KOPULALAR TEORSNN FNANSTA UYGULAMALARI

EGE ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ YÜKSEK LSANS TEZ ) KOPULALAR TEORSNN FNANSTA UYGULAMALARI Gökur YAPAKÇI Teorik statistik Aabilim Dalı Bilim Dalı Kodu: 406.0.0 Suum Tarihi: 08.08.007 Tez Daımaı: Yrd. Doç. Dr. Muhammet Bekçi Borova-ZMR

II

III Gökur Yapakçı tarafıda Yüksek Lisas tezi olarak suula Kopulalar Teorisii Fiasta Uygulamaları balıklı bu çalıma E.Ü. Lisasüstü Eitim ve Öretim Yöetmelii ile E.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü Eitim ve Öretim Yöergesi i ilgili hükümleri uyarıca tarafımızda deerledirilerek savumaya deer bulumu ve 08 Austos 007 tarihide yapıla tez savuma sıavıda aday oybirlii/oyçokluu ile baarılı bulumutur. Jüri Üyeleri: mza Jüri Bakaı :...... Raportör Üye:...... Üye :......

IV

V ÖZET KOPULALAR TEORSNN FNANSTA UYGULAMALARI YAPAKÇI, Gökur Yüksek Lisas Tezi, statistik Aabilim Dalı Tez Yöeticisi: Yrd. Doç. Dr. Muhammet BEKÇ Austos 007, 70 sayfa Bu çalımada, ilk kez Abe Sklar tarafıda 959 yılıda kullaılmı ola ve birlikte hareket ede alamıa gele Kopula foksiyolarıda ve bu foksiyoları baımlılık ölçümlerideki üstülükleride bahsedilmi olup fiastaki uygulamalarıa örekler verilmitir. Güümüze kadar yapıla çalımalarda kopula foksiyoları ile geellikle baımlılık modellemeye çalıılmıtır. Ayrıca hem parametrik hem de parametrik olmaya durumlarda baımlılıı ölçülmesi ve parametreleri tahmilemesi içi kopula foksiyoları kullaılarak, bir çok metoda alteratif olabilecek ve bu hesaplamaları çok daha basit bir aritmetikle yapılabilmesie imka salayacak yötemler öerilmitir. Bu tez çalımasıda, üç uygulama ve bir de teorik çalımaya yer verilmitir. Uygulamalarda ele alıa fiasal veriler arasıdaki baımlılık öerile yötemle icelemi ve yorumlamıtır. Aahtar sözcükler: Kopula foksiyoları, Baımlılık Yapısı, Kedall Tau, Spearma Rho, Sıralı statistikler.

VI

VII ABSTRACT APPLICATIONS OF THEORY OF COPULAS IN FINANCE YAPAKÇI, Gökur MSc i Statistics Supervisor: Asst. Prof. Dr. Muhammet Bekçi August 007, 70 pages I this study, it is metioed about the Copula fuctios that are first used by Abe Sklar i 959, which refer to joi together, ad their precedece o depedece structure. It is also illustrated some of their applicatio areas i fiace. From the previous researches to the preset time, it was ofte focused o modelig depedece. Today, Copula fuctios are beig used for measuremets of the depedece ad the estimatio of the parameters i the situatios that are also parametric ad o parametric. It offers much easier arithmetic methods, to solve these kids of calculatios other tha the moder methods ad for this poit it is a strog alterative to moder methods. I this thesis, there are three applicatios ad oe theoretical study. I the applicatios, the depedece betwee fiacial data is examied ad iterpreted clearly. Aahtar sözcükler: Copula Fuctios, Depedece Structure, Kedall s Tau, Spearma s Rho, Order Statistics.

VIII

IX TEEKKÜR Öcelikle tezimi oluumuda ve ekillemeside baa yol göstere daımaım Yrd. Doç. Dr. Muhammet Bekçi ye, tezimi gelitirilmeside çok deerli eletiri ve öerilerii bede esirgemeye Sayı Hocam Prof. Dr. smiha Bayramolu a ve dier hocalarıma, çalımam süresice bei destekleye sevgili aileme ve dostlarıma teekkürü bir borç bilirim.

X

XI ÇNDEKLER Sayfa ÖZET...V ABSTRACT...VII TEEKKÜR... IX EKLLER DZN... XV TABLOLAR DZN...XVII. GR.... KOPULALAR TEORS LE LGL TEMEL BLGLER...3.. Matematiksel ve statistiksel Temel Taımlar...3.. Kopulalar ve Temel Özellikleri...6.3. Sklar Teoremi...9.4. Frechet-Hoeffdig Sıırları....5. Yaam Kopulaları...4.6. Simetri...4.7. Çok Deikeli Kopulalar...7.8. Arimedya Kopulalar...3.9. Baımlılık ve Uyumluluk...6.9.. Kedall tau...7.9.. Spearma rho...30.9.3. Kedall tau ve Spearma rho arasıdaki iliki...33.9.4. Kadra baımlılık...34.0. Fiasta Kullaıla Bazı Kopulalar...35

XII ÇNDEKLER Devam) Sayfa.0.. Normal kopula... 35.0.. Gumbel kopula... 36.0.3. Gumbel iki deikeli Üstel daılımıı kopulası... 36.0.4. Gumbel iki deikeli Lojistik daılımıı kopulası... 36.0.5. Farlie-Gumbel-Morgester daılımıı kopulası... 37.0.6. Clayto kopula... 37.0.7. Frak kopula... 39.. Kopulalara Dayalı Tahmi Yötemleri... 40... Tam e çok olabilirlik yötemi MLE)... 40... Marjiallere iliki çıkarsama yötemi IFM)... 4 3. UYGULAMALAR... 44 3.. Sıralı Deikeler Kullaılarak Yei Bir Kopula Foksiyou Elde Edilmesi Üzerie Bir Çalıma... 44 3... Sıralı istatistikler hakkıda temel bilgiler... 45 3... 3..3. H η, x, y) ξ ortak daılım foksiyouu hesaplaması... 47 H η, x, y) ξ ortak daılım foksiyouu kopulasıı hesaplaması... 48 3.. Fiasta Uygulamalar... 50

XIII ÇNDEKLER Devam) Sayfa 3... Kredi hacmi ve dolar kuru arasıdaki ilikii icelemesi...5 3... Karılıksız çek miktarı ve dolar kuru arasıdaki ilikii icelemesi...54 3..3. Kredi hacmi ve karılıksız çek miktarı arasıdaki ilikii icelemesi...56 4. SONUÇ...59 KAYNAKLAR DZN...6 ÖZGEÇM...64 Ek.. Ocak 003 Mart 007 Aylık Kredi Hacmi Bi YTL) Verileri...65 Ek.. Ocak 003 Hazira 007 Aylık Dolar Kuru Verileri...67 Ek.3. Ocak 003 Mart 007 Karılıksız Çek Adedi Verileri...69

XV EKLLER DZN ekil Sayfa ekil.. Π, M ve W Kopulalarıı Grafikleri a) Π kopula, b) M kopula, c) W kopula...3 ekil.0.. Clayto kopula, θ =...38 ekil.0.. Clayto Kopula, θ = 0...38 ekil.0.3. Clayto Kopula, θ =...39

XVI

XVII TABLOLAR DZN Tablo Sayfa Tablo 3... Dolar Kuru ve Kredi Hacmi Arasıdaki liki...54 Tablo 3... Dolar Kuru ve Karılıksız Çek Adedi Arasıdaki liki...56 Tablo 3..3.. Karılıksız Çek Adedi ve Kredi Hacmi Arasıdaki liki...58

XVIII

. GR Kopula kelimesi Latice bir kelime olup ba, iliki alamıa gelmektedir. Matematiksel ve istatistiksel alamda ise ilk kez Abe Sklar tarafıda 959 yılıda tek boyutlu daılım foksiyolarıı çok boyutlu formda taımlarke birlikte hareket ede alamıda kullaılmıtır. Daha sora Sklar, Berthold Schweizer ile birlikte Olasılıksal Metrik Uzaylar Probabilistic Metric Spaces - PM spaces) teorisii gelitirmitir. Kopulalarla ilgili e öemli souçlar da 958 de 976 ya kadar süre bu teorii geliimi aamasıda ortaya çıkmıtır. Sklar, 973 yılıda yayıladıı makaleside kopulalarla rasgele deikeler arasıda bir iliki olduuu göstermitir. Kopulaları, rasgele deikeler arasıdaki baımlılıkla ilikisie ise ilk kez 98 de Schweizer ve doktora örecisi Wolf u Rasgele deikeler içi parametrik olmaya baımlılık ölçüleri isimli makaleside yer verilmitir. Kısacası, kopula foksiyoları literatüre 959 yılıda girmi olsalar da özellikle istatistiksel özellikleri ve uygulamaları güümüzde hale gelitirilmektedir. Kopula, rasgele deikeler arasıdaki baımlılık foksiyou olarak taımlamıtır. Daha kesi alamıyla kopulalar, marjial daılımları, oları çok deikeli daılımlarıyla ilikiledire foksiyolardır. Aslıda kopula foksiyoları, deikeleri marjial daılımlarıı ayrıtırılarak, baımlılık yapılarıı açıkça belirtilebilmesii salar. Böylece tek deikeli tekikleri kullaabilmei yaı sıra, parametrik olmaya baımlılık ölçüleriyle de doruda bir balatı kurulabilmektedir. Ayrıca,

