Kırılma Mekaniği Dr. Nusret MEYDANLIK The S.S. Schenectady split apart by brittle fracture while in harbor (1944) KIRILMA MEKANİĞİ - 3 Dr. Nusret MEYDANLIK Ocak-01 1 Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM) assumes a linear relationship between stress and strain. Case i.) linear elastic material response
Case ii.) nonlinear elastic response Case iii.) Elastic-plastic response where Elastic Plastic Fracture Mechanics (EPFM), for the most part, is based on Case ii.), assuming the structure is in a loading mode only, no unloading. A Ramberg- Osgood stress-strain curve is often employed. α, n, σ ys, and ε ys are constants used to fit experimental stress-strain data
σ xx K I = σyy = πr τ xy = 0 (.5) K I σ xx = σ yy = = πr σ ak. 1. Plastik bölge boyutu için ilk yaklaşım. r * p bulunabilir Çatlak ucundaki plastik bölge b ; (.5) eşitliklerine göre çatlak ucundaki gerilmeler r=0 için K nın değeri ne olursa olsun sonsuz olmaktadır. Bu çatlak ucu yarıçapının çok küçük (r 0) kabul edilmesinin bir sonucudur. Gerçekte metal malzemeler plastik deformasyona uğrayarak gerilmeleri sınırlarlar. Bu sınır da malzemenin akma dayanımıdır. Irwin (1961) düzlem gerilme halindeki bir levhada Tresca akma kriterini kullanarak θ=0 düzleminde plastik deformasyonun meydana geldiği en uzak noktanın çatlak ucuna mesafesini yani dairesel plastik bölge boyutunun yarıçapını (r p ) aşağıdaki gibi ; r p = 1 K π σ I ak. ve düzlem genleme için ise plastik gerilme yığılma faktörünü (C) ortalama =1.68 olarak hesaplamış ve çatlak ucunda plastik bir bölgenin oluşması nedeniyle, çatlağın kendi fiziksel boyutundan daha uzun boyutta bir çatlakmış gibi davrandığını göstermiştir. Ancak pratikte daha çok C= kullanılmasıyla, r p = 1 K 6 π σ I ak.
Plastik bölge b boyutu ve gerilme dağı ğılımı. a e Plastik bölge a e ; etkin çatlak uzunluğudur dolayısıyla Uzunluğu a olan bir dış çatlakta plastik bölge dışındaki elastik gerilme alanı, uzunluğu (a+r p ) olan bir elastik çatlaktaki gerilme alanına eşdeğerdir ve buna karşılık gelen gerilme şiddet faktörü de K * I = Cσ (a+ r ) p π Küçük k bölgede b akma hali Çatlaklı bir cisimde çatlak ucundaki akma ve plastik deformasyon, plastik deformasyon bölgesinin büyüklüğüne bağlı olarak büyük bölgede akma, küçük bölgede akma ve genel akma şeklinde üç ayrı sınıfta değerlendirilir. Plastik bölge yarıçapı r p ve K I in etkin olduğu bölgenin yarıçapı R olmak üzere, r p < R küçük bölgede akmayı, R< r p <W-a aralığı büyük bölgede akmayı, r p =W-a ise genel akmayı tanımlamaktadır. Çatlaklı bir cisimde lineer elastik kırılma mekaniği yaklaşımı, cisimde ancak küçük bölgede akma hali mevcutsa yapılabilir. Aksi takdirde K I in etkin olduğu bir bölge mevcut değildir, bir başka deyişle K I olarak tanımlanan bir parametre mevcut değildir. Plastik bölge büyüklüğüne bağlı olarak akma halleri.
