β = ( )(mod57) = 10 olarak hesaplanr. Sonuç olarak i³lemin sonucu N(A 1 + A 2 ) = b(57, 10) bulunur. Teorem A = β α = (a 1,..., a 2n ) bir rasyonel tangle ve K = c 1, c 2,..., c 2k+1 bir 4-plat olsun. N(X + A) = K 0 denkleminin rasyonel tangle çözümü: r herhangi bir tamsay olmak üzere X = (c 1,..., c 2k+1, r, a 1,..., a 2n ) ya da X = (c 2k+1,..., c 1, r, a 1,..., a 2n ) olur. E er K = 0 ise X = ( a 1, a 2,..., a 2n ) tek çözümdür. Teorem A 1 ve A 2 iki farkl rasyonel tangle ve K 1 ve K 2 de 4-plat olsun. N(X + A 1 ) = K 1 ve N(X + A 2 ) = K 2 denklemlerinin en fazla iki farkl rasyonel tangle çözümü vardr. spat ] 159

161 X = u, A v 1 = β 1 α 1, A 2 = β 2 α 2, K 1 = b(α, β) ve K 2 = b(α, β ) olsun. Lemma11.1 den α = vβ 1 + α 1 u ve α = vβ 2 + α 2 u olarak bulunur. (u, v)-düzleminde bu denklemler iki paralel çifti belirtir. u = u v v oldu undan bu dört nokta bu denklem sistemi için en fazla iki farkl rasyonel tangle belirtir. Örnek A 1 = 1 3, A 2 = 5 17,K 1 = b(5, 3) ve K 2 = b(29, 17) olsun. Bu denklem sisteminin çözümü: buradan X = v + 3u = 5 5v + 17u = 29 v + 3u = 5 5v + 17u = 29 çözümünü elde ederiz. Bir di er çözüm de: buradan da X = bulunur. v + 3u = 5 5v + 17u = Özel Bölgeli Rekombimasyon Deoksiribonükleik asit (DNA) hücre çekirde i içinde skca paketlenmi³ uzun ve ince moleküllerdir. Dubleks DNA iki ³eritten meydan gelir. Ve bu ikili ³erit iki ³eker fosfat zinciri molekülün d³ ksmn olu³tururken, hidrojen ba l yass baz çiftleribunlar ba lar. DNA yapsndaki dört baz A-adenin, G-guanin, C-sitozin ve T-timin dir. Ve bunlar birbirine hidrojen ba larla ba lanr. A yalnzca T ile, C ise yalnzca G ile ba lanr. ³te bu yapya DNA'nn ikili sarmal yaps denir. Bir satrdaki hareri okuyarak di er satra gelecek olan hareri tahmin edebiliriz. ³te okunan bu tek ³eride DNA'nn genetik dizisi denir. DNA sarmal ³ekilde sa -el kuralna göre yarm kvrlma yapar. Bu her yarm kvrlmaya supercoil denir. Daha öncede bahsetti miz gibi DNA birtakm hayati enzim aksiyonlar sayesinde topolojik olarak i³letilir. Bu enzimatik aksiyonlardan biriside Spesik-Bölgeli Rekombinasyondur. 160

162 Spesik-Bölgeli Rekombinasyon bir DNA blo unun molekül üzerinde bir pozisyondan di erine ta³nmasdr. Rekombinasyon ise yeniden düzenleme, gen regülasyonu, kontrol numarasnn kopyalanmas ve genin tedavisi için kullanlr. Bu uygulama recombinase asl enzim tarafndan yaplr. DNA'nn genetik dizisinin küçük bir parças recombinase tarafndan etkilenmi³ olursa bu parçaya rekombinasyon bölgesi denir. Ayn moplekül ya da farkl molekül üzerindeki bölge çifti bir enzim tarafndan ba lanr. Bu reaksiyon a³amasna sinapsis denir. DNA molekülleri ve enzim ise sinaptik kompleks tir. Rekombinasyondan önceki DNA molekülüne substrat ve rekombinasyondan sonra ise product denir. Enzim DNA'ya ba land nda DNA'nn iki tarafn da krar ve son ksmlarn farkl ³ekilde birbiriyle rekombine eder. Rekombinasyon bölgeleri DNA ³eridindeki bazlara göre yön alrlar. Enzim DNA'ya ba lanrken rekombinasyon olay birden fazla kez gerçekle³ebilir Tangle Modeli 1980 de DeWitt Sumners tarafndan tantlan tangle modelin amac rekombinasyon srasnda olan olaylarn matematiksel olarak ifade edilmesidir. Bu sayede, DNA ürün ve substratnn topolojik ve geometrik olarak enzimin neler yapt n ifade edebiliriz. Elektron mikrograarnda DNA lierinin birbiri etrafnda doland görülebilir. 4-plat ve rasyonel tangle'lar kvrlan ³eritlerden meydana geldi inden bunlar DNA modellemesi için oldukça uygun adaylardr. Tangle'n tanmn hatrlarsak t'nin yönsüz yay çifti ve B nin 3-küre oldu u yerde B içine gömülmü³ (B, t) çifti idi. Bir tangle enzim-dna kompleksinin modellemesinde kullanlabilir ³öyle ki; enzim 3-küre ve iki rekombinasyon bölgesi de iki ³erit olacak ³ekilde. Rekombinasyon olaynn en çok gözlenen ürünü ise 4-plattir, bu oldukça akla yatkndr çünkü 4-plat ile enzim-dna kompleksini modelleyebilir ve de i³iklikleri tangle denklemleri ile ifade edebiliriz. Ancak enzim mekanizmasn tangle model ile ifade etmeden önce bir kaç varsaym yapmalyz. lk varsaymmz enzim-dna kompleksini tangle'larn toplam olarak ifade edece iz. E enzim, O b DNA nn enzime ba lanan ksm ve P de reaksiyon srasnda de i³en ksm olsun. O nedenle enzim-dna kompleksini E = O b + P ³eklinde ifade edebiliriz. Tabii ki ayn zamanda enzime ba l olmayan bir DNA'ya da ihtiyacmz olacak. ³te DNA'nn bu ³eklinin de tangle ile ifadesi de O f olacak. imdi ise N(O f + O b + P ) = K 0 tangle denklemini l-elde ederiz 161

