Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.
|
|
|
- Iskender Altıntop
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve oyun iki oyuncudan biri flefl atana dek devam ediyor. Bu oyunda oyuna bafllayan n bir avantaj vard r. Yani birinci oyuncunun oyunu kazanma olas l 1/2 den daha fazlad r. kinci oyuncunun da kazanma olas l 1/2 den azd r elbet. Herhangi bir kuflku olmamas için belirteyim: Oyunda bir zar var ve her oyuncu s ras geldi inde bir kez zar at yor. Ve zar hilesiz... Ve kimse zar tutmuyor. Bir baflka deyiflle, 1 den 6 ya kadar herhangi bir say n n (örne in 5 in) gelme olas l 1/6 d r. Ve elbette 7 gelme olas l s f rd r! Hiç kimse flefl atamazsa bu oyun sonsuza dek sürebilir, ama sonsuza dek kimseye flefl gelmeme olas l s f rd r. Yani bu oyun kuramsal olarak bitmezmifl gibi görünse de uygulamada hep biter. Deneyin, oyunun hep bitti ini göreceksiniz, hiçbir oyun sonsuza dek sürmeyecektir! Örne in, oyunun ilk on at flta bitmeme olas l 0, d r, yani afla yukar yüzde 16 d r. lk yirmi at flta bitmeme olas l yüzde 2,6 dan biraz 135
2 fazla ve ilk 100 at flta bitmeme olas l milyarda 12 civar ndad r... Genel olarak, oyunun ilk n at flta bitmeme olas l (5/6) n dir. Dolay s yla oyunun sonsuza dek bitmeme olas l s f rd r 1. Bir baflka deyiflle, 1 olas l kla (yani yüzde yüz bir kesinlikle) oyun sonlu bir zaman sonra bitecektir. Birinci oyuncunun bu flefl atma oyununu kazanma olas l kaçt r? Birinci oyuncunun kazanma olas l na a diyelim. Bu a say s n hesaplamak istiyoruz. Birinci oyuncu ilk at fl nda 1/6 olas l kla flefl atar ve oyunu kazan r 5/6 olas l kla flefl atamaz ve s ra ikinci oyuncuya geçer Birinci oyuncu, kazan rsa, ya ilk at fl nda kazanacakt r ya da daha sonraki at fllar nda. Hesaplamak istedi imiz a olas l -, birinci oyuncunun ilk at fl nda kazanma olas l yla daha sonra kazanma olas l n n toplam d r. Birinci oyuncunun ilk at fl nda kazanma olas l 1/6 d r elbet. Peki ya daha sonra kazanma olas l kaçt r? Birinci oyuncu, 5/6 olas l kla oyunu ilk at fl nda kazanamaz ve s ra ikinci oyuncuya geçer. kinci oyuncu, flimdi oyunun birinci oyuncusu olmufltur ve bu andan itibaren oyunu kazanma olas l a d r, demek ki bu andan itibaren oyunu kaybetme olas l 1 a d r. Yani birinci oyuncunun oyunu birinci at fltan sonra kazanma olas l 5/6 (1 a) d r. 1 Matematik ve Oyun adl kitab mdaki Yak nsamak adl yaz ya bak n z. 136
3 Hesaplamak istedi imiz a say s 1/6 yla 5/6 (1 a) say lar - n n toplam d r: a = 1/6 + 5/6 (1 a). Bu denklemi kolayl kla çözüp a y bulabiliriz: a = 6/11. Görüldü ü gibi, a, 1/2 den biraz fazla. Soruyu bir baflka yöntemle de çözebiliriz. a, gene birinci oyuncunun kazanma olas l olsun. O zaman ikinci oyuncunun kazanma olas l 5a/6 d r (birinci oyuncu 5/6 olas l kla ilk at fl nda flefl atamayacakt r ve ikinci oyuncu oyuna birinci oyuncuymufl gibi devam edecektir.) Bu iki olas l n toplam 1 etmelidir (oyunu iki oyuncudan biri kazanmal d r.) Yani, a + 5a/6 = 1 olmal d r. Bu denklemi çözerek gene (ve iyi ki!) a = 6/11 buluruz. Bu sonuç, sonsuz bir toplam hesaplanarak da elde edilebilir. Ama ne gerek var! kinci Oyun. Ya ayn oyunu üç oyuncu oynarsa? Birinci ve ikinci oyuncunun kazanma olas