BÖLÜM-2. Sabit katsayılı çizgisel homojen diferansiyel denklem örneği olarak

Transkript

1 BÖLÜM PERİYODİK TİTREŞİMLERİN ÜST ÜSTE GELMESİ (Süperpozisyon) Kütle-yay problemlerini geri çağırıcı kuvvetin sadece x ile orantılı olduğu durumlar için inceleyeceğiz, yani Hook yasasının ( ) geçerli olduğu durumu ele alacağız. Bu durumda geri çağırıcı kuvvet x 2 ye veya x 3 e bağlı değildir. İçinde x, ve gibi zamana göre türevlerinin yalnız birinci kuvvet terimlerinden oluşan denklemlere çizgisel (linear) diferansiyel denklem denir. Buna ek olarak denklemde x den bağımsız bir terim bulunmazsa denkleme homojen denir. Denklemde x in veya türevlerinin daha yukarı kuvvetleri varsa çizgisel olmayan (non linear) diferansiyel denklem denir. Çizgisel olmayan denklemlerin çözümü zordur. Ancak pek çok fiziksel durum için çizgisel denklemler yeterli bir yaklaşıklık sağlarlar. Biz bu ders kapsamında hemen hemen çizgisel denklemler içeren problemlerle uğraşacağız. Sabit katsayılı çizgisel homojen diferansiyel denklem örneği olarak (2.1) denklemini verebiliriz. Burada a,b,c ve d sabitlerdir. Çizgisel homojen diferansiyel denklemlerin çok önemli bir özelliği vardır: Herhangi iki çözümün toplamı da bir çözümdür. Oysa çizgisel olmayan bir diferansiyel denklemin ayrı iki çözümünün toplamı bir çözüm değildir. Çözümlerinin üst üste gelmesinin yine bir çözüm olması özelliği yalnız çizgisel denklemlere özgüdür. Böyle denklemlere uyan salınımlar üst üste gelme (süperpozisyon) ilkesine uyuyor denir. Homojen olmayan çizgisel denklemler de üst üste gelme ilkesine uyarlar.. 1

2 Burada üst üste gelme ilkesi için bazı özel durumları inceleyeceğiz. Şu anda sadece matematiksel bir problem olarak ele alacağız. Sonuçların fiziksel uygulanabilirliğine daha sonra bakacağız. Ancak bu kavramların iyi öğrenilmesi gerekir, ilerde gerektiği yerlerde bu bilgileri hazır olarak alıp kullanacağız Bir boyutta eşit frekanslı titreşimlerin üst üste gelmesi Tek boyutta x-ekseni doğrultusunda, aynı frekanslı iki basit harmonik hareketin üst üste gelmesini ele alalım. Bu iki BHH in aşağıdaki eşitliklerle tanımlı olduğunu kabul edelim. Burada ve genlikleri, ve faz sabitlerini ve açısal frekansı göstermektedir. Bunların cebirsel toplamı üst üste gelmeyi verir: Bu toplamı elde etmek için iki farklı yöntem kullanacağız. (2.2a) (2.2b) (2.3) Geometrik yöntem Yukarıdaki toplamı elde etmek için BHH nin dönme vektörü ile tanımlanmasını kullanabiliriz. Başka bir deyişle geometriden faydalanırız. ile temsil edilen BHH i vektörü ile, ile temsil edilen BHH i vektörü ile temsil edelim (Şekil-2.1) Şekil-2.1 Aynı doğrultuda iki BHH in geometrik yöntemle toplanması. 2

3 vektörünün x bileşeni için vektörünün x bileşeni için bileşke vektör için yazabiliriz. ile arasındaki açının OP 1 P taralı üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa eşitliği elde edilir. e eşit olduğu açıktır. (2.4) vektörü vektörü ile açısı yapar. Şekildeki OPH ve P 1 PH dik üçgenlerinden ve (2.5a) yazılabilir. Buradan (2.5b) yazılabilir. bileşke vektörünün x-ekseni üzerindeki izdüşümü (2.6) ifadesi ile verilir. Burada A genliğinin [ ] (2.7) ifadesi ile verildiğini tekrar hatırlayalım. Faz sabitinin de = 1 + verileceği açıktır. Eşitlik-2.4 ve 2.5 eşitlikleri kullanılarak açısı için ifadesini yazabiliriz. [ ] (2.8) Sonuç olarak bir cisim, frekansları aynı, genlikleri ve faz sabitleri farklı, aynı doğrultuda titreşim hareketi yapıyorsa bu iki hareketin üst üste gelmesini BHH in vektör temsilini kullanarak nasıl elde edileceğini görmüş olduk. Bileşke vektörün büyüklüğü (2.7) bağıntısı ile ve fazı ise (2.8) bağıntısı ile tanımlıdır. 3

