ÖLÜM.7 İŞ VE EERJİ 7. Giriş undan önceki bölümde, maddesel noktanın hareketi ile ilgili problemler F = a hareket denklemi kullanılarak çözülmüştü. ir F kueti etkisinde bulunan bir maddesel nokta erilmişken bu denklemden a imesi hesaplayabiliyorduk; ondan sonra kinematiğin ilkelerini uygulayarak a dan, maddesel noktanın herhangi bir andaki hızını e yerini belirtmek mümkün olabiliyordu. F = a denklemi ile kinematiğin ilkeleri birleştirilirse iki yeni çözümleme yöntemi daha elde edilebilir: unlar iş - enerji yöntemi e impuls - momentum yöntemidir. u yöntemlerin üstünlüğü, imenin belirtilmesini gerekli kılmamalarındandır. Gerçekten, iş e enerji yöntemi doğrudan doğruya kuet, kütle, hız e yer değiştirme arasında ilişki kurar, impuls e momentum yöntemi ise kuet, kütle, hız e zaman arasında ilişki kurar. u bölümde iş e enerji yöntemi ele alınmıştır. u yöntem iki önemli karama dayanır. ir kuetin işi karamı ile maddesel noktanın kinetik enerjisi karamıdır. 7. İş Enerji Prensibi Şekil.7. deki kesikli çizgi xy düzleminde hareket eden e yön e büyüklük bakımından yerden yere değişen bir F kuetinin etkisinde bulunan m kütleli küçük bir cismin yörüngesini göstermektedir. u F kuetinin, biri yörüngeye paralel F S diğeri de yörüngeye normal (dik) olan Fn olmak üzere iki bileşene ayıralı F s m θ F s F n 0 Şekil.7.
hızına dik olan Fn bileşeni bir merkezcil kuet olup bunun etkisi yalnızca hızın yönünü değiştirmekten ibarettir. Fs bileşeninin etkisi hızın miktarını değiştirir e bu bileşenin değeri için eton un ikinci kanunundan; d F s m dt denklemi elde edilir. ismin yörünge üzerinde bir 0 noktasında itibaren ölçülen uzaklığını s ile göstereli una göre hızın zamana göre d / dt değişimini yer değiştirmeye bağlı olarak yazabiliriz. d d dt ds uradan elde edilir. d F S m, F S. ds md ds diğer taratan md d( m ) olduğu için F S. ds d( m ) denklemini çıkarabiliriz. urada ds yer değiştirmesi ile Fs bileşeninin Fs. ds çarpımı F kuetinin ds yer değiştirmesi boyunca yaptığı d işidir. ir cismin kütlesi ile hızının karesi çarpımının yarısına bu cismin E K kinetik enerjisi denir. EK m u tanıma göre denkleminin sağ taraı cismin kinetik enerjisi değişmesini erdiği için bu denklem, bir cisim üzerine etkiyen bileşke kuetin yaptığı iş cismin kinetik enerji değişimine eşittir, şeklinde iade edilebilir.
İş e Enerji skaler büyüklüklerdir. Şimdi Şekil.7. de cismin s yerinin s den s ye gittiğini hızının den ye değiştiğini kabul edeli ismin bu yer değiştirmesinde yapılan toplam işi, d iniinitezimal işlerin cebirsel toplamına, toplam kinetik enerji değişmesi de iniinitezimal değişmelerin integraline eşittir.yani d S S F S ds E K E K d V ( EK ) d( m ) m m V olur. E K EK eyahut elde edilir. F S ds m m una göre herhangi bir harekette bir cisim üzerine etkiyen bileşke kuetin yaptığı iş kinetik enerji değişikliğine eşittir.u iadeye İş Enerji prensibi denir. 