B A. A = B [(A B) (B A)] (2)

Transkript

1 Bölüm 5 KÜMELER CEB R Do a olaylarnn ya da sosyal olaylarn açklanmas için, bazan, matematiksel modelleme yaplr. Bunu yapmak demek, incelenecek olaya etki eden etmenleri içine alan matematiksel formülleri ortaya koymak demektir. Bunlarn büyük ço unlu u, saysal i³lemlerle yaplabilir. Ama baz durumlarda, saysal i³lemlere benzemeyen i³lemler gerekebilir. Bu farkl i³lemlerden bir bölümü, Kümeler Cebiri kullanlarak yaplanlardr. Saylarda yapt mz dört i³lem, tek tek saylarla u ra³r. ki say arasnda yaplan toplama, çkarma, bölme, çarpma,... i³lemleriyle yeni saylar olu³turur. Kümeler Cebiri, saylardaki dört i³lemden farkl olarak, tek tek ö elerle de il, kümelerle u ra³r. ki küme arasndaki i³lemlerle yeni kümeler olu³turur. Bu kavram, birçok modellemede kullanlr. Hemen belirtelim ki, Matematik bir yönüyle, kesin kurallar olan bir dildir. Bir dilin alfabesini, ve dilbilgisini ö renmeden, o dilde konu³mak ve dü³ünmek mümkün de ildir. Matemati in alfabesi simgeler, dilbilgisi ise tanmlar ve teoremlerdir. Dolaysyla, Matemati i kavrayabilmek için, öncelikle, says çok olmayan simgeleri ö renmeliyiz. Tanm ve teoremler, bunu kolayca izleyecektir. 5.1 TEMEL KAVRAMLAR Kapsama A kümesinin her ö esi B kümesinin de bir ö esi ise, "A kümesi, B kümesi tarafndan kapsanr" ya da "B kümesi A kümesini kapsyor," denilir ve A B simgesiyle gösterilir: A B (x A x B) (1) A B ile B A e³ anlamda kullanlacaktr. Özel olarak, A kümesi, yalnzca bir tek a ö esine sahipse, bu kümeyi {a} ile gösterecek ve adna tek ö eli küme diyece iz. a bir ö edir, {a} ise bir kümedir. Dolaysyla bu ikisi birbirlerinden farkldr: a {a}. 41

2 42 BÖLÜM 5. KÜMELER CEB R Alt Küme ve Üst Küme A kümesi B kümesi tarafndan kapsanyorsa "A kümesi B kümesinin bir alt kümesi dir," ya da "B kümesi A kümesi nin bir üst kümesi dir," diyece iz: B A. E³it Kümeler A kümesi B kümesini kapsyor ve B kümesi de A kümesini kapsyorsa, bu iki küme birbirine e³ittir, denilir ve bu durum, A = B simgesiyle gösterilir; yani, A = B [(A B) (B A)] (2) dr. Has Alt Küme A kümesi, B kümesi tarafndan kapsanyorsa ve A ile B e³it de ilseler, A kümesi B kümesi nin bir has alt kümesi'dir, diyecek ve (A B) (A B) (3) biçiminde gösterece iz. 1. Buradan anla³ld gibi, A kümesi, B nin bir alt kümesidir, denildi inde, bu, A kümesinin B ye e³it olamayaca anlamna gelmez. Örne in, her küme kendi kendisinin bir alt kümesidir A A. Neden? Bo³ Küme Hiçbir ö esi varolmayan kümeye, bo³ küme diyecek ve bunu simgesiyle ya da içi bo³ { } parantezi ile gösterece iz. Her küme bo³ kümeyi kapsar. Kuvvet Kümesi X bo³ olmayan bir küme olsun. X in bütün alt kümelerinden olu³an kümeye, X in kuvvet kümesi diyecek ve P(X) simgesiyle gösterece iz. Alglamay kolayla³trmak için, ço unlukla, ö eleri kümeler olan kümelere, kümeler ailesi deriz. A³a daki önermenin ispat ileride yaplabilecektir. Önerme n ö eli bir kümenin bütün alt kümelerinin says 2 n dir. 1 Uyar: Baz kaynaklarda A B yerine A B simgesi ve (A B) (A B) yerine de A B simgesi kullanlr. Tabii, bir kavramn hangi simgeyle gösterildi i, o kavrama etkimez; ama hangi kavram için hangi simgenin kullanld n daima bilmek ve tutarl biçimde kullanmak gerekir. Biz, bu derste daima yukardaki tanmlarda geçen simgeleri kullanaca z.

