MAT223 AYRIK MATEMATİK

Transkript

1 MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR Öğretim Yılı

2 Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci nin Tavşanları 13. yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır: 2/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

3 Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci nin Tavşanları 13. yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır: Leonardo Fibonacci Soru Bir çiftçi tavşan yetiştiriciliği ile uğraşmaktadır. Her bir tavşan iki aylık olduğunda bir yavru vermektedir. Bu yavrular da aynı şekilde iki aylık olduğunda yine yavru vermektedir. Tavşanların hiç ölmediğini düşünür ve tüm tavşanların dişi olduğunu kabul edersek n. ayın sonunda bu çiftçinin kaç tavşanı olacaktır? 2/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

4 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

5 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. n Tavşanlar 1 1 Sayı 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

6 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. n Tavşanlar Sayı 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

12 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. n Tavşanlar Sayı. 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

13 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

14 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

15 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

16 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

17 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1, 1+1 = 2 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

18 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

19 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3, 3+2 = 5 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

20 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3, 3+2 = 5, 5+3 = 8 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

21 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3, 3+2 = 5, 5+3 = 8, 8+5 = 13 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

22 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3, 3+2 = 5, 5+3 = 8, 8+5 = 13,... elde edilir. 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

23 Fibonacci nin Tavşanları Yukarıdaki bağıntıyı formüle etmek için n. aydaki tavşan sayısını F n ile gösterelim. 5/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

24 Fibonacci nin Tavşanları Yukarıdaki bağıntıyı formüle etmek için n. aydaki tavşan sayısını F n ile gösterelim. Bu durumda n = 1,2,3,... için yazabiliriz. F n+1 = F n +F n 1 5/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

25 Fibonacci nin Tavşanları Yukarıdaki bağıntıyı formüle etmek için n. aydaki tavşan sayısını F n ile gösterelim. Bu durumda n = 1,2,3,... için F n+1 = F n +F n 1 yazabiliriz. F 1 = 1, F 2 = 1, F 3 = 2, F 4 = 3, F 5 = 5 olduğunu zaten gördük. 5/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

26 Fibonacci nin Tavşanları Yukarıdaki bağıntıyı formüle etmek için n. aydaki tavşan sayısını F n ile gösterelim. Bu durumda n = 1,2,3,... için F n+1 = F n +F n 1 yazabiliriz. F 1 = 1, F 2 = 1, F 3 = 2, F 4 = 3, F 5 = 5 olduğunu zaten gördük. Yukarıdaki formül ile daha fazlasını da hesaplayabiliriz. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,... 5/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

27 Fibonacci nin Tavşanları Bu sayılara Fibonacci Sayıları denir. 6/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

28 Fibonacci nin Tavşanları Bu sayılara Fibonacci Sayıları denir. Eğer alınırsa, F 0 = 0, F 1 = 1 F n+1 = F n +F n 1 eşitliği ile birlikte Fibonacci sayıları tek türlü olarak elde edilir. Bu nedenle Fibonacci sayılarının tanımı bu şekilde verilebilir. 6/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

29 Fibonacci nin Tavşanları Bu sayılara Fibonacci Sayıları denir. Eğer alınırsa, F 0 = 0, F 1 = 1 F n+1 = F n +F n 1 eşitliği ile birlikte Fibonacci sayıları tek türlü olarak elde edilir. Bu nedenle Fibonacci sayılarının tanımı bu şekilde verilebilir. Yukarıdaki eşitlik doğrudan F n sayısını vermek yerine, ilk iki Fibonacci sayısı ile başlayıp, önceki iki Fibonacci sayısı yardımıyla her bir Fibonacci sayısını vermektedir. 6/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

30 Fibonacci nin Tavşanları Bu sayılara Fibonacci Sayıları denir. Eğer alınırsa, F 0 = 0, F 1 = 1 F n+1 = F n +F n 1 eşitliği ile birlikte Fibonacci sayıları tek türlü olarak elde edilir. Bu nedenle Fibonacci sayılarının tanımı bu şekilde verilebilir. Yukarıdaki eşitlik doğrudan F n sayısını vermek yerine, ilk iki Fibonacci sayısı ile başlayıp, önceki iki Fibonacci sayısı yardımıyla her bir Fibonacci sayısını vermektedir. Bu şekildeki tanımlamalara yinelemeli (recurrence) tanımlama denir. 6/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

31 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? 7/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

32 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: 7/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

33 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 7/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

34 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 1 1 adım 1 7/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

35 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 1 1 adım adım + 1 adım, 2 adım 2 7/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

36 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 1 1 adım adım + 1 adım, 2 adım adım + 1 adım + 1 adım, 2 adım + 1 adım, 1 adım + 2 adım 3 7/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

37 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 1 1 adım adım + 1 adım, 2 adım adım + 1 adım + 1 adım, 2 adım + 1 adım, 3 1 adım + 2 adım , 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

38 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 1 1 adım adım + 1 adım, 2 adım adım + 1 adım + 1 adım, 2 adım + 1 adım, 3 1 adım + 2 adım , 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, , , , , , 1+2+2, 2+1+2, /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

39 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 1 1 adım adım + 1 adım, 2 adım adım + 1 adım + 1 adım, 2 adım + 1 adım, 3 1 adım + 2 adım , 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, , , , , , 1+2+2, 2+1+2, /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

40 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

41 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

42 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

43 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

44 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

45 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. O halde elde edilir. J n+1 = J n +J n 1 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

46 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. O halde elde edilir. J n+1 = J n +J n 1 Elde edilen bu formül ile Fibonacci sayılarını elde etmek için kullanılan formül aynı. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

47 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. O halde elde edilir. J n+1 = J n +J n 1 Elde edilen bu formül ile Fibonacci sayılarını elde etmek için kullanılan formül aynı. Buradan F n = J n diyebilir miyiz? 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

48 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. O halde elde edilir. J n+1 = J n +J n 1 Elde edilen bu formül ile Fibonacci sayılarını elde etmek için kullanılan formül aynı. Buradan F n = J n diyebilir miyiz? Hayır! 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

49 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. O halde elde edilir. J n+1 = J n +J n 1 Elde edilen bu formül ile Fibonacci sayılarını elde etmek için kullanılan formül aynı. Buradan F n = J n diyebilir miyiz? Hayır! 2 = F 3 J 3 = 3. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

50 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. O halde elde edilir. J n+1 = J n +J n 1 Elde edilen bu formül ile Fibonacci sayılarını elde etmek için kullanılan formül aynı. Buradan F n = J n diyebilir miyiz? Hayır! 2 = F 3 J 3 = 3. Ancak, J n = F n+1 yazabiliriz. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

51 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

52 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

53 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = 0 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

54 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = 1 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

55 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = 2 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

56 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = = 4 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

57 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = = = 7 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

58 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = = = = 12 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

59 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = = = = = 20 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

60 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = = = = = = 33 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

61 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = = = = = = 33 Tahmini olan? 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

62 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

63 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

64 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

65 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

66 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

67 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 = F n+1 1 olsun. 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

68 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 = F n+1 1 olsun. Bu durumda eşitliğin n için de doğru olduğunu gösterelim. 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

69 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 = F n+1 1 olsun. Bu durumda eşitliğin n için de doğru olduğunu gösterelim. F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 +F n = (F n+1 1)+F n 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

70 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 = F n+1 1 olsun. Bu durumda eşitliğin n için de doğru olduğunu gösterelim. F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 +F n = (F n+1 1)+F n = F n+1 +F }{{ n 1 = } F n+2 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

71 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 = F n+1 1 olsun. Bu durumda eşitliğin n için de doğru olduğunu gösterelim. F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 +F n = (F n+1 1)+F n = F n+1 +F }{{ n 1 = F } n+2 1 F n+2 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