4 2.1.3 Kompleks üstel fonksiyonların toplanması yöntemi Şimdi aynı problemi BHH in üstel kopleks fonksiyonla temsilini kullanarak ele alalım. vektörüne karşı kompleks uzayda kompleks vektörünü, vektörüne karşı kompleks uzayda kompleks vektörünü, yazabiliriz. Bu iki vektörün toplamını [ ] (2.9) şeklinde ifade edebiliriz. Parantez içindeki terimleri ele alalım terimi kompleks vektörünün t=0 anındaki değerine karşı gelir. terimi kompleks vektörünün t=0 anındaki değerine karşı gelir. Bu iki vektörün toplamı Şekil-2.2 da verilmiştir. Şekil-2.2. Kompleks düzlemde vektörünün gösterimi (t=0 anı) Bu şekil kullanılarak kompleks vektörü için (2.10) yazabiliriz. Bu durumda z kompleks vektörü için [ ] (2.11) yazabiliriz. Burada (2.12) olduğunu hatırlarsak 4

5 (2.13) sonucunu elde ederiz. Burada, A nın kadar saat ibrelerinin tersi yönünde döndürülmesinden; [ ] ise nin kadar döndürülmesinden elde edildiğine dikkat ediniz. z kompleks vektörünün reel bileşeni ile verilir. Kompleks üstel fonksiyon kullanılarak üst üste gelme olayını analiz etmek mümkündür. Kompleks fonksiyon kullanımı çok daha kolay olmaktadır. İleride bu yöntemi sık sık kullanacaksınız. Şekil-2.2 kullanılarak A genliği için [ ] (2.14a) veya [ ] (2.14b) şeklinde yazabiliriz. faz sabiti için ise (2.15) yazılabilir. Sonuç olarak eşitlikleri ile tanımlı iki BHH in üst üste gelmesinden oluşan bileşke hareket de BHH olup ifadesi ile temsil edilebilir. Burada A ve değerleri sırasıyla Eşitlik-2.14 ve Eşitlik-2.15 ile tanımlıdır. (2.16) Aynı doğrultuda titreşen, eşit frekanslı ve eşit genlikli titreşimlerin toplanması Şimdi üst üste gelen titreşimlerin frekanslarının ve genliklerinin eşit olduğu (A 1 =A 2 ) özel duruma bakalım (Şekil-2.3). 5

6 İki titreşim arasındaki faz farkını veya Şekil-2.3 ile gösterelim (2.17) (2.18) yazabiliriz. Şekil-2.3 den (2.19) yazılabilir. Bu durumda OP nin x-ekseni üzerindeki izdüşümü için (2.20) yazılabilir. Elde edilen bu sonuç iki benzer hoparlörün aynı sinyal üretecinden sinüzoidal olarak sürüldüğü ve bunların ses titreşimlerinin Şekil-2.4 de görüldüğü gibi uzakta bir noktadaki mikrofondan algılandığı durumda, bu çeşit üst üste gelme elde edilebilir. Eğer mikrofon OB çizgisi boyunca hareket ettirilirse faz farkı, O daki sıfır ilk durumdan itibaren düzenli bir şekilde artar. Eğer ses dalgalarının dalga boyu, iki hoparlör arasındaki uzaklıktan daha kısa ise, A bileşke vektörünün genliği OB noktaları arasında birkaç noktada sıfıra düşer ve sıfırlar arasındaki noktalarda 2A 1 genliğine sahip maksimumlara ulaşır. Bu konu daha ileriki konularda ayrıntılı olarak incelenecektir. Laboratuvar dersinizde bu deneyi yapacaksınız. Benzer deneyi mikrodalga ve görünür ışık kaynakları kullanarak da gerçekleştirebilirsiniz. 6

