YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III"

Ekin Ayla Doğançay
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN

2 İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem)

3 Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak x = x 1, x 2,, x n g = (g 1, g 2,, g m ) T şeklinde gösterilir. f x ve g i x, i = 1,2, m fonksiyonlarının 2. mertebeden türevlenebilir ve sürekli oldukları kabul edilmiştir.

4 L x, λ = f x λg(x) olsun. Burada L Lagrange fonksiyonu, λ parametreleri ise Lagrange çarpanları olarak adlandırılır.

5 Tanım olarak gerek şartlardan; L x = 0 ve L λ = 0 eşitlikleri Lagrange fonksiyonunun gerek şartlarını oluşturur. Verilen g(x)=0 kısıtına göre f(x) in optimizasyonu; L (x, λ) Lagrange fonksiyonunun optimizasyonuna denktir.

6 Lagrange metodu için Yeter Şartlar ise şöyle yazılabilir: H B 0 P = P T Q m+n x (m+n) Burada; P= g kısıtlarının 1.mert.türevlerinin matrisi Q= L (Lagr.fonk.nun) 2.mert.türevlerinin matrisidir. P = g 1 (xi)... g m (xi) mxn ve Q = 2 L(x, λ) x i x j nxn

7 (X 0, λ 0 ) değerleri belirlendiğinde, o zaman yeter şartlar; 1. X 0 maksimum noktadır, eğer (2m+1) mertebeli asal majör = en büyük determinant ile başlayan ve H B nin sonraki toplam (n - m) adet asal minör = daha küçük determinantları ( 1) m+1 işaretinden başlayarak alterne işarete (+,-,+,-) sahip ise (negatif definit özelliği) 2. X 0 minimum noktadır, eğer asal minör determinantı ile başlayan ve H B nin sonraki (daha büyük mertebeli) (n - m) asal minör determinantları ( 1) m işaretine sahip ise.

8 Bu şartlar ekstremum noktaların belirlenmesinde yeter şartları oluştururken gerekliliği sağlamazlar. Bunu gidermek için gerek ve yeter şartları yerine getiren başka şartlar vardır. Fakat bu şatların belirlenmesinde kullanılan hesaplarda olursuz durumlar da söz konusu olabilmektedir.

9 P ve Q matrislerinin (X 0, λ 0 ) stasyoner noktasındaki değerlerinden oluşan = P T 0 P Q μi (Q μi H B de Q den μ nün çıkarılması ile elde edilir. ) Matrisini tanımlayalım. Burada P ve Q yukarda tanımlanmıştır. μ ise bilinmeyen yeni bir parametredir.

10 Δ determinantını ele alalım; Δ = 0 polinomu her bir u i (n-m) gerçel kökü olan (μ ler) için; 1. Eğer X 0 maksimum nokta ise μ ler negatif 2. Eğer X 0 minimum nokta ise μ ler pozitif olmalıdır. Bu şartlar yeter şartları oluşturur.

11 Örnek 1: Aşağıdaki problemi Lagrange metodu ile çözelim. Amaç fonksiyonu: min f x = x x x 3 Kısıtlar: g 1 x = x 1 + x 2 + 3x 3 2 = 0 g 2 x = 5x 1 + 2x 2 + x 3 5 = 0

12 Örnek 1: L x, λ = f x λ 1 g 1 x λ 2 g 2 x genel ifadesine göre: L x, λ = x x x 3 2 λ 1 x 1 +x 2 +3x 3 2 λ 2 5x 1 + 2x 2 + x 3 5

13 Örnek 1: Gerek Şartlar; L x 1 = 2x 1 λ 1 5λ 2 = 0 L x 2 = 2x 2 λ 1 2λ 2 = 0 L x 3 = 2x 3 3λ 1 λ 2 = 0 L λ 1 = (x 1 +x 2 + 3x 3 2) = 0 L λ 2 = (5x 1 +2x 2 + x 3 5) = 0

14 Örnek 1: Bu denklem sisteminin çözümünden; X 0 = x 1, x 2, x 3 = (0. 81, 0. 35, 0. 28) λ 0 = λ 1, λ 2 = ( , ) değerleri elde edilir. Şimdi yukardaki elde edilen X 0 stasyoner noktasının ekstremum nokta olup olmadığını göstermek için;

15 Örnek 1: Yeter Şart için; H B = P T Q Sınırlı Hessien Matrisini inceleyelim; m=2 ve n=3 n-m=3-2 = 1 adet asal minör determinantı inceleyelim.