σ z is strongly dependent on specimen thickness and is negligible in thin specimen (plane stress). Düzlem şekil değiştirme halinde efektif akma gerilmesi yaklaşık 3σ ak. olmakta yani malzeme relatif olarak gevrekleşmekte
Plastik bölgenin b şekli Daha önce dairesel olarak kabul edilen çatlak ucundaki plastik bölgenin gerçek şekil ve boyutları akma şartı sıfırdan farklı θ açıları için etüd edilerek elde edilebilir. Bir levhanın iç kısmında düzlem şekil değiştirme şartları mevcut olsa dahi levha yüzeyleri düzlem gerilme şartları altındadır. Levhanın dış yüzeylerine dik olarak etkiyen gerilmeler mevcut olmadığından buralarda σ 3 =0 dır. Eğer levhanın iç kısmında düzlem şekil değiştirme hali mevcut ise σ 3 gerilmesi levha yüzeyindeki sıfır değerinden levha içindeki 0.5(σ 1 +σ ) değerine doğru tedricen artar. Sonuç olarak plastik bölge levha yüzeyindeki düzlem gerilme boyutundan levha içindeki düzlem genleme boyutuna doğru tedricen küçülür. Bu durum Şekil de şematik olarak gösterilmiştir.
Şekil. Çatlak ucundaki plastik bölgenin görüntüsü. Yüzeyde düzlem gerime Düzlem şekil değiştirme
Practical application of linear mechanics to in design elastic fracture LEKM analizlerinin tasarımda kullanabilmesi için şu üç kriterin sağlaması gerekir. 1. Kullandığımız malzemenin kritik gerilme şiddet faktörünün (K Ic ) tespit edilmesi,. Yük taşıyan veya tasarlanan elemanda çatlakların yeri ve boyutunun saptanması, 3. Verilen yükleme şartı için gerilme şiddet faktörünün (K I ) hesaplanması. Deneysel olarak elde edilmiş kırılma tokluğunun (K Ic ) LEKM şartlarını sağlayan bir ortamda elde edildiği aşağıdaki kriterler ile kontrol edilir. 1. Tüm karakteristik boyutlar çatlak ucundaki umulan plastik bölge boyutundan en az 5 kat büyük olmalı;. Çatlağın hemen ucundaki bölgede düzlem şekil değiştirme şartı için numune kalınlığı plastik bölge boyutundan büyük olmalı Akma dayanımı σ ak. olan bir malzeme Mode I tipi yükleme için plastik bölge boyutu aşağıdaki gibi hesaplanabilir a W r p B r p K I.5 σ ak.
Elastik -Plastik Kırılma K Mekaniği i (EPKM) EPKM analizleri elastik rejimin ötesinde kırılma davranışını tanımlamak için kullanılan makroskobik analizlerdir. Eğer kırılma, cismin makro boyutlarında büyük oranda plastik şekil değiştirme ile ve yüksek enerjili olarak meydana geliyorsa bu tip kırılma olaylarının analizleri lineer elastisite teorisi ile yapılamaz. Çünkü artık burda elastik rejimde mevcut olmayan karmaşıklıklar mevcuttur. En önemlileri de, malzeme deformasyonundaki non-lineerlik ve büyük geometrik değişikliklerdir. Bundan başka çatlama başlamadan önce büyük oranda çatlak ucu kütleşmesi ve nihai kırılmadan önce kararlı çatlak ilerlemesidir ki gevrek malzemelerde çatlama başlangıcı ile kararsız çatlak ilerlemesi çakışır. Yük altında çatlaklı bir cisimde kırılma öncesi çatlak ucundaki plastik bölge çapı büyük bölgede akma şartlarına ulaşacak kadar büyürse Kısım.5 de belirtilen yaklaşımları yapmak bir başka deyişle, kırılma parametresi olarak K ve G yi kullanmak mümkün değildir. Bu durumda, bir başka deyişle elastik-plastik kırılma analizlerinde kırılma olayını karakterize eden farklı parametreler geliştirilmiştir. Bunlar, J-integral ve ÇUAM dır. Genellikle yüksek mukavemetli malzemeler LEKM nin esas uğraşı alanına girerken, orta ve düşük mukavemetli malzemelerin analizlerinde EPKM kullanılır. Diğer taraftan bu tür malzemelerde çatlamanın başlamasıyla, kararsız çatlak ilerlemesi aynı anda olmaz. Çatlama başladıktan sonra, çatlak bir miktar kararlı olarak ilerler ve malzeme, geometri ve yükleme şekline bağlı olarak yavaş (kararlı) çatlak ilerlemesinden sonra kararsız çatlak ilerlemesi meydana gelebilir (Şekil.15). Şekil.15. Sünek malzemelere ait tipik çatlak ilerlemesi davranışı.