72 Bazı Özdeşlikler O halde tümevarım yöntemi gereği her n doğal sayısı için eşitlik doğru olur. 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 = F n+1 1 olsun. Bu durumda eşitliğin n için de doğru olduğunu gösterelim. F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 +F n = (F n+1 1)+F n = F n+1 +F }{{ n 1 = F } n+2 1 F n+2

73 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

78 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = 64 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

85 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = = 65 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

86 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = = = 65? 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

87 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = = = 65? Bunun Fibonacci sayıları ile ne ilgisi var? 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

88 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. 12/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

89 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. 12/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

90 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. 12/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

91 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. F 5 = 5, F 6 = 8 ve F 7 = 13 12/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

92 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. F 5 = 5, F 6 = 8 ve F 7 = = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

93 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. F 5 = 5, F 6 = 8 ve F 7 = = (F 6 ) 2 = F 5 F /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

94 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. F 5 = 5, F 6 = 8 ve F 7 = = (F 6 ) 2 = F 5 F 7 1 Peki F 5,F 6,F 7 yerine F 6,F 7,F 8 için yazarsak? 12/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

95 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. F 5 = 5, F 6 = 8 ve F 7 = = (F 6 ) 2 = F 5 F 7 1 Peki F 5,F 6,F 7 yerine F 6,F 7,F 8 için yazarsak? (F 7 ) 2 }{{} 169 = F 6 F 8 }{{} /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

96 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. F 5 = 5, F 6 = 8 ve F 7 = = (F 6 ) 2 = F 5 F 7 1 Peki F 5,F 6,F 7 yerine F 6,F 7,F 8 için yazarsak? (F 7 ) 2 }{{} 169 = F 6 F 8 }{{} 168 Alıştırma (Alıştırma d) olduğunu gösteriniz. (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n 12/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

97 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

98 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

99 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

100 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

101 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

102 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

103 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+1 F n+2 eklersek, 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

104 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+1 F n+2 eklersek, (F n+1 ) 2 +F n+1 F n+2 = F n F n+2 +( 1) n +F n+1 F n+2 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

105 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+1 F n+2 eklersek, (F n+1 ) 2 +F n+1 F n+2 = F n F n+2 +( 1) n +F n+1 F n+2 n F n+1 (F n+1 +F n+2 ) = F }{{} n+2 (F n +F n+1 ) +( 1) }{{} F n+3 F n+2 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

106 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+1 F n+2 eklersek, (F n+1 ) 2 +F n+1 F n+2 = F n F n+2 +( 1) n +F n+1 F n+2 n F n+1 (F n+1 +F n+2 ) = F }{{} n+2 (F n +F n+1 ) +( 1) }{{} F n+3 F n+1 F n+3 F n+2 = (F n+2 ) 2 +( 1) n 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

107 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+1 F n+2 eklersek, (F n+1 ) 2 +F n+1 F n+2 = F n F n+2 +( 1) n +F n+1 F n+2 n F n+1 (F n+1 +F n+2 ) = F }{{} n+2 (F n +F n+1 ) +( 1) }{{} F n+3 F n+2 F n+1 F n+3 = (F n+2 ) 2 +( 1) n (F n+2 ) 2 = F n+1 F n+3 +( 1) n+1 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

108 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+1 F n+2 eklersek, (F n+1 ) 2 +F n+1 F n+2 = F n F n+2 +( 1) n +F n+1 F n+2 n F n+1 (F n+1 +F n+2 ) = F }{{} n+2 (F n +F n+1 ) +( 1) }{{} F n+3 F n+2 F n+1 F n+3 = (F n+2 ) 2 +( 1) n (F n+2 ) 2 = F n+1 F n+3 +( 1) n+1 O halde tümevarım yöntemi gereği her n doğal sayısı için eşitlik doğrudur. 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

109 Bazı Özdeşlikler Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir. 14/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

110 Bazı Özdeşlikler Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir. F 1 +F 3 +F 5 + +F 2n 1 = F 2n 14/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

111 Bazı Özdeşlikler Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir. F 1 +F 3 +F 5 + +F 2n 1 = F 2n F 0 F 1 +F 2 F 3 + F 2n 1 +F 2n = F 2n /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

112 Bazı Özdeşlikler Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir. F 1 +F 3 +F 5 + +F 2n 1 = F 2n F 0 F 1 +F 2 F 3 + F 2n 1 +F 2n = F 2n 1 1 F 2 0 +F F 2 n = F n F n+1 14/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

113 Bazı Özdeşlikler Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir. F 1 +F 3 +F 5 + +F 2n 1 = F 2n F 0 F 1 +F 2 F 3 + F 2n 1 +F 2n = F 2n 1 1 F 2 0 +F F 2 n = F n F n+1 F 2 n +F 2 n 1 = F 2n 1 14/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

114 Bazı Özdeşlikler Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir. F 1 +F 3 +F 5 + +F 2n 1 = F 2n F 0 F 1 +F 2 F 3 + F 2n 1 +F 2n = F 2n 1 1 F 2 0 +F F 2 n = F n F n+1 Fn 2 +Fn 1 2 = F 2n 1 ( ) ( ) n n F 0 + F ( ) n F ( ) n F n = F 2n n 14/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

115 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Teorem Fibonacci sayıları eşitliğini sağlar. F n = 1 5 [( 1+ ) n 5 ( 2 1 ) n ] /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

116 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

117 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

118 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

119 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). n için de formülün doğru olduğunu gösterelim. 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

120 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). n için de formülün doğru olduğunu gösterelim. F n = F n 1 +F n 2 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

121 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). n için de formülün doğru olduğunu gösterelim. F n = F n 1 +F n 2 ) n 1 ( ) ] n [ (1+ = [ ( ) n 2 ( ) n 2 ] 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

122 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). n için de formülün doğru olduğunu gösterelim. F n = F n 1 +F n 2 ) n 1 ( ) ] n [ (1+ = [ ( ) n 2 ( ) ] n [ (1+ = ) n 2 ( ) + ( ) n 2 ( ) ] /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

123 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). n için de formülün doğru olduğunu gösterelim. F n = F n 1 +F n 2 ) n 1 ( ) ] n [ (1+ = [ ( ) n 2 ( ) ] n [ (1+ = [( = ) n 2 ( ) ) n ( ) n ] ( ) n 2 ( ) ] /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

124 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). n için de formülün doğru olduğunu gösterelim. F n = F n 1 +F n 2 ) n 1 ( ) ] n [ (1+ = [ ( ) n 2 ( ) ] n [ (1+ = [( = ) n 2 ( ) ) n ( ) n ] ( ) n 2 ( ) ] O halde tümevarım yöntemi gereği formül her n doğal sayısı için doğrudur. 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

125 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

126 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

127 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

128 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

129 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

130 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

131 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

132 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

133 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

134 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

135 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

136 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

137 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

138 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

139 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

140 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = , = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

141 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = , = , = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

142 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = , = , = , 377 = , İlk birkaç değeri göz ardı edersek ardışık Fibonacci sayılarının oranının e çok yakın olduğunu görüyoruz. 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

143 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = , = , = , 377 = , İlk birkaç değeri göz ardı edersek ardışık Fibonacci sayılarının oranının e çok yakın olduğunu görüyoruz. Bu bize Fibonacci sayılarının geometrik bir dizi olduğunu düşündürebilir. 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

144 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = , = , = , 377 = , İlk birkaç değeri göz ardı edersek ardışık Fibonacci sayılarının oranının e çok yakın olduğunu görüyoruz. Bu bize Fibonacci sayılarının geometrik bir dizi olduğunu düşündürebilir. Acaba Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip bir geometrik dizi var mı bakalım. 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

145 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül G n dizisi G n = cq n şeklinde (c,q 0) G n+1 = G n +G n 1 yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun. 18/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

146 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül G n dizisi G n = cq n şeklinde (c,q 0) G n+1 = G n +G n 1 yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun. Bu durumda G n yerine değerini yazarsak, 18/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

