ABSRACT Mter Thei KÖTHE-TEOPLITZ DUALS OF DIFFRECE SEQUECE SPACES, c d c O DUYAR Gzioş Uiverity Grdute Schoo of tur Ad Aied Sciece Dertet Of Mthetic Suervior: Ait. Prof. Dr. O ÖZDEMİR I the firt of chter of thi tudy, rrged third chter, fudet defiitio d theore ued og the ivetigtio hve bee give. I the ecod chter, firty the diffrece equece ce, c ve c hve bee itroduced. Ad the the Köthe-Teoitz du of the equece ce, c d c hve bee ivetigted. I the third chter of the tudy, reut d dicuio h bee give. 28, 33 ge Key Word: Diffrece equece ce, bouded equece of oitive re, The du of Köthe-Teoitz ii
ÖZET Yüe Li Tezi, c ve c FARK DİZİ UZAYLARII KÖTHE-TEOPLITZ DUALLERİ O DUYAR Gzioş Üiveritei Fe Biieri Etitüü Mteti Abii Dı Dış: Yrd. Doç. Dr. O ÖZDEMİR Üç böüde ouş bu çışı i böüüde, çış boyuc uıc o tee tı ve teoreer veriiştir. İici böü i ııd c, c ve fr dizi uzyrı tıtııştır. İci ııd ie, c, c ve fr dizi uzyrıı Köthe-Teoitz dueri iceeiştir. Üçücü böüde ie trtış ve ouç veriiştir. 28, 33 yf Ahtr Keieer: Fr dizi uzyrı, ozitif eyfi ree yı dizii, Bir dizi uzyıı Köthe-Teoitz dui
. GİRİŞ w ie oe terii bütü dizieri cüei göterii. w ı herhgi bir t uzyı dizi uzyı deir.dizi uzyrı ie igii or yı iteii çışr rıd; Yei bir dizi uzyı iş ete, b Bu uzy tdrt dizi uzyı rıdi bğıtırıı iceee, c Bu uzyı α, β duerii beiree, d Bu uzy tdrt uzyr rıd tri rterizyorı y. gibi ddeer göteriebiir. Fr dizi uzyı vrı itertüre i def Kızz trfıd zdırıdı. Kızz 98 yııd O Certi Sequece Sce üyei çışıd c, c ve dizi uzyrıı tıyr bu uzyrı bzı özeierii iceedi. Et ve Ço 992 trfıd bu dizi uzyrı ozitif bir yıı içi geeeştiriiş ve, c c ve dizi uzyrı tıış ve bu uzyr rıdi iişier Et trfıd dotor çışı or uuuştur. ozitif ree yırı eyfi bir dizii ou. Verie herhgi bir w dizii içi, c, şeide tıdı. c ve cüeeri Mddo trfıd { } w :u < c { w :, C içi} { w : } c o w: < Bu çışd, Ahd ve Muree 987 trfıd tı, c ve c dizi uzyrı içi yurd bhedie robeer iceeecetir.
