Tabakalı Kompozit Bir Malzemenin Genetik Algoritma Yöntemiyle Rijitlik Optimizasyonu

th International Adanced Technologies Symposium (IATS ), -8 May 20, Elazığ, Turkey Tabakalı Kompozit Bir Malzemenin Genetik Algoritma Yöntemiyle Rijitlik Optimizasyonu Ö. Soykasap e K. B. Sugözü Afyon Kocatepe Üniersitesi, Afyon/Türkiye, soykasap@aku.edu.tr Afyon Kocatepe Üniersitesi, Afyon/Türkiye, banu_yigit@hotmail.com Stiffness Optimization of a Composite Laminated Plate Using Genetic Algortihm Abstract In this paper, the stiffness of a laminated composite plate is optimized by using the genetic algorithm. The simply supported composite plate used for stiffness optimization is made of graphite-epoxy. The classical composite plate equations and the equations with lamination parameters are used in the optimization problem. The results by the use of classical composite plate equations and by the use of equations with lamination parameters are compared for their ectieness. The optimization studies that are performed by the use of lamination parameters find the results ectiely. Keywords Genetic Algorithm, Laminated Composite, Lamination Parameters. I. GİRİŞ Rijitlik genel olarak bir cismin kuet ya da moment etkisi altında şekil değiştirmemesi, formunu koruması olarak ifade edilebilir. Kompozit malzemelerde rijitliğin yüksek olması özellikle uzay yapılarında istenen bir özelliktir. Kompozit malzemelerin özelliklerini dört temel unsur belirler. Bunlar matris, fiber, ara yüzey e mikro yapı özellikleridir. Kompozit malzeme genel olarak sürekli bir fiber e bir matris malzemeden meydana gelmektedir. Kompozit malzemelerin isimlendirilmesi, kullanılan matris e fiber malzemelerin çeşitli kombinasyonları ile oluşturulan fiber/matris malzemelerine göre yapılır (). Kompozit malzemeler kullanım yerlerine göre farklı yapılarda karşımıza çıkmaktadır. Bu yapılar kiriş, plak, kabuk şeklindedir. Plak, kalınlığın genişlik e uzunluğa göre çok daha küçük olduğu düzlemsel yapılardır. Kompozit plaklar, tabaka ya da katmanlar halinde olup çok sayıda kompozit yapının bir araya gelmesi ile oluşur (2). Bu çalışmada kullanılan kompozit plağın sürekli fiberli e katmanlardan oluştuğu kabul edilmiştir. Bir ürünün piyasa şartlarında rekabet edebilmesi için kalite, düşük maliyet e dayanıklılık gibi özellikleri taşıması gerekir. Bu durum piyasadaki hemen her ürün için geçerli olduğu gibi kompozit malzemeler için de geçerlidir. Bu şartlar altında en uygun ürünün tasarımına ihtiyaç duyulur. Bu ise tasarım optimizasyon ile gerçekleşebilir. Bu nedenle mühendisler çeşitli optimizasyon teknikleri kullanırlar (3). Bu çalışmada, son yıllarda kullanım alanı oldukça genişleyen genetik algoritma (GA) tekniği ile tabakalı kompozit plağın optimal tasarımı hedeflenmiştir. Yapılan çalışmada simetrik tabakalı kompozit plağın rijitliği optimize edilmektedir. Bunun için öncelikle optimize edilecek kompozit plağın malzemesi, geometrik özellikleri, tabaka sayısı e fiber açıları belirlenmiştir. Optimizasyon için klasik kompozit plak denklemleri kullanılarak maksimum rijitlik katsayısı e kompozit plak için kolay üretilebilecek farklı fiber açıları için alternatifler bulunmuştur. Daha sonra laminasyon parametreleri kullanılarak elde edilen denklemlerle aynı kompozit plağın optimizasyonu yapılmış e her iki yöntemin aantaj e dezaantajları karşılaştırılmıştır. II. MATERYAL VE METOT Rijitlik optimizasyonu için kullanılan kompozit plak grafit-epoksiden yapılmış olup, bu malzemeye ait özellikler Tablo de