PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Daha önce incelediğimiz testler, normal dağılmış ana kütleden örneklerin rassal seçilmesi varsayımına dayanmaktaydı ve parametrik testler kullanılmıştı. Parametrik olmayan testler ise, gözlem değerlerinin eşit aralıklı veya oranlı birim ölçekle elde edilen veya sıra ve sütun etkileşiminin doğrusal bileşiminin ana kütle ortalamasını oluşturduğu durumlarda ve anakütle dağılımına bakılmaksızın kullanılır. PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Parametrik olmayan testlerde ölçme düzeyinin sınıflama veya sıralama olması yeterlidir. Değişkenlerden birinin konumu ile diğerinin konumlarının karşılaştırıldığı durumlarda kullanılır.
Parametrik Olmayan Testlerin Avantajları 1. Anakütle dağılımı ne olursa olsun uygulanabilir. 2. Örnek büyüklüğünün önemi yoktur ancak örnekteki birim sayısı ne kadar artarsa, parametrik olmayan testin gücüde o oranda artar. 3. Sınıflandırma/ sıralama verilerine daha uygundur. 4. Farklı yapılardaki ana kütleden çekilmiş örneklere de uygulanabilir. NOT: Parametrik test uygulanacak iken, parametrik olmayan test uygulanırsa bilgi kaybı olacağından yanlış olur. Bir seriyi küçükten büyüğe dizdiğimizde belli bir değerden küçük olanlar veya büyük olanların sayısı ile ilgilendiğinde, X ile ilgilenilen birim sayısı olmak üzere; X Binom (n,p) dağılır. X: (+) işaretlilerin sayısı olmak üzere ve küçük örnekler için (n<25) Hipotezler : = eğer x < ise P= 2P(x ) α. red : eğer x > ise P= 2P(x ) α. red : < P(x ) = α. red : > P(x X) = α. red
ÖRNEK-1: Bir pilin şarj edildikten sonra çalışma sürelerinin orta değer olan medyan değerinin 1,8 e eşit olup olmadığını test ediniz.(α=0,05) Veriler: 1,5-2,2-0,9-1,3-2,0-1,6-1,8-1,5-2,0-1,2-1,7 ÇÖZÜM-1: Küçükten büyüğe sıralama 0,9-1,2 1,3-1,5 1,5-1,6-1,7-1,8-2,0 2,0 2,2 (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) X (+) (+) (+) S(-)= 7, S(+)= 3, n=10 X: (+) olanların sayısı (p= ) Hipotezler : =1,8 : 1,8 S(+)= 3< P=2P(X 3 ) = 2 = 0,3438 > 0,05 olduğundan red edilemez. %95 güven seviyesinde pilin çalışma süresi 1,8 saatten anlamlı derecede farklı değildir.
ÖRNEK-2: Bir dersin yılsonu başarı medyanı 54 puan olmuştur. Bu öğrencilerden bazıları aynı dersi yaz döneminde de almışlar ve aşağıdaki sonuçları elde etmişlerdir. Buna göre öğrencilerin yaz dönemindeki başarılarının yıl içindekinden daha iyi olduğunu söylenebilir mi? (α=0,05) 54 30-35 - 42-50 55 58 64 70-70 -72-80- 86-88 (-) (-) (-) (-) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) ÇÖZÜM-2: Hipotezler : =54 : > 54 S(-)= 4, S(+)= 9, n=13 X: (+) olanların sayısı (p= ) P(x 9) = P(x=9)+..+ P(x=13) x Binom(13;0,5) P(x=9)= = 0,087 P(x=10)= = 0,035 ÇÖZÜM-2: P(x=11)= = 0,0095 P(x=12)= = 0,00159 P(x=13)= = 0,000122 P= 0,087 +0,035+0,0095+0,00159+0,000122= 0,1334 Sonuç: i-) 0,1334 > 0,05.. red edilemez. ii-) % 95 güven seviyesinde yaz dönemi notlarının medyanı yıl içindeki medyandan anlamlı derecede büyük değildir.
