Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar

Transkript

1 Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir indirim yap l rsa yüzde kaç kâr edilmifl olur? Çözüm: u mal n maliyetinin 100 YTL oldu unu düflünelim, yüzde 25 kârla bu mal 125 YTL ye sat lacakt r. u fiyat üzerinden yüzde 10 indirim yap ld nda, mal 12,5 YTL indirimle ,5 = 112,5 YTL ye sat lacakt r. öylece % 12,5 kar edilmifl olur. 2. Hangi 0 tamsay lar için kesrinin de eri bir tamsay olur? Çözüm: enklemden, = elde edilir. u durumda aranan pozitif tamsay de- erleri = 0, = 1, = 2 ve = 5 olur. 3. ir odan n boyutlar 8, 15 ve 17 birim olarak veriliyor. Odan n birbirine en uzak iki noktas aras ndaki uzakl k kaç birimdir? Çözüm: Pisagor Teoremi ni iki kez uygularsak, Çözüm: Verilenlerden, bir Q(X) polinomu için, P() = ( 1)Q() ve 4 = P(1 2) = P( 1) = 2Q(1) bulunur. öylece Q( 1) = 2 elde edilir. O halde bir R(X) polinomu için, Q() = ( + 1)R() + 2 fleklinde yaz labilir. uradan da P() = ( 1)Q() = ( 1)[( + 1)R() + 2] = ( 2 1)R() + 2( 1) ç kar. Kalan 2( 1) dir. 7. Tersten okunuflu kendisine eflit olan 101, 2332, gibi say lara palindrom denir. okuz basamakl kaç palindrom vard r? Çözüm: stenilen özelliklere sahip 9 rakaml say ilk 5 rakam taraf ndan belirlenir. lk rakam için 9 seçenek, ilk rakamdan sonra gelen 4 rakam n her biri için 10 seçenek vard r. öylece = tane 9 basamakl palindrom say vard r. 8. Rakamlar n n çarp m 5 e bölünebilen kaç tane üç basamakl say vard r? Çözüm: Üç basamakl 900 say vard r. unlardan = 512 tanesinde s f r ya da befl rakam bulunmaz. emek ki istenilen say = 388. ( ) + ( ) + ( ) = Hangi k gerçel say lar için = = 17 2 k 13 ve k+ 62 buluruz. say lar tamsay olur? Çözüm: a ve b pozitif tamsay lar olmak üzere 4. sin 7620 de eri nedir? Çözüm: sin 7620 = sin( ) = sin 60 = 3/2. 5. Hacmi yüzölçümüne (say ca) eflit olan kürenin yar çap nedir? Çözüm: Hacim 4πr 3 /3 ve yüzölçümü 4πr 2 oldu undan, 4πr 3 /3 = 4πr 2 ve buradan da r = 3 bulunur. 6. P() polinomu 1 e bölünebilmekte ve P( 2) polinomunun katsay lar toplam 4 olarak verilmektedir. P() polinomunun 2 1 ile bölümünden kalan ne olur? 94 k 13 = a ve k+ 62 = b olsun. uradan k = a = b 2 62 ç kar. öylece b 2 a 2 = 75 olaca ndan, (b a)(b + a) = 75 eflitli inde 75 say s n çarpanlar na ay rarak 1 75, 3 25 ve 5 15 ayr fl mlar ndan a için 37, 11, 5 ve k için 1382, 134 ve 38 bulunur. 10. log 2n 216 = log n (27 2) ise n 5 nedir? Çözüm: log 2n (216) = log n (27 2) = a eflitliklerinden 216 = (2n) a ve 27 2 = n a bulunur. u iki eflitlik kullan larak da 2 a = 216/(27 2) = 2 5/2 elde edilir. ulunan a = 5/2 de eri yerine konuldu unda 27 2 = n 5/2, buradan da n 5 = bulunur.

