7. İLERLEYEN DALGALAR

7. İLERLEYEN DALGALAR Dalga, en basit anlamda; titreşim enerjisinin yayılması olarak tanımlanabilir. Günlük yaşantımızda her zaman karşılaştığımız su dalgaları, ses dalgaları, ışık dalgaları, radyo dalgaları vardır. Daha sonra kuantum fiziğinde göreceğiniz gibi bir elektron demeti veya atomlardan daha küçük parçacıklar da bir dalga gibi davranırlar. Dalgaların Sınıflandırılması Dalga hareketini su dalgaları, ışık dalgaları ve ses dalgaları olarak sıralarken, dalgaları geniş fiziksel özelliklerine göre sınıflandırdık. Fakat dalgalar başka şekillerde de sınıflandırılabilirler. 1- Dalgalar yayılma ortamlarına göre ikiye ayrılır. a) Elektromanyetik dalgalar Elektromanyetik dalgalar boşlukta ve maddesel ortamda yayılabilirler, yani titreşim enerjisinin yayılması için, maddesel bir ortama gerek yoktur. Tüm elektromanyetik dalgalar boşlukta aynı hızla (c) hareket ederler. Elektromanyetik alanlarda titreşen fiziksel nicelik birbirine dik elektrik ve manyetik alan vektörleridir. b) Mekanik dalgalar Yayılması için bir maddesel ortam gerektiren dalgalara mekanik dalgalar denir. Yani mekanik dalgalar titreşim enerjisinin belirli bir maddesel ortam aracılığıyla taşınması durumunda meydana gelirler. Örneğin su dalgaları, ses dalgaları, ipte ilerleyen dalgalar v.b. gibi. Mekanik dalgalar esnek ortamın denge konumu etrafında salınması sonucu oluşur. Ortamın içinde birbirlerine komşu noktalar arasındaki esneklik kuvvetinden dolayı etki, bir noktadan diğerine aktarılır. Ortam bir bütün olarak hareket etmez, fakat bazı bölümleri sınırlanmış yollar boyunca salınma hareketi yaparlar. Örneğin su dalgaları, su yüzeyindeki bir cisme ulaştığı anda, cismi harekete geçirir. Yani enerjisini cisme aktarırlar. Sonuç olarak mekanik dalgalar maddenin kendisi yer değiştirmeden hareketin yer değiştirmesi sonucu oluşurlar ve enerjinin madde içinde bir noktadan diğerine iletilmesini sağlarlar. Bu nedenle mekanik dalgaların iletilebilmesi için mutlaka bir maddesel ortam olmalıdır. Mekanik dalgaların hızı, ortamın esneklik özelliğine bağlıdır. Bu bölümde mekanik dalgalar incelenecektir. 2. Dalgalar yayılma ve titreşim doğrultularına göre ikiye ayrılır. a) Enine dalgalar Eğer dalgayı taşıyan ortam parçacıklarının hareketi, dalganın ilerleme (yayılma) yönüne dik ise, bu dalgalara enine dalgalar adı verilir. İpteki dalga ve elektromanyetik dalgalar enine dalgalara örnek verilebilir. Örneğin, gerilim altındaki düşey bir sicim bir ucundan tutularak ileriye ve geriye doğru salındırılırsa enine dalgalar, sicim boyunca aşağıya doğru ilerler. 1