163 ve bu bize substrat molekülünü verir. kinci varsaymmz ise rekombinasyon P bölge tangle'nn rekombinasyon tarafndan döndürüldükten sonra ki halini ise R recombinant tangle' ile ifade edelim. Bu varsaym ile bir rekombinasyon ile P bölge tangle' R recombinant tangle'na dönü³ür. A³a da ise rekombinasyon dönü³ünden sonraki modeli ifade edelim: N(O f + O b + P ) = K 0 (substrat) N(O f + O b + R) = K 1 (product) Ayrca ³unu da unutmamalyz ki; rekombinasyon mekanizmas sabittir, substrat geometrisi ve topolojisinden ba mszdr. Bu demektir ki; e re tüm substrat molekülleri ayn dü üm tipinde ise O f, O b, P ve R tangle'lar bir olaydan di erine de i³mez. E er substrat molekülleri farkl tipte dü ümler ise yalnzca O f tangle' de i³ir. Yalnz bu durumda göz önünde bulundurmamz gereken tek istisna bölge yönlendirmesidir. Son varsaymmz tangle denklem sistemini tarafndan verilen processive rekombinasyon modeli: O = O f + O b ve O,P ve R bilinmiyorsa N(O + P ) = K 0 (substrat) N(O + R) = K 1 (birinci dönü³ sonucu ortaya çkan ürün).. N(O + nr) = K n (n. dönü³ sonucu ortaya çkan ürün) ortaya çkar Örnek 2002 ylnda Mariel Vazquez ve De Witt Sumners Gin spesik-bölgeli rekombiinasyonu analiz edebilmek için tangle modeli kullandlar. Bu böl mde onlarn bulu³larndan bahsedece iz. Bu tangle modelin spesikbölgeli rekombinasyon için kullanld yalnzca bir örnektir. Gin,Mu adl bir bakteriyofaj tarafndan kodlanan bir spesik-bölgeli rekombinasyon i³lemidir. Bakteriyofaj, bakterileri etkileyen virüslerdir. Faj genomu gix L ve gix R olarak adlandrlan iki rekombinasyon bölgesine sahiptir. Biri DNA'ya ba lanr ve Gin her iki taraf da krar, bitim noktalarn yönlendirir ve bunlar birle³tirir. Gin, çift ba lanma srasnda birden daha fazla rekombinasyon meydana getiren processive rekombinassyon ile etki gerçekle³tirir. Gin rekombinasyonun dü ümsüz substrat molekülü üzerindeki tangle analizinin sonuçlar ters olarak gix bölgelerinde a³a daki gibi tekrar edilir: 162