Büyük örnekler için; n>25 olduğunda Binom dağılımı Normal dağılıma yaklaşacağı için p=q= dağılım daha uygundur. için Normal Ortalaması µ = np, standart sapması dan normal dağılıma yaklaşır. Süreklilik için düzeltme faktörü yani her X değerine 0,5 ekleyip çıkarmak ile kesikli rassal değişkenler yapay olarak sürekli hale getirilir. Hipotezler: : = : : < : > = Karar kuralı: >.. red < - red > red ÖRNEK-3: Bir hastalık nedeniyle hastanede kalış süresi medyanı 7,5 gündür. Yeni geliştirilen bir tedavi tekniği sonrası hastanede kalış süreleri aşağıda verilmiştir. Bu tedavi tekniği gün sayısını azaltmış mıdır? (α= 0,05) 7,5 Gün 3 5 6 7 10 11 14 15 Hasta 20 15 15 13 8 5 4 1 sayısı (+) (+) (+) (+)
ÇÖZÜM-3: S(+)= 18 np= = 40, 5 Hipotezler: : =7,5 : <7,5 = = = -4,9 ÇÖZÜM-3: Sonuç: i-) = -4,9 < - =-1,65 red ii-) % 95 güven seviyesinde yeni tekniğin hastanede kalış süresinin 7,5 günden az olduğu söylenebilir. Parametre olarak medyanı alan bir konum testidir. Medyanın belli bir değere eşit olup olmadığı test edilir. Gözlem değerlerine medyana göre sıra numaraları verildiğinde (-) işareti sıra numaraları ile (+) işaretli sıra numaralarının toplamlarının eşit veya çok yakın olması beklenir. Karar kuralı: T(+) veya T(-) <. red Küçük örnekler (n<25) için kritik tablosu geliştirilmiştir.
ÖRNEK-1: Bir ekmek çeşidinin ağırlığının medyanının 180 gr olması beklenmektedir. Rastgele aldığımız 16 ekmek tartılmış ve aşağıdaki gibi bulunmuştur. Örneğin medyanı istenen değere eşit midir? 158-163- 166-166- 166-168- 168-170- 172-175- 178-182-183-185- 186-190 180 ÇÖZÜM-1: T(+)= 23,5 T(-)= 112,5 Sonuç: i-) T(+)= 23,5 < = 37. red ii-) % 95 güven seviyesinde örnek medyanı 180 gr a eşit değildir.
Büyük örnekler için (n>25); T Normal (µ, ) µ = E(T+) = E(T-) = Var(T+)= Var(T-) = Hipotezler: : = : = Karar kuralı: >.. red ÖRNEK-2: Bir gıda işletmesinde 30 işçinin, paket ağırlıkları medyanı 90 kg olacak şekilde paketleme yapması beklenmektedir. Süreçten alınan ölçümler aşağıdadır. Paket ağırlıkları medyanı 90 kg eşit olup olmadığını α=0,05 anlam seviyesinde test ediniz. Örnek 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 no 58 60 60 62 65 68 68 70 73 75 78 78 78 78 80 Örnek 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 no 80 80 85 88 89 92 92 93 94 95 95 96 97 98 99
ÇÖZÜM-2: Örnek 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 no 58 60 60 62 65 68 68 70 73 75 78 78 78 78 80 - -32-30 -30-28 -25-22 -22-20 -17-15 -12-12 -12-12 -10 SIRA -30-28,5-28,5-27 -26-24,5-24,5-23 -22-21 -18,5-18,5-18,5-18,5-15 Örnek 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 no 80 80 85 88 89 92 92 93 94 95 95 96 97 98 99 - -10-10 -5-2 -1 2 2 3 4 5 5 6 7 8 9 SIRA -15-15 -8-3 -1 +3 +3 +5 +6 +8 +8 10 11 12 13 T(+)= 79, T(-)=389 ÇÖZÜM-2: Hipotezler: : =90 kg : 90 kg = Karar kuralı: >.. red ÇÖZÜM-2: n:30 T(+)=T(-)= = = 232,5 Var(T+)= Var(T-) = = = 2363,75 = = -3,157 Sonuç: i-) = 1,96 > = +3,157.. red ii-) %95 güven seviyesinde medyan 90 kg a eşit değildir.