b) Boyuna Dalgalar Eğer mekanik dalgayı taşıyan parçacıkların titreşim doğrultusu dalganın yayılma doğrultusu ile aynı ise bu dalgalara boyuna dalgalar denir (ses dalgası gibi). Örneğin, gerilim altındaki düşey durumdaki helezon yay, bir ucundan tutularak yukarıya ve aşağıya doğru gerilip bırakılırsa boyuna dalgalar yay boyunca hareket ederler. Gaz içindeki ses dalgaları da boyuna dalgalardır. Bazı dalgalar ise, hem enine hem de boyunadır. Örneğin su yüzeyindeki dalgalarda su parçacıkları, su dalgaları hareket ettikçe ileri geri ve yukarı aşağı hareket ederek eliptik yörüngeler izlenirler. Hem enine hem boyuna dalga 3. Yayılma boyut sayısına göre dalgaları üçe ayırabiliriz. a) Bir boyutlu dalgalar ( Yay ) Sicim ve yay boyunca hareket eden dalga tek boyutludur. b) İki boyutlu dalgalar ( Su ) Havuzdaki durgun suya bir çakıl taşının düşmesi ile suyun yüzeyinde oluşan dalgalar iki boyutludur. c) Üç boyutlu dalgalar ( Işık, ses ) Küçük bir kaynaktan radyal yönde yayılan ses dalgaları veya ışık dalgaları üç boyutludur. Dalga Atması (Dalga Pulsu): Dalgalar, hareketi ileten ortam parçacıklarının dalganın yayılma süresi içindeki davranışlarına göre de sınıflandırılırlar. Örneğin, gerilmiş ipin bir ucunu bir miktar yukarı doğru kımıldatırsak ip boyunca ilerleyen bir atma meydana getirmiş oluruz. Sicimi oluşturan her parçacık darbe ulaşıncaya kadar hareketsizdir, darbeyi hissettiği anda kısa bir süre içinde hareket eder ve sonra tekrar durur. Eğer sicimin ucunu ileri geri hareket ettirmeye devam edersek sicim boyunca ilerleyen bir dalga katarının oluşmasını sağlarız. 2

Periyodik Dalgalar: Fiz 217 Bölüm 7a Prof. Dr. Leyla Yıldırım 03.12.2012 Bir kaynak eşit zaman aralıkları ile eşit dalgalar üretiyorsa oluşan dalgalara periyodik dalgalar denir. Eğer ipteki atma hareketi periyodik ise, periyodik dalga katarı meydana gelir. Dolaysıyla sicimdeki her bir noktanın hareketi periyodiktir. Periyodik dalgaların en çok karşılaşılanı, basit harmonik dalgalardır. Dalga Cepheleri: Üç boyutlu bir atma düşünelim. Verilen bir anda aynı etki altında kalan noktalardan geçen bir yüzey tanımlayabiliriz. Zaman ilerledikçe bu yüzey atmanın nasıl yayıldığını gösterecek şekilde hareket eder. Periyodik dalga için, hareketin fazı ile aynı fazda olan noktalardan geçen yüzeyler çizerek, Bu düşünceyi genelleştirmek mümkündür. Bu yüzeylere DALGA CEPHELERİ adı verilir. Yandaki şekilde bir nokta kaynağın küresel dalga cepheleri çizilmiş ve her birine sırasıyla W 1, W 2, W 3, W 4 isimleri verilmiştir. Bir dalga cephesinin üzerinde tüm noktalarda geçen dalgaların fazı birbirine eşit olduğu gibi birbirini tekrarlayan dalga cepheleri üzerindeki fazlar da aynıdır. Bir faz için kendini tekrarlayan dalga cepheleri arasındaki uzaklık dalganın dalga boyuna eşit olur. Eğer ortam homojen ve izotropik ise dalganın yayılma yönü daima dalga cephesine dik olan çizgiye IŞIN adı verilir. Şekilde P, Q ve R olarak isimlendirilmiş olan çizgiler ışınları gösteriyor. Düzlem Dalgalar: Eğer etkiler bir yönde yayılıyorsa, dalgalara DÜZLEM DALGALAR denir. Dalga cepheleri düzlemlerdir ve ışınlar birbirine paralel düzgün doğrulardır. Küresel Dalgalardır: Bu durumda etki, dalganın noktasal kaynağından çıkarak bütün yönlere yayılırlar. Dalga cepheleri küre yüzeyleridir. Işınlar noktasal kaynaktan çıkan radyal yöndeki çizgilerdir. Böyle dalgalara KÜRESEL DALGALAR denir. İLERLEYEN DALGLAR ve NORMAL MODLAR Bir ucu sabit bir ipin diğer ucunun istenilen mod frekansında basit harmonik hareket yapacak şekilde düşey olarak titreştirilerek belli bir modu elde edilebilir. Kararlı durum hemen ortaya çıkmaz. İlk olarak, ip boyunca ilerleyen bir dalga oluşur. Bu dalga her hangi bir anda in sinüzodial bir foksiyonudur (Şekil-1a). Bu dalga ipin bağlı ucuna ( ) ulaştığı zaman yansıma olayı ortaya çıkar ve ipin üzerindeki herhangi bir noktanın hareketi iki zıt yönde hareket eden dalgaların bileşkesi şeklinde olur (Şekil-1b). 3

