Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Transkript

1 Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

2 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık Kapıları

3 Tanım Herhangi bir cebir sistemi bir sayı seti ve bir cebir operasyonu grubu üzerinden tanımlanır. Örneğin doğal sayılar için (N={0,1,2,3, } toplama işlemi bir cebir operasyonudur.

4 Tanım Cebir sistemi içinde bulunan operasyonların verilen sayı seti için aşağıdaki özellikleri sağlaması gerekir. Bu özelliklere postülatlar da denir. Kapalılık Birleşme Değişim Etkisiz eleman Tersini alabilme Dağılma

5 Boole Cebri Boole cebrinde sayı seti olarak ikilik sistemdeki 0 ve 1 sayıları kullanılır. Bu sayı setlerine B seti denir Cebir operasyonları için de ve. operasyonu ile veya + operasyonu kullanılır.

6 Postülatlar Kapalılık: x,y ϵb => x+y, x.y ϵb Birleşme (x.y).z=x.(y.z), (x+y)+z=x+(y+z) Değişim: x.y=y.x, x+y=y+x Etkisiz eleman: x.1=x, x+0=x Tersini alabilme: x.x =0, x+x =1 Dağılma: x.(y+z)=x.y+x.z, x+y.z=(x+y).(x+z)

7 Duality Özelliği Postülatlarda ve ilerleyen teoremlerde ispat edilen her eşitlik ve operasyonları veya ile değiştirildiğinde ve veya operasyonları ve ile değiştirildiğinde doğrudur. Yani x+yz = (x+y).(x+z) eşitliği doğru ise Duali olan x.(y+z) = x.y+x.z eşitliği de doğrudur

8 Temel Boolean Teoremleri

9 Teorem 1 x+x=x =(x+x).1 =(x+x).(x+x ) =x+x.x =x+0 =x x.x=x =x.x+0 =x.x+x.x =x.(x+x ) =x.1 =x

10 Teorem 2 X+1=1 X.0=0 Teorem 3 (x ) =x

11 Teorem 4 x+x.y=x =x.1+x.y =x.(1+y) =x.1 =x x.(x+y)=x =(x+0).(x+y) =x+0.y =x+0 =x

12 Teorem 5 x+x.y=x+y =(x+x ).(x+y) =1.(x+y) x.(x +y)=xyxy =x+y =x.y =x.x +xyxy =0+x.y

13 Teorem 6 x.y+x.y =x =x.(y+y ) =x.1 (x+y).(x+y )=x =x =x =x+y.y =x+0

14 Teorem 7 x.y+x.y.z=x.y+x.z =x.(y+y z) Teorem 5 =x.(y+z) =x.y+x.z (x+y).(x+y +z)=(x+y).(x+z) =x+(y.(y +z)) Teorem 5 =x+(y.z) =(x+y).(x+z)

15 Teorem 8: DeMorgan teoremi a + b = ab ab = a + b Teorem 9: Ortak Eleman ab + ac + bc = ab + ac ( a + b) + ( a + c) + ( b + c) = ( a + b) + ( a + c)

16 Logic sadeleştirme F = ab + ab + ab 1 ( ) = a + a b + ab 1 ( )( ) = b + ab = b + a b + b = b + a

17 Boole Fonksiyonları

18 Tanım Boole Fonksiyonları ( ) Tanım f a a a K a,,,, n Burada: f = 0 veya 1 değerli Boolean Fonksiyonu a1, a2, a3,.= Boolean Değişkenleri (0 yada 1) Mantıksal fonksiyonlar iki şekilde ifade edilebilir: Sonlu, ancak benzersiz olmayan bir Boole ifadesi. Benzersiz ve sonlu olan doğruluk tabloları

19 Boole Fonksiyonları Boole fonksiyonu veya ifade örnekleri: Notasyonlar: f fonksiyonun ismidir. (x,y,z x,y,z) giriş değişkenleridir dir. f(x,y,z x,y,z) = (x + y )z + x Değişmezler, herhangi bir giriş değişkeni ya da tümleyeni olabilir. Bu fonksiyon dört değişmeze e sahiptir : x, y, z, x. Sıralama önemlidir, DEĞİL işlemi en yüksek önceliğe sahiptir, sonra VE, daha sonra VEYA izler.