2 Matematik ünyas, 2005 Yaz 11. 6y + 4 3y = 35 denklemini sa layan tüm, y tamsay lar n bulunuz. Çözüm: enklem 6y + 4 = y fleklinde yaz ld nda, eflitli in sol taraf çift say olaca ndan y tek say olmal d r. y = 2n + 1 alal m, o halde 6(2n + 1) + 4 = n, buradan da 3n = = + 6n n+ 5 bulunur. öylece in tamsay olmas n sa layan n de erleri n = 1 ve n = 1 olur. n = 1 için = 2 ve y = 3 bulunur; n = 1 için ise = 16 ve y = 1 bulunur. 12. a + b + c = 24, a 2 + b 2 + c 2 = 210 ve abc = 440 eflitliklerini sa layan a, b, c tamsay lar n kök kabul eden üçüncü dereceden polinom nedir? Çözüm: ab + bc + ca simetrik terimini de erini bilinen simetrik terimler cinsinden yaz p hesaplayal m: ab + bc + ca = ((a + b + c) 2 (a 2 + b 2 + c 2 ))/2 = 183. a, b, c say lar polinomunun kökleridir. 13. fla daki sistemde + 2y z = y + z = 11 ( + 2y) 2 z 2 = 15 in de eri nedir? Çözüm: Üçüncü eflitli i çarpanlar na ay ral m: ( + 2y z)( + 2y + z) = 15 buluruz. yr ca bir de birinci eflitli i kulland - m zda + 2y + z = 3 buluruz. u ve ikinci eflitlik = 4 verir. 14. ve y say lar n n 2 + y 2 = 7 ve 3 + y 3 = 10 eflitliklerini sa lad bilindi ine göre, + y toplam n n alabilece i en büyük de eri nedir? Çözüm: ( + y) 3 terimini olabildi ince de erleri bilinen 2 + y 2 ve 3 + y 3 terimleri cinsinden yazal m: ( + y) 3 = 3 + y 3 + 3y( + y) = ( + y)[(+y) 2 2 y 2 ]/2 = ( + y)[(+y) 2 7]/2. er u = + y dersek, yukardaki eflitlik bize u 3 21u + 20 = 0 denklemini verir. u denklemin kökleri de 5, 1, 4 olarak bulunur. emek ki u = + y nin alabilece i en büyük de er 4 tür befl basamakl say s 56 ya bölündü ünde kalan 4 ise + kaçt r? Çözüm: Verilenden, 627 = (mod 56) bulunur. ma (mod 56) ve (mod 56) oldu undan (mod 56), yani bir k tamsay s için 32 + = 56k + 6 ç kar. uradan, 6 (mod 8) ve = 6 ç kar. emek ki 32 = 56k, 4 = 7k, = 7 bulunur. olay s yla + = = cos 2 3cos 2 + cos 3 = 3 eflitli inin [0, π] aral ndaki çözümünü bulunuz. Çözüm: Yar maç formülü kullan larak cos 2 = 2cos 2 1 de erini yerine yazd m zda cos 3 = 0 eflitli i elde edilir. uradan da = (2k + 1)π/6 bulunur. [0, π] aral nda çözüm istendi inden, çözüm kümesi {π/2, π/6, 5π/6} olur. 17. a, b pozitif tamsay lar 2a 2 = 3b 3 eflitli ini sa l yorsa en küçük a + b de eri nedir? Çözüm: n küçük çözüm a = 2 3 y ve b = 2 u 3 v fleklinde yaz labilmeli. u de erler eflitlikte yerine konuldu unda u = 2 3v + 1 2y elde edilir; buradan da 3u = ve 2y = 3v + 1 eflitlikleri bulunur. ranan toplam n en küçük de eri de = 1, y = 2, u = 1, v = 1 için bulunur ve toplam a + b = = 24 olur kiflilik bir gurupta, herkes, kendi d fl ndaki 5 kiflinin yafllar n toplarsa bu toplamlar n oluflturdu u küme {78, 79, 80, 81, 82} oluyor. u gurupta ayn yaflta olan iki kiflinin yafllar kaçt r? Çözüm: Guruptaki kiflilerin yafllar na a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6 diyelim. a 6 di erlerinden birine eflit olsun. er a = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ve = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 diyecek olursak a a 1 = 78, a a 2 = 79, a a 3 = 80, a a 4 = 81, a a 5 = 82, a a 6 = eflitliklerinden 6a (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) = 5a =

