1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl
|
|
|
- Berk Erkan
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice öksürün. Atmosferde küçücük bir de ifliklik yapt n z, hafif bir dalgalanma oldu: Hava al p verdiniz. Bu küçük atmosfer de iflikli inin bugün ya da yar n sonuçlar n göremeyebilirsiniz. Ama bir y l sonra, o kuvvetli öksürü ünüz Bengladefl te evleri yerle bir eden bir tayfuna neden olabilir. Belki... Bilinmez... Ya da bir kelebe in flöyle bir kanat ç rpmas n n on y l sonra do uraca sonuçlar bilemeyiz. Bu yüzden meteoroloji yaln zca bir haftal k tahmin yapabilir, bir y l sonras n tahmin edemez. Birbirine çok yak n koflullar, çok uzun bir süre sonra birbirine hiç benzemeyen durumlar yaratabilir. flte kaos kuram bu sorunla ilgilenir. Matematikte kaos/kargafla var m d r? Evet vard r. Var ki kuram bulunmufl. Matematikten bir kaos örne i verece im bu yaz mda. 1/3 ün tam nerede oldu unu hiç merak ettiniz mi? 1/3 ün nerede oldu unu bulmaya çal flaca z. fiuras kesin ki, 1/3, s f rla bir aras bir say d r, yani [0, 1] aral ndad r. 81
2 0 1 1/3 Ama bunu bilmek 1/3 ün tam nerede oldu unu bilmek de- ildir. 1/3 ün tam nerede oldu unu biraz daha iyi anlayal m. [0, 1] aral n ortadan ikiye bölersek, 1/3 hangi tarafa düfler? Sa a m, sola m? Yani 1/3, 1/2 den küçük müdür, büyük müdür? Elbet 1/3 < 1/2 eflitsizli i geçerlidir ve 1/3 soldaki aral a düfler /3 1/2 Yukarda, [0, 1] aral n tam ortadan ikiye bölüp, [0, 1/2] ve [1/2, 1] aral klar n elde ettik ve gördük ki 1/3 say s [0, 1/2] aral ndaym fl, yani, 0 1/3 1/2 eflitsizlikleri geçerliymifl. fiimdi, 1/3 ün bulundu u [0, 1/2] aral n tam ortadan ikiye bölelim: [0, 1/4] ve [1/4, 2/4] aral klar n elde ederiz. 1/3 say s bu aral klardan hangisine düfler? Sola m, sa a m? 1/4 1/3 2/4 eflitsizlikleri geçerli oldu- undan, 1/3 say s ikinci aral ktad r, yani [1/4, 2/4] aral ndad r, yani sa a düfler. 0 1/3 1 1/4 1/2 fiimdi [1/4, 2/4] aral n ikiye bölelim. [2/8, 3/8] ve [3/8, 4/8] aral klar n elde ederiz. 2/8 < 1/3 < 3/8 eflitsizlikleri geçerli oldu undan, 1/3 say s birinci aral a, yani sola düfler. 0 1/3 1 1/4 3/8 1/2 82
3 Ya [2/8, 3/8] aral n ikiye bölecek olursak? Ve böyle devam edecek olursak?.. Genel olarak, [0, 1] aral n 2 n tane eflit uzunlukta aral a bölecek olursak, 1/3 bu aral klardan hangisine düfler? Yan t vereyim. 1/3 say s, ortadan bölünen aral klar n bir soluna, bir sa na düfler. Yani, 1/2 nin soluna, 1/4 ün sa na, 3/8 in soluna, 6/16 n n sa na... Kaos bunun neresinde? 1/3 = 0, eflitli ini biliyoruz. 0, say s 1/3 e çok yak n bir say d r ama 1/3 de ildir. 0, say s da bafllang çta 1/3 gibi bir sola, bir sa a düfler, ama bir zaman sonra 1/3 ün davran fl ndan tamam yla uzaklafl r, sanki 1/3 le uzaktan yak ndan bir ilgisi yokmufl gibi davran r. flte bu kaostur. Birbirine çok yak n iki say, bir süre benzer biçimde davran rlar, ama bir süre sonra birinden al nan bilgi, öbürü hakk nda bize hiçbir bilgi vermez. 1/3 ün nerde oldu una geri dönelim. Afla daki eflitliklerin bir k sm n bulduk, bulmad klar m z n da do ru olduklar n kontrol etmek pek zor de ildir: 0/2 1/3 1/2 1/4 1/3 2/4 2/8 1/3 3/8 5/16 1/3 6/16 10/32 1/3 11/32 21/64 1/3 22/64 42/128 1/3 43/128 n kaç olursa olsun, öyle bir a n tamsay s vard r ki, a n /2 n 1/3 (a n + 1)/2 n (1) eflitsizlikleri geçerlidir. Yukardan da anlafl laca üzere, a 1 = 0 a 2 = 1 a 3 = 2 83