Daha sonra yansıyan dalga dışarıdan titreştirilen uca (sürülen uca) ulaştığı zaman eğer frekans ( ), ipin uzunluğu ( ), ipin birim uzunluk başına kütlesi ( ) ve gerilme kuvveti ( ) ile ilişki içindeyse ip üzerinde tam olarak istenilen modda bir duran dalga oluşacaktır (Şekil-1c). Bundan sonra ip bir normal mod karakteristiğinde titreşmeye devam eder. Yani her bir nokta BHH yaparak enine titreşir ve belli düğüm noktaları sürekli olarak durgunluğunu muhafaza eder. (Şekil-1d). Dış kuvvet tarafından gerekli enerjinin sağlanması ile bu şekilde bir normal mod meydana geldi mi, artık 'daki uç kararlılığını korur. Şekil-2'de üç kararlı mod şematik çizimi ve deneysel fotoğrafları verilmiştir. Şekil 1. Duran dalga, ortamda ilerlemek yerine, enerjisi belli bir bölgede kalan dalgadır. Zıt yönlerde ilerleyen iki dalganın üst üste gelmesiyle herhangi bir ortamda duran bir dalga oluşabilir. Bir ortamda ilerleyen dalga bir sınıra geldiğinde, geliş yönüne doğru geri yansır. Bunu sonucu olarak ilerleyen bir dalga treni sabit bir sınıra çarptığında, yansıyan dalga gelen dalga ile üst üste binerek (süperpozisyon) ortamda bir duran dalga oluşturur. Genliği sıfır olan noktalar (düğüm noktaları) durgun olduklarından, toplam dalgaya duran dalga adı verilir. Şekil 2. Bir duran dalganın oluşumu. (Node=düğüm, Antinode=karın) 4

Şekil-3 Şekil 3 de görüldüğü gibi ip üzerinde oluşan duran dalga deseninin her biri bir normal mod olarak adlandırılır. Gerilmiş bir ipin normal modlarının analizi daha önceki konularda verilmişti. Her iki ucu bağlı uzunluğundaki bir ipin, sonsuz sayıda normal moda sahip olabileceğini ve mod şekillerinin ifadesi ile verilmişti. Burada, ( ) ( ) (7.1) ( ) (7.2) dir. Burada ( ) dalganın ilerleme hızı ve bir tam sayıdır ve sürekli bir ip için birden sonsuza kadar değer alır, sistemin normal mod numarasını göstermektedir. Şimdi Denklem (7.1) i değişik bir biçime ifade etmeye çalışalım: ( ) [ ( ) ( )] Bu durumda, ipin enine titreşimleri için normal mod aşağıdaki ifade ile tanımlanır. ( ) ( ) ( ) (7.3) yerine Denklem (7.2) de verilen ifade kullanılırsa, ( ) [ ( )] [ ( )] (7.4) şeklinde yazılabilir. Burada daha önce de tanımlandığı gibi, dalganın ilerleme (yayılma) hızı için şeklinde karakteristik hız tanımlaması yapılabilir. İki ucu bağlı bir ip üzerinde oluşan mod için olduğunu hatırlayalım. Burada niceliği bu sinüs dalgasının dalga boyudur. Bu durumda Denklem (7.4) yeniden düzenlenirse ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) (7.5) 5

