K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır."

Özge Ergün
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 İstatistiksel güven aralıkları uygulamalarında normallik (normal dağılıma uygunluk) oldukça önemlidir. Kullanılan parametrik istatistiksel tekniklerin geçerli olabilmesi için populasyon şans değişkeninin normal dağılıma uyması gerekir. Örneğin, Ki-Kare Testleri normal dağılımı da içeren her hangi bir dağılıma uygulanabilir. Bu bölümde dağılımların normallik testinde kullanılabilecek iki parametrik olmayan test tekniği açıklanmıştır. Bu teknikler Kolmogorov- Smirnov K-S veya Lilliefors testi olarak bilinirler. K-S testi daha kolay uygulanmaktadır. K-S Testi K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır. F( X ) P( X x ) Örnek yığılmalı dağılım fonksiyonu S(x), seçilen bir x değerine eşit veya daha küçük olan örnek değerinin oranını tanımlar. S(x) aşağıdaki gibi hesaplanır. Örnek: 10 gözlemli bir çalışmada: olsun Önce gözlem değerleri küçükten büyüğe doğru sıralanır X=80, toplam gözlem değerinin en küçüğü olduğundan bu değere eşit veya daha küçük değerde olan gözlemlerin oranı ; S(80)=1/10 =0.10 olur. Benzer olarak, 10 değerin 2 si 89 a eşit veya daha küçüktür. (80 ve 89) bunların oranı ise; S(89)=2/10=0.20 olur. Kalanları benzer olarak düzenleyelim. X S(x) Bu gözlem değerlerinin ortalaması µ=100 ve standart sapması σ=10 olan ve normal dağılım gösteren bir yığından çekildiği varsayılırsa, H 0 :Veriler µ=100 ve standart sapması σ=10 olan ve normal dağılım gösteren bir yığından çekildiği söylene bilir mi? H 1 : Hayır veriler normal dağılıştan çekilmemiştir.

Örneğin, Ki-Kare Testleri normal dağılımı da içeren her hangi bir dağılıma uygulanabilir. Bu bölümde dağılımların normallik testinde kullanılabilecek iki parametrik olmayan test tekniği açıklanmıştır.

2 X için yığılımlı F(X) hesaplanması F ( 80) P( x 80) x F( 80) P ( 2) P Z olur Benzer hesaplamalarla xler e karşı gelen ölçümler yapılır. X F(X)=P(X x) 80 P(X 80)=P(Z -2)= P(X 89)=P(Z -1.1)= P(X 93)=P(Z -0.7)= P(X 97)=P(Z -0.3)= P(X 102)=P(Z 0.2)= P(X 103)=P(Z 0.3)= P(X 105)=P(Z 0.5)= P(X 108)=P(Z 0.8)= P(X 110)=P(Z 1.0)= P(X 121)=P(Z 2.1)= Eğer H 0 : Hipotezi doğru ise, bütün x değerleri için F(X) ve S(X) değerleri benzer olmalıdır. Buna karşın, eğer H 0 hipotezi yanlış ise, en azından bazı x değerleri için F(X) ile S(x) arasında büyük farklar olacaktır. F(X) ile S(X) arasındaki farkların en büyüğünün mutlak değeri (D) test istatistiği olarak tanımlanır. Test istatistiği; D=max [F(X)-S(X)] olur D nin hesaplanması için, önce her bir x değeri için F(X) ile S(X) arasındaki fark hesaplanır. Bu farkların en büyük mutlak değere sahip olanı test istatistiği olarak belirlenir. Farklar aşağıda hesaplanmıştır. X F(X) S(X) F(X)-S(X) [F(X)-S(X)] =D Değerler incelendiğinde en büyük mutlak fark değerinin D= olduğu görülür. Eğer, D değeri D >F(X)-S(X) ise H 0 hipotezi ret edilir.

7881 110 P(X 110)=P(Z 1.0)=0.8413 121 P(X 121)=P(Z 2.1)=0.9821 Eğer H 0 : Hipotezi doğru ise, bütün x değerleri için F(X) ve S(X) değerleri benzer olmalıdır.