l klar kaçt r? En çok kazanma flans olan birinci oyuncudur elbet. kinci oyuncunun kazanma flans daha azd r. Hele üçüncü oyuncunun kazanma flans daha da azd r. Birinci oyuncunun kazanma olas l 1/3 ten fazla, üçüncü oyuncunun kazanma olas l 1/3 ten az olmal elbet. kinci oyuncunun kazanma olas l n n 1/3 oldu unu düflünüyorsan z yan l yorsunuz. kinci oyuncunun kazanma olas l 1/3 ten biraz daha az. Gene birinci oyuncunun kazanma olas l na a diyelim. O zaman ikinci oyuncunun kazanma olas l (yukardaki gibi) 5a/6 d r. Birinci ve ikinci oyuncu flefl atamazlarsa ki (5/6) 2 olas l kla ilk iki oyuncu flefl atamazlar s ra üçüncü oyuncuya gelecektir. Dolay s yla üçüncü oyuncu (5/6) 2 a olas l kla oyunu kazan r. Oyunu üç oyuncudan biri kazanaca ndan, bu üç sa- 137
4 y n n toplam 1 etmelidir, yani a + 5a/6 + (5/6) 2 a = 1 eflitli i geçerli olmal d r. Bu denklemden kolayl kla a y bulabiliriz: a = 36/91, tahmin etti imiz gibi 1/3 ten biraz daha fazla. kinci oyuncunun kazanma olas l da, 5a/6 = (5/6) (36/91) = 30/91 d r, yani 1/3 ten biraz daha az. Genel Oyun. Ya bu oyunu n kifli oynarsa, her bir oyuncunun oyunu kazanma olas l kaçt r? Birinci oyuncunun kazanma flans na a diyelim. O zaman ikinci oyuncunun kazanma flans 5a/6 d r. Üçüncü oyuncunun kazanma flans da (5/6) 2 a d r. Dördüncü oyuncunun kazanma flans ysa (5/6) 3 a d r... Bu böyle sürer. n inci oyuncunun kazanma flans (5/6) n 1 a d r. Oyunculardan biri oyunu kazanmak zorunda oldu undan bu n say n n toplam 1 olmal d r, yani, a + (5/6)a + (5/6) 2 a (5/6) n 1 a = 1 eflitli i geçerli olmal d r. a y d flar alal m: a(1 + 5/6 + (5/6) (5/6) n 1 ) = 1. Sa ayraçtaki uzun toplama (1 (5/6) n )/(1 5/6) say s na eflittir 2. Demek ki, a = (1 5/6)/(1 (5/6) n ) dir. 2 Genel olarak, x herhangi bir say ysa, 1 + x + x x n say s, (1 x n+1 )/(1 x) say s na eflittir. Bunu flöyle kan tlayabiliriz: A, bulmak istedi imiz toplam olsun: A = 1 + x + x x n. Bu say y x le çarpal m: xa = x + x 2 + x x n+1. fiimdi de, A xa y hesaplayal m. Birçok terim sadeleflir: (1 x)a = A xa = 1 x n+1. Burdan da A bulunur. 138
5 Yukardaki sonuca göre, oyuncu say s sonsuz oldu unda, yani n sonsuza gitti inde, a, 1/6 olur, ki bu da beklenen bir sonuçtur: Oyunda sonsuz oyuncu oldu unda, zar s ras bir daha birinci oyuncuya gelmez ve birinci oyuncu ancak ilk (ve son) at fl nda flefl atarsa oyunu kazanabilir. kinci oyuncunun kazanma olas l da 5a/6 d r. Üçüncü oyuncunun kazanma olas l, bu say n n 5/6 yla çarp m - na eflittir. Genel olarak i inci oyuncunun kazanma olas l (5/6) i 1 a d r. Üçüncü Oyun. E er yaln zca flefl atan de il de, flefl ya da penç (6 ya da 5) atan kazansayd, birinci oyuncunun kazanma olas l - n hesaplamak için, a + 4a/6 = 1 denklemini çözmemiz gerekirdi (Yukarda yürüttü ümüz mant kta 5/6 yerine 4/6 koyal m.) Çözelim: a = 3/5 buluruz. Dördüncü Oyun. E er cehar, penç ya da flefl (4, 5 ya da 6) atan kazanacak olsayd, birinci oyuncunun kazanma olas l, a + 3a/6 = 1 denkleminin çözümü, yani 2/3 olurdu. Beflinci Oyun. E er se (3), cehar (4), penç (5) ya da flefl (6) atan kazanacak olsayd, birinci oyuncunun kazanma olas l, a + 2a/6 = 1 denkleminin çözümü, yani 3/4 olurdu. Alt nc Oyun. E er dü (2), se (3), cehar (4), penç (5) ya da flefl (6) atan kazanacak olsayd, birinci oyuncunun kazanma olas l, a + 1a/6 = 1 denkleminin çözümü, yani 6/7 olurdu. 139
