SAYI SİSTEMLERİ ve BOOLE CEBİRİ 1+1=1
Ders Konusu 1854 yılında George Boole tarafından özellikle lojik devrelerde kullanılmak üzere ortaya konulmuş bir matematiksel sistemdir.
İkilik Sayı Sistemi Çoğu dijital sistemler 8, 16, 32, ve 64 bit gibi, 2 nin çift kuvvetleri bit gruplarını ele almaktadır. 8-bit ikilik sayı her bitin ağırlıklı değerleri 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 128 64 32 16 8 4 2 1
Örnek 1011 1010 ikilik sayısını onluk eşdeğerine dönüştürün. 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 1 1 1 0 1 0 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 186 10
Kesirli İkilik Sayılar Örnek: 1011.1010 ikilik sayısını onluk eşdeğerine dönüştürün. 2 3 2 2 2 1 2 0. 2-1 2-2 2-3 2-4 8 4 2 1. ½ ¼ 1/8 1/16 1 0 1 1. 1 0 1 0 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0 + 0.125 + 0 = 11.625 10
Onluk tan İkilik e Örnek 38 10 = 100110 2 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 128 64 32 16 8 4 2 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 + 0 + 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 3810
Onaltılık Sayı Sistemi Çoğu dijital sistemler 8, 16, 32, ve 64 bit gibi, 2 nin çift kuvvetleri bit gruplarını ele almaktadır. Onaltılık sistemde 4 bitlik gruplar kullanır. 16 Tabanı 16 olası simge 0 ile 9 ve A ile F Uzun ikilik dizilerin kolay idaresi
Onaltılık-tan Onluk-a Dönüşüm Her basamaktaki rakamı ağırlığı ile çarparak basamak değerini elde edin. Örnek: 243 16 = 2 x (16 2 ) + 4 x (16 1 ) + 3 x (16 0 ) = 512 + 64 + 3 = 579 10
Onaltılık-tan İkilik-e Dönüşüm Örnek: 9F2 16 = 9 F 2 = 1001 1111 0010 = 100111110010 2
İkilik-ten Onaltılık-a Dönüşüm LSB den başlayarak bitleri dörderli gruplayın. Her grubun onaltılık basamak karşılığını yazın. Gerekirse, son grubu dörde tamamlayacak kadar sıfırı MSB nin solundan başlayarak ekleyin. Örnek: 11101001102 sayısını 16 lı tabana dönüştürün = 0011 1010 0110 = 3 A 6 = 3A6 16
Boolean Algebra George Boole (1815-1864) Boole cebri AND, OR ve NOT temel mantıksal işlemlerinden oluşan sembolik bir sistem olarak düşünülebilir. 1938 li yıllarda da ilk defa Claude Shannon tarafından Boole un çalışması, lojik devrelerin tasarımı ve analizinde kullanılmıştır. VE (AND) VEYA (OR) DEĞİL (NOT)
Boolean Algebra George Boole (1815-1864) Boole Cebri, İkili sistemin cebridir. (1 ve 0 dönüşümü) Tüm Bilgisayarlar Boole Cebrini kullanarak çalışırlar. Bilgisayarlarda, Voltaj seviyesine bağlı olarak iki tür mantık kullanılır. 1. Positive logic +1 -> Evet -> +5V -> True -> On -> Var -> Doğru -> High 2. Negative logic -0 -> Hayır -> 0V -> False -> Off -> Yok -> Yanlış -> Low
Logic Gates Mantık Kapıları Temel olarak 7 kapı vardır bunlar; VE (AND) VEYA (OR) DEĞİL (NOT) VE DEĞİL (NAND) VEYA DEĞİL (NOR) ÖZEL VEYA (XOR) ÖZEL VEYA DEĞİL (XNOR)
Kapıların Oluşumu DEĞİL İŞLEMİ A değişkeninin DEĞİL i A veya Ā ile gösterilir ve A nın tersine Eşittir. DEĞİL, Tümleyen ya da Tersi de denir. DOĞRULUK TABLOSU (TRUTH TABLE) A X=A 0 1 1 0 F(A) = A Boolean Gösterimi X=0 X=1
