Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun
|
|
|
- Nergis Sancak
- 9 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m: ki oyuncu yaz -tura oynuyorlar. lk yaz -tura at fl nda ortaya birer lira sürülüyor. Oyunculardan biri, diyelim birinci oyuncu, kaybettikçe ortaya koydu u paray art r yor, bir önceki at flta kaybetti inin iki kat n koyuyor. Kazand ndaysa ortaya 1 lira koyuyor. Örne in birinci oyuncu ilk at flta kaybederse, ikinci at flta ortaya 2 lira sürüyor. kinci at flta da kaybederse, üçüncü at flta ortaya 4 lira sürüyor. Yine kaybederse 8 lira sürüyor Kazanana de in bu böyle devam ediyor. Kazand nda, bir sonraki oyunda gene 1 lira ortaya sürüyor. Birinci oyuncu bu stratejisine devam edebildikçe devam ediyor. Devam edemedi inde, yani cebinde yeterli paras kalmad nda, oyun bitiyor. Sonlu Oyunlar yaz s nda, iki oyuncunun da sonlu paras oldu unda bu oyunun hem teoride hem de uygulamada kesinlikle bitece ini kan tlam flt k. Ayn oyunu oynayaca z. Ancak bu kez ikinci oyuncunun sonsuz paras oldu unu varsayaca z (zengin oyuncu.) Birinci
2 oyuncununsa yaln zca 1 liras var (yoksul oyuncu.) Yoksul, birinci oyuncu ve yukarda aç klad m z stratejiyle oynuyor. E er stratejisini sürdüremezse oyun bitiyor; oyun daha önce bitemez. Zenginin paras hiç bitmedi inden, zenginin bu oyunu kaybetme olas l yoktur. Ama, birazdan görece imiz üzere, zenginin oyunu kaybetmemesi, yoksulun bu oyundan kazançl ç kmayaca anlam na gelmez. Daha ilk yaz -tura at fl nda yoksul kaybederse, yoksul cebindeki tek liray kaybeder ve oyun hemen biter. Dolay s yla en az 1/2 olas l kla yoksul tek liras n yitirecektir. Yoksul ilk at flta kazan p ikinci at flta kaybederse ne olur? Oyun gene biter, ama bu kez yoksulun cebinde 1 liras vard r. Yani yoksul tapi kalkar. Çünkü, yoksul, birinci yaz -tura at - fl nda kazanm flt r, dolay s yla ikinci at fltan hemen önce cebinde 2 liras vard r. kinci at flta kaybetti inde yaln zca 1 liras kalm flt r. Üçüncü at fl için ortaya 2 lira koymas gerekmektedir ama 2 liras yoktur. Yoksul stratejisine devam edemedi inden oyun biter. Demek ki en az 1/4 olas l kla yoksul oyundan ne kazançl ne de zararl kalkar. Yoksulun oyundan ne kazançl ne de zararl kalkma olas l n bulamad m. Yoksulun oyundan befl paras z kalkma olas l n da bulamad m. Yaz n n sonunda bu olas l bulmak için hesaplanmas gereken bir sonsuz toplam verece im. Yoksulun fians bafll kl yaz daki (sayfa 143) oyunun tersine bu oyunda yoksul kazanabilir. Öyle bir an gelebilir ki, yoksulun cebinde 1 liradan fazla para olmas na karfl n, yoksul stratejisini sürdüremez (yani oyun biter.) Örne in, yoksul ilk dört at flta kazan r da sonraki iki at flta kaybederse yoksulun cebinde 2 lira olmas na karfl n oyun biter. Demek ki en az 1/2 6 = 1/64 olas l kla yoksul oyundan kazançl ayr l r. 158
3 Yoksulun oyundan k lira kazançl kalkma olas l n da bilmiyorum 1. Bu oyun sonsuza dek sürebilir, örne in yoksul hep kazan rsa... Ama görece iz ki oyunun sonsuza dek sürebilme olas l 0 d r. Bunu kan tlayabildim! Dolay s yla oyun %100 (yani 1) olas l kla biter. Demek ki oyun kuramsal olarak sonsuza dek sürebilse bile, uygulamada sonlu say da yaz -tura at fl ndan sonra biter 2. Bu yaz da iflte bu sonucu kan tlayaca z. Oyunun ilk anlarda alabilece i durumlar gösteren bir flema çizece iz. Önce oyunun alabilece i durumlar n saptayal m. Oyunun her durumunu iki say yla gösterebiliriz. Birinci say yoksulun cebindeki para olsun; ikinci say ysa bir sonraki at fl için ortaya sürülen (daha do rusu yoksulun ortaya sürmesi gereken) para olsun. kinci say hep 2 nin üstleri olmak zorunda, 1, 2, 4, 8, 16 gibi. Oyunun en bafl ndaki durum (1, 1) durumu. Çunkü, yoksul oyuna 1 lirayla bafll yor ve ilk at flta ortaya 1 lira sürüyor. Bu 1 Bu hesaplayamad m olas l klar n yaklafl k hesaplanabilmesi için gereken malzeme bu yaz da vard r. Dileyen okur bu say lar yaklafl k hesaplayabilir. Bu tam olarak hesaplayamad m olas l klar henüz ad verilmemifl say lar da olabilirler. Sözcük say m z sonsuz ama ancak say labilir sonsuzlukta. Gerçel (reel) say larsa say lamaz sonsuzlukta. Dolay s yla her say ya ad veremeyiz. Önemli buldu umuz say lara ad veririz. Örne in önemli oldu undan