imdiye kadar çok iyi bilie ve kullaıla dorusal korelasyo tekiii kusurlarıda da kaçımı oluur. Kopula foksiyolarıı fiasla ilikisie de kısaca deielim. Kopula foksiyoları güümüzde, pazarları etkileye risk faktörlerii ve fiasta çalııla bua bezer dier deikeleri elde edilebilmesi içi kullaıla e öemli metodolojilerde biri olmutur. Fiasal pazarlardaki kararsız, düzesiz ve geçici davraılar edeiyle verileri istatistik teorisi kullaılarak elde edilmesiyle, fiası uygulama alaıda çalıa kiiler ve akademisyeler arasıda bu kou güde güe popülerlik kazamı, matematiksel fiasta kullaıla bazı stadart kouları yerii almıtır. Güümüzde hiçbir aratırmacı, fiasal pazarlarla ilgili istatistiksel veya fiasal bir problemi ormallikte sapma soruuu göz ardı ederek icelememektedir. Fiyatladırma ve risk ölçümü gibi problemler tek boyutlu olduuda, ormallik varsayımı dııda kurula modellerde etki souçlar elde edilebilse de, problem çok boyutlu olduuda bu varsayım kullaılmada kurula modeller birçok hata içermektedir.

3. KOPULALAR TEORS LE LGL TEMEL BLGLER Sırasıyla F x) = P X x) ve G y) = P Y y) daılımlarıa sahip X ve Y rasgele deike çifti ile H x, y) = P X x, Y y) ortak daılım foksiyou ele alısı. Her x, y) reel sayı çifti F x), G y) ve H x, y) sayıları ile ilikiledirilebilir. Bu sayıları her biri [ 0,] aralııda yer alır. Dier bir deyile, her bir x, y) reel sayı çifti, [ 0,] [0,] birim kareside yer ala bir F x), G y)) oktasıı belirtir ve bu düzeli çiftleri her biri [ 0,] aralııda bir H x, y) sayısıa dek gelir. Bu ortak daılım foksiyouu deerii ayrı ayrı daılım foksiyolarıı deerleride olua düzeli çiftlere ataya foksiyolara Kopulalar deilmektedir. Acak kopulayı taımlayabilmek içi bazı temel kavramlar gözde geçirilmesi gerekmektedir... Matematiksel ve statistiksel Temel Taımlar R bilie, ) reel ekseidir. R _ ise geiletilmi [, ] reel ekseidir. Ayı ekilde reel düzlemidir. [ y R bilie reel düzlem ike, _ R geiletilmi R R _ R deki B bölgesi, iki kapalı aralıı çarpımı ola x, x ] [ y, ] kartezye çarpımıdır. Bu bölgei köeleri x, ), y y x, ), x, ) ve x, ) oktalarıdır. ki boyutlu H foksiyou, taım y y

4 kümesi foksiyodur. _ R i alt kümesi, görütü kümesi ise R i alt kümesi ola bir Taım... S ve S, _ R i bota farklı alt kümeleri ve H, taım kümesi S S ola bir reel foksiyo olsu. B, H i taım kümesideki tüm oktaları içere B = x, x ] [ y, ] eklide bir bölge [ y olsu. H foksiyouu B bölgesideki hacmi, eklide taımlaır. V H B) = H x, y ) H x, y ) H x, y ) + H x, )..) y Eer B üzeride H i birici derecede farklarıı aaıdaki gibi taımlayacak olursak x y H x, y) = H x, y) H x, ) ve H x, y) = H x, y ) H x, ) x y y y H foksiyouu B bölgesideki hacmi, B üzeride H i ikici derecede farkı olur ve aaıdaki gibi de gösterilir: V H y y x y x B) = H x, ). Taım... Eer köe oktaları H foksiyouu taım kümeside ola tüm B bölgeleri içi V H B) 0 ise, iki boyutlu H foksiyou -arta bir foksiyodur.

5 H foksiyouu -arta bir foksiyo olması her yerde azalmaya olduu alamıa gelmez. Ya da her yerde azalmaya olması -arta bir foksiyo olduuu göstermez. Örei, V H B) < 0 ike H foksiyou sadece x e veya sadece y ye göre arta olabilir; veya V H B) 0 ike H foksiyou sadece x e veya sadece y ye göre azala bir foksiyo olabilir. Lemma... S ve S, R _ i bota farklı alt kümeleri ve H, taım kümesi S S ola -arta bir foksiyo olsu. x ve x, S i x x olarak taımlı elemaları ve y ve y, S i y y olarak taımlı elemaları olsu. Foksiyo t H t, y ) H t, y), S de ; t H x, t) H x, t) ise, S de azalmaya bir foksiyodur. S kümesi a, S kümesi de a e küçük elemalarıa sahip olsu. Eer S S deki her x, y) içi H x, a ) = 0 = H a, y) ise, H : S S R foksiyou yerde bir foksiyodur. Lemma... S ve S, R _ i bota farklı alt kümeleri ve H, taım kümesi S S ola yerde, -arta bir foksiyo olsu. Öyleyse, H her argümaıda azalmaya bir foksiyodur. Lemma..3. S ve S, R _ i bota farklı alt kümeleri ve H, taım kümesi S S ola yerde, -arta bir foksiyo olsu. Ayrıca x, y ) ve x, y ), S S de herhagi iki okta olsu. O halde, H x, y ) H x, y) F x ) F x ) + G y ) G y) dir.

6.. Kopulalar ve Temel Özellikleri Kopulaı taımıı vermede öce, yerde, -arta foksiyoları altkümeleri ola alt kopulaları taımlayalım. Daha sora; kopulalar, taım kümesi I ola alt kopulalar olarak ifade edilebilir. Taım... ki boyutlu bir alt kopula foksiyou aaıdaki özellikleri salaya C ' foksiyoudur. kümeleridir;. C ' i taım kümesi S S ve S ile S, I = [0,] i alt. C ' yerde, -arta bir foksiyodur; 3. S deki her u ve S deki her v içi, C ' u,) = u ve C ', = v..) C ' i taım kümesideki her u, içi 0 C ' u, dir. Bu edele C ' i deer kümesi de ayı zamada I = [0,] i alt kümesidir. Taım... ki boyutlu bir kopula, taım kümesi I ola iki boyutlu bir C alt kopulasıdır. Kopula, aaıdaki özellikleri salaya. I daki her u, v içi I de I ya bir foksiyoudur. C u,0) = 0 = C0,,.a)

7 C u,) = u ve C, = v ;.b). u u ve v v olacak ekilde I daki her u, u, v, v içi C u, v ) C u, v ) C u, v ) + C u, v ) 0..3) Teorem... her u, çifti içi, C ' bir alt kopula olsu. C ' i taım kümesideki ebüyük u + v,0) C ' u, eküçük u,..4) dir. Her kopula ayı zamada bir alt kopula olduuda,.4) eitsizlii kopulalar içi de geçerlidir. Alt ve üst sıırlarda verile foksiyolar da yaygı olarak bilie W u, = ebüyük u + v,0) ve M u, = eküçük u, kopulalarıdır. Böylece I deki her, u çifti ve her C kopulası içi, W u, C u, M u,..5) dir..5) eitsizlii Frechet-Hoeffdig Sıırları eitsizliii kopula versiyoudur. M u,, Frechet-Hoeffdig Üst Sıırı; W u,, Frechet- Hoeffdig Alt Sıırıdır. Üçücü öemli kopula ise, Π u, = uv, çarpım kopulasıdır.

8 Lemma..3. ü soucu ola aaıdaki teorem ise Koulu ile alt kopulaları sürekliliii gösterir. I de Lipschitz Teorem... her u, u, v, v içi, C ' bir alt kopula olsu. C ' i taım kümesideki C ' u v C u v u u + v v..6), ) ', ) dir. Bu edele C ', kedi taım kümeside düzgü uiformly) süreklidir. C Taım..3. C bir kopula olsu. I da herhagi bir v içi, u kısmi türevi heme heme her u içi vardır, ve bu ekildeki her u ve v içi, 0 C u,..7) u dir. C Bezer olarak, I da herhagi bir u içi, kısmi türevi heme v heme her v içi vardır, ve bu ekildeki her u ve v içi, 0 C u,..8) v dir.

9 Ayrıca u C u, ve v C u, foksiyoları, I da heme v u heme her yerde azalmayadır ve taımlıdır..3. Sklar Teoremi Sklar teoremi, kopulalar teorisii e öemli teoremidir. Bu teorem, çok boyutlu daılım foksiyoları ile oları marjial daılım foksiyoları arasıdaki ilikide kopulaları rolüü açıklar. Teorem.3.. Sklar Teoremi) H x, y ), marjialleri F x ) ve G y ) ola bir ortak daılım foksiyou olarak taımlamı olsu, öyleyse _ R deki her x ve y içi H x, y) = C F x), G y)).9) eklide taımlı bir C kopulası vardır. Buu aksi de geçerlidir. Yai; eer C bir kopula ve F x ) ve G y ) daılım foksiyoları ise H x, y), H x, y) = C F x), G y)) eklide taımlı bir ortak daılım foksiyoudur. Lemma.3.. H x, y ), marjialleri F x ) ve G y ) ola bir ortak daılım foksiyou olsu. Aaıdaki özellikleri salaya tek bir kopulası vardır: C ' alt

0 kümesidir.. C ' i taım kümesi, F i deer kümesi G i deer. _ R deki her x ve y içi, H x, y) = C ' F x), G y)). Lemma.3.. C ' bir alt kopula olsu. C ' i taım kümesideki her u, içi, C u, = C ' u, eklide bir C kopulası vardır. Örei, herhagi bir alt kopula bir kopulaya geiletilebilir. Acak bu geiletme tek deildir. Tekrar Sklar teoremie döecek olursak,.9) eitlii bize, bir ortak daılım foksiyouu iki tek boyutlu daılım foksiyou ve kopula kullaılarak asıl ifade edildiii gösterir. Ayı ekilde.9) eitliii, ortak daılım foksiyou ve marjial daılım foksiyolarıı terslerii kullaarak kopulayı ifade ede bir eitlie de döütürebiliriz. Acak eer bir marjial daılım foksiyou ciddi arta deilse o foksiyou tersi de olmayacaktır. Bu edele öce yarı-ters kavramıı iceleyelim. Taım.3.. F x ) bir daılım foksiyou olsu. F i yarı-tersi, taım kümesi I ola ve aaıdaki özellikleri salaya taımlı bir foksiyodur: ) F eklide. Eer t, F i deer kümesii elemaı ise, F ) t), F x) = t olacak ekilde R _ daki herhagi bir x deerie eittir. Örei, F i deer kümesideki her t deeri içi ) F F t)) = t

olur,. Eer t, F i deer kümeside deilse, F ) t) = if{ x F x) t} = sup{ x F x) t}. olur. Eer F ciddi arta bir foksiyo ise, zate ou tersi vardır ve tektir. Bu durumda F i tersi bilie F olur. Souç.3.. H x, y ), F x ), G y ) ve C ' Lemma.3. de taımladıı gibi ve foksiyoları olsu. ) F ve ) G, sırasıyla F ve G i yarı-ters C ' i taım kümesideki her u, içi, C ) ) ' u, = H F u), G )..0) dir. F x ) ve G y ) foksiyoları sürekli ise, bu souç kopulalar içi salamı olur, üstelik bu souç ortak daılım foksiyolarıda kopulalar oluturulmasıı da salar. Teorem.3.. X ve Y, C XY kopulasıa sahip sürekli rasgele deikeler olsu. Eer α ve β sırasıyla X ve Y i deer kümeleride ciddi arta foksiyolar ise, C = α X ) β Y ) CXY olur. Böylece, X ve Y i ciddi arta döüümleride C XY deimezdir diyebiliriz.

.4. Frechet-Hoeffdig Sıırları Teorem... de Frechet-Hoeffdig sıırlarıda söz etmitik. W u, = ebüyük u + v,0) C u, M u, = eküçük u, olduuu biliyoruz. Sklar teoremii bir soucu olarak, eer H ortak daılım foksiyoua sahip X ve Y rasgele deikelerii marjialleri, sırasıyla, F ve G ise, R deki her x, y içi bu sıırlar aaıdaki gibi ifade edilebilir, ebüyük F x) + G y),0) H x, y) eküçük F x), G y)).

3 a) b) c) ekil.. Π, M ve W Kopulalarıı Grafikleri a) Π kopula, b) M kopula, c) W kopula

4.5. Yaam Kopulaları Bazı rasgele deikeler bir esei ya da bireyi yaam süresii gösterir. Bir bireyi veya esei x zamaıda daha uzu süre yaama olasılıı yaam foksiyou olarak ifade edilir, F x) = P{ X > x} = F x) eklide gösterilir. X, Y ) çifti içi ise ortak yaam foksiyou H x, y) = P{ X > x, Y > y} olarak ifade edilir. H x, y) = F x) G y) + H x, y) = F x) + G y) + C F x), G y)) = F x) + G y) + C F x), G y)), Cˆ : I I eklide, aaıdaki gibi bir foksiyo taımlayacak olursak, Cˆ u, = u + v + C u,, yaam foksiyouu H x, y) = Cˆ F x), G y)) olarak elde ederiz. Ĉ, X ve Y i yaam kopulasıdır..6. Simetri Eer X bir rasgele deike ve a bir reel sayı ise, R de herhagi bir x içi, X a ve a X i daılımları ayı, yai P[ X a x] = P[ a X x] olması durumuda X i a etrafıda simetrik

5 olduuu söyleyebiliriz. X rasgele deikei, sürekli F daılımıa sahipse simetriklii aaıdaki gibi de ifade edebiliriz. F a + x) = F a x).) F mutlak sürekli deilse,.) eitlii sadece F i süreklilik oktalarıda geçerlidir. Taım.6.. X ve Y rasgele deikeler ve a, b), bir okta olsu. R de herhagi. Eer X ve Y sırasıyla a ve b etrafıda simetrikse, X, Y ), a, b) etrafıda marjial olarak simetriktir. foksiyou,. Eer X a ve Y b rasgele deikelerii ortak daılım a X ve b Y rasgele deikelerii ortak daılım foksiyou ile ayı ise X, Y ), a, b) etrafıda radyal merkezde çevreye doru) olarak simetriktir. 3. Eer X a, Y b), X a, b Y ), a X, Y b) ve a X, b Y ) rasgele deike çiftleri ayı ortak daılım foksiyoua sahipse, X, Y ), a, b) etrafıda birlikte simetriktir. X ve Y rasgele deikeleri sürekli ise, radyal olarak simetrik olma durumuda, X ve Y i ortak daılım ve yaam foksiyoları arasıda.) eitliideki gibi bir iliki vardır. Teorem.6.. X ve Y, H ortak daılım foksiyoua ve sırasıyla F ve G marjial daılım foksiyolarıa sahip sürekli rasgele deikeler

6 olsu. a, b) oktası da R de herhagi bir okta olsu. Acak ve acak R deki tüm, y) x oktaları içi H a + x, b + y) = H a x, b y).) ise X, Y ), a, b) etrafıda radyal olarak simetriktir. Radyal terimi,.) eitliide yer ala a + x, b + y) ve a x, b y) oktalarıı a, b) oktasıa göre ters yölerde yer aldııı ifade etmektedir. Teorem.6. X ve Y, H ortak daılım foksiyoua, C kopulasıa ve sırasıyla F ve G marjial daılım foksiyolarıa sahip sürekli rasgele deikeler olsu. Ayrıca X i ve Y i sırasıyla a ve b etrafıda simetrik olduuu düüelim. Bu durumda, acak ve acak C = Cˆ olması kouluda, yai acak ve acak I deki tüm, u oktaları içi C u, = u + v + C u,.3) olması durumuda, H ortak daılım foksiyou.) eitliii salar, yai X, Y ), a, b) etrafıda radyal olarak simetriktir diyebiliriz. Teorem.6.3. X ve Y, H ortak daılım foksiyoua, C kopulasıa ve sırasıyla F ve G marjial daılım foksiyolarıa sahip sürekli rasgele deikeler olsu. Acak ve acak F = G ve I deki tüm u, oktaları içi C u, = C v, u) ise yai C kopulası simetrik ise, X ve Y rasgele deikeleri deitirilebilirlerdir.

