Çarpm ve Bölüm Uzaylar

Transkript

1 1 Ksm I Çarpm ve Bölüm Uzaylar ÇARPIM UZAYLARI 1 ÇARPIM TOPOLOJ S 2 KARMA P R O B E M L E R 1. A ile B, srasyla, (X, T )X ile (Y, S ) topolojik uzaylarnn birer alt-kümesi olsunlar. (a) (A B) = A B (b) (A B) = Ā B (c) (A B) = ( A B) (Ā B) oldu unu gösteriniz. (X, T ) uzaynn bir taban T ve (Y, S ) uzaynn bir taban S olsun. (a) (x, y) (A B) o ( T T)( S S)[(x, y) T S A B] (x T A) (y S B) (x A ) (y B ) (x, y) A B ) (b) (x, y) (A B) ( T T)( S S)[(x, y) T S (T S) (A B) ] ( T T)(x T T A ) ( S S)(y S S B ) (x Ā) (y B) (x, y) Ā B) (c) Önceki e³itlikler ile problemlerdeki ilgili ba ntlar kullanrsak e³itliklerini yazabiliriz. Buradan, (A B) = (A B) (A B) = (Ā B) ((A B) o ) = (Ā B) (A o B o ) (a, b) (A B) [(a, b) (Ā B)] [(a, b) (A o B o ) ] (a Ā) (b B) a A o b / B o b B o a / A o (a / A o ) (b / B o ) olur. Burada {} içindeki üç satr ile birbirlerine ba ldrlar. imdi her üç satr için olaslklar inceleyelim:

2 2 KARMA P R O B E M L E R 2 i. ii. iii. [(a Ā) (b B)] [a A o b / B o ] [(a Ā) (b B) (a, b) Ā B) [(a Ā) (b B)] [b B o a / A o ] [(a A) (b B) (a, b) A B) [(a Ā) (b B)] [(a / A o ) (b / B o )] [(a A) (b B)] [(a A) (b B)] [(a Ā) (b B)] [(a, b) Ā B)] [(a, b) A B)] 2. (X, T ) bir topolojik uzay ise (X X, P) çarpm uzaynda = {(x, x) x X} kö³egeninin (X, T ) uzayna e³yapl oldu unu gösteriniz. P nin üzerine kondurdu u topolojiyi P ile gösterelim. π 1 : X X X izdü³üm fonksiyonu sürekli ve açk bir dönü³ümdür. π 1 (P) = T dir. π 1 izdü³ümünün kümesine kst da sürekli ve açk bir dönü³ümdür. Ayrca (x, x) x dönü³ümü dan X üzerine bbö dir. Dolaysyla, Önerme uyarnca, π 1 izdü³ümünün kümesine kst bir e³yap dönü³ümüdür (homeomorphism). 3. Bir {X, T ) : Λ} topolojik uzaylar ailesi verilsin ve bunlarn çarpm uzay (X, P) olsun. (a) E er Λ sonlu yada saylabilir sonsuz bir küme ise, çarpm uzayn Birinci (ya da kinci) Saylabilme Aksiyomunu sa layabilmesi için gerekli ve yeterli ko³ul, çarpan uzaylardan herbirisinin de bu aksiyomu sa lamasdr. i. (X, T ) topolojik uzaylar kinci Saylabilme Aksiyomunu sa lasnlar. Her birisinin saylabilir bir taban var olacaktr. Bu tabanlar B ile gösterelim. (9.11) ba nts uyarnca, bunlarn ters izdü³üm dönü³ümleri altndaki resimlerinden olu³an S = {A : ( Λ)( B B ) A = (B)} (1) ailesi P çarpm topolojisinin bir alt-tabandr. Her Λ için {( B B ) A = (B)} ailesi saylabilir saydadr. O halde, Λ sonlu ya da saylabilir sonsuz bir küme ise, S ailesi en çok saylabilir sayda saylabilir ailelerden olu³an bir ailedir. Dolaysyla S ailesi saylabilir. Bu ailenin sonlu arakesitlerinden olu³an B ailesi de saylabilir sayda olacaktr. Sözkonusu B ailesi P çarpm topolojisinin bir tabandr. Bu taban saylabilir oldu una göre, P çarpm topolojisi kinci saylabilme aksiyomunu sa lar. ii. (X, T ) topolojik uzaylar Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa lasnlar. Her x X için kom³uluklar tabann B (x) ile gösterelim. Her Λ ve her x X için B (x) kom³uluklar taban saylabilir sayda olacaktr. Her Λ ve her x X için {( B B (x) A = (B)} ters resimleri saylabilir saydadr. O halde, (x ) (B) (2) yazlabilir. Açkça görüldü ü gibi, (2) kartezyen çarpmnn saylabilir sayda çarpan vardr ve (x) noktasnn saylabilir bir kom³uluklar tabandr.