6 Demek ki, bir zarla oynad m z bu tür oyunlarda, birinci oyuncunun kazanma olas l klar 6/11, 3/5, 2/3, 3/4 ve 6/7 dir. kinci oyuncunun bu oyunlar kazanma olas l da (yukardaki say lar 1 den ç kar n) s ras yla 5/11, 2/5, 1/3, 1/4 ve 1/7 dir. Negatif Oyun. Bu oyunlar n bir de negatifleri vard r. Örne- in, flefl atan n kazand oyunun negatifi, flefl atan n kaybetti i oyundur. fiefl atan n kaybetti i oyunda, birinci oyuncunun kazanma olas l 5/11 dir. fiefl ve penç atan n kaybetti i oyunda, birinci oyuncunun oyunu kazanma olas l 2/5 tir... Yukardaki bölümü anlayan okur bu sonuçlar kolayl kla elde edebilir. Kazanma olas l 1/5 olan bir oyun. Öyle bir zar oyunu bulal m ki, birinci oyuncunun kazanma olas l 1/5 olsun. Soru bu biçimde sorulursa oldukça kolay çözülür: Yek i (1 i) yok say n! Birinci oyuncu zar ats n. E er 6 gelirse kazans n, e er 2, 3, 4, 5 gelirse kaybetsin (yani ikinci oyuncu kazans n), e er 1 gelirse birinci oyuncu gene zar ats n ve oyun böyle sürsün. Yüzde yüz olas l kla 1 d fl nda bir zar gelece inden, sonlu bir zaman sonra ya birinci ya da ikinci oyuncu kazan r. Ve oyunu, birinci oyuncu 1/5 olas l kla kazan r. Ama bu oyunda ikinci oyuncu hiç zar atmaz! Pek o kadar nefleli bir oyun de il! Her iki oyuncunun da zar ataca bir baflka oyun bulmaya çal flal m. Bulaca m z oyunda, bir oyuncunun her zar at fl nda (yani bir hamlede) kazanma olas l na x diyelim. Birinci oyuncunun oyunu kazanma olas l na da a diyelim. Biz, a n n 1/5 olmas - n istiyoruz. Birinci oyuncu ilk zarda oyunu kazanamam flsa, ki 1 x olas l kla kazanamaz, s ra ikinci oyuncuya geçer ve ikinci oyuncu bu anda birinci oyuncu konumuna geçer. Demek ki ikinci 140
7 oyuncunun oyunu kazanma olas l (1 x)a d r. Oyunu iki oyuncudan biri kazanaca ndan, a + (1 x)a = 1 eflitli i sa lanmal d r. Bu denklemden x i bulal m: x = 2 1/a fiimdi, a yerine 1/5 koyacak olursak, x = 3 buluruz! Oysa x, 0 la 1 aras nda bir say olmal! Ne yapaca z? Yoksa böyle bir oyun yok mu? Var! Bir an için a yerine 4/5 koyal m. O zaman, x = 2 1/a denklemini çözdü ümüzde, x = 3/4 buluruz. Hoflumuza gitti bu, çünkü 3/4, 0 la 1 aras nda bir say. 3/4 ün 27/36 ya eflit oldu- unu görmek daha da hoflumuza gitti. Hele hele, iki zar at ld - nda bu iki zar n toplam n n 4, 5, 6, 7, 8 ya da 9 olma olas - l n n 27/36 olmas... A z m z kulaklar m zda! Oyuncular m za flu oyunu oynatal m: Her iki oyuncu da s - rayla iki zar ats n. At lan iki zar n toplam 4, 5, 6, 7, 8 ya da 9 olursa, o oyuncu oyunu kazans n; olmazsa s ra öbür oyuncuya geçsin. Bu oyunu birinci oyuncunun kazanma olas l 4/5 tir. Ya 1/5 e ne oldu? Yukardaki oyunun negatifini alal m: ki oyuncu s rayla zar ats n. At lan iki zar n toplam 4, 5, 6, 7, 8 ya da 9 olursa, o zarlar atan oyuncu oyunu kaybetsin! Bu oyunu birinci oyuncunun kazanma olas l 1 4/5, yani 1/5 tir. 141
Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z
Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi
Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl
Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt
Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.
Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:
Ard fl k Say lar n Toplam
Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara
yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.
Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.
Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu
Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...
256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.
Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,
Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu
Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,
Olas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
Yeniflemeyen Zarlar B:
Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,
Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.
Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt
Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa
Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice
Yan t Bilinmeyen Bir Soru
Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do
Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.
Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.
Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin
Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan
Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem
Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam
O + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80
Yaz yla Saymak H er harfe öyle bir tamsay vermek istiyoruz ki, örne in, B R in harfleri olan B ye, ye ve R ye verdi imiz say lar n toplam 1 olsun. K için de, ÜÇ için de ayn fley do ru olsun... 199 a kadar
Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne
Çekirge Kaç S çrar ya da Rastgele Yürüyüfl Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne ya da arkaya 1 metre s çrayabiliyor. Belli bir olas l kla öne, belli bir olas l kla arkaya s çr yor.
Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
Tavla ve Bilimsel Düflünce
Tavla ve Bilimsel Düflünce Y llar önce çok satan bir gazetemiz Türkiye Tavla fiampiyonas düzenlemiflti. Bizde tavlac çok. fl yerlerinde bile tavla oynan r ülkemizde. Bile ine güvenen kat ld flampiyonaya.
Düello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu
Triello Düello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu 1 herkes bilmeyebilir... Triello üç kifli aras nda yap - l r, ya da oynan r..., B ve, triello yapacak üç kifli olsun. Önce,
Sevdi im Birkaç Soru
Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.
Bir yaz mda, kimbilir hangisinde,
Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan
Cemal Amca n n Zarlar
Cemal Amca n n Zarlar B aflkomiserlikten emekli alt kat komflumuz Cemal Amca tavlaya çok düflkündü. Emekli olmazdan önce haftasonlar n bahçede tavla oynayarak geçirirdi. Hafta içindeyse haftasonunu iple
Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin
Sihirli Kareler (I) Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin içine den 9 a kadar say lar öyle yerlefltirin ki, her s ran n, her kolonun ve her iki çapraz n say lar n n toplam 5 olsun. Bu
Üç Oyun Birinci Oyun.