7.7. Çok Deikeli Kopulalar Herhagi bir pozitif tam sayısı içi, _ R geiletilmi _ R R... R, uzayıdır. Ayrıca _ R deki oktalar içi a = a, a,..., a ) ve b = b, b,..., b ) vektörleri taımlamıtır. Tüm k deerleri içi a b ike ak bk ve a < b ike a k < bk olur. a b içi B = [ a, b ] [ a, b ]... [ a, b ] eklide taımlı tae kapalı aralıı kartezye çarpımı olsu. B bölgesii köe oktaları her bir c k, ya a k ya da b k ya eit olacak ekilde c = c, c,..., c) dir, ve boyutlu H foksiyou, taım kümesi kümesi ola bir foksiyodur. _ R i alt kümesi, görütü kümesi ise R i alt Taım.7.. S, S,..., S R _ i bota farklı alt kümeleri ve H, taım kümesi [ a b] S S... S ola boyutlu bir reel foksiyo olsu. B =,, tüm köe oktaları H i taım kümeside ola bir bölge olsu. H foksiyouu B bölgesideki hacmi,, Eger k ' i çift sayı deg erleri içi ck = ak ise, sg c) =, Eger k ' i tek sayı deg erleri içi ck = ak ise. ike, V H B) = sg c) H c)..4)

8 eklide taımlaır. Eer B üzeride H i tae birici derecede farklarıı aaıdaki gibi taımlayacak olursak H t) = H t,..., t, b, t +,..., t ) H t,..., t, a, t,..., t bk ak k k k k k k + ), H foksiyouu B bölgesideki hacmi, B üzeride H i. derecede farkı olur ve V H b b b b B)... = a t a a a H ) eklide de gösterilir. Taım.7.. Eer köe oktaları H foksiyouu taım kümeside ola tüm B bölgeleri içi V H B) 0 ise, boyutlu H foksiyou -arta bir foksiyodur. boyutlu H foksiyou taım kümesi S S... S olsu. Her bir S k ı e küçük elemaı a k dır. Eer e az bir tae k içi t = a olacak ekilde H i taım kümesideki tüm t ler içi H t) = 0 ise, H foksiyou yerde bir foksiyodur. k k Lemma.7.. S, S,..., S R _ i bota farklı alt kümeleri ve H, taım kümesi S S... S ola yerde -arta bir reel foksiyo olsu. Eer t,..., t, x, t +,..., t ) ve t,..., t, y, t +,..., t ) H i taım k k kümeside ise ve x < y ike k k

9 H k k k k + t,..., t, x, t +,..., t ) H t,..., t, y, t,..., t ) ise, H her bir argümaıda azalmaya bir foksiyodur. Lemma.7.. S, S,..., S, R _ i bota farklı alt kümeleri ve H, taım kümesi S S... S ola yerde -arta bir reel foksiyo olsu. Ayrıca x = x, x,..., x) ve y = y, y,..., y), S S... S de herhagi oktalar olsu. O halde, dir. H x) H y) k = H x ) H y ) k k k k Taım.7.3. boyutlu bir alt kopula foksiyou aaıdaki özellikleri salaya C ' foksiyoudur. alt kümesidir;. C ' i taım kümesi S S... S ve her k S, I = [0,] i. C ' yerde, -arta bir foksiyodur; 3. C ', S k daki her u içi C ' u) = u.5) ve k =,,..., olacak ekilde tek boyutlu C ' marjiallerie sahiptir. k C ' i taım kümesideki her u içi 0 C ' u) dir. Bu edele C ' i deer kümesi de ayı zamada I = [0,] i alt kümesidir.

0 Taım.7.4. boyutlu bir kopula, taım kümesi I ola boyutlu bir C alt kopulasıdır. -kopula, aaıdaki özellikleri salaya I de I ya bir foksiyoudur.. I deki her u içi Eer u u koordiatlarıda e az biri 0 ise C u) = 0.6a) ve Eer u u koordiatlarıı u k hariç tümü ise, C u) = u.6b) k olmalıdır.. a b olacak ekilde I daki her a ve b içi V C [ a, b]) 0.7) olmalıdır. Teorem.7.. kümesideki her u ve v içi, C ' bir -boyutlu alt kopula olsu. C ' i taım dir. Bu edele C ' C ' u) v k u k..8) k = C ', kedi taım kümeside düzgü uiformly) süreklidir.

Teorem.7.. boyutlu halde Sklar Teoremi) H, marjialleri F,...,, F F ola boyutlu bir ortak daılım foksiyou olarak taımlamı olsu, öyleyse _ R deki her x içi H x, x,..., x ) = C F x ), F x ),... F x )).9) eklide taımlı boyutlu bir C kopulası vardır. Buu aksi de geçerlidir. Yai; eer C boyutlu bir kopula ve daılım foksiyoları ise H, F F,..., F, H x, x,..., x) = C F x ), F x),... F x)) eklide taımlı bir ortak daılım foksiyoudur. Souç..7.. H, C, F,...,, F F Teorem 3.. de taımladıı gibi ve ) ) ) F F, F,... sırasıyla F, F,..., F i yarı-ters foksiyoları olsu. I deki her u içi, C ' u, u ) ) ),..., u ) = H F u ), F u ),..., F u )).0) dir. Eer F,...,, F F foksiyoları sürekli ise, bu souç kopulalar içi salamı olur, üstelik bu souç ortak daılım foksiyolarıda kopulalar oluturulmasıı da salar.

Teorem.7.3. kümesideki her u içi, C ', boyutlu bir alt kopula olsu. W C ' i taım u) C u) M u).) dir. Her kopula ayı zamada bir alt kopula olduuda, 3.8) eitsizlii kopulalar içi de geçerlidir. ki boyutlu W u, = ebüyük u + v,0), M u, = eküçük u, ve Π u, = uv kopulaları, boyutlu olarak aaıdaki gibi ifade edilebilirler: M u) = eküçük u, u Π u) = u u... u W u) = ebüyük u + u,..., u ) +... + u +,0).) ike M ve Π boyutlu kopulalar ike, > içi W kopula deildir. Acak aaıda verile teorem ile 3 olduuda vardır diyebiliriz. Teorem.7.4. 3 ola herhagi bir ve içi, u ya balı W kopulası I de herhagi bir u C u) = W u) eklide boyutlu bir C kopulası vardır. Teorem.7.5. ola herhagi bir içi X, X,..., X sürekli rasgele deikeler olsu. Bu durumda

3. Acak ve acak X, X,..., X rasgele deikelerii boyutlu kopulası Π ise, X,...,, X X deikeleri baımsızdır ve. Acak ve acak X, X,..., X rasgele deikelerii boyutlu kopulası M ise, X,...,, X X rasgele deikelerii her biri heme heme her yerde dierlerii ciddi arta bir foksiyoudur..8. Arimedya Kopulalar Arimedya kopulalar, kopulaları e öemli sııfıdır. lk defa 965 te Lig i makaleside arimedya terimi kullaılmıtır. Birçok kopula ailesi Arimedya dır ve Arimedya kopulalar çok çeitli ve farklı baımlılık yapılarıa sahiptir. Çou kopula foksiyouu aksie bu kopulalar, Sklar teoremi kullaılarak türetilmezler. Oluturulmalarıı kolay olması, bu sııfa ait çok çeitli kopula ailelerii buluması ve bu sııfa ait kopulaları bir çok faydalı özelliii olması edeleriyle, arimedya kopulaları uygulama alaları oldukça geitir. Aslıda arimedya kopulalara istatistikte çok olasılıksal metrik uzaylarla ilgili çalımalarda rastlaır. ki boyutlu Arimedya kopulalarla ilgili daha fazla bilgi içi Geest ve MacKay 986) ya, iki boyutlu arimedya kopulaları istatistiksel çıkarsamadaki öemi içi Geest ve Rivest 993) e bakılmalıdır. Ayrıca Joe 997) ve Nelse 998) de de arimedya kopulalarla ilgili detaylı bilgiye ulaılabilir. X ve Y, H ortak daılım foksiyoua sahip ve marjial daılım foksiyoları sırasıyla, F ve G ola rasgele deikeler olsu. X ve Y rasgele deikelerii baımsız olması durumuda ortak daılım

4 foksiyouu H x, y) = F x) G y) eklide marjialleri çarpımı olarak ifade edebildiimizi biliyoruz. Ortak daılım foksiyou H x, y) yi marjialleri toplamı olarak da aaıdaki gibi ifade edebilmemizi salaya bir ϕ foksiyou vardır, ϕ H x, y)) = ϕ F x)) + ϕ G y)) ya da kopulalar içi, ϕ C u, ) = ϕ u) + ϕ..3) Bu ifadeleri kullaarak kopulaları oluturabilmek içi [ ] C u, = ϕ ϕ u) + ϕ ) deerii bulmamız gerekir. Buu içi öcelikle [ ] ϕ foksiyouu taımlayalım. Taım.8.. ϕ, sürekli, ϕ ) = 0 olacak ekilde I da [ 0, ] a ciddi azala bir foksiyo olsu. ϕ ı yarı-tersi ola ve taım kümesi [ ] [ 0, ] ve deer kümesi de I olarak taımlaa ϕ foksiyou aaıdaki gibidir, [ ] ϕ t), 0 t ϕ0), ϕ t) =.4) 0, ϕ0) t. [ ] ϕ foksiyou sürekli ve 0, ] [ da artmaya, [ 0, ϕ 0)] da ise ciddi azala [ ] bir foksiyodur. Üstelik, I da ϕ ϕ u )) = u olur ve ϕ ϕ [ ] t, t)) = ϕ 0), 0 t ϕ0), ϕ0) t,

5 = eküçük t, ϕ0)). [ ] so olarak, eer ϕ 0) = ise ϕ = ϕ. Lemma.8.. ϕ, sürekli, ϕ ) = 0 olacak ekilde I da [ 0, ] a [ ] ciddi azala bir foksiyo ve ϕ, 4.) de taımladıı gibi ϕ i yarıters foksiyou olsu. kopula foksiyou, C : I I ve.a),.b) koullarıı salaya [ ] C u, = ϕ ϕ u) + ϕ ).5) olarak ifade edilir. 4.3) eklideki kopulalara Arimedya Kopulalar, ϕ ye de Kopula Türete Foksiyo deir. Eer ciddi türete foksiyo deir. ϕ 0) = ise, ϕ ye [ ] Lemma.8.. ϕ, ϕ ve C, Lemma 4... de taımladıı gibi olsu. Acak ve acak u u ike, C u u u.6), C u, ise C, -arta bir foksiyodur. kopula olsu. Teorem.8.. C, ϕ türete foksiyoua sahip bir arimedya. C kopulası simetrik bir kopuladır. Yai, I daki tüm u, v deerleri içi C u, = C v, u) dir.