1. J- Integral Enerji dengesi yaklaşımı esasına dayanan bir parametredir. İlk önce Rice (1968) iki boyutlu şekil değiştirme alanında çatlak ucunu saran bölgede elastik (lineer veya nonlineer) bir malzeme için çizgi integrali olarak aşağıdaki gibi tanımlamıştır. J-integralin tanımı. J burada; ε = Γ Wdx p i u x i 1 ds W = σ d (i,j= 1,,3); ij ε ij birim hacim başına genleme enerjisi, 0 s; yay uzunluğu, p i =n j σ ji ; gerilme vektörü bileşenleri, n j ; yörüngenin birim dış normal vektörünün bileşenleridir. Rice (1968) tarafından yapılan çalışmalarda tekil noktaları içinde bulundurmayan kapalı yörüngeler için J-integralinin sıfır olduğu gösterilmiştir. Bu sonuç kullanılarak JΓ = JΓ elde edilir ki burdan da J-integralin çatlak ucunu çevreleyen yola bağlı olmadığı, cismin dış sınırlarından başlayarak çatlak ucuna kadar giden tüm Γ yörüngeleri için aynı olduğu ve çatlak ucunu karakterize eden bir parametre olduğu ortaya çıkmıştır. Bundan sonra Begley ve Landes (197) birim kalınlıkta bir levhada çatlağın diferansiyel mertebede 'da' kadar ilerlemesiyle Γ yörüngesini birlikte taşıdığını göz önüne alarak, J.da nın malzemeden açığa çıkan toplam elastik enerjiyi simgelediğini göstermiştir J = 1 u B a Bir başka deyişle J nin çatlak ihtiva eden lineer veya nonlineer elastik cisimde elastik enerji boşalma hızına eşit olduğu görülmüştür. Halbuki lineer elastik halde bu değer G ye eşittir, o halde lineer elastik hal için ; J = G= el. K I / E ' elde edilir. Ancak elastik-plastik halde J elastik enerji boşalma hızına karşılık gelmez, çünkü J terimi içinde artık tersinir olmayan plastik genlemeler vardır. Gerçek mühendislik malzemelerinde de plastik şekil değişimleri vardır. Plastik özelliklerde plastisitenin deformasyon teorisi ile formüle edildiğinde yükte boşalma olmaması şartıyla elastik-plastik hal ile non-lineer elastik hal arasında hiç bir fark yoktur. Hutchinson (1968) ve Rice (1968) tarafından yapılan bu yaklaşım ve nümerik çalışmalarla elastik-plastik halde J nin kullanılabilir enerji anlamını kaybetmesine rağmen, gerilme-genleme alanının şiddetini temsil eden bir parametre olduğu ortaya çıkarılmış ve buna bağlı olarak gerilme ve genleme ifadeleri türetilmiştir.