3 2 KARMA P R O B E M L E R 3 (b) Λ damgalayan kümesi saylamaz sonsuz bir küme olsun. Çarpan uzaylarn herbirisinin Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa lad n varsayalm. Bu durumda, e er çarpan uzaylarn saylamaz saydas enaz iki³er ö eli ise, çarpan uzay Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa layamaz. Λ damgalayan kümesi saylamaz sonsuz bir küme ve çarpan uzaylarn saylamaz saydas enaz iki³er ö eli ise (B), ( B B (x)} (3) kartezyen çarpmnn saylamaz sonsuz sayda çarpan vardr. (3) ailesi, çarpm uzayda (x ) noktasnn bir kom³uluklar tabandr. Dolaysyla her ö esi (x ) noktasnn bir kom³ulu udur. Bu noktann ba³ka bir V saylabilir kom³uluklar taban oldu unu varsayalm. (3) ailesine ait her U kom³ulu u V tabanna ait bir V kümesini kapsar. Öyleyse V taban saylabilir sayda olamaz. Bu demektir ki, verilen varsaymlar altnda, (x ) noktasnn saylabilir bir kom³uluklar taban olamaz. Dolaysyla çarpm uzay Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa lamaz. (c) Λ damgalayan kümesi saylamaz sonsuz bir küme olsun. Çarpan uzaylarn herbirisinin kinci Saylabilme Aksiyomunu sa lad n varsayalm. Bu durumda, çarpm uzayn ikinci saylabilme aksiyomunu sa layabilmesi için gerekli ve yeterli ko³ul, çarpan uzaylarn ancak saylabilir saydasnn ayrk olmayan topolojiden farkl bir topolojiye sahip olmasdr. Gösteriniz. Çarpan uzaylarn saylamaz saydasnn ayrk olmayan topolojiden farkl oldu unu varsayalm. P çarpm topolojisinin (9.6) ile verilen (1) alt-taban saylamaz sayda saylabilir ailenin ailesidir. Dolaysyla saylamaz çokluktadr. Bunlarn sonlu arakesitleri ailesi de saylamaz çoklukta olaca ndan, çarpm uzay kinci Saylabilme Aksiyomunu sa lamaz. E er, (X, T ) ayrk olmayan uzay ise, (T T T = X ) oldu undan, (T ) = π 1 (X ) = X olur. Öyleyse, çarpan uzaylarn ancak saylabilir saydas ayrk olmayan topolojiden farkl bir topolojiye sahip ise, (1) ailesi saylabilir sayda olacaktr. 4. Ayrk uzaylarn sonlu saydasnn çarpmnn da ayrk bir uzay oldu unu gösteriniz. (X i, A i ) (i = 1, 2,..., n) ayrk topolojik uzaylarn çarpm uzay (X, P) olsun. Her x i X i için tek ö eli {x i } kümesi A i ayrk topolojisine göre açktr. O halde, için (x i ) n i=1 X = n i=1 X i {x 1 } {x 2 }... {x n } P dir. Ba³ka bir deyi³le, her x X noktas çarpm topolojinin açk bir kümesidir. Dolaysyla, (X, P) ayrk bir uzaydr. 5. Ayrk uzaylarn sonsuz saydasnn çarpmnn da ayrk olmas için, bu uzaylarn hemen hemen hepsinin tek ö eli olmas gerekti ini gösteriniz. Burada hemen hemen hepsi deyimi Ölçüm Kuramna ait standart bir deyimdir ve "saylabilir saydas hariç" anlamndadr. Buna göre, problemi ³öyle ifade edebiliriz: Saylamaz çoklukta ayrk uzaylarn çarpmnn ayrk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, uzaylarn saylabilir saydas hariç, geri kalanlarn tek ö eli olmasdr.