erilmiştir. Kompozit plağın fiber açıları üretim kolaylığı açısından 02, 22.5, 45, 7.5 e 902 olarak belirlenmiş olup plak simetrik e dengelidir. Tabaka açıları tasarım değişkeni olarak kabul edilmiştir. Plağın 24 e 48 tabaka olması durumuna göre hesaplar yapılmıştır. Simetrik yapıdan dolayı GA da genetik diziliş sadece plağın yarısını temsil etmektedir. Dizilişteki her bir gen tabakaların açılarına karşılık gelen reel eya doğal sayılardır. Plakada 24 tabaka olmakla birlikte, simetrik tabakalama ile parametre sayısı 2 ye e tabaka açılarının aynı ikili gruplardan oluşması ile ya (n=) düşmektedir. Aynı durum 48 tabaka için de geçerlidir. Tablo : Grafit-epoksinin malzeme özellikleri (4) Malzeme Grafit-epoksi Elastik Modül, E, GPa (Psi) 50.3 (2.8 0 7 ) Elastik Modül E 2, GPa (Psi) 9.54 (.38 0 ) Kayma Modülü G 2, GPa(Psi).08 (.55 0 5 ) Poisson Oranı 0.2 Malzeme Sabiti U, GPa (Psi).342 (0.8897 0 7 ) Malzeme Sabiti U 2, GPa (Psi) 70.98 (.0254 0 7 ) Malzeme Sabiti U 3, GPa (Psi) 8.905 (0.2742 0 7 ) Malzeme Sabiti U 4, GPa (Psi) 2.394 (0.303 0 7 ) Malzeme Sabiti U 5, GPa (Psi) 9.974 (0.2897 0 7 ) Kalınlık h, m (in) 0.00508 (0.2) Optimizasyon çalışmaları için Matlab programının genetik algoritma araç kutusundan faydalanılmıştır. Genetik algoritma parametreleri için bir ön çalışma yapılmış olup popülasyon büyüklüğü 30, stokastik seçim, elit birey sayısı 208

Tabakalı Kompozit Bir Malzemenin Genetik Algoritma Yöntemiyle Rijitlik Optimizasyonu 0, çaprazlama olasılığı.0 e iki noktalı üniform mutasyon e mutasyon oranı ise 0.02 olarak alınmıştır. Rijitlik optimizasyonu çalışmasında amaç, efektif Poisson oranı kısıtına bağlı olarak düzlem içi rijitlik katsayısı olan A 22 yi maksimum yapmaktır. Klasik laminasyon teorsinde plak rijitlik değerleri tabakaların düzlem içi özellikleri e tabaka açıları kullanılarak, bu özelliklerin kalınlık boyunca integrasyonu ile bulunur. Rijitlikler malzeme, tabaka açılarının karmaşık bir fonksiyonudur. Ancak laminasyon parametreleri kullanıldığında malzeme özellikleri e tabaka açılarının rijitlik üzerinde etkisi ayrışmaktadır. Düzlem içi laminasyon parametrelerine bağlı olarak A 22 rijitlik katsayısı denklem () deki gibi yazılabilir. A h U V U V U () 22 2 2 3 Burada h plak kalınlığı, V ler tabaka açısına bağlı laminasyon parametreleri, U lar ise malzeme özelliklerine bağlıdır (5, ). V e V 2 düzlem içi laminasyon parametrelerine bağlı olarak efektif Poisson oranı denklem (2) den bulunabilmektedir (5). A2 U4 U3 V2 A U U V U V 22 2 3 2 Bu çalışma kapsamında efektif Poisson oranı ( ), l u olarak kısıtlanmış olup l 0.48 e u 0.52 dir. Kısıt fonksiyonuna bağlı olarak amaç fonksiyonları denklem (3) de erilmiştir (5). A22 maksimum F( ) A22 p g( ) g( ) min, l u g( ) 0 ise g( ) 0 (2) (3) Ceza parametresi değeri p 50 olarak belirlenmiştir. Bu problem öncelikle laminasyon parametrelerini kapsayan formülasyonlarla çözülmüş olup 24 (n=) e 48 (n=2) tabaka için sonuçlar elde edilmiştir. Her optimizasyon için GA bağımsız olarak 50 kere çalıştırılmıştır e sonuçlar lb/in. cinsinden hesaplanmıştır. İki yöntem, farklı popülasyon büyüklüklerinin işlemci zamanına (CPU) olan etkisi bakımından kıyaslanmış e sonuçlar Tablo 4, 5, e 7 de erilmiştir. Tablo 2: İki yöntemle elde edilen sonuçlar (n=) Klasik denk. F (lb/in.).897 0 Laminasyon par..897 0 0.59 0.59 Fiber Açıları Konfigürasyonu [ 7.5 2 / 45 4 ] s [ 7,5 2 / 45 4 ] s Tablo 3: İki yöntemle elde edilen sonuçlar (n=2) Klasik denk. F (lb/in.).922 0 Laminasyon par..922 0 0.489 0.489 Fiber Açıları Konfigürasyonu [90 2 / 7.5/ 45 8 / 7.5 2 ] s [90 2 / 45 4 / 7.5/ 45 5 /90 2 ] s Tablo 4: Klasik denklemlerin kullanılmasının ortalama CPU zamanına etkisi (n=) [30] 7.25 33 (5) [0] 9.4 48 (5) [90].29 49 (5) Tablo 5: Laminasyon parametrelerinin kullanılmasının ortalama CPU zamanına etkisi (n=) [30] 3.47 39 (5) [0] 5.28 50 (5) [90] 8.52 50 (5) III. BULGULAR Çalışmalar sonucu elde edilen optimum amaç fonksiyonları, efektif Poisson oranları e optimum fiber açıları konfigürasyonu sonuçları Tablo 2 e Tablo 3 de gösterilmiştir. Tablo 2 e Tablo 3 de görüldüğü gibi klasik rijitlik denklemleri e laminasyon parametreleri kullanılarak elde edilen denklemlerden alınan sonuçlar benzerdir. Fiber açıları konfigürasyonu popülasyon sayısı arttıkça farklılaşmaktadır. Burada programın 50 defa çalıştırılmasından elde edilen e imalat açısından en kolay olanı gösterilmiştir. 209 Tablo : Klasik denklemlerin kullanılmasının ortalama CPU zamanına etkisi (n=2) [30] 9.24 2 (2) [0].2 3 (33) [90] 4.22 48 (42)

Ö. Soykasap, K. B. Sugözü Tablo 7: Laminasyon parametrelerinin kullanılmasının ortalama CPU zamanına etkisi (n=2) [30] 5.44 20 (4) [0].5 40 (35) [90] 9.42 45 (43) Tablo 4, 5, e 7 de belirtilen sonuçlar GA nın bağımsız şekilde 50 defa çalıştırılmasıyla elde edilmiştir. Görüldüğü gibi popülasyon büyüklüğünün artması işlemci zamanını arttırması bakımından dezaantaj olsa da daha fazla global optimum noktayı yakalaması için aantajdır. Her iki yöntemi zaman açısından kıyasladığımızda laminasyon parametreleri kullanılarak elde edilen denklemlerin daha aantajlı olduğu görülmektedir. Örneğin; 24 tabaka için programda popülasyon büyüklüğü 0 olarak alınırsa ortalama CPU zamanı klasik denklemlerin kullanılması söz konusu ise 9.4 saniye, laminasyon parametreleri kullanılması halinde ise 5.28 saniyedir. Yani laminasyon parametrelerinin kullanılması yaklaşık yarı yarıya zaman kazandırmaktadır. Elde edilen optimum nokta açısından karşılaştırdığımızda ise laminasyon parametreleri kullanımıyla 50 çalıştırmanın hepsinde global optimum noktanın yakalandığı Tablo 5 de açıkça görülmektedir. Genetik algoritma terminolojisine göre daha elit (en iyi) bireyler elde etmek amacıyla ikili popülasyon grupları oluşturulmuş e bireylerin birinden diğerine göç etmesine (migration) izin erilmiştir (7,8). Bu çalışma için de ortalama CPU zamanı hesaplanmış olup sonuçlar Tablo 8, 9, 0 e de belirtilmiştir. Tablo 8: Klasik denklemlerin kullanılmasıyla popülasyon gruplarının ortalama CPU zamanına etkisi (n=) [20, 20] 9.27 35 (4) [20, 30] 0.08 43 (5) [20, 40].32 47 (5) [30, 30].5 47 (5) [30, 40] 2.09 48 (5) [40, 40] 2.5 50 (5) grubu oluşturmak optimum sonuçlar elde etmek açısından aantajlı olsa da zaman bakımından dezaantajdır. Görüldüğü gibi tabaka sayısı e popülasyon grupları arttıkça programın işlemci zamanı da artmaktadır (9, 0). Ayrıca her iki yöntemden elde edilen sonuçlar Şekil de gösterilmiştir. Sonuçlar 24 e 48 tabakaya göre bağımsız olarak kıyaslanmıştır. Şekil, 24 tabaka için Şekil 2 ise 48 tabaka için elde edilen sonuçları göstermektedir. 20 Tablo 9: Laminasyon parametrelerinin kullanılmasıyla popülasyon gruplarının ortalama CPU zamanına etkisi (n=) [20, 20] 7.29 4 (4) [20, 30] 9.58 47 (5) [20, 40] 0.7 48 (5) [30, 30] 0.53 47 (5) [30, 40].43 49 (5) [40, 40] 2.23 49 (5) Tablo 0: Klasik denklemlerin kullanılmasıyla popülasyon gruplarının ortalama CPU zamanına etkisi (n=2) [20, 20] 9.57 28 (25) [20, 30] 0.2 33 (29) [20, 40] 2.33 38 (33) [30, 30] 2.49 40 (35) [30, 40] 5.29 38 (34) [40, 40] 20. 