ESM406- Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü. 2. SİSTEMLERİN MATEMATİKSEL MODELLENMESİ Laplace Dönüşümü

Transkript

1 ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü. SİSTEMLERİN MATEMATİKSEL MODELLENMESİ Laplace Dönüşümü.. Hedefler Bu bölümün hedefleri:. Komplek değişkenlerin tanıtılmaı.. Laplace Tranformayonun tanıtılmaı.. Laplace Tranformayonu ile doğrual adi diferaniyel denklemlerin çözümü... Laplace Dönüşümü (Laplace Tranformayonu) Bir itemden itenilen cevabın alınabilmei için kontrol itemi taarımında ilk adım itemin matematikel bir modelinin oluşturulmaıdır. Fizik kurallarının (Newton yaaı veya Kirchoff yaaı) itemlere uygulanmaıyla elde edilen modeller diferaniyel denklemler şeklindedir (Zaman alanı). Fakat doğrual adi diferaniyel denklemlere Laplace tranformayonu uygulanarak itemin Tranfer fonkiyon modeli (Frekan alanı) elde edilebilir. Tranfer fonkiyonu göterimi ile diferaniyel denklem çözümüne gerek olmakızın itemin dinamik analizi yapılabilir. Laplace tranformayonunun avantajları:. Laplace tranformayonu ile diferaniyel denklemler değişkeninde cebirel denklemlere dönüştürülürler. Bu ayede bait cebirel kuralların uygulanmaı ve alanından ter Laplace tranformayonu uygulanarak tekrar t (zaman) alanına geçilmei ile diferaniyel denklemlerin çözümü elde edilebilir.. Birçok temel fonkiyonun Laplace tranformayonunu önceden hazırlanmış tablolarda bulmak mümkündür. Böylece ektra işlem yapmaya gerek kalmaz. Doğrual zaman-bağımız itemlerin analizinde Laplace tranformayonun getirdiği diğer avantajlar aşağıdaki gibi ıralanabilir:. Homojen denklem ve integral işlemi tek bir operayon ile çözülür. 4. Çözüm başlangıç ve ınır değerleri direk olarak içerir.

2 ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü 5. Yapılan işlemler itematiktir. 6. Sürekli olmayan girişler ile çalışılmaına olanak ağlar. 7. Sitemin Geçici ve Durağan durum çözümleri eş zamanlı olarak elde edilir. 8. Sitemin diferaniyel denklemini çözmeden grafikel metotlarla item dinamiğinin analizinin yapılmaını ağlar. Laplace Tranformayonun tanıtılmaından önce Komplek ayılar hakkında kıa hatırlatma yapacağız. Komplek Sayılar: a jb a: Gerçek kıım b: Imajinal kıım j: Imajinal eleman ( j, Bazı kaynaklarda i = kullanılır.) Kartezyen Koordinatlar: a jb (Şekil.) Şekil.. Komplek bir ayının grafikel göterimi Polar Koordinatlar: = r = a + b (Büyüklüğü) θ = arctan ( b a ) (Açıı) Üel göterim: Şekil... den a = r coθ ve b = r inθ a jb = rcoθ + jrinθ = r(coθ + jinθ) Euler teoreminden e jθ = coθ + jinθ, Böylece, = re jθ ve θ periyodik olduğundan dolayı = re jθ = re j(πk+θ), (k = 0,,,, n)

3 Laplace Dönüşümünün tanımı: ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü f() t : Zamana bağlı bir fonkiyon t < 0 için f(t) = 0. : Komplek bir değişken L [ ] : Laplace Tranform operatörü f() t nin Laplace tranformu: t L f ( t) F( ) f ( t) e dt Burada = σ + jω, komplek bir değişkendir. 0 Laplace tranformayonu bir İntegral tranformayonudur ve doğrual diferaniyel denklemlerle ifade edilen itemlerin analizinde birçok kolaylık ağlar. Bu kolaylıkların başlıcaı Türev ve İntegral işlemlerini değişkeni ile çarpma ve bölme işlemine dönüştürür. Bu ayede diferaniyel ve integral denklemler çözümü kolayca yapılabilen cebirel polinomlara dönüştürülür... Laplace Dönüşümünün Özellikleri ve Önemli Teoremler. Sabit ile çarpım L[kf(t)] = kf(). Toplam ve Fark L[f (t) ± f (t)] = F () + F (). Türev L [ df(t) dt ] = F() f(0 ) L [ dn f(t) dt n ] = n F() n f(0 ) n f () (0 ) f (n ) (0 ) Burada f (n) (0 ) = dn f(t) dt n t=0 4. İntegrayon t L [ f(τ)dτ] = F() 0 t L [ f(τ)dτdt dt n ] = F() 0 t n 0 t n 0 t 0 n

4 5. Zamanda öteleme ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü L[f(t τ)u (t τ)] = e τ F() (u (t τ) baamak fonkiyonudur. ) 6. Başlangıç-değer teoremi lim f(t) = lim F() t 0 7. Son-değer teoremi lim f(t) = lim F() t 0.4. Bait fonkiyonların Laplace Dönüşümleri Laplace tranform metodunu kullanarak baamak, rampa, exponaniyel (ütel) ve inüzoidal gibi yaygın fonkiyonlar komplek değişkenin bir fonkiyonu olan cebirel fonkiyonlara dönüştürülebilir. Örnek ) Step fonkiyonu Çözüm: Baamak fonkiyonu t 0 için u (t) = ve t < 0 için u (t) = 0 olarak tanımlıdır. Örnek ) Exponential fonkiyon.5. Ter Laplace Dönüşümü bölgeinde ( domeninde) işlemler yapıldıktan onra t bölgeine (t domenine) geri dönülmek itenir. F ten () f(t) nin elde edilmeine ter Laplace tranformayonu denir. F () fonkiyonuna aşağıdaki integral işlemi ile tanımlanan ter laplace dönüşümü uygulanarak f() t fonkiyonu elde edilir. 4

5 ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü j f() t L t F( ) F( ) e d j j Burada σ reel (gerçek), abit bir ayıdır ve F() in tanımız yapan tüm değerlerin reel kıımlarından büyüktür. Yukarıdaki denklem düzleminde değerlendirilen bir çizgiel integraldir ve çözümü bazı bait fonkiyonlar dışında zordur. Çoğu zaman bir fonkiyonun ter Laplace tranformunu bulmak için Laplace tablolarından faydalanabilir. Tablo.. de bazı bait temel fonkiyonların Laplace tranformları verilmiştir. Tablo.. Bazı fonkiyonların Laplace Dönüşümleri Fonkiyon f(t) F() Baamak (Step) Rampa (Ramp) A.u(t) A.t Polinom (Polynomial) t n n! n Ütel (Exponential) e -at a Sinü (Sinuoidal) Sinwt Coinü (Coinuoidal) Cowt Sönümlü Sinü (Damped ine) e -at Sinwt ( a) Sönümlü Coinü (Damped co) e -at a Cowt ( a) A A ( a) te -at n! t n e -at n ( a) 5

6 ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü.6. Kımi Keirlere Ayırma yöntemi Sitemlerin tranfer fonkiyonları değişkeninin rayonel fonkiyonu şeklindedir. B () F () A () A() ve B() değişkenine bağlı polinomlardır. Zaman cevabına geçmek için tranfer fonkiyonunun ter Laplace tranformu, Laplace tranform tabloları kullanılarak kolayca elde edilebilir. Fakat bunun için tranfer fonkiyonunun kımı keirlere ayırarak bait fonkiyonların toplamı şeklinde ifade edilmei gereklidir. m B( ) b... b b m m 0 n A( ) a... a a n n 0 Kontrol itemlerinde A() in mertebei B() in mertebeinden büyüktür, ( n m) bu nedenle bait keirlere ayırma yöntemi ile F() rayonel fonkiyonu elementer fonkiyonlar cininden ifade edilebilir. Bu ayede F() fonkiyonunu kolaylıkla entegre edilebilen daha bait keirlerin toplamı şekline dönüştürmüş oluruz. Rayonel bir fonkiyon için kutuplar (pole) ve ıfırlar (zero) kavramı çok önemlidir. Rayonel bir fonkiyon kutupları ve ıfırları ile karakterize edilir. Bir itemin kutupları ve ıfırları o itemin kararlı olup olmadığını ve performanının ne kadar iyi olduğunu göterir. Kontrol itemleri taarımı da iteme yeni kutuplar ve ıfırlar atanarak yapılır. F() fonkiyonunu ıfır yapan değerlerine itemin ıfırları (zero) denir. F() fonkiyonunu onuz yapan değerlerine de itemin kutupları (pole) denir. Örnek: Aşağıdaki fonkiyonun kutuplarını ve ıfırlarını bulunuz. F () ( )( 5)( 4) ( ) de itemin bir adet ıfırı vardır., 5, 4, 4, j, j itemin kutuplarıdır. F() toplam 6 kutuba ahiptir, i bait kutup. i katlı kutup ve çift komplek eşlenik kutup vardır. O halde kımi keirlere ayırmada kutupların türüne göre hal mevcuttur. Aşağıda bait keirlere ayırma yönteminin itemin kutuplarının bait, komplek, katlı olmaı durumlarına göre uygulanışı verilecektir. 6

7 ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü ) Bait Kutuplar hali F K K K n ( )... K, K,..., K n abitlerdir. Bu abitler K ( ) F( ) i i i olarak heaplanır. Tablo yardımıyla ter dönüşüm yapılarak n f ( t) K e K e... K e bulunur. t t n n t ) Katlı Kutuplar hali F () B () a F () K K K a ( a) ( a) K a F ( ) ( ) a d K a F d ( ) ( ) a d K a F ( ) ( )! d a Örnek: (Bait ve katlı kökler) F () F () A B B B ( ) ( ) A ( ) F( ) ( ) 7

