Nedim TUTKUN Düzce Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Düzce-Türkiye

Transkript

1 Optimizasyon Teknikleri Nedim TUTKUN Düzce Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Düzce-Türkiye

2 Optimizasyon nedir? İşleri daha iyi yapmak Daha fazla kâr elde etmek En iyisini belirlemek Az şeyle çok iş yapmak Optimizasyon, bütün kısıtları sağlayacak şekilde amaç fonksiyonunu en büyük veya en küçük yapan tasarım değişkenlerini bulmak olarak tanımlanabilir.

3 Optimizasyon nedir? En genel anlamda optimizasyon mümkün olan en elverişli çözümü bulma sürecidir. Mühendisler verilen işi en düşük maliyetle en etkin bir şekilde yapan cihazları ve ürünleri tasarlamak durumundadır. Bu nedenle mühendisler her zaman performans ve sınırları dengede tutan optimizasyon problemleri ile karşılaşırlar.

4 Optimizasyon nedir? Matematiksel bir perspektiften bakıldığında, optimizasyon, bir veya birden fazla değişkene bağlı bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini bulmakla ilgilenir. Burada amaç verilen fonksiyon için maksimum ve minimumları veren değişken değerlerinin bulunmasıdır. Bulunan optimal değerler ile fonksiyonun alabileceği en büyük ve en küçük değerler hesaplanır.

5 Tarihsel Süreç Tarihsel sürece bakıldığında bir çok bilim insanı optimizasyon ile ilgili çalışmalar yapmıştır. Bunlardan bazı aşağıdaki gibidir. Newton, Leibniz, Bernoulli, De l Hospital (1697) Lagrange (1750): kısıtlı optimizasyon Cauchy (1847): en dik azalış Dantzig (1947): Simplex yöntemi (Lineer Programlama (LP)) Kuhn, Tucker (1951): optimallik koşulları Karmakar (1984): dahili nokta yöntemi (LP) Bendsoe, Kikuchi (1988): topoloji optimizasyonu

6 Neler Yapılabilir? Optimizasyon teknikleri şunlar için kullanılabilir: Çalışan bir tasarım veya sistemin yapılması En iyi performansa ulaşma Tasarımı veya sistemi güvenilir ve sağlam yapmak Ayrıca aşağıdaki konularda fikir verir: Tasarım problemi Temel fizik Model zayıflıkları

7 Optimizasyon problemi Tasarım değişkenleri: tasarım probleminin parametrelendirildiği değişkenler x x 1, x 2,, x n Amaç: Minimize veya maksimize edilecek miktar f (x) Genellikle maliyet fonksiyonu olarak adlandırılır. Kısıt: sağlanması gereken koşul Eşitsizlik kısıtı: Eşitlik kısıtı: g(x) 0 h(x) 0

8 Optimizasyon problemi Optimizasyon probleminin genel biçimi: Min f (x) x g(x) 0 h(x) 0 x X n x L x x U

9 Optimizasyon problemlerini çözme Optimizasyon problemleri genellikle bir iteratif algoritma kullanılarak çözülür: Sabitler Tasarım değişkeni x Model Optimize edici Değerler f, g, h Türev değerleri (tasarım hassasiyetleri) f, g, h x i x i x i

10 Boyutsallık sorunu Değişken sayısının artması problemi karmaşık hale getirir. n adet tasarım değişkeniyle ilgili bir problem düşünün Her değişkeni m örnekle örnekleyin Gerekli hesaplama sayısı: m n Hesaplama başına 1 saniye, 10 değişken, 10 örnek: toplam süre 317 yıl

11 Paralel hesaplama Büyük problemler için optimizasyon çok büyük bilgisayar gücü gerektirir. Paralel hesaplama

12 Tasarım sürecinde optimizasyon Conventional Optimizasyonda design tasarım process: süreci: BeIirlenecek hususlar: 1. Tasarım değişkenleri 2. Amaç fonksiyonu 3. Kısıtlar Collect data to describe Sistemi the tanımlamak system için veri topla Başlangıç Estimate initial tasarımını design tahmin edin Analyze Sistemi the system analiz edin Check Kısıtları performance kontrol et criteria Tasarım yakınsama kriterlerini Is design satisfactory? karşılıyor mu? Done Change design based Bir optimizasyon metodu on experience / heuristics kullanarak / wild tasarımı guesses değiştirin Evet DUR