2.. Tee Tı ve Teoreer Bu ııd, tez çışı boyuc uıc o tee tı ve teoreer veriecetir. Tı.. S, ırı bir cüe ve E bir M S ou. Eğer, E içi M oc şeide S evcut, E cüeie, ütte ıırı bir cüe ve M ye d E i üt ıırı deir. Eğer, E içi oc şeide bir S evcut o z E cüeie tt ıırı bir cüe ve ye de E i bir t ıırı deir. He tt he de ütte ıır o cüeye ıırı bir cüe deir Rudi,976. Teore... E, ütte ıırı bir cüe ou. Bu tdirde; E i üt ıırrı içeriide bir e üçüğü vrdır Adero, 97. Teore..2. E, tt ıırı bir cüe ou. Bu tdirde; E i t ıırrı içeriide bir e büyüğü vrdır Adero, 97. Teore..3. E, ıırıdır K > E, K dır Adero, 97. Tı..2. X oc şeide bir X cüei verii. : X foiyou, X de bir dizi deir ve ie göteriir Kreyig,978. Tı..3. ree yırd eyfi bir dizi ou. Eğer, ε >, ε > ε, < ε ıyor, bu ttirde e yı, ye, ie göteriir Adero,97. diziii iiti deir ve i Teore..4. erii, yı ie, bu ttirde i dır Adero, 97. Tı..4. Eğer erii yı ie, bu ttirde deir ve < ie göteriir Adero, 97. eriie ut yıtır
3 Teore..5. Eğer, vey Adero,97. de, erii, ut yı ie, bu eri yıtır Teore..6. ve b ozitif terii ii eri ou.. b ve > içi, ve erii yı ie, b erii de yıtır Adero,97. Tı..5. X, boş oy bir cüe ou. M:, y X, d, y { } M2: d, y y M3:, y X, d, y d y, M4:, y, z X, d, y d, z d z, y iyorıı ğy d : X X foiyou, X içi bir etri, X, d iiiie de bir etri uzy deir Kreyzig,978. Tı..6. X oc şeide bir X cüei verii. : X foiyou X de bir dizi deir ve ie göteriir Kreyig,978. Tı..7. X, d, bir etri uzy ve,, d,, X de bir dizi ou. Eğer ε > ε > ε < ε ıyor, bu ttirde e yı, Kreyig,978. X e, diziii iiti deir
4 Tı..8. X, d, bir etri uzy ve, X de bir dizi ou. Eğer ε >, ε, > ε, d, < ε ıyor, diziie, X de bir Cuchy dizii deir Mddo,988. Teore..7. X, d bir etri uzy, ttirde, bir Cuchy diziidir Mddo, 988., X de yı herhgi bir dizi ou. Bu Tı..9. X, d bir etri uzy ou. Eğer X de her Cuchy dizii, X de bir oty yııyor, X e t etri uzy deir Mddo, 988 Tı... X, boş oy bir cüe ve K, bir cii ou. ve İşeeri verie üzere, eğer, : X X X, y, y y. : K X X V, y X, y y,, λ λ λ V2, y, z X, y z y z V3 X, θ oc şeide bir te θ X vrdır V4 Her bir X, V5 X, V6, y X ve α K V7 X ve α, β K V8 X ve α, β K θ oc şeide bir te X vrdır, α y α α y, α β α β, α β αβ
5 şrtrı ğıyor, X cüeie K cii üzeride bir ieer uzy vetör uzy deir Kreyzig, 978. Teore..7. X, K cii üzeride bir ieer uzy ve Y, X i boş oy bir t üei ou. Y i X ieer uzyıı bir t uzyı oı içi gere ve yeter şrt y, y2 Y ve α, α2 K içi αy α2 y2 Y oıdır Kreyzig, 978. Tı... X ve Y, yı bir K cii üzeride ieer uzyr ve f : X Y tıı bir döüşü ou. Eğer, 2 X ve α, β K ereri içi, α β α β f f f 2 2 ie f ye bir ieer döüşü deir Mddo, 988. X de Y ye o bütü ieer döüşüeri cüei, L X, Y ie göteriir. Öze or, Y K or ıır, f ieer döüşüüe, X üzeride bir ieer foiyoe deir Mddo, 988. Tı..2. X, bir ieer uzy ve : X bir foiyo ou. Eğer her, y X ve her α eri içi; : X içi 2: θ 3: α α 4: y y şrtrı ğıyor, bu ttirde; foiyou X üzeride bir or ve X, iiiie de oru uzy deir Mddo, 988. Tı..3. ε,,, ε yıtır deir Wiy, 968. X oru uzyıd bir dizi ou. Eğer, ε > içi < ıyor diziie X e or göre
6 Tı..4. e z bir M,,. X de bir dizi ou. Eğer; içi, buubiiyor, M oc şeide diziie, ıırı dizi deir Kreyig, 978. Tı..5., X, oru bir uzy ve de bu uzyd bir dizi ou. Eğer,, ie, bu ttirde diziie,, Mddo, 988. X oru uzyıd bir Cuchy dizii deir Tı..6. Eğer X oru uzyı t ie, X e bir Bch uzyı deir Mddo,988. Tı..7. E bir dizi uzyı ou. Bu durud; ω : E içi < ω : E içi yı ω : E içi u < α cüeerie, ırıy, E uzyıı α, β ve γ dui deir ve ırıy, E, E β ve E γ ie α β γ göteriir. Her hgi bir E dizi uzyı içi, E E E dır. Ve yrıc d, eğer, { α, β, λ} ξ ξ ξ ve E F ie F E dır Grig, 967. Bir rışıı odığı ürece bu çışd E α yerie E ve E β yerie E yi ucğız.