3 5.2. KÜMELER ÜZER NDE LEMLER KÜMELER ÜZER NDE LEMLER Bile³im Ya A kümesine ya B kümesine ya da hem A ya hem de B ye ait olan bütün ö elerden olu³an kümeye, A ile B nin bile³imi, denilir ve A B simgesiyle gösterilir; yani, dir. A B = { x (x A) (x B) } (5.1) Arakesit Hem A kümesine hem de B kümesi ne ait olan bütün ö elerden olu³an kümeye, A ile B nin arakesiti, denilir ve A B simgesiyle gösterilir; yani, dir. A B = { x x A x B} (5.2) Ayrk Kümeler A ile B kümelerinin arakesiti bo³ ise; yani, A B = (5.3) ise, A kümesi ile B kümesi birbirlerinden ayrktrlar (kesi³miyorlar), denilir. Hiçbir ortak ö esi olmayan iki küme ayrktr. Kesi³en Kümeler A ile B kümelerinin arakesiti bo³ de ilse ; yani, A B (5.4) ise, A ile B kümeleri ayrk de ildir (kesi³iyorlar), denilir. Kesi³en iki kümenin en az bir tane ortak ö eleri vardr. Fark A kümesinin ö elerinden B kümesine de ait olanlar attktan sonra, geriye kalan ö elerin olu³turdu u kümeye, A ile B nin fark diyecek ve bunu A \ B ya da A B simgelerinden birisiyle gösterece iz; yani, dir. (A\B) (B \A) oldu u apaçktr. A B = A\B = { x x A x B } (5.5)

4 44 BÖLÜM 5. KÜMELER CEB R Simetrik Fark A ile B nin bile³im kümesinden, arakesitlerinin çkarlmasyla elde edilen kümeye, A ile B kümelerinin simetrik fark diyecek ve bunu A B simgesiyle gösterece iz; yani, A B = {(A B)\(A B)} (5.6) dir. (A B) = (B A) oldu u hemen görülür. 5.3 KÜMELER CEB R Bu bölümde bile³im, arakesit, fark, simetrik fark ve tümleme i³lemleriyle ilgili ba³lca özelikleri çkaraca z. Teorem a. Her küme bo³ kümeyi kapsar. b. Her küme, o kümeyi belirleyen önermenin belirledi i evrensel küme tarafndan kapsanr. c. Bir küme ile onun tamlayan kümesinin bile³imi, evrensel kümelerine e³ittir. spat: A = {x p(x)} herhangi bir küme ve E = {x p(x) p (x)} A y kapsayan evrensel küme olsun. (Evrensel küme tanmna baknz.) A³a daki ba ntlar göstermeliyiz. a. A b. A E c. E = A A a. Olmayana Ergi Yöntemini kullanalm. E er ( A) olsayd, ( A) [ x((x ) (x A))] 0 [ x(x x A] 1 [( A)] 1 olurdu. Sa daki ilk satrda, [(x ) 0] oldu undan, (x A) önermesi ister do ru, ister yanl³ olsun, ((x ) (x A)) bile³ik önermesi hepyanl³tr. Bu satrdaki ifadenin olumsuzu, ikinci satrdaki ifadeye e³ittir ve hepdo rudur. Üçüncü satra geçmek için, alt küme tanmn kullanmak yetecektir.

5 5.3. KÜMELER CEB R 45 b. x A p(x) x E yazabiliriz. Neden? c. x E [p(x) p (x)] [(x A) (x A )] x A A oldu undan, E (A A ) E (A A ) ba ntlar vardr. Bu isteneni verir. Buradan görüldü ü ve daha önce de söyledi imiz gibi, evrensel küme, ele ald mz kümeyi belirleyen Φ önermesine ba l olarak de i³mektedir. ³lemlerde kolayl sa lamak için, ele alaca mz bütün kümeleri kapsayacak kadar büyük; ama yalnz onlar kapsayacak kadar küçük bir evrensel kümenin seçildi ini varsayaca z. Farkl evrensel kümelerin seçilmesi, kümelerle yapaca mz i³lemlerin özeliklerini de i³tirmeyecektir. Buna göre, E evrensel kümesinin belli bir p açk önermesini sa layan ö elerinden olu³an A alt kümesi A = { x x E p(x)} = { x Φ(x) p(x)} (5.7) dir. Buradaki p önermesinin, genellikle, E yi belirleyen Φ önermesinden farkl olabilece ine dikkat edilmelidir. Zaten Φ önermesiyle pek ilgilenmeyece iz. Ele alaca mz bütün kümeler E ye ait olaca ndan, yukardaki ifadeyi daha ksa olarak, A = { x p(x) } (5.8) biçiminde yazabiliriz. A³a daki teoremlerin ispatlar, önermeler cebirinde yapt mz ilgili ba ntlardan çkar. Önerme A ile B herhangi iki küme ise, a³a daki ba ntlar sa lanr. 1. A = B [(x A) (x B)] 2. x A x A 3. x A x A 4. A B A B = B 5. A B A B = A 6. A (A B) 7. B (A B) 8. (A B) A 9. (A B) B 10. (A A ) =