ye bir ad verilmifltir:. nin karesinin ve karekökünün de adlar vard r: 2 ve. Tam olarak hesaplayamad m bu üç olas l a daha önce bir ad verilmifl midir bilmiyorum. Verilmemiflse hiçbir zaman tam olarak hesaplayamay z. Nas l nin kaç oldu unu hiçbir zaman tam olarak bilemeyeceksek ve ancak ad n söyleyerek nin kimli ini belirtebiliyorsak, bu say lar da hiçbir zaman bilemeyebiliriz, hatta daha önceden ad konmufl say larla aras nda cebirsel bir ba nt bile olmayabilir. Özet olarak demek istedi im, bu say lar n tam olarak hesaplanamayabilecekleri. Bu ba lamda akla gelen ilk soru flu: Hesaplayamad m olas l klar kesirli say lar m d r? 2 Bu oyunun 1 olas l kla bitmesi yoksulun cebindeki paraya ba l de ildir. Afla- daki flemadan da anlafl laca üzere, yoksulun cebinde 1 lira oldu unda oyun 1 olas l kla biterse, yoksulun cebinde kaç para olursa olsun oyun gene 1 olas l kla biter. 159
4 durumda yoksul kazan rsa oyun (2, 1) durumuna geçecek, kaybederse de (0, 2) durumuna (ve oyun bitecek.) (2, 1) durumundan sonra oyun ya (1, 2) durumuna ya da (3, 1) durumuna eriflir. Birinci fl kta oyun biter, ikinci fl kta sürer. flte oyunun ilk birkaç yaz -tura at fl nda alabilece i durumlar: 1,1 0,2 2,1 1,2 3,1 2,2 4,1 0,4 3,2 5,1 1,4 4,2 6,1 2,4 5,2 7,1 3,4 6,2 8,1 4,4 7,2 9,1 0,8 5,4 8,2 10,1 (Gri karelerde oyun bitmifltir. Sola giden oklar kaybetti imizi, sa a giden oklarsa kazand m z gösteriyorlar.) Yukarda da dedi imiz gibi oyunun sonsuza de in sürme olas l n n 0 oldu unu kan tlayaca z. (n, 2 k ) durumuna gelme olas l na p(n, 2 k ) diyelim. Örne in, p(1, 1) = 1 p(0, 2) = 1/2 p(2, 1) = 1/2 p(1, 2) = 1/4 p(3, 1) = 1/4 p(2, 2) = 1/8 p(4, 1) = 1/8 + 1/16 = 3/16 p(0, 4) = 1/16 160
5 p(3, 2) = 1/16 + 1/32 = 3/32 p(5, 1) = 1/16 + 2/32 + 1/64 = 9/64 Oyunun sonsuza gidebilmesi için bütün (n, 1) durumlar na ulafl lmal d r. Bu, flemadan kolayca anlafl l yor. Demek ki oyunun sonsuza dek sürebilme olas l, p(n, 1) dizisinin n sonsuza gitti inde ald de erdir. Dolay s yla, lim n p(n, 1) say s n hesaplamam z gerekiyor. Bu say n n 0 oldu unu görece iz. Bu limitin s f r oldu unu kan tlamak için, afla daki eflitli i bulmak yeterlidir: lim n p(2 n 1, 1) = 0. (*) Bu son eflitli i kan tlamak daha kolay olacak. p(n, 2 k ) say lar n bulaca z. Bunun için biraz matematik yapmal y z. Okurun, yapaca m z matemati i daha iyi anlamas için, s k s k yukardaki flemaya bakmas gerekecektir. lk olarak, e er k > 0 ise, p(n, 2 k ) = p(n+2 k 1, 2 k 1 )/2 (1) eflitli ine dikkatinizi çekerim. Çünkü, e er k > 0 ise, 2 k > 1 dir, yani oyuncumuz 1 den büyük bir para ortaya sürmektedir; dolay s yla (n, 2 k ) durumuna gelmenin bir tek yolu vard r, o da bir önceki oyunda kaybetmifl olmak. Bir önceki oyunun durumu ne olabilir? (n, 2 k ) durumunda ortaya 2 k koydu umuza göre, bir önceki oyunda ortaya 2 k 1 koymufluzdur (ve kaybetmiflizdir.) Dolay s yla (n, 2 k ) durumuna ancak (n+2 k 1, 2 k 1 ) durumundan geçilebilir. (1) eflitli i iflte bu yüzden geçerlidir. E er k > 1 ise, (1) eflitli inde k yerine k 1 ve n yerine n + 2 k 1 koyabiliriz ve p(n + 2 k 1, 2 k 1 ) = p(n + 2 k k 2, 2 k 2 )/2 eflitli ini elde ederiz. Bu son eflitli i (1) in sa taraf na yerlefltirerek, p(n, 2 k ) = p(n + 2 k k 2, 2 k 2 )/4 eflitli ini elde ederiz. Bunu böylece sürdürürsek, 161
6 p(n, 2 k ) = p(n + 2 k k , 1)/2 k eflitli i elde edilir. Bu eflitlikteki 2 k k say s 2 k 1 say s na eflit oldu undan, e er k > 0 ise, p(n, 2 k ) = p(n + 2 k 1, 1)/2 k (2) eflitli i geçerlidir. (2) eflitli inden, p(n, 2 k ) say lar n bulmak için, p(n, 1) say - lar n bulmam z gerekti i anlafl l yor. Bu say lar bulal m. (n, 1) durumuna ancak kazanarak gelinir. Yani (n 1, 1), (n 2, 2), (n 4, 4) gibi durumlardan. Dolay s yla, p(n, 1) say s, p(n 1, 1)/2, p(n 2, 2)/2, p(n 4, 4)/2,... say lar n n toplam d r, yani, bir k için, p(n 2 k, 2 k )/2 biçiminde yaz labilen say lar n toplam d r. (2) eflitli i, p(n 2 k, 2 k ) = p(n 1, 1)/2 k eflitli ini verdi inden, p(n, 1) say s n n p(n 1, 1)/2 k+1 say lar - n n toplam oldu u anlafl l r. Ama buradaki k say lar n 2 k 2 k koflulunu, yani 2 k+1 n koflulunu sa lamal d r, çünkü aksi halde (n 2 k, 2 k ) durumunda oyun bitmifltir ve bu durumdan (n, 1) durumuna geçilmez. k(n), 2 k n eflitsizli ini sa layan k say lar n n en büyü ü olsun. Demek ki, Bu eflitli i n 1 kez kullanarak, buluruz. Ama p(1, 1) = 1. Demek ki, Burada n yerine 2 n 1 al rsak, 162