147 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül G n dizisi G n = cq n şeklinde (c,q 0) G n+1 = G n +G n 1 yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun. Bu durumda G n yerine değerini yazarsak, olur. cq n+1 = cq n +cq n 1 18/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

148 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül G n dizisi G n = cq n şeklinde (c,q 0) G n+1 = G n +G n 1 yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun. Bu durumda G n yerine değerini yazarsak, olur. Gerekli sadeleştirmeyi yaparsak, elde ederiz. cq n+1 = cq n +cq n 1 q 2 = q /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

149 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül G n dizisi G n = cq n şeklinde (c,q 0) G n+1 = G n +G n 1 yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun. Bu durumda G n yerine değerini yazarsak, olur. Gerekli sadeleştirmeyi yaparsak, elde ederiz. Bu denklemi çözersek, cq n+1 = cq n +cq n 1 q 2 = q /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

150 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül G n dizisi G n = cq n şeklinde (c,q 0) G n+1 = G n +G n 1 yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun. Bu durumda G n yerine değerini yazarsak, olur. Gerekli sadeleştirmeyi yaparsak, elde ederiz. Bu denklemi çözersek, cq n+1 = cq n +cq n 1 q 2 = q + 1 olur. q 1 = ve q 2 = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

151 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: 19/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

152 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: ( 1+ ) n 5 G n = c 2 19/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

153 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: ( 1+ ) n ( 5 G n = c ve G n 1 ) n 5 = c /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

154 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: ( 1+ ) n ( 5 G n = c ve G n 1 ) n 5 = c 2 2 Maalesef her iki dizi de bize Fibonacci sayılarını vermez. 19/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

155 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: ( 1+ ) n ( 5 G n = c ve G n 1 ) n 5 = c 2 2 Maalesef her iki dizi de bize Fibonacci sayılarını vermez. Gerçekten de, n = 0 için F 0 = 0 olmasına karşın G 0 = G 0 = c olur. 19/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

156 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: ( 1+ ) n ( 5 G n = c ve G n 1 ) n 5 = c 2 2 Maalesef her iki dizi de bize Fibonacci sayılarını vermez. Gerçekten de, n = 0 için F 0 = 0 olmasına karşın G 0 = G 0 = c olur. Ancak, G n+1 G n+1 = 19/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

157 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: ( 1+ ) n ( 5 G n = c ve G n 1 ) n 5 = c 2 2 Maalesef her iki dizi de bize Fibonacci sayılarını vermez. Gerçekten de, n = 0 için F 0 = 0 olmasına karşın G 0 = G 0 = c olur. Ancak, G n+1 G n+1 = (G n +G n 1 ) ( G n +G n 1) = 19/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

158 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: ( 1+ ) n ( 5 G n = c ve G n 1 ) n 5 = c 2 2 Maalesef her iki dizi de bize Fibonacci sayılarını vermez. Gerçekten de, n = 0 için F 0 = 0 olmasına karşın G 0 = G 0 = c olur. Ancak, G n+1 G n+1 = (G n +G n 1 ) ( G n +G n 1) ( = Gn G n) ( + Gn 1 G n 1 ) olduğundan G n G n dizisi yineleme formülünü sağlar. 19/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

159 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: ( 1+ ) n ( 5 G n = c ve G n 1 ) n 5 = c 2 2 Maalesef her iki dizi de bize Fibonacci sayılarını vermez. Gerçekten de, n = 0 için F 0 = 0 olmasına karşın G 0 = G 0 = c olur. Ancak, G n+1 G n+1 = (G n +G n 1 ) ( G n +G n 1) ( = Gn G n) ( + Gn 1 G n 1 ) olduğundan G n G n dizisi yineleme formülünü sağlar. Ayrıca, G 0 G 0 = 0 = F 0 olur. Üstelik, G 1 G 1 = c 5 olur. 19/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

160 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: ( 1+ ) n ( 5 G n = c ve G n 1 ) n 5 = c 2 2 Maalesef her iki dizi de bize Fibonacci sayılarını vermez. Gerçekten de, n = 0 için F 0 = 0 olmasına karşın G 0 = G 0 = c olur. Ancak, G n+1 G n+1 = (G n +G n 1 ) ( G n +G n 1) ( = Gn G n) ( + Gn 1 G n 1 ) olduğundan G n G n dizisi yineleme formülünü sağlar. Ayrıca, G 0 G 0 = 0 = F 0 olur. Üstelik, G 1 G 1 = c 5 olur. O halde c = 1 5 seçilirse G 1 G 1 = 1 = F 1 elde edilir. 19/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

161 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Böylece, aynı başlangıç değerlerine ve aynı yineleme formülüne sahip F n ve G n G n gibi iki dizi elde edilir. 20/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

162 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Böylece, aynı başlangıç değerlerine ve aynı yineleme formülüne sahip F n ve G n G n gibi iki dizi elde edilir. Öyleyse, olur. F n = G n G n 20/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

163 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Böylece, aynı başlangıç değerlerine ve aynı yineleme formülüne sahip F n ve G n G n gibi iki dizi elde edilir. Öyleyse, F n = G n G n olur. G n ve G n yerine değerleri yazılırsa başlangıçta verilen formül elde edilir. 20/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

164 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Böylece, aynı başlangıç değerlerine ve aynı yineleme formülüne sahip F n ve G n G n gibi iki dizi elde edilir. Öyleyse, F n = G n G n olur. G n ve G n yerine değerleri yazılırsa başlangıçta verilen formül elde edilir. Verilen formülle başka çıkarımlar da yapabiliriz: 20/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

165 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Böylece, aynı başlangıç değerlerine ve aynı yineleme formülüne sahip F n ve G n G n gibi iki dizi elde edilir. Öyleyse, F n = G n G n olur. G n ve G n yerine değerleri yazılırsa başlangıçta verilen formül elde edilir. Verilen formülle başka çıkarımlar da yapabiliriz: q 1 = > 1 olduğundan n arttığında G n üstel olarak artar. 20/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

166 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Böylece, aynı başlangıç değerlerine ve aynı yineleme formülüne sahip F n ve G n G n gibi iki dizi elde edilir. Öyleyse, F n = G n G n olur. G n ve G n yerine değerleri yazılırsa başlangıçta verilen formül elde edilir. Verilen formülle başka çıkarımlar da yapabiliriz: q 1 = > 1 olduğundan n arttığında G n üstel olarak artar. 1 < q 2 < 0 olduğundan n artarken G n üstel olarak azalır. 20/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

167 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Böylece, aynı başlangıç değerlerine ve aynı yineleme formülüne sahip F n ve G n G n gibi iki dizi elde edilir. Öyleyse, F n = G n G n olur. G n ve G n yerine değerleri yazılırsa başlangıçta verilen formül elde edilir. Verilen formülle başka çıkarımlar da yapabiliriz: q 1 = > 1 olduğundan n arttığında G n üstel olarak artar. 1 < q 2 < 0 olduğundan n artarken G n üstel olarak azalır. ( O halde yeterince büyük n sayıları için F n 1 ) n alabiliriz. 20/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

168 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Böylece, aynı başlangıç değerlerine ve aynı yineleme formülüne sahip F n ve G n G n gibi iki dizi elde edilir. Öyleyse, F n = G n G n olur. G n ve G n yerine değerleri yazılırsa başlangıçta verilen formül elde edilir. Verilen formülle başka çıkarımlar da yapabiliriz: q 1 = > 1 olduğundan n arttığında G n üstel olarak artar. 1 < q 2 < 0 olduğundan n artarken G n üstel olarak azalır. ( O halde yeterince büyük n sayıları için F n 1 ) n alabiliriz. 20/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

169 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül ϕ = sayısı Altın Oran olarak adlandırılan meşhur sayıdır. 21/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