7 Şekil-2.4. Aynı kaynakla (Osilatör) beslenen özdeş iki hoparlörden yayınlanan sinyallerin üst üste gelmesini incelemek ve ayrıca mikrofonun konumunun bir fonksiyonu olarak faz farkını algılamak için bir düzenek Tek boyutta frekansları farklı titreşimlerin üst üste binmesi ve vurular (beats) Bir doğru boyunca titreşen, genlikleri A 1 ve A 2, açısal frekansları 1 ve 2 olan iki titreşimin üst üste geldiği durumu düşünelim (Şekil-2.5). Şekil-2.5. Farklı frekanslı dönme vektörlerinin toplanması. Basitlik olması bakımından titreşimlerin faz sabitlerinin sıfır olduğunu kabul edelim. Bu iki titreşimi fonksiyonları ile tanımlayabiliriz. Bileşke vektörün OP uzunluğu, A 1 ve A 2 vektörlerinin toplamı ve farkı arasında bir değere sahip olacaktır. x-eksenindeki 7

8 yer değiştirmenin büyüklüğü Ox ise A 1 +A 2 ve sıfır arasında yer alır. 1 ve 2 arasında bir ilişki olmadıkça bileşke yer değiştirme, zamanın karmaşık bir fonksiyonu olacaktır. Eğer iki BHH nin frekansları birbirine çok yakın ise böyle üst üste gelmeler vuru (beat) olarak adlandırılır. Eğer eşit genlikli ( ) BHH lerin toplamını göz önüne alırsak vuru olayını kolayca analiz edebiliriz. Genliklerin eşit olma durumunda bileşke titreşim hareketi için [ ( )] ( ) (2.21) ifadesini yazabiliriz. Bileşke titreşimin frekansı frekanslarının ortalamasıdır yani titreşimin genliği modülasyonu denir. Bu nedenle olarak adlandırılır yani, yazabiliriz. Genlik değişimini belirleyen olacaktır. Bu değer iki titreşimin yazabiliriz. Bileşke frekansı ile değişir. Bu olaya genlik değeri modülasyon frekansı fonksiyonu -1 veya (2.22) +1'e eşit olursa bir tam vuru veya bir maksimum genlik meydana gelmiş olur. Bir saniyedeki vuruların sayısı (yani vuru frekansı) modülasyon frekansının iki katına eşittir. Bu durumda vuru ve modülasyon frekansları arasındaki ilişkinin (2.23a) veya (2.23b) şeklinde yazılacağı açıktır. Sonuç olarak vuru frekansı modülasyon frekansının iki katına eşittir. Ayrıca bir saniyedeki vuru sayısı ( ) frekanslar arasındaki farka ( ) eşittir. Burada f 1 >f 2 kabul edilmiştir. Şekil-2.6 da genlikleri eşit fakat frekansları f 1 = 700 Hz ve f 2 =600 Hz olan iki titreşimin üst üste gelmesi 8

9 ile elde edilen tipik bir vuru şekli verilmiştir. Şekil-2.6. Genlikleri eşit, f 1 = 700 Hz ve f 2 =600 Hz olan iki titreşimin üst üste gelmesinden oluşan vurular Aynı frekanslı birçok titreşimin üst üste gelmesi Bundan önce üst üste binmiş iki titreşim için anlatılan yöntemler çok sayıda titreşimin üst üste gelmesi için genelleştirilebilir. Aynı fekans, aynı genlikli ve birbirlerini eşit faz farkı ile takip eden çok sayıda BHH nin üst üste gelmesi optikte çok kaynaklı girişim etkilerinin analizinde ve diğer dalga olaylarının analizinde kullanılacaktır. Şekil-2.7 de genlikleri eşit (A 0 ) olan, birbirini aynı faz farkı ( ) ile takip eden aynı frekanslı N-tane dönme vektörünün üst üste gelmesini göstermektedir. Şekil-2.7. Birbirini aynı faz farkı ile takip eden eşit genlikli ve frekanslı dönme vektörlerinin üst üste gelmesi. Küçük şekilde OCB ikiz kenar üçgeninin OB kenarına orta dikmesi aynı zamanda OCB açısına ait açı ortayı göstermektedir. 9