3 Bu farkın büyüklüğüne karar vermek için ilgili tablo Ek çizelge 10 da verilmiştir. Kritik değerler α=0.05, α=0.10, ve α=0.20 önem seviyelerinde n=1 40 a kadar için verilmiştir. Eğer, örnek hacmi n>40 ise, kritik değer Α- α=0.20 için B- α=0.10 için TH TH 1.07, olur. n 1.22, olur n C- α=0.050 için TH 1.36, olur n D- α=0.02 için Ağer, TH 1.52, olur n Sonuç: Yukarıdaki örnek veriler için hesaplanan test istatistiği D= değeri, α=0.05 önem seviyesindeki n=10 değerine karşılık gelen kritik tablo değeri olan değeri ile karşılaştırılır. D= olduğundan Ho hipotezi kabul edilir. Yorum: Verilerin µ=100 ve standart sapması σ=10 olan ve normal dağılım gösteren bir yığından çekildiğini söylemek için yeterli destek bulunmaktadır. II- LİLLİEFORS TESTİ Çoğu uygulamada, normallik testi yapılacak populasyonun ortalaması ve varyansı bilinmemektedir. Oysa K-S Testinde, bu parametrelerin bilindiği kabul edilmektedir. İşte bu Lilliefors Testi K-S testine benzemektedir. Ama, Lilliefors testi Populasyon varyansı ve ortalamasının bilinmediği populasyonların normallik testinin yapılmasına yarar. Aradaki fark nedir diye sorulursa; F(X) in hesaplanmasında (µ ve σ yerine) örnek ortalaması ve standart sapması s nin kullanıldığını bileceğiz. X, S örnek sonuçları istatistiktir. Örnek yığılımlı dağılım fonksiyonu S(X) in hesaplanması ve test istatistiği D nin hesaplanması, K-S testindekilerle aynıdır. Hesaplanan D, test istatistiği Lilliefors test tablo sonuçları ile karşılaştırılır. Eğer D> Tablo değeri ise Ho hipotezi ret edilir. ÖRNEK: Bizim işletmede günlük süt üretimi kakında hipotez testi yapmak üzere rasgele seçilen 15 günlük süt üretim miktarları litre olarak hesaplanmış ve aşağıda verilmiştir Bu bulgulara göre, işletmemizin günlük süt üretiminin normal dağılıp dağılmadığını α=0.05 önem seviyesinde test ediniz.

52, olur n Sonuç: Yukarıdaki örnek veriler için hesaplanan test istatistiği D= 0.0793 değeri, α=0.05 önem seviyesindeki n=10 değerine karşılık gelen kritik tablo değeri olan 0.

4 ÇÖZÜM: Populasyon ortalamsı ve varyansı bilinmediğinden, normallik testi Lilliefors testi ile yapılabilir. Verilerin ortalama ve standart sapma değerlerini hesaplayalım. X=96.47, s=4.85 olarak bulunur. Testin uygulanması K_S testindeki işlemlerle aynıdır. Veriler sıraya dizilecek, S(X), F(X) ve mutlak değeleri tabloda verilmiştir. Hesaplamalardan sonra F(X) ve S(X) farkları ve en büyük mutlak fark değeri bulunacak. D istatistiğ tablo değeri ile karşılaştırılacaktır. Örnek ve populayon Yığılmalı Olasılık değerleri X S(X) F(X) 88 1/15=0.067 x P( x 88) P( Z 1.75) /15=0.133 x P( x 91) P( Z 1.13) /15=0.200 x P( x 92) P( Z 0.92) /15=0.267 x P( x 93) P( Z 0.72) /15=0.400 x P( x 94) P( Z 0.51) /15=0.533 x P( x 95) P( Z 0.30) /15=0.600 x P( x 96) P( Z 0.10) /15=0.667 x P( x 98) P( Z 0.32) /15=0.867 x P( x 101) P( Z 0.93) /15=0.933 x P( x 103) P( Z ) /15=1.00 x P( x 105) P( Z 1.76) İlgili Teorik tabloda n=15 ve α=0.01 için kritik değer =0.257 olarak bulunuyor. D= olduğundan, Ho Hipotezi kabul edilir. İşletmemizdeki günlük süt üretiminin verileri NORMAL dağılır diyebiliriz.

Hesaplamalardan sonra F(X) ve S(X) farkları ve en büyük mutlak fark değeri bulunacak. D istatistiğ tablo değeri ile karşılaştırılacaktır.