170 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül ϕ = sayısı Altın Oran olarak adlandırılan meşhur sayıdır. Hiç beklenmedik yerlerde bu sayı ile karşılaşmak mümkündür. 21/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

171 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül ϕ = sayısı Altın Oran olarak adlandırılan meşhur sayıdır. Hiç beklenmedik yerlerde bu sayı ile karşılaşmak mümkündür. Örneğin, düzgün bir beşgenin köşegeninin kenarına oranı bu sayıyı verir. 21/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

172 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül ϕ = sayısı Altın Oran olarak adlandırılan meşhur sayıdır. Hiç beklenmedik yerlerde bu sayı ile karşılaşmak mümkündür. Örneğin, düzgün bir beşgenin köşegeninin kenarına oranı bu sayıyı verir. Ya da 1 ϕ = , 21/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

173 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül ϕ = sayısı Altın Oran olarak adlandırılan meşhur sayıdır. Hiç beklenmedik yerlerde bu sayı ile karşılaşmak mümkündür. Örneğin, düzgün bir beşgenin köşegeninin kenarına oranı bu sayıyı verir. Ya da 1 ϕ = ϕ = , /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

174 Alıştırmalar Fibonacci Sayıları Alıştırmalar Alıştırma Pascal üçgeninin herhangi bir satırının soldan ilk elemanını işaretleyin. Daha sonra bu elemandan bir birim doğuya ve bir birim kuzey-doğuya gidip ulaştığınız elemanı işaretleyin. Pascal üçgeninin dışına çıkana kadar bu işleme devam edip işaretlediğiniz elemanları toplayın. Farklı satırlar için bu işlemi tekrarladığınızda ne tür sayılar elde edersiniz. Bu işlemi formüle edip kanıtlayınız. 22/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

175 1 Alıştırmalar /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

176 1 Alıştırmalar = 8 = F 6 23/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

177 Alıştırmalar = 8 = F = 13 = F 7 23/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

178 Alıştırmalar = 8 = F = 13 = F 7 Sanı ( ) n + 0 ( n 1 1 ) + ( n 2 2 ) + + ( ) n k = F n+1, k = [ n/2 ] k 23/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

179 Alıştırmalar Tümevarım yöntemi ve Pascal üçgeninin temel özelliği yardımıyla kolayca gösterilebilir. 24/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

180 Alıştırmalar Tümevarım yöntemi ve Pascal üçgeninin temel özelliği yardımıyla kolayca gösterilebilir. n = 0 ve n = 1 için doğru olduğu açık. 24/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

181 Alıştırmalar Tümevarım yöntemi ve Pascal üçgeninin temel özelliği yardımıyla kolayca gösterilebilir. n = 0 ve n = 1 için doğru olduğu açık. n 2 için doğru olsun. 24/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

182 Alıştırmalar Tümevarım yöntemi ve Pascal üçgeninin temel özelliği yardımıyla kolayca gösterilebilir. n = 0 ve n = 1 için doğru olduğu açık. n 2 için doğru olsun. n+1 için de doğru olduğunu gösterelim. 24/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

183 Alıştırmalar Tümevarım yöntemi ve Pascal üçgeninin temel özelliği yardımıyla kolayca gösterilebilir. n = 0 ve n = 1 için doğru olduğu açık. n 2 için doğru olsun. n+1 için de doğru olduğunu gösterelim. Genelliği bozmaksızın n nin tek olduğunu kabul edersek (n çift ise sadece son terimde bir farklılık olacaktır benzer şekilde kanıt yapılabilir), ( n 0) + ( n 1 1 ) + ( n 2 2 ) + + ( n k k ) 24/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

184 Alıştırmalar Tümevarım yöntemi ve Pascal üçgeninin temel özelliği yardımıyla kolayca gösterilebilir. n = 0 ve n = 1 için doğru olduğu açık. n 2 için doğru olsun. n+1 için de doğru olduğunu gösterelim. Genelliği bozmaksızın n nin tek olduğunu kabul edersek (n çift ise sadece son terimde bir farklılık olacaktır benzer şekilde kanıt yapılabilir), ( n ( 0) + n 1 ) ( 1 + n 2 ) ( n k ) [ (n 2 ) ( k = n 2 ) ] (n 3 ) ( 1 +[ 1 + n 3 2 ) ] + +[ (n k 1 k 1 ) + ( n k 1 k ) ] 24/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

185 Alıştırmalar Tümevarım yöntemi ve Pascal üçgeninin temel özelliği yardımıyla kolayca gösterilebilir. n = 0 ve n = 1 için doğru olduğu açık. n 2 için doğru olsun. n+1 için de doğru olduğunu gösterelim. Genelliği bozmaksızın n nin tek olduğunu kabul edersek (n çift ise sadece son terimde bir farklılık olacaktır benzer şekilde kanıt yapılabilir), ( n ( 0) + n 1 ) ( 1 + n 2 ) ( n k ) [ (n 2 ) ( k = n 2 ) ] (n 3 ) ( 1 +[ 1 + n 3 ) ] (n k 1 ) ( 2 + +[ k 1 + n k 1 ) ] [ k (n 1 ) ( = 0 + n 2 ) ( 1 + n 3 ) ( n k 1 ) ] (n 2 ) ( k +[ 0 + n 3 ) 1 + ( n 4) ( n k 1 ) ] k 1 24/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

186 Alıştırmalar Tümevarım yöntemi ve Pascal üçgeninin temel özelliği yardımıyla kolayca gösterilebilir. n = 0 ve n = 1 için doğru olduğu açık. n 2 için doğru olsun. n+1 için de doğru olduğunu gösterelim. Genelliği bozmaksızın n nin tek olduğunu kabul edersek (n çift ise sadece son terimde bir farklılık olacaktır benzer şekilde kanıt yapılabilir), ( n ( 0) + n 1 ) ( 1 + n 2 ) ( n k ) [ (n 2 ) ( k = n 2 ) ] (n 3 ) ( 1 +[ 1 + n 3 ) ] (n k 1 ) ( 2 + +[ k 1 + n k 1 ) ] [ k (n 1 ) ( = 0 + n 2 ) ( 1 + n 3 ) ( n k 1 ) ] (n 2 ) ( k +[ 0 + n 3 ) 1 + ( n 4) ( n k 1 ) ] k 1 = F n +F n 1 = F n+1 olduğundan n + 1 içinde doğru dolayısıyla her n N için eşitlik doğrudur. 24/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

187 Alıştırmalar Alıştırma 2 n boyutlarındaki bir satranç tahtasını domino taşları ile kaç farklı şekilde örtebilirsiniz? 25/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

188 Alıştırmalar Alıştırma 2 n boyutlarındaki bir satranç tahtasını domino taşları ile kaç farklı şekilde örtebilirsiniz? Domino taşı, dikdörtgen şeklinde, satranç tahtasının iki karesi boyutundadır ve domino taşları satranç tahtası üzerine bir beyaz ve bir siyah kareye denk gelecek şekilde yerleştirilebilir. Ayrıca domino taşları özdeş kabul edilecektir. ). 25/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

189 Alıştırmalar 2 n boyutlarındaki bir satranç tahtasını domino taşları ile F n+1 farklı şekilde örtebiliriz. 26/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

190 Alıştırmalar 2 n boyutlarındaki bir satranç tahtasını domino taşları ile F n+1 farklı şekilde örtebiliriz. Kanıtı tümevarım ile yapalım: Aşağıda görüldüğü gibi n = 1 için satranç tahtasını 1, n = 2 için 2 ve n = 3 için 3 farklı şekilde örtebiliriz. 26/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

