Doç.Dr.İstem Köymen KESER

Doç.Dr.İstem Köymen KESER

Güven Aralıkları Ortalama yada iki ortalama farkı için biliniyor bilinmiyor n30 n<30 Z İstatistiği Oranlar yada iki oran farkı için Varyansların testi Bir varyans için İki varyans oranı için Z İstatistiği F İstatistiği t İstatistiği İstatistiği

Anakütle Ortalamasının Güven Aralığı Büyük Örneklerde Ortalaması µ olan bir dağılımdan n gözlemli rassal bir örnek çektiğimizi varsayalım. Örnek ortalaması ile standart sapmasını ve S ile gösterelim. Eğer n 30 ise, populasyon ortalamasının %(1-α) lık güven aralığı aşağıdaki gibidir:

Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98. derece ve örnek standart sapması 0.6 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz. n = 106 x = 98.0 o s = 0.6 o = 0.05 / = 0.05 z / = 1.96 E = z / = 1.96 0.6 = 0.1 n 106 x - E < < x + E 98.0 o - 0.1 < < 98.0 o + 0.1 98.08 o < < 98.3 o 98.08 ve 98.3 aralığı, %95 olasılıkla nün gerçek değerini içerir

Anakütle Oranının Güven Aralıkları (Büyük Örneklem) Başarı oranı п olan n hacimli bir anakütleden seçilmiş olan n gözlemli rassal bir örneklemde başarı oranını p ile gösterelim. Bu durumda n 30 ise anakütle oranı п için %(1-α) lık güven aralığı: şeklindedir.

Örnek: Grip aşısı yaptıran rastgele seçilmiş 400 kişiden 136 sı aşı sonrası sıkıntı yaşamıştır. Aşı sonrası sıkıntı yaşayanların gerçek oranı için %95 güven aralığını bulunuz. ˆ p z 0 1. 96 n = 400, 136/ 400 0. 34.05 (0.34)(0.66) 0.341.96 p 0.341.96 400 (0.34)(0.66) 400 0.9 p 0.39 0.9 ve 0.39 aralığı, %95 olasılıkla nün gerçek değerini içerir

İki Anakütle Oranı Arasındaki Fark İçin Güven Aralıkları (Büyük Örneklerde) Başarı oranı olan bir anakütleden seçilmiş gözlemli bir örneklemde gözlenen başarı oranı ile, başarı oranı olan bir anakütleden rassal seçilmiş gözlemli bir örneklemde gözlenen başarı oranı ile gösterilsin. Olmak üzere

Bu durumda örnekler büyükse İki anakütle oranı arasındaki fark için %(1-α) lık güven aralığı aşağıdaki biçimdedir.

Örnek: Son sınıf kız ve erkek muhasebe öğrencilerinden bağımsız rassal örnekler seçilmiştir. 10 erkekten 107 si on yıl sonra tam zamanlı olarak çalışmayı beklemektedir. 141 kız öğrenciden de 73 ü aynı beklentidedir. İki anakütle oranları arasındaki fark için %95 güven aralığını oluşturunuz. (newbold, sf. 345)

Örnek: Üniversitelerin pazarlama derslerinde müşteri destekli projeler (MDP) araştırmasında, MDP kullanan öğretim üyelerine MDP ler öğretim üyesi için zaman alıcıdır tümcesi verilmiştir. Vakıf üniversitelerinden seçilen 9 MDP kullanıcısından oluşan rassal bir örnekte 49 kişi bu görüşe katılmıştır. Devlet üniversitelerinden seçilen 86 MDP kullanıcısından 36 kişi bu görüşe katılmıştır. İki anakütle oranı arasındaki fark için %90 lık güven aralığını oluşturunuz.(newbold sf. 344)

İki Anakütle Ortalaması Arasındaki Fark İçin Güven Aralıkları (Populasyon Varyansları Biliniyor veya Örneklemler Büyük) Ortalamaları ile varyansları ile olan normal dağılımlardan ve gözlemli bağımsız rassal örnekler seçilmiş olsun. Örnek ortalamaları ve ise, iki anakütle ortalaması arasındaki fark için %(1-α) lık güven aralığı aşağıdaki gibidir:

Örnek hacimleri 30 ise populasyon varyansları yerine örnek varyansları koyulabilir ve iki ortalama arasındaki fark için güven aralığı aşağıdaki biçimde olur:

Örnek: Sigara içen 96 kişilik bir rassal örneklemde kısa süreli iş devamsızlığının ortalaması ayda.15 saat, standart sapması ayda.09 saattir. Hayatında hiç sigara içmemiş 06 kişilik bağımsız bir örnekte ise ortalama devamsızlık 1.69 saat, standart sapma ayda 1.91 saattir. İki anakütle ortalaması arasındaki fark için %99 güven aralığını bulunuz ve yorumlayınız.(newbold sf.337)

Populasyonun Varyansı X Bilinmediğinde ve n< 30 Olduğunda Ortalama İçin Güven Aralığı Varsayımlar: POPULASYONUN standart sapması bilinmiyor Populasyon Normal dağılımlıdır. Populasyonun normal dağılış göstermesi şartıyla X - şeklinde hesaplanan t = S n test istatistiği n-1 serbestlik dereceli t dağılışı gösterir. Populasyon ortalaması için güven aralığı aşağıdaki biçimdedir. P x t * S x t * S 1, n1 x, n1 x

Student t Dağılımı *t dağılışı, normal dağılış gibi simetrik bir dağılıştır. Bu dağılış ilk olarak 1908 yılında W.S.Gosset tarafından örnekleme denemeleri sonunda bulunmuştur. Gosset yayınlarında Student takma ismini kullandığı için bulduğu t dağılışı Student t dağılışı olarak bilinmektedir. Bu dağılıştan kısaca t dağılışı olarak bahsedilecektir. *t dağılışı, normal dağılış gibi simetrik bir dağılıştır. Ortalaması 0 olup normal dağılıştan daha yaygın bir şekil göstermektedir. t dağılışının bir tek parametresi vardır ve bu parametre serbestlik derecesi olarak isimlendirilir. S nin hesaplanmasında kullanılan (n-1), S nin serbestlik derecesi olup t nin dağılışını belirler.

Student t Dağılımı t dağılışı için z cetveli yerine, çeşitli örnek büyüklükleri ve olasılık seviyeleri için ayrı ayrı hesaplanmış t cetvelleri kullanılır. 16

Çan şekilli simetrik, Tombul kuyruklar Standart Normal t (sd = 13) t (sd = 5) 0 z t 17

Student ın t Tablosu Üst kuyruk alanı sd.5.10.05 1 1.000 3.078 6.314 n = 3 sd = n - 1 = =.10 / =.05 Olsun: 0.817 1.886.90.05 3 0.765 1.638.353 t değerleri 0.90 t 18

Örnek: Çeşitli kazalara karışan 1 A marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $6,7 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan A ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 6,7 s = 15,873 = 0.05 / = 0.05 t / =.01 E = t s = (.01)(15,873) = 10,085.3 n 1 x - E < µ < x + E 6,7-10,085.3 < µ < 6,7 + 10,085.3 $16,141.7 < µ < $36,31.3 Bu aralığın bir A nın ortalama onarım giderini içerdiğinden %95 eminiz.

ÖRNEK: Varyansı bilinmeyen normal dağılmış bir populasyonun bilmediğimiz ortalaması hakkında %99 güven katsayısı ile bir aralık oluşturmak isteyelim. Bu anakütleden 9 birimlik bir örnek alınıyor ve aşağıdaki değerler elde ediliyor. 5, 8.5, 1, 15, 7, 9, 7.5, 6.5, 10.5 %99 güven aralığını oluşturunuz. n=9 x x n 9 S x x n n 1 x nx n 1 805 9(9) 8 3,08 P( 9-3,355*(3,08)/3<µ<9+3,355*(3,08)/3)=0.99

İKİ ANAKÜTLE ORTALAMASINA İLİŞKİN HİPOTEZ TESTLERİ Normal Dağılım Örnek Hacimleri Küçük Bağımsız ve İlişkili Populasyonlar 1. Farklı veri kaynakları İlişkisiz Bağımsız. İki örnek ortalaması arasındaki farkın kullanılması Bağımsız X 1 X İlişkili 1. Aynı veri kaynağı Eşleştirilmiş Tekrarlı ölçümler. Her gözlem çifti arasındaki farkın kullanılması D n = X 1n - X n 1

( 1- ÖRNEKLERİN BAĞIMSIZ OLMASI HALİ Populasyonların normal dağılım göstermesi ve s 1 Şeklinde populasyon varyanslarının eşit olduğu varsayımı altında ( n 1) s ( n 1) s n n 1 1 1 Olmak üzere t = X 1 X (µ 1 µ ) S X1 X = X 1 X (µ 1 µ ) S 1 n 1 + 1 n Şeklindeki istatistik t dağılımı gösterir.

Ortalamaları ve, varyansları aynı olan iki normal dağılımdan ve gözlemli bağımsız örnekler seçtiğimizi varsayalım. Örnek ortalamaları varyansları sırasıyla olmak üzere iki populasyon ortalaması arasındaki fark için %(1-α) lık güven aralığı aşağıdaki biçimdedir: P (X 1 X ) t n1+n,,,, α S 1 n 1 + 1 n < (µ 1 µ ) < (X 1 X ) + t n1+n,, α S 1 n 1 + 1 n = %(1 α)

Örnek Pınar Et için çalışan bir finansal analistsiniz. İki ayrı kesimhanenin üretim kayıtlarıyla ilgili aşağıdaki rassal olarak seçilen örneklere ait verileri topladınız: fab1 fab n 11 13 Ortalama 3.7.53 Std Sapma 1.30 1.16 Populasyonların normal dağılım gösterdiği ve eşit varyans varsayımı altında, iki ortalama arasındaki fark için (1- = 0.95) güven aralığını oluşturunuz. 1984-1994 T/Maker Co. 4

fab1 fab n 11 13 Ortalama 3.7.53 Std Sapma 1.30 1.16 Test İstatistiğinin Hesaplanması 5

Belli bir kuş cinsinde erkek ve dişi ağırlıklarının eşit olup olmadığı araştırılmaktadır. Aşağıdaki verilere göre iki ortalama arasındaki fark için %95 güven aralığını oluşturunuz. Populasyon normal dağılımlı ve populasyon varyanslarının eşitliği varsayımı bulunmaktadır. Örnek hacmi(n) ortalama( x ) varyans( S ) Erkek 10 90.80 55. Dişi 9 81.5 66. S S x1 -x = = S (n 1 ( 1 n -1)S n 1 1 1 + 1 n ) + (n -1)S + n - S X 1 S _ X 1 60.38( 10 1 ) 9 9(55.) 8(66.) 10 9 3.57 60.98

P (90.80 81.5).11(3.57) < (µ 1 µ ) < (90.80 81.5) +.11(3.57) = %95 P(1.7473 < (µ 1 µ ) < 16.817)

-Eşleştirilmiş Örnek t Testi 1. İki ilişkili populasyonun ortalamasını test eder. Çift ya da eşleştirilmiş Tekrarlı gözlemler (önce/sonra). Nesneler arasındaki varyasyonu ortadan kaldırır. 3. Varsayımları İki populasyon da normal dağılımlıdır. 8

İki değişken arasındaki fark d değişkeni ile gösterilmek üzere S d d d n n 1 d S d S d n n d i t h d D S d Şeklindeki t istatistiği (n-1) serbestlik dereceli t dağılımı göstermek üzere iki ortalama arasındaki fark için güven aralığı aşağıdaki biçimdedir.

İki komisyoncunun aynı evlere farklı fiyatlar verdiği iddia edilmektedir. Populasyonların normal dağıldığı varsayımı altında iddiayı test etmek için 1 ev seçilmiş ve komisyonculardan bu evlere 1000$ bazında fiyat vermeleri istenmiştir. Elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir.iki komisyoncunun aynı evlere verdiği fiyatların ortalaması arasındaki fark için %98 lik güven aralığını oluşturunuz. Komisyoncular Eşleştirilmiş Örnek t Testi Evler A B d d 1 181.0 18.0-1.0 1.00 179.9 180.0-0.1 0.01 3 163.0 161.5 1.5.5 4 18.0 15.0 3.0 9.00 5 13.0 16.5-3.5 1.5 6 175.0 175.0 0.0 0.00 7 17.9 19.5-1.6.56 8 151.0 150.0 1.0 1.00 9 164.9 165.5-0.6 0.36 10 19.5 195.0 -.5 6.5 11 5.0.7.3 5.9 1 177.5 178.0-0.5 0.5 Toplam -.0 40. 30

Eşleştirilmiş Örnek t Testi d n d i 1 0,167 S d d d n n 1 ( ) 40, 1 11 3.6 S d S d n 3.6 1 1.904 1 v n11 111 s. d. 31

Örnek: İki ayrı TV program kuşağında 10 ayrı reklam kişilere izlettirilmiş ve 4 saat sonra, iki ayrı kuşaktaki reklamlardan hatırlanma indeksleri elde edilmiştir. Ürün Sabah Akşam d i Kuşağı Kuşağı 1 137 53 84 7,056 135 114 1 441 3 83 81 4 4 15 86 39 1,51 5 47 34 13 169 6 46 66-0 400 7 114 89 5 65 8 157 113 44 1,936 9 57 88-31 961 10 144 111 3 1,089 Toplam 10 14,0 d i İki ayrı kuşakta izlenen reklamların hatırlanması indeksleri karşılaştırıldığında sabah kuşağının hatırlanması indeksinin daha yüksek olup olmadığını %95 güven aralığına göre yorumlayınız.

1 10 10 n d d i 1,088 9 1 10 14,0 1 1 n nd d n n d d S d 10 3,98 10 1,088 n S S d d

Örnek: İki ayrı TV program kuşağında 10 ayrı reklam kişilere izlettirilmiş ve 4 saat sonra, iki ayrı kuşaktaki reklamlardan hatırlanma indeksleri elde edilmiştir. Ürün Sabah Akşam d i d i Kuşağı Kuşağı 1 137 53 84 7,056 135 114 1 441 3 83 81 4 4 15 86 39 1,51 5 47 34 13 169 6 46 66-0 400 7 114 89 5 65 8 157 113 44 1,936 9 57 88-31 961 10 144 111 3 1,089 Toplam 10 14,0 İki ayrı kuşakta izlenen reklamların hatırlanması indekslerinin ortalamaları arasındaki fark için %90 güven aralığını oluşturunuz.