EŞLEŞTİRİLMİŞ GÖZLEMLER İÇİN ÖRNEK-1: Bir taksi şirketi A ve B tipi lastiklerin benzin tüketimi ve etkisini araştırmak için aynı arabalara sırasıyla A ve B lastiklerini takıp 1 lt. benzin ile gidilen km miktarı ölçülmüştür. %5 anlam seviyesinde, A tipi lastiklerin benzin tüketimini azalttığı söylenebilir mi? Araba A(km) B(km) 1 4,2 1,1 2 4,7 4,9 3 6,6 6,2 4 7 6,9 5 6,7 6,8 6 4,5 4,4 7 5,7 5,7 8 6 5,8 9 7,4 6,9 10 4,9 4,9 11 6,1 6 12 5,2 4,9 13 5,7 5,3 14 6,9 6,5 15 6,8 7,1 16 4,9 4,8 EŞLEŞTİRİLMİŞ GÖZLEMLER İÇİN ÇÖZÜM-1: Araba A(km) B(km) R 1 4,2 1,1 3,1 2 4,7 4,9-0,2 3 6,6 6,2 0,4 4 7 6,9 0,1 5 6,7 6,8-0,1 6 4,5 4,4 0,1 7 5,7 5,7 0 8 6 5,8 0,2 9 7,4 6,9 0,5 10 4,9 4,9 0 11 6,1 6 0,1 12 5,2 4,9 0,3 13 5,7 5,3 0,4 14 6,9 6,5 0,4 15 6,8 7,1-0,3 16 4,9 4,8 0,1 EŞLEŞTİRİLMİŞ GÖZLEMLER İÇİN ÇÖZÜM-1: Hipotezler: : - = 0 : - > 0 = Karar kuralı: P(X χ) α.. red
EŞLEŞTİRİLMİŞ GÖZLEMLER İÇİN ÇÖZÜM-1: =11 =3 n = 14 (2 eşit gözlem çıkartılmıştır.) x=11 = = 1,87 P(X 11) P(z > 1,87) = 0,0307 < 0,05.. red Sonuç: % 95 güven seviyesinde A tipi lastiğin benzin tüketimini azalttığı söylenebilir. KRUSKAL- WALLIS TESTİ Varyans analizinde hatası Normal ve bağımsız dağıldığı varsayılmakta ve F testi kullanılmakta idi. Krustal Wallis testi, F testine alternatif parametrik olmayan testtir ve sadece lerin aynı sürekli dağılımdan gelmeleri yeterlidir. (i=1,2,,a) adet seviye N adet gözlem en küçükten en büyüğe sıralanır. KRUSKAL- WALLIS TESTİ Hipotezler: : = = = : Eğer tüm gözlemler aynı dağılımdan geliyor ise, a adet örneğe eşit miktarda dağılacak. Eğer hipotezi geçerli değil ise, bu sıralama bir tarafta baskın olacak.
KRUSKAL- WALLIS TESTİ K= Veya K= = gözleminin sırası(rank) = toplam seviye = i. seviyenin ortalaması E( )=, E( )= = Karar kuralı: K.. red KRUSKAL- WALLIS TESTİ ÖRNEK-1: TV izleme süreleri ortalamasının farklılık gösterip göstermediğini %5 anlam seviyesinde test ediniz. İlköğretim Lise Üniversite Lisansüstü 43 50 80 60 48 58 85 95 52 60 90 120 55 75 120 240 60 75 160 240 64 82 200 240 80 90 KRUSKAL- WALLIS TESTİ ÇÖZÜM-1: Hipotezler : TV izleme süreleri aynı anakütleden gelmektedir. : TV izleme süreleri aynı anakütleden değildir. İlköğretim Sıra Lise Sıra Üniveriste Sıra Lisansüstü Sıra 43 1 50 3 80 13.5 60 8 48 2 58 6 85 16 95 19 52 4 60 8 90 17.5 120 20.5 55 5 75 11.5 120 20.5 240 25 60 8 75 11.5 160 22 240 25 64 10 82 15 200 23 240 25 80 13.5 R2= 55 R3= 113 R4= 122.5 90 17.5 R1= 61 = = 13,5