6. C kopulası birleim özelliie sahiptir. Yai I daki tüm u, v ve w deerleri içi C C u,, w) = C u, C v, w)) dir. 3. Eer c > 0 herhagi bir sabit sayı ise, c ϕ da C i türete foksiyoudur. Teorem.8.. C kopulası birleim özelliie sahip, I daki tüm u deerleri içi δ t) C t, t) olmak üzere, δ u) u eklide taımlı bir C = C < kopula olsu. Bu durumda C, arimedya bir kopuladır..9. Baımlılık ve Uyumluluk Bu bölümde, iki rasgele deike arasıdaki baımlılık ya da iliki ile uyumluluk ve uyumsuzluk kavramları verilmitir. Bir rasgele deike çifti içi uyumluluk, birii büyük deerleride dierii de büyük deerler alması veya birii küçük deerleride dierii de küçük deerler alması demektir. Daha teorik olarak açıklayacak olursak x, y ) ve x, y ), sürekli rasgele deikeleri bir vektörü ola i i j j X, Y ) de alımı gözlemler olsu. Eer x i < x j ve y i < y j, ya da x i > x j ve y > y ise, x, y ) ve x, y ) uyumlu cocordat) dur. Bezer olarak, i j i i j j eer x i < x j ve i y j y >, ya da x i > x j ve y i < y j ise, x i, yi) ve x j, y j ) uyumsuz discordat) dur. Yai, x x ) y y ) > 0 ise x, y ) ve j j i j i j i i x, y ) uyumludur; x x ) y y ) < 0 ise x, y ) ve x, y ) uyumsuzdur deir. i j i j i i j j

7 Aaıda verilmi ola Kedall Tau ve Spearma Rho uyum ölçüleri ilk kez Schweızer ve Wolff[98] tarafıda kopula foksiyoları kullaılarak ifade edilmitir..9.. Kedall tau liki ölçüsü olarak bilie Kedall Tau u bir örei ilk olarak [Kruskal958), Hollader ve Wolf973), Lehma975)] aaıdaki gibi verilmitir: { x, y ), x, y ),..., x, y )}, sürekli rasgele deikeleri bir vektörü ola X, Y ) de alımı tae gözlem olsu. tae farklı sayıda uyumlu ya da uyumsuz gözlem çifti vardır. Buları bir kısmı uyumlu, bir kısmı ise uyumsuz çiftlerdir. c tae uyumlu, d tae de uyumsuz çift olduuu düüelim. Öreklem içi Kedall Tau aaıdaki gibi ifade edilir. c d c d t = =.7) c + d olacaktır. Ayı ekilde t i, öreklemde rasgele seçilmi x, y ) ve x, y ) i i j j gözlem çiftleri içi uyum olasılııda uyumsuzluk olasılııı çıkarılmasıyla da elde edilebildiii söyleyebiliriz. Kedall Tau u popülasyo versiyouu, H ortak daılım foksiyoua sahip sürekli rasgele deikeleri bir vektörü ola X, Y ) içi bezer ekilde ifade

8 edebiliriz. X, ) ve X, ), H ortak daılım foksiyoua sahip, Y Y baımsız ve ayı daılımlı rasgele deikeler olsu. Popülasyo içi Kedall Tau { X X ) Y Y ) > 0} P{ X X ) Y ) 0} τ = τ Y.8) X, Y= P < olacaktır. Teorem.9... X, Y ), X, Y ), H ve H ortak daılım foksiyolarıa ve sırasıyla F X ve X içi) ve G Y ve Y içi) marjial daılım foksiyolarıa sahip sürekli rasgele deikeleri baımsız vektörleri ve C ve C, sırasıyla X, Y ) ve X, Y ) i kopulaları olsu. Bu durumda H x, y) = C F x), G )) ve H x, y) = C F x), G )) dir. y y Q, X, ) ve X, ) arasıdaki uyumu olasılııda uyumsuzluu Y Y olasılııı çıkarıldıı bir foksiyou göstersi. Yai, olur. Bu durumda, dir. { X X ) Y Y ) > 0} P{ X X ) Y ) 0} Q = P Y <..9) Q = Q C, C ) = 4 C u, dc u,.30) I

9 Souç.9... C, C ve Q, Teorem.9...) de verildii gibi olsu.. Q foksiyou kedi argümalarıa göre simetriktir. Q C, C ) = Q C, ). C. Q foksiyou her argümaıda azalmayadır. Yai, u, içi C C ve C C' ise, Q C, C) Q C, C ) olur. I deki her 3. Q foksiyouda kopulalarla yaam foksiyoları yer deitirebilir. Q C, C ) = Q Cˆ, ˆ ). C Herhagi bir keyfi C kopulası içi, Q foksiyou, [-,] aralııda deerler alır. Ayrıca, Q C, M ) [0,], Q C, W ) [,0] ve Q C, Π) [, ].3) 3 3 olur. Teorem.9... X ve Y, kopulası C ola rasgele deikeler olsu. X ve Y içi Kedall Tau u popülasyo versiyou aaıda gösterilmitir: τ = τ = Q C, C) = 4 C u, dc u,..3) X, Y C I.3) eitliide gösterile itegral, Düzgü 0,) daılımlı U ve V rasgele deikeleri içi, bu deikeleri ortak daılım foksiyou ola C U, V ) i beklee deeri ile de aaıdaki gibi ifade edilebilir:

30 τ = 4E C u, )..33) C Bir arimedya kopula ile yukarıdaki ilemleri daha basit bir ekilde souçladırabiliriz. Tek boyutlu kopula türete ϕ foksiyou ile çalımak iki boyutlu C kopulasıyla çalımakta çok daha kolaydır. Souç.9... X ve Y rasgele deikeleri, Ω kümesii elemaı ola ϕ foksiyou ile türetilmi bir C arimedya kopulası olsu. X ve Y içi Kedall Tau u popülasyo versiyou aaıda gösterilmitir: ϕ t) τ C = + 4 dt..34) ϕ t 0 ).9.. Spearma rho Spearma Rho da Kedall Tau gibi uyumluluk ve uyumsuzlukla ilgili bir iliki ölçüsüdür. Bu ölçüü popülasyo versiyouu elde edebilmek içi [Kruskal958), Hollader ve Wolf973), Lehma975)], Y X, ), X, ) ve X, ), H ortak daılım foksiyoua marjialleri Y Y 3 3 F ve G ola) sahip ve kopulaları C ola üç baımsız rasgele vektör olsu. Spearma Rho u popülasyo versiyou, X, ) ve X, ) vektörleri Y Y 3 içi uyum olasılııda uyumsuzluk olasılııı çıkartılmasıyla oratılıdır. ρ = = P{ X X ) Y Y ) > 0} P{ X X ) Y Y ) 0}).35) ρ X, Y 3 3 3 < Burada X, ) çifti de kullaılabilirdi. X, ) çiftii ortak Y 3 Y daılım foksiyou H x, y) ve X, ) çiftii bezer olarak X, ) Y 3 Y 3

3 çiftii de) ortak daılım foksiyou F x) G y) X ve Y 3 ü baımsız olduuu kabul edilmesi edeiyle) ike X ve Y 3 ü kopulası Π olur. Teorem.9... ve Souç.9... kullaılarak aaıdaki teorem verilebilir. Teorem.9... X ve Y, kopulası C ola rasgele deikeler olsu. X ve Y içi Spearma Rho u popülasyo versiyou aaıda gösterilmitir: ρ = ρ = 3Q C, ),.36 a) X, Y C Π = I uvdc u, 3,.36b) = C u, dudv 3..36c) I.35) ve.36a) eitlikleride yer ala 3 katsayısı ormalletirme sabitidir..3) eitliide, Q C, Π) [, ] ifadeside belirtilmitir. 3 3 Taım.9... Kopulası C ola X ve Y sürekli rasgele deikelerii arasıdaki ilikiyi göstere κ ölçüsüü uyumluluk ölçüsü olduuu söyleyebilmemiz içi aaıdaki özellikleri salıyor olması gerekir bu ölçü κ X, Y veya κ C eklide gösterilebilir):. κ ölçüsü, her X, Y sürekli rasgele deike çifti içi taımlamı olmalıdır,