7.3 İş Günlük yaşantımızda iş sözünden her türlü zihni eya bedeni aaliyetleri kastederiz. Fizikte ise bu kelime dar anlamda kullanılır. İş, bir cisim üzerine bir kuet etkidiği e cisimde, kuetin, tatbik noktasının hareketi yönünde bir bileşeni arsa bir iş yapılmış olur. Kuetin bileşeni hareketin yönünde olursa iş pozititir. ileşen zıt yönde ise iş negatitir. Eğer kuet hareket yönüne dik ise, bu kuetin hareket doğrultusuna bir bileşeni bulunmadığı için iş sıır olur. una göre bir cisim yukarı doğru kaldırılınca kaldıran kuetin işi pozititir; bir yayı geren kuetin yaptığı iş, silindir içindeki gazı sıkıştıracak olursa gazı sıkıştıran kuetin yaptığı iş de pozititir. una karşılık yukarıya kaldırılan bir cisme etkiyen çekim kuetinin yaptığı iş, bu kuetin yönü hareket yönüne zıt olduğu için negatitir. ir cisim sabit bir düzlem üzerinde kayarken cisim üzerine etkiyen sürtünme kuetinin yaptığı iş de negatitir. isim hareket 3
etmiyorsa sürtünme kueti bir iş yapmaz. ynı şekilde, yorucu olmasına rağmen, uzatılmış bir kol ile ağır bir cismi hareketsiz tutmak suretiyle de teknik anlamda bir iş yapılmış olmaz Sabit bir kuetin yaptığı iş çeşitli şekillerde yazılabilinir. ir kuetin etkisi altındaki bir parçacığı düşüneli F kueti sabitse, parçacık kuet doğrultusunda bir doğru üzerinde hareket edecektir. Yapılan iş, kuetin büyüklüğü (F) ile parçacığın aldığı yolun çarpımı şeklinde tanımlanır. F. s Eğer sabit kuetin yönü parçacığın hareket yönü ile aynı değilse, kuetin yaptığı iş, kuetin parçacığın hareket doğrultusundaki bileşeni ile parçacığın aldığı yolun çarpımına eşittir. Şekil.7. de görülen x ekseni ile θ açısı yapan F kuetinin etkisi ile x ekseni boyunca s kadar yol alan parçacığın yaptığı iş; S d FS ds F. cos. ds F.cos ( s s) S İşin tarii yeni bir ektör işlemini kullanmamızı gerektirmektedir. Tanıma göre burada iki ektörün skaler çapımı söz konusudur. iki ektörün skaler çarpımı ise;. =.. cosθ u yeni iade tarzında iş, şeklinde yazılabilir. s d s F. ds F.cos. s İş birimleri; kuetin nt, uzunluğun metre ile iade edildiği mks birim sisteminde iş birimi nt.m dir. ir nt.m ye bir joule denir. cgs birim sisteminde iş birimi erg dir. (dyn.cm) m = 00 cm nt = 0 5 dyn olduğu için nt.m = 0 7 dyn.cm dir. joule = 0 7 erg Örnek. Şekil.7. de yatay bir düzlemde, hareket yönü ile θ açısı yapan sabit bir F kueti taraından çekilen bir kutu görülmektedir. Kutu üzerine etkiyen diğer kuetler kutunun ağırlığı, yüzeyin etkidiği yukarıya doğru normal kuet e sürtünme kuetidir. Kutunun düzlem üzerinde sağa doğru s yolunu gittiği zaman her bir kuetin yaptığı iş ne olur?. 4
F θ Şekil.7. F kuetinin hareket yönündeki bileşeni F. cosθ dır. u kuetin yaptığı iş; F ( F.cos ). s olur. e kuetlerinin ikisi de hareket yönüne diktirler. unun için ; 0, 0 dır. Sürtünme kueti ise hareket ile zıt yönde olduğu için,. s olur İş skaler büyüklük olduğu için bütün kuetlerin yaptığı toplam iş her bir kuetin yaptığı işin cebirsel toplamına eşittir. F ( F.cos ). s 0 0. s ( F.cos ). s ( F.cos ) cisim üzerine etkiyen bileşke kuettir. una göre bütün kuetlerin yaptıkları toplam iş bileşke kuetin yaptığı işe eşittir. Şimdi = 00 nt, F = 50 nt, = 5 nt, = 370 0, s = 0 m olduğunu kabul edelim, 5
o zaman her bir kuetin yaptığı iş ; F ( F.cos ). s 50.0,8.0 800 joule F. s 5.0 300 joule F 800J 0 0 300J 500J olur. unu kontrol için toplam iş, ( F.cos ). s (40 5).0 500J işlemi yapılabilir. Örnek. ağırlığında küçük bir cisim L uzunluğunda bir ipin ucuna Şekil.7.3 de görüldüğü gibi asılmıştır. sıırdan başlayıp tedrici olarak azalan değişken bir P kueti bu cismi yaaşça ip düşey yön ile θ açısı yapıncaya kadar çekmektedir. P kuetinin yaptığı işi hesap ediniz. θ L T θ θ P s Şekil.7.3 isim denge durumunda olduğu için yatay kuetlerin toplamı sıırdır. unun için P T.sin Düşey kuetlerin toplamını da sııra eşitlemek suretiyle yazılabilir. T.cos 6