yazılabilir. Bu ifade, ekseni üzerinde zıt yönlerde ilerleyen iki sinüs dalgasının toplamını ifade eder. Denklem (7.5) de verilen ifadede sağdaki birinci terimi inceleyelim. Bu terim, ( ) [ ( )] (7.6) şeklinde de yazılabilir. Şimdi ve nin belli değerlerine karşılık gelen nin herhangi bir değerine dikkatimizi yoğunlaştıralım. Zamanın den kısa bir süre sonra ( ) nin aynı değeri nerede alabileceğine bakalım. Yaklaşık yer değiştirme ise ise ( ) ( ) olmalıdır (Şekil 4). Bu durumda Denklem (7.6), [ ( )] ( [( ) ( )]) şekline dönüşür. Bu ifadeden hareketle ve değerlerinin, anında ifadesi ile birbirlerine bağlı oldukları anlaşılır. Yani, Şekil 4. Pozitif x yönünde ilerleyen dalganın ve anındaki görüntüsü dir. Bu ifade bize, Denklem (7.5) in sağ tarafındaki birinci terimin pozitif yönünde hızı ile hareket eden bir dalgayı temsil ettiğini gösterir. Benzer şekilde ikinci terim ise ( ) [ ( )] (7.7) negatif yönünde hızı ile hareket eden bir dalgaya karşılık gelir. BİR YÖNDE İLERLEYEN DALGALAR Bundan önceki kesimde bir ipin titreşimlerinin bir normal modunun, hareket yönleri farklı olmak üzere birbirinin tamamen aynısı olan iki ilerleyen sinüs dalgasının basit toplamı olarak verildiğini görmüştük. Şimdi bir ucu sabit ve toplam uzunluğu ( ) dalga boyu ( ) ile karşılaştırıldığında oldukça büyük olan gerilmiş bir ipi göz önüne alalım. İp üzerinde kolayca dalga oluşturmak için gerilmiş olması gerekir. Aynı zamanda bağlı uçtan yansıma etkisi başlamadan yeterince gözlem zamanı gerekir. Bu nedenle ip uzunluğu büyük seçilmelidir. ucundan meydana getirilen çok sayıda titreşimden sonra oluşan dalganın sağa doğru ilerlemesi Şekil 5 de gösterilmiştir. Şekil 5. noktasından itibaren sağa doğru ilerleyen dalga, ( ) [ ( )] (7.7) 6

ifadesiyle verilir. Bu dalganın meydana getirilmesi belli bir frekansı ( ) ve genliği ile ipin sol ucunun ( noktası) BHH yapacak şekilde aşağı-yukarı titreştirilmesiyle olur. noktasında (7.7) ifadesi ( ) [ ( )] ( ) ( ) olur ( ). Herhangi bir anda ( ) ipin görünümü ( ) [ ( )] [ ] (7.8) ifadesine uyar. Burada dalganın bir anlık görünümünü belirleme amacına yönelik sabit bir açıdır. İpin daki ucu anına kadar durgun, ile arasında sinüzoidal olarak titreşip, anından sonra yeniden durgun kalması durumunda ipin görünümü ve noktaları arasında sınırlandırılmış bir sinüs dalga katarı şeklinde olacaktır (Şekil 6). t 2 t 1 Şekil 6. Belli bir bölgeye sıkışmış dalga katarı. İp üzerinde noktasında çok uzaklarda dalga katarının ön ucu de titreşime başlaması, dalga katarının arka ucu de titreşimin bitmesine karşılık gelir. Böylece ( ) ifadesi yazılabilir. Bu durum, dalganın yayılması ile ilgili oldukça önemli bir sonucu göstermektedir. Gerçekte; sabit hızı ile ip boyunca dalganın yayılması, belli bir noktadaki uzanımdaki değişimin, göz önüne alınan herhangi bir zaman aralığında başka bir noktaya taşınması anlamına gelir. Şekil 7 da ipin sol ucuna yakın bir kısmının şeklini bir periyotluk toplam zaman için 1/4 ü aralıklarla gözteriyor. Dalga şekli düzgün olarak sağa doğru ilerlemektedir. Dalga hareket ettikçe, ip üzerindeki her nokta denge konumu etrafında basit harminik hareketle aşağı-yukarı salınır. Bir sinüzoidal dalga bir ortamdan geçerken, ortamdaki her parçacık aynı frekansla basit harmonik hareket yapar. Bu durumda +x ekseni yönünde v hızı ile ilerleyen dalga fonksiyonu dalga boyuna sahip bir ( ) [ ( )] ( ) ifadesi ile verilir. Şekil 7 7