3. κ,, κ ve κ =, X Y X, Y = X, Y 3. κ X, Y = κy, X, κ, Y = κ Π = 0 4. Eer X ve Y sürekli rasgele deikeleri baımsızsa, X, 5. κ X, Y = κ X, Y = κ X, Y, 6. Eer C ve C, C C ilikisi ola kopulalarsa, κc κ C, 7. Eer { X, Y )}, C kopulalarıa sahip bir sürekli rasgele deikeler dizisi ise ve { C } oktasal olarak C ye yakısıyorsa; κ C = κc lim olur. Teorem.9... κ, X ve Y sürekli rasgele deikelerii uyumluluk ölçüsü olsu.. Y, X i heme heme her yerde arta bir foksiyou ise, κ X, Y = κ M = dir.. Y, X i heme heme her yerde azala bir foksiyou ise, κ X, Y = κ M = dir. 3. α ve β, sırasıyla X i ve Y i deer kümeleride heme heme her yerde ciddi mooto foksiyoları ise, κα β = dir. X ), Y ) κ X, Y

33 Teorem.9..3. X ve Y, kopulası C ola rasgele deikeler olsu. Spearma Rho ve Kedall Tau u popülasyo versiyoları, Taım.9.. ve Teorem 5... deki özellikleri salar..9.3. Kedall tau ve Spearma rho arasıdaki iliki Kedall tau da Spearma rho da kopulası verile rasgele deikeler arasıdaki uyum olasılııı ölçüsü olsalar da aslıda birbirleride oldukça farklılardır. Teorem.9.3.. X ve Y, sürekli rasgele deikeler, τ ve ρ da sırasıyla 5.) ve 5.9) da taımladıkları gibi olsu. 3τ ρ..37) gibi olsu. Teorem.9.3.. X, Y, τ ve ρ, Teorem.9.3.. de taımladıı + ρ + τ.38a) ve ρ τ..38b) Bu iki teoremi birleimide aaıdaki souç doacaktır.

34 Souç.9.3.. X, Y, τ ve ρ, Teorem 5.3.. de taımladıı gibi olsu. 3τ + τ τ ρ, τ 0, + + 3 ρ, τ < 0. τ τ τ.39).9.4. Kadra baımlılık Taım.9.4.. Lehma 966). X vey rasgele deikeler olsu. Eer, R deki her, y) x içi, P{ X x, Y y} P{ X x} P{ Y y}.40) veya P { X > x, Y > y} P{ X > x} P{ Y > y}.4) ise, X vey pozitif kadra baımlı PQD) dır. Eer marjial foksiyoları sırasıyla F ve G, ortak daılım foksiyou H, ve kopulası C ola X ve Y rasgele deikelerii pozitif kadra baımlılıı, I deki her u, içi C u, uv.4) eklide de ifade edilebilir.

35.0. Fiasta Kullaıla Bazı Kopulalar Birçok kopula foksiyou vardır. Bular hakkıda ayrıtılı bilgi içi Joe997) ve Nelse 998) e bakılabilir. Fiasta kullaıla e öemli iki kopula Normal Kopula ve Gumbel Kopula dır..0.. Normal kopula Fiasta, özellikle fiasal modelleme ve portfolyo teoriside ormal kopula kullaılmaktadır. Φ foksiyou, ) 0, N kümülatif daılım foksiyou ve β Φ foksiyou da, β parametresiyle iki deikeli kümülatif ormal daılım foksiyou olsu. Bu durumda, iki deikeli Normal kopula aaıdaki gibi taımlaır. )) ), ), v u v u C Φ Φ Φ = β dudv e v v uv u u Φ + Φ = ) ) ) β β β π youluk foksiyou ise, ) )) )) )) ) ) )) ), v u v v u u e v u c Φ + Φ Φ + Φ Φ Φ = β β β olur.

36.0.. Gumbel kopula Fiasta çok gei kapsamlı olarak kullaıla bir dier kopula da Gumbel kopuladır. Gumbel 960) tarafıda ilk tartııla kopuladır. β olacak ekilde, Gumbel kopula aaıda verilmitir: C u, = e β β / β [ l u) + l ] ) youluk foksiyou ise; β lu l e c u, = uv[ lu) β β / β β β / β [ l u) + l ] [ l u) + l ] β + l ] β / β + β ) olur..0.3. Gumbel iki deikeli Üstel daılımıı kopulası Marjialleri üstel daılıma sahip, θ [0,] ola ortak daılım foksiyouu kopulasıdır. C u, = u + v + u) e θ θ l u ) l.0.4. Gumbel iki deikeli Lojistik daılımıı kopulası Marjialleri stadart lojistik daılıma sahip, θ [, ] ola ortak daılım foksiyouu kopulasıdır. Ali-Mikhail-Haq kopulası da deilir.

37 uv C u, = θ u).0.5. Farlie-Gumbel-Morgester daılımıı kopulası C u, = uv{ + α u) } α α [,]..0.6. Clayto kopula Kopulaları bu aileside, Clayto 978) de, Oakes 98, 986) da, Cox ve Oakes 984) te ve Cook ve Johso 98, 986) da bahsetmilerdir. Geest ve Rivest 993) te bu ailede Clayto Ailesi olarak söz etmitir. θ C u, = ebüyük[ u + v θ θ ] / θ,0) [, ] {0} θ. Aaıda, θ parametresii farklı deerleri içi Calyto kopulasıı üç boyutlu grafikleri veilmitir. θ = durumuda Clayto kopulası, Frechet-Hoeffdig üst sıırı ola M kopulasıa eit olmaktadır.

38 ekil.0.. Clayto kopula, θ = ekil.0.. Clayto Kopula, θ = 0

39 θ = içi Clayto kopula Frechet-Hoeffdig alt sıırı ola W kopulasıa eit olmaktadır. ekil.0.3. Clayto Kopula, θ =.0.7. Frak kopula Frak Ailesi ilk defa 979 yılıda istatistiksel olmaya bir içerikte yer almıtır. Acak bu ailei istatistiksel özellikleride Nelse 986) ve Geest 987) de bahsetmitir. Ayrıca bu aile.) eitliide belirtile radyal simetri özelliii salaya tek Arimedya kopuladır. C u, θ e l + θ θu = ) e θ e θv ) )

40 θ, ) {0}... Kopulalara Dayalı Tahmi Yötemleri Kopulalar kullaılarak yapıla istatistiksel çıkarsamalarda kullaıla yötemleri parametrik ve parametrik olmaya yötemler olarak ikiye ayırabiliriz. Tam E Çok Olabilirlik Yötemi MLE) ve Marjiallere liki Çıkarsama Yötemi IFM) parametrik yötemlerdir. Kedall Tau ve Spearma Rho ölçülerie dayaa yötemler ise parametrik olmaya yötemlerdir.... Tam e çok olabilirlik yötemi MLE) Bu çok öemli tahmi yötemide bahsetmede öce, çok boyutlu youluk foksiyouu, çok boyutlu kopula foksiyouu kullaarak aaıdaki gibi ifade edebiliriz:, x,..., x) = c F x), F x),..., F x)). fi xi ) i= f x.43) burada çok boyutlu kopula foksiyou da c F x ), F x ),..., F x C F x ), F x),..., F x))) )) =.44) F x ) F x )... F x ) olarak C kopulasıı. derecede kısmi türevi eklide ifade edilir.

4 T ℵ = { x t, xt,..., xt} t =, örek veri matrisimiz olsu. Logaritmik olabilirlik foksiyou, lθ ) = l c F xt ), F xt ),..., F xt )) + l fi xit ).45) T t = i= olur. Burada θ, hem marjialleri hem de kopulaı tüm parametrelerii kümesidir..45) eitliii maksimize ede θ = ebüyük l θ) tahmileyici, e çok olabilirlik tahmi edicisidir. MLE θ Θ... Marjiallere iliki çıkarsama yötemi IFM) E çok olabilirlik yötemi, özellikle çok boyutlu durumlarda you hesaplamalar gerektirmektedir. Çükü, hem marjial daılımları parametrelerii hem de kopula ile gösterile baımlılık yapısıı parametrelerii hesaplamak gerekmektedir. Acak yakıda bakacak olursak logaritmik olabilirlik foksiyou iki terimde olumaktadır. Bularda biri kopula youluk foksiyou ve ou parametrelerii, dieri de marjialleri ve kopula youluk foksiyou tüm parametrelerii içermektedir. Bu edele Joe ve Xu 996), bu parametreler kümesii iki adımda tahmi edilmesie dair aaıdaki yötemi öermilerdir.. adımda, tek boyutlu marjial daılımları tahmii ile marjialleri parametreleri tahmi edilmitir.