3 Matematik ünyas, 2005 Yaz ç kar. emek ki, 5 e bölünür. {78, 79, 80, 81, 82} oldu undan = 80 ve dolay s yla a = 480/5 = 96 ve a 6 = = 16 olur ve 2 say lar a 2 + b a = 0 denkleminin kökleridir. Kökleri a 1 + b vea 2 + b olan ikinci dereceden denklem nedir? Çözüm: = b/a ve 1 2 = 1 oldu undan (a 1 + b)(a 2 + b) = a ab( ) + b 2 = a 2 ve (a 1 + b) + (a 2 + b) = a( b/a) + 2b = b olur. öylece aranan ikinci dereden denklem 2 b a 2 = 0 bulunur. 20. Üç pozitif tamsay n n çarp mlar toplamlar n n 6 kat d r ve bu çarp m say s na eflittir. u say lardan biri di er ikisinin toplam na eflitse bütün olas de erlerinin toplam nedir? Çözüm: Say lar, y, + y olsun. O halde y( + y) = = 12( + y) olmal d r. öylece y = 12 bulunur, buradan da aranan üçlüler (, y, + y) = (1, 12, 13), (2, 6, 8) ya da (3, 4, 7) olur. olay s yla = yz = 156, 96 ya da 84 ve toplam olarak = 336 bulunur. 21. P(7, 12, 10), Q(8, 8, 1) ve R(11, 3, 9) noktalar bir kübün köfleleriyse, bu kübün yüzel alan nedir? Çözüm: oktalar aras ndaki uzunluklara bak ld nda PQ = QR = PR = 98 bulunur. er kübün bir kenar n n uzunlu u a ise, kübün köfleleri bir eflkenar üçgen oluflturaca ndan a 2 = 98, buradan a = 7, böylece de yüzey alan 6a 2 = 294 olur. 22. (1 1/2 2 )(1 1/3 2 )... (1 1/n 2 ) = 51/101 ise n kaçt r? Çözüm: Soldaki toplam hesaplayal m. Sadelefltirmelerle, L ( 1) n n ( n 2)(. n) ( n 1).( n+ 1) = L ( n 1) n n + 1 = 2n bulunur. uradan da n = 101 ç kar < a < b < c < d tamsay lar için a, b, c aritmetik dizi ve b, c, d geometrik dizi oluflturuyor. d a = 30 oldu una göre a + b + c + d yi bulun. Çözüm: Verilenlerden say lar, a = b r, c = b + r ve bd = c 2 oldu undan (b + r) 2 = b(30 + b r) eflitli i sa lan r. öylece r 2 = 3b(10 r) bulunur. Son eflitlikte hem r nin hem de b nin 3 ün kat oldu u görülür. Tek çözüm olarak r = 9, b = 27 ç kar. Yan t: = 129 dur. 24. ve y say taban olmak üzere ( ) + ( ) = y oldu una göre, bu eflitli i sa layan (, y) pozitif tamsay ikilileri nelerdir? Çözüm: Say taban n n tan m ndan dolay (1331) = = ( + 1) 3 ve (14641) y = y 4 + 4y 3 + 6y 2 + 4y + 1 = (y + 1) 4 oldu undan ( ) + ( ) = = y 1 16 y yani + y = 14 eflitli ini elde ederiz. > 3 ve y > 6 olmas gerekti inden, aranan ikililer (4, 10), (5, 9), (6, 8), (7, 7) olarak bulunur basamakl = L L tane 999 tane say s için kaç basamakl d r? Çözüm: Yazmas kolay olsun diye 1000 = n tan m n yap p hesaplayal m: = 6 + 5( n 1 ) + (10 n + 10 n n 1 ) = 1 + 5( n 1 ) + 10 n ( n 1 )(10 n +10 n n 1 ) = 1 + 5(10 n 1)/ n (10 n 1)/9 = (10 n + 2) 2 /9. uradan da = (10 n + 2)/3 elde edilir. böylece say s n n n = 1000 basamakl oldu u görülür L L yaz l fl nda 2005 tane 7 kullan lm flt r. una göre ifllemin sonucunun birler basama kaçt r? Çözüm: 7 nin güçlerini modülo 10 hesaplayal m: 96

