Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.

Transkript

1 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini gösterelim. Yani, bire-bir örten kümesi bileşke işlemi altında bir gruptur. Gerçekten; X üzerinde birim fonksiyonu X den X üzerine birebir örten fonksiyon olduğundan böylece dur. için bileşkesi ten e birebir örten bir fonksiyon olduğu için Ayrıca, işleminin birleşme özelliğine sahip olduğu açıktır. Her için Böylece ( bir gruptur. ( grubuna permütasyon grubu denir. Not 2.3. ( grubu değişmeli olması gerekmez. Gerçekten, olsun. Şimdi, olmak üzere olduğunu kabul edelim. Böylece olduğundan olmak üzere olsun. nin üzerinde bir permütasyon grubu olduğunu kabul edelim. Şu halde bir fonksiyonu nın alt kümesi olduğunu hatırlayalım) Bu fonksiyonu ( Genel olarak şeklinde de gösterebiliriz. Yani üst sıraya nin elemanlarını alt sıraya her bir için elemanını yazıyoruz. Not 2.4. Yukarıda gösterilişleri şu şekilde de tanımlayabiliriz., kümesinden kendi üzerine bir 1-1 fonksiyon olsun. ; nin değişik sırada sıralanışı yani bir permütasyonu olmak üzere ise fonksiyonunu, her elemanın altına görüntüsünü yazarak; şeklinde ya leri yazmayarak ile gösterilebilir. 1

2 Örnek 2.5. olmak üzere üzerinde bir permütasyon olsun. permütasyonunu şeklinde yazabiliriz. Ayrıca Örnek 2.6., olmak üzere üzerinde iki permütasyon olsun. Şimdi yi hesaplayalım. Tanımdan her için Örneğin, Diğer işlemler yapılarak Örnek 2.7., olmak üzere üzerinde iki permütasyon olsun. Gerekli hesaplamalar yapılırsa Şimdi olmak üzere üzerindeki tüm permütasyonlar kümesini ile gösterelim. Teorem 2.8. olacak şekilde her pozitif tam sayı için bir gruptur. ise değişmeli değil grubun eleman sayısı 2

3 İspat. Tanım 2.2 den kolayca görülür. olmak üzere Böylece n elemanlı bir kümeden kendi üzerine bire-bir örten fonksiyon sayısı olduğundan grubun eleman sayısı Örnek 2.9. grubunun elemanlarını belirleyelim. grubunun eleman sayısı Teorem 2.8. den 6 tane birim dönüşüm olmak üzere olur. Diğer elemanlar ise,,,, Böylece Şimdi dersek, elde edilir. Bundan dolayı yazabiliriz. Tanım üzerindeki grubuna simetrik grup denir. Not permütasyonunu gözönüne alalım. Eğer ise ci sütunu yazmayabiliriz. Örneğin, Tanım 2.12 olsun. permütasyonu farklı doğal sayılar olmak üzere nin diğer elemanları için ile tanımlı ise şeklinde gösterilir uzunluğunda bir devir denir. 1 uzunluğundaki bir devir özdeşlik fonksiyonu olarak alınır. 3

4 farklı şekillerde yazılabilir. 2 uzunluğundaki devire transpozisyon denir. devrini açık olarak yazarsak permütasyonunu rir. Örnek Tanım 2.12 deki devir notasyonunu kullanarak Teorem 2.8 den eleman sayısı 6 olan değişmeli olmayan bir gruptur.,,,,. Tanım gibi iki devirin hiçbir ortak elemanı yoksa bu iki devire ayrık devirler denir. Not Bundan sonra için yerine yazacagız. Teorem Ayrık devirlerin çarpımı değişmeli İspat :, de iki ayrık devir olsun. { ise Buradan olur. Eğer ise ayrık olduklarından Şu halde Diğer taraftan Benzer şekilde için de olduğu gösterilebilir. Böylece deki her permütasyon sıra gözetilmeksizin ayrık devirlerin çarpımı olarak tek türlü yazılabilir. İspat : olsun. 1 in altında ard arda görüntülerini alalım. dizisi sonlu olduğu için belli bir adımdan sonra tekrar eder. Şu halde olacak şekilde en 4