16 Örnek 1: Yeter Şart için; H B = P T Q Minimum durumda (m = 2) den ( 1) 2 = 1 in işareti +. H B nin determinantını incelediğimizde: H B = 460 > 0 olduğundan X 0 minimum noktadır.

17 Örnek 2: Amaç fonksiyonu min. z = x x x 3 Kısıt: g 1 x = 4x 1 + x x 3 14 = 0 olan problemi ele alalım.

18 Örnek 2: L x, λ = x x x 3 2 λ(4x 1 + x x 3 14) Burada aşağıdaki gerek şartlar ortaya çıkar. L x 1 = 2x 1 4λ = 0 L x 2 = 2x 2 2λ x 2 = 0 L x 3 = 2x 3 2λ = 0 L λ = 4x 1 + x x 3 14 = 0

19 Örnek 2: Bu eşitliklerin ortak çözümünden; x 0, λ 0 1 = 2, 2, 1, 1 x 0, λ 0 2 = (2, 2, 1, 1) x 0, λ 0 3 = (2.8, 0, 1.4, 1.4) değerleri elde edilir.

20 Örnek 2: Yeter şartlar sağlandığında ise; O P 0 4 2x 2 2 H B = 2x λ P T Q Hessien matrisi elde edilir. m=1, n=3 olduğundan minimum olan bir stasyoner nokta için (n-m)= (3-1) = 2 adet Asal minör determinantının işareti ( 1) m = ( 1) 1 = 1 olmalıdır.

21 Örnek 2: x 0, λ 0 1 = (2, 2, 1, 1) için n-m=3-1=2 Asal Minöre bakılırsa; = 64 < 0 ve = 32 < 0 ( 1) m = ( 1) 1 = 1 sağlanıyor

22 Örnek 2: x 0, λ 0 2 = (2, 2, 1, 1) için; = 64 < 0 ve = 32 < 0 ( 1) m = ( 1) 1 = 1 sağlanıyor

23 Örnek 2: x 0, λ 0 3 = (2.8, 0, 1.4, 1.4) için ; = 32 > 0 ve = 12.8 > 0 ( 1) m = ( 1) 1 = 1 sağlanmıyor

24 Örnek 2: Böylece (X 0 ) 1 ve (X 0 ) 2 noktalarının minimum nokta olduğu görülür. (x 0 ) 3 noktasının ise yeter şartları sağlamadığı, bu nedenle de ekstremum nokta olmayacağı görülmektedir. Böyle durumlarda verilen şartlar yardımıyla bu şartlar yeterli olabilse her ekstremum nokta için sağlamayabilirler. Bu durumda diğer yeter şartın kullanılması gerekir.

25 Örnek 2: Bunu göstermek için polinomun kökleri yardımıyla diğer yeter şartı kullanmalıyız. Buna göre; = 0 4 2x μ 0 0 2x λ μ μ matrisini ele alalım. x 0, λ 0 1 = (2,2,1,1) için Δ = 9μ 2 26μ + 16 = 0 Bu denklemden μ = 2 ve 8/9 elde edilir. Her iki μ > 0 olduğundan (x 0 ) 1 minimum noktadır.

26 Örnek 2: Bunu göstermek için polinomun kökleri yardımıyla diğer yeter şartı kullanmalıyız. Buna göre; = 0 4 2x μ 0 0 2x λ μ μ matrisini ele alalım. x 0, λ 0 2 = 2, 2, 1, 1 için Δ = 9μ 2 26μ + 16 = 0 Bu denklemden yine μ = 2 ve 8/9 elde edilir. Her iki μ > 0 olduğundan (x 0 ) 1 minimum noktadır.

27 Örnek 2: Bunu göstermek için polinomun kökleri yardımıyla diğer yeter şartı kullanmalıyız. Buna göre; = 0 4 2x μ 0 0 2x λ μ μ matrisini ele alalım. x 0, λ 0 3 = (2.8, 0, 1. 4, 1.4) için Δ = 5μ 2 6μ + 8 = 0 μ = 2 > 0 ve < 0 elde edilir. Buna göre (x 0 ) 3 bir ekstremum nokta değildir.

28 Yöneylem Araştırması - II Kaynaklar 1. Wayne Winston, Operations Research Applications and Algorithms 4th. Edition, M. Turhan Çoban, Optimizasyon Ders Notları. 3. MATLAB: Yapay Zeka ve Mühendislik Uygulamaları, Prof. Dr. C.Kubat, Beşiz Yayınları-1.Basım, Aralık 2012.

Benzer belgeler

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının