GENEL FİZİK II DERS NOTLARI

GENEL FİZİK II DERS NOTLARI Hazırlayanlar: Prof. Dr. Mustafa POLAT Prof. Dr. Leyla TATAR YILDIRIM 1

BÖLÜM-1 Elektrik Yükü Bu bölümde, maddenin özelliklerinden birisi olan elektrik yükü ile tanışacağız. Atomu meydana getiren elektron, lkt proton ve nötron nun yüklerini i öğreneceğiz ve devamında da şu konulara değineceğiz: Elektrik yükünün çeşitleri İki yük arasındaki kuvvet (Coulomb yasası) Yükün kuantalığı Yükün korunumu (1-1)

Bir kumaş parçası ile ovuşturulan kehribarın tüy gibi hafif nesneleri çektiği antik çağlardan beri bilinen bir şeydir. Bu olgu, maddenin yeni bir özelliği olan elektrik yükü ile ilgilidir. Birçok deney, iki tür elektrik yükünün varlığını göstermiştir: pozitif (renk kodu: kırmızı) ve negatif (renk kodu: siyah). pozitif ve negatif isimleri Benjamin Franklin tarafından verilmiş isimlerdir. Cam bir çubuğu ipekbirkumaşla ovuşturduğumuzda, ikisi de elektrik yükü kazanır. Cam çubuğun kazandığı yükün işareti pozitif olarak tanımlanır. Benzer şekilde, plastik bir çubuğu bir kürk ile ovuşturduğumuzda, ikisi de elektrik yükü kazanır. Plastik çubuğun ğ kazandığığ yükün işaretiş negatif olarak tanımlanır. (1-)

Yüklü cisimlerle yapılan bir çok deneysel çalışmalardan elde edilen sonuçlar şu şekilde özetlenebilir: 1. Aynı işaretli yükler (her ikisi de pozitif veya negatif) birbirlerini iterler (Şekil-a).. İşaretleri farklı olan yükler (biri pozitif, diğeri negatif) birbirlerini çekerler (Şekil-b). Yükünün işareti bilinen bir cisimle, yükünün işareti bilinmeyen cisim arasındaki etkileşme kuvvetinin yönünden yararlanarak, bilinmeyen cismin yükünün işaretini belirleyebiliriz. Aynı işaretli yükler birbirini iter. Zıt işaretli yükler birbirini çeker. (1-3)

Yöntem: İpek bir kumaşla ovuşturulan cam çubuğun pozitif yüklü olduğunu biliyoruz. Bu çubuğu, yükü kaybolmayacak ve etrafında serbestçe dönebilecek şekilde ortasından asalım. Sonra da, yükünü ü bilmediğimiz bir cismi cam çubuğa doğru yaklaştıralım. Mümkün olan iki durum söz konusudur: Şekil- a: İki cisim birbirini iter. Bu durumda bilinmeyen yük pozitif işaretlidir. Şekil-b: İki cisim birbirini çeker. Bu durumda bilinmeyen yük negatif işaretlidir. ş (1-4)

Atomun çapı 51-1 m. Çekirdeğin çapı 51-15 m. Benjamin Franklin zamanında (18. yy) elektrik yükünün bir çeşit ağırlıksız, sürekli akışkan olduğu kabul ediliyordu.. yy başlarında Ernest Rutherford un atomun yapısı yp üzerinde yürüttüğü ğ araştırmalar, maddenin ne şekilde meydana geldiğini ortaya koydu ve bileşenlerinin sahip oldukları yüklerin belirlenmesini sağladı. Atomlar elektronlardan ve çekirdekten oluşur. Çekirdeğin kendisi de, proton ve nötronlardan oluşur. Elektronlar negatif yüklü, protonlar pozitif yüklü, nötronlar ise yüksüzdür. Bu durumda elektrik yükü, atomu oluşturan parçacıkların (elektron, proton, nötron) temel bir özelliğidir. (1-5)

Atomik Bileşenlerin Kütleleri ve Yükleri: Nötron (n) : Kütle m = 1.6751-7 kg; Yük q = Proton (p) : Kütle m = 1.6731-7 kg; Yük q = +1.61-19 C Elektron (e) : Kütle m = 9.111-31 kg; Yük q = -1.61-19 C Not-1: Elektron ve protonun yükleri ii için, sırasıyla, -e ve +e sembolleri kullanılır. Bunlar temel yük olarak bilinirler. Not-: Bir atomdaki elektron ve proton sayıları eşitse, atom elektriksel olarak nötr olarak adlandırılır. Bu sayı atom numarası (Z) dır. Not-3: Bir atomdaki proton ve nötron sayılarının toplamı ise kütle numarası (A) dır. Gösterim: U Z = 9 = elektron/proton sayısı 9 A = 35 =proton + nötron sayısı 35 (1-6)

Yükün Quantalanması : Bir nesnenin toplam yükü, o nesnedeki temel parçacıkların sayısına (elektron, proton, nötron) bağlıdır. Elektron sayısı N ve nötron sayısı N olan bir nesnenin net yükü, p net n Q en en N e N N ne e p n p e N e, proton sayısı olur. Burada, n N N ve tamsayıdır. Bu, net yükün elektron p e yükünün tamsayı katları kadar olacağını gösterir. Yani yük N e N n N p quantalıdır. (1-7)

Yükün Korunumu: Her ikisi de yüksüz olan cam bir çubuk ile ipek bir kumaşımız olsun. Cam çubuğu ipek kumaşla ovuşturduğumuzda, cam çubuk pozitif yüklenir. Aynı anda, toplam yük sıfır olacak şekilde, ipek kumaş da eşit miktarda negatif olarak yüklenir. Buradan, ovuşturma işleminin herhangi bir yük oluşturmadığı ancak, birinden diğerine yük akışı sağladığı anlaşılır. Yükün korunumu şöyle özetlenebilir: Herhangi bir işlemin i öncesindeki toplam yük, işlemden sonraki toplam yüke eşittir. Önceki Net Yük = Sonraki Net Yük Q i Q f (1-8)

İletkenler ve Yalıtkanlar : İletkenler, yüklerin içlerinde serbestçe dolaşabilmelerine izin veren malzemelerdir. Bakır, aliminyum, civa bunlardan bazılarıdır. Yalıtkanla, yüklerin içlerinde serbestçe dol aşmalarına izin vermeyen malzemelerdir. Plastik, lastik, cam, seramik bunlardan bazılarıdır. İletkenlerde, atomun son yörüngesindeki bir veya daha fazla elektron kolayca atomdan ayrılıp serbest hale gelebilir ve iletken içinde hareket eder. Bunlara iletim elektronları diyoruz. İletim elektronları geride iyon dediğimiz ğ pozitif yüklü atomlar bırakırlar. İletkenin içinde sadece iletim elektronları serbestçe hareket edebilir, pozitif yüklü iyonların konumları değişmez. Yalıtkanlar ise iletim elektronu içermezler. (1-9)

Bir İletkeni İndüksiyon y Yoluyla Yüklemek : Şekil- a' da bir iletken yaltkan bir iple asılmıştır ve başlangıçta yüksüzdür. Negatif yüklü ü plastik çubuğu yavaşça yaklaştıralım. aşt a Plastik yalıtkandır ve üzerindeki negatif yükler hareketsizdir. Ancak, iletken içindeki negatif yükleri sağ uca doğru itecektir. İletkenin sol ucunda elektron boşluğu meydana geldinden pozitif yüklenmiş olacaktır. Şekil- b 'de toprağa bağlı bir iletim yolu oluşturulmuş, böylece elektronların toprağa akması sağlanmıştır. Toprak bağlantısını iptal eder ve plastik çubuğu uzaklaştırırsak, iletken çubuk pozitif yüklenmiş olacaktır. Not -1: İletkenhe üzerinde indüklenen yük, plastik çubuğun yükü ile ters işaretlidir. Not - : Plastik çubuk aynı amaçlı çok defa kullanılabilir. (1-1)

F k q q 1 mm F G r Coulomb Yasası : Aralarındaki mesafe r olan, q ve q yükleri olsun. Bu yükler 1 birbirlerine, aşağıda özellikleri verilen kuvvetler uygularlar. 1. Kuvvetler, yükleri birleştiren doğru boyuncadır.. Yükler aynı işaretliyse, kuvvet iticidir. 3. Yükler zıt işaretliyse, kuvvet çekicidir. Kuvvetin büyüklüğü, Coulomb Yasası olarak bilinen 1 q1 q k olmak üzere, F k eşitliği ile verilir. 4 r r Burada, boşluğun ğ veya havanın elektriksel lktik lgeçirgenliği -1 olarak bilinir ve değeri 8.851 N m /C dir. 1 Coulomb kuvveti ve Newton'un gravitasyonel kuvveti aynı formdadır. Tek fark, gravitasyonel kuvveti he rz am an çekici bir kuvvettir. Buna karşın Coulomb kuvveti, yüklerin işaretine bağlı olarak çekici veya itici olabilir. (1-11)