42 (39) Tablo : Laminasyon parametrelerinin kullanılmasıyla popülasyon gruplarının ortalama CPU zamanına etkisi (n=2) [20, 20] 8.4 2 (27) [20, 30] 0.04 3 (30) [20, 40] 0.48 33 (32) [30, 30].25 4 (38) [30, 40] 4.5 35 (34) [40, 40] 8.54 45 (44) Şekil deki sonuçlar algoritmanın bağımsız olarak 50 defa çalıştırılmasından elde edilmiştir. Şekil de yatay eksen popülasyon sayısı ile jenerasyon sayısının çarpımını ifade eder. Şekil (a) da dikey eksen elde edilen maksimum amaç fonksiyonunun ortalamasıdır. Şekil (b) de dikey eksen ise sonuçların güenilirliğini(optimum noktayı yakalama) erir. Sonuçları kıyaslayacak olursak; Şekil (a) da görüldüğü gibi laminasyon parametreleri denklemleriyle elde edilen GA sonuçları () klasik rijitlik denklemleriyle elde edilen GA sonuçlarından (GA-klasik denk.) daha iyidir. Çünkü GA-laminasyon parametrelerinin algoritma başlangıç noktası optimuma daha yakındır. GAklasik denklemde ise algoritma başlangıç noktası

Güenilirlik (50 çalıştırma) Ortalama Maksimum Amaç Fonksiyonu A 22 (lb/in) (50 çalıştırma) Güenilirlik (50 çalıştırma) Ortalama Maksimum Fonksiyon A 22 (lb/in) (50 çalıştırma) Tabakalı Kompozit Bir Malzemenin Genetik Algoritma Yöntemiyle Rijitlik Optimizasyonu optimumdan daha uzaktır. GA-laminasyon parametreleri ilk optimum noktayı 330 değerlendirmede yakalayıp bundan sonraki her jenerasyonda optimum noktayı bulurken GAklasik denklemler 30 değerlendirmede yakalamasına rağmen sonraki her jenerasyonda optimumu yakalayamamıştır. Şekil (b) de GA-laminasyon parametrelerinin algoritma başlangıç noktası GA-klasik denklemlerden daha yüksektir. Ayrıca GA-laminasyon parametreleri 5. jenerasyonda e sonraki her jenerasyonda optimum noktayı bulurken GAklasik denklemler ancak 3. jenerasyonda optimum noktayı bulabilmiştir. Bu durumda GA-laminasyon parametrelerinin güenilirliği % 83.33 iken GA-klasik denklemlerin güenilirliği %5. dır. 2,00E+0,90E+0,80E+0,70E+0,0E+0,50E+0,40E+0,30E+0,20E+0,0E+0,00E+0 9,00E+05 8,00E+05 0 00 200 300 400 500 00 700 800 900 000 2,00E+0,90E+0,80E+0,70E+0,0E+0,50E+0,40E+0,30E+0 0 00 200 300 400 500 00 700 800 900 000, 0,9 0,8 0,7 0, 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 00 200 300 400 500 00 700 800 900 000 Şekil : n= için laminasyon parametreleri e genel rijitlik denklemleri ile çözülen problemde (a) maksimum amaç fonksiyonu ortalaması, üstte (b) güenilirlik, altta Şekil 2 ise n=2 için elde edilen sonuçların ortalama maksimum amaç fonksiyonu e güenilirliğini gösterir. Şekil 2 sonuçları algoritmanın bağımsız olarak 50 defa çalıştırılmasından elde edilmiştir. Şekil 2 de yatay eksen popülasyon sayısı ile jenerasyon sayısının çarpımını ifade eder. Şekil 2 (a) da dikey eksen elde edilen maksimum amaç fonksiyonunun ortalamasıdır. Şekil 2 (b) de dikey eksen ise sonuçların güenilirliğini yani optimum noktayı yakalama olasılığıdır. Sonuçları kıyaslayacak olursak; Şekil 2 (a) da görüldüğü gibi GA-klasik denklemler ilk optimum noktayı erken yakalama açısından GA-laminasyon parametrelerinden iyi olsa da GA-laminasyon parametresinin algoritma başlangıç noktası optimuma daha yakındır. GA-klasik denklemlerde ise algoritma başlangıç noktası optimumdan daha uzaktır. 