Ödeme Ödeme Ders 1: Faiz Hesapları Ankara Üniversitesi
Giriş Ödeme Ödeme Günlük yaşamımızda bizi faiz kavramıyla karşılaştıran birçok durum vardır. Örneğin, bankaya yatırılan para faiz getirecektir, bankada çekilen krediye faiz ödenecektir.
Giriş Tanımlar Ödeme Ödeme Tanım (2.1.1) Bir miktar paranın belirli bir süre için kullanımı için ödenen paraya faiz denir. Tanım (2.1.2) Faiz karşılığında borç alınan ya da borç verilen paraya anapara denir.
Giriş Tanımlar Ödeme Ödeme Tanım (2.1.3) Anaparanın kullanılması için anlaşma karşılığı faizde geçen zaman süre olarak adlandırılır. Yani faizin ödendiği zaman dilimidir. Tanım (2.1.4) Faizde kalma süresini belirlemek için kullanılan zaman birimine devre denir.
Ödeme Ödeme Tanım (2.1.5) Bir devrelik faizin anaparaya oranına faiz oranı denir. Faiz oranı devre uzunluğu işlemlerde uygulanan faiz hesaplama yöntemidir. Yöntemde esas olan belirtilmeden ifade ediliyorsa yıllık faiz oranı anlaşılır. ve S = A + I (2.1) I = A i (2.2) dir. Burada S Yıl sonu değer, A Ana para, I Faiz miktarı, i Faiz oranı olarak tanımlanmaktadır.
Ödeme Ödeme Basit faiz kısa vadeli kullandırılan veya kullanılan anaparanın devrenin tümünde sabit kalmasıdır. Anapara üzerinden belirlenen faiz oranı ile her devre için faiz hesaplanır. Bu uygulamada her devre için hesaplanan faiz anaparaya eklenmeden işleme devam edilir.
Ödeme Ödeme (2.1) ve (2.2) yardımıyla n yıl için S = A (1 + in) (2.3) olarak bulunur ve Oranı olarak adlandırılır.
Örnekler Ödeme Ödeme Örnek (2.2.1) 100 dolar %3 faiz oranı ile bankaya yatırılındığında yıl sonu değeri ne olur? Çözüm (2.2.1) 100 (1 + 0.03) = 103$ olur. Örnek (2.2.2) %2.5 faiz geliriyle birlikte $750 ın yıl sonu getirisi ne olur? Çözüm (2.2.2) $750 (1 + 0.025) = $ 768. 75 Faiz getirisi = 768.75 750 = 18.75
Birikimli (Bileşik) Faiz Ödeme Ödeme Her devre sonunda hesaplanan faiz anaparanın sahibine verilmeden, devre başındaki anaparaya eklenir ve bir sonraki devrenin faizi faizle artmış olan anapara üzerinden bulunur. Bu işlem son son devreye kadar devam ettirildiğinden son devrenin sonunda ortaya çıkan değer anaparanın bileşik faizinden biriken değeri olur. Paranın bir yıldan fazla süreler için getirisinin hesaplanması için kullanılan ve ilk formül yardımıyla bulunan bir formüldür. Burada n terimi de geçen süreyi verir. S = A (1 + i) n (2.4)
Birikimli (Bileşik) Faiz Ödeme Ödeme Örnek (2.3.1) $100 ın %3 faiz getirisine göre 2 yıl sonraki değeri nedir? Çözüm (2.3.1) S = 100 (1 + 0.03) (1 + 0.03) = 106. 09 Tanım (2.3.1) Bileşik faiz hesabında, anaparanın işleme girmesi ile ilk faizin hesaplanarak anaparaya eklenmesi arasında geçen zaman aralığına bileşik faiz devresi ya da kısaca devre denir.
Ödeme Ödeme Her yıl değişen faiz oranlarına göre paranın belli bir süre sonra alacağı değerin hesaplanması için kullanılır. Örnek (2.4.1) S = A (1 + i 1 ) (1 + i 2 )... (2.5) Birinci yıl %3, ikinci yıl %4 faiz oranına göre $100 ın iki yıl sonraki değeri nedir? Çözüm (2.4.1) S = 100 (1.03) (1.04) = 107. 12
Ödeme Ödeme Geçen süreler bir seneden az ise paranın alacağı değerin hesaplanması için kullanılır. Örnek (2.5.1) $250 ın, %8 yıllık faiz oranına göre 9 ay sonra alacağı değeri nedir? Çözüm (2.5.1) (0.08) (250) = $20 ve (3/4) 20 = $15 faiz almaktadır. Sonuç olarak 9 ay sonraki paranın değeri $250 + $15 = $265 olmaktadır.