Örnek : Hidrojen atomunda çekirdekteki proton ile yörüngedeki elektron arasındaki 11 uzaklık ortalama 5.31 m' dir. Bunlar arasındaki elektriksel ve gravitasyonel kuvvetlerin büyüklüklerini bulunuz. Coulomb yasasından, bu iki yük arasındaki kuvvetin büyüklüğü: 19 e 1.61 9 8 FE k 9 1 8. 1 N. r 11 5.31 İki kütle arasındaki çekim kuvvetinin büyüklüğü, Newton' un gravitasyon yasasından: 9.111 1.671 31 7 mm e p 11 47 Fg G r 11 53 5.3 1 6.7 1 3.6 1 N. Atomik boyutta, parçacıklar arasındaki kütle çekim kuvveti önemsenmeyecek düzeyde küçüktür. (1-1)

Coulomb Yasası ve Üstüste Binme İlkesi: Bir yük grubunun belirli bir yüke uyguladığı ğ net tkuvvet, tüm yüklerin uyguladığı kuvvetlerin vektörel toplamına eşittir. Örneğin, q ve q3 yükleri tarafından q1 yüküne uygulanan net kuvvet ( F1), F 1 F 1 F 31 ile verilir. Burada, F ve F sırasıyla q ve q yüklerinin q yüküne 1 31 3 1 uyguladığı kuvvetlerdir. q y ükün e etkiyen n tane nokta yük olması durumunda ise net kuvvet, n F F F F... F n Fi 1 1 31 41 1 1 i ile ifade edilir. 1 F F F 1 1 14 (1-13)

Örnek :Şekildeki gibi üç nokta yük, dik kenarlarının uzunluğu a= 1 cm olan ikizkenar üçgenin köşelerine yerleştirilmiştir. q=q= 5 C ve q= C olduğuna 3 1 3 göre q yüküne etkiyen net kuvveti bulunuz. Coulomb yasasından, q ve q yüklerinin q yüküne uyguladıkları kuvvetlerin büyüklükleri: F 1 3 6 6 51 51 q q k 91 11 N 1 3 9 13 a.1 6 1 51 6 q q3 9 F k 9 1 9 N 3 a.1 F ˆ ˆ 1i ˆ ˆ net F13 F3 (11cos 45 9)i 11sin 45 j 1.1i 7.9j N Fnet 7.9 1.1 7.9 8 N ; tan =98 11 1.1 1 o (1-14)

Örnek : Şekildeki gibi üç nokta yük, x-ekseni üzerine yerleştirilmiştir. q = 15 Cluk C'luk yük x = m noktasında, q =6 1 C'luk yük ise orijinde bulunmaktadır. q nokta 3 yükü x-eksini üzerinde hangi noktada olmalıdırki ırki, üzerine etkiyen net kuvvet sıfır olsun? q ve q yükleri aynı işaretli olduğu için, işareti ne olursa olsun q yükü 1 3 bunların arasına konulmalıdır. Bu durumda: q q q q F k ; F k x x 1 3 3 13 3 q q F F 3x 8x8 1 13 3 x x x.775 m bulunur. (1-15)

Örnek : Aynı noktadan asılmış, kütleleri 31 kg olan yüklü iki özdeş küre şekildeki gibi dengededirler. İplerin boyu 15 cm ve = o 5 olduğuna göre, kürelerin yükü nedir? Denge durumunda yükler arasındaki uzaklık: a L sin olacaktır. Küreler dengede olduğuna göre: q Tsin k ; T cos mg a k q a mg tan a tan q 19.54 1 mg k 8 q 4.44 1 C 16 bulunur. (1-16)

Örnek : Kütleleri m, yükleri de q =Q ve q = Q olan 1 iki parçacık L uzunluğundaki iplerle aynı noktadan düşey olarak asılı halde dengededirler. Yükleri asılı oldukları noktaya bağlayan iplerin düşeyle yaptık ları 1 ve açıları çok küçüktür. Bu iki açı arasındaki ilişkiyi ve yükler arasındaki mesafeyi bulunuz. q q yükü için T sin F FE tan T mg mg 1 Tsin FE FE tan T mg cos mg 1 1 E 1 1 cos 1 1 g yükü için r1 Lsin1 r r Lsin1 Ltan 1 tan1 r L sin L Q r 4kQ L FE mg ta n 1 k mg r r L mg bulunur. 1/3 (1-17)

Örnek : Yükleri +q olan iki özdeş parçacık, aralarındaki mesafe d olacak şekilde y-ekseni üzerinde sabitlenmişlerdir. Yükü Q ve kütlesi m olan üçüncü bir parçacık ise, iki yükün ortasından dik olarak geçen eksen üzerinde, merkezden x kadar uzaktaki bir noktaya konuyor. Q yükü bu eksen üzerinde rahatça hareket edebilmektedir. x d durmunda, Q yükünün basit harmonik hareket yapacağını gösteriniz. Hareketin periyodunu bulunuz. Basit harmonik hareket yapan bir cisim için, F Cx olmalıdır( C ). qq kqqx Q yüküne etkiyen geri çağırıcı kuvvet: F k sin x ( d /) x ( d /) kqqx 16kqQ x d F x 3/ 3 3 ( d /) 1 ( x/ d) d 3 d / T T 16kqQ (1-18) 3/

Örnek : Yükleri +q olan dört özdeş parçacık, xy-düzleminde bulunan, kenar uzunluğu ğ L olan bir karenin köşelerine şekildeki gibi sabitlenmişlerdir. Q yüküne sahip başka bir parçacık ise, karenin merkezinden dik olarak geçen z-ekseni üzerinde, kare merkezinden z kadar uzaktaki bir noktaya konuluyor. Q yükü üzerine etkiyen net kuvveti bulunuz. qq + q yüklerinden birisinin Q yüküne uyguladığı çekici kuvvet: F k z a a L/ L/ L / z cos z a 4kQ kqqz F 4 cos kˆ net F Fnet z a bulunur. 3/ (1-19)

BÖLÜM- Elektrik Alanlar Bu bölümde durgun yüklerin oluşturduğu elektrikalan( )kavramıyla tanışacağız. Yüklerin durgun olması halinde, yükler arasındaki etkileşmeleri belirlemek için Coulomb yasası yeterlidir. Yükler durgun olmasaydı, bu etkileşmeleri l i blil belirlemekii için başka alternatif yollar bl bulmak gerekirdi. Bu konu kapsamında şu konulara değinilecektir: Nokta yükün oluşturduğu elektrik alanın bulunması Nokta yük gruplarının vesürekliyük dağılımlarınınğ oluşturduğuş ğ elektrik alanların bulunması Elektrik alan içindeki yüke etkiyen kuvvetin bulunması elektrik dipol kavramını öğrenmek. Düzgün elektrik alan içindeki dipole etkiyen kuvveti, bu kuvvetin oluşturduğu torku ve dipolün potansiyel enerjisini i i blil belirlemek. E (-1)

Aralarında r mesafesi olan q 1 ve q nokta yükleri arasındaki etkileşme 1 kuvveti Coulomb yasasına göre, F 1 q q q q k 4 r r 1 1 bağıntısına a sahiptir. Nokta yükler arasında aas herhangi bir temas olmadığı ğ halde, yüklerin birbirlerine kuvvet uygulamalarını nasıl açıklayabiliriz? q 1 yükü, yakınlarında q yükünün bulunduğunu nerden biliyor? Bu nokta ancak, yeni bir kavram olan elektrik alan vektörü ile aydınlatılabilir. q 1 nokta yükü q üzerine doğrudan kuvvet uygulamaz. Bunun yerine, q nin bulunduğunoktada ğ d bir elektrik alan oluşturur ve kuvveti bualan uygular. q 1 yükü Ele ktrik Alan ( E ) Eq, üzerine Fkuvveti uygul ar (-)

E F E q Elektrik Alan Vektörünün Tanımı : Yandaki pozitif yüklü çubuğu ele alalım. Çubuğu çevreleyen uzaydaki tüm P noktalarında elektrik alan vektörü ( E) şöyle bulunur: 1. P noktasına pozitif bir q test t yükü ko nur.. Yüklü çubuğun q test yüküne uyguladığı F kuvveti ölçülür. 3. P noktasındaki elektrik alan vektörü: F E (N/C) q Görüldüğü ğ gibi E ile F aynı yöndedir. Not : q test yükü, çubuktaki yük dağılımını değiştirmeyecek kadar küçüktür. (-3)

Nokta Yükün Elektrik Alan : Şekildeki q pozitif yükünü ele alalım. Yükten r kadar uzaktaki ki q test t yüküne etkiyen kuvvet ve q noktadaki elektrik alan: F k F q q r q q E k k q qr r ' ın bulunduğuğ q ile verilir. E, q yükünden dışarı doğrudur. d r q nokta yükü negatif olsaydı E, q yüke doğru olurdu. (-4)

Nokta Yük Grubunun Oluşturduğu Elektrik Alan: Bir nokta yük grubunun oluşturduğu ğ net elektrik alan E, herbir yükün oluşturduğu elektrik alanların vektörel toplamına eşittir. Yukarıda verilen nokta yük grubunun orijinde oluşturduğu elektrik alan, E E1 E E3 olur. Burada E, E ve E sırasıyla, q, q ve q yüklerinin orijinde 1 3 1 3 oluşturdukları elektrik alan vektörleridir. (-5)

Örnek : Şekilde gösterildiği gibi, q= 7. C' luk bir yük orijinde ve q = 5. C' luk diğer bir yük ise x=.3 m noktasındadır. Koordinatları (;.4) olan P noktasındaki elektrik alanını bulunuz. q ve q yüklerinin P noktasında oluşturdukları 1 elektrik alanların büyüklükleri, sırasıyla, q q E k 3.9 1 N / C ; E k 1.8 1 N / C 1 5 5 1 r1p rp değerlerine sahiptir. Buradan da P noktasındaki net elektrik alan, 5 ˆ 5 5 E E 18 39 18 ˆ 1 E 1.81 cos i 3.91 1.81 sin j 5ˆ 5 E 1.81 i +.461 ˆj N / C sin.8 5 cos.6 1.461 o tan ( ) 66.3 5 1.8 1 bulunur. 1 (-6)

Örnek : Dört adet nokta yük, şekilde gösterildiği gibi, kenar uzunluğu a olan bir karenin köşelerine konmuştur. Sağ üst köşedeki q yükünün bulunduğu noktada, diğer yükler tarafından oluşturulan elektrik alanını ve q yüküne etki eden kuvveti bulunuz. q, 3 q ve 3 q yüklerinin, q yükünün bulunduğu noktada oluşturdukları elektrik alanların büyüklükleri, sırasıyla, 3 4 E q k q ; E 3q k q ; E q 4q k a a a ifadelerine sahiptir. İlgi duyulan noktadaki net elektrik alan : kq 3 ˆ kq 3 E E ˆ q E3q E4q cos 45 i 4 cos 45 j a a 5 kq ˆ ˆ 1 5.61 o E 3.6i + 5.6j ; tan ( ) 58.8 5 a 3.61 bulunur. (-7)

Örnek : Yükü q ve kütlesi m olan bir parçacık, şekilde gösterildiği gibi, +x-ekseni yönünde yönelmiş düzgün bir E elektrik alanı içinde ilk hızsız serbest bırakılıyor. Cismin hareketini tanımlayınız. (Yer-çekimi kuvvetini ihmal ediniz). qe max qe ax m x ve v olduğundan, i i 1 qe qe xs at x t ; vs at x t m m W = F x K K qex bulunur. s (-8)

Örnek : Bir proton, elektrik alanının E=61 5ˆ i olduğu bir bölgeye +x - ekseni yönünde fırlatılıyor. Proton duruncaya kadar elektrik alan içinde 7 cm yol alıyor. Protonun ivmesini, ilk hızını ve ne kadar sürede durduğunu bulunuz. (Yer-çekimi kuvvetini ihmal ediniz). ma qe 16 qe 1.61 5ˆ 16ˆ a = ( 61 i) = 5.751 i m / s 7 m 1.671 16 7 v v ax v 5.751.7 v 91 m / s s i i i 7 vi 91 vs vi axtt 16 a 5.751 bulunur. x 9 1.57 1 =1.57 ns (-9)

Örnek : Bir noktadan ağırlıksız iple asılmış q yüküne ve m kütlesine sahip küçük bir küre, şekilde gösterildiğigibi gibi E=A ˆi +Bˆj (N/C) ile verilen düzgün bir elektrik alan içinde dengededir. A ve B pozitif sabitlerdir. Kürenin yükünü ve ipte oluşan gerilmeyi bulunuz. F T sin qex qa qa mg tan tan q T cos qb mg mg qb A B tan T sin qa T qa A mg tan mga sin sin A Btan cos A Btan bulunur. (-1)

Elektrik Dipol : Aralarında d uzaklığı olan, eşit ve zıt işaretli iki yükten q oluşan sisteme " elektrik dipol "denir nir. H er el ektrik dipol, " elektrik dipol moment ( p) " vektörü ile tanımlanır. Büyüklüğü p=qd de ve yönü - q yükünden q yüküne doğruğ dur. Su molekülü (HO) gibi birçok molekül kendiliğinden bir dipol momente sahiptir. Oksijen atomu ile iki hidr oj en atomu arasındaki bağ, 1 değerlik ğ elektron paylaşımı py ş ile sağlanır ğ (8 tane O' dan, 1' er tane de H' den). Bu 1 değerlik elektronu O atomuna yakın olma eğilimindedir. i di Bu nedenle su molekülünde, O' nun bulunduğu ğ taraf H atomlarının bulunduğu tarafa göre daha negatiftir. (-11)

Dipolün Oluşturduğu Elektrik Alan : Dipolü oluşturan yüklerin P noktasında oluşturdukları elektrik alanların büyüklükleri: 1 q 1 q E ve E E E E E net E net d z E net ( ) ( ) net ( ) ( ) 4 r 4 r 1 q q 1 q q 4 r r 4 z d / z d / q d d 1 1 4 z z z x 1 yaklaşımı yapılırsa 1 1x: q d d qd 1 p 1 1 = 3 3 4 z z z z z (-1)

Sürekli Yük Dağılımlarının Oluşturduğu Elektrik Alan: Q, A dq da Q, V dq dv Q dq Q dq Q dq 3 (C/m) (C/m ) (C/m ) L dl A da V dv - Q yükü L uzunluğunda bir çubuğa düzgün dağılmış ise, çizgisel yük dağılımı söz konusudur. - Q yükü A yüzey alanına sahip bir plakaya düzgün dağılmış ise, yüzeysel yük dağılımı söz konusudur. - Q yükü V hacmine sahip katı bir cisme düzgün dağılmış ise, hacimsel yük dağılımı söz konusudur. (-13)

1. Yanda verilen hacimsel yük dağılımını gözönüne alalım. Bu yük dağılımının P noktasında oluşturduğu elekrik alanı hesaplamak için izlenmesi gereken yol şöyle öl özetlenebilir: Yük dağılımını, ğ hacmi dv olan sonsuz küçük ük elemanlara l ayıralım. Her eleman dq dv yüküne sahiptir ve P noktası dq yükünden r kadar uzaktadır.. dq yükünü nokta yük kkabul ederek Pnokta sında oluşturduğu de elektrik alanını yaz ve yük dağılımı ğ üzerinden integralini al (topla). dq 1 dv de E rˆ 4r 4 r (-14)

Örnek : Homojen yüklü sonsuz uzunluktaki bir çubuk şekildeki gibi x-ekseni üzerinde bulunmaktadır. Çubuk çizgisel yük yoğunluğuna sahip ise, çubuktan y kadar uzaktaki bir noktada elektrik alan ifadesini bulunuz. dq dx de k k r x y dx k dx E decos ky x y y 1 x / y 3/ 3/ tan / k 1 tan E 1 tan / 1 tan x y d k d dx y y y 3/ k k x k E sin E y y x y y y bulunur. cos d (-15)

Örnek : Uzunluğu L olan homojen yüklü bir çubuk şekildeki gibi x-ekseni üzerinde bulunmaktadır. Çubuk çizgisel yük yoğunluğuna sahip ise, çubuğun orta noktasından y kadar uzaktaki bir noktada elektrik alan ifadesini bulunuz. dq dx de k k r x y L / L / dx k dx E decos ky y L/ x y L/ 1 x / y 3/ 3/ tan / k 1 tan E 1 tan / 1 tan E x y d k d dx y y y 3/ L / k k sin x k L E y y x y y L / y bulunur. L / cos d (-16)

Örnek : Uzunluğu L olan homojen yüklü bir çubuk şekildeki gibi x-ekseni üzerinde bulunmaktadır. Çubuk çizgisel yük yoğunluğuna sahip ise, orijinden x kadar uzaktaki ( x>l) bir P noktasında elektrik alan ifadesini bulunuz. dx ' dq de k k x x x ' L dx ' u x x' k du E de k ; E k ' x x' du dx y u 1 1 1 1 E k k k u x x' x L x k L E x( x L) bulunur. L (-17)

Örnek : x-ekseni üzerinde bulunan, uzunluğu L olan bir çubuk Ax çizgisel i yük yoğunluğuna ğ ğ sahiptir. i ( A pozitif ifbir, x ise çubuğun ortasından olan uzaklıktır. Çubuğun ortasından y kadar uzaktaki bir noktada elektrik alan ifadesi nedir? dq dx xdx de k k ka r x y x y L / L / xdx xdx E decos kay kay L x y x y 3/ 3/ L / x y x y du u u x y du xdx E kay kay 3/ 1/ u 1/ L / 1 y E kay ka1 bulunur. x y L / y (-18)