u iki denklemi bölmek suretiyle elde ederiz. P.tan P kuetinin tatbik noktası s yayı boyunca hareket eder. s = L.θ, ds = L.dθ olduğu için, olur. 7.4 Kinetik Enerji P. ds P.cos. ds. tan.cos. L. d. L sin. d. L( cos ) 0 Kinetik enerji iş gibi skaler bir niceliktir. Kinetik enerji cismin hareket halinde sahip olduğu bir enerji şeklidir. Sadece cismin hızına bağlı dır. İş-enerji prensibinden, bir cismin kinetik enerji değişiminin yalnız = F.ds işine bağlı olduğunu buna mukabil F e s büyüklüklerine ayrı ayrı tabi olmadığını çıkarmak mümkündür. Kuet büyük s mesaesi kısa eyahut bunun tersi olabilir. m kütlesi e e hızları belli ise bileşke kuetin yaptığı iş kueti e yapılan yolu bilmeden de bulunabilir. işi poziti ise kinetik enerjinin son değeri başlangıç değerinden büyüktür e enerjide artıcıdır. una karşılık iş negati ise kinetik enerji azalır. İşin sıır olduğu özel halde ise kinetik enerji de sabit kalır. Kinetik enerji değeri hesaplanırken m e için aynı sistemin birimleri kullanılmalıdır. mks birim sisteminde kütle ( m ) kg, hız ( ) m/sn ile ölçülürse işte olduğu gibi enerji birimi joule olur.cgs sisteminde ( m ) gram ( ) cm / sn alındığında enerji birimi erg olur. 0 7.5 Graitasyon Potansiyel Enerji m kütlesinde bir cismin Şekil.7.4 (a) da görüldüğü gibi, ağırlık merkezi yüksekliği y olan bir noktadan düşey yönde, ağırlık merkezi yüksekliği y olacak başka bir yere hareket ettiğini arz edeli y e y mesaeleri keyi olarak seçilen bir reerans düzlemine göre ölçülmüşlerdir. isme etkiyen yer çekimi kueti sabit e g değerindedir. isme etkiyen diğer bütün kuetlerin bileşkesini P e bu kuetlerin yaptığı işi de ile göstereli mg değerindeki çekim kueti harekete zıt yönde olduğu için bu kuetin yaptığı iş ; 7
çekim mg( y y) ( mgy mgy ) y. P mg. y. P mg. y.. M.. φ dy ds θ mg y y (a) (b) (c) Şekil.7.4 mg çekim kuetinin, bir cismin çekim alanı içinde bir yerden başka bir yere gittiği zaman yaptığı iş Şimdi cismin aynı y yüksekliğinden hareket ettiğini akat y yüksekliğine Şekil.7.4 (b) de görüldüğü gibi herhangi bir yörünge üzerinden çıktığını arz edeli Şeklin.(c) kısmı bu yörüngenin küçük bir kısmının büyütülmüş parçasını göstermektedir. Çekim kuetinin yörünge üzerinde ds yer değiştirmesine karşılık yaptığı iş ; d cos. ds ds ile bunun düşey bileşeni dy arasındaki açı φ olsun. O zaman dy = ds.cosφ olur. yrıca φ = 80 0 θ olduğu için cosφ = -cosθ dır. d cos. ds bu denklemde yerine konursa d mg cos. ds mgdy yazılabilinir. y değişkeni de y den y ye kadar artınca çekim kuetinin işi ; çekim mg( y ) y olur. 8
uradan çekim kueti işinin yörüngeye bağlı olmayıp yalnız yükseklikle değiştiğini sonucunu çıkarabiliriz. aşlangıç e bitiş yükseklikleri aynı seiyede iseler yapılan iş sıırdır. Toplam iş kinetik enerji değişimine eşit olduğu için ' çekim E K ' ( mgy mgy ) ( m m ) yazılabilir. m e m büyüklükleri yalnız başlangıç e bitiş hızlarına bağlıdırlar, mgy e mgy büyüklükleri ise başlangıç e bitiş yüksekliklerine tabidir. Şimdi mgy e mgy terimlerini iş taraından enerji taraına geçirmek suretiyle bu denklemi yeniden düzenleyeli O zaman denklemi elde edilir. ' ' ( m m ) ( mgy mgy ) ( m m ) ( mgy mgy ) u denklemin sol taraı yalnızca P kuetinin yaptığı işi ihtia etmektedir. Denklemin sağ taraı ise cismin başlangıç e bitiş durumlarına ( hız e yükseklik ) ait terimlerdir. urada cismin hareket yörüngesinin şeklinin etkisi yoktur. mg ağırlığı ile cismin ağırlık merkezinin bir reerans seiyesine nazaran y yüksekliği çarpımı mgy çekim kueti potansiyel enerjisi E P adını alır. dir. E P ( çekim ) mgy ' ( m m ) ( mgy mgy ) denkleminin sağ taraında parantez içindeki ilk terim kinetik enerji değişikliğini ikinci terim çekim potansiyel enerjisi değişikliğini erir. u denklemi aşağıda gösterildiği gibi de yazabiliriz. 9
' ) ( m ( m mgy mgy ) ir cismin sahip olduğu potansiyel e kinetik enerji toplamına bu cismin toplam mekanik enerjisi denir. Üstteki denklemin sağ taraında bulunan ilk parantezli terim toplam mekanik enerjinin son durumunu, ikinci parantez içindeki iade ise mekanik enerjinin başlangıç durumunu göstermektedir. unun için, çekim kueti dışında kalan bütün kuetlerin yaptığı iş cismin mekanik enerji değişimine eşittir. işi poziti ise mekanik enerji artıcıdır. unu aksine negati ise enerji azalır. 7.6. Esneklik Potansiyel Enerjisi Şekil 7.5 de yatay bir düzlemde bulunan m kütlesinde bir cismi göstermektedir. Yayın bir ucu bu cisme diğer ucu da sabit bir yere bağlanmıştır. Şekil.7.5 (a) da görüldüğü gibi yayın gergin olmadığı zaman cismin bulunduğu yeri koordinatlar sisteminin merkezi olarak alalı isme yayı gerecek bir P kueti uygulayalı Yay en uak bir gerilme yaptığı an, bu yay içinde yay gerilmesine, dolayısıyla P kuetine karşı zıt yönde bir F kueti doğar.( Şekil.7.5 (b). u F kuetine esneklik kueti adı erilir. P kueti azaltılır eya sıır yapılırsa F kueti yayı eski haline yani gergin olmayan durumuna getirir. u yüzden F kuetine geri çağıran kuet de denir. u olayı ilk olarak 678 de Robert Hooke incelemiştir. Yapılan deneyler sonucunda esneklik sınırı aşılmamışsa esneklik kueti gerilme miktarı ile doğru orantılıdır. F k. x olur. a) m b) F x m P Şekil.7.5 P kueti bir yay üzerinde x gerilmesini meydana getirirse, yay içinde F = k.x değerinde bir F geri çağırıcı kueti hasıl olur. u denkleme Hooke kanunu denir. k çarpanına yay çarpanı eya esneklik çarpanı denir. 0
Yay gerilmesi x den x değerine çıktığım zaman esneklik kuetinin es işi ; x F. ds F.cos. dx olur. F kuetinin yönü dx yönüne zıt olduğu içim cos = - dir. es x x kx. dx, es x es ( kx kx Şimdi tatbik edilen P kuetinin yaptığı işi ile göstereli Toplam işin kinetik enerji değişimine eşit olduğunu yazarsak, ' es E K ' ( kx kx ) ( m m ) denklemini yazabiliriz. kx e kx kemiyetleri cismin takip ettiği yola bağlı olmayıp yalnızca cismin ilk e son bulunduğu yere tabidirler. unun için bu kemiyetleri iş taraından enerji taraına taşıyalı O zaman, ' ( m m ) ( kx kx ) denklemini elde ederiz. uradaki denklemini yazabiliriz. ' kx iadesi EP esneklik potansiyel enerjisi adını alır. E P ( esneklik ) kx ( m m ) ( kx kx ) denklemine göre P kuetinin potansiyel enerjisi cismin potansiyel e kinetik enerjisi değişme miktarlarının toplamına eşittir. Üstteki denklemi, ' ( m kx ) ( m kx )