4 T = Argebüyük l f i x it, θ) t= i= ˆ θ θ.46) tahmi edilir.. adımda ise, verile ˆ θ parametresi ile kopula parametresi θ T = Argebüyük l c F xt ), F xt ),..., F x ˆ t ); θ, θ) t = ˆ θ θ.47) Bu yöteme Marjiallere liki Çıkarsama Yötemi IFM) deir. IFM tahmi edicisi, ˆ θ = ˆ, ˆ IFM θ θ ).48) eklide ifade edilir. l, tüm logaritmik olabilirlik foksiyouu; l i, i. marjiali logaritmik olabilirlik foksiyouu ve l c ise kopulaı kedi logaritmik olabilirlik foksiyouu göstermek üzere, l l l l,,...,, ) = 0 θ θ θ θ.49) ile tam e çok olabilirlik yötemie ait tahmi edici içi, l l, θ θ l,..., lc, ) = 0 θ θ.50) ile marjiallere iliki çıkarsama yötemie ait tahmi edici içi çözüm kümesi buluur.

43 Geellikle bu iki tahmi edici ayı olmaz. Ayrıca marjiallere iliki çıkarsama yötemie ait tahmi edicii çok daha kolay hesaplaabildii açıktır.

44 3. UYGULAMALAR Bu bölümde, iki temel çalıma yer almaktadır. Bularda biri sıralı deikeler kullaılarak yei bir kopula elde edilmesi üzerie teorik bir çalımadır. Dieri ise Merkez Bakası veri tabaıda elde edile üç ayrı veri grubu arasıdaki baımlılık ilikilerii bilgisayarda SPSS paket programı kullaılarak aaliz edilmesi ve aaliz souçlarıa göre uygu kopula foksiyolarıı belirlemesi üzeriedir. Veriler eklerde suulmaktadır. Ek.. de Ocak 003 ve Mart 007 tarihleri arasıdaki aylık kredi hacmi verileri, Ek.. de Ocak 003 ve Hazira 007 tarihleri arasıdaki aylık dolar kuru verileri, so olarak Ek.3. de ise Ocak 003 ve Mart 007 tarihleri arasıdaki karılıksız çek adedi verileri yer almaktadır. 3.. Sıralı Deikeler Kullaılarak Yei Bir Kopula Foksiyou Elde Edilmesi Üzerie Bir Çalıma Uygulamalar bölümüü ilk kısmı ola bu teorik çalımada sıralı istatistiklere dayalı yei bir kopula foksiyou elde edilmeye çalıılmıtır. Bu çalıma soucuda elde edilecek kopula foksiyou ile ekoomide meydaa gelebilecek ai deiimleri ve dalgalamaları etkisi mevcut verilere yasıtılabilecek ve yei durum bu kopula foksiyou ile çok daha verimli bir ekilde aaliz edilebilecektir. Özellikle faiz ve döviz fiyatlarıda iie ve çıkıa sebep ola etkeler örei, istikrarı bozulması, ülkeye ai döviz girii veya çıkıı vb.) bu ai farkları yaratmaktadır.

45 Bu teorik çalımada öcelikle sürekli düzgü 0,) daılıma sahip bir popülasyoda alımı birimlik öreklem içi birici ve. sıralı istatistik deerlerie bir rasgele deike eklemi ve oluturula bu iki yei rasgele deikei öce ortak daılım foksiyou elde edilmi daha sora da bu iki deikei marjial daılım foksiyoları kullaılarak kopula foksiyou bulumaya çalıılmıtır. Ayrıca bu çalıma daha sora Normal µ, σ ) daılıma sahip deikeler içi de geelletirilebilecek olup, bu sayede fiasal aalizlerde düzgü daılımda daha sık rastlaa ormallik varsayımı altıdaki durumlar içi de uygulaabilir hale gelecektir. Bu çalıma üç alt bölümde olumaktadır. lk alt bölümde, sıralı istatistiklerle ilgili geel bir bilgi verilmitir. kici alt bölümde, yukarıda taımlaa yei rasgele deikeleri ortak daılım foksiyou bulumu ve so alt bölümde de bu deikeleri marjiallerie dayalı kopula foksiyou elde edilmeye çalıılmıtır. 3... Sıralı istatistikler hakkıda temel bilgiler Sıralı istatistikler parametrik olmaya istatistiksel yötemlerde ve çıkarsamalarda kullaıla e temel öelerdedir. E öemli özellikleri, bir öreklemdeki e küçük deeri, e büyük deerleri, medya ve kartilleri kolaylıkla elde edilebilmesii salamalarıdır. birimlik bir öreklemde elde edilmi rasgele deikeleri e küçükte e büyüe doru sıralamasıyla elde edile sıralı istatistiklerde k olmak üzere, k. e küçük deike ola k. sıra istatistii X k : ile ifade edilir. Böylece e küçük sıra istatistii X = eküçük X, X,..., X } : {

46 olarak, e büyük sıra istatistii de X = ebüyük X, X,..., X } olarak : { gösterilir. Aaıda e küçük, e büyük ve k. sıra istatistiklerii olasılık youluk foksiyoları verilmitir. E küçük sıra istatistiii olasılık youluk foksiyou, F x) ) f ) f X x) x : = 3.) E büyük sıra istatistiii olasılık youluk foksiyou, f x) = F x) f ) 3.) X x : k. sıra istatistiii olasılık youluk foksiyou, f X k :! x) = k k F x) F x) ) f x) k )! k)! 3.3) eklide ifade edilir. Ayrıca iki sıra istatistiie ait ortak olasılık youluk foksiyou da r < s ve x < y içi! c = olmak üzere, r )! s r )! s)! s r ) ) r s X :,, ) ) ) ) ) ) ) r X s: f x y = c F x F y F x F y f x f y 3.4) olarak ifade edilir. So olarak da aaıda. e küçük) ve.e büyük) sıra istatistiklerie ait kopula foksiyou Schmitz 00)) verilmitir.

47 v v + u) ), u) < v C u, = v, u) v 3.5) 3... H ξ η, x, y) ortak daılım foksiyouu hesaplaması X,...,, X X baımsız ve sürekli bir ) deikeler olsu. X r: ile r. sıra istatistii gösterilsi. F x daılımıa sahip rasgele ξ = X + X : ve η = X + X : eklide taımlası. ξ ve η deikelerii ortak daılım foksiyou geel halde, Hξ, η x, y) = P{ ξ x, η y} = P{ X + X: x, X + X : y} = [ FX y t)] dfx t) - [ FX y t) FX x t)] dfx t) olarak hesaplamıtır. Ayrıca, açıkça bir ortak daılım foksiyou elde edebilmek içi örek bir daılım foksiyou üzeride çalıılmıtır. Bu edele ilem kolaylılıı salayacaı düüülerek düzgü daılım tercih edilmitir., X X baımsız ve her biri 0,) aralııda sürekli düzgü X,..., daılıma sahip rasgele deikeler olsu. Bu durumda ξ = + ve X X :

48 X X : + = η eklide taımlamı ξ ve η deikelerii ortak daılım foksiyou, }, { }, { ), : :, y X X x X X P y x P y x H + + = = η ξ η ξ = 0 ) )] [ t df t y F X X - ) )] ) [ 0 t df t x F t y F X X X + > + > + > + + + + + + + + < < =,, ) ), ) ) ) 0, t y ve t x t y ve t x t x x t y t ve t x t x y y y t y veya t x 3.6) eklide elde edilmitir. 3..3. ),, y x H η ξ ortak daılım foksiyouu kopulasıı hesaplaması X X X,...,, baımsız ve sürekli bir daılıma sahip rasgele deikeler olmak üzere X X : + = ξ ve X X : + = η eklide taımlamı sırasıyla F ve G daılımlarıa sahip ξ ve η deikelerii marjial daılım foksiyoları geel halde, } { } { ) : : x X X P x X X P x F > + = + = ξ

49 P{ X + X : > x X = t} dfx t = ) P{ X : > x t} dfx t = ) = [ P{ X x t}] df t) X 3.7) ve G η y) P{ X + X : y} = P{ X + X : y X = t} dfx t = ) = P{ X : y t} df t) X = [ F y t)] f t dt 3.8) X X ) olarak bulumutur., X X baımsız ve her biri 0,) aralııda sürekli düzgü X,..., daılıma sahip rasgele deikeler ise, 0, x < t + + x) x) Fξ x) =, t x t + 3.9) +, x > t +

50 ve eklide elde edilmitir. 0, y < t + + y y ) Gη y) =, t y t + 3.0) +, y > t + Yukarıda belirtile marjial daılımlara sahip rasgele deikeler içi bir kopula foksiyou elde edebilmek içi [ ] [ ] C u, = H F u), G ) eitliide yararlaarak, u = F x) ve v = G y) foksiyolarıı kullaıp x F u = ) ve y = G y ) deerleri η ξ x) bulumalıdır. Acak bu çalıma + x) + foksiyolarıı tersii alıması oktasıda kalmıtır. + ve y + y ) + + 3.. Fiasta Uygulamalar Uygulamalar bölümüü bu kısmıda ise öcelikle aalizlerde kullaıla Kedall tau ve Spearma rho istatistiklerii üstülükleride bahsedilmitir. Daha sora ise Merkez Bakası veri tabaıda elde edile üç ayrı veri grubu arasıdaki baımlılık ilikileri bilgisayarda SPSS paket programı kullaılarak aaliz edilmi ve aaliz souçlarıa göre icelee deikeleri modelleyebilecek e uygu kopulalar öerilmitir. Aalizler