13 Tasarım sürecinde optimizasyon Global optimum en iyi çözümü sunar ve yerel bir optimum ise en iyi çözüm olmasa bile yakındaki değerlere göre daha iyidir. Yerel optimumları içeren durumlar multimodal olarak adlandırılır. Bu gibi durumlarda, global optimumun bulunması çoğu zaman istenir. Ayrıca global yerine yerel optimumun yanlışlıkla alınmaması için dikkatli olmak gerekir.

14 Tasarım sürecinde optimizasyon Global maksimum Lokal maksimum Global minimum Lokal minimum

15 Tasarım sürecinde optimizasyon Optimum Minimum Maksimum

16 Tasarım sürecinde optimizasyon Tıpkı kök bulmada olduğu gibi, tek boyutlu optimizasyon paranteze alma ve açık yöntemler olarak ikiye ayrılır. Altın-Bölme Golden Section arama yöntemi paranteze alma yönteminin bir örneği olup kök bulma yöntemi olan Aralık Yarılama yöntemi ile benzerlik gösterir. Biraz daha karmaşık olan parabolik enterpolasyon yaklaşımı ise başka bir yöntemdir. Bu iki yöntemin birleştirilip MATLAB ın fminbnd fonksiyonu ile kullanılır. >> fminbnd('fun',a,b)

17 Neden optimizasyon popüler? Popülerlik nedenleri: Sayısal modelleme tekniklerinin kullanılabilirliğini artması Ekonomik olan bilgisayarda gücün artması Artan rekabet ve küresel pazarlar Daha iyi ve daha güçlü optimizasyon teknikleri Artan pahalı üretim süreçleri (deneme yanılma yaklaşımı ile yapılan üretim çok pahalıdır) Optimizasyon bilgisi olan daha fazla mühendisin olması

18 Optimizasyon tuzakları! Doğru şekilde problemin formülasyonu kritik öneme sahiptir! Verilen bir problem için doğru algoritmayı seçmek önemlidir! Birçok algoritma çok sayıda kontrol parametresi içerir Optimizasyon, modellerdeki zayıf noktaları kullanma eğilimi gösterir Optimizasyon çok hassas tasarımlarda sorun çıkarabilir Bazı sorunlar oldukça zor, büyük ve pahalıdır

19 Yapısal optimizasyon Yapısal optimizasyon = Yapılara optimizasyon teknikleri uygulanabilir Farklı kategoriler: Boyutlandırma optimizasyonu Malzeme optimizasyonu E, Şekil optimizasyonu r L R h Topoloji optimizasyonu t

20 Şekil optimizasyonu Yamaha R1

21 Topoloji optimizasyon örnekleri

22 Sınıflandırma Problemler: Kısıtlı ve kısıtsız optimizasyon Tek düzeyli ve çok düzeyli optimizasyon Tek amaçlı ve çok amaçlı optimizasyon Deterministik ve stokastik Çözümler: Lineer ve lineer olmayan Konveks ve konveks olmayan Düzgün ve düzgün olmayan Değişkenler: Sürekli ve tam sayı kesikli

23 Pratik örnek: Airbus A380 Airbus A380'in kanat sertleştirici kaburgaları: Amaç: ağırlığı azaltmak Kısıtlar: stres, burkulma Ön kenar kaburgaları

24 Pratik örnek: Airbus A380 Topoloji optimizasyonu: Boyutlandırma/şekil optimizasyonu:

25 Airbus A380 Örneği Sonuç: 500 kg ağırlık tasarrufu

26 Diğer örnekler Jaguar F1 FRC ön kanat: Maksimum yer değiştirmelerde ağırlık kısıtlamalarını azaltmak 5% tasarruf sağlandı

27 Diğer Örnekler Paketleme ürünlerin dizaynı optimizasyonu Amaç: kullanılan malzemeyi en aza indirmek Kısıtlamalar: stres, burkulma Sonuç:% 20 tasarruf edildi.