şeklinde yazılabilir. ir cismin kinetik e potansiyel enerjileri toplamı o cismin toplam mekanik enerjisini erir. e dolaysıyla esneklik kuetlerinin dışında kalan bütün kuetlerin yaptıkları iş cismin toplam mekanik enerji değişme miktarına eşit olur. işi poziti ise mekanik enerj artıcıdır. una karşılık nın sıır olduğu özel halde ise mekanik enerji sabit kalır eya korunur. 7.7 Güç İşin tanımında zaman mehumu bulunmamaktadır. elirli bir ağırlık belirli bir yüksekliğe kaldırıldığı zaman yapılan iş kaldırma zamanı ister sn olsun ister 0 saat olsun yapılan iş aynıdır. Fakat çok dea yapılan işin aynı zamanda işin yapılma hızının bilinmesine ihtiyaç ardır. Genel anlamda iş yapan bir etkinin iş yapma hızına güç denir. ir işi t zaman aralığında yapılmış ise ortalama güç ; iadesi ile erilir. P t Fakat işin yapılma hızı düzgün değilse, herhangi bir andaki güç, iş e zamanın çok küçük olan değerleri için, denklemi elde edilir. nigüç P mks birim sisteminde güç birimi joule / sn buda aat tır. cgs de ise erg / sn dir. d dt k = 000 = 000 joule / sn mege aat = 000 k = 0 6 aat Güç birimleri çok küçük olduklarında bunların yerine beygir gücü ( hp) kullanılır... = hp = 746 aat ( joule / sn ) = 0,746 k = 75 km / sn aat e k birimleri elektrik ölçülerine ait olduğunu kabul etmek yanlış olur. Elektrik gücü birimlerinin aat e k olduğu doğrudur. Çünkü bir elektrik lambasının sar ettiği elektrik gücü beygir gücü cinsinden erileceği gibi bir otomobilin motorunun gücü de k cinsinden iade edilebilir. Güç birimleri olan beygir gücü e kiloaat böylece tari edildikten sonra, bu birimleri yeni iş birimlerini tari etmek için kullanabiliriz.unlar
beygir gücü- saat e kiloaat-saat dır ir beygir gücü-saat, gücü bir beygir gücü olan bir makinenın bir saatte yaptığı iştir. kiloaat = 3,6.0 6 joule 7.8 Güç e Hız ir cismin F kueti etkisi altında kuet yönünde dx kadar yol gittiğini kabul edeli Yapılan iş, d F. dx olur. u işi yapan güç ise d dx P F. dt dt olur. Diğer taratan dx / dt =, olduğu için P = F. denklemi yazılır. ÇÖZÜMLÜ PROLEMLER 7.. 80 nt luk bir cisim yatay düzlem üzerinde yatay ile 30 0 lik açı yapan bir kuetin etkisi altında sabit hızla 0 m kadar itiliyor. Sürtünme katsayısı 0,5 olduğuna göre ne kadar iş yapılmıştır. Çözüm : Sabit hızla itildiği için F x = 0, P x = k, k = μ k. Y F 0, + P y = P y 30 0 P P x = - P y, = 80 - P.0,5, = 80 - P. Sin30 k = 0,5 ( 80 P.0,5 ) = 0 0,5.P k P x = k, P.cos30 = 0-0,5. P, P.0,86 = 0 0,5.P, = 80 nt P = 0,3 nt P kuetinin yaptığı iş ; P = P x. S = P.cos30.s = 0,3. 0,86.0 = 349 joule sürtünme kuetinin yaptığı iş ; = - k.s = - ( 0 0,5.0,3 ).0 = - 349 joule 3
cisim üzerine yapılan net iş ; net = ( P x k ).s = 0 olur. 7. a ) 30 km / h lık hızla hareket eden 800 kg kütlesindeki bir otomobilin kinetik enerjisini hesap ediniz b) hız iki katına çıkarsa kinetik enerjisi ne kadar artar. Çözüm: a ) = (30000/3600 ) = (50 / 8 ) = ( 5 / 3) m / sn 5 4 E K m 800.( ) 6,5.0 joule 3 b ) hız iki katına çıkarsa ; yani = =.( 5/ 3 ) = ( 50 / 3 ) m / sn 50 3 4 E K 800.( ) 5.0 joule Kinetik enerji hızın karesi ile orantılı olduğundan hız iki kat artarsa, kinetik enerji dört kat artar e enerji arkı E k in üç katı olur. E K E K 4 4 EK 5.0 6,5.0 8,75. 0 4 joule 7.3 Kütlesi 300 gram olan metrelik çubuğa şekilde görüldüğü gibi 60 0 lik bir salınım yaptırılmıştır. Potansiyel enerjisi ne kadar artmıştır. Çözüm: m = 300 gr, L = m, E P =? Çubuğun potansiyel enerjisi, ağırlık merkezinin yüksekliği oranda artar. Çubuk 60 0 döndürdüğümüzde ağırlık merkezi h kadar yükselir. y cos 60, L L y L. 4 L L L L h y. 4 4 4 m 0 y 60 0 h E P = h = 0,3.9,8. (/4) = 0,735 joule 4