4 Matematik ünyas, 2005 Yaz 7 2 = 49 1 (mod 10), (7 2 ) 3 7 = (mod 10), (7 7 ) 7 = (7) 7 = (mod 10). O halde verilen ifadede ki 7 say s tekse, ifllemin sonucunun birler basama 7, çiftse 7 olur. fadede 2005 tane 7 oldu undan sonuç 7 dir = eflitli ini sa layan tüm gerçel say lar n n toplam kaçt r? Çözüm: a = diyelim. u durumda a 15 = 2 a. uradan da a 2 34a = 0 bulunur. Son denklemin kökleri olan a = 25 ve a = 9 de erleri a = denkleminde yerine konuldu unda = 0 ve = 0 elde edilir. Kolayca görülece i üzere, birinci denklemden elde edilen kökler soruda verilen denklemi sa larlar. (Sol taraf 10 a eflittir örne in.) kinciden gelen kökler için ise 2 10 = 8 olaca ndan, verilen denklemde yerine konuldu unda 8 14 = 2 9 bulunaca ndan bunlar al nmayacakt r. stenilen toplam birincinin kökler toplam olan 10 dur. 28) 4( 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 2 ) ( 2 + y 2 + z 2 ) 2 çok de iflkenli polinomunu birinci dereceden çarpanlara ay r n z. Çözüm: o rudan hesap yapal m: 4( 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 2 ) ( 2 + y 2 + z 2 ) 2 = 2( 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 2 ) ( 4 + y 4 + z 4 ) = 2 2 (y 2 + z 2 ) + 2y 2 z 2 4 y 4 z 4 = 2y 2 z 2 ( 2 (y 2 + z 2 )) 2 + (y 2 + z 2 ) 2 y 4 z 4 = 4y 2 z 2 ( 2 (y 2 + z 2 )) 2 = (2yz 2 + y 2 + z 2 ) (2yz + 2 y 2 z 2 ) = ((y + z) 2 2 )( 2 (y z) 2 ) = (y + z )(y + z + )( y + z)( + y z). 29) bir yamuk, ( ÚÚ ), köflegenlerin kesiflti i nokta, () = 25 br 2 ve () () = 5 br 2 ise () kaç birim karedir? /p = / = q/, bundan da bilinen 2 = pq ve () = ( p + q) 2 sonuçlar ç kar. emek ki q + p = 25 = 5 ve q p = ( q) 2 ( p) 2 = 5 den q = 3 ve p = 2 ve = pq bulunur. 30. fla daki flekilde bir eflkenar üçgen, m(p) = 150, P = 2 3 br., P = 2 br. u verilere göre P kaç birimdir? Çözüm: fla daki flekilde gösterildi i gibi m(p) =? 60 ve P = 2 olacak biçimde P nin P nin bulundu u tarafta de il de di- er taraf nda bir p q noktas bulal m. P ikizkenar oldu undan ve m(p) = 60 oldu undan, P asl nda eflkenar bir üçgendir. olay s yla m(p) = 60. undan da m() = m(p) m(p) = 60 m(p) = m() m(p) = m(p) ç kar. u aç ya diyelim. fiekilde görüldü ü gibi K..K teoremi uyar nca P? ve üçgenleri efl üçgenler- 2 P 60 dir. O zaman m() = 150 ve = 2 3 tür. O halde m(p) = 90 olur ve Pisagor ba nt s ndan P = 4 br bulunur Çözüm: p, q ve afla daki resimde gösterilen alanlar olsun. () = () oldu undan () = () = olur. yr ca, ve üçgenlerinin den yükseklikleri ayn oldu undan, fla daki flekilde üçgeninde [] aç - ortay, m() = 40, m() = 20. u verilere göre m() = α kaç derecedir? α 20 40

5 Matematik ünyas, 2005 Yaz Çözüm: üçgeninde [] aç ortay ve m() = m() = dersek, m(f) = 20 +, m() = 20 ve m() = 20 + olur. Sonuç olarak [], nin d fl aç ortay, [] ise iç aç - 20 α ortay d r. unlar noktas nda kesifltiklerinden, [], nin d fl aç ortay olur. una göre α = ( )/2 = 70 bulunur. 