20 Boole Fonksiyonları Notlar: n değişken için 2 n giriş ihtimali vardır. 1. Her fonksiyonun 0 yada 1,olarak iki çıkış olduğuna göre n 2 tane değişken için tane farklı fonksiyon yazılabilir. 2 n n= 2 için, 4 farklı muhtemel fonksiyon vardır. n=3 n=3 için, 2 3 =8 giriş kombinasyonu ve 2 8 =256 fonksiyon kombinasyonu vardır x y F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F

21 Doğruluk tablosu Bir doğruluk tablosu bir fonksiyonun tüm olası giriş ve çıkışlarını gösterir. Her bir giriş değişkeni, 1 ya da 0 temsil ettiğini unutmayın. Sayı değerleri sonlu (1 ve 0) olduğundan dolayı, doğruluk tabloları sonludur. n değişkenli bir fonksiyon 2 n olası giriş kombinasyonu vardır. Girenler ikili düzende sıralanmıştır bu örnekte 000 dan 111 e. A B C AB A C AC F F = A B + AC + A C

22 Boole Fonksiyonunun Mantık Kapıları ile Gerçeklenmesi

23 Bir Fonksiyonun Tümleyeni Bir fonksiyonun tümleyeninin çıkışı orijinal fonksiyonun çıkışı 0 iken 1 ve 1 iken 0 olur. Doğruluk tablosunda fonksiyon sütunundaki 0 ları 1 ile 1 leri de 0 ile değiştirmemiz yeterlidir. f(x,y,z)= x(y z + yz) x y z f(x,y,z) x y z f (x,y,z)

24 Cebirsel Bir Fonksiyonun Tümleyeni DeMorgan kanunu, fonksiyonların tümleyenini bulmak için kullanılır. f(x,y,z) = x(y z + yz) f (x,y,z) = ( x(y z + yz) ) [her iki taraf tümleyeni] = x + (y z + yz) [ çünkü (xy) = x + y ] = x + (y z ) (yz) [ çünkü (x + y) = x y ] = x + (y + z)(y + z ) [ çünkü (xy) = x + y, ikikere] Ayrıca fonksiyonun dual alıp, ve sonra her değişmezin tümleyeni alabilirsiniz Eğer f(x,y,z x,y,z) = x(y z y z + yz) the dual of f is x + (y + z )(y + z) sonra her bir değişmezin tümleyenini al x + (y + z)(y + z ) böylece f (x,y,z x,y,z) = x + (y + z)(y + z )

25 Kanonik ve Standart Formlar Çarpımlar Toplamı (SOP) Toplamlar Çarpımı(POS)

26 Standart Formlar SOP & POS SOP: VE li terimlerinin toplamı formundaki Boole fonksiyondur Örnek: F(A,B,C,D)=A.B.C+B.D +A.C.D Değişmezler (Çarpım terimi) POS: VEYA lı terimlerin çarpım formundaki Boole fonksiyondur. Örnek: F(A,B,C,D)=(A+B +C).(B +D ).(A +C+D )

27 Minterm: Kanonik SOP Formu Fonksiyondaki her bir değişkenin ya kendisini ya da tersini içeren bir çarpım terimidir. (Bütün değişkenler bulunmalıdır) Kanonik SOP formu Sadece mintermlerin toplamından oluşan fonksiyon formudur. Sayı A B C Minterm Notasyon A B C m A B C m A BC m A BC m AB C m AB C m ABC m ABC m7 Mintermler doğru olduğunda 1 e eşit olurlar m i deki i ikili kodun ondalık eşdeğeridir (a,b,c)

28 Kanonik SOP Formu:Örnek F ( A, B, C) = ABC + ABC + ABC Bu şekilde ifade edilebilir : m 1 +m 4 +m 5 (,, ) m( 1,4,5 ) F A B C = Doğruluk tablosu A B C F Nt m m m m m m m m7 m1 m4 m5 = = = ABC ABC ABC F i bulun Doğruluk tablosundaki bütün sıfırlar