10 Bileşen titreşimlerden birincisini temsil eden vektörünün x-bileşeni, (2.24) ve bileşke vektörünü temsil eden vektörünün x-bileşeni ise, (2.25) ifadesi ile tanımlanabilir Geometrik yöntem ile analiz Geometriden yararlanarak, vektörlerin düzgün bir çokgen (tamamlanmamış) oluşturmak üzere uç uca getirilmeleri şeklinde görebiliriz. Böylece çokgen C merkezli ve R yarıçaplı bir dairenin parçası olarak düşünülebilir (Şekil-2.7). Çokgenin köşeleri çember üzerindedir ve her biri A 0 genliğine sahip titreşimleri gösteren vektörlerin C noktasına göre yapmış olduğu açılar eşit ve dır. OCP toplam açısı ise N olacaktır. Buradan aşağıdaki eşitlikler yazılabilir: (2.26a) (2.26b) (2.26c) Aynı zamanda A bileşke vektörü ( ) ile birinci vektör ( ) arasındaki faz açısı için [ δ/2] [ ] (2.26d) eşitliği elde edilir. Eşitlik-2.26c ve 2.26d de verilen değerler Eşitlik-2.25 de kullanılarak bileşke vektörünün x bileşeni için [ ] (2.27) ifadesini yazabiliriz. Bu ifadeyi ileride kırınım ağını (ızgara) incelerken kullanacağız. 10

11 2.1.9 Aynı frekanslı birçok titreşimin üst üste gelmesinin kompleks gösterim yöntemi ile analizi Yukarıdaki problemi kompleks gösterimi kullanarak da analiz edebiliriz. x- ekseni boyunca eşit frekanslı, eşit genlikli, arda arda gelen dönme vektörleri arasındaki faz farkı ( ) aynı olan N-tane üst üste binmiş titreşimlerin toplamı (2.28) şeklinde yazılabilir. Bu toplamı aşağıdaki gibi kompleks vektörlerin toplamının reel bileşeni olarak da düşünebiliriz. z 1 = e i kısaltmasını kullanarak bileşke kompleks vektörü ( ) (2.29) şeklinde yazabiliriz. Burada parantez içindeki toplam bir geometrik seridir. Geometrik serinin toplamını hatırlayalım (2.30) Bu eşitliğin her iki tarafını r ile çarpalım Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkarırsak. (2.31) (2.32) sonucunu elde ederiz. Buradan toplamı için (2.33) ifadesini elde ederiz. Burada ve kısaltmaları yapıldığında, ( ) (2.34) elde edilir. Bu eşitliği biraz daha farklı düzenleyerek geometrik yöntemle elde 11

12 edilen sonuca benzetebiliriz: ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] burada dır. z nin x-bileşeni için elde edilir. Bu ifade daha önce Eşitlik-2.27 de elde ettiğimiz sonuç ile aynıdır. Ancak burada herhangi bir şekil çizmeksizin sadece cebirsel işlemler yapılarak sonuca ulaşılmıştır. Bu sonuca ulaşmanın daha kolay olduğuna dikkat ediniz. (2.35) Birbirine dik iki titreşimin üst üste gelmesi Şimdiye kadar bir boyutta üst üste gelmiş titreşimleri inceledik. Şimdi birbirine dik doğrultuda ilerleyen iki harmonik hareketin üst üste gelmesini tartışacağız. Böyle bir hareketi şekildeki gibi (Şekil-2.8) bir hava masasında gerçekleştirmek mümkündür (Bu deneyi Fiz. Lab-I dersinde yaptınız). Benzer deneyleri Fiz. Lab-IV dersinde osiloskop kullanarak da yapacaksınız. Şekil-2.8-Yatay düzlemde birbirine dik iki BHH in üst üste binmesini gerçekleştirecek deneysel düzenek. 12