DALGA ve PARÇACIK HAREKETİ Fiz 217 Bölüm 7a Prof. Dr. Leyla Yıldırım 03.12.2012 Şekil 7 ve 8 de verilen İp boyunca enine bir dalganın hareketini incelersek, dalga yatayda sağa doğru ilerlerken ip üzerindeki herbir nokta düşey eksende yukarı aşağı yönde titreşim hareketi yapmaktadır. Parçacığın titreşim doğrultusu dalganın ilerleme doğrultusuna diktir. Titreşim doğrultusu Dalganın ilerleme yönü Şekil 8 Dalga boyu ( ), bir tepe ile bir sonraki tepe veya bir çukur ile sonraki çukur ya da herhangi bir nokta ile bir tur sonra o noktaya denk gelen nokta arasındaki mesafedir (aynı fazlı noktalar arası mesafedir). Dalga deseni (ortam değişmediği sürece) sabit sürati ile hareket eder ve bir periyotluk ( ) zamanda bir dalga boyu ( ) kadar ilerler. Buna göre dalganın ilerleme sürati veya olduğu için (periyodik dalga için) dir. Yani dalganın ilerleme sürati dalga boyu ve frekansın çarpımına eşittir. Frekans periyodik dalganın tümünün bir özelliğidir çünkü ipin tüm noktaları aynı frekansla salınır. Dalga sürati ortamdan ortama değişir ve o ortamın mekanik özellikleri tarafından belirlenir. DALGA DENKLEMİ: Şimdi ( ) [ ( )] ifadesi ile verilen bir boyutta ilerleyen dalganın denklemini yazalım. Bu diferansiyel denklem, ve e göre yer değiştirmesinin parçalı türevleri arasında bir ilişki olacaktır. Bir yönde ilerleyen dalgaların yer değiştirme ifadesinden, [ ( )] ve [ ( )] ifadeleri elde edilir. Bu dalganın diferansiyel denklemini, şeklinde yazabilir miyiz? Bunu yazmamızı engelleyen herhangi bir sebep yoktur. Fakat yazılan ifade sadece pozitif yönünde ilerleyen dalgalara uygulanabilir. Negatif yönünde ilerleyen dalgaların yer değiştirme ifadesinin, ( ) [ ( )] şeklinde olduğunu biliyoruz. Bu ifadenin ve ye göre birinci türevi alınırsa elde edilir. Bu durumda diferansiyel denklem [ ( )] ve [ ( )] 8

olacaktır. İki yön için elde edilen denklemler birbirinden işaret olarak farklıdır. Bu farklılığın giderilmesi için, dalga fonksiyonlarının ikinci türevlerini alırsak, her hangi bir yönde hareket eden bir sinüs dalgası için geçerli olan aşağıdaki ifadeyi elde ederiz; ekseni yönünde ilerleyen dalga - ekseni yönünde ilerleyen dalga ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] (7.9) Bu ifadenin, 6. Bölümün başında bahsedilen gerilmiş ip ya da lineer geri çağırıcı kuvvetlere maruz kalan bir boyutta sürekli sistemlerin normal modlarını bulunmamıza yarayan hareket denklemi ile aynıdır. Denklem (7.9) sadece enine dalgalar göz önüne alınarak elde edildi. Benzer şekilde elastik bir çubuk boyunca ilerleyen boyuna dalgalar için ise ifadesini yazabiliriz. Özel Ortamlarda Dalga Hızlarının Hesaplanması: 1) Gerilmiş ipte (ya da tel) dalga hızı: a) lineer kütle yoğunluğuna sahip ipin luk bir kuvvetle gerildiğini farz edelim. Böyle bir ipte dalga hızı bağıntısı ile verildiğini biliyoruz. Soruda verilen sayısal değerleri kullanarak hız değerini hesaplayalım: b) Eğer olan bir halat aynı değerde bir kuvvetle gerilirse olacaktır. 2. Katı çubuklarda boyuna dalga hızı: Bir çubuğun uzunluğu boyunca hareket eden dalgaların hızı, Young modülü ve çubuğun yoğunluğu cinsinden ifadesi ile verilir. Aşağıdaki çizelgede bazı katı maddelerin Young modülü, yoğunlukları ve dalga hızları verilmiştir. 9

