ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Prof. Dr. Nihal ERGİNEL
HİPOTEZ TESTLERİ Pek çok problemde bazı parametrelere bağlı bir ifadeyi kabul yada red etmek için karar vermek durumunda kalırız. Bu ifade hipotez olarak adlandırılır. Hipotez hakkında karar verme süreci de hipotez testi olarak adlandırılır.
Tip Ι ve Tip ΙΙ hataları: H o hipotezinin red/ kabul edilmesi rassal olarak alınan örneklerin analiz edilmesi sonucu olmaktadır. Dolayısıyla bu karar belli bir hata içermektedir. Hipotez testlerinde iki tür hata vardır. H o doğru H o yanlış H o hipotezinin kabul edilmesi Hata yok Tip ΙΙ hatası H o hipotezinin red edilmesi Tip Ι hatası Hata yok
Tip I ve Tip II hatalarının meydana gelme olasılığı α : P(H o red / H o doğru) β : P(H o kabul / H o yanlış) Tip Ι Tip ΙΙ Testin gücü = Power = 1-β = P (H o red / H o yanlış)
Tek parametreli hipotez testleri Ortalamalar için Oranlar için H o : µ = µ 0 H o : p= p 0 H a : µ µ 0 Çift yönlü H a : p p 0 Çift yönlü H a µ < µ 0 H a µ > µ 0 Tek yönlü H a : p < p 0 H a : p > p 0 Tek yönlü
Çift parametreli hipotez testleri Ortalamalar için Oranlar için H o : µ 1 = µ 2 H o : p 1 = p 2 H a : µ 1 µ 2 Çift yönlü H a : p 1 p 2 Çift yönlü H a µ 1 < µ 2 H a µ 1 > µ 2 Tek yönlü H a : p 1 < p 2 H a : p 1 > p 2 Tek yönlü
Anakütle Ortalamasının Hipotez Testi σ 2 biliniyor veya σ bilinmiyor ancak n 30 ise, B[σ 2 ] = S 2
1. Durum Grafiği 2. Durum Grafiği 3. Durum Grafiği
Örnek büyüklüğünün tespiti n = z α/2+ z β 2.σ 2 e 2 n = z α+ z β 2.σ 2 e 2 Çift taraflı Tek taraflı
!σ 2 bilinmiyor ve n<30 ise,
ÖRNEK: Bir içeceğin raf ömrü incelenmek istenmiştir. Rassal olarak 10 örnek seçilmiş ve raf ömürleri aşağıdaki gibidir. Buna göre firma raf ömrünün 120 günden büyük olduğu iddiasını test etmek istemiştir. İlgili hipotezi kurunuz ve sonucu yorumlayınız. (α=0,01) 124-108-124-106-115-138-163-159-134-139
ÇÖZÜM: Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı H 0 : µ = 120 gün H a : µ >120 gün t o = x µ S/ n t o > t α H 0 red 10 i=1 x = 10 X i = 131 gün i=1 S= 10 ( X i x) 2 10 1 =19,54
t o = 131 120 19,54/ 10 =1,78 Sonuç: t o = 1,78 < t 0,01;9 = 2,82 H 0 red edilemez. Yorum: %99 güven seviyesinde raf ömrünün 120 günden büyük olduğunu söyleyecek elimizde yeterli kanıt yoktur.
Anakütle oranının hipotez testi
Örnek büyüklüğünün tespiti n = n = z α/2. p 0 (1 p 0 )+ z β. p(1 p) p p 0 z α. p 0 (1 p 0 )+ z β. p(1 p) p p 0 2 Çift taraflı 2 Tek taraflı
ÖRNEK: Bir elektronik kart üreten firma kusurlu oranının %5 ten fazla olmayacağına garanti vermiştir. Bu garantisini doğrulamak amacıyla müşteri 200 elektronik kartı rassal olarak seçmiş ve incelenmiştir. Bunlardan 6 tanesinin hatalı olduğu görülmüştür. %5 anlam seviyesinde garantinin geçerli olup olmadığını araştırınız.
ÇÖZÜM: Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı H 0 : p = 0,05 z o > z α _ H o red H a : p >0,05 z o = z o = x np 0 np 0 (1 p 0 ) 6 200(0,05) 200.0,05(1 0,05) = -1,3 Sonuç: z o = -1,3 < z 0,05 = 1,645 H 0 red edilemez. Yorum: %95 güven seviyesinde hata oranının %5 ten büyük olduğunu söyleyecek elimizde yeterli kanıt yoktur.
İki anakütle ortalamalarının hipotez testi σ 1 2, σ 2 2 biliniyor.