Üç Oyun B irinci Oyun. Oyunumuz en az iki kifli aras nda oynan yor. Ne iskambil kâ d na ne kalem kâ da ne de bir tahtaya gereksinim var bu oyunu oynamak için. Yolda, otobüste, vapurda, sinemada, tiyatroda,
Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan
Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit
Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n
Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl
Dünya satranç flampiyonu Kasparov la bir el satranç oynayacak olsan z, yüzde yüz yenilece inizi önceden kestirebilirsiniz. Kasparov a karfl hemen
Pokerin Matemati i S atrançta bir oyuncunun bilip de öbür oyuncunun bilmedi i bilgi yoktur. Bu tür oyunlara aç k oyun diyelim, bilgiler aç k, ortada anlam na. Tavlada da bir oyuncunun bildi ini öbür oyuncu
TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - III. Kavram Dersaneleri 78. ÖRNEK 1: % 24 'ü olan say kaçt r? ÖRNEK 2:
TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - III ÖRNEK 1: % 24 'ü 86424 olan say kaçt r? A) 360 B) 354196 C) 320120 D) 36 E) 360 (ÖSS - 1999) ÖRNEK 2: Bir miktar pastan n 3 ini lknur, geriye kalan n da Buse yemifltir.
Bu yaz da, basitlefltirilmifl birkaç poker oyunu oynayaca z.
Blöfün Matemati i Bu yaz da, basitlefltirilmifl birkaç poker oyunu oynayaca z. Yaz y anlamak için poker bilmeye gerek yoktur. Oyunlar - m z iki kifli aras nda ve as ve papazdan oluflan büyük bir desteyle
Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras
Matematik Dünyas n n geçen say s nda
Say lar n Güçlerini Toplamak Tosun Terzio lu* [email protected] Matematik Dünyas n n geçen say s nda (MD-2003-IV, safya 21) ilk n tek say - n n toplam n n n 2 oldu u tümevar m yöntemiyle kan tlanmaktayd.
TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I. Ahmet A A H y l A + (A H) Hasan H. A H y l. Kavram Dersaneleri 56
TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I ÖRNEK 1: Bir lisenin son s n f ö rencileri her grupta eflit say da ö renci olmak üzere 10 gruba ayr l yor. Bu ö renciler 7 gruba ayr lsayd her gruptaki ö renci say s 6 fazla
Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla
Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.
Tafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin /
Tafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin / [email protected] Birinci Oyun. Oyunumuz en az iki kifli aras nda oynan yor. Ne iskambil kâ d na ne kalem kâ- da ne de bir tahtaya gereksinim var bu oyunu oynamak için.
Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir
Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik
En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan
Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i
Thomas Hare adl bir ngiliz 1860 larda güzel bir seçim sistemi
Bu Ne Biçim Seçim 1 Thomas Hare adl bir ngiliz 1860 larda güzel bir seçim sistemi bulmufl 2. Demek ki ngilizler o zamanlar bir yandan sömürüyor, öte yandan demokrasi üzerine araflt rma yap yorlarm fl.
Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli
Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu
Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi
25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce
Bir oteliniz var. Otelinizin sonsuz say da odas var. Her odan n
Sonsuz Odal Otel 1 Bir oteliniz var Otelinizin sonsuz say da odas var Her odan n bir numaras var: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Böylece sonsuza kadar gidiyor En sonuncu oda yok Sonsuz numaral oda da yok Her odan n
Fermat Ne Biliyordu? (I)
Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan
Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji
Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.
Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?
ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3
Yalanc n n Hakk ndan Gelmek!
Yalanc n n Hakk ndan Gelmek! A c d r söylemesi, bunca ülke gördüm, bunca insan tan d m, ülkemde gördü üm kadar çok yalanc y hiçbir yerde görmedim. Do u ya az gittim, ama Bat da gitmedi im yer kalmad desem
Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / [email protected]
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.
19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:
MATEMAT K. Hacmi Ölçme
Hacmi Ölçme MATEMAT K HACM ÖLÇME Yandaki yap n n hacmini birim küp cinsinden bulal m. Yap 5 s radan oluflmufltur. Her s ras nda 3 x 2 = 6 birim küp vard r. 5 s rada; 5 x 6 = 30 birim küp olur. Bu yap n
Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}
Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,
Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken,
Aritmetik Diziler ve Ötesi Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, ö retmeni ö rencileri oyalamak için, 1 den 100 e kadar say lar yazarak toplay n der. Baflka bir deyiflle, 1 + 2
1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?