Tablo 7.1. Bazı maddelerin Young modülleri ve bu maddeler içinde ses hızları. Madde (N/m 2 ) x10 10 (kg/m 3 ) x10 3 (m/s) (m/s) Alüminyum 6 2.7 4700 5100 Granit 5 2.7 4300 5000 Kurşun 1.6 11.4 1190 1320 Nikel 21.4 8.9 4900 4970 Pyrex 6.1 2.25 5200 5500 Gümüş 7.5 10.4 2680 2680 Tabloda görüldüğü gibi hızlar birkaç bin m/s mertebesinde olup, hesaplanan ve gözlenen değerler arasındaki uyum da kötü değildir. 3. Sıvı dolu borularda ses hızı: Bir sıvının elastik özelliği, gazlarda olduğu gibi, bulk modülü ile karakterize edilir. Suyun hacmi, ( ) lik bir basıncın uygulanmasıyla %2.3 civarında azalır. Bu değer yaklaşık 2.2x10 9 N/m 2 lik bulk modülü verir. Suyun yoğunluğu dir. Bu durumda su içinde ses dalgasının hızı, olarak elde edilir. 4. Gaz ile dolu borularda ses hızı: Gazlarda ses hızının ile verildiğini önceki konuda biliyoruz. Burada olup tek atomlu gazlar için 1.67; iki atomlu gazlar için 1.40 olduğunu hatırlayalım. Hava yaklaşık iki atomlu gazlardan oluşmuştur. Havanın yoğunluğu alınabilir. Bu durumda havada ses hızı için ( ) elde ederiz. İdeal gazlarda ses hızı için ifadesinin kullanıldığını biliyoruz. Örneğin havada oda sıcaklığında ( ) ses hızı 10

ÜST ÜSTE GELME (Süperpozisyon): Gerilmiş bir ipin titreşimlerinin, ipin normal modlarının keyfi seçiminden oluşan üst üste gelmiş bir titreşim olduğunu görmüştük. Şimdi herhangi bir ortamda üst üste gelmiş iki dalganın durumunu inceleyelim. Bunun için önce dalga boyları az farklı iki dalganın genliklerinin eşit ve her ikisinin de pozitif yönünde hareket ettikleri oldukça basit ve temel durumu göz önüne alalım. Bu dalgaların ( ) [ ( )] (1.a) ( ) [ ( )] (1.b) ifadesi ile tanımlayabildiğimizi daha önce görmüştük. Bu iki dalganın toplamı bileşke yer değiştirmeyi verecektir. Böylece, ( ) [ ( )] [ ( )] (2) elde edilir. Her iki dalga aynı hızında seçildikleri için bileşke dalga da hızı ile hareket eder. Şekil 9'da dalga boyları birbirinden çok farklı olmayan iki ilerleyen dalganın üst üste gelmesi ile elde edilen toplam dalga deseni verilmiştir. Şekil 9. Üst üste gelmenin şekli alınarak rahat bir şekilde görülebilir. Bu durumda ( ) [ ( ) ( )] (3) yazılabilir. Bu şekil, 2. Bölümde gördüğümüz vuru (beat) şekline benzetmektedir. Böyle üst üste gelmiş dalgalarla ilgili çalışmalarda dalga boyunun tersine karşılık gelen ve dalga sayısı olarak isimlendirilen ( ) niceliğini ortaya atmak uygundur. Bu nicelik birim uzunluk başına düşen tam dalga boylarının sayısıdır (Şüphesiz tam sayı olması gerekmez). NOT: Birçok kitapta dalga sayısı şeklinde tanımlanır. (4) French'in kitabında olarak tanımlanmıştır. Biz yaygın kullanılan tanımını tercih edeceğiz. 11

Dalga boyu-frekans bağıntısında ve kullanılarak veya elde ederiz. Bu durumda (3) denklemi (periyodik dalga) (5) ( ) [ ] (6) olarak yazılabilir. Bunu ise ( ) ( ) ( ) (7) şeklinde yazılabilir. Modülasyon zarfının pikten pike uzaklığını D ile gösterelim, yazabiliriz, bu durumda ( ) olacaktır. Dalga boyları birbirine çok yakın ise ( ) yazabiliriz ( ) Şekil 10 da dalga boyları birbirine çok yakın iki dalganın toplamı ve D nin değerinin hesaplanması gösterilmiştir. Şekil-10. Dalga boyları yakın iki dalganın üst üste gelmesi. Şekilde ( ), alınmıştır. ( ) İki düğüm arasında yaklaşık 5 pik olduğu görülür.. Bir ip üzerinde üst üste gelmiş hareketli dalgalar, ipin birer ucunun aynı anda iki farklı frekans ve genlik ile uyarılması yoluyla elde edilebilir. Bu durum 1a ve 1b denklemleri ile tanımlanan yer değiştirmeler için 'daki durumu göz önüne alarak matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir. 12