Örnek : Homojen yüklü ince bir çubuk, R yarıçaplı çemberin bir parçası olacak şekilde bükülüyor. Şekilde verildiği ğ gibi,,yayı y gören açı ' dir. Yayın çizgisel yük yoğunluğu ise, çemberin merkezindeki (O noktası) elektrik lktikalan nedir? di? dq dl Rd k de k k k d r R R R / k k E decos cosd sin R R / / / / k k E sin E sin ˆ i bulunur. R R k E îi ve E R (-19)

Örnek : Yüklü ince bir çubuk bükülerek, şekildeki gibi yarıçapı R olan yarım çember haline getiriliyor. ili Çubuk üzerindeki bir noktadaki yük yoğunluğu, o noktanın konum vektörü ile düşey arasındaki açıya =Ac os ifadesi ile bağlıdır. Yarım çemberin merkezindeki (O noktası) elektrik alan nedir? dq dl cosrd ka de k k ka cosd r R R R / / ka ka 1 cos E de cos cos d d R R E / ka sin ˆ E ka j A ˆ j bulunur. R R 8 R (-)

Örnek : Q yükü R yarıçaplı bir çember üzerine düzgün olarak dağılmıştır. ğ Çemberin merkezinden dik olarak geçen z-ekseni üzerinde ve merkezden z kadar uzaktaki P noktasında elektrik alanı ( E ) bulunuz. Hangi z değerinde elektrik alan maksimum olur? dq dq de k k ; de sin ve cos yatay de dez de r z R de k zdq E de k z dq k zq z R z R z R z 3/ z z 3/ 3/ zq ˆ Q E k k ; z E ve z R E ˆ 3/ k k z R z de z R 3z kq R Q z E 5/ max dz z R 6 3R Q (-1)

Örnek : Yarıçapı R olan ince bir disk düzgün yüzey yük yoğunluğuna sahiptir. Diskin merkezinden dik olarak geçen gç eksen üzerinde ve merkezden z kadar uzaktaki bir P noktasında elektrik alanı ( E ) bulunuz. zq zdq z rdr E k de k k 3/ 3/ 3/ z R z r z r R u z r E de kz ; E z r du rdr rdr z du 4 3/ 3/ R 1/ z u z z 1 E E 1 kˆ 4 ( 1/ ) z r z R z R E ˆk u (-)

Örnek : bir kabuk, Yarıçapı R ve yüksekliği h olan ince silindirik xy-düzlemine tabanı orijinde olacak şekilde yerleştirilmiştir. Silindir düzgün yük yoğunluğuna sahip olduğuna göre, ekseni üzerindeki herhangi bir noktadaki ( P) elektrik alanı bulunuz. ' zq z z' dq z z' Rdz' E k de k k 3/ 3/ z R z z R z z R 3/ E E ' ' ' ' ; 3/ ' h R z z dz u z z R de z z R du z z ' dz ' 1/ R du R u R 1 E 3/ 4 u 4 ( 1/ ) z z' R h R 1 1 h E k ˆk ; z= E z h R z R (-3)

Örnek : Yarıçapı R ve Q yükünün üzerine düzgün dağıldığı çembersel bir hlk halkanın merkezine q yüküne sahip noktasal lbir parçacık yerleştirilmiştir. iil i i q yükünü, çemberin merkezinden geçen dik eksen boyunca z R şekilde çekip serbest bırakalım. q yükünün basit harmonik hareket yapacağını yp ğ gösteriniz ve hareketinin periyodunu bulunuz. zq z E k F qe F kqq z R z R 3/ 3/ Basit harmonik haraket yapan bir cisim için: F Cz olmalıdır. kqq z R F z 3 R cisim basit harmonik haraket yapıyor. ypy 3 kqq kqq mr a z T 3 3 mr T mr kqq olacak (-4)

Elektrik Alan Çizgileri : İlk kez 19. yy' da Michael Faraday tarafından elektrik alan vektörünü resmetmek için ortaya konmuştur. Elektrik alan çizgileri ile elektrik alan vektörü arasında şu ilişkiler vardır: 1. Herhangi bir P noktasında, elektrik alan vektörü E elektrik alan çizgisine teğettir.. Elektrikalanşiddeti şiddeti, elektrikalançizgilerininyoğunluğuileorantılıdır ile orantılıdır. (-5)

Örnek : Sonsuz geniş yüklü plakanın oluşturduğu elektrik alan çizgileri. il i 1. Plakanın her iki tarafında elektrik alan şiddeti sabittir.. Elektrik alan vektörü plakaya diktir. 3. Elektrik alan vektörünün yönü, plakadan dışarı doğrudur. Not : Plaka negatif yüklü olsaydı, elektrik alan vektörünün yönü plakaya doğru ğ olurdu. (-6)

3. Elektrik alan çizgileri pozitif yüklerden çıkarak negatif yüklerde sonlanırlar. Örnek : q E k r qyükünün oluşturduğu ğ elektrik alan çizgil eri : -Elektrik alan çizgileri yüke doğrudur. -Elektrik alan çizgilerinin il i i yönü, E' nin yönünü verir. -Birim yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin younluğu, yükeyaklaştıkça yaklaştıkça artmaktadır. (-7)

Bir elektrikdipolününoluşturduğu oluşturduğu Özdeş iki pozitif yükün oluşturduğu elektrik alan çizgileri : elektrik alan çizgileri: (-8)

Düzgün Elektrik Alan İçinde Elektrik Dipol: Yanda x - ekseni yönünde düzgün bir elektrik alan içinde bulunan elektrik dipolünü ele alalım. Pozitif ve negatif yüklere, sırasıyla, F =qeve F = qe kuvvetleri etkir. Dipole etkiyen net kuvvet, F = qe qe = net + olacaktır. Dipolün kütle merkezine göre F ve kuvvetlerinin oluşturduğu net ttork kise, d d τ = τ + + τ =F+ sin θ +F sin θ =qed sin θ =pe sin θ olur ou ve τ = p Eformunda dayazılabilir. ab Bu da, düzgün elektrike alan içindeki dipolün etrafında döneceğini igösterir. F ötelenemeyeceğini ancak, kütle merkezi + (-9)

Düzgün Elektrik Alandaki Elektrik Dipolünün Potansiyel Enerjisi : U d pesin ' d ( d azalma yönündedir) 9 9 U pe sin d pe cos 9 U = p E p p ile E aynı yönde ( ) U pe p E min. E Sistem kararlı denge durumundadır. p ile E ters yönde ( 18 ) U pe. max Sistem kararsız denge durumundadır. (-3)

Düzgün Elektrik Alan İçindeki Elektrik Dipolü Üzerinde Dış Kuvvetin Yaptığı İş : Düzgün ü bir E elektrik alanı içinde, i alanla l i açısı yapan bir p elektrik dipolü olsun (Şekil- a). Bir dış kuvvetin yardımıyla dipolü Şekil- b' deki gibi E ile s açısı yapacak şekilde çevirelim. Dış kuvvetin yaptığı iş, dipolün son durumdaki potansiyel enerjisi ile ilk durumdaki potansiyel enerjisi arasındaki fark kadardır: W U s Ui pe coss pe cosi W pe cos cos i s (-31)

Örnek : mesafe Yükleri q=. C ve q=. C, aralarındaki 1 d= 5 mm olan bir elektrik dipolü, merkezi orijinde olacak şekilde z-ekseni üzerinde konmuştur. z-eksenine dik ve dipolün merkezinden 1.5 m uzaktaki bir noktada elektrik alan nedir? 8 q q p qd ˆk11 Cm ; E k ; E k d / x d / x Ex Ecos Ecos E E E ; Ey Esin Esin Esin ˆ qd ˆ k E Eykk k p 3/ d / x d / x 3/ E 6.7k ˆ N / m (-3)

Örnek : d = 19 Yükleri q= 1.61 C ve aralarındaki mesafe 5.15 nm olan bir elektrik dipolü, büyüklüğü 5 1 N/C olan düzgün bir elektrik alan içine şekilde görüldüğü gibi yerleştirilmiştir. Dipol ve elektrik k alan sayfa düzlemindedir. Elektrik dipol momentini, dipole etkiyen torku ve dipolün potansiyel enerjisini bl bulunuz. Dipol, elektrik lkikalan tarafından kendisiyle i aynı yönde öd oluncaya kadar kd döndürülür. Elektrik alanın yaptığı iş ne olur? p qd p E pe sin. 1 5 1 sin145 19 9 9 1.6 1.15 1 =. 1 C m ( yükten + yüke doğru) 9 5 U pe U pecos145.1 U 4 5.7 1 N m (sayfa düzleminden dışarı doğru) 4 8 8. 1 J 9 5 5 1 cos145 9 5 W = U W pe(cos145 cos ).1 51 ( 1.8) W 3 1.81 J (-33)