J-integralin çatlak ucu tekilliğinin şiddeti olarak kullanılması Çatlak ucundaki gerilme ve genleme alanlarının J-integral tarafından karakterize edilmesi LEKM de gerilme şiddet faktörü K nın kullanımına benzer. Bu konudaki ilk çalışmalar Hutchinson (1968), Rice ve Rosengren (1968) tarafından yapılmış ve sabit çatlaklar için küçük bölgede akmadan genel akmaya kadar değişen akma şartları altında çatlak ucundaki gerilme ve genlemelerin aşağıdaki ifadelerle elde edilebileceğini göstermişlerdir. 1 Çatlak ucu koordinatlarının tanımı. E J + 1 σ ~ ij = σ 0 σ ij( θ, ) σ 0 I nr ε ij EJ = ε 0 σ 0 I n r + 1 ~ ε ij ( θ, ) ~ σ θ ve N nin dairesel pozisyonunun boyutsuz fonksiyonları, ij, ~ ε ε σ ij = α ε 0 I n N nin bir fonksiyonu olan sabit ve σ 0 ε 0, σ 0 ve tek eksenli çekme halinde akma eğrisinin aşağıdaki nolu Romberg-Osgood ifadesi ile temsil edildiği nonlineer elastik malzeme için sırasıyla akma genlemesi, ortalama akma gerilmesi ve pekleşme üstelidir. N I n in; düzlem genleme ve gerilme için N ile değişimi
Gerilme ve genleme alanının yukardaki ifadeler ile temsil edildiği bölgeye Hutchinson, Rice ve Rosengren in adlarına atfen HRR bölgesi adı verilir. Bu ifadelerden de görüldüğü gibi J-Integral nonlineer elastik bir malzemede çatlak ucundaki HRR bölgesinde gerilme ve genleme alanının şiddetini belirleyen bir parametredir ve lineer elastik haldeki K ya benzer şekilde rol oynar. Bundan sonra Landes ve Begley (197) tarafından büyük miktarda akmanın meydana geldiği küçük deney parçalarında elde edilen çatlama başlangıcındaki J-İntegral değerinin (J i ) aynı malzemeden küçük miktarda akmanın meydana geldiği büyük parçalarda elde edilen J Ic değeri ile aynı olduğu bulunmuş ve aşağıdaki ifade ile belirtilmiştir (her iki haldede kırılmanın mikromekanizmasının aynı olması şartıyla). J ( elastik i plastik deney ) = J Ic ( elastik plastik deney ) = K Ic / E Bu sonuç, J nin K ve G ye göre daha genel bir kırılma parametresi olduğunu gösteren çok önemli bir bulgudur ve J i yavaş çatlak ilerlemesinin başlayacağı malzemenin çatlamaya karşı direncini gösteren bir parametredir, deneysel olarak saptanabilir.. Çatlak ucu açılma a miktarı (ÇUAM) Çatlak ucunda meydana gelen plastik deformasyon nedeniyle çatlak ucu kütleşir bir başka deyişle çatlak ucunda çatlak yüzeyleri birbirine göre ötelenirler. Bu ötelenme miktarı veya çatlak ucu açılma miktarı kritik bir değere ulaştığında çatlak ilerlemeye başlar. Bu nedenle ÇUAM kırılmayı karakterize eden alternatif bir parametre olarak kullanılabilir. Çatlaklı bir cisimde ÇUAM ı küçük bölgede akma halinde çeşitli yaklaşımlarla hesaplamak mümkündür. Dugdale (1960) çatlak ucundaki plastik bölgeyi ince bir şerit biçiminde kabul ederek düzlem gerilme halinde ÇUAM ın analitik olarak aşağıdaki gibi hesaplanabileceğini göstermiştir. σ π a ÇUAM = = Eσ ak. K Eσ Yukardaki ifadeden de açıkça görüldüğü gibi ÇUAM bir kırılma parametresi olarak kullanılabilir. K I =K C olduğunda, ÇUAM da kritik bir değere ulaşmış demektir ki buna kritik çatlak ucu açılma miktarı denir ve ÇUAM C veya δ C ile gösterilir. I ak. ÇUAM (δ t ) ın tanımı
Çatlak ucu kütlek tleşme hattı Çatlak ilerlemeye başlamadan önce çatlak ucu plastik olarak kütleşir. ÇUAM orjinal çatlak ucu açılması olarak tanımlandığı için, aşağıdaki şekilden de görüldüğü gibi çatlağın gerçek olarak ilerlemeye başlamadan önce kütleşme nedeniyle ÇUAM a= = J σ 0 bu ifadedeki σ 0 ortalama akma gerilmesidir σ ak. + σ ç σ 0 = a kadar ilerlediği kabul edilir. ÇUAM i ve J i nin belirlenmesinde bu durum göz önüne alınır. J-integral ile ÇUAM arasındaki ilişki Paranjpe vd. (1979) tarafından yapılan teorik ve deneysel çalışmalarla büyük bölgede akma halinde J ile ÇUAM arasında aşağıdaki ifade ile verilen lineer bir ilişki olduğu gösterilmiştir. J = Mσ ak. ÇUAM burada M gerilme halinin bir fonksiyonudur ve teorik olarak düzlem gerilme hali için M=1, düzlem şekil değiştirme hali için ise M= ye eşit ve sabit olduğu kabul edilir. Kırılma mekaniğinin inin yavaş çatlak ilerlemesi halinde uygulanması Sünek malzemelerde kararsızlık noktasından önce meydana gelen yavaş çatlak ilerlemesi (Slayt 15, Şekil.15) nedeniyle yapılarda çatlamanın başlangıcı esasına göre (J i, ÇUAM i ) yapılmış bir tasarım oldukça koruyucu olmaktadır. Bu nedenle yavaş çatlak ilerlemesine karşı direnci tarif eden J i ve ÇUAM i gibi parametrelerin kullanılması ile çeşitli yapı elemanlarında kararsızlık noktası saptanabilir.