( ) [ ( )] [ ( )] alalım, bu durumda ( ) [ ] yazabiliriz. Burada ve titreşimlerin açısal frekansını tanımlar. ( ) [ ] Bu ifade de açıkça vuru olayını temsil eder. Kaynak, ortamda konuma bağlı bir bozulma yaratırken, burada zamana bağlı bir bozulma elde edilir. Dalgaların üst üste gelmesi ses dalgaları ile oldukça güzel bir şekilde elde edilebilir. Şekil 11 de değişik müzik aletlerinin dalga şekilleri verilmiştir. Şekil 12 de trampet ve akustik gitar ile elde edilen ses dalgasının zamana ve frekansa göre değişim grafikleri verilmiştir. Şekil 11. Değişik müzik aletlerinden elde edilen dalga şekilleri. a) Fülüt, b) Klarnet, c) Obua, d) Saksafon 13

Dalga Atması (Puls) Fiz 217 Bölüm 7a Prof. Dr. Leyla Yıldırım 03.12.2012 Kısa süreli tek bir dalgaya atma (puls) denir. Tek bir atma şekil-13'deki gibi elin yukarı aşağı hızlı bir hareketi ile gerilmiş bir ip üzerinde oluşturulabilir. Şekil 13. Sağa doğru bir dalga atmasının hareketi. El bir uçtan ipi yukarı doğru hızla çeker. Son bölüm komşu bölümlere iliştirilmiş olduğundan bunlar da yukarı doğru bir kuvvet hisseder ve yükselme hareketine başlarlar. İpin birbirini izleyen bölümleri yükselirken dalga tepesi ip boyunca dışarıya doğru hareket eder. Bu esnada ipin ucu elle başlangıç pozisyonuna geri döndürülmüştür. İpin peşpeşe doruk pozisyonuna ulaşan bölümleri bitişik bölümlerden gelen gerilmeyle tekrar aşağı doğru çekilir. Dolaysıyla, ilerleyen bir dalga atmanın kaynağı, harekete geçirici bir silkeleme ve atmanın ilerlemesine neden olan da ipin bitişik bölümlerinin birbirlerine uyguladığı kuvvetlerdir. Diğer ortamdaki dalga atmaları da benzer şekilde oluşturulur ve dışarı doğru yayılır. Örneğin durgun bir havuza atılan çakıl taşının oluşturduğu atma da benzer şekilde oluşur ve ilerler. Atmanın hareketi süresince hızı sabittir. Böylece herhangi bir anda ip üzerinde sadece sınırlı bir bölgede bozulma vardır. Bu bölgenin önü ve arkası hareketsizdir. Eğer atma hareketini bozacak bir engele rastlanmamış işe hareketi süresince şeklini korur. Sabit Şekle Sahip Dalga Atmalarının Hareketi Sabit bir şekilde sahip bir atmanın soldan sağa doğru hareket ettiğini farz edelim. Burada ilerleyen bir dalga atmasını temsil etmek için Gaussian fonksiyonu seçeceğiz (Siz başka bir fonksiyon seçebilirsiniz). Gaussian fonsiyonu ( ) (1) şeklinde yazılabilir. Burada bir sabittir. Bu fonksiyonun grafiği Şekil 14'de verilmiştir. Şekil 14. 14