BÖLÜM-3 Gauss Yasası Bu bölüm kapsamında şu konulara değinilecektir: il Elektrik akısı (Φ) Simetri Gauss yasası Gauss yasasını uygulayarak; Düzgün yüklü sonsuz geniş yalıtkan plakanın, Düzgün yüklü sonsuz uzun yalıtkan çubuğun, Düzgün yüklü küresel kabuğun ve kürenin oluşturduğu elektrik alanları hesaplayacağız. Gauss yasasını kullanarak, iletkenlerin içinde ve dışındaki ş elektrik alanlar da hesaplanacaktır. (3-1)

Bir Vektörün Akısı : Hızı v olan bir hava akımı, A yüzey alanına sahip bir yüzeye doğru ugeliyor osu olsun ve hız vektörü v ile yüzeyin normali ( nˆ ) arasındaki as açı da olsun. İlgili yüzeyden geçen akı, vacos bağıntısı ile verilir ve bu örnekte "hacimsel akış hızı (debi)" anlamı taşır. Not -1 : Hava akımının hızı, geldiği yüzeyin normali ile aynı yöndeyse ( v, yüzeye dik) akı maksimumdur ki ( va ). )Hız yüzeyin normaline dik ise ( v, yüzeye paralel) akı sıfırdır. Not - : vacos v A biçiminde yazılabilir. Burada A vektörü, yüzeyin y normali ile aynı yönde, büyüklüğü ğ A olan bir vektördür. İsmine " yüzey alan vektörü" diyebiliriz. (3-)

Elektrik Alan Akısı : Şekildeki gibi E elektrik alanı içinde kapalı bir yüzey düşünelim. Bu yüzeyden geçen elektrik akısı şöyle tanımlanır: 1. Yüzeyi, A alanına sahip sonsuz küçük elemanlara ayıralım.. Her elemandan geçen akı EA EAcos olacaktır. 3. Toplam akı; E A olarak bulunur. 4. A durumundaki limit, yüzeyden y geçen akıya eşittir. ş EdA (Nm / C) S Not -1: İntegral sembo lü üzerindeki çember, integralin kapalı yüzey üzerinden alınacağını gösterir. Note : Elektrik akısı ( ), yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısıyla y orantılıdır. (3-3)

Örnek : Yükü 1. C olan noktasal bir parçacığın, merkezinde bulunduğu 1. m yarıçaplı küresel bir yüzeyden y geçirdiği ğ elektriksel akıyı hesaplayınız. Pozitif bir q noktasal yükünün kendisinden r kadar uzakta oluşturduğu elektrik alan, kendisinden dışarı doğrudur ve büyüklüğü, q E k r ile verilir. Bu durumda, q dedaedacos k da r q q q 11 5 Nm k dak 4 r 1.131 1 r r 885 S 8.851 C bulunur. q r E da 6 (3-4)

Örnek : Kenar uzunluğu a olan bir küp, şekildeki gibi, pozitif x-ekseni yönünde düzgün ü bir E elektrik alanı içinde bulunmaktadır. Küpün yüzeylerinden geçen toplam elektrik akısı nedir? Yüzey alan vektörleri y-ekseni (3 ve 4 nolu yüzeyler) ve z-ekseni doğrultusunda olan yüzeyler (ön ve arka yüzeyler), elektrik alan vektörüne diktir. Bu yüzeyler y akıya katkı getirmezler. Toplam akı, 1 ve nolu yüzeylerden katkılanır: E da E da Ea cos18 Ea cos S 1 1 S Ea bulunur. 1 1 (3-5)

Örnek : Büyüklüğü 3.5 kn/c olan ve pozitif x-ekseni yönünde yönelmiş düzgün bir elektrik alan içine, uzunluğu.7 m ve genişliği.35 m olan dikdörtgen şeklinde bir plaka konuluyor. Aşağıdaki durumlar için plakadan geçen akıyı hesaplayınız. a )plaka yz ve xy düzlemlerinde bulunuyorsa b x y o ) plaka normali -ekseni ile 4 açı yapıyor ve -ekseni plaka A yüzeyinde bulunuyorsa.35.7 451 m 3 ˆ 3 3 N m a ) E Ai EA3.51 451 yz 857.5 C E Akˆ EA ˆi kˆ xy b ) E Acos 4i ˆ Asin 4kˆ EAcos 4 657 N m C (3-6)

Örnek : Kare prizma şeklindeki kapalı bir yüzey, şekildeki gibi, pozitif x-ekseni yönünde ve şiddeti E= + x (3 ) ifadesi ile değişen bir elektrik alanı iid içinde bulunmaktadır. bl ktd a=b = 4.4 m ve c=.6 6m olduğuna göre, kare prizmanın yüzeyinden geçen toplam elektrik akısı nedir? Yüzey alan vektörleri y-ekseni ve z-ekseni doğrultusunda ğ olan yüzeyler y (bir kenarı c olan dikdörtgensel yüzeyler) elektrik alan vektörüne diktir. Bu yüzden akıya katkı getirmezler. Toplam akı, karesel yüzeylerden katkılanır: E da E da E ab cos18 E ab cos 1 S S 1 x a xac N m ab (3 a ) 3 a c ab a c a.7 C bulunur. (3-7)

Örnek : Pozitif q yüklü bir parçacık, şekildeki gibi, R yarıçaplı bir küre kabuğunun ğ merkezindedir. di Şekilde gösterildiği gibi, yükün gördüğü ' lık bir katı açının gördüğü yüzeyden geçen akıyı bulunuz. Küre yüzeyi üzerinde r yarıçaplı dr kalınlığında bir halkadan geçen akı, q dedaedacos ' k rdr R q q d Rsin ' Rd ' sin ' d ' R q q sin ' ' cos ' q d (1 cos ) q q / ; q R (3-8)

Gauss Yasası : Gauss yasası şu şekilde formüle edilir ir : Herhangi bir yüzeyden geçen akı ε = yüzeyin içindeki net yük Φ ε =q ε EdAq nˆ iç nˆn ˆn S iç Not -1: Gauss yasası her kapalı yüzey için geçerlidir. Not - : Kapalı yüzey yiçindeki net yükü belirlerken, yüklerin işaretlerini dikkate almak gerekir. Not -3: Gauss yasasını uygularken, akıya katkıları olmadığı için yüzeyin dışındaki yükler işleme ktl katılmaz. Yandaki şekil için; S yüzeyi : q, S yüzeyi : q S 1 1 yüzeyi y :, S yü zeyi: 4 q q 3 3 4 (3-9)

Gauss Yasası ve Coulomb Yasası : Gauss yasası ve Coulomb yasası, durgun elektrikte elektrik yükü ile elektrik alan arasındaki ilişkiyi farklı biçimlerde açıklayan bağıntılardır. Her ikisi de birbirinden türetilebilir. Örneğin, ğ Coulomb yasasını Gauss yasasından türetelim: q nokta yükünden r kadar uzaktaki bir P noktasındaki elektrik alan Gauss yasasından bulunabilir. q yükünü merkez kabul eden r yarıçaplı küresel bir Gaussiyen yüzey seçelim. Gaussiyen yüzeyi, yüzey alanı küçük elemanlara bölelim. Herbir elemandan geçen akı, dedacos EdA bulunur. Buradan da, EdA E da E 4 r S S q q q E 4r q E k iç 4 r r sonucuna ulaşılır. q da olan sonsuz (3-1)

Simetri: Bir cisme uygulanan fiziksel bir işlem (döndürme, öteleme gibi) sonucunda, cisim i aynı kl kalıyorsa simetriktir i tikti denir. Merkezinden geçen düşey eksen etrafında serbestçe dönebilen bir küre düşünelim. Gözlemci gözlerini kapattıktan sonra küreyi ekseni etrafında çevirelim. Gözlemci gözlerini açtığında, kürenin döndürülüp döndürüldüğünüğ anlayabilir mi? Ekseni etrafında serbestçe dönebilen bir silindir düşünelim. Gözlemci gözlerini kapattıktan sonra silindiri ekseni etrafında çevirelim. Gözlemci gözlerini açtığında, silindirin döndürülüp döndürülmediğiniğ anlayabilir mi? Cevap her iki örnek için de hayır olacaktır. Bu durumda, hem küre hem de silindir dönme eksenlerine göre simetriktir deriz. (3-11)

Ötelenme Simetrisi: Sonsuz geniş bir düzlem düşünelim. Uçan halı üzerindeki bir gözlemci bu düzlemin üzerinde sabit bir yükseklikte olsun. Gözlemci gözlerini kapattıktan sonra bir miktar ötelensin. Gözlerini açtığında, hareket edip etmediğini anlayabilir mi? Cevap hayır olacaktır. Bu durumda, düzlem ötelenme simetrisine sahiptir deriz. Gauss Yasası Uygulanırken İzlenecek Yol: Yük dağılımını geometrik olarak çiziniz. Yük dağılımının simetrisini ve elektrik alanına etkisini belirleyiniz. Gauss yasası her kapalı yüzey y için geçerlidir. gç akısının en kolay hesaplanabileceği en uygun yüzeyi belirleyiniz. Elektrik alanı hesaplamak için Gauss yasasını uygulayınız. (3-1)

