Saymak San ld Kadar Kolay De ildir
|
|
|
- Süleyman Akalın
- 9 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan toplar sayabilir misiniz? Ayfle bombofl bir odada. Odan n kap s ve penceresi aç k. Murat odan n hemen d fl nda, kap n n önünde. Murat n önünde 1, 2, 3, 4, diye say land r lm fl sonsuz tane top var. Saat 12 ye 1 dakika kala, Murat 1 ve 2 say l toplar Ayfle nin bulundu u odaya at yor. Ayfle hiç zaman kaybetmeden 1 say l topu pencereden bahçeye at yor. Saat 12 ye 1/2 dakika kala, Murat 3 ve 4 say l toplar Ayfle ye at yor. Ayfle gene hiç zaman kaybetmeden 2 say l topu pencereden bahçeye at yor. Saat 12 ye 1/3 dakika kala, Murat 5 ve 6 say l toplar odaya at yor. Ayfle bu s rada 3 say l topu pencereden bahçeye at yor. Saat 12 ye 1/4 dakika kala Murat 7 ve 8 say l toplar Ayfle ye at yor. Ayfle de 4 say l topu pencereden bahçeye at yor. Bu böyle hep devam ediyor. Ayfle yle Murat gittikçe h zlan - yorlar. Murat n önündeki toplar ikifler ikifler azal yor, pencereden bahçeye at lan toplar birer birer ço al yor Ayfle nin odas ndaki toplar da birer birer ço al yorlar elbet 117
2 12 ye 1/1 var Murat 1 ve 2 yi Ayfle ye at yor Ayfle 1 i pencereden at yor 12 ye 1/2 var Murat 3 ve 4 ü Ayfle ye at yor Ayfle 2 yi pencereden at yor 12 ye 1/3 var Murat 5 ve 6 y Ayfle ye at yor Ayfle 3 ü pencereden at yor 12 ye 1/4 var Murat 7 ve 8 i Ayfle ye at yor Ayfle 4 ü pencereden at yor 12 ye 1/5 var Murat 9 ve 10 u Ayfle ye at yor Ayfle 5 i pencereden at yor 12 ye 1/n var Murat 2n 1 ve 2n yi Ayfle ye at yor Ayfle n yi pencereden at yor Soru: Saat tam 12 de odada kaç top vard r? Murat n ve Ayfle nin toplar gittikçe artan bir h zla at p atamayacaklar sorusuyla ilgilenmeyelim. Fiziksel engelleri ortadan kald r p, soruyu soyut düzeyde alg layal m. Birinci Yan t: Saat 12 de odada sonsuz tane top vard r. Çünkü Murat odaya hep iki top atmaktad r ve Ayfle odadan yaln zca bir top d flar atmaktad r. Dolay s yla odadaki top say s her hamleden sonra 1 artmaktad r. Bu yüzden, saat 12 de odada sonsuz tane top vard r. kinci Yan t: Saat 12 de odada hiç top yoktur. Çünkü Ayfle her topu bir zaman sonra pencereden bahçeye atacakt r. Öyle de il mi? Saat 12 ye 1/n kala, Ayfle n say l topu pencereden bahçeye f rlatacakt r. Dolay s yla her top bir zaman sonra odadan ç kacakt r ve saat 12 de odada hiç top kalamaz. As l Soru: Yan tlar m z birbirleriyle çelifliyor. Hangi yan t do ru? Hangi yan t yanl fl? Yoksa her iki yan t da m yanl fl? Öyleyse do ru yan t nedir? Ve neden? As l Sorunun Yan t : Her iki yan t da do ru gibi gözüküyor. Ama her ikisi de do ru olamaz elbet. Biraz düflünelim. 118
3 Birinci yan tta odadaki top say s gözönünde bulunduruluyor. Odadaki top say s hep bir artt ndan, saat 12 de odadaki top say s n n sonsuz olaca öne sürülüyor. kinci yan ttaysa toplar teker teker gözönüne al n yor. Her top bir zaman sonra odadan d flar at laca ndan, odada hiç top kalamaz deniliyor. Do ru yan t ikincisi. Birazdan ikinci yan t n neden do ru oldu unu aç klayaca m. Bu paragrafta birinci yan t n gerekçesinin neden geçerli olmad n anlatmaya çal flay m: Odadaki top say s n n durmadan artt do ru. Bundan hiç kuflkumuz yok. Ancak bu olgu tek bafl na saat 12 de odada sonsuz tane top oldu unu kan tlamaz! Odadaki top say s her an artabilir ve gene de saat 12 de odada hiç top kalmayabilir! Zaten burda olan da bu: Odadaki top say s art yor ve saat 12 de odada hiç top kalm yor. Top say s n n artmas yla sonsuzda odada sonsuz tane top bulunmas aras ndaki iliflki san ld kadar güçlü de il, hatta önsezilerimize ters düflecek kadar zay f! kinci yan t n neden do ru oldu unu daha iyi anlamak için her an odada bulunan toplar yazal m: Saat Odadaki toplar Odadaki top say s 12 ye 1/1 kaladan hemen sonra ye 1/2 kaladan hemen sonra 3, ye 1/3 kaladan hemen sonra 4, 5, ye 1/4 kaladan hemen sonra 5, 6, 7, ye 1/5 kaladan hemen sonra 6, 7, 8, 9, ye 1/6 kaladan hemen sonra 7, 8, 9, 10, 11, ye 1/n kaladan hemen sonra n + 1, n + 2,, 2n n Odadaki toplar küme olarak gösterelim. 12 ye 1/n kaladan hemen sonra odada bulunan toplar n kümesine A n diyelim. Demek ki, 119
4 A 1 = {2} A 2 = {3, 4} A 3 = {4, 5, 6} A 4 = {5, 6, 7, 8} A 5 = {6, 7, 8, 9, 10} A 6 = {7, 8, 9, 10, 11, 12} A n = {n + 1, n + 2,, 2n} eflitlikleri geçerli. Bu kümeler dizisinin sonsuzda ne oldu unu bulmak istiyoruz. A 1 kümesi {2, 3, 4, 5, 6, } kümesinin bir altkümesidir. A 2 kümesi {3, 4, 5, 6, 7, } kümesinin bir altkümesidir. A 3 kümesi {4, 5, 6, 7, 8, } kümesinin bir altkümesidir. Genel olarak A n kümesi {n + 1, n + 2, n + 3, } kümesinin bir altkümesidir. B n, n den büyük tamsay lar kümesini simgelesin. Yani B n = {n + 1, n + 2, n + 3, } olsun. Demek ki, A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 A 4 B 4 A 5 B 5 A n B n tümceleri geçerli. A n kümelerinin sonsuzda bofl oldu unu göstermek için, B n kümelerinin sonsuzda bofl oldu unu göstermek yeterlidir. Ama B n kümesi n den büyük say lar içerdi inden, her say bir zaman sonra B n lerden birinin d fl nda kal r. Örne in, 1995, B 1995 te de ildir, B 1996 da da de ildir; genel olarak, n 1995 ise, 120
5 1995, B n de de ildir. Bu dedi imiz yaln z 1995 için de il, her say için geçerli. Demek ki B n kümeleri sonsuzda boflküme olurlar. Dolay s yla A n kümeleri de sonsuzda boflküme olurlar. Burda yapt m z ikinci yan t n kan t n aç klamaktan baflka bir fley de il. kinci yan t n kan t do rudur, yani ikinci yan t do rudur. Yukardakine benzeyen flu bilmeceyi soral m: Murat Ayfle ye her saniye iki tane (madeni) 1 lira versin. Ayfle de bu 2 liray cebine ats n. Ama Ayfle nin cebi delik olsun ve cebine her iki lira koyuflunda, bir lira cebinden yere düflsün. Sonsuzda Ayfle nin cebinde kaç lira olur? Ayfle nin cebindeki para her saniye artmaktad r. Çünkü her saniye Ayfle nin cebine 2 lira girmektedir ve yaln zca 1 lira düflmektedir. Her saniye Ayfle 1 lira daha zenginleflir. Örne in 10 saniye sonra Ayfle nin cebinde 10 lira olacakt r, 11 saniye sonra 11 liras olacakt r Bundan, Ayfle nin cebinde sonsuzda sonsuz lira olaca ç kar m? Ç kmaz! Paralar n hangi s rayla yere düfltükleri önemlidir. Örne in, e er paralar Ayfle nin cebinden yukardaki gibi teker teker s rayla düflerse, Ayfle nin cebinde (sonsuzda) hiç para kalmaz. Öte yandan ilk lira Ayfle nin cebine tak l kal rsa ve sonraki liralar Ayfle nin cebinden s rayla teker teker düflerse, sonsuzda Ayfle nin bir liras olur. Bir baflka örnek verelim: Tek say l liralar Ayfle nin cebine tak l kal rsa ve çift say l liralar teker teker düflerse, sonsuzda Ayfle nin sonsuz paras olur. Hem yerde hem de Ayfle nin cebinde sonsuz para olur. Sonuç olarak, Ayfle nin cebinde sonsuzda herhangi tutarda paras olabilir. Ayfle nin cebinde kalacak para, liralar n hangi s rayla düfltü üne ba l d r. 121
6 Yukardaki problemi biraz zorlaflt ral m. Ayfle nin cebinden paralar rasgele düflürelim. Ayfle nin cebine giren ilk iki lira, yere düflmek için yaz - tura ats nlar. 1/2 olas l kla birinci lira düflsün, 1/2 olas l kla ikinci lira. Bir saniye sonra Ayfle nin cebine iki lira daha girecek ve böylece cebinde 3 lira olacak. Bu üç liradan biri de 1/3 olas l kla yere düflsün. Bir saniye sonra Ayfle nin cebine iki lira daha girecek ve cebinde 4 lira olacak. Bu dört liradan biri de 1/4 olas l kla yere düflsün Sonsuza de in bu böyle sürsün. Sonsuzda Ayfle nin kaç paras olur? Kimi okur, Sonsuzda Ayfle nin cebinde herhangi tutarda paras olabilir, 1 liras da olabilir, sonsuz paras da olabilir, yan t n verecektir. Gerçekten de biraz önce bunun böyle oldu- unu görmemifl miydik? Ne