13 Şekildeki dört yaya bağlı kütleyi biraz sağa ve biraz da yukarı çekip bırakırsak, kütle düzlemde x ve y doğrultusunda iki BHH hareketi yapar. Burada kütlenin x ve y eksenindeki yer değiştirme miktarının ifadeleri ile belirleyebiliriz. Burada 1 ve 2 sırasıyla x ve y doğrultusundaki hareketlerin açısal frekanslarıdır. Bu hareketi, dönme vektörü tekniğinin ikili uygulaması ile ifade edebiliriz. Bunu yapmanın yolu Şekil-2.9 da gösterilmiştir. (36a) (36b) Şekil-2.9.Birbirine dik olarak hareket eden BHH lerin üst üste gelmelerininin geometrik gösterimi. Yukarıdaki şekilde, yatay harekette açılar +x-ekseninden itibaren saat ibrelerinin tersi yönünde; düşey harekette açılar +y-ekseninden itibaren saat ibrelerinin tersi yönünde ölçüldüğüne dikkat ediniz. x-eksenindeki BHH, A 1 ile +A 1 arasında ; y-eksenindeki BHH ise A 2 ile +A 2 arasında olacaktır. İki farklı yönde ilerleyen hareketin fazları arasındaki ilişki ne olursa olsun, P noktasının hareketi her zaman dikdörtgen içinde sınırlıdır ve dikdörtgenin kenarları P 1 ve P 2 noktalarının x ve y yer değiştirmelerine teğettir. 13

14 İzlenecek yol aşağıda özetlenmiştir: Önce kenar uzunlukları x-ekseninde 2A 1 ve y-ekseninde 2A 2 olan bir dikdörtgen çizilir. C 1 merkezi düşey eksen üzerinde olan ve yarıçapı A 1 olan bir çember çizilir ( hareketini temsil için). C 2 merkezi yatay eksen üzerinde olan ve yarıçapı A 2 olan bir çember çizilir ( hareketini temsil için). Bu çemberlerin birincisi P 1 noktasının C 1 X yer değiştirmesini tanımlamak için; ikincisi ise P 2 noktasının C 2 Y yer değiştirmesini tanımlamak için kullanılır. Bu x ve y yer değiştirmesi birlikte O noktasına göre P noktasının herhangi bir andaki konumunu tanımlar. O noktası dikdörtgenin orta noktasıdır. İki yer değiştirme birlikte O orijinine göre P noktasının herhangi bir andaki konumunu tanımlar. Eğer 1 ve 2 orantılı değilse yani 1/ 2 oranı 1, 2, 3, veya 1/2, 1/3, 1/4, gibi değilse faz ve frekanslar hakkında fazla bir şey söylenemez Eşit frekanslı dik titreşimler Şimdi aynı frekanslı birbirine dik doğrultuda titreşen iki basit harmonik hareketin üst üste gelmesini ele alacağız: Burada (2.37a) (2.37b) (2.38) trigonometrik özdeşliği kullanılarak, (2.39a) (2.39b) yazabiliriz. (2.39a) eşitliğini ile ve (2.39b) eşitliğini ile çarpalım ve 14

15 taraf tarafa çıkaralım. [ ] veya (2.40a) elde ederiz. Benzer şekilde (2.39a) eşitliğini cos ile ve (2.39b) eşitliğini cos ile çarpalım ve taraf tarafa çıkaralım, (2.40b) eşitliğini elde ederiz. Eşitlik (2.40a) ve (2.40b) nin kareleri alınıp taraf tarafa toplanırsa (2.41) sonucu elde edilir. Bu ifade elipsin genel denklemidir. Şimdi faz farkının bazı özel durumları için analiz yapalım: Bu koşulda olacağından, (2.41) eşitliği şeklini alır. Buradan da (2.42) sonucu elde edilir. Bu durumda hareket doğrusal olup, Şekil-2.10a deki dikdörtgenin köşegeni boyunca BHH yapar. 15