5 küçük bir pozitif tam sayısı var elemanları birbirinden farklıdır. Böylece uzunluğunda bir deviri elde edilir. İşleme bu devirde gözükmeyen başka bir sayı alarak devam edilirse, elde edilen devirler ayrık olur çarpımları yi rir. Bu şekilde yi ayrık devirlere ayırma sıra gözetilmezse tek türlü olur. Örnek dır. Önerme Her devir 2 li devirlerin bir çarpımıdır. İspat : için deki her permütasyon transpozisyonların çarpımı olarak yazılabilir. Bir devirin 2 li devirlerin çarpımı olacak şekilde yazılması tek türlü değil Fakat bir permütasyonun ayrıldığı 2 li devirlerin sayısının tekliği çiftliği değişmez. Örnek = ( ) = (1 4)(1 3)(1 2) = (1 4)(2 3)(2 3)(13)(1 2) olduğundan tek permütasyondur. Tanım Bir permütasyon çift sayıda 2 linin çarpımı ise bu permütasyona çift, aksi halde tek permütasyon denir. deki çift permütasyonların kümesi olduğu açıktır. ile gösterelim. Örnek Önerme için İspat. Durum 1. için iki durum söz konusudur. olsun. Şu halde 5

6 Böylece elde edilir. Benzer şekilde Durum 2. olsun. Şu halde olacak şekilde vardır. Böylece Benzer şekilde sağlanır. Sonuç olarak Örnek de ise =. Örnek Bir eşkenar üçgenin köşe noktalarını sırası ile 1,2,3 ile gösterelim. Şu halde olsun. Bu X kümesinin permütasyonları aşağıdaki gibi,,,, Bu permütasyonlardan sırasıyla üçgenin köşelerinin 120, derecelik dönmelerine karşılık gelir. Diğer permütasyonlar ise kenerortaylara göre simetrilere karşılık gelir. Böylece kümesi bileşke işlemi altında bir grup oluşturur. Bu gruba üçgenin simetriler grubu denir. Ayrıca bu gruba 3. Dihedral Grubu da denmektedir ile gösterilmekte Yukarıdan = olduğunu görebiliriz Not Örnek 2.27 ye benzer olarak n kenarlıların simetri grubunu elde edebiliriz. Bu gruba n. dihedral grup denir ile gösterilir. Bu konuya 4. bölümde devam edeceğiz. 6

7 SORULAR 1) Aşağıdaki permütasyonları ayrık devirlerin çarpımı olarak yazınız. i) ii) 2) Aşağıdaki permütasyonları ayrık devirlerin çarpımı olarak yazınız. i) (1234)(253) ii) (123456)(3456) 3) ise yi bulunuz. 4) ise yi bulunuz. 5) olduğunu gösteriniz. 6 ) a) ise yi belirleyiniz. b) ise yi belirleyiniz. 7) Aşağıdaki permütasyonların mertebeseni bulunuz. a ) b ) 8) Her transpozisyonun tersi kendisine eşit olduğunu gösteriniz. 9) da kaç tane 4-lü devir vardır? 10) olsun. çift permütasyon ise de çift, tek permütasyon ise de tektir. İspatlayınız. 11) kümesinin elemanlarını yazınız. ün eleman sayısını belirleyiniz grubunun eleman sayısı ile arasındaki ilişkiyi inceleyiniz. 12) S sonlu küme olmak üzere S den S ye bir fonksiyonun bire-bir olması için gerek yeter koşulun bu fonksiyonun örten olmasıdır. Gösteriniz. S sonsuz küme ise doğrumu dur? 13) Bir Dikdörtgenin kendi üzerine dönüştüren bütün dönme simetrilerin fonksiyonların bileşke işlemine göre grup olduğunu gösteriniz. 7