164 K 0 = 1 (dü ümsüz) K 1 = 1 (dü ümsüz) K 2 = 3 = 3 1 (trefoil dü ümü) K 3 = 2, 1, 1 = 4 1 (8-gür dü ümü) K 4 = 2, 2, 1 (5-twist dü ümü) 2004 ylnda De Witt Sumners ve Mariel Vazquez yukardaki dört denklemin çözümünü veren bir sonuç ke³fetti ve tam olarak be³inci denklemi tahmin ettiler. Teorem A³a daki denklem sisteminin O,P,R tangel'lar için çözümü olan (O, R) (a) N(O + P ) = 1 =dü ümsüz (b) N(O + R) = 1 = dü ümsüz (c) N(O + R + R) = 3 =trefoil dü ümü ya (( 2, 0), 1) ya da ((4,1),(-1))dir. Ayrca e er (d) N(O + R + R + R) = 2, 1, 1 =8-gür dü ümü ise (O, R) = (( 2, 0), (1)) ³eklinde bir tek çözüm vardr. Biz burada O ve R nin rasyonelli ini kontrol etmedik bunun yerine tangle denkleminin nasl çözüldü ünü inceledik.daha önce verilen bir lemmada A 1 = β 1 α 1 ve A 2 = β 2 α 2 gibi iki rasyonel tangle verildi inde α = α 1 β 2 + α 2 β 1 alnd nda N(A 1 + A 2 ) ³eklinde ve b(α, β) 4-plat'in e³it oldu unu bulmu³tuk. Yukarda verilen (2) ve (3) denklemlerinden a³a daki sistemi elde edebiliriz: u + rv = 1 yu + 2rv = 3 u,r,v bilinmeyen de erlerdir. ( u, r) sral ikilisi için on farkl çözüm elde v edebiliriz. Böylece (O, R) tangle çifti için on farkl çözüm elde ederiz. Bu çözümler (( 2, 0), (1), ((1), ( 2)), ((5), ( 4)), (( 2, 2), (2)), ((4, 1), ( 1)) ve bunlarn ayna yansmalardr. Bir sonraki teorem yardmyla bu sonuçlarn bir ksmn eleyebiliriz. Teorem Bir sonraki teoremde verilen (1), (2), (3) denklemlerinde verilen tangle'lar ters olarak tekrar edilen bölgeli Gin rekombinasyonundan gelirler. Ve bunlar a³a da verdi imiz özellikleri sa lar: O (0, 0), R (1), P (0). 163

165 O (0, 0) oldu undan ve integral tangle (0),(1) ile e³li i oldu undan O integral tangle' için elde edilen sonuçlar yok sayabiliriz. Ek olarak, e er R (1) ise integral tangle'lar (0) e³li ine sahip olmasndan dolay R = (2) çözümünden de kurtulabiliriz. Ayn zamanda (3) denkleminin dü üm ürünü chiral oldu undan ayna yansmalarn da yok sayabiliriz. Böylece yalnzca iki çözümümüz kalr ve bunlardan da yalnz birisi (4) denklemini sa lar. Bu tangle analizinin ³ nda Sumners ve Vazquez Gin gix bölgeleri ile bir substrata etki etti inde herbir rekombinasyona kar³lk gelen dönü³te enzim mekanizmas substrata bir pozitif çaprazlama ekler. Teorem A³a daki denklem sisteminin O,P,R tangel'lar için çözümü olan (O, R) (a) N(O + P ) = 1 =dü ümsüz (b) N(O + R) = 3 =trefoil dü ümü (c) N(O + R + R) = 1, 2, 2 =(-5)twist dü ümü ya (( 2, 0), (2)) yada ((2, 1, 1, 2), ( 2)) olur Bunna ek olarak e er (d) N(O + R + R + R) = 1, 4, 2 =(-7)twist dü ümü ise (O, R) = (( 2, 0), (2)) olur ve (e) her n 4 içi N(O + nr) =-(2n+1)twist dü ümü olur. Bu örnekte tangle model Gin mekanizmasnn yapsnn matematiksel olarak gösterimi için kullanld. Ve sonuç olarak bu bize gösterir ki; ters olarak tekrarlanan rekombinasyon bölgeleri tangle'a (1) ekler ba³ka bir deyi³le R = (+1) olur. Direk olarak tekrarlanan bölgelerde ise R = (+2) olur. 164

166 ALI TIRMALAR (a) A³a daki zincirlerin zincirleme saylarn belirleyiniz. Bu zincirlerden hangileri a³ikar olmayan zincirlerdir? Açklaynz. (b) Hopf, Borromean ve Whitehead zincirlerine bir yön tayin ediniz ve zincirleme saylarn hesaplaynz. Bu zincirlerden hangileri a³ikar olmayan zincirlerdir? Açklaynz. (c) a) ekilde verilen Möbiüs ³eridinin snr e risi ile merkez do rusunun zincirleme saysn hesaplaynz. b) Gösteriniz ki R 3 de sol-el Möbiüs ³eridini sa -el Möbiüs ³eridine deforme edebilecek bir ambient isotopy yoktur. c) Gösteriniz ki üç yar-burulmal Möbiüs ³eridinin tek yar-burulmal Möbiüs ³eridine deforme edilemez. 165