5 souda Kedall tau ve Spearma rho deerlerii [-,] aralııda olması bekleir. Ayrıca bulua deer e yaklatıkça pozitif yöde güçlü bir ilikide, - e yaklatıkça ise egatif yöde güçlü bir ilikide söz edilebilir. Ayrıca egatif ilikiler içi, veri seti egatif kadra baımlı bir kopula ile modelleebilirke, pozitif ilikiler içi de pozitif kadra baımlı bir kopulayla modelleebilmektedir. Bu uygulamalara ait veriler eklerde suulmaktadır. Ek.. de Ocak 003 ve Mart 007 tarihleri arasıdaki aylık kredi hacmi verileri, Ek.. de Ocak 003 ve Hazira 007 tarihleri arasıdaki aylık dolar kuru verileri, so olarak Ek.3. de ise Ocak 003 ve Mart 007 tarihleri arasıdaki karılıksız çek adedi verileri yer almaktadır. So yıllarda, Embrechts, Lidskog ve McNeil 00), Cherubii, Luciao ve Vecchiato 004), Medes ve Souza 004) ve Joe 997) gibi birçok yazar, deikeler arasıdaki baımlılıı kopulalarla icelemitir. Kopulaları ayırt edici özellii, marjiallerle baımlılık yapısıı ayrılabilmesii salamasıdır. Bu ayrımı yapabilmek sadece modelleme aamasıda deil tahmileme aamasıda da çok yardımcı olmaktadır. Baımlılıkla ilgili ölçümlerde Pearso korelasyo katsayısı çok gei bir kullaım alaıa sahiptir. Acak ormallik varsayımı salaamadıı durumlarda bu katsayı bazı problemler yaratabilmektedir. Ayrıca X ve Y i sürekli rasgele deikeler, D i de ideal bir baımlılık ölçüsü olduu düüülecek olursa, bu ölçüü aaıdaki özellikleri salaması bekleir.

5. D X, Y ) = D Y, X ). D X, Y ) 3. Acak ve acak D X, Y ) = ise X ve Y birlikte arta ya da birlikte azaladır. Ya da acak ve acak D X, Y ) = ise X ve Y biri artake dieri azaladır. 4. Ciddi arta döüümlerde D deimezdir. Mesela T ve T ciddi arta döüümler ike, D X, Y ) = D T X ), T )) olmalıdır. Y Acak korelasyo katsayısı ormallik varsayımı dııdaki durumlarda özellikle 3. ve 4. maddelerde sorular yaratabilmektedir. Ayrıca bu katsayı dorusal ciddi arta döüümlerde deimez ike, geel ciddi arta döüümlerde deimez deildir. Dorusal olmaya durumlarla ilgileildiide ρ, uygu bir baımlılık ölçüsü deildir. Bu çalımada deikeler arasıdaki ilikiyi taımlamak içi yukarıda bahsedile baımlılık ölçüsü özelliklerii salaya ve parametrik olmaya Kedal tau ve Spearma rho ölçüleri kullaılmıtır. Özellikle Kedal tau u bir dier üstülüü de baımlılık ve uyumluluk kousu altıda verile.34) eitliideki foksiyou Arimedya kopulalar kullaılarak saladıı ilemsel kolaylıklardır. 3... Kredi hacmi ve dolar kuru arasıdaki ilikii icelemesi Kredi, belirli koullarla borç olarak ayi, akdi veya hizmet eklide salaa ve belli bir süre sora geri ödemesi taahhüt edile kayaktır. Kredide e öemli usur zamadır. Zama usuruu mevcudiyeti güve

53 faktörüü de beraberide getirir. Kredii üçücü öemli itelii de risktir. Her kredi ilemide ödüç vere kimse, karı tarafı vaadii yerie getirip getirmemesi ihtimalie göre deiik risklerle karı karıya kalır. Bakacılıkta vadesi bir yılda fazla ola birikimlere de kredi demektedir. Krediler ekoomi içide e öemli hızladırıcılarda biridir. Reel sektör ve fias sektörü arasıda birer aracı ola bakaları saladıı krediler, ekoomideki borç talebi ve akit fazlası arzıda kayaklaa bir degeye oturur. Kredii fiyatı faizidir. Kredi geel kapsamı düüüldüüde farklı amaçları karılamak üzere alıabilir. Reel sektörü aldıı krediler yatırım fiasmaıda kullaılırke, hae halkıı kulladıı krediler daha çok tüketim harcamalarıı fiasmaı da kullaılır. Buları e tipik örekleri taıt ve ev kredileridir. u ada Türkiye de çok güdemde ola mortgage kredileri de bu arz talep degesi ve ihtiyaçları, döeme ve faize göre baz alımasıyla hesaplamaktadır. Ocak 003 Mart 007 tarihleri arasıda kredi hacmi ve dolar kuru arasıdaki iliki icelediide, Tablo 3... de de görülüyor ki Kedal tau deeri 0, 78 ; Spearma rho deeri 0, 8 dir. Bu edele bu iki deike arasıda egatif yöde güçsüz bir iliki olduu, yai dolar kurudaki düüü kredi hacmii arttırdıı söyleebilir. Zate ekoomi literatürüde, ekoomik istikrar arttıkça ve döviz fiyatı dütükçe verile kredi hacmii artması beklemektedir. Elde edile bu souca göre egatif kadra baımlı bir kopula ile modelleme yapılabilir. α [,0) aralııda deer ala FGM kopulası da

54 bu özellii saladıı içi bu veri setii modellemeside kullaılabilecek uygu bir kopuladır. Örei Cα u, = uv{ + α u) } ola FGM kopulaı α = deeri içi elde edilmi Cα u, = uv{ u) } foksiyouu dolar kuru ve kredi hacmi verileri arasıdaki baımlılıı modellemede kullaılması öerilebilir. Tablo 3... Dolar Kuru ve Kredi Hacmi Arasıdaki liki Correlatios Kedall's tau_b Spearma's rho DOLAR KURU KREDI HACMI DOLAR KURU KREDI HACMI Correlatio Coefficiet Sig. -tailed) N Correlatio Coefficiet Sig. -tailed) N Correlatio Coefficiet Sig. -tailed) N Correlatio Coefficiet Sig. -tailed) N DOLAR KURU KREDI HACMI,000 -,78.,066 5 5 -,78,000,066. 5 5,000 -,8.,07 5 5 -,8,000,07. 5 5 3... Karılıksız çek miktarı ve dolar kuru arasıdaki ilikii icelemesi Çek, para yerie kullaıla deerli kaıt; herhagi bir kredi kurumuda hesabı bulua bir kimsei özel iaretli bir matbu kaıtla, söz kousu kiiye ya da kaıda sahip kiiye yazılı miktar kadar para ödemesie

55 iliki verdii yazılı emir, bir bakada ticari hesap açtırmı ola kimsei gerek kedisie gerekse bakasıa ödeme kolaylıı göstere yazılı talimat olarak taımlaabilir. Çek yurt dııda kullaım alaı gei yer tuta; borç ödeme ve satı alma foksiyou üstlee bir metottur. Acak Türkiye de çek vadeli seet gibi kullaılmaktadır. Geel presip çeki bakaya götürüldüü ada ödemesidir. Acak Türkiye de çekler ile 6 ay arasıda ileri bir tarihte ödemek üzere alacaklı tarafa ödemektedir. Ekoomideki geel dege bozulduuda çekleri karılıksız çıkma olasılıı artmaktadır. Çükü firmalar veya bireyleri fiasma soruları ortaya çıkmaktadır. Türkiye de ekoomik krizleri e belirgi yaı döviz fiyatlarıda meydaa gele ai yükselilerdir. Acak 00 yılıda itibare ekoomide göreceli olarak bir istikrar gözlemlemitir. Ocak 003 Mart 007 tarihleri arasıda dolar kuru ve karılıksız çek miktarı arasıdaki iliki icelediide, Tablo 3... de de görülüyor ki Kedal tau deeri 0, 99 ; Spearma rho deeri 0, 97 dir. Bu edele bu iki deike arasıda egatif yöde güçsüz bir iliki olduu, yai dolar kurudaki düüü karılıksız çek adedii arttırdıı söyleebilir. Buu sebebi de 00 yılı sorasıda kurlarda meydaa gele göreli istikrardır. Elde edile bu souca göre yie egatif kadra baımlı bir kopula ile modelleme yapılması uygu olacaktır. α [,0) aralııda deer ala FGM kopulası da bu özellii saladıı içi bu veri setii modellemeside de kullaılabilecek e uygu kopuladır.