Limit Oyunları Ufuk Sevim ufuk.sevim@itu.edu.tr 10 Ekim 2012 1 Giriş Limit ve sonsuzluk kavramlarının anlaşılması birçok insan için zor olabilir. Hatta bazı garip örnekler bu anlaşılması zor kavramlar konusunda daha da kafa karıştırırlar. Bu yazıda bunlara iki örnek vererek bu örneklerin neden yanlış olduklarını anlatmaya çalışacağım. 2 Matematik Yanlıştır! Yıllar önce dolaştığım bir internet sitesinde şöyle bir çıkarımla karşılaştım: 1. 1 i 3 e böldüğümde elde ettiğim sayı 0.333... oluyor. 2. Bu sayıyı tekrar 3 ile çarparsam 0.999... sayısını elde ediyorum. 3. Son elde ettiğim sayı 1 e eşit değil. 4. Demek ki matematik yanlıştır! Şimdi hangi adımların yanlış olduklarını inceleyelim. Öncelikle 4. adımın yanlış olduğu aşikar. Bir paradoks bulunmuş olsa bile matematiğin yanlış olduğunu söylemek doğru değildir. Kaldı ki matematikte onlarca paradoks vardır. Bu paradokslar çoğu kez de faydalıdır, çünkü tanımlarımızı, aksiyomlarımızı, çıkarımlarımızı, hatta bazen matematiksel düşünme biçimimizi sorgulamamızı sağlar. [1] de bazı paradoksların detaylı anlatımlarının yanı sıra matematiksel ispatın gelişimi çok güzel bir biçimde anlatılmıştır. Yukarıdaki çıkarımda asıl değinmek istediğim 3. adımın yanlışlığı. Her ne kadar içgüdülerimize ters gelse de 0.999... sayısı tam olarak - yaklaşık değil - 1 e eşittir. Bunu hemen ispatlayalım. 1
Teorem 2.1. 0.999... sayısı tam olarak 1 e eşittir. Kanıt. x = 0.999... olsun. Şimdi bu sayıyı 10 ile çarpalım. Demek ki 10x = 9.999... olur. Bunu yazabiliriz çünkü 9 lar sonsuza kadar devam ediyor. Sayıyı bir basamak sola kaydırmak bu gerçeği değiştirmez. Şimdi ikinci sayıdan ilkini çıkarttığımızda 10x x = 9.999 0.999... 9x = 9 x = 1 sonucunu elde ederiz. Yine 9 lar sonsuza kadar gittiğinden çıkarma işlemini de güvenle yapabiliriz. Çünkü ilk sayının her ondalık basamağındaki 9 için, ikinci sayının da aynı ondalık basamağında bir 9 vardır. Sonuç olarak x = 0.999... ve olduğundan sonucu elde edilir. x = 1 0.999... = 1 Bu iki yazımı, aynı sayının farklı iki gösterilişi olarak düşünebiliriz. Benzer mantıkla, sonlu ondalık basamaklı tüm sayıların iki farklı gösterilişi olduğu görülebilir. Örneğin 3.218 sayısı aynı zamanda 3.217999... şeklinde yazılabilir. Bu sonucu görselleştirmek için şöyle düşünebiliriz. Sayı doğrusunda 0 ve 1 aralığını düşünelim. Bu aralıkta önce 0.9 sayısını seçelim. Sonra 0.99, 0.999, 0.9999,... şeklinde sayıları seçelim. Bu sayı seçimleri bizi daima 1 e yaklaştırır. Her ne kadar herhangi bir (sonlu ondalıklı) 0.99... 9 sayısı ile 1 arasında sonsuz sayı varsa da, biz de bu seçimlerimizi sonsuza kadar yaptığımızda sonunda 1 e ulaşırız. Bu sonsuzluğun insan düşünme biçimine ters gelen sonuçlarından birisi. Belki sonsuzlukla ilgili daha ayrıntılı başka bir yazı yazılabilir. 2
3 π = 4 tür Bir arkadaşım aşağıdaki çıkarımdaki yanlışı bulmamı istedi. Bunu başka yerlerde de aradım ama bulamadım. Yine de ilginç bir problem olarak aşağıda sunuyorum: 1. Birim çemberi ve kenarları bu çembere teğet olan bir kare ele alalım. 2. Şimdi bu karenin kenarlarını her köşe çembere dokunacak şekilde aşağıdaki gibi bükelim. Bu kenarları ne kadar bükersek bükelim karenin çevresi değişmez. 3
3. Bu bükmeleri sonsuza kadar yaparsak limit durumunda karenin bir kenarı çeyrek çemberin çevresine dönüşür. 4
4. Demek ki 2π/4 = 2, yani π = 4 bulunur. 5
Öncelikle şekillerde sorun olmadığını söylemekte fayda var. Gerçekten de her şekilde adım boyutunu küçülterek karenin kenarlarını 2. adımda anlatılana uygun biçimde büktüm. Şekiller yanlış olmasa da yanıltıcı olduğu kesin. Burada problem tahmin edileceği üzere 3. adımda ortaya çıkar. Aslında problem limit durumunda sözünün sihirli bir biçimde kullanılmasıdır. Bu söz mucizevi bir şekilde bizim isteğimizi yapacakmış gibi kullanılmış. Gerçekte limit durumunda elde edilecek şekil aşağıdaki gibidir: Hem yatay yönde, hem de dikey yönde sonsuz küçük bükmeler gerçekleştirirsek yukarıdaki şekli elde ederiz. Çünkü limit durumunda yatay ve dikey yönde bükmeler arasında bir fark kalmayacak, yani eşit uzunlukta bükme gerçekleştirmiş olacağız. 4 Sonuç Bu yazıda sonsuzluk ve limit kavramları kullanılarak türetilmiş iki problemin çözümü verildi. Eminim bunlara benzer daha onlarca problem mevcuttur. Burada önemli olan işin içine sonsuzluk girdiğinde dikkatli olmaktır. Ayrıca limit durumunda neler olabileceğini dikkatli düşünmemiz gerekli. 6
Kaynaklar [1] Steven G. Krantz. The Proof is in the Pudding. Springer, 2011. 7