Kapıların Oluşumu VE İŞLEMİ Elektrik devresinde seri bağlı anahtarlar ile gösterilir. Matematikte çarpma işlemine karşılık gelir. DOĞRULUK TABLOSU (TRUTH TABLE) A B X 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Ve (And) Kapısı Mantıksal Gösterimi
VE İŞLEMİ Çarpımda. gösterilmez. F(A,B) = AB boolean Gösterimi A B X 0 0 0 A B X 1 1 1 X
Kapıların Oluşumu VEYA İŞLEMİ DOĞRULUK TABLOSU (TRUTH TABLE) Elektrik devresi olarak birbirine paralel bağlı anahtarlar ile gösterilebilir. VEYA İşlemi matematikteki toplama işlemine karşılık gelmektedir. 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1 X = A + B A VEYA B 1 ise sonuç (F) 1 Her ikisi 0 ise Sonuç 0
VEYA İŞLEMİ A veya B anahtarları kapalı değil, devre açık (0) B anahtarı kapalı (1), Devre kapalı (1) A anahtarı kapalı (1), Devre kapalı (1) A ve B anahtarı kapalı (1), Devre kapalı (1)
K L M 1 2 3 K L A B C
1!!! Çözümleyiniz 3 2
1 3 2
Doğruluk Tablosu Doğruluk tablosu, bir lojik devredeki giriş değişkenlerinin alabilecekleri tüm değerlere karşılık gelen çıkışları gösterir. Doğruluk tablosundaki durum sayısı, n giriş değişkeni için 2 n dir. A B Çıkış 0 0 0 1 1 0 1 1 A B C Çıkış 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
Boolean KURALLARI A + 0 = A A 1 = A Law of İntersection X 0 1 A 0 X 0 0 0 1 0 1 A 1 X 0 1 0 1 1 1
Boolean KURALLARI A + 1 = 1 A 0 = 0 Law of Union X 1 0 A 1 X 0 1 1 1 1 1 A 0 X 0 0 0 1 0 0
Boolean KURALLARI A + A = A A A = A Idempotent laws A X A A A X 0 0 0 1 1 1 A A X 0 0 0 1 1 1
Boolean KURALLARI (A ) = A Involution laws A
Boolean KURALLARI A + A = 1 A A = 0 Law of Complementarity X A A A A X 0 1 1 1 0 1 A A X 0 1 0 1 0 0
Boolean KURALLARI A (A+B)=A A+(A B)=A Law of Absorption A B A+B A (A+B) 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 A B A B A +(A B) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
Boolean Fonksiyonu F(A,B,C) = A+B C ifadesi bir fonksiyondur. Buna göre fonksiyonun doğruluk tablosunu oluşturalım. Giriş değişkenlerinin tüm kombinasyonları, lojik ifadede yerine konularak tablo oluşturulur. A B C F (Çıkış) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 A+B C = 0+1.0 = 0+0 = 0 B nin 0 ve C nin 1 olduğu durum A nın1 olduğu durumlar bu lojik ifadenin 1 olabilmesi için ya A nın 1 olması ya da B C nin 1 olması gereklidir. B C nin de 1 olabilmesi için B=0 ve C=1 olmalıdır.
Lojik İfadelerin Sadeleştirilmesi Karmaşık yapıdaki lojik ifadeler, Boole cebri kuralları kullanılarak sadeleştirilebilirler. Sadeleşmiş lojik ifadelerden oluşturulacak devreler, hem daha basit hem de daha ucuz olarak elde edilmiş olacaktır. Sadeleştirmede birkaç yol takip edilebilir; ortak paranteze alma, terimleri genişletme yada terim ilave etme gibi.
!!! Çözümleyiniz 1 2 3 4
1 2 3 4
NAND - NOR A B X 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B X 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
XOR A B X 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
XOR Çözüm
XNOR A B X 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
XNOR Çözüm