7 2., c VE c DİZİ UZAYLARII KÖTHE-TOEPLITZ DUALLERİ 2.., c, c,,, c ve c, Dizi Uzyrı. Bu ııd,, c, c,,, c ve c, dizi uzyrı tıtııştır. Tı2... w, bütü oe dizierii cüei ou. w i herhgi bir t uzyı, dizi uzyı deir Mddo, 988. Tı2..2. wo üzere, ıırı, yı ve ıfır yıy dizi uzyrı, ırıy, w :u < c { w:i evcut { c w :i şeide tıır Mddo, 988. } } } Tı2..3., ozitif ree yırı eyfi bir dizii ou. Verie herhgi bir w dizii içi,, c, c ve cüeeri; ırıy, { } w : u < { c w : içi, { w : } c o w: < şeide tıır Lcride, 9. }
8 2.2., c ve c Fr Dizi Uzyr Tı2.2... Verie herhgi bir dizi uzyı o üzere, w dizii içi, ou. X her hgi bir { w X } X : şeide tı dizi uzyrı, fr dizi uzyrı deir. X yerie c, c ve dizi uzyrı yzır, c, c, dizi uzyrı şğıdi gibi tıır Kızz, 98. { w c} c : { w } c : c { w: } 2.3., c ve c Fr Dizi Uzyrıı Köthe-Toeitz Dueri Tı2.3.. X boş oy herhgi bir cüe ou, w: X, yı w : X, <. cüeerie, ırıy X cüeeii Adi ve Mut Köthe-Toeitz Dueri deir ve ırıy X ve X ie göteriir. Bezer şeide, X i II. Adi ve Mut Köthe-Toeitz dueri de, ırıy Mowy, 989. X ve X ie göteriir
9 Tı2.3.2. ozitif ree yırı eyfi bir dizii ou. Verie herhgi bir w dizii içi ou. Bu göre c, c ve cüeeri ırıy { } w : c { w : c c { w : c } } şeide tıır Ahd ve Muree, 987. ve c i ut Köthe-Toeitz duerii beirere şıı zor bzı rgür bşvuruuştur. i oduğu, geede, şğıd bir yıcı öreği götereceği gibi > u oc şeide ou bir doğ yııı vrığıı geretirez, Eğer, ve 2, 2, 3,... ie, buttirde, 2 2 2 2 2. 2 i i 2 our. Bu yüzde c c dir. oduğud our. Bu yüzde de, dir. Ft, u 2 u u
oduğud, > u oc şeide bir doğ yıı yotur. O hde, > u oc şeide bir ou yıı yotur. ii, e z bir > içi,.. oc şeide bir dizi ie, bu ttirde,. g ie tıı bir dizii, geede de değidir. Buu göre içi, ve, 2, 3, ı. Bu tdirde,..... ede ediir. Buu berber,..g.g..g.g.. oduğud dır. Bu yüzede dır.
Tı2.3.3., oe terii bir dizi ou. Bu göre şğıdi cüeer < D I w : 2 < 2 D U w :u 2 2 D U w: < 2 2 D I w:u 2 < 2 ifde ediiştir Mowy, 989. Teore2.3.., ei ozitif ree yırı herhgi bir dizii ie, bu ttirde dır Mowy, 989. D İt : D ve eyfi our. >,u eçei.
2 2.3. < 2.3.2 ede ediir. O hde, dir. D içi, oduğud, ede ediir. D 2.3.3 Terie or, >, D oduğuu bu edei. Bu durud, our. diziii, şeide tıyı ve oduğuu göterei. oduğud, dır. Böyece, oduğud, dır. O hde, her D oduğud, D our. Bu yüzdede, 2.3.3 ie 2.3.4 bireştiriire, D 2.3.4 ede ediir. D
3 Teore 2.3.2, ei ozitif ree yırı herhgi bir dizii ie, bu ttirde, dır Mowy,989. 2 D 2 İt : D ve, eyfi our. Teore2. 3. 2 de doyı, D oduğud, D dir. Bu ttirde, u 2 oduğud, e z bir > içi, < ve < 2 2 2 u < 2 2 < ede ediir. Bu yüzdede, dır. 2 D oduğud, D 2 2.3.5 yzıbiir.
4 Terie or, 2 D eyfi ou. Bu ttirde >, 2 u yzıbiir. Burd d, } {. 2,3,4,.., 2 > 2.3.5* oc şeide, 2 şrtıı ğy, ozitif t yırı ei rt bir dizii vrdır. {} o üzere,,, diziii tıyı. Bu göre, 2 2 2 3 3 3 2...... 2 2 3 3...... 2
5 2 2 2 2 < ede ediir. Bu yüzde de 2.3.5* d, dır. Buu berber, 2...! 2 2 2 2...... 2 2............ oduğud ede ediir. Burd d, [ 2 D ] [ D 2 ] ocğıd, 2 D 2.3.6 ede ediir. 2.3.5 ve 2.3.6 bireştiriire, 2 D ede ediir.
6 Teore 2.3.3., ei ozitif ree yırı herhgi bir dizii ie bu ttirde c D dır Mowy,989. İt : D eyfi ou. 2... 2 2 3 3... > ve oduğud, 2.3.7 ede ediir. Bu yüzdede, Teore..6uyee teti d doyı, erii yı oduğud, erii de yıtır. Şidi de c, eyfi ou. Bu ttirde, c oduğud, ε >, ε Ν > ε, < ε 2.3.8 ır. ε eyfi oduğud öze or ε 2 içi 2.3.8 doğrudur.
7 Bu yüzdede, >, < ır. Burd d, Ν : > cüei, ie ütte ıırı oduğud, Teore.. de, ır. Ν Ν u : > u > M ve y y dizii de, i o üzere, L M. ou. y L or tıı. Buttirde, y L L yzıbiir. oduğud yd > dır. ie, y L L u y u L L u M L u y M M < L M u y 2.3.9 ede ediir.
8 > ie, y L L oduğud, u y > u L > u > u y > 2.3. ede ediir. Bu yüzde de, 2.3.9 ve 2.3. bireştiriire, u y ede ediir. y. L oduğud,. y L ede ediir. Burd d, L y L y L y 2.3. yzıır. ve D D oduğud, dır. Bu yüzde de, < dır. 2.3. de doyı d, < dır.yi, y c dır. O hde D içi oduğud, c D c 2.3.2
9 Terie or, D ou. Bu ttirde ve içi, > M oc şeide ei rt bir dizii vrdır. dizii,, Ν o üzere, or tıı. Bu ttirde, ve oduğud, ve ede ediir. ie ve oduğud ie dır. O hde, i i
2 ocğıd, c dir. ve o üzere, oduğud, ede ediir. Burd d, M ede ediir. Bu yüzdede, > M > ede ediir. O hde, oduğud, dir. Burd d, D c c c D 2.3.3 ede ediir. 2.3.2 ve 2.3.3 bireştiriire, c D ede ediir.
2 Teore 2.3.4., ei ozitif ree yırı herhgi bir dizii ie buttirde, 2 c D dır Mowy,989. İt : Ν { } içi, E w : < ve ou. F E oduğuu göterei. Grig 967 Teore.3 uır, F w: u < 2 U E E I I F 2 2 2 U w: < I 2 2 w: u 2 < 2 D D yzıır. Teore2.3.3 ü ur d, c 2 D ede ediir.