5 MUTLAK FARKLAR VE LİLLİEFORS TEST İSTATİSTİĞİ X F(X) S(X) F(X)-S(X) F(X)-S(X) =D Örnekteki verilere birde SPSS Paket programında Normallik testi uygulayalım. Örnek : olsun. H 0 :Veriler µ=100 ve standart sapması σ=10 olan ve normal dağılım gösteren bir yığından çekildiği söylene bilir mi? H 1 : Hayır veriler normal dağılıştan çekilmemiştir. 1. Adım

0432 103 0.9115 0.933-0.0215 0.0215 105 0.9608 1.00-0.0392 0.0392 Örnekteki verilere birde SPSS Paket programında Normallik testi uygulayalım.

6 2. Adım

7 3. Adım 4. Adım

8 5. Adım Descriptives Statistic Std. Error Gunluk süt üretimi Mean 100,8000 3, % Confidence Interval for Mean Lower Bound 92,4863 Upper Bound 109,1137 5% Trimmed Mean 100,8333 Median 102,5000 Variance 135,067 Std. Deviation 11,62182 Minimum 80,00 Maximum 121,00 Range 41,00 Interquartile Range 16,50 Skewness -,150,687 Kurtosis,293 1,334 Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. Gunluk süt üretimi,141 10,200 *,989 10,995 a. Lilliefors Significance Correction VERİLERİN NORMAL DAĞILIŞA UYDUĞU GÖRÜLÜYOR *. This is a lower bound of the true significance.

10 Örnek: Kız ve Erkek öğrencilerin Biyoistatistik sınav hata puanları dağılımı verilmiştir Tablo Kız ve Erkeklerin Puan dağılımı Hata Puanı fk fe Kız ve Erkek öğrencilein hata puanlarına göre dağılımlarında fark olup olmadığını iki örnek K-S testi ile test ediniz. SPSS te veriler X= Hata PUANI stununa girilir.. Cinsiyet değişkeni için de Y=Cinsiyet stununa girilir. (Cinsiyet E=1, Cinsiyet K=0) olarak kodlanır. Çözüm K-S Testi için Non Parametri test kısmında 2 Independent Sample seçeneği seçilerek veriler ilgili yerlere atanır.

K-S testi ile test ediniz. SPSS te veriler X= Hata PUANI stununa girilir.. Cinsiyet değişkeni için de Y=Cinsiyet stununa girilir.

11 Çözüm: SPSS te veri girişi için

12 Çıktılar şöyledir. Two-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Frequencies Cinsiyet N Hata Puani, ,00 10 Total 20 Test Statistics a Hata Puani Most Extreme Differences Absolute,700 Positive,000 Negative -,700 Kolmogorov-Smirnov Z 1,565 Asymp. Sig. (2-tailed),015 a. Grouping Variable: Cinsiyet Yorum: ERKEK ve KIZ öğrencilerin hata puanları türdeş değildir. Kızların hata puanları dağılımı, erkeklerin hata puanı dağılımından önemli düzeyde pozitif uçta yer almaktadır. Kızların hata Puanları, Erkeklerin hata puanlarından daha yüksektir.

Differences Absolute,700 Positive,000 Negative -,700 Kolmogorov-Smirnov Z 1,565 Asymp. Sig. (2-tailed),015 a.

13 K-S Tek Örnek Testi Örnek çözüm: Hasta kal. Gun Sayısı Birey Sayısı Bireylerin Tifoya yakalanma ve hastanede kalma günlerine göre dağılımlarında veriler normal dağılışa uyuyor mu? K-S testi ile Test ediniz. KAYNAK: AlimIşık Prof.Dr. İstatistik - II BETA BASIM A.Ş. BAYRAMPAŞA /İSTANBUL 2006 Kazım Özdamar. Paket Programlar ile İstatistiksel veri Analizi KAAN KİTAP EVİ 1999

kalma günlerine göre dağılımlarında veriler normal dağılışa uyuyor mu? K-S testi ile Test ediniz.

14 Yorum: Tifoya yakalananların hastanede kalış günleri Normal dağılışa uyuyor P=0.953

Benzer belgeler

GÜVEN ARALIKLARI ve İSTATİSTİKSEL ANLAMLILIK. Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı

GÜVEN ARALIKLARI ve İSTATİSTİKSEL ANLAMLILIK Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Kestirim Pratikte kitle parametrelerinin doğrudan hesaplamak olanaklı değildir. Bunun yerine