8 ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü B F ( ) ( ) ( ) d d B ( ) F( ) d d ( ) ( ) d d ( ) 4! d d ( ) ( ) B ( ) F( ) F () ( ) ( ) t e n ( a) ( n )! L n at f() t L F() e e t e t e t t t t ) Komplek Eşlenik Kutuplar hali Örnek üzerinde izah edilecektir. Soru ) Başlangıç şartları verilen aşağıdaki problemi Laplace dönüşümü kullanarak çözünüz. y 4 y t, y(0), y(0) Çözüm: L y 4 L y L t L y L y Y() t L Y y y Y ( ) (0) (0) ( ) 8

9 ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü Y( ) 4 Y( ) Y ( )( 4) Y( ) ( 4) Y( ) ( 4) ( 4) A A B C Y () ( 4) A Y() 0 4 d d ( 4 )( 4) ( ) A ( ) 0 Y d 0 d 4 ( 4) B ( ) Y( ) (4)(4) C ( ) Y( ) (4)( 4) 6 5 Y () L t 5 y() t e e t t Soru ) Başlangıç şartları verilen aşağıdaki problemi Laplace dönüşümü kullanarak çözünüz. y y y t e y y t 4, (0), (0) Çözüm: Y y y Y y Y 4 (0) (0) (0) 9

10 Y Y Y Y ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü Y Y A A B C D Y () A Y ( ) 4 d d 7 4 Y () d 0 d A 4 (4 6 4)( 6 6) ( )( 7 4 ) ( 6 6) 0 (4)( 6) ()( ) B ( ) Y( ) 7 4 C ( ) Y( ) D ( ) Y( ) 0

11 Y () L y( t) t e e e ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü t t t Soru ) F () denklemini ter Laplace dönüşümü kullanarak çözünüz. Çözüm: Sitem komplek köklere ahipe bu durumda komplek kökleri önümlü inü veya coinü formuna getirmekte fayda vardır. 4 j , j j j ( )( ) Hatırlatma: ( a b)( a b) a b ( a jb)( a jb) a b Bu duruma Laplace tranform tabloundan karşılık gelen fonkiyonlar L[e αt ω inωt] = ( + α) + ω L[e αt + α coωt] = ( + α) + ω

12 A B C F () ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü ( ) () A A A B C A B 0 A A C B 0 A C 0 Katayıları Bulmanın Diğer Yolu: A B C F () A F( ) 0 0 kutuplar olmak üzere uygun değerleri eçilir. 0, 0.5 j hariç değerleri eçilir. BC için ( ) B C B C BC için (4 ) 4 B C B C 4 7 B C 0 bulunur.

13 F () ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü F () F () L f t e t e t t 0.5t ( ) co(0.866 ) in(0.866 ) Soru 4) Başlangıç şartları verilen aşağıdaki problemi Laplace dönüşümü kullanarak çözünüz. y y e y y t, (0), (0) 0 Çözüm: Y y(0) y(0) Y Y Y Y( ) ( ) ( ) ( ) Y 9 A B C D ( )( ) A Y( ) B ( ) Y( ) ( ) ( )(0) 0

14 ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü Y 9 C D ( )( ) 0 kutuplar olmak üzere uygun değerleri eçilir. 0,, j 9 C D için (4)() 0 4 C D 8 40 C D C D C D C D için ( )()() 0 C D 4 0 C D C D C D C 0 9 D 0 bulunur. 7 9 Y () Y () L t y( t) e co t in t Soru 5) Y () çözünüz. 8 denklemini ter Laplace dönüşümü kullanarak Çözüm: 4

15 ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü 8 0, 4 8 j 0, j j ( j)( j) A B C D E F Y () B 8 ( ) Y 0 A d d 8 d d Y () ( )( ) ( )( ) 0 8 ( )() ( )( ) ( ) (4) ( 8)() (4)(4) (4)(4) (4)(4) 8 8 C ( ) Y( ) (4)()(4 4 ) D ( ) Y( ) ()( )( ) 5 5

16 ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü 8 E F Y () E F için ( )( ) E F 5 (5) (5) () E F E F için 8 8 EF (4)(4 )(4 4 ) 4 ( 4) 5 ( ) EF (6)(0) EF E F 4 E F E F E E F 4 E F E E F F bulunur Y () Y () 5 5 ( j)( j) ( ) 6

17 ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü Y () 5 5 ( ) 5 ( ) Y () 5 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 8 6 Y () 5 5 ( ) 5 ( ) L t t t t y( t) t e e e cot e in t F () (5p) 5 denklemini ter Laplace dönüşümü kullanarak çözünüz. Çözüm Anahtarı A B C D F () , j 4 B d 0 (4) A d

18 ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü B C D D D 0 D ()(5) (8) (5) C D C D C D (4)(4) F () t t t f ( t) e te e co t