16 Şekil-2.10a ii) Bu durumda cos = -1, sin = 0 olacağı için (2.41) eşitliği şeklinde yazılabilir. Buradan ( =, 3 ) sonucunu elde ederiz. Bu hareket, durumundaki harekete benzemektedir ancak bu sefer dikdörtgenin diğer köşegeni boyunca doğrusal BHH yapar (Şekil -2.10b) iii) = /2, 3 /2 Bu durumda (64) eşitliği Şekil-2.10b şeklini alır. Bu ifade, temel eksenleri x ve y eksenleri boyunca olan bir elipsin denklemidir (Şekil-10c). Burada = /2 durumu için elipsin saat ibrelerinin tersi yönünde, = 3 /2 durumu için ise saat ibreleri yönünde çizildiğine dikkat 16

17 ediniz. A 1 = A 2 = A olması durumunda bu elipsler A yarıçaplı çembere dönüşür. iv) = /4, 7 /4 Şekil-2.10c ve v) = 3 /4, 5 /4 Şekil-2.10d ve Şekil-10e Bunları elektromanyetik dalgaların kutuplanmasını incelerken kullanacağız. 17

18 Farklı frekanslı dik titreşimler: Lissajous eğrileri Farklı frekanslı birbirine dik BHH yapan bir cismin çizmiş olduğu yörüngelere Lissajous eğrileri denir. Bu ders kapsamında bu olayın ayrıntılarına girmeyeceğiz. Şimdi frekansları farklı iki dik hareketi (2.43a) (2.43b) şeklinde yazabiliriz. Bu iki denklemde t elimine edilerek x ve y arasında elde edilen ilişki yörüngeyi belirler. Açısal frekans oranına ( 1 / 2 ) ve iki titreşim arasındaki faz farkına ( = 1-2 ) bağlı olarak çeşitli yörünge şekilleri elde edilir. Örneğin, 2 =2 1 ve = /4 için Lissajous eğrisinin çizimi Şekil-2.11 de verilmiştir. Şekil-2.11 Lissajous şekillerden faydalanarak akustik ölçümlerde bilinmeyen frakansları tayin etmek mümkün olmaktadır. Hazır matematik programlarından yararlanarak Lissajous eğrilerini elde edebilirsiniz. Daha sonra size verilecek örnek problemleri incelemenizi öneririz. Şekil-2.12 da, fonksiyonları ile tanımlı birbirine dik iki harmonik hareketin toplamından oluşan çeşitli Lissajous eğrileri verilmiştir. Bu eğrilerin çiziminde alınmıştır. Her satırda frekanslar oranının ( ve her sütunda ise faz sabitinin ( ) farklı olduğuna dikkat ediniz. 18

19 Şekil Çeşitli Lissajous eğrileri. 19

20 ÖRNEK-1 Aşağıdaki ifadeleri [ ] formunda yazınız. a) b) ( ) c) d) ( ) (French-p2.1) Çözüm: a) ve bu değerleri yukarıdaki ifadede yerine yazalım, elde ederiz. Bunu ise [ ( ) ] şeklinde ifade edebiliriz. b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bu sonuç [ ( ) ] şeklinde yazılabilir. 20

21 c) Şekildeki dik üçgenden ve Yazabiliriz. Bu değerler verilen ifadede yerine yazılırsa sonucu elde edilir. Bu sonuç [ ] şeklinde ifade edilebilir. Burada dir. d) ( ) ( ) Burada a-şıkının sonucu kullanılırsa elde edilir. Bu değer yerine yazılırsa ( ) ( ) ( ) ( ) veya yazılabilir. ( ) ( ) [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] 21

22 ÖRNEK-2 Bir parçacık aynı frekanslı ve x-ekseni doğrultusunda üç BHH ye aynı zamanda maruz kalmaktadır. Eğer BHH lerin genlikleri sırasıyla 0,25, 0,20 ve 0,15 mm ve birinci ile ikinci BHH arasındaki faz farkı 45, ikinci ile üçüncü BHH arasındaki faz farkı 30 ise bileşke hareketin yer değiştirmesinin genliğini ve birinci BHH ye göre (genliği 0,25 mm olan) faz farkını bulunuz. (French, p2.2) Çözüm: BHH lerin bileşkesi aşağıdaki vektör diyagramı kullanılarak incelenebilir. OPR üçgeninde kosinüs teorimini kullanarak Buradan bulunur. Aynı üçgende kosinüs teoreminden yazabiliriz. Buradan veya bulunur. Benzer şekilde ORQ üçgeninden Buradan bulunur. Aynı üçgende kosinüs teoreminden yazabiliriz. Buradan veya bulunur. 22