Kritik ÇUAM ın bulunması BSI nün BS 576 nolu standardına göre çatlak ucunun elastik yer değiştirmesinin ihmal edilemeyeceği elastik-plastik hallerde ÇUAM, ÇUAM= ÇUAM e + ÇUAM p şeklinde ifade edilir. Burada, ÇUAM e ; çatlak ucunun elastik açılma miktarı, ÇUAM p ; plastik açılma miktarıdır. Kritik ÇUAM ın bulunması.
Kritik J-integralJ integral in bulunması Kritik J-İntegral in (J i ) bulunması için gerekli numune, çatlak boyutları ve deneyle ilgili bütün detaylar ASTM E-813 ve E-399 da verilmiştir. Düzlem şekil değiştirme halinde J i =J Ic dir. Standarda göre hazırlanan en az dört numuneyle kırılma deneyinde farklı yavaş çatlak ilerlemeleri elde edilmiş yük-ağız açılması eğrileri J değerlerinin hesaplanması için kullanılabilir. Bu şekilde elde edilen en az dört datadan lineer bir doğru geçirilerek J direnç eğrisi (J R ) elde edilir. Bu direnç eğrisinin kütleşme hattı ile kesiştiği nokta kritik J olarak değerlendirilir ve J i ile gösterilir. Bu değer o malzemeye ait çatlamaya karşı direnci gösterir ve bir çatlak ilerlemesinin başlayacağı hali tanımlar. Sünek bir malzemede çatlak ilerlemesi ve direnç eğrisi
The failure criterion in EPFM is a two-step one: Onset of crack extension Continued unstable crack growth ÖRNEK : ÇEVRESEL ÇENTİKLİ SİLİNDİRİK BİR KAP Elastic J e : Plastic J p : Total J:
Elastic J e : where., Total J: Plastic J p : KRİTİK K ALTI BOYUTTA ÇATLAK İLERLEMESİ ; K I = Cσ aπ a c 1 K Ic = π α σ ak. Genellikle a c boyutunda hatalar başlangıçta malzemeler içinde olmaz. Bir başka deyişle çok az hasar ilk yüklemede meydana gelir. a c den daha küçük boyutta hatalar ilşletme esnasında büyüyerek kritik boyuta gelebilir. Özellikle önemli olan problem de budur, ki genellikle iki mekanizma ile meydana gelir; 1- gerilmeli korrozyon - dinamik yükleme
Gerilmeli korozyon : korozif bir ortamla statik yükün y n birlikte etkimesi altında oluşan gevrek bir hasar türüdür t Gerilmeli korrozyon özellikle belirli malzeme-ortam çiftleri içinde i inde görülmektedirg Gerilmeli korrozyon nedeniyle gerilme şiddet çarpanının n artarak kırılmaya k neden olması,, belirli a b başlang langıç çatlak uzunluğu u için i in başlang langıç gerilme şiddet çarpanı K b1 giderek artar ve K Ic ye ulaştığı ığında çatlak hızla h ilerler. Kırılma süresinin başlangıç gerilme şiddeti K Ib ile değişimi K Iscc nin altında gerilmeli korrozyon oluşmuyor. Malzemeye, ortam şartlarına ve çatlak ucundaki gerilme durumuna bağlı bu değer düzlem şekil değiştirme halinde en düşük seviyede ve genellikle K Ic nin üçtebiri kadardır. Deneysel sonuçlardan K Iscc K 3 Ic
Korozif ortamda çatlak ilerlemesi : Korozif etkinin sözkonusu olduğu ortamlarda K Ic yerine K Iscc kullanılması gerekir. Başlangıç çatlak uzunluğu a 0 (c 0 ) ın altında ise tasarım emniyetli bölgede olacaktır. Dinamik yükler y altında çatlak ilerlemesi ; Yorulma çatlak ilerlemesi adı verilen bu mekanizmanın tanınması için yapılan çalışmalar da çatlak ilerleme hızının etkileyen önemli faktörün gerilme şiddet faktörü aralığı alanı ( K=K max. - K min. ) olduğu görülmüştür.