32. fla daki flekilde = 6 cm, = 8 cm, =, [] aç ortay, [] [], [F] []. u verilere göre F = kaç cm dir? Çözüm: fla daki flekildeki gibi [] [] olsun..k. efllik teoreminden dolay F oldu undan, = F = ve = F dir. yr ca [] orta dikme oldu undan = dir. Pisagor teoremi uyar nca p = = F bulunur. uradan da = 6 + p ç kar ve + p = 8 eflitli inden F = = 7 bulunur. p 6 6 F F F karesinde P [],, m(p) = m(p) = α, P =, = y. u verilere göre nin ve y cinsinden de eri nedir? α α P y Çözüm: θ = m() olsun. üçgenini noktas etraf nda pozitif y P yönde 2α + θ yani 90 döndürürsek α+θ nin gidece i noktas için m( P) = +y θ α +y α y m( P) = α + θ olur ve θ bundan da + y = P = = ç kar. 34. fla daki flekilde bir yamuk, ÚÚ, m() = 48, m() = 138 o, = 2 = 4a, =, F = F. er ile F s ras yla [] ve [] nin orta noktalar ysa a F a F F para- 138 lelkenar n n kenarlar n n karelerinin toplam F 48 kaçt r? 2a 2a Çözüm: ve do rular n uzat p O da kesifltirelim. m() = 42 oldu undan, m(o) = 90 olur. = /2 oldu undan ve O orta noktalar olacakt r. yr ca OF do rusald r ve F = F oldu undan, OF = a F a 138 a, O = 2a ç kar. [] nin ve [] nin F orta noktalar içinse F F 48 2a 2a bir paralel kenar olup köflegen uzunluklar e = F = (2a + 4a)/2 = 3a, ƒ = F = a oldu undan, kenarlar n n karelerinin toplam F 2 + F F 2 + F = 2( F 2 + F F 2 ) = e 2 + f 2 = 10a 2 bulunur. 35. fla daki flekilde merkezli z yar çapl çember do rusuna ve O merkezli [] çapl çembere te- ettir. =, = y ise, y ve z aras ndaki ba nt y yaz n z. O Çözüm 35: O yi uzatal m ve çemberi taraf nda kesti i noktaya T diyelim. yr ca =,

6 Matematik ünyas, 2005 Yaz O y = y ve = z olsun. emek ki O = ( + y)/2, O = ( y)/2. Te et çemberlerde O,, T do rusal oldu undan, O = ( + y)/2 z, O = ( + y)/2 y = ( y)/2 olacakt r. Tüm bunlardan ve O 2 = 2 + O 2 ba nt s ndan, (( + y)/2 z) 2 = z 2 + ( y) 2 /4 elde edilir. emek ki z( + y) = y ve 1/z = 1/ + 1/y. 36. Üç basamakl ve 5 e kalans z bölünen tüm pozitif tek tamsay lar n toplam n bulunuz. Çözüm: ranan say lar, () iki basamakl olmak üzere (5) biçimindedir. () lerin toplam /2 9 10/2 = ve 5 lerin toplam 90 5 = 450 oldu undan sonuç = dir. 37., y, z gerçel say lar olmak üzere y z 2 2y 4yz 6z + 3 ifadesinin alabilece i en küçük de er nedir? Çözüm: Verilen ifade ( y) 2 + ( 3z) 2 + (2y z) fleklinde yaz labilir. ütün, y, z de erleri için ( y) 2 + ( 3z) 2 + (2y z) oldu undan istenilen en küçük de er, = y = z = 0 için, 3 olarak bulunur. z T 40. fla daki flekilde, eflkenar üçgen, K = 2 1 br., K = 2 br., K = br. u verilere göre m(k) kaç derecedir? 2 K 60 2 α β α K Çözüm: ( 2 1) 2 + (2) 2 = ( 2 + 1) 2 eflitli ini kullanaca z. α = m(k) ve β = m(k) diyecek olursak α + β = 60 olur. köflesinden = 2 ve m() = α olacak flekilde [] çizelim. u durumda K eflkenar üçgen olur ve K = 2 br olur. eflkenar üçgen oldu una göre K..K teoreminden K ve üçgenleri efl üçgenlerdir. O halde = K = dir. ( 2 1) 2 + (2) 2 = ( 2 + 1) 2 eflitli inden dolay K üçgeninde Pisagor ba- nt s geçerlidir, yani K diküçgendir ve m(k) = 90 dir. olay s yla m(k) = = 150 dir /18 kesri ondal k sayma düzeninde () 6 yaz ld nda ne olur? Çözüm: 49/18 = 98/36 = ( )/6 2 = 2 + 4/6 + 2/6 2 oldu undan, 49/18 = (2,42) 6 bulunur. 39. Kenarlar 13, 2 5, 2 13 ve 3 5 birim olan bir kirifller dörtgeninin çevrel çemberinin yar çap kaç birimdir? Çözüm: 1 R = 4 ( ab + cd) ( ac + bd) ( ad + bc) ( s a) ( s b) ( s c) ( s d) formülünden R = 65/2 bulunur. 99