23 A1 ile A arasındaki açıya dersek ( ) veya olur. Sonuç olarak A ve bulunur. ÖRNEK-3 Aynı doğrultuda iki titreşim hareketi 10πt ve eşitlikleri ile tanımlıdır. Vuru periyodunu bulunuz ve bir vuru periyodu için bileşke hareketin yer değiştirmesinin grafiğini çiziniz. (French-p2.3) Çözüm: Bileşke hareket için yazabiliriz. Burada ve olduğunu hatırlayınız. Verilen ifadelerden ve olduğu açıktır. Buradan vuru frekansı için ; bulunur. Vuru periyodu ise olur. Bileşke hareketin yerdeğişimi aşağıdaki şekilde verilmiştir. 2 1 y( t) t 23

24 ÖRNEK-4 Bir cisim aynı anda birbirlerine dik iki kuvvetin etkisinde eşit frekanslı titreşim hareketi yapıyor. Bu titreşim hareketleri ve eşitlikleri ile tanımlıdır. Lissajous eğrisini geometrik yöntemle çiziniz. Çözüm: Yatay hareketi temsil için yarıçapı ve düşey hareketi temsil için ise yarıçaplı çemberleri çizeriz. İki hareket arasında olduğuna dikkat ediniz. Bu nedenle çember-1 üzerinde kadarlık faz farkı aralıklarla noktalar işaretlemek şekli belirlemek için yeterlidir (Siz daha fazla örnekleme aralığı seçebilirsiniz). +x-ekseninden itibaren aralıklarla döneriz ve çember-2 üzerinde buna karşı gelen noktaları işaretleriz. Noktalara karşılıklı aynı numaralar veririz. Aynı numaraları noktalardan x-eksenine ve y-eksenine şekildeki gibi dikmeler ineriz. Bu dikmelerin kesiştiği noktalara da aynı numaraları veririz. Şekildeki dikdörtgen içerisine düşen bu noktaları sırası ile birleştirirseniz saat ibreleri yönünde çizilmiş elipsi elde edersiniz. Bu şekli daha önce analitik yöntemle de elde ettiğimizi hatırlayınız (Ders notlarına bakınız). 24

25 ÖRNEK-5 Bir cisim aynı anda birbirlerine dik iki kuvvetin etkisinde titreşim hareketi yapıyor. Bu titreşim hareketleri ve eşitlikleri ile tanımlıdır. a) Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous eğrisinin analitik ifadesini türetiniz. b) a=b=2 özel durumunda meydana gelecek Lissajous eğrisini geometrik yöntemle çiziniz. Çözüm: Titreşim hareketlerini tanımlayan eşitlikler: Burada ve buradan yazılabilir. eşitliğinden elde edilir ve ifadesinde yerine yazılırsa ( ) ( ) elde edilir. b) Lissajous eğrisinin şekli aşağıda verilmiştir (Geometrik yöntemle çizilmiş). 25

26 ÖRNEK-6 Birbirlerine dik iki titreşim, ve ifadelerine uymaktadır. Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous eğrisinin grafiğini aşağıda verilen şekilden yararlanarak, çiziniz. Çizimi şekil üzerinde gösteriniz. Şekildeki çemberler radyan lık eşit açılara bölünmüştür. Çözüm: 26

27 Not 1: 1. Çemberde seçilen açısına karşı 2. Çemberde alındığına dikkat ediniz. Şekildeki noktalar bu yöntemle elde edilmiştir. Şekildeki noktaları sırasıyla birleştirirseniz Lissajous eğrisini elde edersiniz. Not 2: Yatay teğete 2 nokta, düşey teğete 1 nokta değdiğine dikkat ediniz. Bu durum frekanslar oranına karşı gelir yani dir. Not 3: Lissajous eğrisini çizen yazılım programları vardır. Aşağıdaki şekil ve fonksiyonları mathcad programında kullanılarak çizilmiştir. 27