191 Alıştırmalar 2 n boyutlarındaki bir satranç tahtasını domino taşları ile F n+1 farklı şekilde örtebiliriz. Kanıtı tümevarım ile yapalım: Aşağıda görüldüğü gibi n = 1 için satranç tahtasını 1, n = 2 için 2 ve n = 3 için 3 farklı şekilde örtebiliriz. (n = 4 için sayının 5 olacağını görünüz.) 26/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

192 Alıştırmalar n için mümkün olan tüm farklı örtülüşlerin sayısını G n = F n+1 ile gösterelim. 27/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

193 Alıştırmalar n için mümkün olan tüm farklı örtülüşlerin sayısını G n = F n+1 ile gösterelim. n+1 için inceleyelim: 27/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

194 Alıştırmalar n için mümkün olan tüm farklı örtülüşlerin sayısını G n = F n+1 ile gösterelim. n+1 için inceleyelim: Eğer ilk adımda domino taşını dikey pozisyonda koyarsak, geriye n sütun kalır ve bunları G n farklı şekilde örtebiliriz. 27/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

195 Alıştırmalar n için mümkün olan tüm farklı örtülüşlerin sayısını G n = F n+1 ile gösterelim. n+1 için inceleyelim: Eğer ilk adımda domino taşını dikey pozisyonda koyarsak, geriye n sütun kalır ve bunları G n farklı şekilde örtebiliriz. Eğer ilk adımda domino taşını yatay koyarsak bu durumda geriye n 1 sütun kalır ve bunları G n 1 farklı şekilde örtebiliriz. 27/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

196 Alıştırmalar n için mümkün olan tüm farklı örtülüşlerin sayısını G n = F n+1 ile gösterelim. n+1 için inceleyelim: Eğer ilk adımda domino taşını dikey pozisyonda koyarsak, geriye n sütun kalır ve bunları G n farklı şekilde örtebiliriz. Eğer ilk adımda domino taşını yatay koyarsak bu durumda geriye n 1 sütun kalır ve bunları G n 1 farklı şekilde örtebiliriz. O halde n+1 için G n+1 = G n +G n 1 olur. 27/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

197 Alıştırmalar n için mümkün olan tüm farklı örtülüşlerin sayısını G n = F n+1 ile gösterelim. n+1 için inceleyelim: Eğer ilk adımda domino taşını dikey pozisyonda koyarsak, geriye n sütun kalır ve bunları G n farklı şekilde örtebiliriz. Eğer ilk adımda domino taşını yatay koyarsak bu durumda geriye n 1 sütun kalır ve bunları G n 1 farklı şekilde örtebiliriz. O halde n+1 için G n+1 = G n +G n 1 olur. O zaman 2 n boyutlarındaki bir satranç tahtasını domino taşları ile G n = F n+1 farklı şekilde örtebiliriz. 27/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

198 Alıştırmalar Alıştırma F n, n. Fibonacci sayısını göstermek üzere, özdeşliğini kanıtlayınız. F n+m = F n 1 F m +F n F m+1 28/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

199 Alıştırmalar Alıştırma F n, n. Fibonacci sayısını göstermek üzere, özdeşliğini kanıtlayınız. F n+m = F n 1 F m +F n F m+1 Kanıtı m üzerinden tümevarım ile yapalım. 28/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

200 Alıştırmalar Alıştırma F n, n. Fibonacci sayısını göstermek üzere, özdeşliğini kanıtlayınız. F n+m = F n 1 F m +F n F m+1 Kanıtı m üzerinden tümevarım ile yapalım. m = 1 için F n+1 = F n 1 F }{{} 1 +F n F 2 = F }{{} n 1 +F n /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

201 Alıştırmalar Alıştırma F n, n. Fibonacci sayısını göstermek üzere, özdeşliğini kanıtlayınız. F n+m = F n 1 F m +F n F m+1 Kanıtı m üzerinden tümevarım ile yapalım. m = 1 için F n+1 = F n 1 F }{{} 1 +F n F 2 = F }{{} n 1 +F n 1 1 m = 2 için F n+2 = F n 1 F 2 }{{} 1 +F n F 3 }{{} 2 28/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

202 Alıştırmalar Alıştırma F n, n. Fibonacci sayısını göstermek üzere, özdeşliğini kanıtlayınız. F n+m = F n 1 F m +F n F m+1 Kanıtı m üzerinden tümevarım ile yapalım. m = 1 için F n+1 = F n 1 F }{{} 1 +F n F 2 = F }{{} n 1 +F n 1 1 m = 2 için F n+2 = F n 1 F 2 }{{} 1 = F n 1 + 2F n +F n F 3 }{{} 2 28/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

203 Alıştırmalar Alıştırma F n, n. Fibonacci sayısını göstermek üzere, özdeşliğini kanıtlayınız. F n+m = F n 1 F m +F n F m+1 Kanıtı m üzerinden tümevarım ile yapalım. m = 1 için F n+1 = F n 1 F }{{} 1 +F n F 2 = F }{{} n 1 +F n 1 1 m = 2 için F n+2 = F n 1 F 2 }{{} 1 +F n F 3 }{{} 2 = F n 1 + 2F n = F n 1 +F }{{ n +F } n F n+1 28/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

204 Alıştırmalar Alıştırma F n, n. Fibonacci sayısını göstermek üzere, özdeşliğini kanıtlayınız. F n+m = F n 1 F m +F n F m+1 Kanıtı m üzerinden tümevarım ile yapalım. m = 1 için F n+1 = F n 1 F }{{} 1 +F n F 2 = F }{{} n 1 +F n 1 1 m = 2 için F n+2 = F n 1 F 2 }{{} 1 +F n F 3 }{{} 2 = F n 1 + 2F n = F n 1 +F }{{ n +F } n F n+1 = F n+1 +F n 28/41 olduğundan AYRIK MATEMATİK doğrudur Anadolu Üniversitesi

205 Alıştırmalar m = k + 1 için ifade doğru olsun. 29/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

206 Alıştırmalar m = k + 1 için ifade doğru olsun. m = k + 2 için doğru olduğunu gösterelim. 29/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

207 Alıştırmalar m = k + 1 için ifade doğru olsun. m = k + 2 için doğru olduğunu gösterelim. F n+k = F n 1 F k +F n F k+1 29/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

208 Alıştırmalar m = k + 1 için ifade doğru olsun. m = k + 2 için doğru olduğunu gösterelim. F n+k = F n 1 F k +F n F k+1 ve F n+k+1 = F n 1 F k+1 +F n F k+2 eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, 29/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

209 Alıştırmalar m = k + 1 için ifade doğru olsun. m = k + 2 için doğru olduğunu gösterelim. F n+k = F n 1 F k +F n F k+1 ve F n+k+1 = F n 1 F k+1 +F n F k+2 eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, F n+k+2 = F n 1 F k+2 +F n F k+3 29/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

210 Alıştırmalar m = k + 1 için ifade doğru olsun. m = k + 2 için doğru olduğunu gösterelim. F n+k = F n 1 F k +F n F k+1 ve F n+k+1 = F n 1 F k+1 +F n F k+2 eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, F n+k+2 = F n 1 F k+2 +F n F k+3 eşitlik m = k + 2 için de doğru olur. 29/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

211 Alıştırmalar m = k + 1 için ifade doğru olsun. m = k + 2 için doğru olduğunu gösterelim. F n+k = F n 1 F k +F n F k+1 ve F n+k+1 = F n 1 F k+1 +F n F k+2 eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, F n+k+2 = F n 1 F k+2 +F n F k+3 eşitlik m = k + 2 için de doğru olur. O halde tümevarım yöntemi gereği özdeşliğin doğruluğu elde edilir. 29/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

212 Alıştırmalar Alıştırma Her pozitif tam sayının birbirinden farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlayınız. 30/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

213 Alıştırmalar Alıştırma Her pozitif tam sayının birbirinden farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlayınız. n = 1,2,3 için doğru olduğu açık. 30/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

214 Alıştırmalar Alıştırma Her pozitif tam sayının birbirinden farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlayınız. n = 1,2,3 için doğru olduğu açık. n den küçük her tam sayı farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabilsin. 30/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

215 Alıştırmalar Alıştırma Her pozitif tam sayının birbirinden farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlayınız. n = 1,2,3 için doğru olduğu açık. n den küçük her tam sayı farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabilsin. n sayısının da farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabildiğini gösterelim: 30/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

216 Alıştırmalar Alıştırma Her pozitif tam sayının birbirinden farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlayınız. n = 1,2,3 için doğru olduğu açık. n den küçük her tam sayı farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabilsin. n sayısının da farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabildiğini gösterelim: n nin kendisi Fibonacci sayısı ise kanıtlanacak bir şey yok. 30/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

217 Alıştırmalar Alıştırma Her pozitif tam sayının birbirinden farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlayınız. n = 1,2,3 için doğru olduğu açık. n den küçük her tam sayı farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabilsin. n sayısının da farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabildiğini gösterelim: n nin kendisi Fibonacci sayısı ise kanıtlanacak bir şey yok. n Fibonacci sayısı olmasın. 30/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

218 Alıştırmalar Alıştırma Her pozitif tam sayının birbirinden farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlayınız. n = 1,2,3 için doğru olduğu açık. n den küçük her tam sayı farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabilsin. n sayısının da farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabildiğini gösterelim: n nin kendisi Fibonacci sayısı ise kanıtlanacak bir şey yok. n Fibonacci sayısı olmasın. Bu durumda olacak şekilde i sayısı vardır. F i < n < F i+1 30/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

219 Alıştırmalar Alıştırma Her pozitif tam sayının birbirinden farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlayınız. n = 1,2,3 için doğru olduğu açık. n den küçük her tam sayı farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabilsin. n sayısının da farklı Fibonacci sayılarının toplamı şeklinde yazılabildiğini gösterelim: n nin kendisi Fibonacci sayısı ise kanıtlanacak bir şey yok. n Fibonacci sayısı olmasın. Bu durumda F i < n < F i+1 olacak şekilde i sayısı vardır. Buradan olur. 0 < n F i < F i+1 F i = F i 1 30/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

220 Alıştırmalar Tümevarım hipotezinden, n = n F i pozitif tam sayısı da farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabilir. 31/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

221 Alıştırmalar Tümevarım hipotezinden, n = n F i pozitif tam sayısı da farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabilir. Ayrıca, n < F i 1 olduğundan bu toplamdaki Fibonacci sayılarının her biri F i 1 Fibonacci sayısından daha küçük olacaktır. 31/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

222 Alıştırmalar Tümevarım hipotezinden, n = n F i pozitif tam sayısı da farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabilir. Ayrıca, n < F i 1 olduğundan bu toplamdaki Fibonacci sayılarının her biri F i 1 Fibonacci sayısından daha küçük olacaktır. Eğer, şeklinde ise n = n F i = F i1 +F i2 + +F ik, i j < i 1, j = 1,2,...,k 31/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

223 Alıştırmalar Tümevarım hipotezinden, n = n F i pozitif tam sayısı da farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabilir. Ayrıca, n < F i 1 olduğundan bu toplamdaki Fibonacci sayılarının her biri F i 1 Fibonacci sayısından daha küçük olacaktır. Eğer, şeklinde ise n = n F i = F i1 +F i2 + +F ik, i j < i 1, j = 1,2,...,k n = F i1 +F i2 + +F ik +F i, i j < i 1, j = 1,2,...,k olacağından kanıt biter. 31/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

224 Alıştırmalar Alıştırma (Alıştırma 4.3.6) S = {1, 2,..., n} kümesinin kaç alt kümesi ardışık iki tam sayı içermez? 32/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

225 Alıştırmalar Alıştırma (Alıştırma 4.3.6) S = {1, 2,..., n} kümesinin kaç alt kümesi ardışık iki tam sayı içermez? Bazı n değerleri için ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerin sayısını bulalım: 32/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

226 Alıştırmalar Alıştırma (Alıştırma 4.3.6) S = {1, 2,..., n} kümesinin kaç alt kümesi ardışık iki tam sayı içermez? Bazı n değerleri için ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerin sayısını bulalım: n = 0 ise S = olduğundan ardışık iki eleman içermeyen 1 tane alt küme vardır ( ). 32/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

227 Alıştırmalar Alıştırma (Alıştırma 4.3.6) S = {1, 2,..., n} kümesinin kaç alt kümesi ardışık iki tam sayı içermez? Bazı n değerleri için ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerin sayısını bulalım: n = 0 ise S = olduğundan ardışık iki eleman içermeyen 1 tane alt küme vardır ( ). n = 1 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümeler 2 tanedir ( ve {1}). 32/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

228 Alıştırmalar Alıştırma (Alıştırma 4.3.6) S = {1, 2,..., n} kümesinin kaç alt kümesi ardışık iki tam sayı içermez? Bazı n değerleri için ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerin sayısını bulalım: n = 0 ise S = olduğundan ardışık iki eleman içermeyen 1 tane alt küme vardır ( ). n = 1 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümeler 2 tanedir ( ve {1}). n = 2 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümeler 3 tanedir (, {1} ve {2}). 32/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

229 Alıştırmalar Alıştırma (Alıştırma 4.3.6) S = {1, 2,..., n} kümesinin kaç alt kümesi ardışık iki tam sayı içermez? Bazı n değerleri için ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerin sayısını bulalım: n = 0 ise S = olduğundan ardışık iki eleman içermeyen 1 tane alt küme vardır ( ). n = 1 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümeler 2 tanedir ( ve {1}). n = 2 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümeler 3 tanedir (, {1} ve {2}). n = 3 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt küme sayısı 5 olur (, {1}, {2}, {3}, {1,3}). 32/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

230 Alıştırmalar Alıştırma (Alıştırma 4.3.6) S = {1, 2,..., n} kümesinin kaç alt kümesi ardışık iki tam sayı içermez? Bazı n değerleri için ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerin sayısını bulalım: n = 0 ise S = olduğundan ardışık iki eleman içermeyen 1 tane alt küme vardır ( ). n = 1 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümeler 2 tanedir ( ve {1}). n = 2 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümeler 3 tanedir (, {1} ve {2}). n = 3 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt küme sayısı 5 olur (, {1}, {2}, {3}, {1,3}). n = 4 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt küme sayısı 8 olur (, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,3}, {1,4}, {2,4}). 32/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

231 Alıştırmalar Alıştırma (Alıştırma 4.3.6) S = {1, 2,..., n} kümesinin kaç alt kümesi ardışık iki tam sayı içermez? Bazı n değerleri için ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerin sayısını bulalım: n = 0 ise S = olduğundan ardışık iki eleman içermeyen 1 tane alt küme vardır ( ). n = 1 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümeler 2 tanedir ( ve {1}). n = 2 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümeler 3 tanedir (, {1} ve {2}). n = 3 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt küme sayısı 5 olur (, {1}, {2}, {3}, {1,3}). n = 4 ise ardışık iki eleman bulundurmayan alt küme sayısı 8 olur (, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,3}, {1,4}, {2,4}).. 32/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

232 Alıştırmalar Elde edilen sayılar Fibonacci sayılarıdır. 33/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

233 Alıştırmalar Elde edilen sayılar Fibonacci sayılarıdır. S = {1, 2,..., n} kümesinin ardışık iki eleman içermeyen alt kümelerinin sayısını A n olsun. 33/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

234 Alıştırmalar Elde edilen sayılar Fibonacci sayılarıdır. S = {1, 2,..., n} kümesinin ardışık iki eleman içermeyen alt kümelerinin sayısını A n olsun. Kolay anlaşılabilir olması için önce n = 4 iken S = {1, 2, 3, 4} kümesinin ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerinin sayısını yani A 4 ü hesaplayalım. 33/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