4 2 KARMA P R O B E M L E R 4 Verilen ko³ullar altnda (1) ailesinin sonlu arakesitlerinden olu³an B taban saylabilir saydadr. Bir (x ) X noktasn dü³ünelim. Bu noktann P çarpm topolojisine göre açk oldu unu gösterirsek, istenen sonucu bulmu³ oluruz. Tek ö eli olan kümeleri M = { : µ M, = {x µ }} ile gösterelim. Birden çok ö esi olanlar N = {X n : n N} ile gösterelim. X = ( ) X = X n n=1 yazabiliriz. Her n N için x n X n ve her µ M için = {x µ } olmak üzere X çarpm uzaynda µ M {x 1 } {x 2 }... {x n }... ( {x µ } µ M kümesi açk bir kümedir (bkz??. Öte yandan bu küme, Λ = N M olmak üzere (x ) X noktasdr. Böylece, çarpm uzaya ait her noktann çarpm topolojisine göre açk oldu u görülür.

5 2 KARMA P R O B E M L E R Bölüm çin Ek Problemler 1. (X, T ) topolojik uzaylar verilsin. Bunlarn çarpm uzay (X, T ) olsun. Her Λ için A X alt kümesi veriliyor. A X alt-kümesi için a³a daki ba ntnn sa land n gösteriniz. ( ) o A o A (4) Çözümü iki farkl durum için ayr ayr yapaca z. 1.Durum: Sonsuz sayda A X olsun. Her Λ için A o kümesi (X, T ) uzaynda açktr. Ancak, A o (5) kartezyen çarpm (X, T ) çarpm uzaynda açk olamaz. Çünkü, sonsuz sayda A X ise, (??) kartezyen çarpm ı (T ı ) = T ı {X : Λ, ı, T ı T ı} (6) biçimindeki alt-tabana ait hiç bir kümeyi kapsayamaz. Öte yandan, her Λ için A o A oldu undan A (7) A o kapsama ba nts vardr. Bu kapsamann iki yannn içlemleri alnrsa ( o ( ) o A) o A (8) olacaktr. Gene ayn dü³ünü³le, sonsuz sayda A X ise, bu kapsamann sa ve sol yanlar, alttabana ait (??) tipindeki hiç bir küme içeremezler. O halde her iki içlem bo³ olmaldr. Dolaysyla, uyarnca (??) sa lanr. 2.Durum: Yalnzca sonlu sayda A X olsun. Sonlu sayda A 1, A 2,..., A n kümesi d³nda kalan bütün Aµ kümeleri için A µ = (µ 1, 2,..., n) olacaktr. Bu durumda (??) kartezyen çarpm, çarpm uzayn tabanna ait kümeler içerir. Örne in, T i A o i (i = 1, 2,..., n) olacak ³ekilde T i T i açk kümeleri için n i=1 i (T i ) = n i=1 olacaktr. Bu durumda (??) ba ntsnn sol yan ( o A) o = ( T i ) {X : 1, 2,..., n} = T 1 T 2... T n {X : 1, 2,..., n} A o 1 A o 2... A o n {X : 1, 2,..., n} (9) ( A o 1 A o 2... A o n ) o {X : 1, 2,..., n} ( o = (A o 1 A o 2... A o n) o {X : 1, 2,..., n}) (10) ( ) = (A o 1 A o 2... A o n) {X : 1, 2,..., n} = A o (11)

6 2 KARMA P R O B E M L E R 6 olur. imdi (??) den hareketle, ( A o = (A o 1 A o 2... A o n) o {X : 1, 2,..., n} ( ) o (A 1 A 2... A n ) o {X : 1, 2,..., n} ( = A 1 A 2... A n ) o {X : 1, 2,..., n} ( ) o = A (12) elde edilir. Dolaysyla (??) sa lanr. 2. (X, T ) topolojik uzaylar verilsin. Bunlarn çarpm uzay (X, T ) olsun. Her Λ için A X alt kümesi veriliyor. A X alt-kümesi için a³a daki ba ntnn sa land n gösteriniz. A ) o A (13) Bunun çözümü yukardakine benzer bir dü³ünü³le yaplabilir. Çözümü gene iki farkl durum için ayr ayr yapaca z. 1.Durum: Sonsuz sayda A X olsun. Bu durumda, X çarpm uzaynda A (14) kümesini kapsayan kapal has bir alt küme olamaz. (??) kartezyen çarpmn kapsayan tek kapal küme çarpm uzayn kendisidir. Öyleyse, kaplama tanm uyarnca A = X (15) olur. X çarpm uzay bütün alt-kümelerini kapsad na göre, (??) sa lanr. 2.Durum: Yalnzca sonlu sayda A X olsun. µ Λ, µ 1, 2,..., n olmak üzere, Aµ = A µ = oldu undan A = (A 1 A 2... A n ) µ Λ = (A 1 A 2... A n ) µ Λ = ( A 1 A 2... A n ) µ Λ = ( ) A 1 A 2... A n µ Λ = A (16) çkar. Dolaysyla (??) sa lanr. 3. Box Topoloji : (X, T ) topolojik uzaylar verilsin. Bunlarn açk kümelerinin kartezyen çarpmlar X = {X Λ kartezyen çarpm kümesi üzerinde bir topoloji üretir. Ba³ka bir deyi³le, her ( Λ için T T ) açk kümelerinin kartezyen çarpmlarndan olu³an { } G = T : Λ, T T (17)

7 2 KARMA P R O B E M L E R 7 ailesi X çarpm kümesi üzerinde bir topoloji tabandr. Gösteriniz. Not: (??) ile tanmlanan topolojiye X çarpm kümesi üzerindeki box topoloji denilir. Çarpan kümelerin says sonsuz oldu unda, box topoloji çarpm topolojisinden daha incedir. Çarpan kümelerin says sonlu oldu unda box topoloji ile çarpm topolojisi e³it olurlar. Çarpm topolojisi, izdü³üm fonksiyonlarn sürekli klan en kaba topoloji oldu u için, genellikle, box topolojiye göre daha kullan³ldr. G ailesinin Önermenin ko³ullarn sa land n göstermeliyiz. (a) X = G oldu u apaçktr. (b) Her A, B G ve her (x ) = x A B için x C A B olacak biçimde bir C G oldu unu göstermeliyiz. A = {A Λ, A T } (18) B = {B Λ, B T } (19) olacak biçimde {A, B } açk kümeleri vardr. Her Λ için T topoloji oldu undan her x A B için x C A B olaca açktr. Örne in C = A B alnabilir. C = C dersek, istenen özelik elde edilir. 4. (??) taban tarafndan üretilen topoloji, çarpm topolojisinden daha incedir. Gösteriniz. E³itli in olmad na bir örnek veriniz. Çarpm topolojisinin bir taban (??) tipindeki kümelerin sonlu arakesitlerinden olu³an ailedir; yani T 1 T 2... T n ) µ Λ{X µ : µ Λ, µ 1, 2,..., n} biçimindeki kümelerden olu³an B ailesidir. Bu aileden seçilecek her küme (??) tipinden bir kümeyi kapsar. B G oldu undan B G olaca açktr. E³itli in olmad n görmek için, sonsuz tane (0, 1) açk aral nn (0, 1) (0, 1)... (0, 1)... kartezyen çarpmn dü³ünelim. Bu kartezyen çarpm box topolojide açk bir kümedir, ama çarpm uzayda açk de ildir.