Ödeme Ödeme Bir yıldan kısa süreler için, örneğin 6 aylık faiz oranının, bir yıl sonra ne getireceğini bulmak için kullanılır. Örneğin %6, altı aylık faize göre$100 ın 1 yıllık getirisinin ne kadar olacağını bulalım. buradan; 100 1.03 = $103.0(Altı ay sonraki değeri) 103 1.03 = 106. 09 (bir sene sonundaki değeri) Bileşik Faiz = (1 + i) n 1
Ödeme Ödeme Örnek (2.6.1) Bir banka %8.96 altı aylık, %9.16 yıllık faiz uyguluyorsa hangisini tercih ederiz? Çözüm (2.6.1) Altı aylık faiz = 8.96/2 = %4. 48 Bileşik faiz = (1 + i) n 1 = (1.0448) 2 1 = 1.09160704 1 = %9.16 Her ikiside aynı sonucu vermektedir.
Ödeme Ödeme Eşit zaman aralıklarında genellikle eşit miktardaki ödemelere annuity denir. Günlük hayatta annuitylere bir çok örnek bulunabilir. Örneğin: ipotek ödemeleri, maaşlar, emekli aylıkları, kira, bir malın taksitle ödenmesi ve hayat sigortası primleri gibi.
Ödeme Ödeme { Zorunlu Ödeme (Annuity Certain) ÖDEME Şartlı Ödeme (Contingent Annuity) Tanım (Zorunlu Annuity-Annuity Certain) Burada ödemeler sabit bir sayıda yapılır. Örneğin satın alınan bir malın taksitlerinin belirli bir süre ödenmesi. Tanım (Şartlı Annuity - Contingent Annuity) Burada ödemelerin devamı, bir olayın oluşuna ya da olmayışına bağlıdır. Örnek olarak yaşama şartına bağlı annuit kişi yaşadığı sürece ödeme yapılır. Yani burada primlerin devamı sigortalının yaşama şartına bağlıdır. Örneğin, Bir sigorta şirketinin özürlü/hasta birine yaptığı ödemelerdir. Bu ödemeler kişinin yaşadığı ve özürlü/hasta olduğu sürece yapılmaktadır.
Ödeme Ödeme ÖDEME (Annuities Immediate) (Annuities Due) Ödemeleri (Sinking Funds)
Ödeme (Annuity Immediate) Ödeme Ödeme Ödemeler her bir zaman aralığın sonunda yapılır. Örneğin işçi maaşları. S n i = (1 + i) n 1 + (1 + i) n 2 +... + (1 + i) 2 + (1 + i) + 1 (2.6) Örnek (2.7.1) Her yıl sonu $1 lık 5 ödemenin %4 faiz oranına göre 5 yılın sonundaki değeri nedir?
Ödeme (Annuity Immediate) Çözüm (2.7.1) Ödeme Ödeme S 5 %4 hesaplanacaktır. Eğer her yıl ödenen para $10 olsaydı; 1. yıl sonu değeri : $10 2. yıl sonu değeri : $10 1.04 + 10 = $20. 4 3. yıl sonu değeri : $ 20.4 1.04 + 10 = $31. 216 4. yıl sonu değeri : $31.216 1.04 + 10 = $42. 465 5. yıl sonu değeri : $42.465 1.04 + 10 = $54. 164 olacaktı. Elimizdeki para $1 olsaydı bu paranın 5. yıl sonundaki değeri $5.4164 olacaktı
Ödeme (Annuity Due) Ödeme Ödeme Ödemeler her bir aralığın başında yapılır. Örneğin kira ödemesi, memur maaşları... S n i = (1 + i) n + (1 + i) n 1 +... + (1 + i) 2 + (1 + i) (2.7) Örnek (2.7.2).. S n i = (1 + i) S n i (2.8) %3 faize göre her dönem başında yapılan $1 lık 4 ayrı ödemenin birikimli değeri nedir? Çözüm (2.7.2).. S 4 %3 = (1 + 0.03) 4 + (1 + 0.03) 1 + (1 + 0.03) 2 + (1 + 0.03) 1
Ödemeleri (Sinking Funds) Birikimli değer bilindiğinde, her bir ödemenin miktarını hesaplayacağız. Azalan fon ödemelerinin n yıl boyunca yapıldığını varsayalım ve yıllık faiz oranı i olsun. Ödeme Ödeme AFÖ S n i = Birikimli Değer AFÖ = Birikimli Değer S n i AFÖ.Ṡ n i AFÖ = = Birikimli Değer Birikimli Değer.. S n i
Ödemeleri (Sinking Funds) Ödeme Ödeme Örnek (2.7.3) 4 yılın sonunda birikimli değerin 600$ olabilmesi için 4 yıl boyunca her yılın sonunda yapılan azalan fon ödemesi ne olmalıdır? (i = %6) Çözüm (2.7.3) AFÖ = Birikimli Değer S n i = 600 S 4 %6 == 600 4.374616 = 137.15$
Çözüm (2.7.3 Devam) Ödeme Ödeme
Ödeme Ödeme Mevcut Değer Bugünkü Değer Present Value
Ödeme Ödeme Tanım İleri bir tarihte belirlenen miktara ulaşabilmek için dönemin başında yatırılması gereken miktardır. S = A (1 + i) n A = S (1 + i) n A = S v n
Ödeme Ödeme Örnek (2.8.1) Yıllık %6 faize göre yıl sonunda $100 almak için yatırılması gereken miktar nedir? Çözüm (2.8.1) A = 100/1.06 = $94. 34 Örnek (2.8.2) Yıllık %6 faize göre 10 yıl sonunda $100 alabilmek için gereken miktar nedir? Çözüm (2.8.2) A = 100/1.06 10 = 55. 839
a n i = v + v 2 +... + v n (2.9) Ödeme Ödeme Örnek (2.8.3) Dönem sonu ödeme planına göre 4 yıllık $20 lık ödemenin %5 faiz oranına göre peşin değeri nedir? Çözüm (2.8.3) Present Value = 20 a 4 %5 = 20 (v + v 2 + v 3 + v 4) =. = 70.92
Ödeme Ödeme.. a n i = 1 + v + v 2 +... + v n 1 = (1 + i) a n i = a n 1 i + 1 (2.10)
Annuity (Deferred Annuity) Ödeme Ödeme Tanım İlk ödemesi bir ya da daha çok sayıda ertelenen annuity olarak tanımlanabilir. Örneğin, yıllık i faiz ile, t 1 yıl ertelemeli t 2 yıl boyunca yıllık ödemesi olan annuityi buna bir örnektir. (K ile ödenecek miktar, t 1 ödeme yapılacak periyot sayısı, t 2 ile ertelenmiş olan süre gösterilirse) PV = K(.ȧ t 1 +t 2 i.ȧ t 2 i) = K.ȧ t 1 iv t 2
Annuity (Deferred Annuity) Ödeme Ödeme Örnek (2.8.4) Yıllık %4 faiz ile, 3 yıl ertelemeli 5 yıl boyunca yıllık ödemesi 10$ olan annuityi düşünelim. Çözüm (2.8.4) PV = 10.ȧ 5 %4 v 3 1 = 10 4.451822 ( 1 + 0.04 )3 = 39.58$
Ödemeleri Ödeme Ödeme Tanım Düzenli periyodik ödemeler vasıtasıyla bir borcun geri ödenmesine borcun amortize edilmesi denir. Ödemelerin kendisinede amortisman ödemesi denir. AÖ a n i = = a n i AÖ.ȧ n i = =.. a n i
Ödemeleri Ödeme Ödeme Örnek (2.8.5) 600$ borcu amorti etmek için 4 yıl boyunca her yılın osnunda yapılması gereken amortisman ödemesi ne olmalıdır? (i = 0.06) Çözüm (2.8.5) AÖ = = 600 a n i a 4 %6 = 600 3.465106 = 173.15$
Çözüm (2.8.5 Devam) Ödeme Ödeme