235 Alıştırmalar Elde edilen sayılar Fibonacci sayılarıdır. S = {1, 2,..., n} kümesinin ardışık iki eleman içermeyen alt kümelerinin sayısını A n olsun. Kolay anlaşılabilir olması için önce n = 4 iken S = {1, 2, 3, 4} kümesinin ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerinin sayısını yani A 4 ü hesaplayalım. Bu alt kümeleri aşağıdaki gibi iki gruba ayırabiliriz: 33/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

236 Alıştırmalar Elde edilen sayılar Fibonacci sayılarıdır. S = {1, 2,..., n} kümesinin ardışık iki eleman içermeyen alt kümelerinin sayısını A n olsun. Kolay anlaşılabilir olması için önce n = 4 iken S = {1, 2, 3, 4} kümesinin ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerinin sayısını yani A 4 ü hesaplayalım. Bu alt kümeleri aşağıdaki gibi iki gruba ayırabiliriz: 4 ü bulunduran ve ardışık eleman içermeyen alt kümeler 4 ü bulundurmayan ve ardışık elema içermeyen alt kümeler 33/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

237 Alıştırmalar Elde edilen sayılar Fibonacci sayılarıdır. S = {1, 2,..., n} kümesinin ardışık iki eleman içermeyen alt kümelerinin sayısını A n olsun. Kolay anlaşılabilir olması için önce n = 4 iken S = {1, 2, 3, 4} kümesinin ardışık iki eleman bulundurmayan alt kümelerinin sayısını yani A 4 ü hesaplayalım. Bu alt kümeleri aşağıdaki gibi iki gruba ayırabiliriz: 4 ü bulunduran ve ardışık eleman içermeyen alt kümeler {4}, {1,4}, {2,4} }{{} 4 ü bulundurmayan ve ardışık elema içermeyen alt kümeler, {1}, {2}, {3}, {1,3} }{{} A 2 4 kümelere ait olduğundan 3 ait olmamalı. Bu durumda {1, 2} kümesinin ardışık iki sayı içermeyen her bir alt kümesine 4 ü ekliyoruz. Bunların sayısı ise varsayımımızdan A 2 olur. A 3 Bu kümeler {1, 2, 3} kümesinin ardışı iki eleman içermeyen alt kümeleri olu Bunların sayısı da varsayımımız gereğ A 3 olur. 33/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

238 Alıştırmalar Böylece olur. A 4 = A 2 +A 3 34/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

239 Alıştırmalar Böylece A 4 = A 2 +A 3 olur. Yukarıda 4 yerine n alıp, diğer sayıları da n 1 ve n 2 ile değiştirirsek, olur. A n = A n 1 +A n 2 34/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

240 Alıştırmalar Böylece A 4 = A 2 +A 3 olur. Yukarıda 4 yerine n alıp, diğer sayıları da n 1 ve n 2 ile değiştirirsek, A n = A n 1 +A n 2 olur. A 0 = 1 ve A 1 = 2 olduğundan A n = F n+2 olur. 34/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

241 Alıştırmalar Alıştırma n digit uzunluğunda ve 1 ile başlayan, 1 ler 1 ler ile, 0 lar 0 lar ile yan yana gelme koşuluyla ( 0 ve 1 lerin yalnız kalmasını istemiyoruz!) kaç farklı binary string yazılabilir? Örneğin, n = 8 için bazı istenen ve istenmeyen durumlar aşağıda verilmiştir X en baştaki 1 yalnız kalmış X yalnız bir 0 var X yalnız bir 1 var X 1 ile başlamıyor 35/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

242 Alıştırmalar Önce bazı n değerleri için elde edilen binary stringleri yazalım: 36/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

243 Alıştırmalar Önce bazı n değerleri için elde edilen binary stringleri yazalım: n Binary String A n 36/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

244 Alıştırmalar Önce bazı n değerleri için elde edilen binary stringleri yazalım: n Binary String A n 1 36/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

245 Alıştırmalar Önce bazı n değerleri için elde edilen binary stringleri yazalım: n Binary String A n /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

248 Alıştırmalar Önce bazı n değerleri için elde edilen binary stringleri yazalım: n Binary String A n , /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

249 Alıştırmalar Önce bazı n değerleri için elde edilen binary stringleri yazalım: n Binary String A n , , 11100, /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

250 Alıştırmalar Önce bazı n değerleri için elde edilen binary stringleri yazalım: n Binary String A n , , 11100, , , , , /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

251 Alıştırmalar Önce bazı n değerleri için elde edilen binary stringleri yazalım: n Binary String A n , , 11100, , , , , , , , , , , , /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

252 Alıştırmalar Önce bazı n değerleri için elde edilen binary stringleri yazalım: n Binary String A n , , 11100, , , , , , , , , , , , Yukarıdaki tablodan elde edilen sayıların Fibonacci sayıları olduğu görüyoruz. 36/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

253 Alıştırmalar n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan binary string sayısının F n+1 olduğunu kanıtlayalım. 37/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

254 Alıştırmalar n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan binary string sayısının F n+1 olduğunu kanıtlayalım. n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan farklı binary stringlarin sayısına A n diyelim. 37/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

255 Alıştırmalar n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan binary string sayısının F n+1 olduğunu kanıtlayalım. n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan farklı binary stringlarin sayısına A n diyelim. Bu şekildeki binary stringlerin soldan üçüncü digiti için iki durum söz konusudur: 37/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

256 Alıştırmalar n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan binary string sayısının F n+1 olduğunu kanıtlayalım. n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan farklı binary stringlarin sayısına A n diyelim. Bu şekildeki binary stringlerin soldan üçüncü digiti için iki durum söz konusudur: 111xxx...x }{{} n tane 37/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

257 Alıştırmalar n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan binary string sayısının F n+1 olduğunu kanıtlayalım. n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan farklı binary stringlarin sayısına A n diyelim. Bu şekildeki binary stringlerin soldan üçüncü digiti için iki durum söz konusudur: 111xxx }{{...x} n tane 1100xx }{{...x} n tane 37/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

258 Alıştırmalar n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan binary string sayısının F n+1 olduğunu kanıtlayalım. n karakter uzunluğunda ve verilen koşulları sağlayan farklı binary stringlarin sayısına A n diyelim. Bu şekildeki binary stringlerin soldan üçüncü digiti için iki durum söz konusudur: 111xxx }{{...x} n tane 1100xx }{{...x} n tane Birinci durumu ele alırsak, soldan ilk digiti attığımızda n 1 digitli ve verilen koşulları sağlayan bir binary string elde ederiz ki bunların sayısı A n 1 olur. 37/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

259 Alıştırmalar İkinci durumda yani 3. digit 0 ise bu durumda koşullar gereği 4. digitte 0 olmak zorundadır. 38/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

260 Alıştırmalar İkinci durumda yani 3. digit 0 ise bu durumda koşullar gereği 4. digitte 0 olmak zorundadır. Şimdi, ilk iki digit atılarak elde edilen n 2 digit uzunluğunda, 00 ile başlayan ve istenen koşulları sağlayan binary stringleri düşünecek olursak bunların sayısı n 2 digit uzunluğunda 11 ile başlayan ve istenen koşulları sağlayan binary stringlerin sayısı ile aynı ve A n 2 olur. 38/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

261 Alıştırmalar İkinci durumda yani 3. digit 0 ise bu durumda koşullar gereği 4. digitte 0 olmak zorundadır. Şimdi, ilk iki digit atılarak elde edilen n 2 digit uzunluğunda, 00 ile başlayan ve istenen koşulları sağlayan binary stringleri düşünecek olursak bunların sayısı n 2 digit uzunluğunda 11 ile başlayan ve istenen koşulları sağlayan binary stringlerin sayısı ile aynı ve A n 2 olur. Yani, 0 lar ile 1 leri değiştirmek bir şey değiştirmez. 38/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