yaz k ki do ru yan t bu de il. Ayfle nin cebinden paralar rasgele düflerse, sonsuzda Ayfle nin yüzdeyüz olas l kla s f r liras olacakt r. Rasgele sözcü ünün alt n özellikle çizdim. Paralar yere rasgele düfltü ünde neden Ayfle nin cebinde sonsuzda hiç para kalmaz? Ayfle nin cebine konan paralar say layal m. 1 say l liray, yani birinci liray ele alal m. Bu liran n yüzdeyüz olas l kla bir zaman sonra Ayfle nin cebinden düflece ini kan tlayaca m. Yani, birinci liran n Ayfle nin cebinde sonsuza de in kalma olas - l n n s f r oldu unu kan tlayaca m. Bu lira, 1/2 olas l kla daha ilk turda Ayfle nin cebinden düflecektir. Ve gene 1/2 olas l kla birinci turda Ayfle nin cebinde kalacakt r. Demek ki birinci liran n birinci turda düflmeme olas l 1/2 dir. Birinci liran n birinci turda düflmedi ini varsayal m. kinci turda, Ayfle nin cebinde 3 lira vard r. 1/3 olas l kla birinci lira düflecektir ve 2/3 olas l kla düflmeyecektir. Demek ki birinci liran n ne birinci ne de ikinci turda düflmeme olas l, 1/2 2/3 = 1/3 tür. 122
7 Birinci liran n ikinci turda da düflmedi ini varsayal m. Üçüncü turda Ayfle nin cebinde 4 lira vard r. Birinci lira 1/4 olas l kla düflecektir, 3/4 olas l kla düflmeyecektir. Demek ki birinci liran n ne birinci ne ikinci ne de üçüncü turda düflmeme olas l 1/2 2/3 3/4 = 1/4 tür. Okur hesaplar sürdürebilir. Birinci liran n ilk 4 turda düflmeme olas l, 1/2 2/3 3/4 4/5 = 1/5 tir. Genel olarak, birinci liran n ilk n turda (yani saniyede) düflmeme olas l 1/( n + 1) dir. Bu olas l klar n büyüdükçe küçülür. Yani, birinci liran n düflmeme olas l gittikçe azal r. Bunu zaten biliyorduk. Ama flimdi yeni bir olgu keflfettik: Bu olas l klar azal r, azal r ve n sonsuza yaklaflt kça, s f ra yaklafl rlar. Yani birinci liran n hiç düflmeme olas l s f rd r. Dolay s yla, birinci lira 1 olas l kla (yani yüzde yüz) sonlu bir zaman sonra düflecektir! Birinci lirayla yapt m z, herhangi bir lirayla da yapabiliriz. Her lira bir zaman sonra 1 olas l kla düflecektir. Yani sonsuzda Ayfle nin cebinde hiç para kalmaz (1 olas l kla!). 123
Ard fl k Say lar n Toplam
Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara
256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.
Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,
yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.
Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.
Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z
Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi
Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu
Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice
Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl
Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt
Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi
25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce
Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
Olas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.
Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.
Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.
Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl
Yeniflemeyen Zarlar B:
Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,
Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
Bir yaz mda, kimbilir hangisinde,
Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa
Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak
O + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80
Yaz yla Saymak H er harfe öyle bir tamsay vermek istiyoruz ki, örne in, B R in harfleri olan B ye, ye ve R ye verdi imiz say lar n toplam 1 olsun. K için de, ÜÇ için de ayn fley do ru olsun... 199 a kadar
Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji
Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.
Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu
Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...
Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.
Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt
Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem
Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam
Yan t Bilinmeyen Bir Soru
Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do
Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.
Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve
Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}
Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,
1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r.
1. ir kümenin eleman say s artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. una göre, ilk durumdaki kümenin eleman say - s kaçt r? ) 2 ) ) D) 5 E) 6 6. ve kümelere E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak
Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin
Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras
Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir
20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand
Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir
Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik
Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-
Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru
Afin ve zdüflümsel Düzlemler
Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / [email protected] Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç
Sevdi im Birkaç Soru
Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.
Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin
Sihirli Kareler (I) Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin içine den 9 a kadar say lar öyle yerlefltirin ki, her s ran n, her kolonun ve her iki çapraz n say lar n n toplam 5 olsun. Bu
Bir oteliniz var. Otelinizin sonsuz say da odas var. Her odan n
Sonsuz Odal Otel 1 Bir oteliniz var Otelinizin sonsuz say da odas var Her odan n bir numaras var: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Böylece sonsuza kadar gidiyor En sonuncu oda yok Sonsuz numaral oda da yok Her odan n
Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d
Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,
Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu
30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman
Düello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu
Triello Düello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu 1 herkes bilmeyebilir... Triello üç kifli aras nda yap - l r, ya da oynan r..., B ve, triello yapacak üç kifli olsun. Önce,
En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan
Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i
CO RAFYA GRAF KLER. Y llar Bu grafikteki bilgilere dayanarak afla daki sonuçlardan hangisine ulafl lamaz?
CO RAFYA GRAF KLER ÖRNEK 1 : Afla daki grafikte, y llara göre, Türkiye'nin yafl üzerindeki toplam nufusu ile bu nüfus içindeki okuryazar kad n ve erkek say lar gösterilmifltir. Bin kifli 5. 5.. 35. 3.
11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ
11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na
1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.
1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde
Fevzi Pafla Cad. Dr. Bar fl Ayd n. Virgül (,) 2. Baz k saltmalar n sonuna konur.
2. Baz k saltmalar n sonuna konur. Dr. Bar fl Ayd n Fevzi Pafla Cad. 3. Say lardan sonra s ra bildirmek için konur. Sonucu ilân ediyorum: 1. Ali, 2. Kemal, 3. Can oldu. Hepsini tebrik ederim. Virgül (,)
TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE
R (UVVE MME ) - DEE ES -... evhalar dengede oldu una göre, desteklerin oldu u noktalara göre moment al n rsa,...... oldu u görülür. CEVA B d d d d. ucuna göre moment cambaz den ye giderken momenti azald
Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / [email protected]
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin
Bu yazıda hile yapıyorum... Bir yerde bir hata var. Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin K endinden ve birden başka sayıya bölünmeyen a asal denir. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 asal dır. Ama 35 asal
mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C
Önsöz Bu ders notlar, 1995 ten beri stanbul Bilgi Üniversitesi nde birinci s n f matematik ö rencilerine verdi im derslerden ortaya ç kt ve matemati i derinli i ve felsefesiyle ö renmek isteyen, çal flmaktan
Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k
8. Yak nsak Diziler 8.1. Yak nsakl k Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k ama kan tlamad k. Kan tlayamazd k da, çünkü yak nsamak kavram n henüz tan mlamad k. Bu bölümde matematikte
Ek 1. Fen Maddelerini Anlama Testi (FEMAT) Sevgili öğrenciler,
Ek 1. Fen Maddelerini Anlama Testi (FEMAT) Sevgili öğrenciler, Bu araştırmada Fen Bilgisi sorularını anlama düzeyinizi belirlemek amaçlanmıştır. Bunun için hazırlanmış bu testte SBS de sorulmuş bazı sorular
Uzay Keflfediyoruz. Günefl Sistemi Nerede? Her Yer Gökada Dolu! n yaln zca biri! evrendeki sonsuz Dünya bizim evimiz ve
uzayi kesfet 13/2/6 19:35 Page 34 Uzay Keflfediyoruz n yaln zca biri! de in is kc gö da y sa evrendeki sonsuz Dünya bizi eviiz ve ister isiniz? ak n ta z r la flu renek, ko Evrendeki adresiizi ö Her Yer
Bu yaz da, basitlefltirilmifl birkaç poker oyunu oynayaca z.
Blöfün Matemati i Bu yaz da, basitlefltirilmifl birkaç poker oyunu oynayaca z. Yaz y anlamak için poker bilmeye gerek yoktur. Oyunlar - m z iki kifli aras nda ve as ve papazdan oluflan büyük bir desteyle
Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler
Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama, Ç karma ve Çarpma fllemi Oran ve Orant
Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla
Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.