167 (d) 5 çaprazlamaya sahip 2 dü üm tipi bulunmaktadr ve a³a da gösterilmi³tir. Bu iki dü ümün de üç renklendirilebilir olmad n gösteriniz. (e) 6 çaprazlamaya sahip 3 temel dü üm tipi bulunmaktadr ve a³a da gösterilmi³tir. Bu dü ümlerin hangilerinin üç renklendirilebilir oldu unu belirleyiniz. (f) a) Trefoil dü ümünün diyagramnn 6 farkl yolla üç renklendirilebilece ini gösteriniz. b) Yukardaki "granny" dü ümü iki trefoil dü ümünün birbirine ba lanmas ile edilir. Bu dü ümün diyagramnn 24 farkl yolla üç renklendirilebilece ini gösteriniz. (g) ekil-sekiz dü ümünün Alexander polinomunu hesaplaynz. 166

168 (h) Derste Alexander polinomunu hesaplad mz a³a daki dü ümün çaprazlama-yay matrisinde farkl bir satr ve sütunu sildi imizde Alexander polinomunun de i³meyece ini gerçekleyiniz. (i) A³a daki yönlendirilmi³ dü üm diyagramnn çaprazlamalarnn ve bölgelerinin indislerini belirleyiniz. (j) a) A³a daki dü ümün Alexander polinomunun 2t + 2 oldu unu görünüz. b) Bu dü ümün e rilerinden birinin yönünü de i³tiriniz. Gösteriniz ki 4 tane sol el çaprazlamaya sahip bu zincirin Alexander polinomu t 3 + t 2 t + 1 dir. 167

169 (k) Hopf zincirinin polinomunu hesaplam³tk. Yine ayn ³ekilde x 2 çaprazlamasna sol el çaprazlamas uygulanrsa Skein ba ntsndan = t 1/2 t 1/2 elde edilece ini gösteriniz. (l) Yine ayn Hopf zincirinin polinomunu hesaplamadaki ³ekli ele alalm. Hopf zincirinin e rilerinden birinin yönünü de i³tirelim böylece iki çaprazlama da sa el çaprazlamas olsun. O zaman Skein ba ntsndan = t 1/2 + t 1/2 elde edilir. Gösteriniz. (m) a) ekil-8 dü ümünün bir sa el çaprazlamasna Skein ba nts uygulayarak polinomunu hesaplaynz. b) ekil-8 dü ümünün bir sol el çaprazlamasna Skein ba nts uygulayarak polinomunu hesaplaynz. c) Bu iki sonucun bu dü ümün 2t+2 Alexander polinomu ile uyumlu oldu unu gerçekleyiniz. (n) a) 10 uncu sorudaki zincirin Skein ba ntsndan yararlanarak polinomunu hesaplaynz. Elde etti iniz sonucun bu zincirin t 3 + t 2 t + 1 Alexander polinomu ile uyumlu oldu unu gerçekleyiniz. b) Yine ayn ³ekli ele alalm. Bu sefer a³a ya bakan okun yönünü yukarya do ru çevirerek polinomunu hesaplayalm. Elde etti iniz sonucun bu yönlendirimi³ dü ümün t 3 +t 2 t+1 Alexander polinomu ile uyumlu oldu unu gerçekleyiniz. (o) A³a daki zincirin sol el çaprazlamasna sahip en üst çaprazlamasna Skein ba ntsn uygulayarak polinomunu hesaplaynz. Bu sonucun 2t 3 + 2t 1 ile uyumlu oldu unu gerçekleyiniz. (p) Üç tane sa -el çaprazlamasna sahip K Trefoil dü ümünün Jones polinomunun t + t 3 t 4 oldu unu gösteriniz.buradan hareketle trefoil dü ümünün aynadaki görüntüsüne denk olamayaca sonucuna varnz. (q) a) Zincirleme says +1 olan bir Hopf zincirinin Jones polino- 168

170 munu hesaplaynz. b) Zincirleme says 1 olan bir Hopf zincirinin Jones polinomunu hesaplaynz. (r) 4 üncü sorudaki 5 çaprazlamal iki dü ümün Jones polinomlarn hesaplaynz. 169

171 Kaynakça [1] Colin C. Adams, The Knot Book: An Elemantery Inroduction to Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, [2] Colin Adams and Robert Franzosa, Introduction to Topology, Pearson Prentice Hall Inc., [3] Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer- Verlag, New York, [4] Stephan C. Carlson, Topology of Surfaces, Knots, and Manifolds, John Wiley & Sons, Inc, 2001 [5] Fred H. Croom, Basic Concepts of Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, [6] Sue E. Goodman, Beginning Topology, American Mathematical Society, [7] William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, [8] John McCleary A First Course in Topology, American Mathematical Society, [9] Robert Messer and Philip Stran, Topology Now!, The Mathematical Association of America, [10] James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, [11] Joseph J. Rotman An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, [12] Brian Sanderson, Lecture Notes (Knot Theory MA3F2), [13] Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, Springer- Verlag, New York