6 46 BÖLÜM 5. KÜMELER CEB R Önerme A, B, C herhangi üç küme ise, a³a daki ba ntlar sa lanr. a. A = A b. A = B B = A c. (A B) (B C) (A C) d. (A = B) (B = C) (A = C) e. A\B B \A Önerme A, B ve C herhangi üç küme ise, a³a daki ba ntlar sa lanr. 1. A = A (Bo³ küme bile³im i³leminin birimidir) 2. A = (Bo³ küme, arakesit i³leminin yok edicisidir) 3. A A = A (Bile³imde E³güçlülük Kural) 4. A A = A (Arakesitte E³güçlülük Kural) 5. A B = B A (Bile³im ³leminin Yer De i³tirebilirli i) 6. A B = B A (Arakesitin Yer De i³tirebilirli i) 7. (A B) C = A (B C) (Bile³imin Birle³ebilirli i) 8. (A B) C = A (B C) (Arakesitin Birle³ebilirli i) 9. A (B C) = (A B) (A C) (Arakesit Üzerine Da lma) 10. A (B C) = (A B) (A C) (Bile³im Üzerine Da lma) Bunlara kümeler cebirinin kurallar diyece iz. spat: Örnek olarak, burada son e³itlik ispatlanacaktr. Ötekilerin ispatn ö renciye bir al³trma olarak brakyoruz. 1. Yol: Önermeler Cebiri ile Kümeler Cebiri'nin bilinen özeliklerini kullanarak, istenen ba nty çkarabiliriz. x A (B C) x A x B C arakesit tanm x A (x B x C) bile³im tanm (x A x B) (x A x C) da lma (x A B) (x A C) da lma x (A B) (A C) bile³im tanm 2. Yol: Gösterilecek e³itli in sol ve sa ndaki önermelerin do ruluk tablolarn düzenleyip; do ruluk de erlerinin ayn oldu unu görebiliriz. Bunun için, her iki yandaki önermeleri yaln bile³enlerine ayrp, herbirisinin do ruluk de erlerini bir tabloda gösterece iz. E³itli in sol ve sa ndaki önermelere, P(x) = x A (B C) Q(x) = x (A B) (A C) diyelim. Bu iki önermenin mantksal denk oldu unu göstermek için, A³a daki tabloyu düzenleyelim.

7 5.3. KÜMELER CEB R 47 x A x B x C x A B x A C x B C P(x) Q(x) Bu tablodan, evrensel kümeye ait her x için, P(x) Q(x) oldu u görülmektedir. O halde, A (B C) = (A B) (A C) e³itli i çkm³ olur. Önerme E evrensel küme, A ile B bunun birer alt kümesi iseler, a³a daki e³itlikler sa lanr. 1. A E = E E, Bile³imin Birim Ö esidir 2. A E = A E, Arakesitin Birim Ö esidir 3. A = E \A 4. A = E \A 5. (A ) = A 6. E = 7. = E 8. (A B) = A B De Morgan Kural 9. (A B) = A B De Morgan Kural 10. (A B) A B spat: A³a daki gerektirmeler, Önermeler Cebirinde ve Kümeler Cebirinde gördü ümüz özeliklerdir. Her bir adm nedenleriyle açklaynz.

8 48 BÖLÜM 5. KÜMELER CEB R 1. A E A E = E 2. A E A E = A 3. x A x A x E \A 4. x A x A x E \A 5. x (A ) x A x A 6. x E x E Ω(x) x 7. x x Ω(x) x E 8. x (A B) x A B (x A) (x B) (x A ) (x B ) x A B ) 9. x (A B) x A B (x A) (x B) (x A ) (x B ) x A B 5.4 ALI TIRMALAR 1. A, B, C, D birer küme ve E evrensel küme ise, a³a daki e³itlikleri sa laynz. (a) (A\B) = B A (b) A\B = A (E \B) (c) (A B) C = A (B C) (d) (A\B) (C \D) = (A C)\(B D) 2. (a) A\B = A (A B = B \A = A B A\B = (b) A\B = B \A A C = B B C = A (c) (A C B C) A B C (d) (C A C B) C (A B (e) A B B A (f) A B A B = B A B = A 3. A³a daki e³itlikleri gösteriniz. (a) (A B)\C = (A\C) (B \C) (b) (A B)\C = (A\C) (B \C) (c) (A\B) C = (A B)\(A C) = (A\C) B (d) A B = A B = A B) (A B ) = (B \A) (A\B) (e) A B = (A B) (A B)