2, 0,9 0,8 0,7 0, 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 00 200 300 400 500 00 700 800 900 000 Şekil 2: n=2 için laminasyon parametreleri e genel rijitlik denklemleri ile çözülen problemde (a) maksimum amaç fonksiyonu ortalaması, üstte (b) güenilirlik, altta Şekil 2 (b) de de aynı şekilde GA-laminasyon parametrelerinin algoritma başlangıç noktası GA-klasik denklemlerden daha yüksektir. Ayrıca GA-laminasyon parametreleri 2. jenerasyonda e sonraki her jenerasyonda optimum noktayı bulurken GA-klasik denklemler ancak 7. jenerasyonda optimum noktayı bulabilmiştir. Bu durumda GA-laminasyon parametrelerinin güenilirliği % 3.33 iken GA-klasik denklemlerin güenilirliği %4. dır. IV. SONUÇLAR Klasik kompozit plak denklemleri e laminasyon parametreleri denklemleri kullanılarak kompozit plaklarda rijitlik optimizasyonu yapılmıştır. Yapılan optimizasyon çalışmaları sonucunda bazı lokal noktalarda takılmalar olduğu e global en iyi değerin bulunamadığı görülmüştür. Bu lokal takılmalardan kurtulmak için program operatörlerinde değişiklikler yapılmıştır. Bu durum yapılan optimizasyon çalışmalarında operatörlerin ne kadar önemli olduğunun göstergesidir. Rijitlik optimizasyonunda her iki denklem kullanılarak çalıştırılan algoritma aynı optimum sonuçları bulmasına rağmen genel rijitlik denklemleriyle çalıştırılan algoritma daha fazla zaman almıştır. Ayrıca klasik rijitlik denklemleri kullanılarak yapılan çalışma, başlangıçta optimum noktadan çok uzak noktalar bulmuş e optimum noktayı, laminasyon parametreleri kullanılarak elde edilen denklemlerle çalıştırılan algoritmanın bulduğu jenerasyondan daha geç jenerasyonlarda bulmuştur. Ancak her iki algoritma farklı konfigürasyon sayısı bulma bakımından birbirinden çok farklı değildir.

Ö. Soykasap, K. B. Sugözü Optimizasyon sonuçları daha erimli sonuçlar almak bakımından algoritmaların bağımsız olarak 50 defa çalıştırılması sonucu elde edilmiştir. Eğer her iki yöntemde de programın çalışma sayısı arttırılırsa bulunacak olan farklı konfigürasyon sayısı da buna bağlı olarak artacaktır. KAYNAKLAR [] Taşgetiren, S., Kompozit Malzemelere Giriş Ders Notları, AKÜ Yayını, Afyon, 999. [2] Aydoğdu, M., Katmanlı Kompozit Dikdörtgen Plakların Burkulma e Titreşim Analizi, Doktora Tezi, Trakya Üniersitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Tekirdağ, 2003. [3] Karakaya, Ş., Tabakalı Kompozit Plakların Gelişmiş Global Optimizasyon Teknikleriyle Yapısal Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi, Afyon Kocatepe Üniersitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Afyonkarahisar, 2007. [4] Jones, R. M., Mechanics of Composite Materials, Taylor & Francis Inc., 2nd ed., p.59, PA, 999. [5] Grosset, L., LeRiche, R., Haftka, R. T., A Double-Distribution Statistical Algorithm for Composite Laminate Optimization, Structural and Multidisciplinary Optimization, 3:49-59, 200. [] Yiğit K. B., Tabakalı Kompozit Malzemelerde Rijitlik e Dayanım Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi, Afyon Kocatepe Üniersitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Afyonkarahisar, 200. [7] Karakaya, Ş. and Soykasap, Ö., Buckling Optimization of Laminated Composite Plates Using Genetic Algorithm and Generalized Pattern Search Algorithm, Structural and Multidisciplinary Optimization, 39 (5), 477-48, 2009. [8] Soremekun, G., Gürdal, Z., Haftka, R. T., Warson, L. T., Composite Laminate Design Optimization by Genetic Algorithm with Generalized Elitist Selection, Comput Struct 79:3 43, 200. [9] Lin, C. C., Lee, Y. J., Stacking Sequence Optimization of Laminated Composite Structures Using Genetic Algorithm with Local İmproement, Compos Struct 3:339 345, 2004. [0] Park, J. H., Hwang, J. H., Lee, C. S., Hwang, W., Stacking Sequence Design of Composite Laminates for Maximum Strength Using Genetic Algorithm, Compos Struct 52:27 23, 200. 22