Örnek büyüklüğünün belirlenmesi n = z α+ z β 2 (σ 1 2 +σ 2 2 ) e 2
ÖRNEK Plastik kovalara boya dolduran 2 makinenin doldurma miktarı anakütle standart sapmaları sırasıyla σ 1 = 0,015, σ 2 = 0,018 ile normal dağılıyor. Kalite mühendisliği bölümü boya kovalarının 2 farklı makine tarafından eşit dolup dolmadığı konusunda şüphe etmektedir. Bu amaçla rassal olarak 10 ar örnek alınmış ve aşağıdaki miktarlar tespit edilmiştir. Buna göre ilgili hipotez testini kurarak, %5 anlam seviyesinde sonucu yorumlayınız. 1. Makine: 16,03-16,04-16,05-16,05-16,02-16,01-15,96-15,98-16,02-15,99 2. Makine: 15,97-15,96-16,01-15,99-16,03-16,04-16,02-16,01-16-16,02
ÇÖZÜM Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı H 0 : µ 1 = µ 2 z o < z α/2 veya z o > z α/2 H o red H a : µ 1 µ 2 z o = X 1 X 2 (µ 1 µ 2 ) σ1 2 n1 + σ 2 2 n2 X 1 = 16,015 σ 1 = 0,015 n 1 =10 X 2 = 16,005 σ 2 = 0,018 n 2 =10
ÇÖZÜM z o = 16,015 16,005 (0) 0,015 2 10 + 0,0182 10 = 1,349 Sonuç: z o = 1,349 < z 0,025 =1,96 H o red edilemez. Yorum: %95 güven seviyesinde 1. makinenin doldurduğu miktar ile 2. makinenin doldurduğu miktar arasında fark olduğunu söyleyecek yeterli kanıt yoktur.
σ 1 2, σ 2 2 bilinmiyor, iki anakütle de Normal dağılıma sahip.σ 1 2 = σ 2 2 olduğu varsayılıyor. S p = n 1 1.S 1 2 + n 2 1.S 2 2 n 1 +n 2 2
ÖRNEK Bir kimyasal konsantrasyonda reaksiyon hızını artırmak için bir madde kullanılmaktadır. Bu madde miktarı 1,5 mol/l konulduğunda 15 kez deneme sonunda ortalama reaksiyon hızı 7,5 Mmol/30 dk, standart sapması 1,5 olarak bulunmuştur. Madde miktarı 2 mol/l konulduğunda 12 deneme sonunda ortalama reaksiyon hızı 8,8 Mmol/30dk, standart sapması ise 1,2 olarak bulunmuştur. Bu madde miktarını artırmak reaksiyon hızını 0,5 Mmol/30dk artırmış mıdır? Anakütle varyanslarının eşit olduğu varsayımı ile %99 güven seviyesinde test ediniz.
ÇÖZÜM Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı H 0 : µ 1 +0,5 = µ 2 t o = X 1 X 2 (µ 1 µ 2 ) H a : µ 1 +0,5 µ 2 S p 1 n1 + 1 n2 t o < tα 2 ;n 1+n 2 2 veya t o > tα 2 ;n 1+n 2 2 H o red X 1 = 7,5 S 1 = 1,5 n 1 =15 X 2 = 8,8 S 2 = 1,2 n 2 =12 S P = 1,376
ÇÖZÜM t o = X 1 X 2 (µ 1 µ 2 ) S p 1 n1 + 1 n2 t o = 7,5 8,8 ( 0,5) 1,376 1 15 + 1 12 = -1,5 Sonuç: t o = -1,5 < t 0,005;25 =2,787 H o red edilemez. Yorum: %99 güven seviyesinde madde miktarını artırmanın reaksiyon hızı 0,5 birim artırdığına dair elimizde yeterli kanıt yoktur.
σ 1 2, σ 2 2 bilinmiyor, ancak eşit olmadıkları varsayılıyor: θ = S1 2 n1 + S 2 2 2 n2 S1 2 2 /n1 + S 2 2 /n2 n1+1 n2+1 2 2
ÖRNEK Bir video üreticisi kullandığı 2 tür mikroelektrik devrelerinin aynı akış hızlarına sahip olup olmadıklarını belirlemek istemektedir. Araştırma mühendisi aşağıdaki verileri elde etmiştir. Sonucu %10 anlam seviyesinde yorumlayınız. (Varyansların eşit olmadığı varsayılıyor.) Tasarım 1: X 1 = 24,2 S 12 = 10 n 1 =15 Tasarım 2: X 2 = 23,9 S 22 = 20 n 2 =12
ÇÖZÜM Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1 µ 2 t o = X 1 X 2 (µ 1 µ 2 ) S1 2 n1 + S 2 2 n2 t o < tα 2 ; θ veya t o > tα 2 ; θ H o red t o = 24,2 23,9 (0) 10 15 + 20 10 = 0,184 Sonuç: t o = 0,184 < t 0,05;16 =1,746 H o red edilemez. Yorum: %90 güven seviyesinde akış hızları arasında fark olduğuna dair elimizde yeterli bir kanıt yoktur.