29 KanoniK POS Formu Maxterm Fonksiyondaki her bir değişkenin ya kendisini ya da tersini içeren bir toplam terimidir. (Bütün değişkenler bulunmalıdır) KanoniK POS Formu Sadece maxtermlerin çarpımından oluşan bir fonksiyon formudur. Sayı A B C Maxterm Notasyon A+B+C M A+B+C M A+B +C M A+B +C M A +B+C M A +B+C M A +B +C M A +B +C M7 Maxtermler doğru olduğunda 0 a eşittir.

30 Kanonik POS Örnek F = ( A + B + C)( A + B + C)( A + B + C) Yada kısaca: F=M 1.M 6.M 2 F A B C = (,, ) M ( 1,2,6 ) Doğruluk Tablosu F yi bul A B C F Nt M M M M M M M M7 M1 = A + B + C M 2 = A + B + C M 6 =A+B+C Doğruluk tablosundaki 1 ler Maxtermler mintermlerin tümleyenidir.

31 SOPPOSPOS F=M 1.M 6.M 2 =m 0 +m 3 +m 4 +m 5 +m 7 A B C F # F(A,B,C)= (1,2,6) F(A,B,C)= (0,3,4,5,7)

32 SOP fonksiyonunu kanonik olmayan formdan kanonik forma dönüştürme a.1=a ve x+x =1 teoremlerini kullanarak herhangi bir çarpım grubundaki eksik değişkenin kendisi+kendisi ile çarparak grubu genişletebiliriz Örnek: Aşağıdaki fonksiyonu kanonik SOP formuna dönüştürün F(A,B,C)=A B +ABC +BC A B C F Minterm A B C A B C A BC F(A,B,C)=A B (C+C )+ABC +BC(A+A ) F(A,B,C)=A B C+A B C +ABC +ABC+A BC A BC AB C AB C ABC ABC

33 POS fonksiyonunu kanonik olmayan formdan kanonik forma dönüştürme a+bc=(a+b)(a+c) ve a.a =0 teoremlerini kullanırız Herhangi bir toplam grubundaki eksik terimleri kendisi.kendisi çarpımı ile toplayarak genişletiriz. Örnek: Aşağıdaki fonksiyonu kanonik POS a dönüştürün F(A,B,C)=(A +B )(A+B+C )(B+C) F(A,B,C)=(A +B +C.C )(A+B+C )(A.A +B+C) A B C F Maxterm A+B+C A+B+C A+B +C A+B +C A +B+C A +B+C A +B +C A +B +C F(A,B,C)=(A +B +C) (A +B +C )(A+B+C )(A+B+C) (A +B+C)

34 Diğer Logic Kapılar İki adet değişken için 16 adet değişik fonksiyon yazılabilir. Bu fonksiyonların doğruluk tabloları aşağıda gösterilmiştir

35 Logic Fonksiyonlar Fonksiyon Sembol İsim Tanım F0=0 Null Sabit 0 F1=x.y x.y VE (AND) X VE Y F2=x.y x/y İnhibisyon (İse) Y 0 ise X tir F3=x Transfer X F4=x.y y/x İnhibisyon (İse) X 0 ise Y dir F5=y Transfer Y F6=x.y +x.y x y XOR X=y ise 0 dır F7=x+y x+y VEYA (OR) X VEYA Y F8=(x+y) x y VEYA (NOR) VEYA nın değili F9=x.y+x.y (x y) XNOR, Eşitlik x=y ise 1 dir F10=y y' Tersi Y değil F11=x+y x y İmplikasyon (İse) Y 1 ise X tir F12=x x' Tersi X değil F13=x +y x y İmplikasyon (İse) X 1 ise Y dir F14=(x.y) x y VE (NAND) VE değil F15=1 Identity Sabit 1

36 Logic Kapılar 1

37 Logic Kapılar 2

38 Çoklu girişe genişletme

39 Çoklu girişe genişletme

40 Çoklu girişe genişletme

41 Pozitif ve Negatif Logic