4 a 4 = 5 a 5 = 10 a 6 = 21 a 7 = 42 eflitlikleri geçerlidir. Bundan sonraki say lar bulmak da pek güç de il, dizi flöyledir: 0, 1, 2, 5, 10, 21, 42, 85, 170, 341, 682,... Bu dizinin sonraki say lar n okur kolayl kla tahmin edebilir. Ama elbet, tahmin yaln zca bir tahmindir. Bu tahminin kan tlanmas gerekmektedir. fiimdi, n tekse, a n çifttir n tekse, a n tektir. önermesini kan tlayaca z. Her fleyden önce, (1) eflitsizliklerinde eflitli in olamayaca - n kan tlamam z gerekiyor. Gerçekten de, bir a tamsay s için, a/2 n = 1/3 ise, 3a = 2 n eflitli i de geçerlidir ve bundan da 3 ün 2 n yi bölece i ç kar ki, bu do ru de ildir. Dolay s yla (1) eflitsizliklerini daha keskin bir biçimde, a n /2 n < 1/3 < (a n + 1)/2 n olarak yazabiliriz. Bu eflitsizliklerdeki say lar n paydalar n temizleyelim, yani say lar 3 2 n ile çarpal m: 3a n < 2 n < 3a n + 3 eflitsizliklerini elde ederiz. Dolay s yla 2 n say s 3a n den büyük, ama 3a n + 3 ten küçük bir say d r. 3a n den büyük ve 3a n + 3 ten küçük iki say vard r: 3a n + 1 ve 3a n + 2. Demek ki 2 n say s bu iki say dan birine eflittir: Ya 2 n = 3a n + 1 ya da 2 n = 3a n + 2. (2) Bunlardan hangisi do ru? n nin tekli ine ya da çiftli ine göre de iflir yan t. E er n çiftse 2 n = 3a n + 1, tekse 2 n = 3a n + 2 eflitli i geçerlidir. Neden? Nedenini birazdan söyleyece im. Önce biraz önbilgiye gerek var. Önce flu biline: 2 n 2, 2 n 1 ve 2 n say lar üç ard fl k say - d r. Dolay s yla, içlerinde biri, ve yaln zca biri üçe bölünür. 2 n 84
5 say s üçe bölünmedi inden, 2 n 2 ve 2 n 1 say lar ndan birinin, ve yaln zca birinin üçe bölündü ü anlafl l r. Sav. E er n çiftse, 2 n 1 üçe bölünür. E er n tekse, 2 n 2 üçe bölünür. Sav n Kan t : Önce n nin çift oldu unu varsayal m ve n yi 2m biçiminde yazal m: n = 2m. 2 m 1, 2 m ve 2 m + 1 say lar üç ard fl k say oldu undan, biri üçe bölünür. Ama 2 m üçe bölünmez elbet. Demek ki 2 m 1 ve 2 m + 1 say lar ndan biri üçe bölünür. Bunu akl m zda tutal m, bir sonraki paragrafta gerekecek. Sonra flu basit hesab yapal m: 2 n 1 = 2 2m 1 = (2 m ) 2 1 = (2 m 1)(2 m + 1). Bu eflitli in sa taraf ndaki 2 m 1 ve 2 m + 1 say lar ndan birinin üçe bölündü ünü biraz önce görmüfltük. Demek ki çarp mlar da, yani 2 n 1 de üçe bölünür. Sav m z n birinci bölümünü kan tlad k. fiimdi n nin bir tek say oldu unu varsayal m ve n = 2m + 1 yazal m. Gene hesaplayal m: 2 n 2 = 2 2m = 2(2 2m 1). Biraz önce 2 2m 1 in üçe bölündü ünü görmemifl miydik? Demek ki yukardaki eflitli in say lar da üçe bölünürler, yani 2 n 2 de üçe bölünür. Sav m z kan tland. fiimdi (2) ye geri dönelim. E er 2 n = 3a n + 1 eflitli i geçerliyse, 3a n = 2 n 1 eflitli i de geçerlidir, yani 2 n 1 üçe bölünür (dolay s yla 2 n 2 üçe bölünmez.) Yukardaki savdan da n nin çift oldu u anlafl l r. E er 2 n = 3a n + 2 eflitli i geçerliyse, 3a n = 2 n 2 eflitli i de geçerlidir, yani 2 n 2 üçe bölünür (dolay s yla 2 n 1 üçe bölünmez.) Yukardaki savdan da n nin tek oldu u ç kar. 85
6 Demek ki, n çiftse, 2 n = 3a n + 1 n tekse, 2 n = 3a n + 2 önermesini kan tlad k, yani, n çiftse, a n = (2 n 1)/3 n tekse, a n = (2 n 2)/3 önermesini kan tlad k. Ne güzel! fiimdi a n nin tekli i-çiftli i konusuna dönelim. E er n çiftse, yani a n = (2 n 1)/3 ise, a n ikiye bölünemez, çünkü 2 n 1 ikiye bölünemez. Dolay s yla bu fl kta a n tektir. E er n tekse, yani a n = (2 n 2)/3 = 2(2 n 1 1)/2 ise, elbette a n ikiye bölünür. Bu da, 1/3 say s n n aral klar n bir soluna, bir sa na düfltü ünü gösterir. Son olarak afla daki güzel eflitli i kan tlayay m: 1/3 = 1/2 1/4 + 1/8 1/16 + 1/32 1/ (3) Bu eflitli in sa ndaki toplam sonsuz bir toplamd r. Sa daki sonsuz toplama x diyelim: x = 1/2 1/4 + 1/8 1/16 + 1/32 1/ fiimdi x i ikiyle çarpal m: 2x = 2(1/2 1/4 + 1/8 1/16 + 1/32 1/64 + 1/128 1/ ) = 1 1/2 + 1/4 1/8 + 1/16 1/32 + 1/64 1/ = 1 (1/2 1/4 + 1/8 1/16 + 1/32 1/64 + 1/128...) = 1 x. Yani 2x = 1 x. Bundan da kolayl kla x = 1/3 ç kar! (3) eflitli i kan tlanm flt r 1. Bu kan t sizi (3) eflitli ine inand ramad ysa hesaplay n: 1 Burada biraz yalan söylüyorum. E er sonsuz toplam n sonucu sonlu bir say ysa kan t geçerlidir, yoksa geçersizdir. 86