262 Alıştırmalar İkinci durumda yani 3. digit 0 ise bu durumda koşullar gereği 4. digitte 0 olmak zorundadır. Şimdi, ilk iki digit atılarak elde edilen n 2 digit uzunluğunda, 00 ile başlayan ve istenen koşulları sağlayan binary stringleri düşünecek olursak bunların sayısı n 2 digit uzunluğunda 11 ile başlayan ve istenen koşulları sağlayan binary stringlerin sayısı ile aynı ve A n 2 olur. Yani, 0 lar ile 1 leri değiştirmek bir şey değiştirmez. O halde bu iki durumu birleştirirsek, A n = A n 1 +A n 2 olur. 38/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

263 Alıştırmalar İkinci durumda yani 3. digit 0 ise bu durumda koşullar gereği 4. digitte 0 olmak zorundadır. Şimdi, ilk iki digit atılarak elde edilen n 2 digit uzunluğunda, 00 ile başlayan ve istenen koşulları sağlayan binary stringleri düşünecek olursak bunların sayısı n 2 digit uzunluğunda 11 ile başlayan ve istenen koşulları sağlayan binary stringlerin sayısı ile aynı ve A n 2 olur. Yani, 0 lar ile 1 leri değiştirmek bir şey değiştirmez. O halde bu iki durumu birleştirirsek, A n = A n 1 +A n 2 olur. Yukarıdaki tablodan A 2 = 1 ve A 3 = 1 olduğundan A n = F n+1 elde edilir. 38/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

264 Alıştırmalar Alıştırma Sosyal yardım için sırada bekleyen 10 vatandaşa kömür ve gıda yardımı yapılacaktır. Sırada bekleyen ardışık iki kişiye kömür vermemek ve sıradakilere yardımlardan sadece birini vermek koşuluyla bu dağıtım kaç farklı şekilde yapılabilir? 39/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

265 Alıştırmalar Alıştırma Sosyal yardım için sırada bekleyen 10 vatandaşa kömür ve gıda yardımı yapılacaktır. Sırada bekleyen ardışık iki kişiye kömür vermemek ve sıradakilere yardımlardan sadece birini vermek koşuluyla bu dağıtım kaç farklı şekilde yapılabilir? Önce problemi basitleştirip sırada bekleyen 1,2,3,4 ve 5 kişi varken yardımların kaç farklı şekilde dağıtılabileceğini inceleyelim. 39/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

266 Alıştırmalar Alıştırma Sosyal yardım için sırada bekleyen 10 vatandaşa kömür ve gıda yardımı yapılacaktır. Sırada bekleyen ardışık iki kişiye kömür vermemek ve sıradakilere yardımlardan sadece birini vermek koşuluyla bu dağıtım kaç farklı şekilde yapılabilir? Önce problemi basitleştirip sırada bekleyen 1,2,3,4 ve 5 kişi varken yardımların kaç farklı şekilde dağıtılabileceğini inceleyelim. Gösterimlerde kısalık açısından kömür yardımını K, gıda yardımını G ile gösterelim. 39/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

267 Alıştırmalar n Dağıtımlar A n 40/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

268 Alıştırmalar n Dağıtımlar A n 1 40/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

269 Alıştırmalar n Dağıtımlar A n 1 K, G /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

270 Alıştırmalar n Dağıtımlar A n 1 K, G 2 2 KG, GK, GG /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

271 Alıştırmalar n Dağıtımlar A n 1 K, G 2 2 KG, GK, GG 3 3 KGK, KGG, GGK, GKG, GGG /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

272 Alıştırmalar n Dağıtımlar A n 1 K, G 2 2 KG, GK, GG 3 3 KGK, KGG, GGK, GKG, GGG 5 4 KGKG, KGGK, KGGG, GKGK, GKGG, GGKG, GGGK, GGGG /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

273 Alıştırmalar n Dağıtımlar A n 1 K, G 2 2 KG, GK, GG 3 3 KGK, KGG, GGK, GKG, GGG 5 4 KGKG, KGGK, KGGG, GKGK, GKGG, GGKG, GGGK, GGGG 8 5 KGKGK, KGKGG, KGGKG, KGGGK, KGGGG, GKGKG, GKGGK, GKGGG, GGKGK, GGKGG, GGGKG, GGGGK, GGGGG /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

274 Alıştırmalar n Dağıtımlar A n 1 K, G 2 2 KG, GK, GG 3 3 KGK, KGG, GGK, GKG, GGG 5 4 KGKG, KGGK, KGGG, GKGK, GKGG, GGKG, GGGK, GGGG 8 5 KGKGK, KGKGG, KGGKG, KGGGK, KGGGG, GKGKG, GKGGK, GKGGG, GGKGK, GGKGG, GGGKG, GGGGK, GGGGG 13. Elde edilen sayılar Fibonacci sayılarıdır.. 40/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

275 Alıştırmalar Şimdi sırada n kişi varken dağıtımların sayısını A n ile gösterelim. 41/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

276 Alıştırmalar Şimdi sırada n kişi varken dağıtımların sayısını A n ile gösterelim. Buna göre sırada n kişi varken ilk kişiye kömür verildiyse ikinci kişiye gıda verilmek zorunda olduğundan bu şekildeki dağıtımların sayısı A n 2 olur. 41/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

277 Alıştırmalar Şimdi sırada n kişi varken dağıtımların sayısını A n ile gösterelim. Buna göre sırada n kişi varken ilk kişiye kömür verildiyse ikinci kişiye gıda verilmek zorunda olduğundan bu şekildeki dağıtımların sayısı A n 2 olur. Eğer ilk kişiye gıda verilirse ikinci kişiye herhangi bir yardım verilebileceği için bu şekildeki dağıtımların sayısı A n 1 olur. 41/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

278 Alıştırmalar Şimdi sırada n kişi varken dağıtımların sayısını A n ile gösterelim. Buna göre sırada n kişi varken ilk kişiye kömür verildiyse ikinci kişiye gıda verilmek zorunda olduğundan bu şekildeki dağıtımların sayısı A n 2 olur. Eğer ilk kişiye gıda verilirse ikinci kişiye herhangi bir yardım verilebileceği için bu şekildeki dağıtımların sayısı A n 1 olur. O zaman toplam dağıtım sayısı A n = A n 1 +A n 2 elde edilir. 41/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

279 Alıştırmalar Şimdi sırada n kişi varken dağıtımların sayısını A n ile gösterelim. Buna göre sırada n kişi varken ilk kişiye kömür verildiyse ikinci kişiye gıda verilmek zorunda olduğundan bu şekildeki dağıtımların sayısı A n 2 olur. Eğer ilk kişiye gıda verilirse ikinci kişiye herhangi bir yardım verilebileceği için bu şekildeki dağıtımların sayısı A n 1 olur. O zaman toplam dağıtım sayısı A n = A n 1 +A n 2 elde edilir. Yukarıdaki tablodan A 1 = 2 ve A 2 = 3 olduğundan A n = F n+2 diyebiliriz. 41/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

280 Alıştırmalar Şimdi sırada n kişi varken dağıtımların sayısını A n ile gösterelim. Buna göre sırada n kişi varken ilk kişiye kömür verildiyse ikinci kişiye gıda verilmek zorunda olduğundan bu şekildeki dağıtımların sayısı A n 2 olur. Eğer ilk kişiye gıda verilirse ikinci kişiye herhangi bir yardım verilebileceği için bu şekildeki dağıtımların sayısı A n 1 olur. O zaman toplam dağıtım sayısı A n = A n 1 +A n 2 elde edilir. Yukarıdaki tablodan A 1 = 2 ve A 2 = 3 olduğundan A n = F n+2 diyebiliriz. Böylece istenen cevap A 10 = F 12 = 144 elde edilir. 41/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

Daha göster