28 Aktif kateter optimizasyonu

29 Diğer Optimizasyon Uygulamaları Optimizasyon ayrıca aşağıdaki alanlarda da uygulanır: Protein katlama Sistem tanılama Finansal piyasa tahmini (opsiyon fiyatlaması) Lojistik (gezgin satıcı problemi), rota planlama, yön eylem araştırması Kontrolör tasarımı Uzay aracı yörünge planlaması Yapısal tasarım optimizasyonu

30 Bir tasarım optimizasyon problemini ilginç kılan nedir? İyi tasarım optimizasyon problemleri genellikle çıkar çatışması / çelişen gereksinimler gösterir: Uçak kanadı: rijitlik / ağırlık Yağ şişesi: sertlik / burkulma yükü / malzeme kullanımı Aksi takdirde sorun önemsiz olabilir!

31 Optimizasyon modeli Optimizasyon problemleri genellikle bir iteratif algoritma kullanılarak çözülür: Sabitler Tasarım değişkeni x Model Optimize edici Değerler f, g, h Türevl değerleri (tasarım hassasiyetleri) f, g, h x i x i x i

32 Sistem yaklaşımı Giriş Sistem Fonksiyon Çıkış Ortam Sistematik düşünme biçimi: Giriş / çıkışlar nelerdir? Sisteme veya ortama ait olanlar hangileridir? Ayrıntı seviyesi ne ölçüde olmalıdır? Alt sistemleri ve hiyerarşileri ayırt edilmeli

33 Örnek: konsol kirişi: F, U h E, U(t) F(t) E,, h, L i F(t) U(t)

34 Model örneği E, L h, b F, U Çelik U(x), M(x), V(x) b h Matematiksel model: U FL 3 3EI FL 3 bh 3 3E 12 Sonlu elemant model: 1 U K(E, L,b, h) F

35 Model örneği (2) E, L h, b F, U Çelik U(x), M(x), V(x) Sistem (durum) değişkenleri: Sistem parametreleri: Sistem sabitler: h b U(x), M(x), V(x) h, b, L E,

36 Bilgisayar modellerinin özellikleri Sonlu doğruluğun nedenleri: Ayrıklaşma zamanı ve arama uzayı Sonlu sayıda iterasyon (özdeğerler, doğrusal olmayan modeller) Sayısal yuvarlama hataları, kötü koşullar Çözümler "gürültü" içerebilir: Arama uzayında ve/veya farklı ayrıklıklaşma nedeniyle bu olabilir. Örneğin tekrar ağ yapısı oluşturma.

37 Gürültü içeren çözüm Örnek: tekrar ağ yapısı oluşturma etkisi Normalize edilmiş stres kısıtı Delik çapı

38 Bilgisayar modellerinin özellikleri Hesaplamalı modeller (çok) zaman alır Çoğu zaman tasarım hassasiyetleri hesaplanabilir Tasarım hassasiyetinin maliyet analizi? Hassasiyetlerin doğruluğu / tutarlılığı Çözüm Tam Nümerik Model Tasarım Değişkeni

39 Sonlu fark hassasiyetleri Duyarlılık hesaplamanın basit yolu: sonlu farklar df f ( x x) f ( x) dx x Küçük! f f (x x) f (x) x Fazla ayrıntı daha sonra verilecek! x

40 Einstein'ın tavsiyesi Her şey mümkün olduğunca basit yapılmalı, ancak daha basit olmamalıdır. Modelin basitleşmesi optimizasyon için önemlidir.!

41 Kaynaklar P.Y. Papalambros & D.J. Wilde, Principles of Optimal Design, Modeling and Computation Singiresu S. Rao, Engineering Optimization: Theory and Practice Chong E.K.P. and Zak S.H., An Introduction to Optimization Fred van Keulen & Matthijs Langelaa, Lecture Notes on Engineering Optimization, Delft University, 2008