7 buluruz. fiimdi k herhangi bir do al say olsun. Hangi i say lar için k(i) = k eflitli inin do ru oldu unu bulal m. i, k(i) = k eflitli ini sa layan bir say olsun. k say s, 2 k i eflitsizli ini sa layan say lar n en büyü ü oldu undan, 2 k i < 2 k+1 eflitsizli i geçerlidir. Ve bunun tersi de do rudur: E er 2 k i < 2 k+1 ise, k(i) = k eflitli i geçerlidir. Bu eflitsizlikleri sa layan kaç tane i say s vard r? Biraz düflünme, 2 k tane oldu unu gösterir. (4) eflitli inin sa ndaki çarp lacak terimler bu 2 k tane i say s için birbirlerine eflittirler. Dolay s yla (4) eflitli ini, olarak yazabiliriz. Bu eflitli i kullanarak p(2 n 1,1) say lar n n n sonsuza gitti inde s f ra yak nsad klar n kan tlayaca z. Bunun için konumuzdan biraz uzaklafl p iki önsav kan tlayaca z: Önsav 1. E er 0 < x < 1 ise ve n > 0 bir do al say ysa, Kan t: E er n = 1 ise önsav elbette do ru. fiimdi önsav n n için do ru oldu unu varsay p n + 1 için kan tlayal m. Demek ki, eflitsizli ini biliyoruz, daha do rusu bildi imizi varsay yoruz. Ayn eflitli i n yerine n+1 için, yani eflitsizli ini kan tlamaya çal flaca z. Birinci eflitsizli in her iki taraf n da 1 x ile çarpal m; 0 < 1 x oldu undan, 163
8 elde ederiz. Üstteki eflitli in sa taraf n açacak olursak, buluruz. x > 0 oldu undan, yukardaki son terimi at p, elde ederiz. Demek ki önsav n+1 için do ru. Tümevar mla önsav her do al say için do rudur. Önsav m z kan tlanm flt r. Önsav 2. k 1 ise, (1 1/2 k ) 2k < 1/2. Kan t: Üstteki önsavda x = 1/2 k ve n = 2 k alal m. elde ederiz. Eflitsizli in sa taraf ndaki ilk iki terim sadeleflir. En sa daki terimi hesaplayal m: kinci önsav da kan tlanm flt r 3. fiimdi (5) teki say lar n s f ra yak nsad n kan tlayabiliriz. kinci önsav ve (5) eflitli ini kullanarak, buluruz. n sonsuza gitti inde sa daki terimler 0 a yak nsad ndan, p(2 n 1,1) say lar da s f ra yak nsar. Demek ki oyunun sonsuza dek sürme olas l 0 d r ve oyun 1 olas l kla biter. 3 Bu önsav n do rulu u biraz analizle de ç kabilir. (1 1/2 k ) 2k say lar n n 1/e say s ndan (dolay s yla 1/2 say s ndan da) küçük olduklar analiz kullanarak kolayl kla kan tlanabilir. 164
9 Oyundan yoksulun zararl (yani 0 lirayla) kalkma olas l nedir? Bu olas l bulmak için p(0,2 k ) say lar n toplamal y z. olsun. p 0, yoksulun oyundan zararl kalkma olas l d r. (2) eflitli inde n = 0 al rsak, buluruz. (5) eflitli ini de kullanarak, elde ederiz. Dolay s yla, dir. Bu say y hesaplayamad m. Ancak Önsav 2 den bu say n n say s ndan küçük oldu u ç kar. 165
Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z
Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi
yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.
Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.
Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl
Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt
Yoksulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin
Yosulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin B u yazıda yosulu azandıracağız. Küçü bir olasılıla da olsa, yosul azanabilece. Oyunu açılamadan önce, Sonlu Oyunlar adlı yazımızdai oyunu anımsayalım: İi oyuncu
Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,
256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.
Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,
Ard fl k Say lar n Toplam
Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara
Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.
Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice
Bir yaz mda, kimbilir hangisinde,
Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
Olas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu
Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...
Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k
8. Yak nsak Diziler 8.1. Yak nsakl k Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k ama kan tlamad k. Kan tlayamazd k da, çünkü yak nsamak kavram n henüz tan mlamad k. Bu bölümde matematikte
Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem
Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam
Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
Yeniflemeyen Zarlar B:
Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,
Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras
Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y
9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz.
Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir
Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik
Yan t Bilinmeyen Bir Soru
Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do
Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.
Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt
Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n
Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl
Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.
Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl
Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte
11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli
Sevdi im Birkaç Soru
Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.
Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin
Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan
Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu
Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan
Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji
Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.
Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi
25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce
Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne
Çekirge Kaç S çrar ya da Rastgele Yürüyüfl Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne ya da arkaya 1 metre s çrayabiliyor. Belli bir olas l kla öne, belli bir olas l kla arkaya s çr yor.
Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.
Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.
Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir
20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand
Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.
19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:
Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
O + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80
Yaz yla Saymak H er harfe öyle bir tamsay vermek istiyoruz ki, örne in, B R in harfleri olan B ye, ye ve R ye verdi imiz say lar n toplam 1 olsun. K için de, ÜÇ için de ayn fley do ru olsun... 199 a kadar
22. Zorn Önsav na Girifl
22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns
Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla
Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.
Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}
Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,
Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d
Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,
Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl
48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir
Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say
Kapak Konusu: 2 2 = 4 Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Geçen yaz da her toplulu u küme sanman n ne kadar kötü sonuçlar do urdu unu gördük. Demek ki daha dikkatli olmal y z, önümüze ç kan her toplulu
Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin
Sihirli Kareler (I) Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin içine den 9 a kadar say lar öyle yerlefltirin ki, her s ran n, her kolonun ve her iki çapraz n say lar n n toplam 5 olsun. Bu
içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa
Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / [email protected]
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
14. Ordinallerde Çarpma fllemi
14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu
Fermat Ne Biliyordu? (I)
Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan
Üst Üçgensel Matrisler
Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / [email protected] 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer
Afin ve zdüflümsel Düzlemler
Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / [email protected] Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç
Üç Oyun Birinci Oyun.