7.4 ir yaylı kantar 400 nt luk ağırlığa karşılık 8 cm uzuyor. a) Yay 8 cm uzayınca potansiyel enerjisi ne olur? b) Yaya 50 nt luk ağırlık asılınca potansiyel enerjisi ne olur? Çözüm: a) F= 400 nt x = 8 cm E P =? 40000 F k. x 400 k.0, 08 k 5000 nt / m 8 E P kx 5000.(0,08) 6 joule b) k = 5000 n / m, F = 50 nt F k. x 50 = 5000. x x = 0,0 m E P kx 5000. 0,0) 0, 5 joule 7.5 5 nt luk bir cisim, yatay ile 37 0 açı yapan bir eğik düzlem üzerinde, düzleme paralel 3,5 nt lık F kueti ile yukarı doğru 00 m çekiliyor. isimle düzlem arasındaki sürtünme katsayısı 0,5 dir. a ) F kuetinin yaptığı iş nedir? b) ismin kinetik enerji artışını hesap ediniz. c) Potansiyel enerji artışını hesap ediniz. d) Sürtünmeye karşı yapılan iş nedir? u iş ne olur? e) (b), (c) e (d) nin toplamı hakkında ne söyleyebilirsiniz? F Çözüm : = 5 nt s = 00 m μ = 0,5 a) F = F.s = 3,5.00 = 350 joule 37 x y b) m EK ileşke kuetin yaptığı iş ; 37 k Kinetik enerji değişikliğine eşittir. F. s bil E K F F İİ İİ F x 3,5 5 5,5 nt k 3,5 5.sin 37 0,5..5.cos 37 x. sin 37 5.0,6 5 nt,..cos 37 0,5.5.0,8 nt k k K 5 5
F s,5.00 = E K, E K = 50 joule bil E K h c) sin 37 h 00.0,6 60 m, E P = h = 5. 60 = 500 joule 00 d) =.s = 5. 00 = 500 joule e) E K + E P + = 50 + 500 + 500 = 350 joule bunların toplamı F kuetinin yaptığı işe eşittir. 7.6 Şekil. de görüldüğü gibi 4 kg lık cisim 8 m yükseklikten bırakılmıştır. Enerjinin korunması prensibini kullanarak cismin aşağıya indiği andaki hızını hesap ediniz. Çözüm:. Konumda E P = m.h E K = 0. ci Konumda : E P = m.h E K = ( / ) m., E K = ( / ) m. Enerjinin korunumu prensibinden; E P + E K = E P + E K m.h + 0 = m.h + ( / ) m. +( / ) m. 4.9,8.8 = 8.9,8.8 + ( / ) 8. + ( / ).4. 88,6 = 4 + + 67, 6 = 54,4 = 78,4, = 8,8 m / sn olur. 8 kg 4 kg 7.7 ğırlığı nt olan bir blok ile kütlesi ihmal edilen bir yay sıkıştırılmıştır. Sıkışma miktarı x = 6 cm. yay serbest bırakılınca blok yatay düzlem üzerinde, x = m hareket ediyor e sonra duruyor. Yay sabiti k = 8 nt / m dir. lok ile yatay masa arasındaki μ sürtünme katsayısını bulunuz. Çözüm : = nt x = 6 cm s = m k = 8 nt / m μ =? Sürtünme kuetinin yaptığı iş, sıkışan yayın Potansiyel enerjisine eşittir. E P. s kx m 6
E 4 p 8.(6.0 ) 44.0 joule 4. s 44.0, 4 4 44.0 44.0 4 s. 36.0 7.8 ğırlığı nt olan bir cisim şekilde görüldüğü üzere yarıçapı 8 m olan dairenin / 4 ünde meydana gelen kaisli rayın noktasından düşmeye başlıyor isim noktasına m / sn lik hızla ulaşıyor. undan sonrada noktasına kadar 9 m daha giderek orada duruyor. a ) yatay düzlemde kayma sürtünme katsayısı ne kadar dır? b ) cisim dan ye gelinceye kadar sürtünmeye karşı ne kadar iş yapmış olur? Çözüm: a ) cisim noktasında sahip olduğu kinetik enerji sürtünme kuetinin yaptığı işe eşittir. m m. s,. s. s () 0,86.9,8,9 b) cismin e durumlarındaki enerjilerinin arkı sürtünme kuetinin yaptığı işe eşittir. Enerji akı = h m.8., 3 joule 9,8 Enerji akı = =,3 joule 7.8 ir kayak asansörü 37 0 meyilli 800 m uzunluğunda bir düzlem üzerinde işlemektedir. sansör ipi 8 km / h hızla hareket ediyor e aynı anda 80 kayakçıyı yukarı çekiyor. 7
Kayakçıların her biri 60 kg kütlesinde olduğuna göre asansörü çalıştıracak beygir gücü ne kadardır. Çözüm : h = 800 m = 8 km / h n = 80 kayakçı m = 60 kg, P =? = g = 80.60.9,8 = 47040 nt Harekete etki eden kuet ; F = x =. sinθ = 47040.0,6 = 84 nt = ( 8000 / 3600 ) = ( 0 / 9 ) m / sn x 37 o y P = F., P = 84. ( 0 / 9 ) = 670 att P = 670 att,.. = 746 att P = ( 670 / 746 ) = 84. ( h.p ) 7.9 a ) kilo-att saati 5 kuruş olduğuna göre bir beygir gücü saatlik enerji kaç kuruş eder. b ) bir kuruşa ne kadar joule lük enerji satın alınabilir. a ).k = 5 krş,.. saat =?. = 746 aat = 0,746 k.. h = 0,746. k.h k.h -------------- 5 krş 0,746 k.h --------- x x = 0,746. 5 = 3,73 krş b ) krş = joule? k.h = 3,6.0 6 joule 3,6. 0 6 ------------- 5 krş x ----------------- krş x = ( 3,6.0 6 / 5 ) = 7,.0 5 joule enerji gelir. 7.0 Kiloatt saati 50 kuruştan 0 beygirgüçlü motorun 8 saat lik işi kaç lira eder. Çözüm : k.h = 50 krş, P = 0, t = 8 saat = 8.60.60 = 8800 sn = 746 att, 0 = 7460 att ( joule / sn ) İş : = P. t = 7460. 8800 = 4848.0 3 joule katt.h = 3,6.0 6 joule k-h = 50 krş 3,6.0 6 joule ---------------50 krş 4848.0 3 3 4848.0.50 ------------------x x 984 kuruş 6 3,6.0 8
7. İki blok Şekil de görüldüğü gibi uzamaz bir iple birbirine bağlıdır. Sistem dururken harekete başlarsa loğu,5 m gittiği zaman hızını iş - Enerji prensibine. göre bulunuz. 0, 5 Çözüm : = 00 kg = 300 kg Kinetik Enerji.konum = 0 E K = 0. konum = E K = m İş : Hareket esnasında, iş yapar. =. s = -. s net =. s -. s = ( ).s net = ( 300 50 ).,5 = 375 km = μ. = 0,5. 00 = 50 k 375 = = E K 00 g 300 50 g g m,5 m 00 kg 00 kg 300 kg 300 kg,5 m 375 = 50 g, = 3,83 m / sn 7. ir cisim 45 0 lik bir eğik düzlem üzerinde ilk hızsız olarak bırakılıyor. isim eğik düzlemi indikten sonra yatayda 5 m gidip e 30 0 lik eğik düzlemde 5 m gittikten sonra duruyor.ütün yüzeylerde aynı olan μ sürtünme katsayısını a) İş Enerji prensibi ile μ =? b) Enerji denklemleri ile μ =? bulunuz. g = 0 m / sn, = 0 m = 5 m D = 5 m Çözüm : a) İş - Enerji D h y x x 45 0 30 0 3 y h 9
.nci yol: arası için İş-Enerji denklemi : F bil. s E K ( x ) 0 ( msin 45. mcos 45).0 70.70 () arası için İş-Enerji denklemi : F bil. s E K m m. 5 m. 5 m 50 () D arası için İş-Enerji denklemi F bil. s E K ( x 3 ). D md m ( sin 30. cos 30).5 0 m 5 c 43. (3), () e (3) nolu denklemlerin değerlerini () de yerine konursa; 5 43 70 70 50 63 45 45 0,7 63.nci yol: Hareketin tümünü göz önüne alırsak, F. s = E K - E k E K - E k = bil E K m D m 0
( x 3 ).. x. D. D 0 ( sin 45. cos 45).0. 5 sin 30.5. cos 30. 5 0(0.0,7.0.0,7).0.5 0.0,5.5.0.0,86.5 0 70 70 50 5 43 0, 63 45, 45 0,7 63 m D m b) Enerji denklemleri ile ;.nci yol arası için genel enerji denklemi = ( E K E K ) + ( E P E P ) ( m 0) (0 ) h. m h.0.0,7.0 70 70 () 70 arası için genel enerji denklemi = ( E K E K ) + ( E P E P ) ( m ) (0 0). 5 m c m. 5. 50 b 50 () D arası için enerji denklemi: = ( E K E K ) + ( E P E P ) F 3 ( 0 m ) ( h 0) 3. 5 m h
.. cos 30.5 m h. 0.0,86.5.43 5 0.,5 (3) () e (3) ü, () de yerine koyarsak; 43 5 50, 93 5 70 70, 63 45 45 0,7 63.ci yol: arası için, noktasındaki potansiyel enerji; noktasındaki kinetik enerji e bu aradaki sürtünme kuetinin yaptığı işin toplamına eşittir. h m 0.7 m 70.70. cos 45.0 () arası için : noktasındaki kinetik enerji ; noktasındaki kinetik enerji e bu aradaki sürtünme kuetinin yaptığı işin toplamına eşittir. m m m m. 5 c 50 () D arası için: noktasındaki kinetik enerji: D noktasındaki potansiyel enerji e bu aradaki sürtünme kuetinin yaptığı işin toplamına eşittir. m h 3 m 0.,5.. cos 30.5 5 43 (3) ()e (3) ü () de yerine koyarsak ;