7 1/2 = 0,5 1/2 1/4 = 0,25 1/2 1/4+1/8 = 0,375 1/2 1/4+1/8 1/16 = 0,3125 1/2 1/4+1/8 1/16+1/32 = 0,3475 1/2 1/4+1/8 1/16+1/32 1/64 = 0, /2 1/4+1/8 1/16+1/32 1/64+1/128 = 0, /2 1/4+1/8 1/16+1/32 1/64+1/128 1/256 = 0, /2 1/4+1/8 1/16+1/32 1/64+1/128 1/256+1/512 = 0, /2 1/4+1/8 1/16+1/32 1/64+1/128 1/256+1/512 1/1024 = 0, /2 1/4+1/8 1/16+1/32 1/64+1/128 1/256+1/512 1/1024+1/2048 = 0, /2 1/4+1/8 1/16+1/32 1/64+1/128 1/256+1/512 1/1024+1/2048 1/4096= 0, /2 1/4+1/8 1/16+1/32 1/64+1/128 1/256+1/512 1/1024+1/2048 1/4096+1/8192= 0, Görüldü ü gibi, ifllemleri yapt kça 0, say s na, yani 1/3 e yaklafl yoruz. fllemleri sonsuza dek yapmaya zaman m z olsayd, tam 1/3 bulurduk. fllemleri sonsuza dek yapamasak bile, yukarda yapt m z gibi, sonsuz ifllemin sonucunun 1/3 oldu unu matematikle buluruz. Yaz n n birinci bölümündeki sorunun yan t, (3) eflitli inden de bulunabilir. Dileyen okur 1/5 nerde? sorusunu yan tlayabilir 2. 2 Bu yaz n n kaosla ilgili oldu unu bana ö reten Tayfun Akgül e teflekkürler... 87
Ard fl k Say lar n Toplam
Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara
256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.
Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,
Bir yaz mda, kimbilir hangisinde,
Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:
Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu
Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,
Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z
Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi
Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan
Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.
Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve
Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.
Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.
Yan t Bilinmeyen Bir Soru
Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,
Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k
8. Yak nsak Diziler 8.1. Yak nsakl k Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k ama kan tlamad k. Kan tlayamazd k da, çünkü yak nsamak kavram n henüz tan mlamad k. Bu bölümde matematikte
Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi
25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce
Olas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.
Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras
Sevdi im Birkaç Soru
Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.
Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say
Kapak Konusu: 2 2 = 4 Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Geçen yaz da her toplulu u küme sanman n ne kadar kötü sonuçlar do urdu unu gördük. Demek ki daha dikkatli olmal y z, önümüze ç kan her toplulu
Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl
Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt
Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-
Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru
Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?
ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3
Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
O + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80
Yaz yla Saymak H er harfe öyle bir tamsay vermek istiyoruz ki, örne in, B R in harfleri olan B ye, ye ve R ye verdi imiz say lar n toplam 1 olsun. K için de, ÜÇ için de ayn fley do ru olsun... 199 a kadar
14. Ordinallerde Çarpma fllemi
14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç
Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n
Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl
Fermat Ne Biliyordu? (I)
Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan
Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.
Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu
Üst Üçgensel Matrisler
Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / [email protected] 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y
9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz.
ÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2:
MATEMAT K SAYILAR - I ÖRNEK : Üç basamakl 4AB sa s, iki basamakl BA sa s n n kat ndan fazlad r. Buna göre, BA sa s kaçt r? A) B) 25 C) 2 D) 2 E) 2 (ÖSS - ) ÖRNEK 2: Dört basamakl ABCD sa s, üç basamakl
Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem
Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam
Yeniflemeyen Zarlar B:
Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,
Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla
Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.
yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.
Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.
Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne
Çekirge Kaç S çrar ya da Rastgele Yürüyüfl Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne ya da arkaya 1 metre s çrayabiliyor. Belli bir olas l kla öne, belli bir olas l kla arkaya s çr yor.
Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu
Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...
Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.
19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:
Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir
Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik
YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar
9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif
Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl
48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir
Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)
3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d
Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli
Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt
Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir.
Matematikte Biçim ve Sezgi Üzerine Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Yani öyle bir yaz l m (bilgisayar program ) yap labilir ki, bir kan t n do ru olup olmad bilgisayara sorulup
Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu
30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman
içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa
Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak
Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji
Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.
Afin ve zdüflümsel Düzlemler
Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / [email protected] Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç
Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / [email protected]
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan
Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit
Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran
51. Limitler ve Sonsuzlar Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran kavramlardan söz edece iz. Örne in lim ƒ() = b, lim a ƒ() = b ve lim ƒ() = gibi eflitliklerin matematiksel anlamlar n
Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir
20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand
Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}
Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,
Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin
Sihirli Kareler (I) Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin içine den 9 a kadar say lar öyle yerlefltirin ki, her s ran n, her kolonun ve her iki çapraz n say lar n n toplam 5 olsun. Bu
KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.
KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya
TEMEL MATEMAT K TEST
TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir
TEMEL MATEMAT K TEST
TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu
Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim
3.2 Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim Zihinden Toplayal m ve Ç karal m 1. Afla da verilen ifllemleri zihinden yaparak ifllem sonuçlar n yaz n z. 50 YKr + 900 YKr = 300 + 300 = 998 100
Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin
Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan
22. Zorn Önsav na Girifl
22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns
ZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + =
ZARLARLA OYNAYALIM Zar kullanarak toplama ve ç karma ifllemleri yapabiliriz. Zarda karfl l kl iki yüzdeki say lar n toplam daima 7 dir. Zarda 2 gözüküyorsa karfl s ndaki yüzeyin 7 2 = 5 oldu unu bulabilirsiniz.
CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 :
CO RAFYA DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : K rk nc paralel üzerindeki bir noktan n hangi yar mkürede yer ald afla dakilerin hangisine bak larak saptanamaz? A) Gece-gündüz süresinin
Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte
11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli
Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d
Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,
ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.
1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde
GAZLAR ÖRNEK 16: ÖRNEK 17: X (g) Y (g) Z (g)
ÖRNEK 16: ÖRNEK 17: X (g) Y (g) Z (g) Sürtünmesiz piston H (g) He Yukar daki üç özdefl elastik balon ayn koflullarda bulunmaktad r. Balonlar n hacimleri eflit oldu una göre;. Gazlar n özkütleleri. Gazlar
MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER
ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say
3) x = 10 3 ise x kaçt r? Çözüm: Toplamadaki ard k terimlerin fark 5 oldu undan, A =
DO AL SAYILAR, TAMSAYILAR ) 8. 0 7 +. 0 + 4. 0 say, a dakilerden hangisidir? 8. 0 7 +. 0 + 4. 0 = 8. 0 7 + 0. 0 6 + 0. 0 + 0. 0 4 + 0. 0 + 0. 0 2 + 4. 0 + 0. 0 0 eklinde yaz labilir. Öyleyse, say 8000040
TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - III. Kavram Dersaneleri 78. ÖRNEK 1: % 24 'ü olan say kaçt r? ÖRNEK 2:
TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - III ÖRNEK 1: % 24 'ü 86424 olan say kaçt r? A) 360 B) 354196 C) 320120 D) 36 E) 360 (ÖSS - 1999) ÖRNEK 2: Bir miktar pastan n 3 ini lknur, geriye kalan n da Buse yemifltir.
En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan
Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i
Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin
Bu yazıda hile yapıyorum... Bir yerde bir hata var. Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin K endinden ve birden başka sayıya bölünmeyen a asal denir. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 asal dır. Ama 35 asal
UZUNLUKLARI ÖLÇEL M. Çubuk yedi birim. Oysa flimdi 5 birim görülüyor. 7-5 = 2 boyanacak. Çubuk kareli kâ tta = 7 görülmektedir.
UZUNLUKLARI ÖLÇEL M Burada bir çubuk üzerine ay c n resmi konmufltur. Çubuk kayd r ld kça çubuklar n boyu eksik kal yor. Eksik k sm boyayarak tamamlay n z. Her kareyi bir birim kabul ediniz. 3 Çubuk kareli
ÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2:
MATEMAT K SAYILAR - I ÖRNEK : Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? A) 9 B) 5 C) 7 D) 9 E) (ÖSS - 999) ÖRNEK : Dört basamakl ABCD say s, üç basamakl
Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri
Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri M atematikçi bir arkadafl m n efli güle güle anlatt. Befl yafl ndaki o luna babas n n bahçede ne yapt n sormufl. Çocuk bahçeye ç k p bir de bakm fl ki, baba, bir