Üç Oyun B irinci Oyun. Oyunumuz en az iki kifli aras nda oynan yor. Ne iskambil kâ d na ne kalem kâ da ne de bir tahtaya gereksinim var bu oyunu oynamak için. Yolda, otobüste, vapurda, sinemada, tiyatroda,
Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-
Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru
Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan
Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit
Bu yaz da, basitlefltirilmifl birkaç poker oyunu oynayaca z.
Blöfün Matemati i Bu yaz da, basitlefltirilmifl birkaç poker oyunu oynayaca z. Yaz y anlamak için poker bilmeye gerek yoktur. Oyunlar - m z iki kifli aras nda ve as ve papazdan oluflan büyük bir desteyle
Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu
30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman
Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)
3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d
Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran
51. Limitler ve Sonsuzlar Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran kavramlardan söz edece iz. Örne in lim ƒ() = b, lim a ƒ() = b ve lim ƒ() = gibi eflitliklerin matematiksel anlamlar n
Tavla ve Bilimsel Düflünce
Tavla ve Bilimsel Düflünce Y llar önce çok satan bir gazetemiz Türkiye Tavla fiampiyonas düzenlemiflti. Bizde tavlac çok. fl yerlerinde bile tavla oynan r ülkemizde. Bile ine güvenen kat ld flampiyonaya.
Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?
ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3
Matematik Dünyas n n geçen say s nda
Say lar n Güçlerini Toplamak Tosun Terzio lu* [email protected] Matematik Dünyas n n geçen say s nda (MD-2003-IV, safya 21) ilk n tek say - n n toplam n n n 2 oldu u tümevar m yöntemiyle kan tlanmaktayd.
Düello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu
Triello Düello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu 1 herkes bilmeyebilir... Triello üç kifli aras nda yap - l r, ya da oynan r..., B ve, triello yapacak üç kifli olsun. Önce,
Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler
Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama, Ç karma ve Çarpma fllemi Oran ve Orant
ÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2:
MATEMAT K SAYILAR - I ÖRNEK : Üç basamakl 4AB sa s, iki basamakl BA sa s n n kat ndan fazlad r. Buna göre, BA sa s kaçt r? A) B) 25 C) 2 D) 2 E) 2 (ÖSS - ) ÖRNEK 2: Dört basamakl ABCD sa s, üç basamakl
Dünya satranç flampiyonu Kasparov la bir el satranç oynayacak olsan z, yüzde yüz yenilece inizi önceden kestirebilirsiniz. Kasparov a karfl hemen
Pokerin Matemati i S atrançta bir oyuncunun bilip de öbür oyuncunun bilmedi i bilgi yoktur. Bu tür oyunlara aç k oyun diyelim, bilgiler aç k, ortada anlam na. Tavlada da bir oyuncunun bildi ini öbür oyuncu
En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan
Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i
1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?
1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü
TEMEL MATEMAT K TEST
TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu
Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin
Dünyan n En Zeki nsan Matematikçilere Karfl Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin büyüklü ü oldu. Arabalar, binalar, Coca Cola lar, al flverifl merkezleri, insanlar... Her fley
Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri
Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri M atematikçi bir arkadafl m n efli güle güle anlatt. Befl yafl ndaki o luna babas n n bahçede ne yapt n sormufl. Çocuk bahçeye ç k p bir de bakm fl ki, baba, bir
Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli
Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt
Tafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin /
Tafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin / [email protected] Birinci Oyun. Oyunumuz en az iki kifli aras nda oynan yor. Ne iskambil kâ d na ne kalem kâ- da ne de bir tahtaya gereksinim var bu oyunu oynamak için.
TEMEL MATEMAT K TEST
TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla
Cemal Amca n n Zarlar
Cemal Amca n n Zarlar B aflkomiserlikten emekli alt kat komflumuz Cemal Amca tavlaya çok düflkündü. Emekli olmazdan önce haftasonlar n bahçede tavla oynayarak geçirirdi. Hafta içindeyse haftasonunu iple
Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir.
Matematikte Biçim ve Sezgi Üzerine Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Yani öyle bir yaz l m (bilgisayar program ) yap labilir ki, bir kan t n do ru olup olmad bilgisayara sorulup
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir