NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,"

Emre Okyar
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa, dağılımının, yani standartlaştırılmış Poisson rassal değişkeninin beklem üreten fonksiyonunun, standart normal dağılımın beklem üreten fonksiyonuna yakınsadığını gösterin. 3. İkiterimli dağılımın normal yakınsağını kullanıp hilesiz bir paranın 14 atılışında yedi yazı, yedi tura gelme olasılığını (virgülden sonra dört basamağa yuvarlayıp) belirleyin. Çizelge 1'e bakarak bu yakınsamanın hatasını bulun. 4. Belli bir ilaç türü yüksek tansiyonlu bütün hastaların yüzde 23'ünde yan etkiler doğuruyorsa, bu ilacın 120 hastadan 32'den fazlasında yan etki yaratma olasılığını yakınsamayı kullanarak bulun. UYGULAMA 1. ( ) dağılımına sahip olsun. a) ( ) b) ( ) olduğuna göre sayısını bulunuz öğrencinin boy uzunluğu ( ) normal dağılıma sahiptir. Öğrencilerin ne kadarının boyları: a) 175 cm den büyüktür. b) 160 cm e eşittir veya küçüktür. c) 162 cm ve 170 cm e eşit ve bunlar arasındadır. 3. Harp okuluna gitmek için başvuran öğrencilerin %60 ı okula seçim için istenen boy uzunluğunu geçmişlerdir. Sınavda hazır bulunanların boyları cm ortalaması ve standart sapması ile normal dağılıma sahiptirler. Sınavı geçmek için istenen boy uzunluğunu bulunuz.

dağılımın beklem üreten fonksiyonuna yakınsadığını gösterin. 3.

2 4. Bir fabrikada üretilen transistörlerin 30 aylık dayanma süreli normal dağılıma sahip olduğu bilinir. Bir toptan satın alıcı transistörlerin %95inin 20 aydan daha çok dayanmasını azularsa, satın alan şahsın alış verişte rıza gösterebileceği en büyük standart sapma değeri nedir? TEORİK ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI 1. ile bağımsız rassal değişkenlerse ve bunlardan ilk 'i ortalaması ve varyansı olan sonsuz bir anakütleden çekilmiş rassal bir örneklem, öteki 'si de ortalaması ve varyansı olan sonsuz bir anakütleden çekilmiş rassal bir örneklem oluşturuyorsa, a) ( ) ; b) ( ) olduğunu gösterin soruya dönelim. İki örneklem normal anakütlelerden çekilmişse, değişkeninin de ortalamalı, varyanslı normal bir dağılıma uyan rassal bir değişken olduğunu gösterin. 3*., anakütle katsayısı ile aynı Bernoulli dağılımına uyan rassal değişkenlerse,, denemedeki ile simgelenen başarı sayısıdır. a) ( ) ; b) ( ) ( ) olduğunu gösterin , 13, 18, 10, 6, 21, 7, 11, 20, 8 gibi 10 sayıdan oluşan sonlu anakütlenin ortalaması ile varyansını bulun. 5. * + sonlu anakütlesinin varyansının biçiminde yazılabileceğini gösterin. Bu formülü kullanarak 4. sorudaki sonlu anakütlenin varyansını yeniden hesaplayın.

3 6. 5. sorudaki formüle benzer biçimde örneklem varyansının da biçiminde yazılabileceğini gösterin. Bu formülü kullanarak, bir araç çekicisinin art arda sekiz işgününde 13, 14, 13, 11, 15, 14, 17, 11 araba çekmesini kapsayan örneklem verilerinin varyansını hesaplayın. 7. Örneklem varyansı formülünün şöyle de yazılabileceğini gösterin: ( ) ( ) ( ) Bu formülü kullanarak, 6. sorudaki örneklem verilerinin varyansını yeniden hesaplayın. UYGULAMA 1. Büyüklüğü aşağıdaki gibi olan sonlu bir anakütleden büyüklüğünde kaç farklı örneklem çekilebilir? a) b) c) 2. a) büyüklüğündeki sonlu bir anakütleden büyüklüğünde rassal bir örneklem; b) büyüklüğündeki sonlu bir anakütleden büyüklüğünde rassal bir örneklem çekildiğinde her bir olanaklı örneklemin olasılığı kaçtır? 3. büyüklüğündeki sonlu bir anakütleden büyüklüğünde rassal bir örneklem çekilirse, anakütlenin belli bir üyesinin örneklemde yer alma olasılığı kaçtır? 4. Ortalamsı, varyansı olan sonsuz bir anakütleden büyüklüğünde rassal bir örneklem çekilmiştir. Merkezi limit teoremine dayanarak, hangi olasılıkla değerinin 67 ile 83 arasına düşeceğini söyleyebiliriz? 5. Ortalamsı, standart sapması olan sonsuz bir anakütleden büyüklüğünde rassal bir örneklem çekilmiştir. Merkezi limit teoremini kullanarak hangi olasılıkla değerinin ile arasına düşeceğini söyleyebiliriz? soruyu, anakütle sonsuz değil de sonlu ve büyüklüğünde iken yeniden yapın. 7. olan bir üstel dağılımdan olan rassal bir örneklem çekilmiştir. Merkezi limit teoremine göre, örneklem ortalamasının 4.5'den büyük çıkma olasılığı nedir? 8. Bir kentte oturdukları evde kiracı değil de ev sahibi olanların gerçek oran 0.70'tir. Bu kentte 84 aile rassal seçilip oturdukları evin kendilerinin olup olmadığı sorulsa, alınan yanıtlara da katsayısı olan aynı Bernoulli dağılımlarına uyan bağımsız rassal değişkenler gözüyle bakılsa, örneklem oranı nın hangi olasılıkla 0.64 ile 0.76 arasında çıkabileceğini * (Teorik 3*. ) sorusunun bulgusunu ve merkezi limit teoremini kullanarak belirtin.

Örneklem varyansı formülünün şöyle de yazılabileceğini gösterin: ( ) ( ) ( ) Bu formülü kullanarak, 6. sorudaki örneklem verilerinin varyansını yeniden hesaplayın. UYGULAMA 1.

4 Kİ-KARE, t, F- DAĞILIMLARI Teorem.1: Ortalamsı, standart sapması örneklemin ortalaması ile varyansı ve olan normal bir anakütleden çekilmiş rassal bir ise, 1. ile bağımsızdır. 2. ( ) rassal değişkeni, serbestlik dereceli ki-kare dağılımına uyar. 1. Teorem.1'i kullanarak, varyansı olan normal bir anakütleden çekilmiş büyüklüğünde rassal örneklemler için nin örnekleme dağılımının ortalamasının, varyansının olduğunu gösterin. 2., serbestlik dereceli ki-kare dağılımına uyan bağımsız rassal değişkenlerse ve ise, değişkeninin gösterin. 'a giderken limitteki dağılımının standart normal dağılım olduğunu sorunun sonucuna dayanarak,, serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımına uyan rassal bir değişkense ve büyükse, nin dağılımı, standart normal dağılımla yakınsanabilir sorunun yöntemini kullanarak, serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımına uyan rassal bir değişkenin 68.0'dan büyük bir değer alma olasılığının yaklaşık değerini bulun. 5., ve serbestlik dereceli bir dağılımına uyuyorsa ve ise, 'in dağılımının da serbestlik dereceli ki-kare dağılımına yakınsadığını gösterin. 6., serbestlik dereceli dağılımına uyuyorsa, 'nin de ve serbestlik dereceli bir dağılımına uyduğunu gösterin. 7., ve serbestlik dereceli bir dağılımına uyuyorsa, 'in de ve serbestlik dereceli bir dağılımına uyduğunu gösterin. 8. Normal bir anakütleden çekilmiş büyüklüğünde rassal bir örneklemin ortalaması, standart sapması dir. Verilen bilginin anakütle ortalamasının olduğu savını desteklediğini söyleyebilir miyiz? 9. Normal bir anakütleden çekilmiş büyüklüğünde rassal bir örneklemde ortalama, varyans tür. Verilen bilginin anakütle ortalamasının olduğu savını desteklediğini söyleyebilir miyiz?

1'i kullanarak, varyansı olan normal bir anakütleden çekilmiş büyüklüğünde rassal örneklemler için nin örnekleme dağılımının ortalamasının, varyansının olduğunu gösterin. 2.

5 10. ile, ve olan normal bir anakütleden çekilmiş ve büyüklüğündeki bağımsız rassal örneklemlerin standart sapmaları ise, ( ) olasılığını bulun. 11. ile, eşit varyanslı normal anakütlelerden çekilmiş, büyüklüğünde bağımsız rassal örneklemlerin varyansları ise, ( ) olasılığını bulun. ARALIK TAHMİNLERİ Teorem.2: Varyansı bilinen normal bir anakütleden çekilmiş büyüklüğünde rassal bir örneklemin ortalaması, anakütle ortalamasının bir tahmin edicisi olarak kullanılırsa, hatanın 'den küçük çıkma olasılığı dır. Teorem.3:, katsayıları ve olan bir ikiterimli rassal değişkense, büyükse, ise, ( ) ( ) formülü de için yaklaşık bir ( ) güven aralığıdır. 1. Normal anakütlede ve 150 büyüklüğündeki örneklemin ortalaması ise anakütle ortalaması için %99 güven aralığını belirtin. 2. Belli bir kaktüsün yıllık büyümesi araştırılırken belli bir çöl bölgesinden rassal olarak derlenen 64 kaktüsün büyüme ortalaması mm, standart sapması 4.5 mm bulunmuştur. Bu tür kaktüsün yıllık ortalama büyümesi için %99 güven aralığını belirleyin. 3. Kamyoncuların kullandığı büyük bir benzin istasyonu ayrıntılı alışveriş kayıtları tutmuştur. Bunlardan rassal seçilen 18 kayıtta mazot satış ortalaması galon, standart sapması 2.75 galon ise, örneklemin alındığı anakütle ortalamasının %99 güven aralığını bulun. 4. Teorem.2'yi bilinmediğinde en büyük hatayı ölçmekte kullanılabilecek biçimde uyarlayın. (Dikkat ederseniz bu yöntem ancak veriler elde edildikten sonra kullanılabilir.) 5. Belli bir miktarda fıstık yağının 12 kavanozunu inceleyen bir besin denetmeni katkı yüzdelerini 2.3, 1.9, 2.1, 2.8, 2.3, 3.6, 1.4, 1.8, 2.1, 3.2, 2.0, 1.9 bulmuştur. Bu denetmen, bu marka fıstık yağının ortalama katkı yüzdesinin bir tahmini olarak örneklem ortalamasını kullanırsa, Teorem.2 'nin 4. sorudaki düzeltmesine dayanarak, %95 güvenle en büyük hatayı kaç bulur? 6. Standart sapmaları ve olan normal anakütlelerden çekilmiş ve büyüklüğünde bağımsız rassal örneklemlerin ortalamaları ve tür. 'nin %95 güven aralığını bulun. 7. Bir süpermarkette yapılan bir araştırmada örnekleme giren 300 müşteriden 204'ünün indirim kuponları kullandığı görülmüştür. Teorem.3'deki büyük örneklem güven aralığı formülünü kullanıp anakütledeki gerçek oranın %95 güven aralığını belirleyin.

2: Varyansı bilinen normal bir anakütleden çekilmiş büyüklüğünde rassal bir örneklemin ortalaması, anakütle ortalamasının bir tahmin edicisi olarak kullanılırsa, hatanın 'den küçük çıkma olasılığı

6 8. Bir rassal örneklemdeki takım coşturucu 120 kızdan 54'ü ses tellerine ilişkin orta ya da çok şiddetli rahatsızlıklar yaşamıştır. Takım coşturucu kızlardan bu biçimde etkilenenlerin gerçek oranının bir tahmini olarak örneklem oranı 54/120=0.45 'i kullanırsak, %95 güvenle en büyük hata için ne söyleyebiliriz?

Takım coşturucu kızlardan bu biçimde etkilenenlerin gerçek oranının bir

Benzer belgeler

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.