Burada Gaussian fonksiyonunun yüksekliği, ise genişliğinin ölçüsüdür. İki şeklin biçimi de aynıdır ancak sağdaki Gaussian kadar daha ileridedir. Başka bir deyişle yerine ( ) aldığımızda Gaussian fonksiyonu kadar sağa doğru ilerlemiş (kaymış) olur. Şimdi değişkenini ile değiştirelim. Burada zaman ise bir sabit olsun. Bu durumda ( ) ( ) yazabiliriz. Bu fonksiyon Gaussian şeklinde bir atmanın sağa doğru (Şekil-15) hızı ile hareketini temsil eder Şekil 15. ( ) ( ) Gaussian fonksiyonunun e göre değişiminin farklı zamanlarda çizimi. Zaman aralığı dir. Şimdi ( ) fonksiyonu ile tanımlı bir dalga düşünelim. Bu fonksiyonun anındaki değeri ( ) dir. Şekil-16'de ( ) fonksiyonun ve anındaki çizimi verilmiştir. Şekil-16. ( ) dalga fonksiyonu ile tanımlanan sağa doğru ilerleyen dalga. (a) ( ) ( ). (b) ( ). ( ) ile tanımlı dalga sağa doğru hızı ile, ilk biçimini koruyarak, ilerlemektedir. Bu özellik dalgalar için önemli bir karakteristiktir, yeni dalga biçimini koruyarak ilerler. 15

Negatif yönünde ilerleyen bir dalgayı ise ( ) fonksiyonu ile temsil edebiliriz. Bu fonksiyonun anındaki değeri ( ) dir. Şekil-17 'de ( ) fonksiyonun ve anındaki çizimi verilmiştir. Şekil-17. ( ) dalga fonksiyonu ile tanımlanan sola doğru ilerleyen dalga. (a) ( ) ( ). (b) ( ). İp üzerinde soldan-sağa ve sağdan sola ilerleyen iki dalga varsa ipin şeklini ( ) ( ) (3) ile tanımlamak mümkündür. Şimdi ( ) ( ) ( ) (4) ifadesini yeniden ele alalım ve bu fonksiyonun dalga denklemini sağladığını gösterelim. diyelim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ve olduğundan (5) olacaktır. Benzer şekilde ( ) ( ) ve 16

olduğundan Fiz 217 Bölüm 7a Prof. Dr. Leyla Yıldırım 03.12.2012 (6) olacaktır. (5) ve (6) eşitliklerinden (7) yazabiliriz. Benzer işlemleri ( ) fonksiyonu için de yapabiliriz ve (8) sonucunu elde ederiz. (7) ve (8) denklemlerinden ( ) ( ) (9) yazabiliriz. olduğuna göre (10) yazabiliriz. Bu sonuç ( ) ( ) fonksiyonunun dalga denkleminin bir çözümü olduğunu söyler. Sinüzoidal bir dalga için ( ) [ ( )] alabiliriz. Bu fonksiyonun (10) ile verilen dalga denklemini sağladığını gösterebilirsiniz. Dalga Atmalarının Üst Üste Gelmesi (Süperpozisyon) Bir ortamda zıt yönde hareket eden dalga atmaları karşılaştıktan sonra birbirlerini geçerek hareketlerine devam ederler. Bu olay bir üst üste gelme (süperpozisyon) olayıdır. Şekil-18'de bir ip üzerinde zıt yönde ilerleyen iki dalga atmasının değişik durumlar için davranışı gösterilmiştir. Biçimleri aynı ancak zıt işaretli dalga atmaları birbirlerini geçerken bir anda ip üzerinde sanki birbirlerini yok etmişler gibi düzgün bir şekil oluşmuştur. Biçimleri aynı iki pozitif işaretli atma birbirlerini geçerken bir anda ip üzerinde iki atmanın genlikleri toplanmış gibi davranır. Daha sonra dalga atmaları ilk biçimleri ile yollarına devam etmektedir. Sanki dalga atmaları hafızalarındaki bilgileri korumuş gibi davranmışlardır. Atmalar birbirlerinin içinden geçerken enine yer değiştirmeler birbirlerinin etkilerini azaltır veya arttırırken enine hızlar toplanır. Bu anda sistemin tüm enerjisi bu hızlardan kaynaklanan kinetik enerjidir. 17

Şekil-18. Zıt yönlerde hareket eden iki atmanın değişik durumlarda karşılaşması. Kırmızı soldan gelen, mavi sağdan gelen, yeşil ikisinin toplamını gösteren atma şekilleri. 18