Sonsuz Uzunlukta Düzgün Yüklü Çubuğun Oluşturduğu Elektrik Alan: Şekilde düzgün çizgisel yük yoğunluğuna sahip bir çubuk verilmiştir. Çubuğun simetrisi dikkate alınırsa, oluşturduğu elektrik alanın kendinden dışarı doğru ve r uzaklığındaki tüm noktalarda şiddetinin de aynı olduğu ortaya çıkar. Bu yüzden, çubuğu eksen alan r yarıçaplı, h yüksekliğinde silindirik bir yüzey ygaussiyen yüzey yolarak seçilebilir. Gaussiyen yüzeyi üç farklı yüzeyin birleşimi gibi düşünebiliriz: Üst yüzey S, yanal yüzey S ve taban yüzey S. Yüzeyden geçen net akı, olacaktır. S 1 3 3 1 3 ve S yüzeylerinde, yüzey normali ile elektrik alan vektörleri birbirlerine dik olduğu ii için ve akıları kl sıfırdır. Bu durumda d net akı, 1 3 EdA E rh cosrhe Gauss yasasından: S q h r iç E k r (3-13) 1

Örnek : Yarıçapı R ve düzgün hacimsel yük yoğunluğu olan bir kürenin içinde ve dışındaki bölgelerde elektrik alanını bulunuz. q iç r R E da E dacos r S q iç S 3 4 3 4 r r qiç r E 4r E 3 3 3 qiç qiç r R EdA E dacos S S 4 4R R 3 3 3 q 4 iç R E r E 3 3 3 r R 3 R r R E de da R de da r (3-14)

Örnek : çp y y y g Yarıçapı R ve Q yükünün yüzeyine düzgün dağıldığı ince küresel bir kabuğun içinde ve dışındaki bölgelerde l elektrik alanını bulunuz. qiç r R EdA S q da olduğundan E iç qiç r R E da EdAcos S q S Q Q Q 4 qiç Q E r E k 4 r r iç (3-15)

Örnek : İç yarıçapı a, dış yarıçapı b ve düzgün hacimsel yük yoğunluğu ğ olan küresel bir kabukk için, r a; ar b ve r b bölgelerindeki elektrik alanını bulunuz. S EdA q iç r a q da olduğundan E iç 4 a r b E 4 r 3 E 3 3 r a 3 r a 3 3 r b 3 a 3 3 3 4 3 b a r b E r E 4 3 r Q Q Q (b 3 -a 3 ) 3 r E r b r b r b a a a a de da de b da de da r (3-16)

Örnek : Yarıçapı R ve hacimsel yük yoğunluğu r olan bir kürenin içinde ve dışındaki bölgelerde elektrik alanını bulunuz. S EdA q iç r r 4 4 ' ' ' ' ' 4 E r R q r dr r r dr r iç r E 4 r E r 4 4 R R 4 iç 4 ' ' ' 4 ' ' r R q r dr r r dr R R E 4 r E R 4 4 4r R 4 R r R r de da R de da r (3-17)

Örnek : Yarıçapı R olan sonsuz uzunluktaki bir silindirin i düzgün ü hacimsel yük yoğunluğu ğ ğ 'd dur. silindirin içinde ve dışındaki noktalarda elektrik alanını bulunuz. Yük dağılımının simetrisi nedeniyle, Gaussiyen yüzey olarak silindir seçilir. S 1 ve S 3 yüzeylerinden akıya hiçbir katkı gelmez ( da E). Bu durumda: qiç E da S r h r R E rh E r R E rh Rh r E R r (3-18)

ÖDEV : Yarıçapı R olan sonsuz uzunluktaki bir silindirin hacimsel yük yoğunluğu r ile veriliyor. bir sabit ve r ' de silindir ekseninden olan uzaklıktır. Silindirin içinde ve dışındaki bölgede elektrik alanını bulunuz ve silindir ekseninden olan uzaklığa karşı değişimini çiziniz. ÖDEV : İç yarıçapı a, dış yarıçapı b olan düzgün yük yoğunluğuna sahip sonsuz uzunlukta bir silindirin ekseni üzerinde, düzgün çizgisel yükü yaşıyan sonsuz uzun bir çubuk yerleştirilmiştir. r a ; ar b ; r>bbölgelerinde elektrik alanlarını bulunuz. (3-19)

Sonsuz Geniş, Yalıtkan, Yüklü Plakanın Oluşturduğu ğ Elektrik Alan : Plakanın pozitif ve düzgün yüzey yük yoğunluğuna sahip olduğunu varsayalım. Simetri nedeniyle elektrik alan plakaya dik, dışarı doğru ve büyüklüğü heryerde aynıdır. Şekildeki gibi, plakanın ortadan kestiği, kesit alanı A olan silindirik bir Gaussiyen yüzey seçebiliriz. Silindiri üç farklı yüzeyden oluşmuş gibi düşünebiliriz: Sağ ğ kesit S, yanal yüzey S ve sol lkesit S. Yüzeyden 1 3 geçen net akı, 1 olacaktır. 3 EAcos EA ve ( = 9 ) 1 3 EA q iç Gauss yasasından: E. A (3-)

Yüzeysel yük yoğunlukları ve - olan sonsuz geniş paralel iki iletken plaka olsun. 1 1 Plakalar birbirine yaklaştırılırsa, ş,yükler plakaların birbirine bakan yüzeylerinde y toplanır. Plakalar arasındaki bölgede elektrik alanını bulmak için, kesit alanı A olan silindirik bir Gaussiyen yüzey (S) seçerek Gauss yasasını uygulayabiliriz: qiç 1A 1 EA E Plakaların dışındaki bölgelerdeki elektrik alanı için de, kesit alanı A' olan S' silindirik Gaussiyen yüzeyini seçer ve Gauss yasasını uygularsak: qiç 11 EA E (3-1)

Örnek : Şekilde gösterildiği gibi, yarıçapı a ve düzgün hacimsel yük yoğunluğu ğ ğ olan bir küreden a yarıçaplı çp bir bölge çıkarılmıştır. ş Çıkarılan kısmın tam ortasındaki elektrik alan nedir? Verilen yük dağılımını, ğ ve düzgün yük yoğunluklarına sahip a ve a yarıçaplı iki kürenin toplamı gibi düşünebiliriz. ü i Dolayısı ile, ilgili noktadaki toplam elektrik alan: E r r' a = 3 3 ra 3 olarak bulunur. r ' a y a a a x + a (3-)

Bir İletken İçindeki Elektrik Alan : Soldaki iletkeni gözönüne alalım. İletkenler, içinde serbestçe dolaşabilen çok sayıda elektron barındıran malzemeler olarak tanımlanır. İletkenin içinde E olduğunu ğ düşünelim: Bu durumda, iletkenin içindeki elektronlar sıfırdan farklı F ee bir kuvvetin etkisi altında kalırlar. Bu nedenle elektronlar ivmeli bir hareket yapacak ve dolayısıyla bir elektrik akımı oluşturmaları gerekecektir. Böyle olması durumunda da; (a) İletkenin ısınması gerekir. (b) İletken çevresinde bir manyetik alan oluşmalıdır. Şu ana kadar böyle etkiler hiç gözlenmemiştir. Buradan da, "Bir iletkenin içindeki durgun elektrik alan E sıfırdır." sonucunu çıkarabiliriz. (3-3)

İzole Edillmiş Yüklü İletken : Yanda toplam yükü q olan bir iletken verilmiştir. i Yük, iletkende nasıl dağılmıştır? Bu soruyu yanıtlamak için, iletkenin i hemen içinde i bir Gaussiyen yüzey seçelim ve Gauss yasasını uygulayalım. İletkenin içinde E olduğundan, iç Φ = Δ = (Eş -1) ve Gauss yasasından : Φ = (Eş -). S E A Bu iki eşitlik birleştirilirse iletkenin içindeki yük sıfırdır ( q q ε iç = ). İletkenin sıfırdan farklı q yüküne sahip olduğunu bildiğimizden, bu yükün sadece iletkenin yüzeyinde bulunabileceği sonucuna ulaşırız. "Elektrostatik yükler, iletkenin içinde bulunamazlar. Ancak yüzeyinde bulunabilirler." (3-4)

İçinde Boşluk Bulunan Yalıtılmış Yüklü İletken: Yanda toplam yükü q olan bir iletken verilmiştir. Boşluğun duvarında yük bulunurmu? Bu soruyu yine, Gauss yasası yardımıyla cevaplayabiliriz. Bunun için, şekildeki gibi boşluğun hemen dışında bir Gaussiyen yüzey seçebiliriz. İletkenin içinde E olduğundan, ğ qiç E A (Eş-1) ve Gauss yasasından: (Eş-). S Bu iki eşitlik birleştirilirse seçilen Gaussiyen yüzeyin içindeki yük sıfırdır ( q = ). Dolayısıyla, boşluk duvarında herhangi bir yuk yoktur. Özetleyecek olursak; "İletken içindeki boşluğun duvarlarında yük bulunamaz. Tüm yük iletkenin dış yüzeyinde bulunabilir ir". iç (3-5)