Yorulma çatlağı ilerleme modelleri ; Crack Propagation Mechanisms 1.) Brittle fracture > K I > K Ic K unstable crack growth.) Slow stable crack growth due to time varying loads when K I < K Ic As P varies in a cyclic manner the crack length may increase in a stable manner. If we know P max, P min, we also can calculate K max, K min, K I, K mean. For many materials the crack growth is observed to depend on K and K I mean. That is, for each loading cycle The most common way to express the crack growth rate is
Eşik değeri Deneysel sonuçlardan; K=K max. - K min. önemli (gerilme şiddet alanı) Paris-Erdoğan formülü; C bir sabit n metaller için ( < n < 4) - Paris-Edoğan ifadesi yardımıyla başlangıç çatlağının kritik boya gelmesi için gerekli yük tekrar sayısı N (zaman, ömür) hesaplanabilir. - Başlangıç çatlak boyu genellikle tahribatsız muayene yöntemleri ile saptanabilen en küçük hata büyüklüğü saptanır. Gerilmeye dik yönde eliptik iç hatalar yada yarı eliptik yüzey hataları en çok rastlanan hatalardır. c/a ratio a c c a c Hata şekil parametresi, Q K I = σ M c Yüzey hataları için İç hatalar için 1.1π M = Q M = π Q
Örnek : dinamik yükleme y (yüzey zey çatlağı) ) : D=500 mm, t=0 mm olan bir azot tüpü p=50 atü (5 MPa) basınca hergün bir kez doldurulup boşaltılıyor. Malzeme 7075-T6 Al. alaşımı ve akma dayanımı 500 MPa, kırılma tokluğu 50 MPam ½. Tüpün yılda 1 kez kontrol edilmesi düşünülüyor. Bu kabın kırılma mekaniği açısından incelenmesi isteniyor. Kritik altı bölgede çatlak ilerlemesi da/dn=5.10-11 ( K) 3 Tahribatsız muayene ile tespit edilebilir en küçük hata boyutu c=4 mm. σ t = p r t σ a = p r t t c * En kritik çatlak yukardaki formda olabilir a Yorulma problemi var, (Doldurma) σ max. σ p r t max. = = (boşaltma) 31.5 MPa σ=σ max. -σ min =31.5 MPa σ min.=0 c a ( M = 0.1 kabulu ile 1.1 π = ) Q c c K = σ I max. 1 M 6.5 mm c 0 =4 mm c c =6.5 mm =? da d = C ( K ) = ( n )C M 190< 365??? n = 5.10 n / 11 ( σ ) ( σ n c M c ) 1 n ( ) b 3 c 1 n ( ) c En küçük hata boyutu ölçme kapasitesi ve kalitesi ile ilgili, dolayısıyla, 4 mm den daha küçük hata ölçme yöntemi ile kontrol edilebilir veya geriye doğru hesap ile N=365 için c c =.8 mm bulunur. Bu boyutta hata için σ kr. =474 MPa p= 38 MPa da kontrol edilir