22 Teore 2.3.5. Her ei ozitif dizii içi c D D I w : < dır Mowy,989. İt : D de c de eyfi ii dizi ou. Bu ttirde,,,, c 2.3.4 ır., y. oc şeide, y y dizii verii. Buttirde,, y. içi, y y y y 2.3.4 de y c our. Bu yüzdede y c dir. y y
23 y y y y 2.3.5 yzıır. D oduğud, < ve D dir. Teore 2.3.3 de, dır. Burd d, y c c oduğud, < 2.3.6 y dır. Bu yüzdede, y y y y y ve < oduğud, Teore..6 de doyı, y < 2.3.7 dır. Bu yüzdede 2.3.6 ve 2.3.7 bireştiriire, < oduğu ede ediir. Burd d, oduğud, t c dir. D içi c t D c 2.3.8 dir.
24 Terie or, t c eyfi ou. Grig 967 Teore.2 de doyı c c c c ve Teore 2.3.3 de doyı, t c D oduğud, D dir. Ν, ie tıı dizii, göz öüe ıır, oduğud, i ede ediir. Burd d c dir. c ve c oduğud, < dır. Yi erii, yıtır. Bu yüzde de, D ve < oduğud, D dir. Ohde c, D oduğud, c D 2.3.9 2.3.8 ve 2.3.9 bireştiriire, D c ede ediir. Le 2.3.. Eğer P erii yı ie, i P dır Kızz, 98.
25 Le 2.3.2., P > ve M I w: < 2 ou. Bu ttirde, M dir Lcride d Mddo, 97. Teore 2.3.6. Her ei ozitif dizii içi, R, o üzere, D w yı ve R < I : 2 dır Mowy,989. İt: D ve eyfi dizier our. u >,u oc şeide e z bir vrdır. R R < oduğud, R R R R R R R R R R R R R R R R R R R
26 R R R R R R R R 2.3.2 R R 2.3.2 i ğ trfıı iici teriii ıfır yıığı, Le2.3. yrdııy şğıd göteriiştir: P ou. yı ouğud, P yıtır. Le2.3. de doyı dır. Yi, i P i P R i P R i R ede ediir. yııı tııd doyı, içi oduğud, yzıır. Burd d, 2.3.2 i her ii yıı toyr, 2.3.2 2.3.22 ede ederiz. 2.3.22 i her ii trfıı R ie çrr, R R
27 R R R < R R ede ediir. Sııştır teorei uır ede ediir. i R i R 2.3.2 i ğ trfıdi birici terii yıığı şğıd göteriiştir: D oduğud R < dır. Ayı zd, oduğud, > öye i >,u ır. Burd, içi oduğud 2.3.23 yzıır. 2.3.23 ü her ii yıı R ie çrr, içi ede ediir. Teore..6 de doyı, Teore..5 de, R R R erii yıtır. R erii ut yıtır. Doyııy, Şidi 2.3.2 i o teriii yıığıı göterei; R < oduğud, Teore..4 de doyı i R dır. > içi, > ede ediir. Bu eşitiziği her ii yı, R ie çrıır,
28 R < R ede ediir. Burd d ııştır teorei uır i R i R i R oduğud, i R ede ediir. K teri bir ıfır dizii oduğud, yıtır. Doyıy 2.3.2 i o terii yıtır. Böyece 2.3.2 i ğıdi her bir terii yı oduğu göteriiş oduğud, oudi teri de yıtır. Bu yüzdede, our. Doyııy, D içi, oduğud, dır. Terie or, D 2.3.24 eyfi ou.,,,...,,... e içi e e e oduğud, u e < dır. Doyııy e dir. içi,
29 oduğud, u dir. Burd d, dir. oduğud, içi erii yıtır. Öze or, e,,,...,,... ve içi. 2.3.25 2.3.26 erieri de yıtır. Burd d, Le2.3. de içide, P 2.3.27 i P i R P i R ede ediir. Burd d, R R R R 2.3.28 oduğud, 2.3.28, 2.2.27 ve yı oduğud, i R 2.3.29 ede ediir. Burd d 2.3.25, 2.3.26, 2.3.29 ve 2.3.2 de doyı yıtır. içi, R erii
3 dır. Bu öere öze or, içide geçeridir. Bu yüzde de, R erii yı oduğud R R dir. Le2.3.2 de doyı, M oduğud R M dır. Burd d >, R < ve R our. Yi, erieri yı oduğud dir. içi D D D ede ediir. 2.3.24 ve 2.3.3 ouçrı bireştiriire ede ediir. oduğud 2.3.3 D
3 3. TARTIŞMA VE SOUÇ Üç böüde ouş bu çışı i böüüde, çış boyuc uıc o tee tı ve teoreer veriiştir. İici böüde i or c, c ve dizi uzyrı tıtıış, dh ord, c, c ve dizi uzyrıı Köthe- Teoitz dueri iceeiş ve rştırcır içi uıc bzı öei ouçr veriiştir.
32 KAYAKLAR Ahd, Z.U. ve Muree, 987. Köthe-Toeitz du of oe ew equece ce d their tri, Pub. It. Mth. 42 56, 57-6. Adero, J.A., 969. Re Ayi, Cordo d Brech Sciece Pubiher Ic., ew Yor. Cooe, R.G., 949. Ifiite Mtrice d Sequece, Mcie d Co., Lodo. Et, M., 992. Geeeştiriiş Fr Dizi Uzyrı ve Mtri Döüşüeri, Fırt üiveritei. Gei, T.W., d Greee, R.E., 984. Itroductio to Tooogy, Suder Coege Pubihig, ew Yor. Grig, D.J.H.,967. O Tooogic Sequece Sce, Proc. Cbridge Phio. Soc., 63, 997-9. Grig, D.J.H.,967. The β d γ -Duity of Sequece Sce, Proc. Cbridge Phio. Soc., 63, 963-98. Godberg, R.R., 976. Method of Re Ayi, Joh Wiey d So, ew Yor. Groe,K., Erd, G., 993. Mtri trforti Betwee the Sequece Sce of Mddo, J. Mth. A. A. 8, 223-238. Kizz., H., 98. O certi equece ce, Cdi Mth. Bu. 24, 69-76. Kreyzig, E., 978. Itroductory Fuctio Ayi with Aictio, Joh Wiey d So, ew Yor. Lcride, C.G., 97. A tudy of certi equece ce of ddo d geerztio of theore of Iyer, Pcific J. Mth. 38, 487-5. Lcride, C.G., d Mddo I. J., 97. Mtri trfortio betwee oe ce of equece,, Phi. Soc., 68, 99-4. Lichutz, S., 965. Geer Tooogy, McGrw-Hi Boo Coy, ew Yor. Mddo, I.J., 967. Cotiuou d Köthe-Toeitz du of certi equece, Proc. Cbridge Phi. Soc. 65, 47-475. Mddo, I.J., 988. Eeet of Fuctio Ayi, Cbridge t the Uiverity Pre, Cbridge. Mddo, I.J., ve Lcride, 97. Mtri Trfortio Betwee Soe Ce of Sequece,Proc. Cbridge Phi. Soc. 68, 99-4. Mddo, I J., d Wiey, M.A.L., 974. Cotiuou Oertor o Prored Sce d Mtri Trfortio, Pific J. Mth. 53 o:, 27-228, ew Yor. Mowy, E., 989. Aboute d ordiry Köthe-Toeitz du of oe et of equece d tri trfortio, Pub. It. Mth 46 6, 97-4. Mowy, E., d Muree, 2. Soe Mtri Trfortio Betwee the Diffrece Sequece Sce, c d c, Fiot, iš, Augut, 353-363. Wiy, A., 964. Fuctio Ayi, Bide Pubihig Coy, ew Yor.
33 ÖZGEÇMİŞ Kişie Bigier Adı Soydı : O DUYAR Doğu Trihi ve Yer : 979-İĞDE Medei Hi : Evi Ybcı Dii : İgiizce e-i : oduyr@yet.co Eğiti Derece Eğiti Birii Mezuiyet Trihi Yüe i Gzioş üiveritei 28 Li Seçu Üiveritei 2 Lie Ary Adou Öğrete Liei 997 İş Deeyii Yı Yer Görev 2-26 Zie Adou Öğrete Liei Mteti Öğretei 26-28 Tot Adou Liei Mteti Öğretei