Yüklü İletkenin Hemen Dışındaki Elektrik Alan: Bir iletkenin içindeki elektrik alan sıfırdır. Ancak, dışındaki elektrik alan sıfır değildir. Yüzeyin her noktasında yüzeye diktir. Böyle olmasaydı, elektrik alanın yüzeye paralel bir bileşeni olurdu ve yüzeyde bulunan yüklerin ivmelenmesine sebep olurdu. Bu ise " durgu n elektrik" kabullenmemize aykırı olurdu. Gauss yasasını uygulamak için, şekideki gibi silindirik bir Gaussiyen yüzey kullanacağız. Bu silindirik yüzey S, S ve S gibi üç farklı yüzeyden oluşur. 1 3 Net akı, bu yüzeylerden geçen akıların toplamı olacaktır:. 1 EAcos EA qiç qiç 1 EA cos 9 EA E A 3 qiç, yüzeysel yük yoğunluğutanımından, E A 1 3 bulunur. (3-6)

Örnek : Yarıçapı a olan Q düzgün yüküne sahip bir küre, şekildeki gibi iç yarıçapı b ve dış yarıçapı c olan Q yüküne sahip iletken bir küre kabuğunun merkezinde bulunmaktadır. 1,, 3 ve 4 nolu bölgelerdeki elektrik alanını bulunuz. q iç E da S 1 nolu bölge: 4 nolu bölge: 4 3 Qr E r E k 3 3 a a Q Q E r E k r 3 nolu bölge: E (İletkenin içinde yük bulunamaz. İletkenin Qr iç çeperinde Q dış çeperinde Q yükü birikir.) 4 nolu bölge: E Q Q 4 r E k r (3-7)

BÖLÜM-4 Elektrik Potansiyel Bu bölümde, elektrik alanla ilgili elektrik potansiyel (V) kavramını öğreneceğiz. Bu bağlamda aşağıdaki konulara değineceğiz: Elektrik alandan potansiyelin bulunması. Potansiyelden elektrik alanın bulunması. Nokta yük ve yük grubunun oluşturduğu potansiyel. Sürekli yük dağılımlarının oluşturduğu potansiyel. Yük sistemlerinin potansiyel enerjisi. Eş-potansiyel yüzeyler ve elektrik alan çizgileri. İzole bir iltekenin oluşturduğu potansiyel. (4-1)

x s Elektrik Potansiyel Enerji : U F ( x ) dx Korunumlu bir kuvvetin yaptığı iş, cismin potansiyel x i enerjisindeki değişimin negatif işaretlisidir. Korunumlu bir kuvvetin etkisiyle cisim x noktasından x noktasına hareket etmişse, i s s U q E ds i U U f Ui W F ( x ) dx yazılır. q nokta yükü, bilinen bir elektrik alanı ( E) içinde, F q E elektrik kuvvetinin etkisiyle x f x i A noktasından B noktasına gitsin. Yükün potansiyel enerjisindeki değişim, s s U Fdl q Edl i olacaktır. Bu değişim q yüküne bağlıdır. i (4-)

Elekrik Potansiyel ( V): A ve B noktaları arasındaki dkielektrik lktikpotansiyel lfark ( V ), bu noktalar arasında taşınan birim yük başına potansiyel enerji değişimi olarak tarif edilir: U W V V Vs Vi q q i s Edl Noktalardan birisinin potansiyeli biliniyorsa, diğer ğ noktanın elektrik potansiyeli bulunabilir. Genellikle, yükten çok uzaktaki bir noktanın potansiyeli sıfır alınır ( V i V ). Bu durumda, herhangi bir P noktasının potansiyeli, P Edl VP ifadesiyle verilir. SI sistemindeki birimi J/s (volt)' dir. (4-3)

Örnek : 4 Bir proton, şekilde gösterildiği gibi büyüklüğü 81 V/m olan pozitif x-ekseni yönündeki düzgün bir elektrik alan içinde durgun halden serbest bırakılıyor. Proton elektrik alan yönünde.5 m gittiğinde, a) A ve B noktaları arasındaki elektriksel potansiyel fark ne kadardır. b) Bu iki nokta arasında, protonun potansiyel enerjisinde ne kadarlık bir değişim olmuştur? c)p Proton B noktasına ulaştığındaki ğ dkihızı ne olur? a V V Edl Edl Ed B B V V E dl Edl Ed 4 ) cos 8 1 B A (.5) A A 4 VB VA 4 1 V b U qv U 19 4 15 ) 1.6 1 4 1 6.4 1 J 1 c K U m v v 15 6 ) p 6.4 1.77 1 m / s (4-4)

Örnek : Şekildeki gibi, y yönünde büyüklüğü 35 V/m olan düzgün bir elektrik alan vardır. Koordinatı (.,.3) m olan A noktası ile koordinatı (.4,.5) m olan B noktası arasındaki potansiyel farkını bulunuz. B B V V E dl Edl cos(9 ) = E AB sin B A A A AB.6.8 1 m 8.8 VB V A 35 1.8 6 V sin = =.8 1 C B C B V V E dl E dl Edl cos18 Edl cos9 B A A C A C 35(.8) 6 V V V E AC B A (4-5)

Nokta Yükün Potansiyeli : Orijinde bir q nokta yükü bulunsun. Yükten R kadar uzaktaki P noktasının potansiyelini bulmak için, q test yükünü ü P noktasından sonsuza götürmemiz gerekir. Böylece, V V Edl Edrcos Edr E V P P R R R q q dr q 1 V P 4 r 4 r 4 r 1 4 R q R bulunur. q nokta yükünün kendisinden r kadar uzakta oluşturduğu elektrik potansiyel: V 1 4 q q k r r (4-6) R

Nokta Yük Grubunun Oluşturduğu Potansiyel : Şekilde üç nokta yükten oluşan bir sistem verilmiştir. Bu yüklerin herhangi bir P noktasında oluşturdukları elektrik potansiyel, her birinin ilgili noktada oluşturduğu potansiyellerin toplamıdır. 1. Her bir yükün P noktasında oluşturdukları elektrik potansiyeller bulunur: 1 q 1 q 1 q 1 3 V1 ; V ; V3 4 r1 4 r 4 r3. Tüm yüklerin oluşturdukları potansiyeller toplanır: 1 q1 1 q 1 q3 V V1V V3 4 r 4 r 4 r 1 3 n tane nokta yükten oluşan bir sistem için i bu ifade şöyle öl yazılır: n 1 q1 1 q 1 qn 1 qi V... 4 r 4 r 4 r 4 i 1 r 1 n i (4-7)

Örnek : Şekilde gösterildiği gibi, ikizkenar bir üçgenin köşelerine üç nokta yük yerleştirilmiştir. iil i i q yüklerinin i bulunduğu doğrunun tam orta noktasındaki elektrik potansiyelini hesaplayınız. ( q 7 C alımız). h= = 4 1 15 cm q V Vq Vq k k h V V= q r 9 1 91 71 6 15 1 11 q 1 15 5 7 63 1 1.1 1 V (4-8)

Örnek : Şekilde gösterildiği gibi, q 1 C' luk yük orijinde ve q 6 C' luk yük ise y 3 m noktasında bulunmaktadır. Bu iki yükün, x 4 m noktasında ( P) oluşturdukları toplam elektrik potansiyel ne kadardır? q 3 3 C' luk üçüncü bir yükü P noktasına getirmek için yapılması gereken işi bulunuz. r q V V1 V k k r V q r 1 1 6 6 9 1 61 3 91 6.31 V 4 5 P 6 3 3 W =q3 V V 3 1 6.3 1 18.9 1 J (4-9)

Örnek : Şekilde gösterildiği gibi, Q, Q ve Q nokta yükleri x-ekseni üzerine aralarındaki mesafe a olacak şekilde yerleştirilmişlerdir. x a olmak üzere, x-ekseni üzerindeki herhangi bir noktadaki elektrik potansiyelini bulunuz. x a durumundaki potansiyel ifadesini türetiniz. q 1 q q 3 V V1 V V3 k k k r r r 1 3 1 1 x kqa V kq kq 3 xa x xa x a x x ax kqa kqa x a V 3 3 x 1 a / x x (4-1)

Elektrik Dipolünün Oluşturduğu Potansiyel : Solda bir elektrik dipolü verilmiştir. Dipolü oluşturan nokta yüklerin P noktasında oluşturdukları ş V potansiyelini bulalım. P noktası, dipolün merkezi olan O noktasından r kadar uzakta ve OP doğrusu dipol ekseni ile açısı yapsın. Bu durumda P noktasındaki potansiyel: 1 q q q r( ) r( ) V V ( ) V ( ). 4 r( ) r ( ) 4 r( ) r( ) olur. d dipolü oluşturan yükler arasındaki mesafe olmak üzere, r d yaklaşımı yapılırsa r( ) r( ) r, ABC dik üçgeninden de r r dcos yazılabilir. Bu durumda, ( ) ( ) q dcos 1 pcos V, 4 r 4 r sonucuna ulaşılır. Burada, p qd kısaltması yapılmıştır. (4-11)