İki anakütle oranlarının hipotez testi p= x 1+ x 2 n 1 + n 2
Örnek büyüklüğünün belirlenmesi: n = z α/2 (p 1 +p 2 )(q 1 +q 2 )/2+z β p 1q 1+ p2q2 (p 1 p 2 ) 2 2
ÖRNEK İki farklı plastik kalıp makinesinde aynı ürün üretrilmektir. 2. makine 1. makineye göre daha yenidir. Bu nedenle kalite mühendisleri 2. makinenin daha az hurda oranına sahip olduğunu düşünmektedir. Bu iddialarını kanıtlamak için her 2 makineden 750 birimlik örnekler almış ve kusurlu adetleri sırasıyla 35 ve 18 olarak tespit etmiştir. Kalite mühendislerinin iddiasını inceleyiniz. α= 0,01
ÇÖZÜM p1 = 35/750 = 0,0467 p 2 = 18/750= 0,024 p= x 1+ x 2 n 1 + n 2 = 35+ 18 750+750 = 0,0353 Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 > p 2 z o = p 1 p 2 (p 1 p 2 ) p(1 p) 1 n1 + 1 n2 z o > z α H o red
ÇÖZÜM z o = 0,0467 0,024 0,0353(1 0,0353) 1 750 + 1 750 Sonuç: z o = 2,382 > z 0,01 = 2,33 = 2,382 H o red Yorum: %99 güven seviyesinde 2. Makinenin hurda oranının 1. Makinenin hurda oranından daha az olduğunu söylenebilir.
Eşleştirilmiş Gözlemlerin Hipotez Testi D = n j=1 Dj n S D = D j D 2 n 1 veya S D 2 = n j=1 Dj 2 2 n j=1 Dj /n n 1
ÖRNEK Çelik levhanın kopma kuvveti 2 farklı yöntem ile tahmin edilmeye çalışılmış ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Yöntemler arasında fark olup olmadığını % 90 güven seviyesinde tespit ediniz. Çelik levha 1.metot 2.metot Farklar 1 1,186 1,061 0,125 2 1,151 0,992 0,159 3 1,322 1,063 0,259 4 1,339 1,062 0,277 5 1,2 1,065 0,135 6 1,402 1,178 0,224 7 1,365 1,037 0,328 8 1,537 1,086 0,451 9 1,559 1,052 0,507
ÇÖZÜM D = 0,2736 S D =0,1356 t 0 = 0,2736 0,1356/ 9 = 6,05 Sonuç: t 0 =6,05 > t 0,05;8 = 1,86 H 0 red Yorum: %90 güven seviyesinde iki yöntem arasında fark vardır.
Anakütle varyansının hipotez testi X~ N (µ,σ 2 ), µ ve σ 2 bilinmiyor. X 1, X 2,...,X n olmak üzere anakütleden n birimlik örnek alınıyor.
ÖRNEK Meyve suyu dolduran bir makinenin varyansının 0,02 gr 2 yi geçmesi istenmektedir. Bu amaçla süreçten rassal olarak 20 örnek alınmış ve örnek varyansı 0,0225 gr 2 olarak bulunmuştur. Buna göre %5 anlam seviyesinde sürecin varyansının istenilen değerden büyük olmasını test ediniz.
ÇÖZÜM Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı H 0 : σ 2 = 0,02 H a : σ 2 >0,02 χ 0 2 = (n 1)S2 σ 0 2 χ 0 2 > > χ 0 2 α;n 1 _ H o red χ 0 2 = 20 1 0,0225 0,02 = 21,38 Sonuç: χ 2 0 = 21,38 < χ 0 20,05;19 = 30,14 H o red edilemez. Yorum: % 95 güven seviyesinde varyansın 0,02 den büyük olduğuna dair yeterli kanıt yoktur.
İki anakütle varyansının eşitliğinin hipotez testi: X 1 ~ N(µ 1, σ 2 1 ) - X 2 ~ N(µ 2, σ 2 2 ), X 1, X 2, birbirinden bağımsız ve µ 1, σ 2 1, µ 2, σ 2 2 bilinmiyor. Varyansların eşitliğini test etmek istiyoruz.
F 1 α 2 ;n 1 1; n 2 1 = 1 Fα 2 ;n 2 1; n1 1
ÖRNEK Bir kimyasal ayırma sürecinde iki tip kimyasal konsantrasyon hazırlanmıştır. Her iki tip konsantrasyon için 8 er örnek alınmış ve varyansları S 1 2 = 3,89,S 2 2 = 4,02 olarak bulunmuştur. Varyansların eşitliğini test ediniz.α=0,05
ÇÖZÜM Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 σ 2 2 F 0 = S 1 2 S 2 2 F 0 > Fα 2 ;n 1 1; n 2 1 veya F 0 < F 1 α 2 ;n 1 1; n 2 1 H o red F 0 = 3,89 4,02 =0,97 F 0,025;7;7= 4,99 F 0,975;7;7 = 1 4,99 = 0,20 Sonuç: F 0 = 0,97 > F 0,975;7;7 = 0,20 H o red edilemez. Yorum : %95 güven seviyesinde varyanslar eşittir.