70 70 5 43 50 45 63 45 63 0,7 3.cü yol: urada hareketin tümünü göz önüne alalı noktasındaki potansiyel enerji; D noktasındaki potansiyel enerji e bütün bu aralardaki sürtünme kuetlerinin yaptıkları işlerin h h 3 0.7 0.,5. 0.0,7.0. 50. 43 70 5 70 50 43 45 63 45 63 0,7 toplamına eşittir. 7.3 ir blok 0 0 eğimli bir düzlem üzerinde 8 m / sn ilk hızı ile yukarı doğru atılıyor. lok ye geldikten sonra tekrar noktasına doğru kayıyor. μ = 0,33 olduğuna göre a) uzaklığını bulunuz b) noktasında bloğun hızı ne olur. Problemi iş-enerji prensibine göre çözünüz. Çözüm: a) İş Enerji prensibi; x e iş yapar. g sin. s. cos. s 0.0,34. s 0,33.0.0,94. s 3,4. s,5. s 3 4,65. s 3 s 3 4,65 6,88 m 64 b) İş Enerji prensibi; = E K 0 = E K 0 x x y 0 0 y 3
( m( sin. cos ). s X 9,6 5,44 ). s m (3,4,5).6,88 m / sn 7.4. bir eğik düzlemin noktasından,5 m / sn hızı ile aşağı doğru bir cisim bırakılıyor.μ = 0,5 olduğuna göre cisim noktasına,5 m / sn hızı ile arabilmesi için, = d uzaklığını iş- enerji prensibine göre bulunuz. Çözüm : =,5 m / sn, μ = 0,5 =,5 m / sn iş enerji prensibi, = E K Tüm hareketi göz önüne alalı ( x,85. 7 ).. m 7,85 6 m m ( msin. mcos ).. m m (0.sin 30 0,5.0.0,86). 0,5.0.6 (,5) (5,5) 5 3,, y m (,5) 30 0 6 m x 30 0 4
7.5 Eğik düzlemin noktasından m kütleli bir cisim harekete başlıyor. ütün yüzeylerde μ = 0,5 olduğuna göre a) noktasında sahip olduğu hızı bulunuz b) Yatay düzlemde ne kadar yol alır. = m (Enerji denklemleri ile çözülecek ) 30 0 Çözüm : a ) Eğik düzlemde enerji denklemi : h = ( E K E K ) + ( E P E P ) sin 30 h h m x 30 0 y..cos 30. s ( m 0) (0 h) h. cos 30. s 0. 0,5.0.0,86. 0 0,5.,58 7,4 4,84 0,5 3,85 m / sn b) yatay düzlemde enerji denklemi: = ( E K E K ) + ( E P E P ). s m 0,5.0. s,5. s 4,84 7,4 7,4 s 4,94 m,5 5
7.6 ir cisim noktasından 0 m /sn lik hızla harekete başlıyor. e yolunu aldıktan sonra D noktasında duruyor. ütün yüzeylerde sürtünme katsayısı 0,5 olduğuna göre D uzaklığını enerji denklemleri ile bulunuz. = 0 m, = 5 m, g = 0 m / sn V D =0 D =0 m/sn h 60 O Çözüm : V D =0 =0 m/sn x 60 O y h D arası için enerji denklemi: = ( E K E K ) + ( E P E P ). 0,5.0.0 50 50 m m 00 m 400 m arası için enerji denklemi: = ( E K E K ) + ( E P E P ). mg cos 60. ( m m ) ( h 0) 0,5.0.0,5.5 ( 50) (0.4,3),5 50 43 50 43,5 94,5 6
D arası için enerji denklemi: = ( E K E K ) + ( E P E P ). D (0 0,5.0. D D 94,5 5 8,9 m m ) ( mgh mgh) 7.7. Şekilde görüldüğü gibi bir cisim yarı çapı m olan sürtünmesiz kaisli yoldan cisim harekete başlıyor. Yatayda e eğik düzlemde μ = 0, dir. isim yatay yolu geçtikten sonra eğik düzlemde ne kadar yol aldığını enerji denklemleri ile bulunuz. = m, g = 0 m / sn D r = m μ=0 μ=0, μ=0, 30 0 Çözüm: r = m μ=0 x 30 0 y D h Kaisli yol için enerji denklemi: = ( E K E K ) + ( E P E P ), = 0 ( E K + E P ) = ( E K +E P ) 7
m 0 0 h h b 0. 40 Yatay düzlem için enerji denklemi: = ( E K E K ) + ( E P E P ). ( m 40 m m 0,.0. 4. m ) (0 0) 3 Eğik düzlem için enerji denklemi: = ( E K E K ) + ( E P E P ) h D sin30 =, h D. D (0 m ) ( mgh 0) m mgh. mg cos 30. D D 3 0 0,.0.0,86. D 6 5. D,7. D D 6 6,7,38 m 8