Sürekli Yük Dağılımlarının Oluşturduğu Potansiyel : Şekildeki sürekli yük dağılımına sahip bir cisim verilmiştir. Yük dağılımının ğ herhangi h ibir noktada oluşturduğu ğ elektrik lktik potansiyel V üstüste binme ilkesiyle şu şekilde bulunur: 1. Cisim, sonsuz küçük dq yüküne sahip elemanlara bölünür. çizgisel yük dağılımı ğ dq d yüzeysel yük dağılımı dq da hacimsel yük dağılımı dq dv. dq yükünün P noktasında oluşturduğu dv potansiyeli yazılır: dv 1 dq 4 r 3. Tüm yüklerin katkısı, yük dağılımı üzerinden integral alınarak bulunur: V 1 4 dq r (4-1)

Örnek: Şekilde L uzunluğunda ve λ düzgün yük yoğunluğuna sahipince ince bir çubuk verilmiştir. Çubuğun sol ucundan, çubuğa dik doğrultuda d kadar yukardaki bir Pnoktasındaki elektrik potansiyelini bulunuz. Çubuğun sol ucundan x kadar ötede seçilen dx elemanının yükü dq dx P r d x ve noktasına uzaklığı da olduğundan, dq yükünün P noktasında oluşturduğu elektrik potansiyeli: dq dx dv k k r d x V k L bulunur. d dx x L L d L ln ln dx ln x d x d x k x d x k d (4-13)

Örnek : Şekilde L uzunluğunda ve λ = xyük yoğunluğuna sahip ince bir çubuk verilmiştir. Burada pozitif bir sabit ve x çubuğun sol ucundan olan uzaklıktır. Çubuğun sol ucundan yatay doğrultuda d kadar uzaklıkta bir P noktasındaki elektrik potansiyeli bulunuz. Çubuğun sol ucundan x kadar ötede seçilen dx elemanının yükü dq dx ve P noktasına uzaklığı ğ da r x d olduğundan, ğ dq yükünün P noktasında oluşturduğu elektrik potansiyeli: dq xdx xdx dv k k k r xd xd L xdx L L d V k k x dln x d k L dln x d d bulunur. xdx x dln x d x d (4-14)

ÖDEV : Şekilde L uzunluğunda ve λ = xyük yoğunluğuna sahip ince bir çubuk verilmiştir. Burada pozitif bir sabit ve x çubuğun sol ucundan olan uzaklıktır. Çubuğun ortasından dik doğrultuda ğ b kadar uzaklıkta bir P noktasındaki elektrik potansiyeli bulunuz. (4-15)

Örnek : Homojen yüklü ince bir çubuk, R yarıçaplı çemberin bir parçası olacak şekilde bükülüyor. Şekilde verildiği gibi, yayı gören açı ' dir. Yayın çizgisel yük yoğunluğu ise, çemberin merkezindeki (O noktası) elektrik potansiyeli nedir? Yay üzerinde seçilen dl elemanının yükü dq dl dir. O noktasındaki toplam elektrik potansiyeli: dq dl Rd dv k k k kd V k d k r R R olur. (yarımçember) V k (tam çember) V k 4 (4-16)

Örnek : Q yükü R yarıçaplı bir çember üzerine düzgün olarak dağılmıştır. Çemberin merkezinden dik olarak geçen z-ekseni üzerinde ve merkezden z kadar uzaktaki P noktasında elektrik potansiyelini bulunuz. Çember üzerinde seçilen dl elemanının yükü dq dl ( Q / R) dl ile verilir. P noktasındaki toplam elektrik potansiyeli: dq Q dl Q 1 Q dv k k V k dl k r R r R r r V k z Q R ; dl R Q Q Q/ R z V k R 4 R ; Q zv k (nokta yükün potansiyeli) z (4-17)

Örnek : Yarıçapı R olan ince bir disk düzgün yüzey yük yoğunluğuna sahiptir. Diskin merkezinden dik olarak geçen eksen üzerinde ve merkezden z kadar uzaktaki bir P noktasında elektrik potansiyelini bulunuz. Toplam yükü Q olan bir çemberin potansiyeli : Seçilen çemberin toplam yükü dq,potansiyeli dv dir. dq rdr dv k k z r z r R R rdr V dv z r V k z Q r xdx x a R V z r z R z x a x a (-18)

Örnek : İç yarıçapı a ve dış yarıçapı b olan ince bir disk düzgün yüzey yük yoğunluğuna ğ ğ sahiptir. i Diskin merkezinden dik olarak geçen eksen üzerinde z ve merkezden z kadar uzaktaki bir P noktasında elektrik potansiyelini bulunuz. Toplam yükü Q olan bir çemberin potansiyeli : Seçilen çemberin toplam yükü dq, potansiyeli dv dir. V k z Q r dq rdr dv k k z r z r b b rdr V dv a a z r b V z r z b z a a x xdx a x a (4-19)

ÖDEV : Yarıçapı R olan ince bir disk Cr ile değişen yüzey yük yoğunluğuna ğ ğ sahiptir. i C pozitif bir sabit ve r disk merkezinden olan uzaklıktır. Diskin merkezinden dik olarak geçen eksen üzerinde ve merkezden x kadar uzaktaki bir P noktasında elektrik potansiyelini bulunuz. (4-)

Örnek : Yarıçapı R ve yüksekliği h olan ince silindirik bir kabuk, xy-düzlemine tabanı orijinde olacak şekilde yerleştirilmiştir. Silindir düzgün yük yoğunluğuna sahip olduğuna göre, ekseni üzerindeki herhangi bir noktadaki ( P) elektrik potansiyelini bulunuz. Toplam yükü Q olan bir çemberin potansiyeli : Seçilen çemberin toplam yükü dq, potansiyeli dv dir. V k z Q r dq Rdz ' dv k k z z' R z z' R V h dv h R dz ' z z' R h z R z V ln ( z z') R z z' ln ( z h) R z h dx ( ax) b ln ( ) a x b a x (-1)

Örnek : Yarıçapı R olan bir küre düzgün hacimsel yük yoğunluğuna ğ ğ sahiptir. Sonsuzun potansiyelini sıfır kabul ederek, küre dışında ve küre içinde i elektrik potansiyelini i bulunuz. rp rp V V E dl Edlcos 18 ; dl dr P 18 r r r P P P dr VP V = E dr 1 = Edr kq r r 1 P VP = kq k r Q r P Q V() r k ; r R r rm rm rm Qr kq kq M R 3 3 3 M R R R R R R V V Edr k dr rdr r R kq kq kq r VM 3 rm R V ( r) 3 ; r R R R R R (4-)

İndüklenmiş Dipol Moment : Su molekülü (HO) gibi birçok molekül kendiliğinden bir dipol momente sahiptir. Bu tür moleküllere " polar" moleküller denir. Aksine, O, N,... gibi moleküllerin dipol momentleri sıfırdır. Bunlara da " polar olmayan" moleküller denir. Şekil- a' da böyle bir molekül resmedilmiştir. ş Pozitif yük ile çevresindeki negatif yük bulutu aynı merkezli olduğu için dipol momenti sıfırdır. Şekil- b' de, elektrik alan içindeki polar olmayan molekülde ne gibi bir değişim olduğu resmedilmiştir. Merkezleri çakışık olan pozitif yük ve negatif yük bulutu, elektrik kuvvetinin etkisi altında ayrışmıştır. Böylece, polar olmayan molekül elektrik alan etkisiyle sıfırdan farklı bir dipol momente sahip hale gelmiştir. Buna " indüklenmiş dipol moment" ve molek üle de " kutupl anmış"tır denir. Elektrik alan kaldırıldığında, kutuplanma da ortadan kalkar ve dipol moment tekrar sıfır olur. (4-3)

Eş-Potansiyel Yüzeyler: I numaralı yol : V olduğundan, WI olur. II numaralı yol : V olduğundan, W olur. III numaralı yol : WIII qv qv V1. IV numaralı yol : W IV qv q V V 1. Not : Bir yükü, eş-potansiyel bir yüzeyde V Potansiyelleri aynı olan noktaların oluşturduğu yüzeye eş-potansiyel yüzey denir. Şekilde dört farklı eş-potansiyel yüzey verilmiştir. Aralarındaki potansiyel farkının V olduğu iki nokta arasında, q yükünü bir noktadan diğerine götürmek için elektrik alan tarafından yapılan iş: W qv. elektrik alan tarafından herhangi bir işş yapılmaz yp ( W ). II hareket ettirmek için (4-4)