3. Boole Cebri. Boolean Aritmetiği = = = = 1

Transkript

1 3. Boole Cebri Boole Cebri, İniliz matematikçisi olan Geore Boole'nin 1850 yıllarında Aristonun mantık bilimine sembolik şekil verme isteği sonucunda ortaya çıkmıştır. Geliştirdiği cebir ile sayısal devrelerin analiz ve tasarımı sağlanmaktadır. Bu sistemde yalnızca 0 ve 1'ler yer almaktadır. Binary sistemi de benzer yapıda olmasına karşın asla karıştırılmaması ereken Boole Cebrinin postulat ve aritmetiği akkında bilileri sizler için derledik. Ayrıntıları yazımızda bulabilirsiniz. Boole elektriksel olarak insan aklını bilisayarın temel ikrini oluşturan (true/alse) doğru/yanlış, matematiksel olarak 0/1 diital yapı ile ilişkisini ve bunların kombinasyonları olan OR/AND vd ilişkilere dayalı matematik alt yapısını kurmuştur, buün en basit bir diital saatin alt yapısı bu cebire dayalı elektronik elişmedir. Cebir diğer matematiksel sistemler ibi sonuç çıkarma prensibine bağlıdır. Bir eleman kümesi, işlem kümesi ve belirli sayıda kanıtlanmamış postulat ile tanımlanabilmektedir.1854 yılında Geore Boole, lojiği sistematik bir şekilde ele almak istemiş ve bunun sonucundan ünümüzde Boole cebri olarak bilinen bir sistem eliştirmiştir de C. E. Sannon anatarlama cebri olarak adlandırılan iki değerli bir Boole cebri türü tanıtılarak iki kararlı elektrik anatarlama devre özelliklerinin bu cebirle temsil edilebileceğini österdi. Bu kısımda Boole cebrinin biçimsel tanımı için Huntinton taraından 1904 te oluşturulan postulatları bii bütündür. Geore Boole 1847 yılında te matematical analysis o loic kitabını yayınladı. Boolean cebiri elektronik devre tasarımının temel matematiğidir. Bütün elektronik çipler Boolean matematiğine dayanır. Boolean matematiğini bildikten sonra bilisayarın ve çiplerin nasıl çalıştığını raatlıkla anlayabiliriz. Eğer elektronik bilimiz varsa kendi devrelerimizi de tasarlayabiliriz. Geore Boole 1854 yılında Aristo nun mantık bilimine sembolik bir al vermek istedi ve bununla alakalı bir tez yayınladı. Düşünce Bilimi Üzerine, Olasılıklar ve Mantığın Matematiksel Teorileri Hakkında Bir Araştırma. Matematiksel bazı kuralları olabilecek iki değerle sınırlayarak (1 ve 0 - doğru ya da yanlış) yeniden kodladı. Oluşturduğu bu sistemi Boolean Cebri olarak tanımlandı. Boolean işlemlerinde sadece 0 ve 1 kullanılır. 0 ve 1 dışındaki itimaller kesinlikle kabul örmez. Geore Boole den sonra Claude Sannon ise tüm elektriksel sinyallerin 1 (i) ve0 (low) şeklinde iade edilerek Boolean cebirinin açık ve kapalı devrelere nasıl uyulanacağını österdi. Boolean aritmetiğine eçmeden önce şunu kesinlikle kavramamız erekir Boolean sayılar ve binary sayılar ayrı şeylerdir. Boolean matematikten arklı bir sistemi varken binary reel sayıların arklı bir yazım türüdür. Bunun arkını kesinlikle bilmemiz erekir. Binary de 0 ve 1 i yan yana etirerek arklı şeyler elde edebiliriz ama Boolean tek bitle iade edilir yani 0 ya da 1 dir. Boolean Aritmetiği = = = = 1 4. satıra kadar bildiğimiz matematiksel işlemdir. Fakat 4. Satırda Boolean cebri başlamaktadır. Boolean cebirinde sadece 0 ve 1 kullanıldığını az önce söylemiştik. Bunu dikkate alarak 1+1 iadesinin Pro. Dr. Levent ŞENYAY III -1 Bilisayar Proramlama

2 kesinlikle 0 a eşit olmadığını ve 2,3 ibi sayılara eşit olamayacağından 1 e eşit olduğunu örmekteyiz. Daa iyi kavramak erekirse; = = = 1 Şimdi lojik kapı bililerimize başvuracağız. 0+0=0 veya 0+1=1 eşitliklerin OR ate lerinin doğruluk tablosundan alınmıştır. Biz bunu biraz elektriksel düzenekte işlemek istersek daa iyi anlayabiliriz; Bu örnekle OR ate in mantığını daa iyi anlamaktayız. Boolean cebrinde çıkarma yoktur. Bunun sebebi ise neati sayıların devreye irmesinden kaynaklanır. Boolean cebrindeki çarpmaya elirsek bu bildiğimiz matematikten arkı yoktur; 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Pro. Dr. Levent ŞENYAY III -2 Bilisayar Proramlama

3 Çarpı işaretini ördüğümüzde tabi ki aklımıza ilk AND ate leri elicek ve yine elektriksel canlandırma yaparsak; x x veya 0 = 1 1 = 0 AND ve OR Operasyonları (Intersection and Union) X OR Y X V Y Pro. Dr. Levent ŞENYAY III -3 Bilisayar Proramlama

4 x y X AND Y X.Y x y w z x y xyv(wvz) w z xy(wvz) 0V0=0 1V0=0V1=1V1=1 X Y X V Y X.Y =0.1=1.0=0 veya 1.1=1 XY XY V X Y X Y V XY Eğer X=0, Y=0 ise XY V X Y = 0.1 V 0 0 = 0 V 1.1 = 0 V 1 = 1 exclusive OR (XOR) Pro. Dr. Levent ŞENYAY III -4 Bilisayar Proramlama

5 A (A B) = A B çünkü; (A A ) (A B) = U (A B) = A B dir. A (A B) = A B dir. A B ise A B = dir. A B C ise (A B) (B C) = A C dir. Pro. Dr. Levent ŞENYAY III -5 Bilisayar Proramlama

6 (A C) (A B) (C A) (C B) Pro. Dr. Levent ŞENYAY III -6 Bilisayar Proramlama

7 a = b d c v v Pro. Dr. Levent ŞENYAY III -7 Bilisayar Proramlama

8 POSTULATLAR Değişme (Commutative) kuralı V = V. =. Birleşme (Associotive) kurali V ( V )=( V ) V ()=() Dağılma (Distributive) kuralı ( V )=() V () V ()= (V).(V) İdempotent kuralı V = veya AUB=A.= veya A A=A A U = A A U U = U U = A U = A A = U = A U A = U A A = Pro. Dr. Levent ŞENYAY III -8 Bilisayar Proramlama

9 0 ve 1 ile österimlerde kanunlar 0 0 V = veya AU =A = veya A U=A 0.=0 veya A = V = 1 veya AUU=U Tümleyen (Complementary) kuralı 0. =0 veya =U 1 V =1 veya U = A U A = U A A = De Moran s Kanunları () = V veya (A B) = A U B Involution kanunu ( V ) =. veya (AUB) = A B ( ) = veya (A U) ise (A ) =A Bazı Yararlı Dualite Prensipleri A (A B) = A çünkü; (A U) (A B) = A (U B) = A U = A dır. A (A B) = A çünkü; (A ) (A B) = A ( B) = A = A dır. Pro. Dr. Levent ŞENYAY III -9 Bilisayar Proramlama

10 Pro. Dr. Levent ŞENYAY III -10 Bilisayar Proramlama