1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir
Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k
8. Yak nsak Diziler 8.1. Yak nsakl k Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k ama kan tlamad k. Kan tlayamazd k da, çünkü yak nsamak kavram n henüz tan mlamad k. Bu bölümde matematikte
Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y
9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz.
Pokerin Matemati i Ali Nesin* /
Kapak Konusu: Sayma Pokerin Matemati i Ali Nesin* / [email protected] Bu yaz da pokeri bahane ederek sayman n temellerini ele alaca z. Poker, en fazla dört oyuncuyla ve yediliden asa 3 iskambil kâ d
ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI
ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI BU ÜN TEDE NELER Ö RENECE Z? A-YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI B-YÜZDE HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI C-FA Z HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI D-YÜZDE VE
ZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + =
ZARLARLA OYNAYALIM Zar kullanarak toplama ve ç karma ifllemleri yapabiliriz. Zarda karfl l kl iki yüzdeki say lar n toplam daima 7 dir. Zarda 2 gözüküyorsa karfl s ndaki yüzeyin 7 2 = 5 oldu unu bulabilirsiniz.
Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte
11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli
Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say
Kapak Konusu: 2 2 = 4 Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Geçen yaz da her toplulu u küme sanman n ne kadar kötü sonuçlar do urdu unu gördük. Demek ki daha dikkatli olmal y z, önümüze ç kan her toplulu
TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,
MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,
Üst Üçgensel Matrisler
Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / [email protected] 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer
1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r.
1. ir kümenin eleman say s artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. una göre, ilk durumdaki kümenin eleman say - s kaçt r? ) 2 ) ) D) 5 E) 6 6. ve kümelere E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak
Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d
Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,
ÖRNEK 2: ÇÖZÜM 2: ÇÖZÜM 1: Verilen ifadeyi iflleme dönüfltürürsek; Toplamlar 77 olan iki say dan biri x ise di eri (77 x) dir.
TAR H MATEMAT K I. DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK 1: Toplamlar 77 olan iki say dan birinin kat, öbürünün 4 kat na eflittir. Bu say lardan küçük olan kaçt r? A) B) 0 C) 7 D) 4 E) (ÖSS - 1999) ÖRNEK : Kareleri
Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu
30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman
22. Zorn Önsav na Girifl
22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns
CO RAFYA GRAF KLER. Y llar Bu grafikteki bilgilere dayanarak afla daki sonuçlardan hangisine ulafl lamaz?
CO RAFYA GRAF KLER ÖRNEK 1 : Afla daki grafikte, y llara göre, Türkiye'nin yafl üzerindeki toplam nufusu ile bu nüfus içindeki okuryazar kad n ve erkek say lar gösterilmifltir. Bin kifli 5. 5.. 35. 3.
Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir
20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand
11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ
11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na
KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.
KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya
Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-
Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru
Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim
3.2 Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim Zihinden Toplayal m ve Ç karal m 1. Afla da verilen ifllemleri zihinden yaparak ifllem sonuçlar n yaz n z. 50 YKr + 900 YKr = 300 + 300 = 998 100
(ÖSS ) ÇÖZÜM 2:
MTEMT K PROLEMLER - II ÖRNEK : ve kentlerinden saatteki h zlar s ras yla V ve V olan (V > V ) iki araç, birbirlerine do ru 2 2 ayn anda hareket ederlerse saat sonra karfl lafl yorlar. u araçlar ayn kentlerden
Afin ve zdüflümsel Düzlemler
Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / [email protected] Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç
Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler
Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama, Ç karma ve Çarpma fllemi Oran ve Orant
mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C
Önsöz Bu ders notlar, 1995 ten beri stanbul Bilgi Üniversitesi nde birinci s n f matematik ö rencilerine verdi im derslerden ortaya ç kt ve matemati i derinli i ve felsefesiyle ö renmek isteyen, çal flmaktan