SAYI BASAMAKLARI. çözüm
SAYI BASAMAKLARI Sayı Basamakları Günlük hayat m zda 0 luk say sistemini kullan r z. 0 luk say sistemini kullanmam z n nedeni, sayman n parmaklar m zla ba lamas ve iki elimizde toplam 0 parmak olmas olarak
Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)
3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d
22. Zorn Önsav na Girifl
22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?
ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3
Fermat Ne Biliyordu? (I)
Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan
Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli
Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt
ZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + =
ZARLARLA OYNAYALIM Zar kullanarak toplama ve ç karma ifllemleri yapabiliriz. Zarda karfl l kl iki yüzdeki say lar n toplam daima 7 dir. Zarda 2 gözüküyorsa karfl s ndaki yüzeyin 7 2 = 5 oldu unu bulabilirsiniz.
4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.
BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.
YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar
9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif
MİKRO İKTİSAT ÇALIŞMA SORULARI-10 TAM REKABET PİYASASI
MİKRO İKTİSAT ÇALIŞMA SORULARI-10 TAM REKABET PİYASASI 1. Firma karını maksimize eden üretim düzeyini seçmiştir. Bu üretim düzeyinde ürünün fiyatı 20YTL ve ortalama toplam maliyet 25YTL dir. Firma: A)
Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y
9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz.
(ÖSS ) ÇÖZÜM 2:
MTEMT K PROLEMLER - II ÖRNEK : ve kentlerinden saatteki h zlar s ras yla V ve V olan (V > V ) iki araç, birbirlerine do ru 2 2 ayn anda hareket ederlerse saat sonra karfl lafl yorlar. u araçlar ayn kentlerden
TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I. Ahmet A A H y l A + (A H) Hasan H. A H y l. Kavram Dersaneleri 56
TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I ÖRNEK 1: Bir lisenin son s n f ö rencileri her grupta eflit say da ö renci olmak üzere 10 gruba ayr l yor. Bu ö renciler 7 gruba ayr lsayd her gruptaki ö renci say s 6 fazla
Üst Üçgensel Matrisler
Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / [email protected] 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer
Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say
Kapak Konusu: 2 2 = 4 Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Geçen yaz da her toplulu u küme sanman n ne kadar kötü sonuçlar do urdu unu gördük. Demek ki daha dikkatli olmal y z, önümüze ç kan her toplulu
Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne
Çekirge Kaç S çrar ya da Rastgele Yürüyüfl Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne ya da arkaya 1 metre s çrayabiliyor. Belli bir olas l kla öne, belli bir olas l kla arkaya s çr yor.
Yanlış Anlaşılan Faizci
Yanlış Anlaşılan Faizci Aslam Effendi Başka bir gün Tota 1, faizci Sherzad ile karşılaştım. Bu herif hasta olmalı. Düşünsene, para ödünç vererek faiz temin ediyor. Din bu işi yasaklıyor ama yine de aramızda
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam
6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar
6 Devirli Kodlar 6.1 Temel Tan mlar Tan m S F n q için e¼ger (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 1 ) 2 S iken (a n 1 ; a 1 ; : : : ; a n 2 ) 2 S oluyorsa S kümesine devirli denir. E¼ger bir C do¼grusal kodu devirli
Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.
19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:
Tafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin /
Tafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin / [email protected] Birinci Oyun. Oyunumuz en az iki kifli aras nda oynan yor. Ne iskambil kâ d na ne kalem kâ- da ne de bir tahtaya gereksinim var bu oyunu oynamak için.
14. Ordinallerde Çarpma fllemi
14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç
fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L
Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye
Thomas Hare adl bir ngiliz 1860 larda güzel bir seçim sistemi
Bu Ne Biçim Seçim 1 Thomas Hare adl bir ngiliz 1860 larda güzel bir seçim sistemi bulmufl 2. Demek ki ngilizler o zamanlar bir yandan sömürüyor, öte yandan demokrasi üzerine araflt rma yap yorlarm fl.
Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n
Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl
İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ
İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama
CO RAFYA SICAKLIK. Kavram Dersaneleri 6. ÖRNEK 1 : Afla daki haritada, Türkiye de y ll k günefllenme sürelerinin da l fl gösterilmifltir.
CO RAFYA SICAKLIK ÖRNEK 1 : Afla daki haritada, Türkiye de y ll k günefllenme sürelerinin da l fl gösterilmifltir. 2500 saat 2250 saat 1750 saat 2000 saat 2500 saat 2750 saat 3000 saat 3250 saat Bu haritadaki